Maktabga tayyorgarlik

Arifmetik progressiyani yechishni qanday o'rganish kerak. Algebra: arifmetik va geometrik progressiyalar. Arifmetik progressiya yig‘indisi

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uch ga farq qiladi (oldingi elementdan uchtasini qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) ham bo'lishi mumkin salbiy raqam. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiya masalalarini yechish

Aslida, yuqorida keltirilgan ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan belgilanadi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlaymiz: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani osongina topishimiz mumkin: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan aniqlanadi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Ammo biz ularning ma'nosini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan narsalardan foydalanib, qiymatlarni birma-bir hisoblaymiz:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kerakli miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiya bo'yicha ko'plab muammolarni asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi xuddi shu sonni oldingisiga qo'shish orqali olinadi ( progressiyaning farqi).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. To'rt \(385\) marta qo'shishimiz kerakmi? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblashdan charchadingiz...

Shuning uchun, bunday hollarda ular narsalarni "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va \(n\) birinchi hadlar yig‘indisi formulasi.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi hadi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) – progressiyaning \(n\) raqami bilan atamasi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilgan holda hatto uch yuzinchi yoki millioninchi elementni ham tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh shartning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi shartlarning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsil ma'lumot uchun qarang). Birinchi elementni \(n\) o‘rniga bitta element qo‘yib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - \(n\) birinchi elementlarning kerakli yig'indisi;
\(a_1\) - birinchi yig'indisi;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - jami elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan mavzuni tugatamiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Xuddi shu narsani hal qilishni boshlaymiz: birinchi navbatda \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi men yig'indining formulasiga \(d\) ni almashtirmoqchiman ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Biz birinchi ijobiy elementga yetganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Noldan katta bo'lish uchun bizga \(a_n\) kerak. Keling, \(n\) bu nima sodir bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Keling, hisoblab chiqaylik ...
\(n>65,333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi manfiyda \(n=65\) mavjud. Har holda, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) elementgacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bunday holat uchun bizda formula yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Bu oson - yig'indini \(26\)-dan \(42\)-chigacha olish uchun avval \(1\)-chidan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, keyin ayirish kerak. undan birinchidan \(25\)gacha bo'lgan summa (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz uchun \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-y elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\) elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Sonlar ketma-ketligi tushunchasi har bir natural sonning qandaydir haqiqiy qiymatga mos kelishini nazarda tutadi. Bunday raqamlar qatori ixtiyoriy bo'lishi yoki ma'lum xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin - progressiya. Ikkinchi holda, ketma-ketlikning har bir keyingi elementi (a'zosi) avvalgisidan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Arifmetik progressiya sonli qiymatlar ketma-ketligi bo'lib, unda qo'shni a'zolar bir-biridan bir xil son bilan farqlanadi (2-dan boshlab qatorning barcha elementlari o'xshash xususiyatga ega). Bu raqam - oldingi va keyingi hadlar orasidagi farq - doimiy bo'lib, progressiya farqi deb ataladi.

Progressiya farqi: ta'rif

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j toʻplamga tegishli j qiymatlaridan tashkil topgan ketma-ketlikni koʻrib chiqing. natural sonlar N. Arifmetik progressiya, ta’rifiga ko‘ra, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ketma-ketlikdir. ) – a(j-1) = d. d qiymati bu progressiyaning istalgan farqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Ajratish:

Ortib boruvchi progressiya, u holda d > 0. Misol: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Progressiyani kamaytirish, keyin d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Farq progressiyasi va uning ixtiyoriy elementlari

Agar progressiyaning 2 ta ixtiyoriy shartlari ma'lum bo'lsa (i-chi, k-th), u holda berilgan ketma-ketlik uchun farqni bog'liqlik asosida aniqlash mumkin:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ya’ni d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressiyaning farqi va uning birinchi muddati

Bu ifoda faqat ketma-ketlik elementining soni ma'lum bo'lgan hollarda noma'lum qiymatni aniqlashga yordam beradi.

Progressiya farqi va uning yig'indisi

Progressiya yig'indisi uning shartlari yig'indisidir. Uning birinchi j elementlarining umumiy qiymatini hisoblash uchun tegishli formuladan foydalaning:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lekin beri a(j) = a(1) + d(j – 1), keyin S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Matematikaning ham rasm va she’riyat kabi o‘ziga xos go‘zalligi bor.

Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy

Juda keng tarqalgan vazifalar kirish imtihonlari matematikada arifmetik progressiya tushunchasiga oid masalalar. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xususiyatlarini yaxshi bilishingiz va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lishingiz kerak.

Keling, avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaylik va eng muhim formulalarini keltiramiz, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.

Ta'rif. Raqamlar ketma-ketligi, unda har bir keyingi atama oldingisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Bu holda raqamprogressiya farqi deb ataladi.

Arifmetik progressiya uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

, (1)

Qayerda. Formula (1) arifmetik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatini ifodalaydi: progressiyaning har bir hadi unga qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga to'g'ri keladi va .

E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb ataladi.

Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:

(3)

Miqdorni hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning shartlariodatda formuladan foydalaniladi

(5) qayerda va .

Agar formulani hisobga olsak (1), keyin (5) formuladan kelib chiqadi

Agar ni belgilasak, u holda

Qayerda. Chunki (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarning umumlashmasidir.

Ayniqsa , (5) formuladan kelib chiqadi, Nima

Ko‘pchilik talabalarga arifmetik progressiyaning quyidagi teorema orqali tuzilgan xossasi unchalik ma’lum emas.

Teorema. Agar , keyin

Isbot. Agar , keyin

Teorema isbotlangan.

Masalan , teoremadan foydalanish, buni ko'rsatish mumkin

Keling, "Arifmetik progressiya" mavzusidagi muammolarni echishning odatiy misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Toping.

Yechim. Formuladan (6) foydalanib, biz . Buyon va , keyin yoki .

2-misol. U uch marta katta bo'lsin va qismga bo'linganda natija 2, qolgan 8 bo'ladi. va ni aniqlang.

Yechim. Misol shartlaridan tenglamalar tizimi kelib chiqadi

Chunki, , va , keyin (10) tenglamalar sistemasidan olamiz

Bu tenglamalar sistemasining yechimi va.

3-misol. If va ni toping.

Yechim. Formula (5) bo'yicha bizda yoki . Biroq, (9) xususiyatdan foydalanib, biz ni olamiz.

beri va , keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki .

4-misol. Agar toping.

Yechim.Formula (5) bo'yicha bizda mavjud

Biroq, teoremadan foydalanib, biz yozishimiz mumkin

Bu yerdan va formuladan (11) ni olamiz.

5-misol. Berilgan: . Toping.

Yechim. O'shandan beri. Biroq, shuning uchun.

6-misol. Keling, va. Toping.

Yechim. Formuladan (9) foydalanib, biz . Shuning uchun, agar , keyin yoki .

O'shandan beri va u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud

Qaysi birini yechsak, va ni olamiz.

Tenglamaning tabiiy ildizi hisoblanadi .

7-misol. If va ni toping.

Yechim.(3) formulaga muvofiq bizda shunday bo'lganligi sababli, tenglamalar tizimi masala shartlaridan kelib chiqadi

Agar ifodani almashtirsaktizimning ikkinchi tenglamasiga, keyin biz yoki ni olamiz.

Ildizlar kvadrat tenglama bor Va .

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

1. Mayli, keyin . O'shandan beri va keyin.

Bunday holda, (6) formulaga muvofiq, biz bor

2. Agar , keyin , va

Javob: va.

8-misol. Ma'lumki, va. Toping.

Yechim. Formula (5) va misolning shartini hisobga olib, va yozamiz.

Bu tenglamalar tizimini nazarda tutadi

Agar biz tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va keyin uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz hosil bo'lamiz.

Formula (9) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (12) dan kelib chiqadi. yoki .

O'shandan beri va keyin.

Javob: .

9-misol. If va ni toping.

Yechim. Buyon , va sharti bilan , keyin yoki .

Formuladan (5) ma'lum, Nima . O'shandan beri.

Demak, bu erda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud

Bu yerdan biz va . Formula (8) ni hisobga olgan holda biz yozamiz.

10-misol. Tenglamani yeching.

Yechim. Kimdan berilgan tenglama Bunga ergashadi. Faraz qilaylik, , va . Unday bo `lsa .

Formula (1) bo'yicha biz yoki yozishimiz mumkin.

dan beri (13) tenglama yagona mos ildizga ega.

11-misol. va sharti bilan maksimal qiymatni toping.

Yechim. dan boshlab, u holda ko'rib chiqilayotgan arifmetik progressiya kamayib bormoqda. Shu munosabat bilan ifoda progressiyaning minimal musbat hadining soni bo'lganda o'zining maksimal qiymatini oladi.

Keling, (1) formuladan va faktdan foydalanamiz, bu va . Keyin biz buni olamiz yoki .

dan beri, keyin yoki . Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, Shunung uchun .

Agar va ning qiymatlari (6) formulaga almashtirilsa, biz .

Javob: .

12-misol. Barcha ikki xonali natural sonlar yig‘indisini aniqlang, ular 6 raqamiga bo‘linganda 5 ta qoldiq qoladi.

Yechim. Barcha ikki xonali natural sonlar to'plami bilan belgilaymiz, ya'ni. . Keyinchalik, biz to'plamning o'sha elementlaridan (raqamlaridan) iborat bo'lgan kichik to'plamni tuzamiz, u 6 raqamiga bo'linganda 5 ning qoldig'ini beradi.

O'rnatish oson, Nima . Shubhasiz, to'plamning elementlariarifmetik progressiya hosil qiling, unda va .

To'plamning kardinalligini (elementlar sonini) aniqlash uchun, deb faraz qilamiz. Chunki va , (1) yoki formuladan kelib chiqadi. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz .

Muammoni hal qilishning yuqoridagi misollari hech qachon to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola tahlil asosida yozilgan zamonaviy usullar berilgan mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilish. Arifmetik progressiya bilan bog'liq masalalarni yechish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish tavsiya etiladi.

1. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: qo'shimcha bo'limlar maktab o'quv dasturi. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 b.

3. Medinskiy M.M. Muammolar va mashqlarda elementar matematikaning to'liq kursi. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. – 208 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Arifmetik progressiya yig‘indisi.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi oddiy narsadir. Ham ma'noda, ham formulada. Ammo bu mavzu bo'yicha har xil vazifalar mavjud. Oddiydan ancha mustahkamgacha.

Birinchidan, miqdorning ma'nosi va formulasini tushunamiz. Va keyin biz qaror qilamiz. O'z zavqingiz uchun.) Miqdorning ma'nosi moo kabi oddiy. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha shartlarini diqqat bilan qo'shish kifoya. Agar bu shartlar oz bo'lsa, siz formulalarsiz qo'shishingiz mumkin. Lekin ko'p bo'lsa yoki ko'p bo'lsa ... qo'shish bezovta qiladi.) Bunday holda, formula yordamga keladi.

Miqdorning formulasi oddiy:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsalarni aniqlaydi.

S n - arifmetik progressiya yig'indisi. Qo'shish natijasi hamma a'zolari, bilan birinchi tomonidan oxirgi. Bu muhim. Ular aniq qo'shiladi Hammasi a'zolarni ketma-ket, o'tkazib yubormasdan yoki o'tkazib yubormasdan. Va, aniqrog'i, dan boshlab birinchi. Uchinchi va sakkizinchi hadlar yig'indisini yoki beshinchi va yigirmanchi hadlar yig'indisini topish kabi masalalarda formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash umidsizlikka olib keladi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Seriyaning oxirgi soni. Juda tanish nom emas, lekin miqdorga qo'llanilganda, bu juda mos keladi. Keyin o'zingiz ko'rasiz.

n - oxirgi a'zoning raqami. Formulada bu raqamni tushunish muhimdir qo'shilgan atamalar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zosi a n. Qiyin savol: qaysi a'zo bo'ladi Oxirgisi berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?)

Ishonch bilan javob berish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini tushunishingiz kerak va... topshiriqni diqqat bilan o'qing!)

Arifmetik progressiya yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi had paydo bo'ladi (to'g'ridan-to'g'ri yoki bilvosita), qaysi chegaralanishi kerak. Aks holda, yakuniy, aniq miqdor oddiygina mavjud emas. Yechim uchun progressiyaning berilganligi muhim emas: chekli yoki cheksiz. Qanday qilib berilganligi muhim emas: raqamlar qatori yoki n-sonli formula.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi hadidan boshlab raqam bilan atamagacha ishlashini tushunishdir n. Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Bu birinchi a'zolarning soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu barcha qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlanadi, ha ... Lekin hech qanday holatda, quyida keltirilgan misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiya yig‘indisi bo‘yicha topshiriqlarga misollar.

Eng avvalo, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiya yig‘indisi bilan bog‘liq topshiriqlardagi asosiy qiyinchilik formula elementlarini to‘g‘ri aniqlashdadir.

Vazifa mualliflari bu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlashadi.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunib, ularni shunchaki shifrlash kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan vazifa bilan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan berilgan: a n = 2n-3,5. Uning dastlabki 10 ta hadining yig‘indisini toping.

Yaxshi bajarilgan ish. Oson.) Formuladan foydalanib miqdorni aniqlash uchun biz nimani bilishimiz kerak? Birinchi a'zo a 1, oxirgi muddat a n, ha oxirgi a'zoning raqami n.

Oxirgi a'zo raqamini qayerdan olsam bo'ladi? n? Ha, shart bilan! Unda aytiladi: yig'indini toping birinchi 10 a'zo. Xo'sh, u qaysi raqam bilan bo'ladi? oxirgi, o'ninchi a'zo?) Ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Shuning uchun, o'rniga a n Biz formulaga almashtiramiz a 10, va o'rniga n- o'n. Takror aytaman, oxirgi a'zoning soni a'zolar soniga to'g'ri keladi.

Bu aniqlash uchun qoladi a 1 Va a 10. Bu masala bayonida berilgan n-son uchun formula yordamida osonlik bilan hisoblanadi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga qatnashing, busiz hech qanday yo'l yo'q.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiya yig'indisi formulasining barcha elementlarining ma'nosini aniqladik. Faqat ularni almashtirish va hisoblash qoladi:

Bo'ldi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Ayirmasi 3,7 ga teng arifmetik progressiya (a n) berilgan; a 1 =2,3. Uning dastlabki 15 ta hadining yig‘indisini toping.

Biz darhol yig'indi formulasini yozamiz:

Bu formula har qanday atamaning qiymatini uning soni bo'yicha topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidiramiz:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Arifmetik progressiya yig'indisi formulasiga barcha elementlarni almashtirish va javobni hisoblash qoladi:

Javob: 423.

Aytgancha, o'rniga yig'indisi formulada bo'lsa a n Biz oddiygina n-sonli formulani almashtiramiz va olamiz:

Keling, shunga o'xshashlarni keltiramiz va arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda talab qilinmaydi n-chi davr a n. Ba'zi muammolarda bu formula juda ko'p yordam beradi, ha ... Bu formulani eslab qolishingiz mumkin. Yoki bu yerda bo'lgani kabi, uni kerakli vaqtda ko'rsatishingiz mumkin. Axir, siz har doim yig'indining formulasini va n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Hamma musbatlarning yig‘indisini toping ikki xonali raqamlar, uchga karrali.

Voy-buy! Na birinchi a'zongiz, na oxirgi, na progressiyangiz... Qanday yashash kerak!?

Siz boshingiz bilan o'ylab, shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak bo'ladi. Ikki xonali sonlar nima ekanligini bilamiz. Ular ikkita sondan iborat.) Ikki xonali son qanday bo'ladi birinchi? 10, ehtimol.) A oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch xonalilar unga ergashadi ...

Uchning karralari... Hm... Bular uchga bo'linadigan sonlar, mana! O'n uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi... 12... bo'linadi! Shunday qilib, nimadir paydo bo'ladi. Siz allaqachon muammoning shartlariga ko'ra bir qator yozishingiz mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir atama oldingisidan qat'iy uchta farq qiladi. Agar siz atamaga 2 yoki 4 qo'shsangiz, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi 3 ga bo'linmaydi. Arifmetik progressiyaning farqini darhol aniqlashingiz mumkin: d = 3. Bu foydali bo'ladi!)

Shunday qilib, biz ba'zi progressiv parametrlarni xavfsiz yozishimiz mumkin:

Raqam nima bo'ladi? n oxirgi a'zo? Kim 99 deb o'ylagan bo'lsa, adashadi... Raqamlar har doim ketma-ket keladi, lekin bizning a'zolarimiz uchtadan oshib ketadi. Ular mos kelmaydi.

Bu erda ikkita yechim bor. Bir yo'l - o'ta mehnatkashlar uchun. Siz ketma-ketlikni, raqamlarning butun qatorini yozib olishingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi usul - o'ylanganlar uchun. Siz n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak. Agar formulani muammomizga qo'llasak, 99 progressiyaning o'ttizinchi hadi ekanligini topamiz. Bular. n = 30.

Arifmetik progressiya yig‘indisining formulasini ko‘rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va xursand bo'lamiz.) Biz muammo bayonnomasidan miqdorni hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani chiqardik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Faqat elementar arifmetika qoladi. Raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

Javob: 1665

Mashhur jumboqning yana bir turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan o‘ttiz to‘rtgacha bo‘lgan hadlar yig‘indisini toping.

Biz miqdor formulasini ko'rib chiqamiz va ... biz xafa bo'lamiz.) Formula, sizga eslatib o'taman, miqdorni hisoblab chiqadi. birinchidan a'zosi. Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchi yildan beri ... Formula ishlamaydi.

Siz, albatta, ketma-ket ketma-ket jarayonni yozib, 20 dan 34 gacha shartlarni qo'shishingiz mumkin. Lekin ... bu qandaydir ahmoqona va uzoq vaqt talab etadi, shunday emasmi?)

Yana oqlangan yechim bor. Keling, seriyamizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi davrdan to o'n to'qqizinchi muddatgacha. Ikkinchi qism - yigirma dan o'ttiz to'rtgacha. Agar birinchi qism shartlarining yig'indisini hisoblasak, aniq S 1-19, uni ikkinchi qism shartlari yig'indisi bilan qo'shamiz S 20-34, biz birinchi haddan o'ttiz to'rtinchigacha progressiyaning yig'indisini olamiz S 1-34. Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bundan ko'ramizki, yig'indini topadi S 20-34 oddiy ayirish orqali amalga oshirilishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tomondagi ikkala miqdor ham hisobga olinadi birinchidan a'zosi, ya'ni. standart yig'indi formulasi ular uchun juda mos keladi. Qani boshladik?

Muammo bayonotidan progressiya parametrlarini chiqaramiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 shartlarning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34-shartlar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-masaladagi kabi n-sonli formuladan foydalanib hisoblaymiz:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hech narsa qolmadi. 34 ta aʼzoning yigʻindisidan 19 ta hadning yigʻindisi ayiriladi:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Javob: 262.5

Bitta muhim eslatma! Bu muammoni hal qilishda juda foydali hiyla bor. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik kerak bo'lmagan narsa - S 1-19. Va keyin ular qaror qilishdi S 20-34, to'liq natijadan keraksizlarni olib tashlash. Bunday "quloqlar bilan hiyla" ko'pincha sizni yomon muammolardan qutqaradi.)

Ushbu darsda biz arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosini tushunish uchun etarli bo'lgan muammolarni ko'rib chiqdik. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahat:

Arifmetik progressiya yig'indisi bilan bog'liq har qanday muammoni hal qilishda men ushbu mavzuning ikkita asosiy formulasini darhol yozishni tavsiya qilaman.

n-son uchun formula:

Ushbu formulalar sizga muammoni hal qilish uchun nimani izlash va qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga boʻlinmaydigan barcha ikki xonali sonlar yigʻindisini toping.

Ajoyib?) Maslahat 4-muammoga eslatmada yashiringan. Xo'sh, 3-muammo yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan beriladi: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Uning dastlabki 24 ta hadining yig‘indisini toping.

Noodatiymi?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Bog'lanishni e'tiborsiz qoldirmang, bunday muammolar ko'pincha Davlat Fanlar akademiyasida topiladi.

7. Vasya bayram uchun pul yig'di. 4550 rublgacha! Va men sevimli odamga (o'zimga) bir necha kunlik baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani inkor etmasdan go'zal yashang. Birinchi kunida 500 rubl sarflang va har bir keyingi kuni avvalgisidan 50 rubl ko'proq sarflang! Pul tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga erishdi?

Qiyinmi?) 2-masaladagi qo'shimcha formula yordam beradi.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisigacha, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda bor raqamlar ketma-ketligi, unda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'ladi.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.

Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va belgilanadi.

Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.

Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortishi yoki kamayishi mumkin.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:

Keling, ah, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:

progressiyaning oldingi muddati:
progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan osonlik bilan chiqarilgan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, o'qituvchi boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, sinfda quyidagi vazifani berdi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...

Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.

Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi - piramida qurilishi... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.

Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?

Javoblar:

Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kunlar).
Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.
Birinchidan toq raqam, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiya farqi.
Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:
Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.
Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

- qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:

, bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:

(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).

Shunday qilib, formula:

U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlarning yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi raqamlarning yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-sonining formulasi:

Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyada nechta atama bor?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob:
Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:
Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
(km).
Javob:
Berilgan: . Toping: .
Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
(rub).
Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.

Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga "oyiga bir chashka qahva" narxiga tayyorlaning.

Shuningdek, "YouClever" darsligiga, "100gia" tayyorgarlik dasturiga (ishchi kitobiga) cheksiz kirish, cheksiz Yagona davlat ekspertizasi va OGE, 6000 yechimlarni tahlil qilish va boshqa xizmatlar YouClever va 100gia muammolari.