दो प्रशंसनीय यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ। दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ। नई सामग्री सीखना

पाठ का विषय: "यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटनाएँ"

पाठ्यचर्या में पाठ का स्थान: "कॉम्बिनेटरिक्स। यादृच्छिक घटनाएँ” पाठ 5/8

पाठ प्रकार: नए ज्ञान के निर्माण में सबक

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

o एक यादृच्छिक, निश्चित और असंभव घटना की परिभाषा का परिचय दें;

o प्रायिकता सिद्धांत की शर्तों को परिभाषित करने के लिए एक वास्तविक स्थिति की प्रक्रिया में सिखाना: विश्वसनीय, असंभव, समसंभाव्य घटनाएँ;

विकसित होना:

o तार्किक सोच के विकास को बढ़ावा देना,

o छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि,

o तुलना और विश्लेषण करने की क्षमता,

शैक्षिक:

o गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना,

o छात्रों की विश्वदृष्टि का विकास।

o बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का अधिकार;

शिक्षण विधियों:व्याख्यात्मक-चित्रणात्मक, प्रजनन, गणितीय श्रुतलेख।

यूएमसी:गणित: 6 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। संपादकीय, आदि के तहत, प्रकाशन गृह "एनलाइटनमेंट", 2008, गणित, 5-6: पुस्तक। शिक्षक के लिए / [, [ ,]. - एम .: शिक्षा, 2006।

उपदेशात्मक सामग्री: बोर्ड के पोस्टर।

साहित्य:

1. गणित: पाठ्यपुस्तक। 6 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान/, आदि]; ईडी। , ; रोस. अकाद विज्ञान, रोस। अकाद शिक्षा, प्रकाशन गृह "ज्ञानोदय"। - 10 वां संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2008.-302 पी .: बीमार। - (अकादमिक स्कूल पाठ्यपुस्तक)।

2. गणित, 5-बी: किताब। शिक्षक के लिए / [,]। - एम।: शिक्षा, 2006. - 191 पी। : बीमार।

4. सांख्यिकी, संयोजन और संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं को हल करना। 7-9 ग्रेड। / प्रमाणन।- COMP। . ईडी। 2, रेव. - वोल्गोग्राड: शिक्षक, 2006. -428 पी।

5. सूचना प्रौद्योगिकी का उपयोग कर गणित का पाठ। 5-10 ग्रेड। मेथडिकल - एक इलेक्ट्रॉनिक एप्लिकेशन / और अन्य के साथ एक मैनुअल। दूसरा संस्करण।, स्टीरियोटाइप। - एम .: ग्लोबस पब्लिशिंग हाउस, 2010. - 266 पी। (आधुनिक विद्यालय)।

6. आधुनिक विद्यालय में गणित पढ़ाना। दिशा-निर्देश. व्लादिवोस्तोक: पीआईपीपीसीआरओ पब्लिशिंग हाउस, 2003।

पाठ योजना

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. मौखिक कार्य।

III. नई सामग्री सीखना।

चतुर्थ। कौशल और क्षमताओं का गठन।

वी। पाठ के परिणाम।

वी. गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान

1. आयोजन क्षण

2. ज्ञान को अद्यतन करना

15*(-100)

मौखिक कार्य:

3. नई सामग्री की व्याख्या

शिक्षक: हमारा जीवन काफी हद तक दुर्घटनाओं से बना है। ऐसा एक विज्ञान है "संभाव्यता सिद्धांत"। इसकी भाषा के प्रयोग से अनेक परिघटनाओं और स्थितियों का वर्णन करना संभव है।

सिकंदर महान या दिमित्री डोंस्कॉय जैसे प्राचीन कमांडरों ने युद्ध की तैयारी करते हुए, न केवल योद्धाओं की वीरता और कौशल पर, बल्कि मौके पर भी भरोसा किया।

बहुत से लोग गणित से प्यार करते हैं शाश्वत सत्यदो बार दो हमेशा चार होते हैं, सम संख्याओं का योग सम होता है, एक आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं का गुणनफल होता है, और इसी तरह। समाधान में गलतियाँ।

वास्तविक जीवन इतना सरल और स्पष्ट नहीं है। कई घटनाओं के परिणामों की पहले से भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह निश्चित रूप से कहना असंभव है कि उछाला गया सिक्का किस तरफ गिरेगा, अगले साल पहली बर्फ कब गिरेगी, या शहर में कितने लोग अगले घंटे के भीतर फोन करना चाहेंगे। ऐसी अप्रत्याशित घटनाओं को कहा जाता है यादृच्छिक रूप से .

हालाँकि, मामले के अपने कानून भी हैं, जो यादृच्छिक घटनाओं की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ खुद को प्रकट करना शुरू करते हैं। यदि आप एक सिक्के को 1000 बार उछालते हैं, तो "ईगल" लगभग आधा समय बाहर गिरेगा, जिसे दो या दस टॉस के बारे में भी नहीं कहा जा सकता है। "लगभग" का मतलब आधा नहीं है। यह, एक नियम के रूप में, ऐसा हो भी सकता है और नहीं भी। कानून आम तौर पर निश्चित रूप से कुछ भी नहीं बताता है, लेकिन कुछ हद तक निश्चितता देता है कि कुछ यादृच्छिक घटना घटित होगी।

ऐसी नियमितताओं का अध्ययन गणित की एक विशेष शाखा द्वारा किया जाता है - सिद्धांत संभावना . इसके साथ, आप अधिक आत्मविश्वास से (लेकिन अभी भी निश्चित रूप से नहीं) पहली बर्फबारी की तारीख और फोन कॉल की संख्या दोनों की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी. यह हमें कई संभाव्य कानूनों को स्थापित करने का एक शानदार अवसर देता है अनुभवयादृच्छिक प्रयोगों को कई बार दोहराकर। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक साधारण सिक्का, एक पासा, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले, या यहां तक ​​​​कि ताश के पत्तों का एक डेक होगा। इनमें से प्रत्येक आइटम, एक तरह से या किसी अन्य, खेलों से जुड़ा हुआ है। तथ्य यह है कि यहां मामला सबसे अधिक बार प्रकट होता है। और पहले संभाव्य कार्य खिलाड़ियों के जीतने की संभावना का आकलन करने से जुड़े थे।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत जुए से दूर हो गया है, लेकिन उनके सहारा अभी भी मौके का सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय स्रोत हैं। रूले व्हील और डाई के साथ अभ्यास करके, आप सीखेंगे कि वास्तविक जीवन स्थितियों में यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना कैसे करें, जो आपको सफलता की संभावनाओं का आकलन करने, परिकल्पनाओं का परीक्षण करने और न केवल खेल और लॉटरी में इष्टतम निर्णय लेने की अनुमति देगा। .

संभाव्य समस्याओं को हल करते समय, बहुत सावधान रहें, प्रत्येक चरण को सही ठहराने का प्रयास करें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में इतने सारे विरोधाभास नहीं हैं। संभाव्यता सिद्धांत की तरह। और, शायद, इसका मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया से इसका संबंध है जिसमें हम रहते हैं।

कई खेलों में, एक पासे का उपयोग किया जाता है, जिसमें प्रत्येक तरफ 1 से 6 तक अलग-अलग अंक होते हैं। खिलाड़ी पासे को घुमाता है, देखता है कि कितने अंक गिरे हैं (उस तरफ जो शीर्ष पर स्थित है), और बनाता है चालों की उपयुक्त संख्या: 1,2,3,4,5, या 6. पासे को फेंकना एक अनुभव, एक प्रयोग, एक परीक्षण माना जा सकता है, और प्राप्त परिणाम को एक घटना माना जा सकता है। लोग आमतौर पर किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में बहुत रुचि रखते हैं। पासे को उछालने पर वे क्या भविष्यवाणियां कर सकते हैं?

पहली भविष्यवाणी: 1,2,3,4,5, या 6 में से कोई एक अंक निकल जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? जरूर आएगी।

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है विश्वसनीयप्रतिस्पर्धा।

दूसरी भविष्यवाणी : संख्या 7 गिर जाएगी। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? बेशक ऐसा नहीं होगा, यह असंभव है।

वह घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभवप्रतिस्पर्धा।

तीसरी भविष्यवाणी : नंबर 1 गिर जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? हम इस प्रश्न का पूर्ण निश्चित उत्तर देने में सक्षम नहीं हैं, क्योंकि अनुमानित घटना घटित हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है।

वे घटनाएँ जो समान परिस्थितियों में घटित हो भी सकती हैं और नहीं भी हो सकती हैं, कहलाती हैं यादृच्छिक रूप से.

उदाहरण। बॉक्स में 5 चॉकलेट एक नीले रंग के रैपर में और एक सफेद रंग में है। बॉक्स में देखे बिना, वे बेतरतीब ढंग से एक कैंडी निकालते हैं। क्या यह पहले से बताना संभव है कि यह किस रंग का होगा?

काम : नीचे दिए गए कार्यों में चर्चा की गई घटनाओं का वर्णन करें। निश्चित रूप से, असंभव या यादृच्छिक।

1. एक सिक्का पलटें। हथियारों का कोट दिखाई दिया। (यादृच्छिक रूप से)

2. शिकारी ने भेड़िये को गोली मार दी और मारा। (यादृच्छिक रूप से)

3. एक स्कूली लड़का हर शाम टहलने जाता है। सोमवार को सैर के दौरान उसकी मुलाकात तीन परिचितों से हुई। (यादृच्छिक रूप से)

4. आइए मानसिक रूप से निम्नलिखित प्रयोग करें: एक गिलास पानी को उल्टा कर दें। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं, बल्कि घर या कक्षा में किया जाए, तो पानी बहेगा। (विश्वसनीय)

5. तीन गोलियां निशाने पर लगीं।" पांच हिट हो चुकी हैं।" (असंभव)

6. पत्थर ऊपर फेंको। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

उदाहरणपेट्या ने गर्भ धारण किया प्राकृतिक संख्या. घटना इस प्रकार है:

ए) एक सम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम; (असंभव)

d) एक संख्या जो सम या विषम है, की कल्पना की जाती है। (विश्वसनीय)

वे घटनाएँ जिनमें दी गई शर्तों के तहत समान अवसर होते हैं, कहलाती हैं सुसज्जित करने योग्य.

यादृच्छिक घटनाएँ जिनकी समान संभावनाएँ होती हैं, कहलाती हैं समान रूप से संभव या सुसज्जित करने योग्य .

बोर्ड पर पोस्टर लगाएं।

मौखिक परीक्षा में, छात्र अपने सामने रखे गए टिकटों में से एक लेता है। किसी भी परीक्षा के टिकट लेने की संभावना समान है। पासा फेंकते समय 1 से 6 तक किसी भी अंक का नुकसान होने की संभावना समान रूप से संभावित है, साथ ही एक सिक्का फेंकते समय सिर या पूंछ भी।

लेकिन सभी घटनाएं नहीं हैं समान रूप से संभव. अलार्म घड़ी नहीं बजती, लाइट बल्ब जल जाता है, बस टूट जाती है, लेकिन सामान्य परिस्थितियों में ऐसी घटनाएं होती हैं संभावना नहीं है। यह अधिक संभावना है कि अलार्म घड़ी बजेगी, प्रकाश चालू होगा, बस जाएगी।

कुछ घटनाएं संभावनाअधिक होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे अधिक संभावना रखते हैं - विश्वसनीय के करीब। और दूसरों के पास कम संभावनाएं हैं, उनकी संभावना कम है - असंभव के करीब।

असंभव घटनाओं के घटित होने की कोई संभावना नहीं होती है, और कुछ घटनाओं के घटित होने की पूरी संभावना होती है, कुछ शर्तों के तहत वे निश्चित रूप से घटित होंगी।

उदाहरणपेट्या और कोल्या अपने जन्मदिन की तुलना करते हैं। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते; (यादृच्छिक रूप से)

बी) उनके जन्मदिन समान हैं; (यादृच्छिक रूप से)

d) दोनों जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ते हैं - नया साल(1 जनवरी) और रूसी स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक रूप से)

3. कौशल और क्षमताओं का निर्माण

पाठ्यपुस्तक संख्या 000 से कार्य। निम्नलिखित में से कौन सी यादृच्छिक घटनाएँ विश्वसनीय, संभव हैं:

क) कछुआ बोलना सीखेगा;

बी) स्टोव पर केतली में पानी उबलता है;

घ) आप लॉटरी में भाग लेकर जीतते हैं;

ई) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर नहीं जीतेंगे;

च) आप शतरंज का खेल हार जाएंगे;

छ) आप कल एक एलियन से मिलेंगे;

ज) अगले सप्ताह मौसम खराब होगा; i) आपने घंटी को दबाया, लेकिन घंटी नहीं बजाई; जे) आज - गुरुवार;

k) गुरुवार के बाद शुक्रवार होगा; m) क्या शुक्रवार के बाद गुरुवार होगा?

बक्सों में 2 लाल, 1 पीली और 4 हरी गेंदें हैं। बॉक्स से यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव, यादृच्छिक, निश्चित है:

ए: तीन हरी गेंदें खींची जाएंगी;

बी: तीन लाल गेंदें खींची जाएंगी;

सी: दो रंगों की गेंदें खींची जाएंगी;

डी: एक ही रंग की गेंदें खींची जाएंगी;

ई: खींची गई गेंदों में से एक नीली है;

एफ: खींचे गए लोगों में तीन रंगों की गेंदें होती हैं;

G: क्या खींची गई गेंदों के बीच दो पीली गेंदें हैं?

अपने आप का परीक्षण करें। (गणित श्रुतलेख)

1) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो निश्चित हैं, जो यादृच्छिक हैं:

फुटबॉल मैच "स्पार्टक" - "डायनमो" ड्रॉ में समाप्त होगा (यादृच्छिक रूप से)

आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतेंगे ( विश्वसनीय)

आधी रात को बर्फ़ पड़ेगी, और 24 घंटों के बाद सूरज चमकेगा (असंभव)

· कल गणित की परीक्षा होगी। (यादृच्छिक रूप से)

· आप संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (असंभव)

· आप रूस के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (यादृच्छिक रूप से)

2) आपने एक स्टोर में एक टीवी खरीदा, जिसके लिए निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो निश्चित है:

· टीवी एक साल के भीतर नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक रूप से)

टीवी दो साल में नहीं टूटेगा . (यादृच्छिक रूप से)

· दो साल के भीतर आपको टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना होगा। (विश्वसनीय)

टीवी तीसरे साल में टूट जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

3) 15 यात्रियों को ले जाने वाली एक बस में 10 स्टॉप बनाने हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो निश्चित है:

· सभी यात्री अलग-अलग स्टॉप पर बस से उतरेंगे। (असंभव)

सभी यात्री एक ही स्टॉप पर उतरेंगे। (यादृच्छिक रूप से)

हर पड़ाव पर कम से कम कोई तो उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

एक पड़ाव होगा जिस पर कोई नहीं उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

सभी स्टॉप पर सम संख्या में यात्री उतरेंगे। (असंभव)

सभी स्टॉप पर विषम संख्या में यात्री उतरेंगे। (असंभव)

पाठ सारांश

छात्रों के लिए प्रश्न:

यादृच्छिक घटनाओं को क्या कहा जाता है?

किन घटनाओं को समसंभाव्य कहा जाता है?

किन घटनाओं को विश्वसनीय माना जाता है? असंभव?

किन घटनाओं को अधिक संभावित माना जाता है? संभावना कम?

होम वर्क : खंड 9.3

संख्या 000। कुछ निश्चित, असंभव घटनाओं के साथ-साथ ऐसी घटनाओं के तीन उदाहरणों के बारे में सोचें जिन्हें जरूरी नहीं कहा जा सकता है।

902. एक बॉक्स में 10 लाल, 1 हरा और 2 नीले रंग के पेन हैं। बॉक्स में से दो पेन यादृच्छया निकाले जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, निश्चित:

ए: दो लाल हैंडल निकाले जाएंगे; बी: दो हरे रंग के हैंडल निकाले जाएंगे; सी: दो नीले हैंडल निकाले जाएंगे; डी: अलग-अलग रंगों के दो हैंडल निकाले जाएंगे;

E: क्या दो पेंसिलें निकाली जाएंगी? 03. ईगोर और डेनिला सहमत हुए: यदि टर्नटेबल तीर (चित्र। 205) एक सफेद क्षेत्र पर रुक जाता है, तो ईगोर बाड़ को पेंट करेगा, और यदि नीले क्षेत्र पर - दानिला। कौन सा लड़का बाड़ को रंगने की अधिक संभावना रखता है?

पाठ का उद्देश्य:

1. कुछ असंभव और यादृच्छिक घटनाओं की अवधारणा का परिचय दें।
2. घटनाओं के प्रकार को निर्धारित करने के लिए ज्ञान और कौशल का निर्माण करना।
3. विकास: कम्प्यूटेशनल कौशल; ध्यान; विश्लेषण करने, तर्क करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता; समूह कार्य कौशल।

कक्षाओं के दौरान

1) संगठनात्मक क्षण।

इंटरएक्टिव व्यायाम: बच्चों को उदाहरणों को हल करना चाहिए और शब्दों को समझना चाहिए, परिणामों के अनुसार उन्हें समूहों (विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक) में विभाजित किया जाता है और पाठ का विषय निर्धारित किया जाता है।

1 कार्ड।

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 कार्ड

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 कार्ड

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) अध्ययन किए गए ज्ञान की प्राप्ति।

खेल "क्लैप": एक सम संख्या - ताली, एक विषम संख्या - खड़े हो जाओ।

कार्य: संख्याओं की दी गई श्रृंखला से 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... सम और विषम का निर्धारण करें।

3) एक नया विषय सीखना।

आपके पास टेबल पर क्यूब्स हैं। आइए उन पर करीब से नज़र डालें। क्या देखती है?

पासे का उपयोग कहाँ किया जाता है? कैसे?

सामूहिक कार्य।

एक प्रयोग का संचालन।

पासा पलटते समय आप क्या भविष्यवाणियां कर सकते हैं?

पहली भविष्यवाणी: 1,2,3,4,5 या 6 में से कोई एक संख्या निकल जाएगी।

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है विश्वसनीय.

दूसरी भविष्यवाणी: 7 नंबर आएगा।

क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना घटित होगी या नहीं?

यह नामुमकिन है!

वह घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभव।

तीसरी भविष्यवाणी: नंबर 1 आएगा।

क्या यह घटना होगी?

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक रूप से.

4) अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

I. घटना के प्रकार का निर्धारण करें

-कल बर्फ़ लाल होगी।

कल भारी हिमपात होगा।

कल, हालांकि जुलाई है, लेकिन हिमपात होगा।

कल, हालांकि जुलाई है, बर्फ़ नहीं पड़ेगी।

कल बर्फ़ पड़ेगी और बर्फ़ीला तूफ़ान आएगा।

द्वितीय. इस वाक्य में एक शब्द इस प्रकार जोड़ें कि घटना असंभव हो जाए।

कोल्या ने इतिहास में ए प्राप्त किया।

साशा ने टेस्ट में एक भी टास्क पूरा नहीं किया।

ओक्साना मिखाइलोव्ना (इतिहास शिक्षक) नए विषय की व्याख्या करेंगे।

III. असंभव, यादृच्छिक और कुछ निश्चित घटनाओं के उदाहरण दीजिए।

चतुर्थ। पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें (समूहों में)।

नीचे दिए गए कार्यों में चर्चा की गई घटनाओं को निश्चित, असंभव या यादृच्छिक के रूप में वर्णित करें।

नंबर 959. पेट्या ने एक प्राकृतिक संख्या की कल्पना की। घटना इस प्रकार है:

ए) एक सम संख्या की कल्पना की जाती है;

बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है;

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम;

d) एक संख्या जो सम या विषम है, की कल्पना की जाती है।

नंबर 960। आपने इस पाठ्यपुस्तक को किसी भी पृष्ठ पर खोला और पहली संज्ञा चुनी जो सामने आई। घटना इस प्रकार है:

क) चुने हुए शब्द की वर्तनी में एक स्वर है;

बी) चुने हुए शब्द की वर्तनी में "ओ" अक्षर है;

ग) चुने हुए शब्द की वर्तनी में कोई स्वर नहीं हैं;

डी) चयनित शब्द की वर्तनी में एक नरम संकेत है।

#961, #964 हल करें।

हल किए गए कार्यों की चर्चा।

5) प्रतिबिंब।

1. पाठ में आप किन घटनाओं से मिले?

2. इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना निश्चित है, कौन सी असंभव है, और कौन सी यादृच्छिक है:

क) गर्मी की छुट्टियां नहीं होंगी;

बी) सैंडविच मक्खन की तरफ नीचे गिर जाएगा;

ग) किसी दिन स्कूल वर्ष समाप्त हो जाएगा।

6) गृहकार्य:

दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ।

उनमें से एक को ड्रा करें।

संभाव्यता सिद्धांत, गणित की किसी भी शाखा की तरह, एक निश्चित श्रेणी की अवधारणाओं के साथ काम करता है। संभाव्यता सिद्धांत की अधिकांश अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है, लेकिन कुछ को प्राथमिक के रूप में लिया जाता है, परिभाषित नहीं किया जाता है, जैसे कि ज्यामिति में एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान। संभाव्यता सिद्धांत की प्राथमिक अवधारणा एक घटना है। एक घटना कुछ ऐसी होती है जिसके बारे में एक निश्चित समय के बाद, दोनों में से एक और केवल एक ही कहा जा सकता है:

• · हाँ, हुआ।
• · नहीं, ऐसा नहीं हुआ।

उदाहरण के लिए, मेरे पास लॉटरी टिकट है। लॉटरी ड्रा के परिणामों के प्रकाशन के बाद, वह घटना जो मुझे रूचि देती है - एक हजार रूबल जीतना या तो होता है या नहीं होता है। कोई भी घटना एक परीक्षण (या अनुभव) के परिणामस्वरूप होती है। परीक्षण (या अनुभव) के तहत उन स्थितियों को समझें जिनके परिणामस्वरूप कोई घटना घटती है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक परीक्षा है, और उस पर "हथियारों का कोट" का दिखना एक घटना है। घटना को आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षरों से दर्शाया जाता है: ए, बी, सी, .... भौतिक दुनिया में घटनाओं को तीन श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है - निश्चित, असंभव और यादृच्छिक।

एक निश्चित घटना वह है जो होने के लिए पहले से जानी जाती है। इसे W अक्षर से दर्शाया जाता है। इस प्रकार, एक साधारण पासा फेंकते समय छह से अधिक अंक विश्वसनीय नहीं होते हैं, केवल सफेद गेंदों वाले कलश से निकाले जाने पर एक सफेद गेंद की उपस्थिति आदि।

एक असंभव घटना एक ऐसी घटना है जो पहले से ज्ञात है कि ऐसा नहीं होगा। इसे ई अक्षर से दर्शाया जाता है। असंभव घटनाओं के उदाहरण ताश के पत्तों के एक साधारण डेक से चार से अधिक इक्के खींच रहे हैं, केवल सफेद और काली गेंदों वाले कलश से लाल गेंद का दिखना आदि।

एक यादृच्छिक घटना एक ऐसी घटना है जो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकती है या नहीं भी हो सकती है। घटनाओं ए और बी को असंगत कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना की संभावना को बाहर करती है। तो एक पासा फेंकते समय किसी भी संभावित अंक की उपस्थिति (घटना ए) दूसरी संख्या (घटना बी) की उपस्थिति के साथ असंगत है। एक सम संख्या को रोल करना एक विषम संख्या को रोल करने के साथ असंगत है। इसके विपरीत, अंकों की एक सम संख्या (घटना ए) और तीन (ईवेंट बी) से विभाज्य कई अंक असंगत नहीं होंगे, क्योंकि छह बिंदुओं के नुकसान का मतलब है कि घटना ए और घटना बी दोनों की घटना है, इसलिए एक की घटना उनमें से दूसरे की घटना को बाहर नहीं करता है। घटनाओं पर संचालन किया जा सकता है। दो घटनाओं का एक संघ C=AUB एक घटना C है जो केवल तभी घटित होती है जब इनमें से कम से कम एक घटना A और B घटित होती है। दो घटनाओं का प्रतिच्छेदन D=A ?? बी एक घटना है जो तब होती है जब और केवल दोनों घटनाएं ए और बी होती हैं।

हमारे द्वारा देखी गई घटनाओं (घटनाओं) को निम्नलिखित तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक।

विश्वसनीयएक घटना को कॉल करें जो निश्चित रूप से घटित होगी यदि शर्तों का एक निश्चित सेट एस लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी बर्तन में सामान्य वायुमंडलीय दबाव और 20 डिग्री के तापमान पर पानी होता है, तो घटना "पोत में पानी तरल अवस्था में है " खास बात यह है। इस उदाहरण में, निर्दिष्ट वायुमंडलीय दबाव और पानी का तापमान शर्तों के सेट एस का गठन करता है।

असंभवएक घटना को कॉल करें जो निश्चित रूप से नहीं होगी यदि शर्तों के सेट एस को लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, घटना "पोत में पानी एक ठोस अवस्था में है" निश्चित रूप से नहीं होगा यदि पिछले उदाहरण की शर्तों का सेट लागू किया गया है।

यादृच्छिक रूप सेएक घटना को एक घटना कहा जाता है, जो शर्तों के एक सेट के कार्यान्वयन के तहत एस, या तो हो सकता है या नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का फेंका जाता है, तो वह गिर सकता है ताकि या तो हथियारों का एक कोट या एक शिलालेख शीर्ष पर हो। इसलिए, घटना "जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो "हथियारों का एक कोट" गिर जाता है, यादृच्छिक है। प्रत्येक यादृच्छिक घटना, विशेष रूप से "हथियारों के कोट" का गिरना, बहुत सारे यादृच्छिक कारणों की कार्रवाई का परिणाम है (हमारे उदाहरण में: वह बल जिसके साथ सिक्का फेंका जाता है, सिक्के का आकार, और कई अन्य) ) परिणाम पर इन सभी कारणों के प्रभाव को ध्यान में रखना असंभव है, क्योंकि उनकी संख्या बहुत बड़ी है और उनकी कार्रवाई के नियम अज्ञात हैं। इसलिए, संभाव्यता का सिद्धांत खुद को भविष्यवाणी करने का कार्य निर्धारित नहीं करता है कि कोई घटना घटित होगी या नहीं - यह बस ऐसा नहीं कर सकता है।

स्थिति अलग है अगर हम यादृच्छिक घटनाओं पर विचार करते हैं जिन्हें बार-बार एक ही स्थिति एस के तहत देखा जा सकता है, यानी, अगर हम बड़े पैमाने पर सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं। यह पता चला है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में सजातीय यादृच्छिक घटनाएं, उनकी विशिष्ट प्रकृति की परवाह किए बिना, कुछ कानूनों का पालन करती हैं, अर्थात् संभाव्य कानून। यह संभाव्यता का सिद्धांत है जो इन नियमितताओं की स्थापना से संबंधित है।

इस प्रकार, संभाव्यता सिद्धांत का विषय बड़े पैमाने पर सजातीय यादृच्छिक घटनाओं की संभाव्यता नियमितताओं का अध्ययन है।

प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की विभिन्न शाखाओं में संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। संभाव्यता का सिद्धांत गणितीय और अनुप्रयुक्त आँकड़ों को प्रमाणित करने का कार्य भी करता है।

यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार. घटनाओं को कहा जाता है असंगतयदि उनमें से एक की घटना उसी परीक्षण में अन्य घटनाओं की घटना को शामिल नहीं करती है।

उदाहरण। एक सिक्का फेंका जाता है। "हथियारों का कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाएँ "हथियारों का एक कोट दिखाई दिया" और "एक शिलालेख दिखाई दिया" असंगत हैं।

कई आयोजन फॉर्म पूरा समूह, यदि उनमें से कम से कम एक परीक्षण के परिणामस्वरूप प्रकट होता है। विशेष रूप से, यदि एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाएँ जोड़ीदार असंगत हैं, तो परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक और केवल एक घटना दिखाई देगी। यह विशेष मामला हमारे लिए सबसे बड़ी दिलचस्पी का है, क्योंकि इसका उपयोग नीचे किया जाएगा।

उदाहरण 2. नकद और कपड़ों की लॉटरी के दो टिकट खरीदे गए। निम्नलिखित घटनाओं में से एक और केवल एक ही घटना होगी: "जीत पहले टिकट पर गिर गई और दूसरे पर नहीं गिर गई", "जीत पहले टिकट पर नहीं गिर गई और दूसरे पर गिर गई", "जीत गिर गई दोनों टिकटों पर", "जीत दोनों टिकटों पर नहीं जीती"। गिर गया।" ये घटनाएँ जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

उदाहरण 3. निशानेबाज ने लक्ष्य पर गोली चलाई। निम्नलिखित दो घटनाओं में से एक होना तय है: हिट, मिस। ये दो अलग-अलग घटनाएं एक पूरा समूह बनाती हैं।

घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभवयदि यह मानने का कारण है कि न तो दूसरे से अधिक संभव है।

उदाहरण 4. एक सिक्के को उछालने पर "हथियारों का कोट" और एक शिलालेख की उपस्थिति समान रूप से संभव घटनाएँ हैं। वास्तव में, यह माना जाता है कि सिक्का एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित बेलनाकार आकार है, और एक सिक्के की उपस्थिति सिक्के के एक या दूसरे पक्ष के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों में स्व-पदनाम: ए, बी, सी, .. ए 1, ए 2 ..

विपरीत दो ही संभव हैं इसलिए-I, एक पूरा समूह बना रहा है। यदि दो में से एक विपरीत घटनाओं को ए द्वारा दर्शाया जाता है, फिर अन्य पदनाम ए होते हैं।

उदाहरण 5. लक्ष्य पर फायरिंग करते समय हिट एंड मिस - विपरीत लिंग। अपना।

1.1. कॉम्बिनेटरिक्स से कुछ जानकारी

1.1.1. आवास

वस्तुओं के एक निश्चित समूह के चयन और स्थान से संबंधित सरलतम अवधारणाओं पर विचार करें।
संभाव्य समस्याओं को हल करते समय इन क्रियाओं को करने के तरीकों की संख्या की गणना अक्सर की जाती है।
परिभाषा. से आवास एनतत्वों द्वारा क (क ≤एन) का कोई क्रमबद्ध उपसमुच्चय है कएक सेट के तत्वों से मिलकर बनता है एनविभिन्न तत्व।
उदाहरण।संख्याओं के निम्नलिखित क्रम समुच्चय के 3 तत्वों (1;2;3) से 2 तत्वों की व्यवस्था हैं: 12, 13, 23, 21, 31, 32।
ध्यान दें कि प्लेसमेंट उनके घटक तत्वों और उनकी संरचना के क्रम में भिन्न होते हैं। प्लेसमेंट 12 और 21 में समान संख्याएं हैं, लेकिन उनका क्रम अलग है। इसलिए, इन प्लेसमेंट को अलग माना जाता है।
से विभिन्न प्लेसमेंट की संख्या एनतत्वों द्वारा कसूत्र द्वारा निरूपित और गणना की गई:
,
कहाँ पे एन! = 1∙2∙...∙(एन - 1)∙एन(पढ़ना " एनफैक्टोरियल)।
संख्या दो अंकों की संख्या, जिसे संख्या 1, 2, 3 से बनाया जा सकता है, बशर्ते कि एक भी अंक को इसके बराबर दोहराया न जाए: .

1.1.2 क्रमपरिवर्तन

परिभाषा. से क्रमपरिवर्तन एनतत्वों को ऐसे प्लेसमेंट कहा जाता है एनतत्व जो केवल तत्वों की व्यवस्था में भिन्न होते हैं।
से क्रमपरिवर्तन की संख्या एनतत्वों पी नसूत्र द्वारा गणना: पी न=एन!
उदाहरण। 5 व्यक्ति कितने प्रकार से लाइन अप कर सकते हैं? तरीकों की संख्या 5 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।
पी 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
परिभाषा. अगर बीच में एनतत्वों कसमान, फिर इनका क्रमपरिवर्तन एनतत्वों को दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन कहा जाता है।
उदाहरण।मान लीजिए कि 6 पुस्तकों में से 2 समान हैं। शेल्फ पर सभी पुस्तकों की कोई भी व्यवस्था दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन है।
दोहराव के साथ विभिन्न क्रमपरिवर्तन की संख्या (में से एनतत्व, जिनमें से कसमरूप) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: .
हमारे उदाहरण में, पुस्तकों को एक शेल्फ पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है: .

1.1.3. युग्म

परिभाषा. से संयोजन एनतत्वों द्वारा कऐसे प्लेसमेंट कहलाते हैं एनतत्वों द्वारा क, जो कम से कम एक तत्व द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं।
के विभिन्न संयोजनों की संख्या एनतत्वों द्वारा कसूत्र द्वारा निरूपित और परिकलित: .
परिभाषा के अनुसार, 0!=1.
संयोजनों में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1.
2.
3.
4.
उदाहरण।विभिन्न रंगों के 5 फूल हैं। एक गुलदस्ता के लिए, 3 फूलों का चयन किया जाता है। 5 में से 3 फूलों के विभिन्न गुलदस्ते की संख्या है: .

1.2. यादृच्छिक घटनाएं

1.2.1. घटनाक्रम

प्राकृतिक विज्ञानों में वास्तविकता की अनुभूति परीक्षणों (प्रयोग, अवलोकन, अनुभव) के परिणामस्वरूप होती है।
परीक्षा या अनुभव शर्तों के कुछ विशिष्ट सेट का कार्यान्वयन है जिसे मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है।
यादृच्छिक रूप से एक घटना कहा जाता है जो किसी परीक्षण (अनुभव) के परिणामस्वरूप हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
इस प्रकार, घटना को एक परीक्षण का परिणाम माना जाता है।
उदाहरण।सिक्का उछालना एक परीक्षा है। फेंके जाने पर चील का दिखना एक घटना है।
जिन घटनाओं का हम निरीक्षण करते हैं, वे उनके घटित होने की संभावना और उनके संबंधों की प्रकृति में भिन्न होती हैं।
घटना कहा जाता है विश्वसनीय यदि परीक्षण के परिणामस्वरूप ऐसा होना निश्चित है।
उदाहरण।परीक्षा में सकारात्मक या नकारात्मक अंक प्राप्त करने वाला छात्र एक निश्चित घटना है यदि परीक्षा सामान्य नियमों के अनुसार आगे बढ़ती है।
घटना कहा जाता है असंभव यदि यह इस परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है।
उदाहरण।केवल रंगीन (गैर-सफेद) गेंदों वाले कलश से एक सफेद गेंद निकालना एक असंभव घटना है। ध्यान दें कि प्रयोग की अन्य शर्तों के तहत, एक सफेद गेंद की उपस्थिति को बाहर नहीं किया जाता है; इस प्रकार, यह घटना केवल हमारे अनुभव की स्थितियों में असंभव है।
इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाओं को बड़े लैटिन द्वारा दर्शाया जाएगा अक्षर ए, बी, सी... एक निश्चित घटना को अक्षर से निरूपित किया जाएगा, द्वारा एक असंभव घटना।
दो या दो से अधिक घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभव किसी दिए गए परीक्षण में, यदि यह मानने का कारण है कि इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में अधिक या कम होने की संभावना नहीं है।
उदाहरण।एक पासे की एक फेंक के साथ, 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक की उपस्थिति सभी समान रूप से संभव घटनाएं हैं। बेशक, यह माना जाता है कि पासा एक सजातीय सामग्री से बना है और इसका एक नियमित आकार है।
दो घटनाओं को कहा जाता है असंगत किसी दिए गए परीक्षण में, यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को शामिल नहीं करती है, और संयुक्त अन्यथा।
उदाहरण।बॉक्स में मानक और गैर-मानक भाग होते हैं। आइए एक विवरण लें। एक मानक भाग की उपस्थिति एक गैर-मानक भाग की उपस्थिति को बाहर करती है। ये घटनाएं असंगत हैं।
कई आयोजन फॉर्म घटनाओं का पूरा समूह इस परीक्षण में, यदि इस परीक्षण के परिणामस्वरूप उनमें से कम से कम एक अनिवार्य रूप से होता है।
उदाहरण।उदाहरण की घटनाएँ समान रूप से संभव और जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।
दो असंबद्ध घटनाएँ जो किसी दिए गए परीक्षण में घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, कहलाती हैं विपरीत घटनाएं.
यदि उनमें से एक को द्वारा निरूपित किया जाता है ए, तो दूसरे को आमतौर पर के माध्यम से निरूपित किया जाता है (यह "नहीं" पढ़ता है ए»).
उदाहरण।एक लक्ष्य पर एक शॉट के साथ मारना और गायब होना विपरीत घटनाएँ हैं।

1.2.2. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

घटना की संभावना इसकी घटना की संभावना का एक संख्यात्मक उपाय है।
आयोजन लेकिनबुलाया अनुकूल प्रतिस्पर्धा मेंअगर जब भी कोई घटना घटती है लेकिन, घटना घटित होती है में.
घटनाक्रम लेकिन 1 , लेकिन 2 , ..., लेकिनएनप्रपत्र केस आरेख , यदि वे:
1) समान रूप से संभव हैं;
2) जोड़ीवार असंगत हैं;
3) एक पूरा समूह बनाएं।
मामलों की योजना में (और केवल इस योजना में) संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा होती है पी(ए) विकास लेकिन. यहां, समान रूप से संभव और जोड़ीवार असंगत घटनाओं के चयनित पूर्ण समूह से संबंधित प्रत्येक घटना को केस कहा जाता है।
अगर एनयोजना में सभी मामलों की संख्या है, और एम- घटना के अनुकूल मामलों की संख्या लेकिन, फिर घटना की संभावना लेकिनसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है:

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:
1. प्रायिकता निश्चित घटनाएक के बराबर है।
वास्तव में, यदि कोई घटना निश्चित है, तो घटनाओं की योजना में प्रत्येक घटना घटना का पक्ष लेती है। इस मामले में एम = एनऔर इसलिए

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।
वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो मामलों की योजना में से कोई भी मामला घटना के पक्ष में नहीं है। इसीलिए एम= 0 और, इसलिए,

एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और एक के बीच एक सकारात्मक संख्या है।
वास्तव में, एक यादृच्छिक घटना मामलों की योजना में मामलों की कुल संख्या के केवल एक अंश के पक्ष में है। इसलिए 0<एम<एन, जिसका अर्थ है 0<एम/एन<1 и, следовательно, 0 < पी (ए) < 1.
अतः, किसी भी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
0 ≤ पी(ए) ≤ 1.
वर्तमान में, प्रायिकता के गुणों को ए.एन. द्वारा तैयार किए गए स्वयंसिद्धों के रूप में परिभाषित किया गया है। कोलमोगोरोव.
संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के मुख्य लाभों में से एक घटना की संभावना की सीधे गणना करने की क्षमता है, अर्थात। प्रयोगों का सहारा लिए बिना, जिन्हें तार्किक तर्क द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना की समस्याएं

कार्य 1.1. एक पासे के एक रोल में सम अंक (घटना A) प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
समाधान. घटनाओं पर विचार करें लेकिनमैं- छोड़ दिया या हार मान लिया मैंअंक, मैं= 1, 2,…, 6. जाहिर है, ये घटनाएं मामलों का एक पैटर्न बनाती हैं। फिर सभी मामलों की संख्या एन= 6. अंकों की एक सम संख्या को मामलों द्वारा पसंद किया जाता है लेकिन 2 , लेकिन 4 , लेकिन 6, अर्थात् एम= 3. तब .
कार्य 1.2. एक कलश में 5 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। गेंदों को अच्छी तरह मिलाया जाता है और फिर यादृच्छिक रूप से 1 गेंद निकाल ली जाती है। खींची गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता क्या है?
समाधान. कुल 15 मामले हैं, जो मामलों का पैटर्न बनाते हैं। और अपेक्षित घटना लेकिन- एक सफेद गेंद की उपस्थिति उनमें से 5 का पक्षधर है, इसलिए .
कार्य 1.3. बच्चा वर्णमाला के छह अक्षरों के साथ खेलता है: ए, ए, ई, के, पी, टी। इस संभावना को खोजें कि वह यादृच्छिक रूप से शब्द कैरिज (घटना ए) जोड़ सकता है।
समाधान. निर्णय इस तथ्य से जटिल है कि अक्षरों में समान हैं - दो अक्षर "ए"। इसलिए, इस परीक्षण में सभी संभावित मामलों की संख्या 6 अक्षरों की पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है:
.
ये मामले समान रूप से संभव हैं, जोड़ीवार असंगत हैं, और घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, अर्थात। एक केस आरेख बनाएं। केवल एक मौका घटना के पक्ष में है लेकिन. इसीलिए
.
कार्य 1.4. तान्या और वान्या 10 लोगों की कंपनी में नया साल मनाने के लिए तैयार हो गए। वे दोनों वास्तव में एक दूसरे के बगल में बैठना चाहते थे। क्या संभावना है कि उनकी इच्छा पूरी हो जाएगी यदि यह उनके दोस्तों के बीच स्थानों को बहुत से वितरित करने की प्रथा है?
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना "तान्या और वान्या की इच्छा की पूर्ति।" 10 की एक मेज पर 10 लोग बैठ सकते हैं! विभिन्न तरीके। इनमें से कितने एन= 10! क्या तान्या और वान्या के लिए समान रूप से संभव तरीके अनुकूल हैं? साथ-साथ बैठे हुए तान्या और वान्या 20 अलग-अलग पोजीशन ले सकते हैं। वहीं, उनके आठ दोस्त टेबल 8 पर बैठ सकते हैं! अलग तरीके, तो एम= 20∙8!. फलस्वरूप,
.
कार्य 1.5. 5 महिलाओं और 20 पुरुषों का एक समूह तीन प्रतिनिधियों का चयन करता है। यह मानते हुए कि उपस्थित लोगों में से प्रत्येक के समान रूप से चुने जाने की संभावना है, दो महिलाओं और एक पुरुष के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. परीक्षण के समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें 25 लोगों में से तीन प्रतिनिधियों को चुना जा सकता है, अर्थात। . आइए अब हम अनुकूल मामलों की संख्या की गणना करें, अर्थात्। ब्याज की घटना होने की संख्या। पुरुष प्रतिनिधि को बीस तरीकों से चुना जा सकता है। वहीं, शेष दो प्रतिनिधि महिलाएं होनी चाहिए, और आप पांच में से दो महिलाओं को चुन सकते हैं। फलस्वरूप, । इसीलिए
.
समस्या 1.6।चार गेंदें चार छेदों में बेतरतीब ढंग से बिखरी हुई हैं, प्रत्येक गेंद समान संभावना के साथ एक या दूसरे छेद में गिरती है और दूसरों से स्वतंत्र रूप से (एक ही छेद में कई गेंदों को प्राप्त करने में कोई बाधा नहीं है)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक छेद में तीन गेंदें होंगी, एक - दूसरे में, और अन्य दो छेदों में कोई गेंद नहीं होगी।
समाधान। मामलों की कुल संख्या एन= 4 4। तरीकों की संख्या जिसमें एक छेद चुना जा सकता है, जहां तीन गेंदें होंगी, . उन तरीकों की संख्या जिनमें आप उस छेद को चुन सकते हैं जहां एक गेंद होगी, . पहले होल में डालने के लिए आप चार गेंदों में से तीन गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या, . अनुकूल मामलों की कुल संख्या। घटना की संभावना:
समस्या 1.7.बॉक्स में 10 समान गेंदें हैं, जिन पर संख्या 1, 2, ..., 10 अंकित हैं। भाग्य के लिए छह गेंदें निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में निम्नलिखित होंगे: a) गेंद नंबर 1; बी) गेंद # 1 और # 2।
समाधान. ए) परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या दस में से छह गेंदों को निकालने के तरीकों की संख्या के बराबर है, अर्थात।
आइए उस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या ज्ञात करें जिसमें हम रुचि रखते हैं: चयनित छह गेंदों में गेंद नंबर 1 है और इसके परिणामस्वरूप, शेष पांच गेंदों में अलग-अलग संख्याएं होती हैं। ऐसे परिणामों की संख्या स्पष्ट रूप से उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें शेष नौ में से पांच गेंदों का चयन किया जा सकता है, अर्थात।
वांछित संभावना संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या के लिए विचाराधीन घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है:
बी) हमारे लिए रुचि की घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या (चयनित गेंदों में गेंद नंबर 1 और नंबर 2 हैं, इसलिए, चार गेंदों की अलग-अलग संख्याएं हैं) उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें चार गेंदें हो सकती हैं शेष आठ में से निकाला गया, अर्थात् वांछित संभावना

1.2.3. सांख्यिकीय संभावना

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग तब किया जाता है जब किसी प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित नहीं होते हैं।
सापेक्ष घटना आवृत्ति लेकिनसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है:
,
कहाँ पे एमपरीक्षणों की संख्या है जिसमें घटना लेकिनयह आ गया है एनकिए गए परीक्षणों की कुल संख्या है।
जे. बर्नौली ने साबित किया कि प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति व्यावहारिक रूप से कुछ स्थिर संख्या से मनमाने ढंग से भिन्न होगी। यह पता चला कि यह स्थिरांक किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। इसलिए, स्वाभाविक रूप से, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एक घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति को पहले से शुरू की गई संभावना के विपरीत, सांख्यिकीय संभावना कहा जाता है।
उदाहरण 1.8. आप एक झील में मछलियों की संख्या का अनुमान कैसे लगा सकते हैं?
झील में चलो एक्समछली। हम नेटवर्क फेंकते हैं और, मान लें, हम इसमें पाते हैं एनमछली। हम उनमें से प्रत्येक को चिह्नित करते हैं और इसे वापस जारी करते हैं। कुछ दिनों बाद उसी मौसम में और उसी जगह हमने वही जाल डाला। मान लीजिए हमें इसमें m मछली मिलती है, जिनमें से कलेबल किया हुआ। घटना होने दें लेकिन- "पकड़ी गई मछली का लेबल लगाया जाता है।" फिर सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा के अनुसार।
लेकिन अगर झील में एक्समछली और हमने इसे जारी किया एनलेबल, फिर।
इसलिये आर * (लेकिन) » आर(लेकिन), फिर ।

1.2.4. घटनाओं पर संचालन। जोड़ प्रमेय

योग, या कई घटनाओं का एक संघ, एक ऐसी घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना (एक ही परीक्षण में) की घटना होती है।
योग लेकिन 1 + लेकिन 2 + … + लेकिनएनइस तरह निरूपित:
या .
उदाहरण. दो पासे फेंके जाते हैं। घटना होने दें लेकिन 1 पासे पर रोलिंग 4 अंक होते हैं, और घटना में- एक और पासे पर 5 अंक के रोल में। घटनाक्रम लेकिनऔर मेंसंयुक्त। इसलिए घटना लेकिन +मेंपहले पासे पर 4 अंक लुढ़कते हैं, या दूसरे पासे पर 5 अंक, या पहले पासे पर 4 अंक और एक ही समय में दूसरे पासे पर 5 अंक होते हैं।
उदाहरण।आयोजन लेकिन- 1 ऋण पर जीत, घटना में- 2 ऋणों पर जीतें। फिर घटना ए+बी- कम से कम एक ऋण जीतना (संभवतः एक बार में दो)।
कामया कई घटनाओं का प्रतिच्छेदन एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं (एक ही परीक्षण में) की संयुक्त घटना होती है।
काम मेंआयोजन लेकिन 1 , लेकिन 2 , …, लेकिनएनइस तरह निरूपित:
.
उदाहरण।घटनाक्रम लेकिनऔर मेंसंस्थान में प्रवेश पर क्रमशः I और II राउंड के सफल पारित होने में शामिल हैं। फिर घटना लेकिन×बीदोनों राउंड के सफल समापन में शामिल हैं।
घटनाओं के योग और गुणन की अवधारणाओं की स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या होती है। घटना होने दें लेकिनक्षेत्र में एक बिंदु की हिट है लेकिन, और घटना में- क्षेत्र में एक बिंदु मार में. फिर घटना ए+बीइन क्षेत्रों के मिलन में एक बिंदु का प्रहार होता है (चित्र 2.1), और घटना लेकिनमेंइन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन में एक बिंदु का प्रहार होता है (चित्र 2.2)।

चावल। 2.1 अंजीर। 2.2
प्रमेय. अगर घटनाएं एक मैं(मैं = 1, 2, …, एन) जोड़ीवार असंगत हैं, तो घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:
.
रहने दो लेकिनऔर Ā - विपरीत घटनाएं, यानी। ए + ए= , जहाँ Ω एक निश्चित घटना है। जोड़ प्रमेय से यह इस प्रकार है कि
पी (Ω) = आर(लेकिन) + आर(Ā ) = 1, इसलिए
आर(Ā ) = 1 – आर(लेकिन).
अगर घटनाएं लेकिन 1 और लेकिन 2 संयुक्त हैं, तो दो संयुक्त घटनाओं के योग की प्रायिकता बराबर है:
आर(लेकिन 1 + लेकिन 2) = आर(लेकिन 1) + आर(लेकिन 2) - पी ( लेकिन 1× लेकिन 2).
संभाव्यता जोड़ प्रमेय जटिल घटनाओं की घटना की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना से आगे बढ़ना संभव बनाता है।
कार्य 1.8. शूटर ने निशाने पर एक शॉट फायर किया। 10 पॉइंट्स के नॉकआउट होने की प्रायिकता (इवेंट .) लेकिन), 9 अंक (घटना) में) और 8 अंक (घटना) से) क्रमशः 0.11 के बराबर हैं; 0.23; 0.17. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक शॉट के साथ शूटर 8 अंक से कम स्कोर करता है (घटना डी).
समाधान. चलो विपरीत घटना पर चलते हैं - एक शॉट के साथ, शूटर कम से कम 8 अंक खटखटाएगा। घटना तब होती है जब लेकिनया में, या से, अर्थात। . घटनाओं के बाद से ए, बी, सेजोड़ीवार असंगत हैं, तो, अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
, कहाँ पे ।
कार्य 1.9. ब्रिगेड की टीम से, जिसमें 6 पुरुष और 4 महिलाएं शामिल हैं, ट्रेड यूनियन सम्मेलन के लिए दो लोगों का चयन किया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि चुने गए व्यक्तियों में से कम से कम एक महिला (घटना .) लेकिन).
समाधान. अगर कोई घटना होती है लेकिन, तो निम्नलिखित असंगत घटनाओं में से एक अनिवार्य रूप से घटित होगी: में- "एक पुरुष और एक महिला को चुना जाता है"; से"दो महिलाओं को चुना गया है।" इसलिए, हम लिख सकते हैं: ए = बी + सी. घटनाओं की संभावना का पता लगाएं मेंऔर से. 10 में से दो लोगों को तरीकों से चुना जा सकता है। 4 में से दो महिलाओं को तरीकों से चुना जा सकता है। नर और मादा को 6×4 तरीकों से चुना जा सकता है। फिर । घटनाओं के बाद से मेंऔर सेअसंगत हैं, तो, अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
पी (ए) = पी (बी + सी) = पी (बी) + पी (सी .)) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
समस्या 1.10.पुस्तकालय में एक शेल्फ पर बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित 15 पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से पांच बाध्य हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से तीन पाठ्यपुस्तकें लेता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ली गई पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक बंधी होगी (घटना लेकिन).
समाधान. पहला तरीका। आवश्यकता - ली गई तीन बाध्य पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक - निम्नलिखित तीन असंगत घटनाओं में से कोई भी होने पर पूरी की जाएगी: में- 1 बाध्य पाठ्यपुस्तक से- दो बाध्य पाठ्यपुस्तकें डी- तीन बाध्य पाठ्यपुस्तकें।
घटना जिसमें हम रुचि रखते हैं लेकिनघटनाओं के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: ए = बी + सी + डी. अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
पी (ए) = पी (बी) + पी (सी) + पी (डी)। (2.1)
घटनाओं की संभावना का पता लगाएं बी, सीऔर डी(संयुक्त योजनाएं देखें):

समानता (2.1) में इन संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं
पी (ए)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
दूसरा तरीका। आयोजन लेकिन(ली गई तीन पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक पर बाध्यकारी है) और Ā (किसी भी पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी नहीं है) विपरीत हैं, इसलिए पी(ए) + पी(Ā) = 1 (दो विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है)। यहाँ से पी(ए) = 1 – पी (ए)।किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता Ā (कोई भी पाठ्यपुस्तक बंधी नहीं है)
वांछित संभावना
पी(ए) = 1 - पी(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5 सशर्त संभाव्यता। प्रायिकता गुणन प्रमेय

सशर्त संभाव्यता पी(बी/लेकिन) घटना बी की संभावना है, इस धारणा पर गणना की जाती है कि घटना ए पहले ही हो चुकी है।
प्रमेय. दो घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना उनमें से एक की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, दूसरे की सशर्त संभावना से, इस धारणा पर गणना की जाती है कि पहली घटना पहले ही हो चुकी है:
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी( में/लेकिन). (2.2)
दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से किसी एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की प्रायिकता में परिवर्तन नहीं होता है, अर्थात।
पी(ए) = पी(ए/बी) या पी(बी) = पी(बी/लेकिन). (2.3)
अगर घटनाएं लेकिनऔर मेंस्वतंत्र हैं, तो सूत्र (2.2) और (2.3) का अर्थ है
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी(बी). (2.4)
विलोम कथन भी सत्य है, अर्थात्। यदि समानता (2.4) दो घटनाओं के लिए है, तो ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं। दरअसल, सूत्र (2.4) और (2.2) का अर्थ है
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी(बी) = पी(ए) × पी(बी/लेकिन), कहाँ पे पी(ए) = पी(बी/लेकिन).
घटनाओं की एक सीमित संख्या के मामले में फॉर्मूला (2.2) को सामान्यीकृत किया जा सकता है लेकिन 1 , लेकिन 2 ,…,एक:
पी(ए 1 ∙लेकिन 2 ∙…∙एक)=पी(ए 1)∙पी(ए 2 /लेकिन 1)∙पी(ए 3 /लेकिन 1 लेकिन 2)∙…∙कड़ाही/लेकिन 1 लेकिन 2 …एक -1).
कार्य 1.11. 5 सफेद और 10 काली गेंदों वाले कलश में से दो गेंदें एक पंक्ति में निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिन).
समाधान. घटनाओं पर विचार करें: में- खींची गई पहली गेंद सफेद है; से- दूसरी खींची गई गेंद सफेद है। फिर ए = बीसी.
अनुभव दो तरह से किया जा सकता है:
1) वापसी के साथ: रंग तय करने के बाद, खींची गई गेंद को कलश में वापस कर दिया जाता है। इस मामले में, घटनाएं मेंऔर सेस्वतंत्र:
पी(ए) = पी(बी)∙पी(सी) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) प्रतिस्थापन के बिना: खींची गई गेंद को एक तरफ रख दिया जाता है। इस मामले में, घटनाएं मेंऔर सेआश्रित:
पी(ए) = पी(बी)∙पी(सी/में).
एक घटना के लिए मेंस्थितियां समान हैं, और के लिए सेस्थिति बदल गई है। हुआ मेंतो कलश में 14 गेंदें बची हैं, जिनमें से 4 सफेद हैं।
इसलिए, ।
कार्य 1.12. 50 प्रकाश बल्बों में से 3 गैर-मानक हैं। एक ही समय में लिए गए दो बल्बों के गैर-मानक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. घटनाओं पर विचार करें: लेकिन- पहला बल्ब गैर-मानक है, में- दूसरा बल्ब गैर-मानक है, से- दोनों बल्ब गैर मानक हैं। यह स्पष्ट है कि सी = ए∙में. प्रतिस्पर्धा लेकिन 50 में से 3 मामलों का पक्ष लेना संभव है, अर्थात। पी(ए) = 3/50। अगर घटना लेकिनपहले ही हो चुका है, घटना में 49 में से दो मामलों का पक्ष लेना संभव है, अर्थात्। पी(बी/लेकिन) = 2/49। फलस्वरूप,
.
कार्य 1.13. दो एथलीट स्वतंत्र रूप से एक ही लक्ष्य पर गोली मारते हैं। पहले एथलीट के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 और दूसरे एथलीट के 0.8 है। क्या संभावना है कि लक्ष्य मारा जाएगा?
समाधान. लक्ष्य मारा जाएगा यदि या तो पहला शूटर, या दूसरा, या दोनों इसे हिट करते हैं, अर्थात। एक घटना होगी ए+बी, जहां घटना लेकिनपहले एथलीट और घटना द्वारा लक्ष्य को मारना शामिल है में- दूसरा। फिर
पी(ए+में)=पी(ए)+पी(बी)–पी(ए∙में)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
समस्या 1.14।वाचनालय में संभाव्यता के सिद्धांत पर छह पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से तीन बाध्य हैं। लाइब्रेरियन ने यादृच्छिक रूप से दो पाठ्यपुस्तकें लीं। दो पाठ्यपुस्तकों के बंधे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. आइए हम घटनाओं के अंकन का परिचय दें : ए- ली गई पहली पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है, में- दूसरी पाठ्यपुस्तक बाध्य है। संभावना है कि पहली पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है,
पी(ए) = 3/6 = 1/2.
संभावना है कि दूसरी पाठ्यपुस्तक बाध्य है, यह देखते हुए कि पहली पुस्तक ली गई थी, अर्थात। किसी घटना की सशर्त संभावना में, क्या यह: पी(बी/लेकिन) = 2/5.
वांछित संभावना है कि दोनों पाठ्यपुस्तकों में घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय के अनुसार बाध्यकारी है, के बराबर है
पी(एबी) = पी(ए) ∙ पी(बी/लेकिन)= 1/2 2/5 = 0.2।
समस्या 1.15.दुकान में 7 पुरुष और 3 महिलाएं कार्यरत हैं। कार्मिक संख्या के अनुसार तीन लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष हैं।
समाधान. आइए घटनाओं के अंकन का परिचय दें: ए- पुरुष पहले चुना गया में- दूसरा चयनित व्यक्ति, से -तीसरा चयनित व्यक्ति। एक पुरुष के पहले चुने जाने की प्रायिकता पी(ए) = 7/10.
एक आदमी के दूसरे चुने जाने की प्रायिकता, बशर्ते कि एक आदमी पहले ही पहले चुना जा चुका हो, यानी। किसी घटना की सशर्त संभावना मेंअगला : पी(बी/ए) = 6/9 = 2/3.
किसी व्यक्ति के तीसरे चुने जाने की प्रायिकता, बशर्ते कि दो पुरुष पहले ही चुने जा चुके हों, अर्थात किसी घटना की सशर्त संभावना सेहै: पी(सी/अब) = 5/8.
वांछित संभावना है कि सभी तीन चयनित व्यक्ति पुरुष हैं, पी(एबीसी) = पी(ए) पी(बी/लेकिन) पी(सी/अब) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24।

1.2.6. कुल संभाव्यता सूत्र और बेयस सूत्र

रहने दो बी 1 , बी 2 ,…, बी नहींजोड़ीवार असंगत घटनाएँ (परिकल्पनाएँ) हैं और लेकिन- एक घटना जो उनमें से केवल एक के संयोजन में हो सकती है।
आइए जानते हैं (बी मैं) और पी(ए/बी मैं) (मैं = 1, 2, …, एन).
इन शर्तों के तहत, सूत्र मान्य हैं:
(2.5)
(2.6)
सूत्र (2.5) कहलाता है कुल संभावना सूत्र . यह एक घटना की संभावना की गणना करता है लेकिन(पूर्ण संभावना)।
सूत्र (2.6) कहलाता है बेयस फॉर्मूला . यह आपको परिकल्पना की संभावनाओं की पुनर्गणना करने की अनुमति देता है यदि घटना लेकिनहुआ।
उदाहरण संकलित करते समय, यह विचार करना सुविधाजनक होता है कि परिकल्पना एक पूर्ण समूह बनाती है।
कार्य 1.16. टोकरी में एक ही किस्म के चार पेड़ों के सेब हैं। पहले से - सभी सेबों का 15%, दूसरे से - 35%, तीसरे से - 20%, चौथे से - 30%। पके सेब क्रमशः 99%, 97%, 98%, 95% हैं।
क) इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक सेब पक गया है? लेकिन).
बी) बशर्ते कि यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब पका हुआ निकला हो, इस संभावना की गणना करें कि यह पहले पेड़ से है।
समाधान. ए) हमारे पास 4 परिकल्पनाएं हैं:
बी 1 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब पहले पेड़ से लिया जाता है;
बी 2 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब दूसरे पेड़ से लिया जाता है;
बी 3 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब तीसरे पेड़ से लिया जाता है;
बी 4 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब चौथे पेड़ से लिया जाता है।
स्थिति के अनुसार उनकी संभावनाएँ: पी(बी 1) = 0,15; पी(बी 2) = 0,35; पी(बी 3) = 0,2; पी(बी 4) = 0,3.
सशर्त घटना संभावनाएं लेकिन:
पी(ए/बी 1) = 0,99; पी(ए/बी 2) = 0,97; पी(ए/बी 3) = 0,98; पी(ए/बी 4) = 0,95.
यादृच्छिक रूप से चुने गए एक सेब के पके होने की प्रायिकता कुल प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
पी(ए)=पी(बी 1)∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2)∙पी(ए/बी 2)+पी(बी 3)∙पी(ए/बी 3)+पी(बी 4)∙पी(ए/बी 4)=0,969.
बी) हमारे मामले के लिए बेयस फॉर्मूला का रूप है:
.
समस्या 1.17.एक सफेद गेंद को दो गेंदों वाले कलश में गिराया जाता है, जिसके बाद एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद सफेद होगी यदि गेंदों की प्रारंभिक संरचना (रंग के अनुसार) के बारे में सभी संभव धारणाएं समान रूप से संभव हैं।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - एक सफेद गेंद खींची जाती है। गेंदों की प्रारंभिक संरचना के बारे में निम्नलिखित धारणाएँ (परिकल्पनाएँ) संभव हैं: बी 1कोई सफेद गेंद नहीं मे 2- एक सफेद गेंद 3 . में- दो सफेद गेंदें।
चूंकि कुल तीन परिकल्पनाएँ हैं, और परिकल्पना की संभावनाओं का योग 1 है (क्योंकि वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं), तो प्रत्येक परिकल्पना की संभावना 1/3 है, अर्थात।
पी(बी 1) = पी(बी 2)= पी (बी 3) = 1/3.
सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद निकाली जाएगी, यह देखते हुए कि शुरू में कलश में कोई सफेद गेंद नहीं थी, पी(ए/बी 1)=1/3। सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद खींची जाएगी, यह देखते हुए कि कलश में मूल रूप से एक सफेद गेंद थी, पी(ए/बी 2)=2/3. सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद खींची जाएगी, यह देखते हुए कि कलश में मूल रूप से दो सफेद गेंदें थीं। पी(ए/बी 3)=3/ 3=1.
एक सफेद गेंद निकाले जाने की वांछित प्रायिकता कुल प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
आर(लेकिन)=पी(बी 1)∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2)∙पी(ए/बी 2)+पी(बी 3)∙पी(ए/बी 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
कार्य 1.18. दो मशीनें समान भागों का उत्पादन करती हैं जो एक सामान्य कन्वेयर को खिलाए जाते हैं। पहली मशीन का प्रदर्शन दूसरी मशीन से दोगुना है। पहली मशीन उत्कृष्ट गुणवत्ता के औसतन 60% भागों का उत्पादन करती है, और दूसरी - 84%। असेंबली लाइन से यादृच्छिक रूप से लिया गया हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह वस्तु पहली मशीन द्वारा बनाई गई थी।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना एक उत्कृष्ट गुणवत्ता वाली वस्तु है। दो धारणाएँ बनाई जा सकती हैं: बी 1- भाग पहली मशीन द्वारा निर्मित होता है, और (चूंकि पहली मशीन दूसरी मशीन से दोगुने भागों का उत्पादन करती है) पी(ए/बी 1) = 2/3; बी 2 - भाग दूसरी मशीन द्वारा निर्मित किया गया था, और पी(बी 2) = 1/3.
सशर्त संभावना है कि पहली मशीन द्वारा निर्मित होने पर हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा, पी(ए/बी 1)=0,6.
सशर्त संभावना है कि दूसरी मशीन द्वारा निर्मित होने पर हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा, पी(ए/बी 1)=0,84.
कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार, यादृच्छिक रूप से चयनित भाग के उत्कृष्ट गुणवत्ता के होने की प्रायिकता बराबर है
पी(ए)=पी(बी 1) ∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2) ∙पी(ए/बी 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68।
बेयस सूत्र के अनुसार, पहले ऑटोमेटन द्वारा लिए गए उत्कृष्ट भाग की वांछित संभावना के बराबर है

कार्य 1.19. भागों के तीन बैच हैं जिनमें से प्रत्येक में 20 भाग हैं। पहले, दूसरे और तीसरे बैच में मानक भागों की संख्या क्रमशः 20, 15 और 10 है। एक हिस्सा जो मानक निकला, उसे चयनित बैच से यादृच्छिक रूप से निकाला गया था। भागों को बैच में वापस कर दिया जाता है और दूसरी बार उसी बैच से एक भाग को बेतरतीब ढंग से हटा दिया जाता है, जो मानक भी निकलता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पुर्जे तीसरे बैच से लिए गए थे।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - दो परीक्षणों में से प्रत्येक में (वापसी के साथ), एक मानक भाग पुनर्प्राप्त किया गया था। तीन परिकल्पनाएँ बनाई जा सकती हैं: बी 1 - पहले बैच से भागों को हटा दिया जाता है, में 2 - भाग दूसरे बैच से लिए गए हैं, में 3 - तीसरे बैच से भागों को हटा दिया जाता है।
विवरण लिए गए बैच से यादृच्छिक रूप से लिए गए थे, इसलिए परिकल्पना की संभावनाएं समान हैं: पी(बी 1) = पी(बी 2) = पी(बी 3) = 1/3.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 1) अर्थात संभावना है कि पहले बैच से दो मानक भागों को लगातार खींचा जाएगा। यह घटना विश्वसनीय है, क्योंकि। पहले बैच में, सभी भाग मानक हैं, इसलिए पी(ए/बी 1) = 1.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 2), यानी संभावना है कि दो मानक भागों को दूसरे बैच से क्रमिक रूप से (वापसी के साथ) निकाला जाएगा: पी(ए/बी 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 3), यानी संभावना है कि तीसरे बैच से दो मानक भागों को क्रमिक रूप से हटा दिया जाएगा (वापसी के साथ): पी(ए/बी 3) = 10/20 10/20 = 1/4।
बेयस सूत्र के अनुसार, तीसरे बैच से निकाले गए दोनों मानक भागों को वांछित संभावना के बराबर है

1.2.7. पुन: परीक्षण

यदि कई परीक्षण किए जाते हैं, और एक घटना की संभावना लेकिनप्रत्येक परीक्षण में अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं होता है, तो ऐसे परीक्षणों को कहा जाता है घटना ए के संबंध में स्वतंत्र।विभिन्न स्वतंत्र परीक्षणों में, घटना लेकिनया तो अलग-अलग संभावनाएं हो सकती हैं या एक ही संभावना हो सकती है। हम आगे केवल ऐसे स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेंगे जिनमें घटना लेकिनसमान संभावना है।
इसे उत्पादित होने दें पीस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना लेकिनप्रकट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। आइए मान लें कि किसी घटना की प्रायिकता लेकिनप्रत्येक परीक्षण में समान है, अर्थात् . के बराबर आर।इसलिए, घटना के न होने की प्रायिकता लेकिनप्रत्येक परीक्षण में भी स्थिर है और 1 के बराबर है- आर।ऐसी संभाव्य योजना कहलाती है बर्नौली योजना. आइए हम प्रायिकता की गणना करने का कार्य स्वयं निर्धारित करें कि पीबर्नौली घटना परीक्षण लेकिनबिल्कुल सच हो जाएगा कएक बार ( क- सफलताओं की संख्या) और इसलिए, महसूस नहीं किया जाएगा पी-एक बार। इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि यह आवश्यक नहीं है कि घटना लेकिनबिल्कुल दोहराया कएक निश्चित क्रम में बार। वांछित संभावना को निरूपित करें आर पी (के). उदाहरण के लिए, प्रतीक आर 5 (3) का अर्थ है कि पांच परीक्षणों में घटना ठीक 3 बार दिखाई देगी और इसलिए, 2 बार नहीं होगी।
तथाकथित का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है बर्नौली सूत्र,जो दिखता है:
.
समस्या 1.20.संभावना है कि एक दिन के दौरान बिजली की खपत स्थापित मानदंड से अधिक नहीं होगी . के बराबर है आर= 0.75। संभावना है कि अगले 6 दिनों में 4 दिनों के लिए बिजली की खपत मानक से अधिक नहीं होगी।
समाधान। 6 दिनों में से प्रत्येक के दौरान बिजली की सामान्य खपत की संभावना स्थिर और बराबर है आर= 0.75। इसलिए, हर दिन बिजली के अधिक व्यय की संभावना भी स्थिर और बराबर है क्यू = 1–आर=1–0,75=0,25.
बर्नौली सूत्र के अनुसार वांछित प्रायिकता बराबर है
.
कार्य 1.21. शतरंज के दो बराबर खिलाड़ी शतरंज खेलते हैं। कौन अधिक संभावना है: चार में से दो गेम जीतने के लिए या छह में से तीन गेम (ड्रा को ध्यान में नहीं रखा जाता है)?
समाधान. समान शतरंज के खिलाड़ी खेल रहे हैं, इसलिए जीतने की संभावना आर= 1/2, इसलिए हारने की प्रायिकता क्यू 1/2 के बराबर भी है। इसलिये सभी खेलों में जीतने की संभावना स्थिर होती है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल किस क्रम में जीते जाते हैं, तो बर्नौली सूत्र लागू होता है।
चार में से दो गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

छह में से तीन गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

इसलिये पी 4 (2) > पी 6 (3), छह में से तीन की तुलना में चार में से दो गेम जीतने की अधिक संभावना है।
हालांकि, कोई यह देख सकता है कि बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करना एनयह काफी कठिन है, क्योंकि सूत्र को बड़ी संख्या में संचालन के प्रदर्शन की आवश्यकता होती है और इसलिए गणना की प्रक्रिया में त्रुटियां जमा होती हैं; नतीजतन, अंतिम परिणाम सही से काफी भिन्न हो सकता है।
इस समस्या को हल करने के लिए, कई सीमा प्रमेय हैं जिनका उपयोग बड़ी संख्या में परीक्षणों के मामले में किया जाता है।
1. पॉइसन की प्रमेय
बर्नौली योजना के अनुसार बड़ी संख्या में परीक्षण करते समय (साथ .) एन=> ) और कम संख्या में अनुकूल परिणामों के साथ क(यह मानते हुए कि सफलता की संभावना पीछोटा), बर्नौली सूत्र पॉइसन सूत्र तक पहुंचता है
.
उदाहरण 1.22।उद्यम द्वारा उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन में विवाह की प्रायिकता बराबर होती है पी=0.001। इसकी क्या प्रायिकता है कि उत्पादों की 5000 इकाइयों के उत्पादन में 4 से कम दोषपूर्ण उत्पाद होंगे (घटना लेकिन समाधान. इसलिये एनबड़ा है, हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं:

गणना करना एक्स:
समारोह सम है, इसलिए φ(–1.67) = (1.67)।
परिशिष्ट A.1 की तालिका के अनुसार, हम φ(1.67) = 0.0989 पाते हैं।
वांछित संभावना पी 2400 (1400) = 0,0989.
3. लाप्लास अभिन्न प्रमेय
यदि प्रायिकता आरकिसी घटना का घटित होना एबर्नौली योजना के अनुसार प्रत्येक परीक्षण में शून्य और एक से स्थिर और भिन्न होता है, फिर बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एन, संभावना आर पी (के 1 , क 2) घटना घटना एइन परीक्षणों में क 1 से क 2 गुना लगभग बराबर
आर पी(क 1 , क 2) = ( एक्स"") – Φ ( एक्स"), कहाँ पे
लाप्लास फ़ंक्शन है,

लैपलेस फ़ंक्शन में निश्चित इंटीग्रल की गणना विश्लेषणात्मक कार्यों के वर्ग पर नहीं की जाती है, इसलिए इसकी गणना के लिए तालिका 1 का उपयोग किया जाता है। खंड 2, परिशिष्ट में दिया गया है।
उदाहरण 1.24।एक सौ स्वतंत्र परीक्षणों में से प्रत्येक में होने वाली घटना की संभावना स्थिर और बराबर है पी= 0.8. घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) कम से कम 75 बार और अधिकतम 90 बार; बी) कम से कम 75 बार; ग) 74 बार से अधिक नहीं।
समाधान. आइए लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करें:
आर पी(क 1 , क 2) = ( एक्स"") – Φ( एक्स"), जहां ( एक्स) लैपलेस फ़ंक्शन है,

ए) शर्त के अनुसार एन = 100, पी = 0,8, क्यू = 0,2, क 1 = 75, क 2 = 90. गणना करें एक्स""और एक्स" :


यह देखते हुए कि लाप्लास फ़ंक्शन विषम है, अर्थात। एफ(- एक्स) = - एफ ( एक्स), हमें मिला
पी 100 (75; 90) \u003d एफ (2.5) - एफ (-1.25) \u003d एफ (2.5) + एफ (1.25)।
तालिका के अनुसार पी.2. एप्लिकेशन ढूंढें:
एफ (2.5) = 0.4938; (1.25) = 0.3944।
वांछित संभावना
पी 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
बी) आवश्यकता है कि घटना कम से कम 75 बार घटित हो, इसका मतलब है कि घटना की घटनाओं की संख्या 75, या 76, ..., या 100 के बराबर हो सकती है। इस प्रकार, विचाराधीन मामले में, किसी को लेना चाहिए क 1 = 75, क 2 = 100. तब

.
तालिका के अनुसार पी.2. अनुप्रयोगों, हम पाते हैं (1.25) = 0.3944; (5) = 0.5.
वांछित संभावना
पी 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ग) घटना - " लेकिनकम से कम 75 बार दिखाई दिया" और " लेकिन 74 बार से अधिक नहीं दिखाई दिए" विपरीत हैं, इसलिए इन घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 है। इसलिए, वांछित संभावना
पी 100 (0;74) = 1 – पी 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.