To'rtburchaklar trapezoidning 614 diagonallari. Trapezoidning diagonallari. Trapetsiya asoslariga parallel chiziqning xususiyatlari
Yana Pifagor uchburchagi :))) Agar katta poydevordan kesishish nuqtasigacha bo'lgan katta diagonali bo'lagi x deb belgilansa, u holda bir xil burchakli to'g'ri burchakli uchburchaklar aniq o'xshashligidan x / 64 = 36 / x, shuning uchun x = 48; 48/64 = 3/4, shuning uchun asoslar, diagonallar va poydevorga perpendikulyar yon tomondan hosil qilingan HAMMA to'g'ri burchakli uchburchaklar tomonlari 3,4,5 bo'lgan uchburchakka o'xshaydi. Faqatgina istisno - bu diagonallar va qiyshiq tomonlardan tashkil topgan uchburchak, lekin biz bunga qiziqmaymiz :). (Tushuntirish uchun, bu o'xshashlik burchaklarning boshqa trigonometrik funktsiyalari :) biz katta diagonal va katta taglik orasidagi burchakning teginishini bilamiz, bu 3/4, ya'ni sinus 3/5 ga teng , va kosinus 4/5 :) :) Siz darhol yozishingiz mumkin
Javoblar. Pastki taglik 80 60 bo'ladi, tepa 45 bo'ladi. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)
Shunga o'xshash vazifalar:
1. Prizma asosi uchburchak bo'lib, uning bir tomoni 2 sm, qolgan ikkitasi 3 sm.Yon qirrasi 4 sm bo'lib, taglik tekisligi bilan 45 burchakka teng.Teng tengining qirrasini toping. -o'lchamli kub.
2. Eğimli prizmaning asosi a tomoni bilan teng qirrali uchburchak; yon yuzlardan biri taglik tekisligiga perpendikulyar va diagonali kichikroq bo'lgan c ga teng bo'lgan rombdir. Prizma hajmini toping.
3. Nishab prizmasida asosi to'g'ri burchakli uchburchak bo'lib, uning gipotenuzasi c ga teng, bitta o'tkir burchagi 30, yon qirrasi k ga teng va taglik tekisligi bilan 60 burchakka teng. Toping prizma hajmi.
1. Kvadratning diagonali 10 sm bo'lsa, uning yonini toping
2. Bir yonboshli trapetsiyada, burchak burchagi taglikdan 4 sm, balandligi 2 sm dan 135 daraja kichik, trapetsiyaning maydonini toping?
3. Trapetsiyaning balandligi tagliklardan birining balandligidan 3 barobar, lekin boshqasining yarmiga teng. Trapetsiyaning maydoni 168 sm kvadrat bo'lsa, trapetsiyaning asosini va balandligini toping?
4. ABC uchburchagida A = B burchagi = 75 daraja. Uchburchakning maydoni 36 sm kvadrat bo'lsa, BC ni toping.
1. ABCD va CD tomonli ABCD trapetsiyasida diagonallari O nuqtada kesishadi
a) ABD va ACD uchburchaklarining maydonlarini solishtiring
b) ABO va CDO uchburchaklar maydonlarini solishtiring
v) OA * OB = OC * OD ekanligini isbotlang
2. Ikki burchakli uchburchakning asosi lateral tomonni 4: 3 deb bildiradi va taglikka chizilgan balandligi 30 sm.Tabandagi burchak bissektrisi bu balandlikni bo'ladigan segmentlarni toping.
3. AM chizig'i -aylanaga teginish, bu doiraning AB -akkord. MAB burchagi MAB burchagi ichida joylashgan AB yoyining yarmi bilan o'lchanishini isbotlang.
- Trapezoidal diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment asosiy farqning yarmiga teng
- Trapetsiya asoslari va diagonallarning kesishish nuqtasigacha hosil bo'lgan uchburchaklar o'xshash
- Trapezoidning diagonallari segmentlaridan hosil bo'lgan uchburchaklar, ularning yon tomonlari trapezoidning yon tomonlarida joylashgan - teng (bir xil maydonga ega)
- Agar siz trapezoidning lateral tomonlarini kichikroq poydevorga cho'zsangiz, ular bir nuqtada tagliklarning o'rtalarini bog'laydigan to'g'ri chiziq bilan kesishadi.
- Trapetsiya asoslarini bog'laydigan va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tuvchi segment shu nuqtaga trapetsiya asoslari uzunliklari nisbatiga teng nisbatda bo'linadi.
- Trapetsiya asoslariga parallel va diagonallarning kesishish nuqtasi orqali chizilgan segment shu nuqtaga yarmiga bo'linadi va uning uzunligi 2ab / (a+ b) ga teng, bu erda a va b - asoslar trapezoiddan
Trapezoidal diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziq segmentining xususiyatlari
Biz ABCD trapezoidining diagonallarining o'rta nuqtalarini bog'laymiz, buning natijasida biz LM segmentiga egamiz.
Trapezoidal diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment, trapezoidning o'rta chizig'ida joylashgan.
Bu segment trapezoid asosiga parallel.
Trapetsiyaning diagonallarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentning uzunligi uning asoslarining yarim farqiga teng.
LM = (milodiy - miloddan avvalgi) / 2
yoki
LM = (a-b) / 2
Trapezoidning diagonallaridan hosil bo'lgan uchburchaklarning xususiyatlari
Trapezoid asoslari va trapezoid diagonallarining kesishish nuqtasi orqali hosil qilingan uchburchaklar - o'xshash.
BOC va AOD uchburchaklar o'xshash. BOC va AOD burchaklari vertikal bo'lgani uchun ular tengdir.
OCB va OAD burchaklari AD va BC parallel chiziqlarida (o'zaro trapetsiyaning asoslari bir -biriga parallel) va ajratilgan AC chizig'ida ichki o'zaro kesishgan, shuning uchun ular tengdir.
OBC va ODA burchaklari xuddi shu sababga ko'ra tengdir (ichki kesishma).
Bir uchburchakning barcha uch burchagi boshqa uchburchakning mos burchaklariga teng bo'lgani uchun, bu uchburchaklar o'xshash.
Bundan nima chiqadi?
Geometriya masalalarini hal qilish uchun uchburchaklarning o'xshashligi quyidagicha ishlatiladi. Agar biz o'xshash uchburchaklar mos keladigan ikkita element uzunliklarining qiymatlarini bilsak, u holda o'xshashlik koeffitsientini topamiz (biz bir -biridan ajratamiz). Qolgan barcha elementlarning uzunligi bir xil qiymatga ega.
Trapetsiyaning yon va diagonallarida yotgan uchburchaklarning xususiyatlari
AB va CD trapetsiyasining yon tomonlarida yotgan ikkita uchburchakni ko'rib chiqaylik. Bu AOB va COD uchburchaklaridir. Bu uchburchaklarning alohida tomonlarining o'lchamlari butunlay boshqacha bo'lishi mumkinligiga qaramay uchburchaklar tomonlari va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtalari tomonidan hosil qilingan maydonlari, ya'ni uchburchaklar kattaligiga teng.
Agar siz trapetsiyaning yon tomonlarini kichikroq taglikka cho'zsangiz, u holda tomonlarning kesishish nuqtasi bo'ladi asoslarning o'rta nuqtalari orqali o'tadigan to'g'ri chiziq bilan moslang.
Shunday qilib, har qanday trapezoid uchburchakka cho'zilishi mumkin. Bu erda:
- Kengaygan lateral qirralarning kesishishida umumiy tepalikka ega bo'lgan trapezoid asoslari natijasida hosil bo'lgan uchburchaklar
- Trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan to'g'ri chiziq, shu bilan birga, qurilgan uchburchakning medianasi.
Trapetsiya asoslarini birlashtiruvchi chiziqning xususiyatlari
Agar siz uchlari trapezoid (KN) diagonallarining kesishish nuqtasida joylashgan trapezoidning asosiga to'g'ri keladigan segmentni chizsangiz, uning tarkibiy qismlarining poydevor tomoniga nisbati. diagonallarning kesishish nuqtasi (KO / ON) trapetsiya asoslarining nisbatiga teng bo'ladi(Miloddan avvalgi / milodiy).
KO / ON = miloddan avvalgi / milodiy
Bu xususiyat mos keladigan uchburchaklarning o'xshashligidan kelib chiqadi (yuqoriga qarang).
Trapetsiya asoslariga parallel chiziqning xususiyatlari
Agar siz trapetsiya asoslariga parallel va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tuvchi segmentni chizsangiz, u quyidagi xususiyatlarga ega bo'ladi:
- Oldindan belgilangan masofa (KM) trapezoidal diagonallarning kesishish nuqtasini yarmiga ajratadi
- Segment uzunligi trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tib, asoslarga parallel bo'ladi KM = 2ab / (a+ b)
Trapezoidning diagonallarini topish uchun formulalar
a, b- trapezoidning asosi
v, d- trapezoidning yon tomonlari
d1 d2- trapezoidal diagonallar
α β - trapetsiya asosi kattaroq bo'lgan burchaklar
Trapetsiyaning diagonallarini taglik, yon va burchakdagi burchaklar orqali topish formulalari
Formulalarning birinchi guruhi (1-3) trapezoidal diagonallarning asosiy xususiyatlaridan birini aks ettiradi:
1. Trapetsiyaning diagonallari kvadratlarining yig'indisi tomonlarning kvadratlari yig'indisiga va uning asoslari mahsulotidan ikki baravar ko'pdir. Trapezoid diagonallarining bu xossasini alohida teorema sifatida isbotlash mumkin
2 ... Bu formulani oldingi formulaga aylantirish orqali olinadi. Ikkinchi diagonalning kvadrati tenglik belgisi orqali tashlanadi, shundan so'ng kvadratning ifodasi chap va o'ng tomondan chiqariladi.
3 ... Trapetsiya diagonalining uzunligini topishning bu formulasi avvalgisiga o'xshaydi, farq bilan ifodaning chap tomonida boshqa diagonal qoladi.
Keyingi formulalar guruhi (4-5) ma'no jihatidan o'xshash va shunga o'xshash nisbatni ifodalaydi.
Formulalar guruhi (6-7) trapetsiyaning diagonalini topishga imkon beradi, agar trapetsiyaning kattaroq asosi, bir tomoni va taglikdagi burchagi ma'lum bo'lsa.
Trapetsiyaning diagonallarini balandligi bo'yicha topish formulalari
Vazifa.
ABCD (AD | | BC) trapetsiyasining diagonallari O nuqtada kesishadi. Agar taglik AD = 24 sm, uzunligi AO = 9 sm, uzunligi OC = 6 sm bo'lsa, trapetsiyaning BC asosining uzunligini toping.
Yechim.
Mafkura nuqtai nazaridan bu muammoning echimi avvalgi muammolarga mutlaqo o'xshaydi.
AOD va BOC uchburchaklar uchta burchakda o'xshash - AOD va BOC vertikal, qolgan burchaklar juftlikda tengdir, chunki ular bitta to'g'ri chiziq va ikkita parallel chiziqning kesishishi natijasida hosil bo'lgan.
Uchburchaklar o'xshash bo'lgani uchun, ularning barcha geometrik o'lchamlari bir -biri bilan bog'liq, chunki bizga AO va OC segmentlarining geometrik o'lchamlari muammoning bayonidan ma'lum. Ya'ni
AO / OC = AD / miloddan avvalgi
Miloddan avvalgi 9/6 = 24 / mil
Miloddan avvalgi = 24 * 6/9 = 16
Javob: 16 sm
Vazifa.
ABCD trapetsiyasida ma'lumki, AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Trapetsiyaning maydonini toping. 
Yechim.
Trapetsiyaning balandligini kichikroq B va C taglikning tepaliklaridan topish uchun biz ikkita balandlikni katta taglikka tushiramiz. Trapezoid teng bo'lmaganligi uchun biz AM = a uzunligini, KD = b uzunligini belgilaymiz ( formuladagi yozuv bilan adashtirmaslik kerak trapezoid maydonini topish). Trapetsiyaning asoslari parallel bo'lgani uchun va biz katta poydevorga perpendikulyar bo'lgan ikkita balandlikni o'tkazib yubordik, shuning uchun MBCK to'rtburchaklardir.
Vositalar
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Uchburchaklar DBM va ACK to'rtburchaklar shaklida, shuning uchun ularning to'g'ri burchaklari trapezoidning balandligidan hosil bo'ladi. Trapetsiyaning balandligini h bilan belgilaymiz. Keyin Pifagor teoremasi bilan
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
va
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Biz a = 16 - b, keyin birinchi tenglamada ekanligini hisobga olamiz
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Pifagor teoremasi tomonidan olingan ikkinchi tenglamadagi balandlik kvadratining qiymatini almashtiraylik. Biz olamiz:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Shunday qilib, KD = 12
Qaerda
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Trapetsiyaning balandligi va asoslari yig'indisining yarmini toping
, bu erda a b - trapetsiyaning asosi, h - trapetsiyaning balandligi
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 sm 2
Javob: trapetsiyaning maydoni 80 sm 2.
Agar ikkilamchi trapetsiyadagi diagonallar perpendikulyar bo'lsa, quyidagi nazariy material masalani echishda foydali bo'ladi.
1. Agar teng bo'lmagan trapetsiyada diagonallari perpendikulyar bo'lsa, trapetsiyaning balandligi asoslar yig'indisining yarmiga teng.
C nuqtasi orqali BD ga parallel bo'lgan CF chizig'ini torting va AD chizig'ini CF bilan kesishuvgacha cho'zing.
To'rtburchak BCFD - parallelogramma (BC∥ DF trapetsiyaning asosi sifatida, BD∥ CF inshooti bo'yicha). Demak, CF = BD, DF = BC va AF = AD + BC.
Uchburchak ACF to'rtburchaklar (agar chiziq ikkita parallel chiziqdan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqa chiziqqa ham perpendikulyar). Ikki tomonlama trapetsiyadagi diagonallar teng bo'lgani uchun va CF = BD bo'lsa, u holda CF = AC, ya'ni ACF uchburchagi AF asosli izosellardir. Shunday qilib, uning CN balandligi ham o'rtacha. Gipotenuzaga tortilgan to'g'ri burchakli uchburchakning medianasi uning yarmiga teng bo'lgani uchun
umuman shunday yozilishi mumkin
bu erda h - trapetsiyaning balandligi, a va b - uning asosi.
2. Agar ikkilamchi trapetsiyada diagonallar perpendikulyar bo'lsa, u holda uning balandligi o'rta chiziqqa teng bo'ladi.
M trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslarning yarim yig'indisiga teng bo'lgani uchun, demak
3. Agar ikkilamchi trapetsiyadagi diagonallar perpendikulyar bo'lsa, u holda trapetsiyaning maydoni trapetsiya balandligining kvadratiga (yoki tagliklarning yarmi yig'indisining kvadratiga yoki o'rta chiziqning kvadratiga teng bo'ladi). ).
Trapetsiyaning maydoni formulada topilganligi uchun
va perpendikulyar diagonalli izoselli trapezoidning balandligi, asoslarining yarmi yig'indisi va o'rta chizig'i bir-biriga teng:
4. Agar ikkilamchi trapetsiyada diagonallar perpendikulyar bo'lsa, u holda uning diagonalining kvadrati asoslar yig'indisining yarmiga teng, shuningdek balandlikdan ikki barobar va o'rta chiziqdan ikki barobar ko'pdir.
Qavariq to'rtburchakning maydonini uning diagonallari va ular orasidagi burchak orqali topish mumkin
