“Kompleks sonning trigonometrik shakli” mavzusidagi ma’ruza. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli Trigonometrik shaklda ifodalanadi

3.1. Polar koordinatalar

Ko'pincha samolyotda ishlatiladi qutbli koordinatalar tizimi . Agar O nuqta berilgan bo'lsa, aniqlanadi qutb, va qutbdan chiqadigan nur (biz uchun bu o'q Ox) - qutb o'qi. M nuqtasining pozitsiyasi ikkita raqam bilan belgilanadi: radius (yoki radius vektori) va qutb o'qi va vektor orasidagi burchak ph. ph burchagi deyiladi qutb burchagi; radianlarda o'lchanadi va qutb o'qidan soat miliga teskari hisoblangan.

Nuqtaning qutb koordinatalari sistemasidagi o‘rni tartiblangan juft sonlar (r; ph) bilan beriladi. Qutbda r = 0, va ph aniqlanmagan. Boshqa barcha nuqtalar uchun r > 0, va ph 2p ning karrali bo'lgan a'zoga qadar aniqlanadi. Bunda (r; ph) va (r 1 ; ph 1) juft sonlar bir xil nuqta bilan bog'lanadi, agar .

To'rtburchak koordinatalar tizimi uchun xOy Nuqtaning dekart koordinatalari uning qutb koordinatalari bilan quyidagicha oson ifodalanadi:

3.2. Kompleks sonning geometrik talqini

Keling, tekislikdagi Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik xOy.

Har qanday kompleks son z=(a, b) tekislikdagi nuqta bilan ( koordinatali) bog‘langan. x, y), Qayerda koordinata x = a, ya'ni. kompleks sonning haqiqiy qismi, y = bi koordinatasi esa xayoliy qismdir.

Nuqtalari kompleks sonlar bo'lgan tekislik kompleks tekislikdir.

Rasmda kompleks son z = (a, b) nuqtaga mos keladi M(x, y).

Mashq qilish.Koordinata tekisligida kompleks sonlarni chizing:

3.3. Kompleks sonning trigonometrik shakli

Tekislikdagi kompleks son nuqtaning koordinatalariga ega M(x;y). Bunda:

Kompleks sonni yozish - kompleks sonning trigonometrik shakli.

r raqami chaqiriladi modul murakkab son z va belgilangan. Modul manfiy bo'lmagan haqiqiy sondir. Uchun .

Modul nolga teng, agar va faqat z = 0, ya'ni. a = b = 0.

ph raqami chaqiriladi argument z va belgilanadi. z argumenti qutb koordinatalari tizimidagi qutb burchagi kabi noaniq tarzda, ya'ni 2p ga karrali bo'lgan atamagacha aniqlanadi.

Keyin biz qabul qilamiz: , bu erda ph argumentning eng kichik qiymati. Bu aniq

.

Mavzuni chuqurroq o'rganishda yordamchi argument ph* kiritiladi, shunday qilib

1-misol. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping.

Yechim. 1) modulni ko'rib chiqing: ;

2) ph ni qidirmoqda: ;

3) trigonometrik shakl:

2-misol. Kompleks sonning algebraik shaklini toping .

Bu erda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini almashtirish va ifodani o'zgartirish kifoya:

3-misol. Kompleks sonning moduli va argumentini toping;

1) ;

2) ; ph – 4 chorakda:

3.4. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar bilan amallar

· Qo‘shish va ayirish Algebraik shaklda murakkab sonlar bilan ishlash qulayroq:

· Ko'paytirish– oddiy trigonometrik o'zgarishlar yordamida buni ko'rsatish mumkin Ko'paytirishda raqamlarning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi: ;

2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Vektor kompleks tekislikda raqam bilan aniqlansin.

Musbat yarim o'q Ox va vektor orasidagi burchakni ph bilan belgilaymiz (agar ph burchagi soat miliga teskari yo'nalishda o'lchansa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi).

Vektor uzunligini r bilan belgilaymiz. Keyin. Biz ham belgilaymiz

Nolga teng bo'lmagan z kompleks sonini ko'rinishda yozish

z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi. r soni z kompleks sonining moduli, ph soni esa bu kompleks sonning argumenti deyiladi va Arg z bilan belgilanadi.

Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli - (Eyler formulasi) - kompleks sonni yozishning eksponensial shakli:

Kompleks z soni cheksiz ko'p argumentlarga ega: agar ph0 z sonining har qanday argumenti bo'lsa, qolgan barcha raqamlarni formuladan foydalanib topish mumkin.

Kompleks son uchun argument va trigonometrik shakl aniqlanmagan.

Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kompleks sonning argumenti tenglamalar tizimining har qanday yechimidir:

(3)

Kompleks z argumentining tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ph qiymati asosiy qiymat deyiladi va arg z bilan belgilanadi.

Arg z va arg z argumentlari bilan bog'langan

, (4)

Formula (5) bu (3) sistemaning natijasidir, shuning uchun kompleks sonning barcha argumentlari tenglikni (5) qondiradi, lekin (5) tenglamaning barcha ph yechimlari z sonining argumentlari emas.

Nolga teng bo'lmagan kompleks son argumentining asosiy qiymati formulalar bo'yicha topiladi:

Trigonometrik shaklda kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish formulalari quyidagicha:

. (7)

Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarishda Moivre formulasi qo'llaniladi:

Murakkab sonning ildizini olishda quyidagi formuladan foydalaniladi:

, (9)

bu yerda k=0, 1, 2, …, n-1.

Masala 54. Qaerda ni hisoblang.

Kompleks sonni yozishning eksponensial shaklida bu ifodaning yechimini keltiramiz: .

Agar, keyin.

Keyin, . Shuning uchun, keyin Va , Qayerda.

Javob: , da .

Masala 55. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda yozing:

A) ; b) ; V); G) ; d) ; e) ; va).

Kompleks sonning trigonometrik ko'rinishi bo'lganligi sababli, u holda:

a) Kompleks sonda: .

,

Shunung uchun

b) , qayerda ,

G) , qayerda ,

e) .

va) , A , Bu.

Shunung uchun

Javob: ; 4; ; ; ; ; .

Masala 56. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping

.

Keling, .

Keyin, , .

O'shandan beri va , , keyin, va

Shuning uchun, , shuning uchun

Javob: , Qayerda.

Masala 57. Kompleks sonning trigonometrik shaklidan foydalanib, quyidagi amallarni bajaring: .

Keling, raqamlarni tasavvur qilaylik va trigonometrik shaklda.

1) , qayerda Keyin

Asosiy argumentning qiymatini toping:

Keling, qiymatlarni va ifodaga almashtiramiz, biz olamiz

2) , unda qayerda

Keyin

3) Keling, qismni topamiz

k=0, 1, 2 deb faraz qilsak, kerakli ildizning uch xil qiymatini olamiz:

Agar , keyin

agar , keyin

agar , keyin .

Javob: :

:

: .

Masala 58. , , , har xil kompleks sonlar va bolsin . Buni isbotlang

a) raqam haqiqiy ijobiy raqam;

b) tenglik amal qiladi:

a) Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

Chunki .

Keling, shunday da'vo qilaylik. Keyin

.

Oxirgi ifoda musbat sondir, chunki sinus belgilarida intervaldan raqamlar mavjud.

raqamdan beri haqiqiy va ijobiy. Haqiqatan ham, agar a va b murakkab sonlar bo'lsa va haqiqiy va noldan katta bo'lsa, u holda .

Bundan tashqari,

shuning uchun kerakli tenglik isbotlangan.

Masala 59. Sonni algebraik shaklda yozing .

Sonni trigonometrik shaklda ifodalaymiz va keyin uning algebraik shaklini topamiz. Bizda ... bor . Uchun biz tizimni olamiz:

Bu tenglikni anglatadi: .

Moivre formulasini qo'llash: ,

olamiz

Berilgan sonning trigonometrik shakli topiladi.

Endi bu raqamni algebraik shaklda yozamiz:

.

Javob: .

Masala 60. , , yig‘indisini toping.

Keling, miqdorni ko'rib chiqaylik

Moivre formulasini qo'llagan holda topamiz

Bu yig‘indi maxrajli geometrik progressiyaning n ta hadining yig‘indisidir va birinchi a'zo .

Bunday progressiyaning shartlari yig'indisi uchun formulani qo'llash, biz bor

Oxirgi ifodada xayoliy qismni ajratib, biz topamiz

Haqiqiy qismni ajratib, biz quyidagi formulani ham olamiz: , , .

Masala 61. Yig‘indini toping:

A) ; b) .

Nyutonning ko'rsatkichlar formulasiga ko'ra, biz bor

Moivre formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Olingan iboralarning haqiqiy va xayoliy qismlarini tenglashtirib, bizda:

Va .

Bu formulalarni ixcham shaklda quyidagicha yozish mumkin:

,

, bu yerda a sonining butun qismi.

Muammo 62. Hammasini toping, buning uchun.

Chunki , keyin formuladan foydalaning

, Ildizlarni olish uchun biz olamiz ,

Demak, , ,

, .

Raqamlarga mos keladigan nuqtalar markazi (0;0) nuqtada bo'lgan radiusi 2 bo'lgan doira ichiga chizilgan kvadratning uchlarida joylashgan (30-rasm).

Javob: , ,

, .

Masala 63. Tenglamani yeching , .

Shart bo'yicha; shuning uchun bu tenglama ildizga ega emas va shuning uchun u tenglamaga ekvivalentdir.

z soni bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun son 1 sonining n- ildizi bo'lishi kerak.

Bu erdan biz dastlabki tenglamaning tengliklardan aniqlangan ildizlari bor degan xulosaga kelamiz

,

Shunday qilib,

,

ya'ni ,

Javob: .

Masala 64. Kompleks sonlar to‘plamidagi tenglamani yeching.

Raqam bu tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, bu tenglama uchun tenglamaga ekvivalentdir.

Ya'ni, tenglama.

Ushbu tenglamaning barcha ildizlari formuladan olinadi (62-masalaga qarang):

; ; ; ; .

Masala 65. Kompleks tekislikda tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini chizing: . (45- muammoni hal qilishning ikkinchi usuli)

Mayli .

Bir xil modullarga ega bo'lgan murakkab sonlar, boshning markazida joylashgan aylanada yotgan tekislikdagi nuqtalarga to'g'ri keladi, shuning uchun tengsizlik boshi va radiuslari umumiy markazga ega aylanalar bilan chegaralangan ochiq halqaning barcha nuqtalarini qanoatlantiring va (31-rasm). Kompleks tekislikning qaysidir nuqtasi w0 soniga mos kelsin. Raqam , moduli w0 modulidan bir necha marta kichikroq va argumenti w0 argumentidan kattaroqdir. Geometrik nuqtai nazardan, w1 ga mos keladigan nuqtani boshlang'ichda markaz va koeffitsientga ega bo'lgan gomotetika yordamida, shuningdek, koordinatali nuqtaga nisbatan soat miliga teskari burchak bilan aylanish yordamida olinishi mumkin. Ushbu ikkita o'zgartirishni halqa nuqtalariga qo'llash natijasida (31-rasm), ikkinchisi bir xil markaz va radiuslari 1 va 2 bo'lgan doiralar bilan chegaralangan halqaga aylanadi (32-rasm).

Konvertatsiya vektorga parallel uzatish yordamida amalga oshiriladi. Markazi bo'lgan halqani ko'rsatilgan vektorga o'tkazib, biz nuqtadagi markaz bilan bir xil o'lchamdagi halqani olamiz (22-rasm).

Samolyotning geometrik o'zgarishlari g'oyasidan foydalanadigan taklif qilingan usul, ehtimol, tasvirlash uchun unchalik qulay emas, lekin juda oqlangan va samarali.

Muammo 66. Agar toping .

Keling, keyin va. Dastlabki tenglik shaklni oladi . Ikkita kompleks sonning tenglik shartidan , , , undan , ni olamiz. Shunday qilib, .

z sonini trigonometrik shaklda yozamiz:

, Qayerda ,. Moivr formulasiga ko'ra, biz topamiz.

Javob: – 64.

Masala 67. Kompleks son uchun , va kabi barcha kompleks sonlarni toping .

Raqamni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

. Bu yerdan, . Biz olgan raqam uchun yoki ga teng bo'lishi mumkin.

Birinchi holda , ikkinchisida

.

Javob: , .

Masala 68. Shunday sonlar yig’indisini toping. Iltimos, ushbu raqamlardan birini ko'rsating.

E'tibor bering, masalaning tuzilishidan shuni tushunish mumkinki, tenglamaning ildizlari yig'indisini ildizlarning o'zini hisoblamasdan topish mumkin. Haqiqatan ham, tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun koeffitsient, qarama-qarshi belgi bilan qabul qilingan (umumlashtirilgan Vyeta teoremasi), ya'ni.

Talabalar, maktab hujjatlari, ushbu kontseptsiyani o'zlashtirish darajasi to'g'risida xulosa chiqaradilar. Matematik tafakkur xususiyatlari va kompleks son tushunchasini shakllantirish jarayonini o'rganishni umumlashtiring. Usullarning tavsifi. Diagnostika: I bosqich. Suhbat 10-sinfda algebra va geometriya fanlaridan dars beradigan matematika o‘qituvchisi bilan olib borildi. Suhbat boshidan biroz vaqt o'tgandan keyin bo'lib o'tdi...

Rezonans” (!)), bu o‘z xulq-atvorini baholashni ham o‘z ichiga oladi. 4. Vaziyatni tushunishni tanqidiy baholash (shubhalar). 5. Nihoyat, yuridik psixologiya tavsiyalaridan foydalanish (advokat psixologik holatni hisobga oladi). bajariladigan kasbiy harakatlarning jihatlari – kasbiy psixologik tayyorgarlik).Endi huquqiy faktlarning psixologik tahlilini ko‘rib chiqamiz...

Trigonometrik almashtirish matematikasi va ishlab chiqilgan o'qitish metodikasi samaradorligini tekshirish. Ish bosqichlari: 1. “Trigonometrik almashtirishni algebraik masalalarni yechishda qo’llash” mavzusi bo’yicha fakultativ kursni matematika chuqurlashtirilgan sinflarda o’quvchilar bilan birgalikda ishlab chiqish. 2. Ishlab chiqilgan tanlov kursini o'tkazish. 3. Diagnostik testni o'tkazish ...

Kognitiv vazifalar faqat mavjud o'quv qo'llanmalarini to'ldirish uchun mo'ljallangan va ta'lim jarayonining barcha an'anaviy vositalari va elementlari bilan uyg'un kombinatsiyada bo'lishi kerak. Gumanitar fanlarni o‘qitishdagi ta’lim muammolarining aniq masalalardan matematik masalalardan farqi shundaki, tarixiy masalalarda formulalar, qat’iy algoritmlar va hokazolar mavjud emas, bu esa ularni yechish jarayonini murakkablashtiradi. ...

KOMPLEKS RAQAMLAR XI

§ 256. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Kompleks son bo'lsin a + bi vektorga mos keladi O.A.> koordinatalari bilan ( a, b ) (332-rasmga qarang).

Bu vektorning uzunligini quyidagicha belgilaymiz r , va uning o'q bilan qilgan burchagi X , orqali φ . Sinus va kosinusning ta'rifi bo'yicha:

a / r =cos φ , b / r = gunoh φ .

Shunung uchun A = r cos φ , b = r gunoh φ . Ammo bu holda kompleks son a + bi quyidagicha yozilishi mumkin:

a + bi = r cos φ + ir gunoh φ = r (chunki φ + i gunoh φ ).

Ma'lumki, har qanday vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yig'indisiga teng. Shunung uchun r 2 = a 2 + b 2, qayerdan r = √a 2 + b 2

Shunday qilib, har qanday murakkab son a + bi shaklida ifodalanishi mumkin :

a + bi = r (chunki φ + i gunoh φ ), (1)

qayerda r = √a 2 + b 2 va burchak φ sharti asosida aniqlanadi:

Kompleks sonlarni yozishning bunday shakli deyiladi trigonometrik.

Raqam r formulada (1) deyiladi modul, va burchak φ - dalil, kompleks son a + bi .

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng emas, u holda uning moduli musbat; agar a + bi = 0, keyin a = b = 0 va keyin r = 0.

Har qanday kompleks sonning moduli yagona aniqlanadi.

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng bo'lmasa, uning argumenti (2) formulalar bilan aniqlanadi. albatta 2 ga bo'linadigan burchakka to'g'ri π . Agar a + bi = 0, keyin a = b = 0. Bu holda r = 0. (1) formuladan buni argument sifatida tushunish oson φ bu holda siz har qanday burchakni tanlashingiz mumkin: har qanday uchun φ

0 (cos φ + i gunoh φ ) = 0.

Shuning uchun null argument aniqlanmagan.

Kompleks sonning moduli r ba'zan | bilan belgilanadi z |, va arg argumenti z . Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalashning bir necha misollarini ko‘rib chiqamiz.

Misol. 1. 1 + i .

Keling, modulni topamiz r va argument φ bu raqam.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Shuning uchun gunoh φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, qaerdan φ = π / 4 + 2nπ .

Shunday qilib,

1 + i = √ 2 ,

Qayerda P - har qanday butun son. Odatda, murakkab son argumentining cheksiz qiymatlari to'plamidan 0 dan 2 gacha bo'lgan biri tanlanadi. π . Bunday holda, bu qiymat π / 4 . Shunung uchun

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i gunoh π / 4)

2-misol. Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing √ 3 - i . Bizda ... bor:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, gunoh φ = - 1 / 2

Shuning uchun, 2 ga bo'linadigan burchakka qadar π , φ = 11 / 6 π ; shuning uchun,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i gunoh 11/6 π ).

3-misol Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing i.

Kompleks raqam i vektorga mos keladi O.A.> , o'qning A nuqtasida tugaydi da ordinatasi 1 bilan (333-rasm). Bunday vektorning uzunligi 1 ga, uning x o'qi bilan qilgan burchagi esa teng π / 2. Shunung uchun

i =cos π / 2 + i gunoh π / 2 .

4-misol. Kompleks 3 raqamini trigonometrik shaklda yozing.

Kompleks soni 3 vektorga mos keladi O.A. > X abscissa 3 (334-rasm).

Bunday vektorning uzunligi 3 ga, x o'qi bilan qilgan burchagi esa 0 ga teng

3 = 3 (cos 0 + i gunoh 0),

5-misol.-5 kompleks sonini trigonometrik shaklda yozing.

-5 kompleks soni vektorga mos keladi O.A.> eksa nuqtasida tugaydi X abscissa bilan -5 (335-rasm). Bunday vektorning uzunligi 5 ga, x o'qi bilan hosil qiladigan burchakka teng π . Shunung uchun

5 = 5 (kos π + i gunoh π ).

Mashqlar

2047. Ushbu kompleks sonlarni modul va argumentlarini aniqlagan holda trigonometrik shaklda yozing:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Tekislikda modullari r va argumentlari ph shartlarni qanoatlantiradigan kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar to‘plamini ko‘rsating:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Sonlar bir vaqtda kompleks sonning moduli bo‘la oladimi? r Va - r ?

2050. Kompleks sonning argumenti bir vaqtning o'zida burchak bo'lishi mumkinmi? φ Va - φ ?

Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda keltiring, ularning modullari va argumentlarini aniqlang:

2051*. 1 + chunki α + i gunoh α . 2054*. 2(20° - i gunoh 20°).

2052*. gunoh φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i gunoh 15°).

Leksiya

Kompleks sonning trigonometrik shakli

Reja

1. Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

2. Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

3. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.

Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

a) Murakkab sonlar quyidagi qoidaga muvofiq tekislikdagi nuqtalar bilan ifodalanadi: a + bi = M ( a ; b ) (1-rasm).

1-rasm

b) Kompleks son nuqtadan boshlanadigan vektor bilan ifodalanishi mumkinHAQIDA va oxiri ma'lum bir nuqtada (2-rasm).

2-rasm

7-misol. Kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalarni tuzing:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3-rasm).

3-rasm

Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

Kompleks raqamz = a + bi radius vektor yordamida aniqlanishi mumkin koordinatalari bilan( a ; b ) (4-rasm).

4-rasm

Ta'rif . Vektor uzunligi , kompleks sonni ifodalaydiz , bu sonning moduli deb ataladi va belgilanadi yokir .

Har qanday murakkab son uchunz uning modulir = | z | formula bilan yagona aniqlanadi .

Ta'rif . Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va vektor orasidagi burchakning kattaligi , kompleks sonni ifodalovchi, bu kompleks sonning argumenti deyiladi va belgilanadiA rg z yokiφ .

Kompleks son argumentiz = 0 aniqlangan. Kompleks son argumentiz≠ 0 - ko'p qiymatli miqdor va muddat ichida aniqlanadi2k (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2k , Qayerdaarg z – intervalda joylashgan argumentning asosiy qiymati(-π; π] , ya'ni-π < arg z ≤ π (ba'zan argumentning asosiy qiymati sifatida intervalga tegishli qiymat olinadi .

Bu formula qachonr =1 Ko'pincha Moivre formulasi deb ataladi:

(cos ph + i sin ph) n = cos (nph) + i sin (nph), n  N .

11-misol: Hisoblang(1 + i ) 100 .

Kompleks sonni yozamiz1 + i trigonometrik shaklda.

a = 1, b = 1 .

cos ph = , sin ph = , φ = .

(1+i) 100 = [ (chunki + gunoh qilaman )] 100 = ( ) 100 (chunki 100+ gunoh qilaman ·100) = = 2 50 (cos 25p + i sin 25p) = 2 50 (cos p + i sin p) = - 2 50 .

4) Kompleks sonning kvadrat ildizini chiqarish.

Kompleks sonning kvadrat ildizini olishdaa + bi bizda ikkita holat bor:

Agarb >o , Bu ;