Arifmetik progressiyaning barcha formulalari. Arifmetik progressiya. Raqamlar ketma -ketligining yana bir turi - geometrik
Matematika ham xuddi rasm va she'r kabi o'ziga xos go'zallikka ega.
Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy
Arifmetik progressiya kontseptsiyasi bilan bog'liq muammolar matematikaga kirish imtihonlarida juda keng tarqalgan muammolardir. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xususiyatlarini yaxshi bilish va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lish zarur.
Biz avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaymiz va eng muhim formulalarni keltiramiz, bu tushuncha bilan bog'liq.
Ta'rif. Raqamli ketma -ketlik, unda har bir keyingi muddat avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Bundan tashqari, raqamprogressiyaning farqi deb ataladi.
Arifmetik progressiya uchun quyidagi formulalar amal qiladi
, (1)
qayerda. (1) formulani arifmetik progressiyaning umumiy muddatining formulasi deb atashadi va (2) formulasi arifmetik progressiyaning asosiy xossasi: progressiyaning har bir atamasi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetikasiga to'g'ri keladi.
E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb nomlanadi.
Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:
(3)
Miqdorni hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning a'zolariodatda formuladan foydalaniladi
(5) qaerda va.
Formulani hisobga olgan holda (1), keyin (5) formulani nazarda tutadi
Agar biz belgilasak, demak
qayerda. (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarning umumlashmasidir.
Jumladan , (5) formula nazarda tutilgan, nima
Quyidagi teorema yordamida tuzilgan arifmetik progressiyaning xususiyati ko'pchilik o'quvchilarga ma'lum emas.
Teorema. Agar shunday bo'lsa
Dalil. Agar shunday bo'lsa
Teorema isbotlangan.
Masalan , teorema yordamida, buni ko'rsatish mumkin
"Arifmetik progressiya" mavzusidagi muammolarni hal qilishning odatiy misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
Misol 1. Keling va. Toping.
Yechim.(6) formuladan foydalanib, biz olamiz. Va keyin, keyin yoki.
Misol 2. Bu uch barobar ko'p bo'lsin va bo'linishda bo'linganda biz 2 va qolgan 8 ni olamiz. Aniqlang va.
Yechim. Misolning sharti tenglamalar tizimini nazarda tutadi
,, va, keyin tenglamalar sistemasidan (10) biz olamiz
Bu tenglamalar tizimining yechimi va.
Misol 3. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim.(5) formulaga ko'ra, bizda yoki. Biroq, (9) xususiyatidan foydalanib, biz olamiz.
Va keyin, keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki.
Misol 4. Bo'lsa toping.
Yechim.(5) formulasi bo'yicha bizda bor
Biroq, teoremadan foydalanib, yozish mumkin
Bundan va (11) formuladan olamiz.
Misol 5. Berilgan :. Toping.
Yechim. O'shandan beri. Biroq, shuning uchun.
Misol 6. Keling va. Toping.
Yechim.(9) formuladan foydalanib, biz olamiz. Shuning uchun, agar, keyin yoki.
Beri va, keyin bu erda biz tenglamalar tizimiga egamiz
Qaysi birini hal qilamiz, biz olamiz va.
Tenglamaning tabiiy ildizi bu.
Misol 7. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim.(3) formulada bizda shunday bo'lgani uchun, masalaning bayoni tenglamalar tizimini nazarda tutadi
Agar siz ifodani almashtirsangiztizimning ikkinchi tenglamasiga kiradi, keyin olamiz yoki.
Kvadrat tenglamaning ildizlari va.
Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.
1. Xo'sh, keling. O'shandan beri, keyin.
Bu holda, (6) formulaga muvofiq, bizda
2. Agar, keyin, va
Javob: va.
Misol 8. Ma'lumki, va. Toping.
Yechim.(5) formulani va misol shartini inobatga olib, biz yozamiz va.
Demak, tenglamalar tizimi amal qiladi
Agar biz tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz olamiz
(9) formulaga ko'ra, bizda bor... Shu munosabat bilan, (12) dan quyidagicha yoki.
O'shandan beri, keyin.
Javob:.
Misol 9. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim. Chunki, va shart bo'yicha, keyin yoki.
(5) formuladan ma'lum, nima . O'shandan beri.
Demak, bu erda bizda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud
Shunday qilib, biz olamiz va. (8) formulani hisobga olgan holda, biz yozamiz.
Misol 10. Tenglamani yeching.
Yechim. Berilgan tenglamadan shunday xulosa chiqadi. Aytaylik, ,, va. Unday bo `lsa .
(1) formulaga muvofiq siz yozishingiz yoki.
Chunki, keyin (13) tenglama bitta mos ildizga ega.
Misol 11. Shunda berilgan maksimal qiymatni toping.
Yechim. Chunki, ko'rib chiqilayotgan arifmetik progressiya pasaymoqda. Shu nuqtai nazardan, ifoda eng katta qiymatni oladi, agar u progressiyaning minimal musbat davrining soni bo'lsa.
Biz (1) formuladan va faktdan foydalanamiz, kabi. Keyin biz buni olamiz yoki.
O'shandan beri, keyin yoki ... Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, shuning uchun.
Agar qiymatlar va (6) formulada almashtirilsa, biz olamiz.
Javob:.
Misol 12. Ikki xonali natural sonlarning yig'indisini aniqlang, ular 6 ga bo'linib, qolganlari 5 ga teng.
Yechim. Keling, barcha ikki xonali natural sonlar to'plami bilan belgilaymiz, ya'ni. ... Keyin biz to'plamning elementlaridan (sonlaridan) iborat kichik guruh tuzamiz, ular 6 soniga bo'linib, qolganlari 5 ga teng bo'ladi.
O'rnatish qiyin emas, nima . Shubhasiz, bu to'plam elementlariarifmetik progressiyani hosil qiladi, unda va.
To'plamning kardinalligini (elementlar sonini) aniqlash uchun biz shunday taxmin qilamiz. Beri va keyin (1) formuladan kelib chiqadi yoki. (5) formulani hisobga olgan holda, biz olamiz.
Muammolarni hal qilishning yuqoridagi misollari to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola berilgan mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilishning zamonaviy usullari tahlili asosida yozilgan. Arifmetik progressiya bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish maqsadga muvofiqdir.
1. Texnikumlarga kiruvchilar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013.- 608 b.
2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 b.
3. Medinskiy M.M. Boshlang'ich matematikaning to'liq kursi masalalar va mashqlarda. 2 -kitob: Sonlar ketma -ketligi va progressiyasi. - M.: Edit, 2015.- 208 b.
Hali ham savollaringiz bormi?
O'qituvchidan yordam olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
sayt, materialning to'liq yoki qisman nusxasi bilan, manba havolasi bo'lishi shart.
Dars turi: yangi materialni o'rganish.
Dars maqsadlari:
- arifmetik progressiya yordamida echilgan masalalar haqidagi talabalarning tasavvurlarini kengaytirish va chuqurlashtirish; arifmetik progressiyaning birinchi n a'zosi yig'indisining formulasini chiqarishda talabalarning qidiruv faoliyatini tashkil etish;
- mustaqil ravishda yangi bilimlarni egallash ko'nikmalarini rivojlantirish, oldinga qo'yilgan bilimlarni qo'yilgan vazifaga erishish uchun ishlatish;
- olingan faktlarni umumlashtirish istagi va ehtiyojining rivojlanishi, mustaqillikning rivojlanishi.
Vazifalar:
- "Arifmetik progressiya" mavzusidagi mavjud bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish;
- arifmetik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisini hisoblash uchun formulalar chiqarish;
- olingan masalalarni turli masalalarni yechishda qo'llashni o'rgatish;
- sonli ifodaning qiymatini topishda talabalar e'tiborini harakatlar tartibiga jalb qilish.
Uskunalar:
- guruh va juftlikda ishlash uchun topshiriqlari bo'lgan kartalar;
- baholash qog'ozi;
- taqdimot"Arifmetik progressiya".
I. Asosiy bilimlarni yangilash.
1. Juftlikda mustaqil ish.
Birinchi variant:
Arifmetik progressiya ta'rifini bering. Arifmetik progressiyani aniqlaydigan takrorlanadigan formulani yozing. Salom arifmetik progressiyaning misoli va uning farqini ko'rsating.
Ikkinchi variant:
Arifmetik progressiyaning n -chi a'zosi uchun formulani yozing. Arifmetik progressiyaning 100 -chi sonini toping ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu vaqtda doskaning orqa tarafidagi ikkita talaba bir xil savollarga javob tayyorlaydilar.
Talabalar sherikning ishini doskaga qarshi baholaydilar. (Javoblari yozilgan varaqlar topshiriladi).
2. O'yin vaqti.
1 -mashq.
O'qituvchi. Men bir oz arifmetik progressni o'ylab topdim. Menga ikkita savol bering, shunda javoblardan so'ng siz ushbu bosqichning 7 -chi davrini tezda nomlay olasiz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)
Talabalar savollari.
- Harakatning oltinchi muddati nima va farq nima?
- Sakkizinchi davr nima va uning farqi nimada?
Agar boshqa savollar bo'lmasa, o'qituvchi ularni rag'batlantirishi mumkin - d (farq) ga "taqiq", ya'ni farq nima ekanligini so'rashga yo'l qo'yilmaydi. Siz savollar berishingiz mumkin: progressiyaning 6 -chi davri va 8 -chi davri nima?
Vazifa 2.
Doskada 20 ta raqam yozilgan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
O'qituvchi orqa taxtaga suyanib turibdi. O'quvchilar raqamning raqamiga qo'ng'iroq qilishadi, o'qituvchi esa darhol raqamga qo'ng'iroq qiladi. Buni qanday qilishimni tushuntirib bering?
O'qituvchi n -chorak formulasini eslab qoladi a n = 3n - 2 va berilgan n qiymatlarni almashtirib, mos qiymatlarni topadi a n
II. Ta'lim muammosi haqida bayonot.
Men miloddan avvalgi 2 -ming yillikka oid, Misr papiruslarida topilgan qadimiy muammoni hal qilishni taklif qilaman.
Vazifa:"Sizga aytaylik: 10 o'lchovli arpani 10 kishiga bo'ling, har bir odam va qo'shnisi o'rtasidagi farq o'lchovning 1/8 qismiga teng."
- Bu topshiriq arifmetik progressiya mavzusi bilan qanday bog'liq? (Har bir keyingi o'lchovning 1/8 qismini oladi, demak farq d = 1/8, 10 kishi, ya'ni n = 10).
- Sizningcha, 10 raqami nimani anglatadi? (Progressning barcha a'zolarining yig'indisi.)
- Arpani vazifaning shartiga ko'ra bo'linishini oson va sodda qilish uchun yana nimani bilishingiz kerak? (Davom etayotgan birinchi davr.)
Dars maqsadi- progressiya a'zolarining yig'indisining ularning soniga bog'liqligini olish, birinchi muddat va farq, va qadimda muammoning to'g'ri hal qilinganligini tekshirish.
Formuladan xulosa chiqarishdan oldin, keling, qadimgi misrliklar muammoni qanday hal qilishganini ko'rib chiqaylik.
Va ular buni quyidagicha hal qilishdi:
1) 10 o'lchov: 10 = 1 o'lchov - o'rtacha ulush;
2) 1 o'lchov ∙ = 2 o'lchov - ikki barobar o'rtacha baham ko'rish.
Ikki marta o'rtacha aktsiya - bu 5 -chi va 6 -chi odamlarning aktsiyalari yig'indisi.
3) 2 o'lchov - 1/8 o'lchov = 1 7/8 o'lchov - beshinchi shaxsning ulushidan ikki baravar ko'p.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beshinchining ulushi; va hokazo, har bir oldingi va keyingi odamning ulushini topishingiz mumkin.
Biz ketma -ketlikni olamiz:
III. Muammoning echimi.
1. Guruhlarda ishlash
I guruh: 20 ta ketma -ket natural sonlarning yig'indisini toping: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.
Umuman 
II guruh: 1 dan 100 gacha bo'lgan natural sonlarning yig'indisini toping (Kichik Gauss afsonasi).
S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050
Chiqish:
III guruh: 1 dan 21 gacha bo'lgan natural sonlarning yig'indisini toping.
Yechish: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...
Chiqish:
IV guruh: 1 dan 101 gacha bo'lgan natural sonlarning yig'indisini toping.
Chiqish:
Ko'rib chiqilgan muammolarni hal qilishning bu usuli "Gauss usuli" deb nomlanadi.
2. Har bir guruh muammoning echimini doskada taqdim etadi.
3. Ixtiyoriy arifmetik progressiya uchun taklif qilingan echimlarni umumlashtirish:
a 1, 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Keling, shunga o'xshash tarzda fikr yuritib, bu summani topaylik:
4. Biz oldimizga qo'yilgan vazifani hal qildikmi?(Ha.)
IV. Olingan formulalarni birlamchi tushunish va muammolarni echishda qo'llash.
1. Formula yordamida eski muammoning echimini tekshirish.
2. Turli masalalarni yechishda formulani qo'llash.
3. Masalalarni yechishda formulani qo`llay bilish malakasini shakllantirish mashqlari.
A) 613 -son
Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Toping: S 1500
Yechim: , a 1 = 1, 1500 = 1500,
B) berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Toping: n
Yechim:
V. O'zaro tekshirish bilan mustaqil ish.
Denis kurer sifatida ishga kirdi. Birinchi oyda uning maoshi 200 rublni tashkil etdi, keyingi har oyda u 30 rublga oshdi. U bir yilda qancha pul topdi?
Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Toping: S 12
Yechim:
Javob: Denis bir yilda 4380 rubl olgan.
Vi. Uy vazifasi bo'yicha brifing.
- 4.3 -bet - formulaning chiqarilishini o'rganish.
- №№ 585, 623 .
- Arifmetik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisining formulasi yordamida echiladigan masalani yarating.
Vii. Darsni xulosa qilish.
1. Baholash varaqasi
2. Gaplarni davom ettiring
- Bugun men darsda bilib oldim ...
- O'rganilgan formulalar ...
- Men shunday xisoblaymanki …
3. 1 dan 500 gacha bo'lgan sonlarning yig'indisini topa olasizmi? Bu muammoni hal qilish uchun qanday usuldan foydalanasiz?
Adabiyotlar ro'yxati.
1. Algebra, 9 -sinf. O'quv muassasalari uchun darslik. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Ta'lim", 2009 yil.
Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :) Xo'sh, do'stlar, agar siz bu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak, ichki aniqlik siz hali arifmetik progressiya nima ekanligini bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, bu kabi: SOOOOO!) Bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va darhol ishga kirishaman.
Keling, bir nechta misollardan boshlaylik. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Bu to'plamlarning umumiyligi nimada? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.
O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam - bu ketma -ket raqamlar, ularning har biri oldingi raqamdan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, lekin bu farq hali ham o'zgarmaydi. Uchinchi holatda, umuman ildizlar. Biroq, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ va $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element $ \ sqrt (2) $ ga ko'payadi (va bu raqam mantiqsiz deb qo'rqmang).
Shunday qilib: barcha bunday ketma -ketliklar arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, aniq ta'rif beraylik:
Ta'rif. Har bir keyingi qismi avvalgisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan sonlar ketma -ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar farq qiladigan miqdor progressiyaning farqi deb ataladi va ko'pincha $ d $ harfi bilan belgilanadi.
Belgilash: $ \ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ - progressiyaning o'zi, $ d $ - uning farqi.
Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat tartibli raqamlar ketma -ketligi: ularni yozilish tartibida o'qishga ruxsat beriladi - boshqa hech narsa emas. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki o'zgartira olmaysiz.
Ikkinchidan, ketma -ketlikning o'zi cheklangan yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq cheklangan arifmetik progressiya. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz taraqqiyot. To'rtlikdan keyingi ellips, go'yoki, hali ham juda ko'p sonlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)
Shuni ham ta'kidlashni istardimki, taraqqiyot o'sib bormoqda va kamaymoqda. Biz o'sib borayotganlarni ko'rdik - xuddi shu to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Va bu erda rivojlanishning pasayishiga misollar:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Yaxshi, yaxshi: bu oxirgi misol juda murakkab bo'lib tuyulishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, sizga tushunarli. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:
Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:
- har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortadi;
- kamayadi, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'lsa.
Bundan tashqari, "statsionar" deb nomlangan ketma -ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanadigan sondan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).
Faqat bitta savol qolmoqda: ortib borayotgan progressiyani kamayayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, barchasi $ d $ sonining belgisiga bog'liq, ya'ni. farqning rivojlanishi:
- Agar $ d \ gt 0 $ bo'lsa, u holda rivojlanish kuchayadi;
- Agar $ d \ lt 0 $ bo'lsa, demak, taraqqiyot kamaymoqda;
- Nihoyat, $ d = 0 $ holati mavjud - bu holda butun progress bir xil sonlarning statsionar ketma -ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va boshqalar.
Keling, yuqorida ko'rsatilgan uchta kamayayotgan progressiya uchun $ d $ farqini hisoblab ko'rishga harakat qilaylik. Buning uchun ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi sondan chapdagi raqamni olib tashlash kifoya. Bu shunday ko'rinadi:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ta'riflarni ozmi -ko'pmi aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ularning xususiyatlari nimada ekanligini aniqlash vaqti keldi.
Progressiya a'zolari va takrorlanuvchi formula
Bizning ketma -ketlik elementlarini almashtirish mumkin emasligi uchun ularni raqamlash mumkin:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \ o'ng \) \]
Ushbu to'plamning alohida elementlari progressiyaning a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatilgan: birinchi davr, ikkinchi davr va boshqalar.
Bundan tashqari, biz bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bilan bog'liq.
\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ O'ng o'q ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Qisqacha aytganda, $ n $ th muddatini topish uchun $ n-1 $ th muddatini va $ d $ farqini bilish kerak. Bunday formulani takroriy deb atashadi, chunki uning yordami bilan siz istalgan raqamni topishingiz mumkin, faqat avvalgisini bilish (va aslida hammasi oldingi). Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob -kitoblarni birinchi davrgacha va farqni kamaytiradigan murakkabroq formula mavjud:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \]
Shubhasiz, siz allaqachon ushbu formulaga erishgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalarda va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan bo'lib ketadi.
Shunga qaramay, men biroz mashq qilishni taklif qilaman.
Muammo raqami 1. $ \ Chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ arifmetik progressiyaning birinchi uchta shartini yozing, agar $ ((a) _ (1)) = 8 bo'lsa, d = -5 $.
Yechim. Shunday qilib, biz $ ((a) _ (1)) = 8 $ birinchi atamasini va $ d = -5 $ progressining farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanamiz va $ n = 1 $, $ n = 2 $ va $ n = 3 $ ni almashtiramiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ chap (1-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ chap (2-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ chap (3-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (tekislash) \]
Javob: (8; 3; -2)
Hammasi shu! E'tibor bering: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.
Albatta, $ n = 1 $ ni almashtirish mumkin emas edi - birinchi atama bizga allaqachon ma'lum. Ammo, birini almashtirib, biz formulamiz birinchi davrada ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, hammasi arifmetikaga aylandi.
Muammo raqami 2. Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta shartini yozing, agar uning ettinchi a'zosi -40, o'n ettinchi qismi -50 bo'lsa.
Yechim. Keling, muammoning shartini odatiy so'zlar bilan yozaylik:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (tekislash) \ o'ng. \]
\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ tugatish (tekislash) \ o'ng. \]
Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va shuni esda tutingki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini olib tashlasak (bizda tizim borligi uchun buni qilish huquqiga egamiz), biz buni olamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) + 16d- \ chap (((a) _ (1)) + 6d \ o'ng) =- 50- \ chap (-40 \ o'ng); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (tekislash) \]
Mana, biz rivojlanishning farqini qanchalik oson topdik! Topilgan sonni tizimning har qanday tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:
\ [\ boshlanish (matritsa) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matritsa) \]
Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (tekislash) \]
Tayyor! Muammo hal qilindi.
Javob: (-34; -35; -36)
Biz kashf etgan progressning qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $ n $ th va $ m $ th shartlarini olsak va ularni bir-biridan aytsak, biz $ n-m $ soniga ko'paytirilgan farqni olamiz:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ chap (n -m \ o'ng) \]
Siz bilishingiz kerak bo'lgan oddiy, lekin juda foydali xususiyat - uning yordami bilan siz ko'plab muammolarni hal qilish jarayonini sezilarli darajada tezlashtirasiz. Mana eng yaxshi misol:
Muammo raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi muddati - 8,4, uning o'ninchi qismi - 14,4. Bu progressiyaning o'n beshinchi muddatini toping.
Yechim. $ ((A) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $ bo'lgani uchun siz $ ((a) _ (15)) $ ni topishingiz kerak bo'lsa, biz quyidagilarni e'tiborga olamiz. :
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (tekislash) \]
Lekin $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $ sharti bilan, shuning uchun $ 5d = $ 6, bizda:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ end (tekislash) \]
Javob: 20.4
Hammasi shu! Bizga ba'zi tenglamalar tizimini tuzish va birinchi atama va farqni hisoblash shart emas edi - hammasi bir necha satrda hal qilingan.
Keling, boshqa turdagi vazifalarni ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya oshsa, birinchi atama manfiy bo'lsa, unda ertami -kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayayotgan progressiya a'zolari ertami kechmi salbiy bo'lib qoladi.
Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tib, bu lahzani "bosh bilan" ko'rib chiqish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha muammolar shunday tuzilganki, formulalarni bilmasdan, hisob -kitoblar bir necha varaqdan iborat bo'ladi - biz javob topganimizda uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.
Muammo raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy atama bor -38,5; -35.8; ...?
Yechim. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, bu erda biz farqni darhol topamiz:
E'tibor bering, farq ijobiydir, shuning uchun rivojlanish kuchayadi. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz haqiqatan ham ijobiy raqamlarga qoqilamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.
Keling, aniqlashga harakat qilaylik: qancha vaqt (ya'ni $ n $ tabiiy soniga qadar) atamalarning salbiyligi saqlanib qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) \ lt 0 \ O'ng o'q ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ chap (n -1 \ o'ng) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ to'rtlik \ chap | \ cdot 10 \ o'ng. \\ & -385 + 27 \ cdot \ chap (n -1 \ o'ng) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ O'ng o'q ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (tekislash) \]
Oxirgi qator tushuntirishni talab qiladi. Shunday qilib, $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz faqat sonning tamsayı qiymatlaridan mamnun bo'lamiz (bundan tashqari: $ n \ mathbb (N) $), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aynan $ n = 15 $ va hech qanday holatda 16 yoshda.
Muammo raqami 5. Arifmetik progressiyada $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Bu progressiyaning birinchi musbat sonining sonini toping.
Bu avvalgisiga o'xshash muammo bo'lar edi, lekin biz $ ((a) _ (1)) $ ni bilmaymiz. Lekin qo'shni atamalar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6)) $, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:
Bundan tashqari, biz beshinchi atamani birinchisi va standart formulaga muvofiq farq bilan ifodalashga harakat qilamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (tekislash) \]
Endi biz oldingi vazifaga o'xshab harakat qilamiz. Biz ketma -ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar bo'lishini bilib olamiz:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ chap (n -1 \ o'ng) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ O'ng o'q ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (tekislash) \]
Bu tengsizlikning eng kichik sonli yechimi 56 ga teng.
E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $ n = 55 $ varianti bizga mos kelmaydi.
Endi biz oddiy muammolarni qanday hal qilishni o'rgandik, keling murakkabroq masalalarga o'tamiz. Birinchidan, keling, bizga ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydigan arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganaylik. :)
O'rtacha arifmetik va teng chiziqlar
$ \ Chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ ortib borayotgan arifmetik progressiyaning ketma -ket a'zolarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:
Raqamlar qatoridagi arifmetik progressiyaning a'zolari$ ((A) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ emas, balki $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ va boshqalar. Chunki men hozir gaplashadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.
Va qoida juda oddiy. Keling, takrorlanish formulasini eslaylik va uni belgilangan barcha a'zolar uchun yozamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (tekislash) \]
Biroq, bu tengliklarni boshqacha yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (tekislash) \]
Xo'sh, nima? $ ((A) _ (n-1)) $ va $ ((a) _ (n + 1)) $ shartlari $ ((a) _ (n)) $ dan bir xil masofada yotadi. . Va bu masofa $ d $ ga teng. $ ((A) _ (n -2)) $ va $ ((a) _ (n + 2)) $ a'zolari haqida ham shunday deyish mumkin - ular ham $ ((a) _ (n) dan o'chirilgan. ) $ bir xil masofa $ 2d $ ga teng. Siz cheksiz davom ettirishingiz mumkin, lekin uning ma'nosi rasmda yaxshi tasvirlangan.
Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $ ((a) _ (n)) $ ni topishingiz mumkin:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Biz ajoyib bayonot bilan chiqdik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetikasiga teng! Bundan tashqari, biz $ ((a) _ (n)) $ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $ k $ qadamlarini chetlab o'tishimiz mumkin - va shunga qaramay, formula to'g'ri bo'ladi:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Bular. $ ((a) _ (100)) $ va $ ((a) _ (200)) $ ni bilsak, $ ((a) _ (150)) $ ni osongina topa olamiz, chunki $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotganga o'xshaydi. Biroq, amalda, ko'plab muammolar o'rtacha arifmetikani ishlatish uchun maxsus "keskinlashtirilgan". Qarab qo'ymoq:
Muammo raqami 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ raqamlari ketma -ket a'zo bo'lgan $ x $ qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (tartibda).
Yechim. Ko'rsatilgan raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun, ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: $ x + 1 $ markaziy elementi qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:
\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (tekislash) \]
Natijada klassik kvadratik tenglama olinadi. Uning ildizlari: $ x = 2 $ va $ x = -3 $ - bu javoblar.
Javob: -3; 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2.
Muammo raqami 7. $$; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ raqamlari arifmetik progressiya (shu tartibda) bajariladigan $$ qiymatlarini toping.
Yechim. Shunga qaramay, biz o'rta muddatni qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetik nuqtai nazaridan ifodalaymiz:
\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ chap | \ cdot 2 \ o'ng.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (tekislash) \]
Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $ x = 6 $ va $ x = 1 $.
Javob: 1; 6.
Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni topsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?
Masalan, 6 -sonli masalada biz -3 va 2. javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni tarmoqqa ulab, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik. Eslatib o'taman, bizda uchta raqam bor ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ va $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), ular arifmetik progressiyani hosil qilishi kerak. $ X = -3 $ ni almashtiring:
\ [\ boshlash (tekislash) & x = -3 \ O'ng o'q \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ tugatish (tekislash) \]
Qabul qilingan raqamlar -54; -2; 52, 52 bilan farq qiladigan, shubhasiz, arifmetik progressiya. Xuddi shu narsa $ x = 2 $ uchun sodir bo'ladi:
\ [\ boshlash (tekislash) & x = 2 \ O'ng o'q \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ tugatish (tekislash) \]
Yana progressiya, lekin farq 27 bilan. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilingan. Qiziquvchilar ikkinchi muammoni mustaqil hal qilishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.
Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir qiziq faktga duch keldik, uni ham eslash kerak:
Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgi arifmetik o'rtacha bo'lsa, bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.
Kelgusida, bu bayonotni tushunish bizga muammoning shartidan kelib chiqib, kerakli taraqqiyotni tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" ga o'tishdan oldin, biz ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir faktga e'tibor qaratishimiz kerak.
Elementlarning guruhlanishi va yig'indisi
Yana raqamlar o'qiga qaytamiz. Keling, progressning bir nechta a'zolarini ta'kidlaylik, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolar bor:
Raqam chizig'ida 6 ta element belgilanganKeling, "chap quyruq" ni $ ((a) _ (n)) $ va $ d $, "o'ng quyruq" ni $ ((a) _ (k)) $ va $ d $ bilan ifodalashga harakat qilaylik. . Bu juda oddiy:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (tekislash) \]
E'tibor bering, quyidagi summalar teng:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ tugatish (tekislash) \]
Oddiy qilib aytganda, agar biz boshlang'ich sifatida ikkita $ S $ raqamiga teng keladigan ikkita elementni ko'rib chiqsak va keyin biz bu elementlardan qarama -qarshi yo'nalishda (bir -birimizga yoki aksincha uzoqlashish uchun) yurishni boshlasak, keyin biz qoqinadigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$ S $. Buni grafikada eng aniq ifodalash mumkin:
Teng girinti teng miqdorlarni beradi Bu haqiqatni tushunish bizga yuqorida ko'rib chiqilganlarga qaraganda ancha murakkablikdagi muammolarni hal qilishga imkon beradi. Masalan, bunday:
Muammo raqami 8. Arifmetik progressiyaning farqini aniqlang, bunda birinchi atama 66, ikkinchi va o'n ikkinchi a'zolar hosilasi mumkin bo'lgan eng kichikdir.
Yechim. Keling, bilgan hamma narsani yozaylik:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ tugatish (tekislash) \]
Shunday qilib, biz $ d $ progressining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farqga asoslangan bo'ladi, chunki $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ chap (66 + d \ o'ng) \ cdot \ chap (66 + 11d \ o'ng) = \\ & = 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng). \ tugatish (tekislash) \]
Tankda bo'lganlar uchun: Men ikkinchi qavsdan umumiy 11 faktorini oldim. Shunday qilib, qidirilayotgan mahsulot $ d $ o'zgaruvchiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $ f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (d + 66 \ o'ng) \ chap (d + 6 \ o'ng) $ funktsiyasini ko'rib chiqing - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki Agar biz qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ o'ng) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Ko'rib turganingizdek, etakchi davrda koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz chindan ham shoxlari parabola bilan ishlaymiz:
kvadrat funktsiya grafigi - parabola
Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini o'z tepasida $ abscissa $ ((d) _ (0)) $ bilan oladi. Albatta, biz bu abssissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ formulasi ham bor), lekin bu ancha oqilona bo'lardi $ \ (d) _ (0)) $ nuqtasi $ f \ chap (d \ o'ng) = 0 $ tenglamasining ildizlaridan bir xil masofada joylashgan:
\ [\ boshlash (tekislash) va f \ chap (d \ o'ng) = 0; \\ & 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (tekislash) \]
Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Shuning uchun, abssissa -66 va -6 sonlarining arifmetik o'rtacha qiymatiga teng:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]
Kashf etilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (aytmoqchi, biz $ ((y) _ (\ min)) $ ni hisoblamaganmiz - bu bizga kerak emas). Shu bilan birga, bu raqam boshlang'ich progressiya o'rtasidagi farq, ya'ni. javobni topdik. :)
Javob: -36
Muammo raqami 9. $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ frac (1) (6) $ raqamlari orasiga uchta raqamni kiriting, shunda ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani hosil qiladi.
Yechim. Asosan, biz besh raqamli ketma -ketlikni tuzishimiz kerak, birinchi va oxirgi raqamlar allaqachon ma'lum. Yo'qotilgan raqamlarni $ x $, $ y $ va $ z $ o'zgaruvchilari bilan belgilaylik:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ o'ng \ )]]
E'tibor bering, $ y $ raqami bizning ketma -ketligimizning "o'rtasi" dir - u $ x $ va $ z $ raqamlaridan, $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ raqamlaridan teng masofada joylashgan. frac (1) (6) $. Va agar biz hozirda $ x $ va $ z $ raqamlaridan $ y $ ololmasak, u holda rivojlanishning oxiri bilan vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikani eslang:
Endi $ y $ ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ x $ $ - \ frac (1) (2) $ va $ y = - \ frac (1) (3) $ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun
Xuddi shunday fikr yuritib, qolgan raqamni topamiz:
Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni asl raqamlar orasiga qo'yilishi kerak bo'lgan tartibda javobga yozib qo'yaylik.
Javob: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Muammo raqami 10. Agar siz kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz, bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi 2 va 42 raqamlari orasiga bir nechta raqamlarni kiriting.
Yechim. Bundan ham murakkab vazifa, lekin avvalgilariga o'xshash sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun, hamma narsani kiritgandan so'ng, $ n $ raqamlari bo'ladi, deb hisoblaymiz va ularning birinchisi 2, oxirgi 42 bo'ladi. Bunday holda, kerakli arifmetik progressiya quyidagicha ifodalanishi mumkin:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ o'ng \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Shunga qaramay, $ ((a) _ (2)) $ va $ ((a) _ (n-1)) $ raqamlari 2 va 42 sonlardan bir-biriga bir qadam narida olinganligini unutmang. ya'ni ... ketma -ketlikning markaziga. Bu shuni anglatadiki
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ chap (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ o'ng) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (tekislash) \]
$ ((A) _ (3)) $ va $ ((a) _ (1)) $ ni bilgan holda, biz jarayonning farqini osongina topamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ chap (3-1 \ o'ng) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ O'ng o'q d = 5. \\ \ end (tekislash) \]
Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (tekislash) \]
Shunday qilib, allaqachon 9 -bosqichda biz ketma -ketlikning chap uchiga - 42 -raqamga kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Progressiya bilan so'z muammolari
Xulosa qilib aytganda, men bir nechta oddiy vazifalarni ko'rib chiqmoqchiman. Xo'sh, qanchalik sodda: maktabda matematikani o'qiyotgan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik o'quvchilar uchun bu vazifalar qalaydek tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, aynan mana shunday muammolar matematikada OGE va USE da uchraydi, shuning uchun ular bilan tanishishingizni maslahat beraman.
Muammo raqami 11. Brigada yanvar oyida 62 dona ishlab chiqargan va har bir keyingi oyda avvalgisiga qaraganda 14 dona ko'proq ishlab chiqarilgan. Noyabr oyida jamoa nechta qismdan iborat bo'ldi?
Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha rejalashtirilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 62; \ to'rtlik d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 14. \\ \ end (tekislash) \]
Noyabr - yilning 11 -oyi, shuning uchun $ ((a) _ (11)) $ topishimiz kerak:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Shunday qilib, noyabr oyida 202 ta ehtiyot qism ishlab chiqariladi.
Muammo raqami 12. Kitob bog‘lash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni, har oyda esa avvalgisidan 4 tadan ko‘p kitobni bog‘ladi. Seminar dekabr oyida nechta kitobni bog'lab qo'ydi?
Yechim. Hammasi bir xil:
$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 4. \\ \ end (tekislash) $
Dekabr - yilning oxirgi, 12 -oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) $ qidiramiz:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob nashr qilinadi.
Xo'sh, agar siz hozirgacha o'qigan bo'lsangiz, men sizni tabriklashga shoshaman: siz "yosh jangchi kursini" arifmetik progressiyada muvaffaqiyatli o'tdingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, u erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, uning muhim va juda foydali oqibatlarini o'rganamiz.
Masalan, \ (2 \) ketma -ketligi; \ (5 \); \ (sakkiz \); \ (o'n bir \); \ (14 \) ... - bu arifmetik progressiya, chunki har bir keyingi element avvalgisidan uchtaga farq qiladi (uchtasini qo'shib oldingisidan olish mumkin):
Bu bosqichda \ (d \) farqi musbat (\ (3 \) ga teng), shuning uchun har bir keyingi muddat avvalgisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib bormoqda.
Biroq, \ (d \) ham manfiy bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \ (16 \); \ (o'n \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... progressiyaning \ (d \) farqi minus oltiga teng.
Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.
Arifmetik progressiya yozuvi
Taraqqiyot lotincha kichik harf bilan ko'rsatiladi.
Progressiyani tashkil etuvchi raqamlar buni chaqiradi a'zolari(yoki elementlar).
Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan belgilanadi, lekin tartibda element soniga teng sonli indeks bilan.
Masalan, \ (a_n = \ chap \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ o'ng \) \) arifmetik progressiya \ (a_1 = 2 \) elementlaridan iborat; \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) va boshqalar.
Boshqacha aytganda, \ (a_n = \ chap \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ o'ng \) \)
Arifmetik progressiya uchun muammolarni echish
Asosan, yuqoridagi ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGE da taklif qilingan).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya \ (b_1 = 7; d = 4 \) shartlari bilan belgilanadi. \ (B_5 \) ni toping.
Yechim:
Javob: \ (b_5 = 23 \)
Misol (OGE).
Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta sharti berilgan: \ (62; 49; 36 ... \) Bu progressiyaning birinchi manfiy termining qiymatini toping.
Yechim:
|
Bizga ketma -ketlikning birinchi elementlari berilgan va biz bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shni elementdan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan avvalgisini chiqarib, qaysi birini aniqlang: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Endi biz o'z rivojlanishimizni kerakli (birinchi salbiy) elementga qaytarishimiz mumkin. |
|
|
Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin. |
Javob: \(-3\)
Misol (OGE).
Arifmetik progressiyaning ketma -ket bir nechta elementlari berilgan: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) \ (x \) harfi bilan ko'rsatilgan elementning qiymatini toping.
Yechim:
|
|
\ (X \) ni topish uchun biz keyingi element avvalgisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda, progressiyaning farqini bilishimiz kerak. Keling, uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topaylik: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \). |
|
|
Va endi biz kerakli muammosiz topamiz: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \). |
|
|
Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin. |
Javob: \(7,5\).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Bu progressiyaning birinchi olti a'zosi yig'indisini toping.
Yechim:
|
Biz progressiyaning birinchi olti shartining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nosini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, birinchi navbatda, bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, o'z navbatida qiymatlarni hisoblaymiz: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Siz qidirayotgan summa topildi. |
Javob: \ (S_6 = 9 \).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiyada \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Bu taraqqiyot o'rtasidagi farqni toping.
Yechim:
Javob: \ (d = 7 \).
Arifmetik progressiyaning muhim formulalari
Ko'rib turganingizdek, ko'pgina arifmetik progressiya muammolarini faqat asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - bu arifmetik progressiya - bu raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingi raqamga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi. progressiya haqida).
Biroq, ba'zida shunday vaziyatlar bo'ladiki, "boshdan-oyoq" qaror qabul qilish juda noqulay bo'ladi. Masalan, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi (\ b_5 \) elementni emas, balki uch yuz sakson oltinchi \ (b_ (386) \) elementni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oldingi misolda siz birinchi etmish uch elementning yig'indisini topishingiz kerak. Sizni hisoblash uchun qiynoqqa soladilar ...
Shuning uchun, bunday hollarda, ular "bosh bilan" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadilar. Va asosiylari - progressiyaning n -chi davrining formulasi va birinchi atamalarning \ (n \) yig'indisining formulasi.
\ (N \) - th a'zoning formulasi: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), bu erda \ (a_1 \) - progressiyaning birinchi atamasi;
\ (n \) - qidirilayotgan element raqami;
\ (a_n \) - \ (n \) raqami bilan progressiyaning a'zosi.
Bu formulalar bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilib, kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.
Misol.
Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (B_ (246) \) ni toping.
Yechim:
Javob: \ (b_ (246) = 1850 \).
Birinchi n atamalar yig'indisining formulasi: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), bu erda
\ (a_n \) - oxirgi yig'ilgan atama;
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya \ (a_n = 3,4n-0,6 \) shartlari bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \ (25 \) a'zolarining yig'indisini toping.
Yechim:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi sonlarning qiymatini bilishimiz kerak. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \) |
Endi biz yigirma beshinchi atamani topamiz, yigirma beshni \ (n \) o'rniga qo'yamiz. |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \) |
Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni muammosiz hisoblay olamiz. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Javob tayyor. |
Javob: \ (S_ (25) = 1090 \).
Birinchi atamalarning \ (n \) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: faqat \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) \ (a_n \) o'rniga \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) formulasini almashtiring. Biz olamiz:
Birinchi n atamalar yig'indisining formulasi: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), bu erda
\ (S_n \) - birinchi elementlarning kerakli \ (n \) yig'indisi;
\ (a_1 \) - birinchi yig'ilgan atama;
\ (d \) - progressiyaning farqi;
\ (n \) - summadagi elementlar soni.
Misol.
Arifmetik progressiyaning birinchi \ (33 \) - ex a'zolari yig'indisini toping: \ (17 \); \ (15.5 \); \ (o'n to'rt \)…
Yechim:
Javob: \ (S_ (33) = - 231 \).
Arifmetik progressiyaning murakkabroq muammolari
Endi sizda deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlar mavjud. Biz mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki ozgina o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan yakunlaymiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin).
Misol (OGE).
Progressiyaning barcha manfiy a'zolari yig'indisini toping: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18.7 \) ...
Yechim:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz hal qilishni boshlaymiz: avval \ (d \) ni topamiz. |
|
|
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19.3) = 0.3 \) |
Endi men summaning formulasida \ (d \) ni almashtirardim ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz bilmaymiz \ (n \). Boshqacha aytganda, biz qancha atamalarni qo'shish kerakligini bilmaymiz. Buni qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganda, biz element qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini bilib olishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash uchun formulani yozamiz: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) bizning holatimiz uchun. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19.3 + (n -1) 0.3 \) |
Bizga \ (a_n \) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \ (n \) nima bo'lishini bilib olaylik. |
|
|
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \) |
Biz tengsizlikning ikkala tomonini \ (0,3 \) ga ajratamiz. |
|
|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Belgilarni o'zgartirishni eslab, minus birini harakatlantiring |
|
|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Biz hisoblaymiz ... |
|
|
\ (n> 65,333 ... \) |
... va birinchi ijobiy element \ (66 \) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \ (n = 65 \) ga ega. Keling, har ehtimolga qarshi tekshirib ko'ramiz. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) |
Shunday qilib, biz birinchi \ (65 \) elementlarini qo'shishimiz kerak. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
Javob tayyor. |
Javob: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) th dan \ (42 \) elementgacha bo'lgan summani toping.
Yechim:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, \ (26 \) - th dan boshlab. Bunday vaziyatda bizda formulalar yo'q. Qanday qaror qabul qilish kerak? |
|
|
Bizning rivojlanishimiz uchun \ (a_1 = -33 \) va \ (d = 4 \) farqi (oxirgisini topish uchun biz oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, biz birinchi \ (42 \) - yh elementlarining yig'indisini topamiz. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Endi birinchi \ (25 \) - ty elementlarning yig'indisi. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Oxir -oqibat, biz javobni hisoblaymiz. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Javob: \ (S = 1683 \).
Arifmetik progressiya uchun biz ushbu maqolada amaliy foydasi pastligi uchun ko'rib chiqmagan yana bir nechta formulalar mavjud. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.
Kimdir yuqori matematika tarmoqlaridan kelgan juda murakkab atama sifatida "progressiya" so'zidan qo'rqadi. Shu bilan birga, eng oddiy arifmetik progressiya - bu taksometrning ishi (ular hali ham shu erda). Va arifmetik ketma -ketlikning mohiyatini tushunish (va matematikada "mohiyatni tushunish" dan muhimroq narsa yo'q), bir necha elementar tushunchalarni tahlil qilib, unchalik qiyin emas.
Matematik sonlar ketma -ketligi
Bir qator raqamlarni raqamli ketma -ketlik bilan nomlash odat tusiga kiradi, ularning har biri o'z raqamiga ega.
a 1 - ketma -ketlikning birinchi a'zosi;
va 2 - ketma -ketlikning ikkinchi a'zosi;
va 7 - ketma -ketlikning ettinchi a'zosi;
va n - ketma -ketlikning nchi a'zosi;
Biroq, bizni o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni raqamli ketma -ketlikka qaratamiz, bunda n -chi sonning qiymati uning tartib raqami bilan bog'liq bo'lib, matematik jihatdan aniq ifodalanishi mumkin. Boshqacha aytganda: n-sonning raqamli qiymati n ning ba'zi funktsiyalari.
a - sonli ketma -ketlik a'zosining qiymati;
n - uning seriya raqami;
f (n) - funktsiya, bu erda n sonli ketma -ketlikdagi tartib argument hisoblanadi.
Ta'rif
Arifmetik progressiyani raqamli ketma -ketlik deb atash odat tusiga kiradi, bunda har bir keyingi atama avvalgisidan bir xil raqam bo'yicha katta (kamroq) bo'ladi. Arifmetik ketma -ketlikning n -a'zosining formulasi quyidagicha:
a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
a n + 1 - keyingi raqamning formulasi;
d - farq (ma'lum bir raqam).
Agar farq musbat (d> 0) bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan ketma -ketlikning har bir keyingi muddati avvalgisidan kattaroq bo'lishini va bunday arifmetik progressiyaning o'sishini aniqlash oson.
Quyidagi grafikda raqamlar ketma -ketligi nima uchun "ko'tarilish" deb nomlanganini tushunish oson.
Agar farq salbiy bo'lsa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Belgilangan a'zoning qiymati
Ba'zida arifmetik progressiyaning a n ixtiyoriy a'zosining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Siz buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan xohlaganigacha ketma -ket hisoblash orqali qilishingiz mumkin. Ammo, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi a'zo ma'nosini topish zarur bo'lsa, bu yo'l har doim ham qabul qilinmaydi. An'anaviy hisoblash uzoq davom etadi. Biroq, ma'lum bir formulalar yordamida ma'lum bir arifmetik progressiyani tekshirish mumkin. N -chi davrning formulasi ham bor: arifmetik progressiyaning har qanday a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi davrining yig'indisi sifatida belgilash mumkin, bu istalgan sonning soniga ko'paytirilib, ko'payishining farqi bilan. bitta
Formula progressivlikni ham, kamayishni ham universaldir.
Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli
Arifmetik progressiyaning n -chi a'zosi qiymatini topish bo'yicha quyidagi masalani hal qilaylik.
Vaziyat: parametrlari bilan arifmetik progressiya mavjud:
Navbatdagi birinchi atama 3;
Raqamlar seriyasidagi farq 1,2 ga teng.
Topshiriq: siz 214 a'zoning qiymatini topishingiz kerak
Yechish: berilgan atamaning qiymatini aniqlash uchun biz quyidagi formuladan foydalanamiz:
a (n) = a1 + d (n-1)
Muammo shartidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirib, bizda:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Javob: 214 -chi qator ketma -ketlikda 258,6.
Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 qatordan oshmaydi.
Berilgan a'zolar sonining yig'indisi
Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda, uning ma'lum bir segmentining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bu, shuningdek, har bir davrning qiymatlarini hisoblashni va keyin yig'ishni talab qilmaydi. Agar topiladigan atamalar soni oz bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda, quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.
1 dan n gacha arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi birinchi va nchi a'zolar yig'indisiga teng bo'lib, n a'zo soniga ko'paytiriladi va ikkiga bo'linadi. Agar formulada n -chi atama qiymati maqolaning oldingi xatboshisining ifodasi bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:
Hisoblash misoli
Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:
Ketma -ketlikdagi birinchi atama nolga teng;
Farqi 0,5.
Muammo bo'yicha siz 56 -dan 101 -gacha bo'lgan qator a'zolari yig'indisini aniqlashingiz kerak.
Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Birinchidan, biz muammoning shartlari ma'lumotlarini formulaga almashtirib, progressiyaning 101 a'zosining qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525
Shubhasiz, 56 -dan 101 -gacha bo'lgan progressiya a'zolarining yig'indisini bilish uchun S 101 -dan S 55 -ni olib tashlash kerak.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5
Shunday qilib, bu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Arifmetik progressiyaning amalda qo'llanilishiga misol
Maqolaning oxirida, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma -ketlik misoliga - taksimetrga (taksi mashinasi hisoblagichi) qaytaylik. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Taksiga o'tirish (3 km yurishni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Safar narxini hisoblang.
1. Birinchi 3 kmni tashlaylik, uning narxi qo'nish narxiga kiritilgan.
30 - 3 = 27 km.
2. Keyingi hisoblash - arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.
Ro'yxat raqami - bosib o'tgan kilometrlar soni (minus birinchi uchtasi).
A'zo qiymati yig'indidir.
Bu muammoning birinchi atamasi 1 = 50 p ga teng bo'ladi.
Progressiyadagi farq d = 22 p.
bizni qiziqtirgan raqam - arifmetik progressiyaning (27 + 1) - chi davrining qiymati - 27 -kilometrning oxiridagi hisoblagich ko'rsatkichi 27.999… = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
O'zboshimchalik bilan uzoq vaqt uchun taqvim ma'lumotlarini hisoblash ma'lum sonli ketma -ketlikni tavsiflovchi formulalarga asoslangan. Astronomiyada orbitaning uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yoritgichgacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida har xil sonli qatorlar muvaffaqiyatli ishlatiladi.
Raqamlar ketma -ketligining yana bir turi - geometrik
Geometrik progressiya arifmetikaga nisbatan katta o'zgarish tezligi bilan ajralib turadi. Siyosat, sotsiologiya, tibbiyotda ular tez -tez bu hodisaning, masalan, epidemiya paytida kasallikning yuqori tarqalish tezligini ko'rsatish uchun eksponentli ravishda rivojlanadi, deyishadi.
Geometrik sonlarning to'qqizinchi atamasi avvalgisidan farq qiladi, chunki u ba'zi doimiy sonlarga ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi atama 1, maxraj mos ravishda 2, keyin:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
b n + 1 - geometrik progressiyaning keyingi davrining formulasi;
q - geometrik progressiyaning maxraji (doimiy son).
Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, unda geometrik tasvir biroz boshqacha rasm chizadi:
Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiyada ixtiyoriy atama qiymatining formulasi mavjud. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi qismi birinchi sonning mahsulotiga teng bo'lib, n kuchining o'sishining maxrajiga teng bo'ladi:
Misol. Bizda geometrik progressiya bor, uning birinchi atamasi 3 ga teng va progressiyaning maxraji 1,5 ga teng. Progressiyaning 5 -chi muddatini toping
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
Berilgan a'zolar sonining yig'indisi xuddi shu tarzda maxsus formula yordamida hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n shartining yig'indisi, progressiyaning n -chi qismi va uning maxraji hosilasi bilan progressiyaning birinchi atamasi o'rtasidagi farqga teng bo'lib, maxrajga bo'linadi:
Agar b n yuqorida ko'rsatilgan formula yordamida almashtirilsa, ko'rib chiqilgan sonlar qatorining birinchi n -sonlari yig'indisi qiymati quyidagicha bo'ladi:
Misol. Geometrik progressiya birinchi tenglamaning 1 ga tengligi bilan boshlanadi. Maxraji 3 ga teng qo'yiladi. Birinchi sakkizta a'zoning yig'indisini toping.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
