स्कूल की तैयारी

पॉसों वितरण। दुर्लभ घटनाओं का नियम. एक असतत यादृच्छिक चर का पॉइसन वितरण एक पॉइसन वितरण की संभावना

विभिन्न प्रकार के संभाव्यता वितरणों का सबसे आम मामला द्विपद वितरण है। आइए हम व्यवहार में आने वाले सबसे सामान्य विशेष प्रकार के वितरणों को निर्धारित करने के लिए इसकी बहुमुखी प्रतिभा का उपयोग करें।

द्विपद वितरण

चलो कोई इवेंट ए हो. घटना A के घटित होने की प्रायिकता बराबर है पी, घटना A के घटित न होने की प्रायिकता 1 है पी, कभी-कभी इसे इस रूप में निर्दिष्ट किया जाता है क्यू. होने देना एनपरीक्षणों की संख्या, एमइनमें घटना A के घटित होने की आवृत्ति एनपरीक्षण.

यह ज्ञात है कि परिणामों के सभी संभावित संयोजनों की कुल संभावना एक के बराबर है, अर्थात:

1 = पी एन + एन · पी एन 11 पी) + सी एन एन 2 · पी एन 2(1 पी) 2 + + सी एन एम · पी एम· (1 पी) एन एम+ + (1 पी) एन .

पी एनसंभावना है कि में एनएनएक बार;

एन · पी एन 11 पी) संभावना है कि में एनएन 1) एक बार और 1 बार नहीं होगा;

सी एन एन 2 · पी एन 2(1 पी) 2 संभावना है कि में एनपरीक्षण, घटना ए घटित होगी ( एन 2) बार और 2 बार नहीं होगा;

पी एम = सी एन एम · पी एम· (1 पी) एन एम संभावना है कि में एनपरीक्षण, घटना ए घटित होगी एमकभी नहीं होगा ( एन एम) एक बार;

(1 पी) एनसंभावना है कि में एनपरीक्षणों में, घटना A एक बार भी घटित नहीं होगी;

के संयोजनों की संख्या एनद्वारा एम .

अपेक्षित मूल्य एमद्विपद वितरण इसके बराबर है:

एम = एन · पी ,

कहाँ एनपरीक्षणों की संख्या, पीघटना A के घटित होने की संभावना.

मानक विचलन σ :

σ = sqrt( एन · पी· (1 पी)) .

उदाहरण 1। उस घटना की प्रायिकता की गणना करें जिसकी प्रायिकता है पी= 0.5, इंच एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 1 बार. हमारे पास है: सी 10 1 = 10, और आगे: पी 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. जैसा कि हम देख सकते हैं, इस घटना के घटित होने की संभावना काफी कम है। इसे, सबसे पहले, इस तथ्य से समझाया गया है कि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि घटना घटित होगी या नहीं, क्योंकि संभावना 0.5 है और यहां संभावना "50 से 50" है; और दूसरी बात, यह गणना करना आवश्यक है कि घटना दस में से ठीक एक बार (न अधिक और न कम) घटित होगी।

उदाहरण 2. उस घटना की प्रायिकता की गणना करें जिसकी प्रायिकता है पी= 0.5, इंच एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 2 बार. हमारे पास है: सी 10 2 = 45, और आगे: पी 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. इस घटना के घटित होने की संभावना बढ़ गई है!

उदाहरण 3. आइए घटना के घटित होने की संभावना को बढ़ाएँ। आइए इसे और अधिक संभावित बनाएं। किसी घटना की प्रायिकता होने की प्रायिकता की गणना करें पी= 0.8, इंच एन= 10 ट्रायल होंगे एम= 1 बार. हमारे पास है: सी 10 1 = 10, और आगे: पी 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. संभावना पहले उदाहरण की तुलना में कम हो गई है! उत्तर, पहली नज़र में, अजीब लगता है, लेकिन चूंकि घटना की संभावना काफी अधिक है, इसलिए इसके केवल एक बार घटित होने की संभावना नहीं है। इसकी अधिक संभावना है कि ऐसा एक से अधिक बार होगा। दरअसल, गिनती पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, , पी 10 (संभावना है कि एक घटना में एन= 10 परीक्षण 0, 1, 2, 3, 10 बार होंगे), हम देखेंगे:

सी 10 0 = 1 , सी 10 1 = 10 , सी 10 2 = 45 , सी 10 3 = 120 , सी 10 4 = 210 , सी 10 5 = 252 ,
सी 10 6 = 210 , सी 10 7 = 120 , सी 10 8 = 45 , सी 10 9 = 10 , सी 10 10 = 1 ;

पी 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
पी 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
पी 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
पी 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
पी 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
पी 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
पी 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
पी 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
पी 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(उच्चतम संभावना!);
पी 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
पी 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

सामान्य वितरण

यदि हम मात्राओं का चित्रण करें पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, , पी 10, जिसे हमने उदाहरण 3 में गणना की है, ग्राफ़ पर, यह पता चलता है कि उनके वितरण का रूप सामान्य वितरण कानून के करीब है (चित्र 27.1 देखें) (व्याख्यान 25 देखें। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की मॉडलिंग)।

चावल। 27.1. द्विपद वितरण का प्रकार
p = 0.8, n = 10 पर भिन्न m के लिए संभावनाएँ

यदि घटना A के घटित होने और न होने की संभावनाएँ लगभग समान हों, तो द्विपद नियम सामान्य हो जाता है, अर्थात हम सशर्त रूप से लिख सकते हैं: पी≈ (1 पी) . उदाहरण के लिए, आइए लेते हैं एन= 10 और पी= 0.5 (अर्थात पी= 1 पी = 0.5 ).

संक्षेप में, हम ऐसी समस्या पर आएँगे यदि, उदाहरण के लिए, हम सैद्धांतिक रूप से गणना करना चाहते हैं कि एक ही दिन में प्रसूति अस्पताल में पैदा हुए 10 बच्चों में से कितने लड़के और कितनी लड़कियाँ होंगी। अधिक सटीक रूप से, हम लड़कों और लड़कियों को नहीं, बल्कि केवल लड़कों के पैदा होने की संभावना को गिनेंगे, कि 1 लड़का और 9 लड़कियाँ पैदा होंगी, कि 2 लड़के और 8 लड़कियाँ पैदा होंगी, इत्यादि। आइए सरलता के लिए मान लें कि एक लड़का और एक लड़की होने की संभावना समान है और 0.5 के बराबर है (लेकिन वास्तव में, ईमानदारी से कहें तो, यह मामला नहीं है, पाठ्यक्रम "मॉडलिंग आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस सिस्टम" देखें)।

यह स्पष्ट है कि वितरण सममित होगा, क्योंकि 3 लड़के और 7 लड़कियाँ होने की संभावना 7 लड़के और 3 लड़कियाँ होने की संभावना के बराबर है। जन्म की सबसे अधिक संभावना 5 लड़के और 5 लड़कियाँ होंगी। यह प्रायिकता 0.25 के बराबर है, वैसे निरपेक्ष मान में यह उतनी बड़ी नहीं है। इसके अलावा, यह संभावना कि 10 या 9 लड़के एक साथ पैदा होंगे, इस संभावना से बहुत कम है कि 10 बच्चों में से 5 ± 1 लड़का पैदा होगा। द्विपद वितरण हमें यह गणना करने में मदद करेगा। इसलिए।

पी 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
पी 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
पी 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
पी 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
पी 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
पी 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
पी 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
पी 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
पी 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
पी 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
पी 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

आइए ग्राफ़ पर मात्राएँ प्रदर्शित करें पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3, , पी 10 (चित्र 27.2 देखें)।

चावल। 27.2. मापदंडों के साथ द्विपद वितरण का ग्राफ़
p = 0.5 और n = 10, इसे सामान्य नियम के करीब लाते हैं

तो, शर्तों के तहत एम ≈ एन/2 और पी≈ 1 पीया पी≈ 0.5 द्विपद वितरण के बजाय, आप सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं। बड़े मूल्यों के लिए एनजैसे-जैसे गणितीय अपेक्षा और भिन्नता बढ़ती है, ग्राफ़ दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है और अधिक से अधिक सपाट हो जाता है एन : एम = एन · पी , डी = एन · पी· (1 पी) .

वैसे, द्विपद नियम सामान्य और बढ़ने के साथ बढ़ता है एन, जो केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार काफी स्वाभाविक है (व्याख्यान 34 देखें। सांख्यिकीय परिणामों को रिकॉर्ड करना और संसाधित करना)।

अब विचार करें कि किसी स्थिति में द्विपद नियम कैसे बदलता है पी ≠ क्यू, वह है पी> 0 . इस मामले में, सामान्य वितरण की परिकल्पना लागू नहीं की जा सकती है, और द्विपद वितरण पॉइसन वितरण बन जाता है।

पॉसों वितरण

पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है (साथ में)। एन>> 0 और पर पी>0 (दुर्लभ घटनाएँ)).

गणित से एक सूत्र ज्ञात होता है जो आपको द्विपद वितरण के किसी भी सदस्य के मूल्य की लगभग गणना करने की अनुमति देता है:

कहाँ ए = एन · पी पॉइसन पैरामीटर (गणितीय अपेक्षा), और विचरण गणितीय अपेक्षा के बराबर है। आइए हम गणितीय गणनाएँ प्रस्तुत करें जो इस संक्रमण की व्याख्या करती हैं। द्विपद वितरण कानून

पी एम = सी एन एम · पी एम· (1 पी) एन एम

यदि आप डालेंगे तो लिखा जा सकता है पी = ए/एन , जैसा

क्योंकि पीबहुत छोटा है, तभी संख्याओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए एम, की तुलना में छोटा एन. काम

एकता के बहुत करीब. यही बात आकार पर भी लागू होती है

परिमाण

बहुत करीब इ ए. यहाँ से हमें सूत्र मिलता है:

उदाहरण। बॉक्स में शामिल है एन= 100 भाग, उच्च गुणवत्ता वाले और दोषपूर्ण दोनों। दोषपूर्ण उत्पाद प्राप्त होने की संभावना है पी= 0.01 . मान लीजिए कि हम एक उत्पाद निकालते हैं, यह निर्धारित करते हैं कि यह दोषपूर्ण है या नहीं, और इसे वापस रख दें। ऐसा करने पर पता चला कि हमने जिन 100 उत्पादों को देखा, उनमें से दो ख़राब निकले। इसकी सम्भावना क्या है?

द्विपद वितरण से हमें प्राप्त होता है:

पॉइसन वितरण से हमें प्राप्त होता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान करीब निकले, इसलिए दुर्लभ घटनाओं के मामले में पॉइसन के नियम को लागू करना काफी स्वीकार्य है, खासकर जब से इसमें कम कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है।

आइए हम ग्राफ़िक रूप से पॉइसन के नियम का रूप दिखाएं। आइए पैरामीटर को एक उदाहरण के रूप में लें पी = 0.05 , एन= 10 . तब:

पी 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
पी 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
पी 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
पी 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
पी 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
पी 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
पी 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
पी 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
पी 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
पी 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
पी 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

बिल्कुल पी 0 + पी 1 + पी 2 + पी 3 + पी 4 + पी 5 + पी 6 + पी 7 + पी 8 + पी 9 + पी 10 = 1 .

चावल। 27.3. पी = 0.05 और एन = 10 पर पॉइसन वितरण प्लॉट

पर एन> ∞ केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार पॉइसन वितरण एक सामान्य कानून में बदल जाता है (देखें)।

परिचय

संभाव्यता सिद्धांत एक गणितीय विज्ञान है जो यादृच्छिक घटनाओं में पैटर्न का अध्ययन करता है। आज यह अत्यंत व्यावहारिक महत्व का पूर्ण विज्ञान है।

संभाव्यता सिद्धांत का इतिहास 17वीं शताब्दी का है, जब बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं से संबंधित समस्याओं का व्यवस्थित रूप से अध्ययन करने का पहला प्रयास किया गया था, और संबंधित गणितीय उपकरण सामने आया था। तब से, कई बुनियादी सिद्धांतों को विकसित किया गया है और वर्तमान अवधारणाओं को गहरा किया गया है, और अन्य महत्वपूर्ण कानूनों और पैटर्न की खोज की गई है। कई वैज्ञानिकों ने संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं पर काम किया है और कर रहे हैं।

उनमें से, कोई शिमोन डेनिस पॉइसन ((1781-1840) - फ्रांसीसी गणितज्ञ) के कार्यों पर ध्यान दिए बिना नहीं रह सकता, जिन्होंने जैकब बर्नौली की तुलना में बड़ी संख्या के कानून का अधिक सामान्य रूप साबित किया, और पहली बार इसे लागू भी किया। शूटिंग समस्याओं की संभाव्यता का सिद्धांत। पॉइसन का नाम वितरण के एक नियम से जुड़ा है, जो संभाव्यता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

समय की प्रति इकाई एक निश्चित यादृच्छिक घटना की घटनाओं की संख्या, जब किसी दिए गए प्रयोग में इस घटना की घटना का तथ्य इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यह अतीत में कितनी बार और किस समय पर हुआ था, और प्रभावित नहीं करता है भविष्य। और परीक्षण स्थिर परिस्थितियों में किए जाते हैं, तो पॉइसन का नियम आमतौर पर ऐसे यादृच्छिक चर के वितरण का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है (यह वितरण पहली बार 1837 में इस वैज्ञानिक द्वारा प्रस्तावित और प्रकाशित किया गया था)।

इस नियम को द्विपद वितरण के सीमित मामले के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जब एक ही प्रयोग में हमारे लिए रुचि की घटना के घटित होने की संभावना p बहुत छोटी है, लेकिन प्रति इकाई समय में किए गए प्रयोगों की संख्या काफी बड़ी है। , अर्थात्, इस तरह कि प्रक्रिया में पी

0 और मी, उत्पाद एमपी कुछ सकारात्मक स्थिर मान (यानी एमपी) की ओर प्रवृत्त होता है।

इसलिए, पॉइसन के नियम को अक्सर दुर्लभ घटनाओं का नियम भी कहा जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में पॉइसन वितरण

कार्य और वितरण श्रृंखला

पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है (साथ में)। एन>> 0 और पर पी–> 0 (दुर्लभ घटनाएँ)).

कहाँ ए = एन · पीपॉइसन पैरामीटर (गणितीय अपेक्षा) है, और विचरण गणितीय अपेक्षा के बराबर है। आइए हम गणितीय गणनाएँ प्रस्तुत करें जो इस संक्रमण की व्याख्या करती हैं। द्विपद वितरण कानून

बजे = सी एन एम · पी एम· (1 - पी)एन – एम

यदि आप डालेंगे तो लिखा जा सकता है पी = ए/एन, जैसा

एकता के बहुत करीब. यही बात आकार पर भी लागू होती है

बहुत करीब इ –ए. यहाँ से हमें सूत्र मिलता है:

यूलर संख्या (2.71...). ,

जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए

हमारे पास मात्राएँ हैं:

संचयी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन बराबर है

पॉइसन के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर का एक उत्कृष्ट उदाहरण एक निश्चित अवधि में सड़क के एक विशेष खंड से गुजरने वाली कारों की संख्या है। आप ऐसे उदाहरण भी नोट कर सकते हैं जैसे किसी दिए गए आकार के आकाश के एक खंड में तारों की संख्या, किसी दिए गए लंबाई के पाठ में त्रुटियों की संख्या, कॉल सेंटर में टेलीफोन कॉल की संख्या, या कॉल की संख्या एक निश्चित समयावधि में एक वेब सर्वर।

पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X की वितरण श्रृंखला इस तरह दिखती है:

एक्स एम	0	1	2	…	एम	…
बजे	ई-ए			…		…

चित्र में. 1 यादृच्छिक चर वितरण के बहुभुज दिखाता है एक्सपॉइसन के नियम के अनुसार, पैरामीटर के विभिन्न मानों के अनुरूप ए.

सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि संभावनाओं का क्रम एक वितरण श्रृंखला हो सकता है, यानी। कि सभी संभावनाओं का योग आरएमएक के बराबर.

हम फ़ंक्शन विस्तार का उपयोग करते हैं पूर्वमैकलॉरिन श्रृंखला में:

यह ज्ञात है कि यह श्रृंखला किसी भी मूल्य के लिए अभिसरण करती है एक्स, इसलिए, ले रहे हैं एक्स=ए, हम पाते हैं

इस तरह

पॉइसन वितरण स्थिति की संख्यात्मक विशेषताएँ

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

परिभाषा के अनुसार, जब एक असतत यादृच्छिक चर मानों का एक गणनीय सेट लेता है:

योग का पहला पद (तदनुरूप) एम=0 ) शून्य के बराबर है, इसलिए, योग इससे शुरू हो सकता है एम=1 :

तो पैरामीटर एएक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा से अधिक कुछ नहीं है एक्स.

गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक यादृच्छिक चर की स्थिति को उसके मोड और माध्यिका द्वारा चित्रित किया जाता है।

किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है।

एक सतत मात्रा के लिए, मोड को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के स्थानीय अधिकतम का बिंदु कहा जाता है। यदि किसी बहुभुज या वितरण वक्र में एक अधिकतम है (चित्र 2 ए), तो वितरण को यूनिमॉडल कहा जाता है; यदि एक से अधिक अधिकतम है, तो यह मल्टीमॉडल है (विशेष रूप से, दो मोड वाले वितरण को बिमोडल कहा जाता है)। एक वितरण जिसमें न्यूनतम होता है उसे एंटीमोडल कहा जाता है (चित्र 2 बी)

x मॉड x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

एक यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मूल्य वह मोड है जो एक असतत यादृच्छिक चर के लिए वैश्विक अधिकतम संभावना या निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वितरण घनत्व प्रदान करता है।

माध्यिका x l का मान है जो संभाव्यता घनत्व ग्राफ के तहत क्षेत्र को आधे में विभाजित करता है, अर्थात। माध्यिका समीकरण का कोई भी मूल है। गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं हो सकती है, लेकिन माध्य हमेशा मौजूद रहता है और इसे अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर का माध्यिका

इसका मान = x med इस प्रकार कहा जाता है कि P (< x med) = Р ( >एक्स मेड) = .

बिखराव की संख्यात्मक विशेषताएँ

एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण उसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है।

जहां λ समान स्वतंत्र परीक्षणों में घटनाओं की औसत संख्या के बराबर है, अर्थात। λ = n × p, जहां p एक परीक्षण में किसी घटना की संभावना है, e = 2.71828।

पॉइसन कानून वितरण श्रृंखला का रूप है:

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग पॉइसन वितरण का निर्माण करने और श्रृंखला की सभी विशेषताओं की गणना करने के लिए किया जाता है: गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन। निर्णय के साथ रिपोर्ट वर्ड फॉर्मेट में तैयार की गई है।

ऐसे मामले में जब n बड़ा है और λ = p n > 10, पॉइसन सूत्र एक बहुत ही मोटा अनुमान देता है और P n (m) की गणना के लिए Moivre-Laplace के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ

पॉइसन वितरण की अपेक्षा
एम[एक्स] = λ

पॉइसन वितरण का प्रसरण
डी[एक्स] = λ

उदाहरण क्रमांक 1. बीजों में 0.1% खरपतवार होते हैं। यदि आप यादृच्छिक रूप से 2000 बीज चुनते हैं तो 5 खरपतवार बीज मिलने की प्रायिकता क्या है?
समाधान।
प्रायिकता p छोटी है, लेकिन संख्या n बड़ी है। एनपी = 2 पी(5) = λ 5 ई -5 /5! = 0.03609
अपेक्षित मूल्य: एम[एक्स] = λ = 2
फैलाव: डी[एक्स] = λ = 2

उदाहरण क्रमांक 2. राई के बीजों में 0.4% खरपतवार के बीज होते हैं। 5000 बीजों के यादृच्छिक चयन के साथ खरपतवारों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा: एम[एक्स] = λ = 0.004*5000 = 20। फैलाव: डी[एक्स] = λ = 20
वितरण कानून:

एक्स	0	1	2	…	एम	…
पी	ई -20	20e -20	200e -20	…	20 मीटर ई -20 /मीटर!	…

उदाहरण संख्या 3. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 1/200 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 200 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
ए) बिल्कुल एक गलत कनेक्शन;
बी) तीन से कम गलत कनेक्शन;
ग) दो से अधिक गलत कनेक्शन।
समाधान।समस्या की स्थितियों के अनुसार, घटना की संभावना कम है, इसलिए हम पॉइसन सूत्र (15) का उपयोग करते हैं।
ए) दिया गया है: एन = 200, पी = 1/200, के = 1। आइए पी 200 (1) खोजें।
हम पाते हैं: . फिर पी 200 (1) ≈ ई -1 ≈ 0.3679।
बी) दिया गया है: एन = 200, पी = 1/200, के< 3. Найдем P 200 (k < 3).
हमारे पास: ए = 1.

ग) दिया गया है: n = 200, p = 1/200, k > 2। आइए P 200 (k > 2) खोजें।
इस समस्या को अधिक सरलता से हल किया जा सकता है: विपरीत घटना की संभावना ज्ञात करें, क्योंकि इस मामले में आपको कम शब्दों की गणना करने की आवश्यकता है। पिछले मामले को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

उस मामले पर विचार करें जहां n पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है; आइए np = a रखें, जहां a कुछ संख्या है। इस मामले में, वांछित संभावना पॉइसन सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

समय अवधि t के दौरान k घटनाओं के घटित होने की संभावना को पॉइसन सूत्र का उपयोग करके भी पाया जा सकता है:
जहां λ घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता है, यानी प्रति इकाई समय में प्रकट होने वाली घटनाओं की औसत संख्या।

उदाहरण संख्या 4. भाग के ख़राब होने की प्रायिकता 0.005 है। 400 भागों की जाँच की जाती है। 3 से अधिक भागों के ख़राब होने की संभावना की गणना के लिए एक सूत्र प्रदान करें।

उदाहरण क्रमांक 5. बड़े पैमाने पर उत्पादन के दौरान दोषपूर्ण भागों के प्रकट होने की संभावना p है। प्रायिकता निर्धारित करें कि N भागों के एक बैच में a) बिल्कुल तीन भाग हों; बी) तीन से अधिक दोषपूर्ण भाग नहीं।
पी=0.001; एन = 4500
समाधान।
प्रायिकता p छोटी है, लेकिन संख्या n बड़ी है। एनपी = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
यादृच्छिक चर X में मानों की एक श्रृंखला होती है (0,1,2,...,m)। इन मानों की संभावनाओं को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आइए X की वितरण श्रृंखला ज्ञात करें।
यहां λ = एनपी = 4500*0.001 = 4.5
पी(0) = ई - λ = ई -4.5 = 0.01111
पी(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

तब N भागों के एक बैच में ठीक तीन भाग होने की प्रायिकता इसके बराबर है:

तब संभावना यह है कि N भागों के एक बैच में तीन से अधिक दोषपूर्ण भाग नहीं हैं:
पी(एक्स<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

उदाहरण संख्या 6. एक स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज औसतन प्रति घंटे एन कॉल प्राप्त करता है। संभावना निर्धारित करें कि किसी दिए गए मिनट में उसे प्राप्त होगा: ए) बिल्कुल दो कॉल; बी) दो से अधिक कॉल।
एन=18
समाधान।
एक मिनट में, स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज औसतन λ = 18/60 मिनट प्राप्त करता है। = 0.3
यह मानते हुए कि एक मिनट में पीबीएक्स पर प्राप्त कॉलों की एक यादृच्छिक संख्या X,
पॉइसन के नियम का पालन करता है, सूत्र का उपयोग करके हम वांछित संभावना ज्ञात करेंगे

आइए X की वितरण श्रृंखला ज्ञात करें।
यहाँ λ = 0.3
पी(0) = ई - λ = ई -0.3 = 0.7408
पी(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

संभावना है कि उसे एक दिए गए मिनट में ठीक दो कॉल प्राप्त होंगी:
पी(2) = 0.03334
एक निश्चित मिनट में उसे दो से अधिक कॉल प्राप्त होने की प्रायिकता है:
पी(x>2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366

उदाहरण संख्या 7. एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले दो तत्वों पर विचार किया जाता है। विफलता-मुक्त संचालन की अवधि में पहले तत्व के लिए पैरामीटर λ1 = 0.02 और दूसरे तत्व के लिए λ2 = 0.05 के साथ एक घातीय वितरण होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 10 घंटे में: a) दोनों तत्व बिना किसी विफलता के काम करेंगे; बी) केवल संभावना है कि तत्व संख्या 1 10 घंटे में विफल नहीं होगा:
फ़ैसला।
पी 1 (0) = ई -λ1*टी = ई -0.02*10 = 0.8187

संभावना है कि तत्व संख्या 2 10 घंटे में विफल नहीं होगा:
पी 2 (0) = ई -λ2*टी = ई -0.05*10 = 0.6065

क) दोनों तत्व त्रुटिपूर्ण ढंग से काम करेंगे;
पी(2) = पी 1 (0)*पी 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
बी) केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।
पी(1) = पी 1 (0)*(1-पी 2 (0)) + (1-पी 1 (0))*पी 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

उदाहरण संख्या 7. उत्पादन में 1% दोष उत्पन्न होता है। क्या संभावना है कि शोध के लिए लिए गए 1100 उत्पादों में से 17 से अधिक को अस्वीकार नहीं किया जाएगा?
टिप्पणी: चूँकि यहाँ n*p =1100*0.01=11 > 10, इसका उपयोग करना आवश्यक है

स्वतंत्र परीक्षणों की एक बड़ी श्रृंखला में एक निश्चित (सीमित) संख्या में घटित होने वाली कम-संभावना वाली घटनाओं पर विचार करते समय, इन घटनाओं के घटित होने की संभावनाएँ पॉइसन के नियम या दुर्लभ घटनाओं के नियम का पालन करती हैं, जहाँ λ औसत संख्या के बराबर है समान स्वतंत्र परीक्षणों में घटनाओं का घटित होना, अर्थात्। λ = n × p, जहां p एक परीक्षण के दौरान किसी घटना की संभावना है, e = 2.71828, m इस घटना की आवृत्ति है, गणितीय अपेक्षा M[X] λ के बराबर है।

पॉइसन कानून वितरण श्रृंखला का रूप है:

यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ

पॉइसन वितरण की अपेक्षा
एम[एक्स] = λ

पॉइसन वितरण का प्रसरण
डी[एक्स] = λ

पॉइसन का नियमउन आबादी के लिए उपयोग किया जा सकता है जो मात्रा में पर्याप्त रूप से बड़ी हैं (एन> 100) और इस विशेषता वाली इकाइयों का पर्याप्त छोटा अनुपात है (पी)< 0,1).
इस मामले में, पॉइसन वितरण तब लागू किया जा सकता है जब न केवल n का मान - संभावित परिणामों की कुल संख्या - ज्ञात नहीं है, बल्कि तब भी जब n का प्रतिनिधित्व करने वाली अंतिम संख्या ज्ञात नहीं है। जहां किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या होती है, वहां घटना घटित होने की संभावना को विस्तार की शर्तों द्वारा वर्णित किया जाता है:
.
इसलिए संगत संभावनाएँ हैं:

इसलिए, यदि भूकंपों की औसत संख्या प्रति माह एक है, तो m=1 और प्रति माह घटित होने की संभावना इस प्रकार होगी, जिसकी गणना e-m = 0.3679 के अनुमानित मान से की जाती है:

उदाहरण। समान उत्पादों के 1000 बैचों की जाँच के परिणामस्वरूप, बैच में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या का निम्नलिखित वितरण प्राप्त हुआ:

आइए एक बैच में दोषपूर्ण उत्पादों की औसत संख्या निर्धारित करें:
.
हम पॉइसन के नियम की सैद्धांतिक आवृत्तियाँ पाते हैं:

अनुभवजन्य और सैद्धांतिक रूप से पाया गया पॉइसन वितरण:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

तुलना इंगित करती है कि अनुभवजन्य वितरण पॉइसन वितरण से मेल खाता है।

उदाहरण क्रमांक 2. तकनीकी नियंत्रण विभाग ने समान उत्पादों के n बैचों की जाँच की और पाया कि एक बैच में गैर-मानक उत्पादों की संख्या X का अनुभवजन्य वितरण तालिका में दिखाया गया है, जिसकी एक पंक्ति एक बैच में गैर-मानक उत्पादों की संख्या x i को इंगित करती है, और दूसरी पंक्ति x i गैर-मानक उत्पादों वाले n i बैचों की संख्या दर्शाती है। महत्व स्तर α=0.05 पर परिकल्पना का परीक्षण करना आवश्यक है कि यादृच्छिक चर X (एक बैच में गैर-मानक उत्पादों की संख्या) पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया गया.

एक्स मैं	0	1	2	3	4	5
एन मैं	370	360	190	63	14	3

आइए उस परिकल्पना की जाँच करें कि X को वितरित किया गया है पॉइसन का नियमसेवा का उपयोग करना, सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करना।

जहां p i, i-वें अंतराल में आने वाले एक काल्पनिक कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की संभावना है; λ = x औसत.
मैं = 0: पी 0 = 0.3679, एनपी 0 = 367.88
मैं = 1: पी 1 = 0.3679, एनपी 1 = 367.88
मैं = 2: पी 2 = 0.1839, एनपी 2 = 183.94
मैं = 3: पी 3 = 0.0613, एनपी 3 = 61.31
मैं = 4: पी 4 = 0.0153, एनपी 4 = 15.33
मैं = 5: पी 5 = 0.0031, एनपी 5 = 3.07
मैं = 6: 17=14 + 3
मैं = 6: 18.39=15.33 + 3.07

मैं	प्रेक्षित आवृत्ति n i	पी मैं	अपेक्षित आवृत्ति एनपी I
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

आइए हम क्रांतिक क्षेत्र की सीमा निर्धारित करें। चूंकि पियर्सन आँकड़ा अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण के बीच अंतर को मापता है, इसका मनाया गया मूल्य K ओब्स जितना बड़ा होगा, मुख्य परिकल्पना के खिलाफ तर्क उतना ही मजबूत होगा।
इसलिए, इन आँकड़ों के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएँ हाथ का होता है :)