Arifmetik progressiya yig‘indisini aniqlash formulasi. Arifmetik progressiya yig‘indisi. Arifmetik va geometrik progressiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Arifmetik progressiya - bu har bir raqam oldingisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan raqamlar qatoridir.
Bu mavzu ko'pincha qiyin va tushunarsiz. Harf indekslari, n-chi davr progressiyalar, progressiyadagi farq - bularning barchasi qandaydir chalkash, ha ... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hamma narsa darhol amalga oshadi.)
Arifmetik progressiya haqida tushuncha.
Arifmetik progressiya juda oddiy va tushunarli tushunchadir. Shubha? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.
Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu qatorni uzaytira olasizmi? Qaysi raqamlar beshdan keyin keladi? Hamma ... uh ..., qisqasi, har bir kishi 6, 7, 8, 9 va hokazo raqamlarning oldinga borishini aniqlaydi.
Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Men tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Siz naqshni ushlashingiz, seriyani kengaytirishingiz va nomlashingiz mumkin ettinchi qator raqami?
Agar siz bu raqam 20 ekanligini bilsangiz - sizni tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; lekin ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar tushunmasangiz, o'qing.
Endi sezgilardan asosiy fikrlarni matematikaga aylantiramiz.)
Birinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiya raqamlar qatori bilan bog'liq. Bu birinchi navbatda chalkash. Biz tenglamalarni echishga, grafiklar tuzishga va shunga o'rganib qolganmiz ... Va keyin qatorni kengaytiring, qatorlar sonini toping ...
Hammasi joyida; shu bo'ladi. Shunchaki progressiyalar matematikaning yangi bo‘limi bilan birinchi tanishuvdir. Bo'lim "Seriya" deb nomlanadi va raqamlar va ifodalar qatori bilan ishlaydi. Bunga ko'nik.)
Ikkinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiyada har qanday son oldingisidan farq qiladi bir xil miqdorda.
Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olsangiz, oldingisidan bitta ko'p. Ikkinchisida - uchta. Har qanday raqam avvalgisidan uch baravar ko'p. Aslida, aynan shu daqiqa bizga naqshni ushlash va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.
Uchinchi asosiy nuqta.
Bu daqiqa hayratlanarli emas, ha ... Lekin juda, juda muhim. Mana u: Har bir progressiya soni o'z o'rnida. Birinchi raqam bor, yettinchi bor, qirq beshinchi bor va hokazo. Agar siz ularni tasodifan aralashtirib yuborsangiz, naqsh yo'qoladi. yo'qoladi va arifmetik progressiya. Bu shunchaki raqamlar qatori.
Hamma gap shunda.
Albatta, yangi mavzuda yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Ular bilishlari kerak. Aks holda, siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz shunday qaror qabul qilishingiz kerak:
a 2 = 5, d = -2,5 bo'lsa, arifmetik progressiyaning (a n) birinchi oltita hadini yozing.
Bu ilhomlantiradimi?) Harflar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytmoqchi, osonroq bo'lishi mumkin emas. Siz faqat atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu masalani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.
Shartlar va belgilar.
Arifmetik progressiya har bir raqam oldingisidan farq qiladigan raqamlar qatoridir bir xil miqdorda.
Bu qiymat deyiladi . Keling, ushbu kontseptsiyani batafsil ko'rib chiqaylik.
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiya farqi har qanday progressiya sonining miqdori Ko'proq oldingi.
Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan bu har bir progressiya soni olinganligini bildiradi qo'shish arifmetik progressiyaning oldingi songa farqi.
Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi qator raqamlari, buni qilish kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchi- farq kerak qo'shish Kimga to'rtinchi yaxshi va boshqalar.
Arifmetik progressiya farqi balkim ijobiy keyin seriyaning har bir raqami haqiqiy bo'lib chiqadi oldingisidan ko'proq. Bu progressiya deyiladi ortib boradi. Masalan:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Bu erda har bir raqam qo'shish ijobiy raqam, oldingisiga +5.
Farqi bo'lishi mumkin salbiy keyin seriyadagi har bir raqam bo'ladi oldingisidan kamroq. Bu rivojlanish deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.
Masalan:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shish oldingisiga, lekin salbiy raqam, -5.
Aytgancha, progressiya bilan ishlashda uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali - u ortib bormoqda yoki kamaymoqda. Bu qaror qabul qilishda o'z nuqtai nazaringizni topishga, xatolaringizni aniqlashga va kech bo'lmasdan ularni tuzatishga yordam beradi.
Arifmetik progressiya farqi odatda harf bilan belgilanadi d.
Qanday topish mumkin d? Juda oddiy. Seriyaning istalgan sonidan ayirish kerak oldingi raqam. Ayirmoq. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb ataladi.)
Keling, masalan, aniqlaymiz d ortib borayotgan arifmetik progressiya uchun:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Biz qatorning istalgan raqamini olamiz, masalan, 11. Undan ayirish oldingi raqam bular. 8:
Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiya uchun farq uchga teng.
Siz shunchaki olishingiz mumkin har qanday miqdordagi progressiya, chunki Muayyan rivojlanish uchun d-har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni ololmaysiz. Faqat birinchi raqam, chunki oldingisi yo'q.)
Aytgancha, buni bilish d=3, bu progressiyaning ettinchi raqamini topish juda oddiy. Biz beshinchi raqamga 3 qo'shamiz - oltinchini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shamiz, ettinchi raqamni olamiz - yigirma.
Keling, aniqlaymiz d kamayuvchi arifmetik progressiya uchun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Shuni eslatib o'tamanki, belgilardan qat'i nazar, aniqlash uchun d istalgan raqamdan kerak oldingisini olib tashlang. Biz progressiyaning istalgan sonini tanlaymiz, masalan -7. Uning oldingi raqami -2. Keyin:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Arifmetik progressiyaning farqi har qanday son bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har qanday.
Boshqa atamalar va belgilar.
Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.
Taraqqiyotning har bir a'zosi uning raqami bor. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday hiyla-nayranglarsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyada 2, 5, 8, 11, 14, ... ikkita birinchi a'zo, beshta ikkinchi, o'n bir to'rtinchi, yaxshi, tushunasiz ...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday, butun, kasr, salbiy, nima bo'lishidan qat'i nazar, lekin bo'lishi mumkin raqamlash- qat'iy tartibda!
Progressiyani umumiy shaklda qanday yozish kerak? Hammasi joyida! Seriyadagi har bir raqam harf sifatida yozilgan. Arifmetik progressiyani belgilash uchun, qoida tariqasida, harf ishlatiladi a. A'zo raqami pastki o'ngdagi indeks bilan ko'rsatilgan. A'zolar vergul (yoki nuqta vergul) bilan quyidagicha yoziladi:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 birinchi raqam hisoblanadi a 3- uchinchi va boshqalar. Hech qanday qiyin narsa yo'q. Siz ushbu seriyani quyidagicha qisqacha yozishingiz mumkin: (a n).
Rivojlanishlar mavjud chekli va cheksiz.
yakuniy progressiya a'zolarining cheklangan soniga ega. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Lekin bu chekli raqam.
Cheksiz progressiya - siz taxmin qilganingizdek, cheksiz sonli a'zolarga ega.)
Siz yakuniy progressni shunday qator orqali yozishingiz mumkin, barcha a'zolar va oxirida nuqta:
a 1, 2, 3, 4, 5.
Yoki shunga o'xshash, agar a'zolar ko'p bo'lsa:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Qisqa yozuvda siz a'zolar sonini qo'shimcha ravishda ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Misol uchun (yigirma a'zo uchun) quyidagicha:
(a n), n = 20
Cheksiz progressiyani ushbu darsdagi misollardagi kabi qator oxiridagi ellips bilan tanib olish mumkin.
Endi siz allaqachon vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.
Arifmetik progressiya uchun topshiriqlarga misollar.
Keling, yuqoridagi vazifani batafsil ko'rib chiqaylik:
1. Arifmetik progressiyaning dastlabki olti a'zosini (a n) yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.
Vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Ushbu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Ma'lum progressiv farq: d = -2,5. Ushbu progressiyaning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topishimiz kerak.
Aniqlik uchun men muammoning holatiga qarab ketma-ket yozaman. Birinchi olti a'zo, ikkinchi a'zo besh bo'lsa:
a 1, 5, a 3, bir 4, bir 5, bir 6,....
a 3 = a 2 + d
Biz ifodada almashtiramiz a 2 = 5 Va d=-2,5. Minusni unutmang!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Uchinchi muddat ikkinchidan kamroq. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgisidan katta bo'lsa salbiy qiymat, shuning uchun raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Rivojlanish pasayib bormoqda. Xo'sh, buni hisobga olamiz.) Biz seriyamizning to'rtinchi a'zosini ko'rib chiqamiz:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Shunday qilib, uchinchidan oltinchigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada bir qator paydo bo'ldi:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Birinchi atamani topish qoladi a 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Bu boshqa yo'nalishdagi qadam, chapga.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d ga qo'shilmasligi kerak a 2, A olib ketish:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hammasi shu. Vazifaga javob:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
O'tayotganda shuni ta'kidlaymanki, biz bu vazifani hal qildik takrorlanuvchi yo'l. Bu qo'rqinchli so'z faqat progressiya atamasini izlashni bildiradi oldingi (qo'shni) raqam bo'yicha. Progressiya bilan ishlashning boshqa usullari keyinroq muhokama qilinadi.
Ushbu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.
Eslab qoling:
Agar arifmetik progressiyaning kamida bitta a’zosi va ayirmasini bilsak, bu progressiyaning istalgan a’zosini topishimiz mumkin.
Esingizdami? Ushbu oddiy xulosa ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining aksariyat muammolarini hal qilishga imkon beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanadi: arifmetik progressiyaning a'zosi, progressiyaning ayirmasi, progressiyaning a'zosi soni. Hammasi.
Albatta, oldingi barcha algebra bekor qilinmaydi.) Progressiyaga tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar biriktiriladi. Lekin taraqqiyotga ko'ra- hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.
Misol uchun, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqing.
2. Agar n=5, d=0,4 va a 1=3,6 bo‘lsa, yakuniy arifmetik progressiyani ketma-ket yozing.
Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiyaning a'zolari qanday hisoblanganini, hisoblashini va yozishni eslab qolishingiz kerak. Vazifa shartidagi so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n=5". To'liq ko'karib qolmaguningizcha hisoblamaslik uchun.) Bu progressiyada faqat 5 (besh) a'zo bor:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Javobni yozish qoladi:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Boshqa vazifa:
3. 7 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi bo‘ladimi yoki yo‘qligini aniqlang, agar a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.
Hmm... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?
Qanday-qanday... Ha, ketma-ket ketma-ketlikda progressiyani yozing va yettilik bo'ladimi yoki yo'qmi! Ishonamizki:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Endi biz bor-yo'g'i yettida ekanligimiz aniq ko'rinib turibdi sirg'alib o'tdi 6,5 dan 7,7 gacha! Yettilik bizning raqamlar qatorimizga kirmadi va shuning uchun ettitasi berilgan progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.
Javob: yo'q.
Va bu erda GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:
4. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:
...; 15; X; 9; 6; ...
Mana oxiri va boshi bo'lmagan seriya. A'zolar raqamlari yo'q, farq yo'q d. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Keling, nima qila olishimizni ko'rib chiqaylik bilmoq bu qatordan? Uchta asosiy parametrlar qanday?
A'zolar raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.
Ammo uchta raqam bor va - diqqat! - so'z "ketma-ket" holatda. Bu raqamlar qat'iy tartibda, bo'shliqlarsiz ekanligini anglatadi. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bular 9 va 6. Shunday qilib, biz arifmetik progressiyaning farqini hisoblay olamiz! Biz oltitadan ayiramiz oldingi raqam, ya'ni. to'qqiz:
Bo'sh joylar qoldi. X uchun oldingi qaysi raqam bo'ladi? O'n besh. Shunday qilib, x ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. 15 ga arifmetik progressiyaning farqini qo'shing:
Ana xolos. Javob: x=12
Quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu jumboqlar formulalar uchun emas. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz shunchaki bir qator raqamlar-harflarni yozamiz, qaraymiz va o'ylaymiz.
5. a 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat hadini toping; d = 1,1.
6. Ma'lumki, 5,5 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 1,6; d = 1,3. Ushbu atamaning n sonini aniqlang.
7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 ni toping.
8. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:
...; 15,6; X; 3.4; ...
X harfi bilan belgilangan progressiyaning hadini toping.
9. Poyezd stansiyadan harakatlana boshladi, asta-sekin tezligini daqiqasiga 30 metrga oshirdi. Besh daqiqada poezdning tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km/soatda bering.
10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; a 6 = -5. 1 ni toping.
Javoblar (tartibsiz): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Ko'proq ma'lumot uchun arifmetik progressiyani o'zlashtirishingiz mumkin yuqori daraja, keyingi darslarda.
Hammasi amalga oshmadimi? Hammasi joyida. 555-sonli maxsus bo'limda bu jumboqlarning barchasi parcha-parcha bo'linadi.) Va, albatta, bunday vazifalarni hal qilishni darhol kaftingizdagi kabi aniq, aniq ta'kidlaydigan oddiy amaliy texnika tasvirlangan!
Aytgancha, poezd haqidagi jumboqda odamlar tez-tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Biri - faqat progressiya bilan, ikkinchisi - matematika va fizikadagi har qanday vazifalar uchun umumiydir. Bu o'lchamlarning biridan ikkinchisiga tarjimasi. Bu muammolarni qanday hal qilish kerakligini ko'rsatadi.
Ushbu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, ketma-ket yozing, hamma narsa hal qilinadi.
Barmoq eritmasi ushbu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, seriyaning juda qisqa qismlari uchun yaxshi ishlaydi. Agar seriya uzunroq bo'lsa, hisob-kitoblar qiyinlashadi. Misol uchun, agar savolda 9-muammoda bo'lsa, o'zgartiring "besh daqiqa" yoqilgan "o'ttiz besh daqiqa" muammo yanada yomonlashadi.)
Bundan tashqari, mohiyatiga ko'ra oddiy, ammo hisob-kitoblar nuqtai nazaridan mutlaqo absurd bo'lgan vazifalar mavjud, masalan:
Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.
Va nima, biz 1/6 ni ko'p marta qo'shamiz?! O'z joniga qasd qilish mumkinmi!?
Mumkin.) Agar siz bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formulani bilmasangiz. Ushbu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo o'sha erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Arifmetik progressiya masalalari qadim zamonlardan beri mavjud. Ular paydo bo'lib, hal qilishni talab qilishdi, chunki ularda amaliy ehtiyoj bor edi.
Shunday qilib, papiruslardan birida qadimgi Misr, matematik mazmunga ega bo'lgan - Rhind papirusi (miloddan avvalgi XIX asr) - quyidagi vazifani o'z ichiga oladi: o'n o'lchov nonni o'n kishiga bo'ling, ularning har biri orasidagi farq o'lchovning sakkizdan bir qismini tashkil qiladi.
Qadimgi yunonlarning matematik asarlarida esa arifmetik progressiyaga oid nafis teoremalar mavjud. Shunday qilib, Iskandariya Gipsiklari (II asr, u juda ko'p qiziqarli masalalarni tuzgan va Evklidning "Prinsiplari" ga o'n to'rtinchi kitobni qo'shgan" g'oyani shakllantirdi: "Arifmetik progressiyada. juft son a'zolar, 2-yarm a'zolarining yig'indisi 1-chi a'zolar yig'indisidan a'zolar sonining 1/2 kvadratiga kattaroqdir.
a ketma-ketligi belgilangan. Tartibning raqamlari uning a'zolari deb ataladi va odatda ushbu a'zoning seriya raqamini ko'rsatadigan indeksli harflar bilan belgilanadi (a1, a2, a3 ... o'qing: "a 1", "a 2", "a 3" va boshqalar).
Ketma-ketlik cheksiz yoki chekli bo'lishi mumkin.
Arifmetik progressiya nima? Bu oldingi hadni (n) bir xil d soni bilan qo'shish orqali olingan deb tushuniladi, bu progressiyaning farqidir.
Agar d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 bo'lsa, bunday progressiya ortib borayotgan deb hisoblanadi.
Arifmetik progressiya, agar uning bir nechta birinchi hadlari hisobga olinsa, chekli deyiladi. Juda ko'p a'zolar bilan bu allaqachon cheksiz progress.
Har qanday arifmetik progressiya quyidagi formula bilan ifodalanadi:
an =kn+b, b va k esa ba'zi sonlardir.
Qarama-qarshi bo'lgan bayonot mutlaqo to'g'ri: agar ketma-ketlik shunga o'xshash formula bilan berilgan bo'lsa, bu aniq arifmetik progressiya bo'lib, u quyidagi xususiyatlarga ega:
- Progressiyaning har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zoning o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
- Buning aksi: agar 2-dan boshlab, har bir atama oldingi va keyingi arifmetik o'rtacha bo'lsa, ya'ni. agar shart bajarilsa, berilgan ketma-ketlik arifmetik progressiya hisoblanadi. Bu tenglik bir vaqtning o'zida progressiyaning belgisidir, shuning uchun uni odatda progressiyaning xarakterli xususiyati deyiladi.
Xuddi shunday, bu xossani aks ettiruvchi teorema ham to‘g‘ri: ketma-ketlik arifmetik progressiya bo‘ladi, agar bu tenglik ketma-ketlikning 2-dan boshlab har qanday a’zosi uchun to‘g‘ri bo‘lsa.
Arifmetik progressiyaning ixtiyoriy to‘rtta soniga xos xususiyatni an + am = ak + al formulasi bilan ifodalash mumkin, agar n + m = k + l bo‘lsa (m, n, k progressiyaning sonlari).
Arifmetik progressiyada har qanday zaruriy (N-chi) hadni quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin:
Masalan: arifmetik progressiyadagi birinchi had (a1) berilgan va uchga, ayirma (d) esa to‘rtga teng. Ushbu progressiyaning qirq beshinchi hadini topishingiz kerak. a45 = 1+4(45-1)=177
an = ak + d(n - k) formulasi arifmetik progressiyaning n-chi a'zosini, agar u ma'lum bo'lsa, uning istalgan k- a'zosi orqali aniqlash imkonini beradi.
Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi (yakuniy progressiyaning 1-n a'zosini hisobga olgan holda) quyidagicha hisoblanadi:
Sn = (a1+an) n/2.
Agar birinchi atama ham ma'lum bo'lsa, hisoblash uchun boshqa formula qulay:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
n ta haddan iborat bo‘lgan arifmetik progressiya yig‘indisi quyidagicha hisoblanadi:
Hisoblash uchun formulalarni tanlash vazifalarning shartlariga va dastlabki ma'lumotlarga bog'liq.
1,2,3,...,n,... kabi har qanday sonlarning natural qatori arifmetik progressiyaning eng oddiy misolidir.
Arifmetik progressiya bilan bir qatorda o'ziga xos xususiyat va xususiyatlarga ega bo'lgan geometrik ham mavjud.
IV Yakovlev | Matematika fanidan materiallar | MathUs.ru
Arifmetik progressiya
Arifmetik progressiya ketma-ketlikning maxsus turidir. Shuning uchun, arifmetik (keyin geometrik) progressiyani aniqlashdan oldin, biz sonlar ketma-ketligining muhim tushunchasini qisqacha muhokama qilishimiz kerak.
Keyingi ketma-ketlik
Ekranda ba'zi raqamlar birin-ketin ko'rsatiladigan qurilmani tasavvur qiling. Aytaylik, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bunday raqamlar to'plami faqat ketma-ketlikning namunasidir.
Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik - bu har bir raqamga o'ziga xos raqam berilishi mumkin bo'lgan raqamlar to'plami (ya'ni bitta natural son bilan yozishma). n raqamiga ega bo'lgan raqam chaqiriladi n-a'zo ketma-ketliklar.
Demak, yuqoridagi misolda birinchi raqam ketma-ketlikning birinchi a'zosi bo'lgan 2 raqamiga ega bo'lib, uni a1 bilan belgilash mumkin; beshinchi raqam ketma-ketlikning beshinchi a'zosi bo'lgan 6 raqamiga ega, uni a5 bilan belgilash mumkin. Umuman olganda, ketma-ketlikning n-a'zosi an (yoki bn , cn va boshqalar) bilan belgilanadi.
Ketma-ketlikning n-a'zosini qandaydir formula bilan belgilash mumkin bo'lsa, juda qulay holat. Masalan, an = 2n 3 formulasi ketma-ketlikni belgilaydi: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formulasi ketma-ketlikni belgilaydi: 1; 1; 1; 1; : : :
Har bir raqamlar to'plami ketma-ket emas. Demak, segment ketma-ketlik emas; unda qayta raqamlash uchun ¾juda koʻp raqamlar mavjud. Barcha haqiqiy sonlarning R to'plami ham ketma-ketlik emas. Bu faktlar matematik tahlil jarayonida isbotlangan.
Arifmetik progressiya: asosiy ta'riflar
Endi biz arifmetik progressiyani aniqlashga tayyormiz.
Ta'rif. Arifmetik progressiya - bu ketma-ketlik bo'lib, unda har bir had (ikkinchidan boshlab) oldingi had va qandaydir qat'iy sonning yig'indisiga teng bo'ladi (arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi).
Masalan, 2-qator; 5; 8; o'n bir; : : : birinchi hadi 2 va ayirmasi 3 boʻlgan arifmetik progressiya. 7-ketlik; 2; 3; 8; : : : birinchi hadi 7 va ayirmasi 5 boʻlgan arifmetik progressiya. 3-ketlik; 3; 3; : : : nol farqli arifmetik progressiya.
Ekvivalent ta'rif: Agar an+1 an ayirmasi o'zgarmas qiymat bo'lsa (n ga bog'liq emas) ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.
Arifmetik progressiya ayirmasi musbat bo’lsa ortib boruvchi, manfiy bo’lsa kamayuvchi deyiladi.
1 Va bu erda qisqaroq ta'rif: ketma-ketlik to'plamda aniqlangan funktsiyadir natural sonlar. Masalan, haqiqiy sonlar ketma-ketligi f funktsiya: N! R.
Odatiy bo'lib, ketma-ketliklar cheksiz hisoblanadi, ya'ni cheksiz sonli sonlarni o'z ichiga oladi. Lekin hech kim chekli ketma-ketliklarni ham ko'rib chiqishni bezovta qilmaydi; aslida har qanday chekli sonlar to‘plamini chekli ketma-ketlik deb atash mumkin. Masalan, yakuniy ketma-ketlik 1; 2; 3; 4; 5 beshta raqamdan iborat.
Arifmetik progressiyaning n-azosining formulasi
Arifmetik progressiya butunlay ikkita raqam bilan aniqlanishini tushunish oson: birinchi had va ayirma. Shuning uchun savol tug'iladi: birinchi had va farqni bilib, arifmetik progressiyaning ixtiyoriy hadini qanday topish mumkin?
Arifmetik progressiyaning n-chi hadi uchun kerakli formulani olish qiyin emas. ruxsat bering
farqli arifmetik progressiya d. Bizda ... bor: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): |
|
Xususan, biz yozamiz: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
va endi a ning formulasi aniq bo'ladi: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Topshiriq 1. Arifmetik progressiya 2da; 5; 8; o'n bir; : : : n-sonning formulasini toping va yuzinchi hadni hisoblang.
Yechim. Formula (1) ga muvofiq bizda:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Arifmetik progressiyaning xossasi va belgisi
arifmetik progressiyaning xossasi. Arifmetik progressiyada an har qanday uchun
Boshqacha qilib aytganda, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi (ikkinchidan boshlab) qo'shni a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
Isbot. Bizda ... bor: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(d) + (an + d) |
|||
bu talab qilingan narsa edi.
Umuman olganda, arifmetik progressiya tenglikni qanoatlantiradi
a n = a n k + a n+k
har qanday n > 2 va har qanday tabiiy k uchun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ma’lum bo‘lishicha, (2) formula ketma-ketlikning arifmetik progressiya bo‘lishi uchun nafaqat zarur, balki yetarli shartdir.
Arifmetik progressiyaning belgisi. Agar (2) tenglik barcha n > 2 uchun bajarilsa, u holda an ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi.
Isbot. (2) formulani quyidagicha qayta yozamiz:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Bu an+1 an farqi n ga bog‘liq emasligini ko‘rsatadi va bu shunchaki an ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini bildiradi.
Arifmetik progressiyaning xossasi va belgisini bitta gap sifatida shakllantirish mumkin; qulaylik uchun biz buni uchta raqam uchun qilamiz (bu ko'pincha muammolarda yuzaga keladigan holat).
Arifmetik progressiyaning xarakteristikasi. a, b, c uchta son arifmetik progressiya hosil qiladi, agar 2b = a + c bo'lsa.
Muammo 2. (Moskva Davlat universiteti, Iqtisodiyot fakulteti, 2007 yil) Belgilangan tartibda uchta 8x, 3 x2 va 4 raqamlari kamayuvchi arifmetik progressiya hosil qiladi. X toping va bu progressiyaning farqini yozing.
Yechim. Arifmetik progressiyaning xususiyatiga ko'ra biz quyidagilarga egamiz:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Agar x = 1 bo'lsa, u holda 6 farq bilan 8, 2, 4 kamayuvchi progressiya olinadi. Agar x = 5 bo'lsa, u holda 40, 22, 4 ortib borayotgan progressiya olinadi; bu holat ishlamaydi.
Javob: x = 1, farq 6 ga teng.
Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi
Afsonada aytilishicha, bir marta o'qituvchi bolalarga 1 dan 100 gacha bo'lgan raqamlarning yig'indisini topishni buyurgan va gazetani jimgina o'qish uchun o'tirgan. Biroq, bir necha daqiqa ichida bir bola muammoni hal qilganini aytdi. Bu keyinchalik tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri bo'lgan 9 yoshli Karl Fridrix Gauss edi.
Kichkina Gaussning fikri shunday edi. Mayli
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Keling, bu summani teskari tartibda yozamiz:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
va ushbu ikkita formulani qo'shing:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Qavs ichidagi har bir atama 101 ga teng va jami 100 ta shunday atama bor
2S = 101 100 = 10100;
Biz bu fikrdan yig'indi formulasini olish uchun foydalanamiz
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Formulaning (3) foydali modifikatsiyasi n-sonli a = a1 + (n 1)d formulasini unga almashtirish orqali olinadi:
2a1 + (n 1)d |
|||||
3-topshiriq. 13 ga bo'linadigan barcha musbat uch xonali sonlar yig'indisini toping.
Yechim. 13 ga karrali uch xonali sonlar birinchi hadi 104 va ayirmasi 13 bilan arifmetik progressiya hosil qiladi; Bu progressiyaning n-chi hadi:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Keling, bizning progressiyamizda nechta a'zo borligini bilib olaylik. Buning uchun tengsizlikni echamiz:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Shunday qilib, bizning taraqqiyotimizda 69 a'zo bor. Formula (4) bo'yicha biz kerakli miqdorni topamiz:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Kimdir "progressiya" so'zini yuqori matematika bo'limlaridan juda murakkab atama sifatida ehtiyotkorlik bilan ko'rib chiqadi. Ayni paytda, eng oddiy arifmetik progressiya taksi hisoblagichining ishi (ular hali ham qoladi). Va bir nechta elementar tushunchalarni tahlil qilib, arifmetik ketma-ketlikning mohiyatini tushunish (va matematikada "mohiyatni tushunish" dan muhimroq narsa yo'q) unchalik qiyin emas.
Matematik sonlar ketma-ketligi
Raqamli ketma-ketlikni har birining o'z raqami bo'lgan bir qator raqamlar deb atash odatiy holdir.
va 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;
va 2 - ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi;
va 7 - ketma-ketlikning ettinchi a'zosi;
n esa ketma-ketlikning n-chi a'zosi;
Biroq, bizni hech qanday o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni sonli ketma-ketlikka qaratamiz, unda n-a'zoning qiymati uning tartib raqami bilan matematik jihatdan aniq ifodalanishi mumkin bo'lgan bog'liqlik orqali bog'lanadi. Boshqacha qilib aytganda: n-sonning son qiymati n ning qandaydir funktsiyasidir.
a - sonli ketma-ketlik a'zosining qiymati;
n - uning seriya raqami;
f(n) – n son qatoridagi tartib argument bo‘lgan funksiya.
Ta'rif
Arifmetik progressiya odatda sonli ketma-ketlik deb ataladi, unda har bir keyingi had oldingisidan bir xil songa kattaroq (kamroq). Arifmetik ketma-ketlikning n-a’zosi formulasi quyidagicha:
a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
a n+1 - keyingi sonning formulasi;
d - farq (ma'lum bir raqam).
Aniqlash oson, agar farq musbat (d>0) boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan qatorning har bir keyingi aʼzosi oldingisidan katta boʻladi va bunday arifmetik progressiya ortib boradi.
Quyidagi grafikda raqamlar ketma-ketligi nima uchun "o'sish" deb nomlanganini tushunish oson.
Farq salbiy bo'lgan hollarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Belgilangan a'zoning qiymati
Ba'zan arifmetik progressiyaning ba'zi ixtiyoriy had a n qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan kerakligacha ketma-ket hisoblash orqali amalga oshirishingiz mumkin. Biroq, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi muddatning qiymatini topish kerak bo'lsa, bu yo'l har doim ham maqbul emas. An'anaviy hisoblash uzoq vaqt talab etadi. Biroq, ma'lum bir arifmetik progressiyani ma'lum formulalar yordamida tekshirish mumkin. n-chi had uchun formula ham mavjud: arifmetik progressiyaning istalgan a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi a'zosining yig'indisi progressiyaning ayirmasi bilan kerakli a'zoning soniga ko'paytirilgan minus bittasi sifatida aniqlash mumkin. .
Formula progressiyani oshirish va kamaytirish uchun universaldir.
Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli
Arifmetik progressiyaning n-azosining qiymatini topishga oid quyidagi masalani yechamiz.
Shart: parametrlarga ega arifmetik progressiya mavjud:
Ketma-ketlikning birinchi a'zosi 3;
Raqamlar qatoridagi farq 1,2 ga teng.
Vazifa: 214 ta atamaning qiymatini topish kerak
Yechish: berilgan a’zoning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
a(n) = a1 + d(n-1)
Muammo bayonotidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirsak, bizda:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Javob: Ketma-ketlikning 214-a'zosi 258,6 ga teng.
Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 qatordan ko'p bo'lmaydi.
Berilgan a'zolar soni yig'indisi
Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda uning ba'zi segmentlarining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bundan tashqari, har bir atamaning qiymatlarini hisoblash va keyin ularni jamlash kerak emas. Agar yig'indisi topilishi kerak bo'lgan atamalar soni kam bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.
1 dan n gacha bo‘lgan arifmetik progressiya a’zolari yig‘indisi birinchi va n- a’zolar yig‘indisiga teng bo‘lib, n a’zo soniga ko‘paytirilib, ikkiga bo‘linadi. Agar formulada n-chi a'zoning qiymati maqolaning oldingi bandidagi ifoda bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:
Hisoblash misoli
Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:
Ketma-ketlikning birinchi hadi nolga teng;
Farqi 0,5 ga teng.
Masalada 56 dan 101 gacha bo'lgan qator shartlari yig'indisini aniqlash talab etiladi.
Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Birinchidan, muammomizning berilgan shartlarini formulaga almashtirish orqali progressiyaning 101 a'zosi qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Shubhasiz, 56-dan 101-gacha bo'lgan progressiya shartlarining yig'indisini bilish uchun S 101 dan S 55 ni ayirish kerak.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Shunday qilib, ushbu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Arifmetik progressiyaning amaliy qo'llanilishiga misol
Maqolaning oxirida, keling, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma-ketlik misoliga qaytaylik - taksimetr (taksi avtomobili hisoblagichi). Keling, bunday misolni ko'rib chiqaylik.
Taksiga chiqish (bu 3 kmni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Sayohat narxini hisoblang.
1. Narxi qo'nish narxiga kiritilgan dastlabki 3 kmni tashlab qo'yamiz.
30 - 3 = 27 km.
2. Keyingi hisoblash arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.
A'zolar soni - bosib o'tgan kilometrlar soni (birinchi uchtadan minus).
A'zoning qiymati yig'indisidir.
Ushbu muammoning birinchi muddati 1 = 50 rublga teng bo'ladi.
Progressiya farqi d = 22 p.
bizni qiziqtirgan soni - arifmetik progressiyaning (27 + 1) a'zosining qiymati - 27-kilometrning oxirida hisoblagich ko'rsatkichi - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Kalendar ma'lumotlarini o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt davomida hisoblash ma'lum raqamli ketma-ketliklarni tavsiflovchi formulalarga asoslanadi. Astronomiyada orbita uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yoritgichgacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, turli xil sonli qatorlar statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.
Raqamlar qatorining yana bir turi geometrikdir
Geometrik progressiya arifmetik bilan solishtirganda katta o'zgarish tezligi bilan tavsiflanadi. Siyosatda, sotsiologiyada, tibbiyotda ko'pincha ma'lum bir hodisaning, masalan, kasallikning tarqalishining yuqori tezligini ko'rsatish uchun ular epidemiya paytida jarayonni rivojlanadi, deyishlari bejiz emas. geometrik progressiya.
Geometrik sonlar qatorining N- a'zosi oldingisidan farqi shundaki, u qandaydir doimiy songa ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi a'zo 1 ga, maxraj mos ravishda 2 ga teng, keyin:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
b n+1 - geometrik progressiyaning keyingi a'zosining formulasi;
q - geometrik progressiyaning (doimiy son) maxraji.
Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, geometrik bir oz boshqacha rasm chizadi:
Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiya ham ixtiyoriy a'zoning qiymati uchun formulaga ega. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi hadi birinchi hadning ko‘paytmasiga va n ning darajasiga kamaytirilgan progressiyaning maxrajiga teng:
Misol. Birinchi hadi 3 ga, progressiyaning maxraji esa 1,5 ga teng geometrik progressiyamiz bor. Progressiyaning 5-chi hadini toping
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875
Berilgan a'zolar sonining yig'indisi ham maxsus formula yordamida hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n a’zosining yig‘indisi progressiyaning n-a a’zosi bilan uning maxraji va progressiyaning birinchi a’zosi o‘rtasidagi ayirmaning bir kamaytirilgan maxrajiga bo‘linganiga teng:
Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalanib almashtirilsa, ko'rib chiqilayotgan sonlar qatorining birinchi n a'zosi yig'indisining qiymati quyidagicha bo'ladi:
Misol. Geometrik progressiya 1 ga teng birinchi haddan boshlanadi. Maxraj 3 ga teng o'rnatiladi. Birinchi sakkiz hadning yig'indisini topamiz.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
