Hunarmandchilik

Arifmetik progressiya formulasi a. Arifmetik progressiya: bu nima? Shartlar va belgilar

Diqqat!
Qo'shimcha bor
555 maxsus bo'limidagi materiallar.
Juda "unchalik emas" bo'lganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Arifmetik progressiya - bu har bir son avvalgisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan sonlar qatori.

Bu mavzu ko'pincha qiyin va tushunarsizdir. Harflar indekslari, progressiyaning n -chi davri, taraqqiyotdagi farq - bularning barchasi qandaydir chalkashlikdir, ha ... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hammasi darhol hal bo'ladi.)

Arifmetik progressiya tushunchasi.

Arifmetik progressiya - bu juda oddiy va tushunarli tushuncha. Shubha bormi? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.

Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu qatorni uzaytira olasizmi? Beshdan keyin qanday raqamlar keladi? Hamma ... uh-uh ..., qisqasi, hamma tushunadi, 6, 7, 8, 9, va hokazo raqamlar bundan ham uzoqqa ketadi.

Keling, vazifani murakkablashtiraylik. Men tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz naqshni, seriyani kengaytira olasiz va nomini bilib olasiz ettinchi qator raqami?

Agar siz bu raqam 20 ekanligini bilsangiz - tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; balki ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar siz buni tushunmagan bo'lsangiz, o'qing.

Keling, asosiy fikrlarni sensatsiyadan matematikaga tarjima qilaylik.)

Birinchi asosiy nuqta.

Arifmetik progressiya qator sonlar bilan bog'liq. Bu dastlab chalkashlikdir. Biz tenglamalarni echishga, grafiklarni chizishga va boshqalarga o'rganib qolganmiz ... Keyin qatorni kengaytiring, seriya raqamini toping ...

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Faqat progressiyalar - bu matematikaning yangi bo'limi bilan birinchi tanishish. Bo'lim "Qatorlar" deb nomlanadi va qatorlar va ifodalar bilan ishlaydi. Bunga ko'niking.)

Ikkinchi muhim nuqta.

Arifmetik progressiyada har qanday raqam avvalgisidan farq qiladi bir xil miqdorda.

Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olmang, bu avvalgisidan birma -bir katta. Ikkinchisida - uchta. Oldingi raqamdan uchtadan ko'p bo'lgan har qanday raqam. Aslida, aynan shu lahzada biz naqshni ushlab, keyingi raqamlarni hisoblashimiz mumkin.

Uchinchi muhim nuqta.

Bu lahza hayratlanarli emas, ha ... Lekin bu juda, juda muhim. Mana: progressiyaning har bir raqami o'z o'rnida turadi. Birinchi raqam bor, ettinchi, qirq beshinchi va boshqalar. Agar ular tasodifan chalkashib ketishsa, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya ham yo'qoladi. Faqat bir qator raqamlar qoladi.

Hamma gap shunda.

Albatta, yangi mavzuda yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Siz ularni bilishingiz kerak. Aks holda, siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz quyidagi kabi qaror qabul qilishingiz kerak:

Arifmetik progressiyaning birinchi oltita shartini yozing (a n), agar 2 = 5 bo'lsa, d = -2.5.

Bu ilhomlantiradimi?) Xatlar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytgancha - oson bo'lmasdi. Siz atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu biznesni o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.

Shartlar va belgilar.

Arifmetik progressiya bu har bir raqam avvalgisidan farq qiladigan raqamlar turkumidir bir xil miqdorda.

Bu miqdor deyiladi ... Keling, ushbu kontseptsiya bilan batafsilroq shug'ullanamiz.

Arifmetik progressiyaning farqi.

Arifmetik progressiyaning farqi bu progressiyaning har qanday sonining miqdori Ko'proq oldingi.

Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik nuqtai nazardan, bu progressiyaning har bir soni olinadi qo'shish arifmetik progressiyaning oldingi sondan farqi.

Hisoblash uchun aytaylik ikkinchi seriya raqami kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchisi- farq zarur qo'shish Kimga to'rtinchi, yaxshi va boshqalar.

Arifmetik progressiyaning farqi balkim ijobiy, keyin qatorning har bir raqami chindan ham chiqadi avvalgisiga qaraganda ko'proq. Bu progressiya deyiladi ortib bormoqda. Masalan:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Bu erda har bir raqam olinadi qo'shish ijobiy raqam, oldingi raqamga +5.

Farqi bo'lishi mumkin salbiy, keyin qatordagi har bir raqam chiqadi avvalgisidan kamroq. Bunday progressiya deyiladi (bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.

Masalan:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Bu erda ham har bir raqam olinadi qo'shish oldingi, lekin allaqachon salbiy raqamga, -5.

Aytgancha, progressiya bilan ishlayotganda, uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali bo'ladi - u ko'payadimi yoki kamayayaptimi. Bu yechimni topishga, xatolaringizni aniqlashga va kech bo'lmasdan tuzatishga katta yordam beradi.

Arifmetik progressiyaning farqi qoida tariqasida, harf bilan belgilanadi d.

Qanday topish mumkin d? Juda oddiy. Seriyalarning istalgan sonidan olib tashlash kerak oldingi raqam. Chiqarish. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb nomlanadi.)

Keling, ta'rif beraylik d arifmetik progressiyani oshirish uchun:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Biz xohlagan qatorning istalgan sonini olamiz, masalan, 11. Undan chiqaring oldingi raqam, o'sha. sakkiz:

Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiyaning farqi uchtadir.

Siz aniq olishingiz mumkin har qanday progressiya, beri ma'lum bir rivojlanish uchun d -har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda hamma joyda. Siz faqat birinchi raqamni qabul qila olmaysiz. Chunki birinchi raqamda avvalgisi yo'q.)

Aytgancha, buni bilish d = 3, bu progressiyaning ettinchi sonini topish juda oson. Beshinchi raqamga 3 qo'shing - biz oltinchisini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shing, biz ettinchi raqamni olamiz - yigirma.

Biz aniqlaymiz d arifmetik progressiyaning pasayishi uchun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Sizga shuni eslatamanki, belgilaridan qat'i nazar, aniqlash kerak d har qanday raqamdan kerak avvalgisini olib tashlang. Biz progressiyaning istalgan sonini tanlaymiz, masalan -7. Oldingi -2. Keyin:

d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik progressiyaning farqi har qanday sonda bo'lishi mumkin: butun, kasrli, irratsional, nima bo'lishidan qat'iy nazar.

Boshqa atamalar va belgilar.

Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.

Progressiyaning har bir a'zosi o'z raqamiga ega. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday ayyorliksiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, 2, 5, 8, 11, 14, ... bosqichlarida ikkitasi - birinchi davr, beshtasi - ikkinchi, o'n bitta - to'rtinchisi, yaxshi, tushundingiz ...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday, butun, kasrli, manfiy, har qanday bo'lishi mumkin, lekin raqamlarni raqamlash- qat'iy tartibda!

Umumiy rivojlanishni qanday yozish kerak? Muammo yo'q! Qatordagi har bir raqam harf sifatida yozilgan. Qoidaga ko'ra, harf arifmetik progressiyani bildirish uchun ishlatiladi a... Ro'yxat raqami o'ng pastki qismdagi indeks bilan ko'rsatiladi. Biz a'zolarni vergul (yoki nuqta -vergul) bilan ajratilgan holda yozamiz:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1 bu birinchi raqam, a 3- uchinchisi va boshqalar. Hech narsa murakkab emas. Siz ushbu seriyani qisqacha shunday yozishingiz mumkin: (a).

Progresslar - bu cheksiz va cheksiz.

Yakuniy progressiyaning a'zolari soni cheklangan. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Ammo - cheklangan raqam.

Cheksiz progress - cheksiz ko'p a'zolarga ega, siz taxmin qilganingizdek.)

Siz oxirgi ketma -ketlikni shunday ketma -ket yozishingiz mumkin, barcha a'zolar va oxirida nuqta:

1, 2, 3, 4, 5.

Yoki agar a'zolari ko'p bo'lsa:

1, 2, ... 14, 15.

Qisqa vaqt ichida siz a'zolarning sonini qo'shimcha ravishda ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Masalan (yigirma a'zo uchun), masalan:

(a n), n = 20

Bu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, cheksiz progressiyani qator oxiridagi ellips orqali aniqlash mumkin.

Endi siz vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.

Arifmetik progressiya bo'yicha topshiriqlarga misollar.

Keling, yuqorida berilgan vazifani batafsil tahlil qilaylik:

1. (a n) arifmetik progressiyaning birinchi oltita shartini yozing, agar 2 = 5, d = -2.5 bo'lsa.

Biz vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Bu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Progressiyaning farqi ma'lum: d = -2.5. Bu progressiyaning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topish kerak.

Aniqlik uchun men muammoning shartiga qarab bir qator yozaman. Birinchi oltita shart, bu erda ikkinchi davr beshta:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Ifodani almashtiring a 2 = 5 va d = -2.5... Minus haqida unutmang!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Uchinchi muddat ikkinchisidan kichikroq. Hamma narsa mantiqiy. Agar bu raqam avvalgisidan ko'p bo'lsa salbiy qiymat, keyin raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Taraqqiyot pasaymoqda. Xo'sh, buni hisobga olaylik.) Biz seriyamizning to'rtinchi a'zosi deb hisoblaymiz:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Shunday qilib, uchdan oltigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada shunday ketma -ketlik paydo bo'ladi:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Birinchi atamani topish qoladi a 1 ma'lum sekundiga ko'ra. Bu boshqa tomonga, chapga qadam.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d qo'shish shart emas a 2, a olib ketish:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hammasi shu. Vazifaga javob:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Yo'l davomida shuni ta'kidlaymanki, biz bu vazifani hal qildik takroriy yo'l Bu qo'rqinchli so'z faqat progressiyaning a'zosini qidirishni anglatadi. oldingi (qo'shni) raqam bo'yicha. Progress bilan ishlashning boshqa usullarini keyinroq ko'rib chiqamiz.

Bu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.

Eslab qoling:

Agar biz hech bo'lmaganda bitta atamani va arifmetik progressiyaning farqini bilsak, bu progressiyaning istalgan a'zosini topishimiz mumkin.

Eslaysizmi? Bu oddiy xulosa shu mavzu bo'yicha maktab kursining ko'p vazifalarini hal qilishga imkon beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametrga bog'liq: arifmetik progressiyaning a'zosi, progressiyaning farqi, progressiya a'zolarining soni. Hamma narsa.

Albatta, barcha oldingi algebra bekor qilinmaydi.) Tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar progressiyaga biriktirilgan. Lekin juda taraqqiyoti bilan- Hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.

Keling, misol sifatida ushbu mavzu bo'yicha mashhur bo'lgan ba'zi topshiriqlarni ko'rib chiqaylik.

2. N = 5, d = 0,4 va 1 = 3,6 bo'lsa, yakuniy arifmetik progressiyani ketma -ket yozing.

Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Siz arifmetik progressiyaning a'zolari qanday hisoblanganini, hisoblanganini va yozib qo'yilganligini eslab qolishingiz kerak. Vazifa shartidagi so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n = 5". Yuzi to'liq ko'k bo'lmaguncha hisoblanmaydi.) Bu jarayonda atigi 5 (besh) a'zo bor:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Javobni yozish qoladi:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Boshqa vazifa:

3. 7 raqami arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi ekanligini aniqlang, agar a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm ... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?

Qanday qilib, qanday ... Ha, ketma -ketlikdagi ketma -ketlikni yozing va u erda ettita bo'ladimi yoki yo'qmi, ko'ring! Biz ko'rib chiqamiz:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Endi aniq ko'rinib turibdiki, biz yetti yoshdamiz o'tib ketdi 6,5 dan 7,7 gacha! Ettitasi bizning qator raqamlarimizga kirmagan va shuning uchun ettitasi bu progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.

Javob yo'q.

Va bu erda GIAning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:

4. Arifmetik progressiyaning ketma -ket bir necha a'zolari yoziladi:

...; 15; NS; to'qqiz; 6; ...

Bu erda qator oxiri va boshisiz yoziladi. Ro'yxat raqamlari yo'q, farq yo'q d... Hammasi joyida; shu bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Biz mumkin bo'lgan narsalarni ko'rib chiqamiz va o'ylaymiz bilmoq shu serialdanmi? Uchta asosiy parametr nima?

Ro'yxat raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.

Ammo uchta raqam bor - diqqat! - so'z "ketma -ket" holatda. Bu shuni anglatadiki, raqamlar aniq tartibda, bo'shliqlarsiz. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bu 9 va 6. Shunday qilib, biz arifmetik progressiyaning farqini hisoblashimiz mumkin! Biz oltitadan chiqaramiz oldingi raqam, ya'ni to'qqiz:

Faqat arzimas narsalar qoldi. X uchun oldingi raqam nima? O'n besh. Bu shuni anglatadiki, x ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. 15 ga arifmetik progressiyaning farqini qo'shing:

Hammasi shu. Javob: x = 12

Biz quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu muammolar formulalar bilan bog'liq emas. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz faqat harflar sonini yozamiz, qaraymiz va o'ylaymiz.

5. Agar 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat sonini toping; d = 1.1.

6. Ma'lumki, 5.5 raqami arifmetik progressiyaning a'zosi (a n), bu erda a 1 = 1.6; d = 1.3. Bu a'zoning n sonini aniqlang.

7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; 5 = 15.1. 3 ni toping.

8. Arifmetik progressiyaning ketma -ket bir nechta a'zolari yozilgan:

...; 15.6; NS; 3.4; ...

X harfi bilan ko'rsatilgan progressiyani toping.

9. Poezd tezligini daqiqasiga 30 metrga oshirib, vokzaldan harakatlana boshladi. Besh daqiqada poezd tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km / soat bilan bering.

10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; 6 = -5. 1 ni toping.

Javoblar (tartibsiz): 7.7; 7,5; 9,5; to'qqiz; 0,3; 4.

Hammasi amalga oshdimi? Ajoyib! Keyingi darslarda siz arifmetik progressiyani yuqori darajada o'zlashtirishingiz mumkin.

Hamma ish bermadi? Muammo yo'q. 555 -maxsus bo'limda bu muammolarning hammasi bo'laklarga bo'linadi.) Va, albatta, oddiy amaliy texnika tasvirlangan, u xuddi shunday vazifalarning hal etilishini darhol, aniqki, sizning kaftingizda!

Aytgancha, poezd haqidagi jumboqda odamlar tez -tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Biri faqat rivojlanishda, ikkinchisi matematika va fizikadagi har qanday muammo uchun keng tarqalgan. Bu o'lchovlarning bir -biridan boshqasiga tarjimasi. Unda bu muammolarni qanday hal qilish kerakligi ko'rsatilgan.

Bu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, seriya yozing, hammasi hal bo'ladi.

Barmoq yechimi, bu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, qatorning juda qisqa bo'laklari uchun yaxshi ishlaydi. Agar qator uzunroq bo'lsa, hisoblar murakkablashadi. Misol uchun, agar savolda 9 -muammo bo'lsa, o'zgartiring "besh daqiqa" yoqilgan "o'ttiz besh daqiqa" muammo sezilarli darajada g'azablanadi.)

Shuningdek, mohiyati sodda, lekin hisob -kitoblar bo'yicha aql bovar qilmaydigan vazifalar ham bor, masalan:

Sizga arifmetik progressiya (a n) beriladi. Agar 1 = 3 va d = 1/6 bo'lsa, 121 ni toping.

Va nima, biz 1/6 ga ko'p marta qo'shamiz?! Siz o'zingizni o'ldirishingiz mumkin!?

Siz qila olasiz.) Agar siz oddiy formulani bilmasangiz, unga ko'ra bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilish mumkin. Bu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo shu erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)

Agar sizga bu sayt yoqsa ...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollar yechishni mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Darhol tekshirish testi. O'rganish - qiziqish bilan!)

funktsiyalari va hosilalari bilan tanishishingiz mumkin.

Matematika xuddi rasm va she'riyat kabi o'ziga xos go'zallikka ega.

Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy

Arifmetik progressiya kontseptsiyasi bilan bog'liq muammolar matematikaga kirish imtihonlarida juda keng tarqalgan muammolardir. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xususiyatlarini yaxshi bilish va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lish zarur.

Biz avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaymiz va eng muhim formulalarni keltiramiz, bu tushuncha bilan bog'liq.

Ta'rif. Raqamlar ketma -ketligi, unda har bir keyingi muddat avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Bundan tashqari, raqamprogressiyaning farqi deb ataladi.

Arifmetik progressiya uchun quyidagi formulalar amal qiladi

, (1)

qayerda. (1) formulani arifmetik progressiyaning umumiy muddatining formulasi deb atashadi va (2) formulasi arifmetik progressiyaning asosiy xossasi: progressiyaning har bir atamasi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetikasiga to'g'ri keladi.

E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb nomlanadi.

Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:

(3)

Miqdorni hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning a'zolariodatda formuladan foydalaniladi

(5) qaerda va.

Formulani hisobga olgan holda (1), keyin (5) formulani nazarda tutadi

Agar biz belgilasak, demak

qayerda. (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarning umumlashmasidir.

Jumladan , (5) formula nazarda tutilgan, nima

Quyidagi teorema yordamida tuzilgan arifmetik progressiyaning xususiyati ko'pchilik o'quvchilarga ma'lum emas.

Teorema. Agar shunday bo'lsa

Isbot. Agar shunday bo'lsa

Teorema isbotlangan.

Masalan , teorema yordamida, buni ko'rsatish mumkin

"Arifmetik progressiya" mavzusidagi muammolarni hal qilishning odatiy misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.

Misol 1. Keling va. Toping.

Yechim.(6) formuladan foydalanib, biz olamiz. Va keyin, keyin yoki.

2 -misol. Bu uch barobar ko'p bo'lsin va bo'linishda bo'linganda biz 2 va qolgan 8 ni olamiz. Aniqlang va.

Yechim. Misolning sharti tenglamalar tizimini nazarda tutadi

,, va, keyin tenglamalar sistemasidan (10) biz olamiz

Bu tenglamalar tizimining yechimi va.

Misol 3. Agar va bo'lsa, toping.

Yechim.(5) formulaga ko'ra, bizda yoki. Biroq, (9) xususiyatidan foydalanib, biz olamiz.

Va keyin, keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki.

Misol 4. Bo'lsa toping.

Yechim.(5) formulasi bo'yicha bizda bor

Biroq, teoremadan foydalanib, yozish mumkin

Bundan va (11) formuladan olamiz.

Misol 5. Berilgan :. Toping.

Yechim. O'shandan beri. Biroq, shuning uchun.

Misol 6. Keling va. Toping.

Yechim.(9) formuladan foydalanib, biz olamiz. Shuning uchun, agar, keyin yoki.

Beri va, keyin bu erda biz tenglamalar tizimiga egamiz

Qaysi birini hal qilamiz, biz olamiz va.

Tenglamaning tabiiy ildizi bu.

Misol 7. Agar va bo'lsa, toping.

Yechim.(3) formulada bizda shunday bo'lgani uchun, masalaning bayoni tenglamalar tizimini nazarda tutadi

Agar siz ifodani almashtirsangiztizimning ikkinchi tenglamasiga kiradi, keyin olamiz yoki.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va.

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

1. Xo'sh, keling. O'shandan beri, keyin.

Bu holda, (6) formulaga muvofiq, bizda

2. Agar, keyin, va

Javob: va.

Misol 8. Ma'lumki, va. Toping.

Yechim.(5) formulani va misol shartini inobatga olib, biz yozamiz va.

Demak, tenglamalar tizimi amal qiladi

Agar biz tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz olamiz

(9) formulaga ko'ra, bizda bor... Shu munosabat bilan, (12) dan quyidagicha yoki.

O'shandan beri, keyin.

Javob:.

Misol 9. Agar va bo'lsa, toping.

Yechim. Chunki, va shart bo'yicha, keyin yoki.

(5) formuladan ma'lum, nima . O'shandan beri.

Demak, bu erda bizda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud

Shunday qilib, biz olamiz va. (8) formulani hisobga olib, biz yozamiz.

Misol 10. Tenglamani yeching.

Yechim. Berilgan tenglamadan shunday xulosa chiqadi. Aytaylik, ,, va. Unday bo `lsa .

(1) formulaga muvofiq siz yozishingiz yoki.

Chunki, keyin (13) tenglama bitta mos ildizga ega.

Misol 11. Shunda berilgan maksimal qiymatni toping.

Yechim. Chunki hisoblangan arifmetik progressiya pasaymoqda. Shu nuqtai nazardan, ifoda eng katta qiymatni oladi, agar u progressiyaning minimal musbat davrining soni bo'lsa.

Biz (1) formuladan va faktdan foydalanamiz, kabi. Keyin biz buni olamiz yoki.

O'shandan beri, keyin yoki ... Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, shuning uchun.

Agar qiymatlar va (6) formulada almashtirilsa, biz olamiz.

Javob:.

Misol 12. Ikki xonali natural sonlarning yig'indisini aniqlang, ular 6 ga bo'linib, qolganlari 5 ga teng.

Yechim. Keling, barcha ikki xonali natural sonlar to'plami bilan belgilaylik, ya'ni. ... Keyin biz to'plamning elementlaridan (sonlaridan) iborat kichik guruh tuzamiz, ular 6 ga bo'linib, qolganlari 5 ga teng bo'ladi.

O'rnatish qiyin emas, nima . Shubhasiz, bu to'plam elementlariarifmetik progressiyani hosil qiladi, qaysi va.

To'plamning kardinalligini (elementlar sonini) aniqlash uchun biz shunday taxmin qilamiz. Beri va keyin (1) formuladan kelib chiqadi yoki. (5) formulani hisobga olgan holda, biz olamiz.

Muammolarni hal qilishning yuqoridagi misollari to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola berilgan mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilishning zamonaviy usullari tahlili asosida yozilgan. Arifmetik progressiya bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish maqsadga muvofiqdir.

1. Texnikumlarga kiruvchilar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013.- 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 b.

3. Medinskiy M.M. Boshlang'ich matematikaning to'liq kursi masalalar va mashqlarda. 2 -kitob: Sonlar ketma -ketligi va progressiyasi. - M.: Tahrir, 2015.- 208 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

O'qituvchidan yordam olish uchun - ro'yxatdan o'ting.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda, manba havolasi bo'lishi shart.

Kimdir yuqori matematikaning juda murakkab atamasi sifatida "progressiya" so'zidan qo'rqadi. Shu bilan birga, eng oddiy arifmetik progressiya - bu taksometrning ishi (ular hali ham shu erda). Va arifmetik ketma -ketlikning mohiyatini tushunish (va matematikada "mohiyatini tushunish" dan muhimroq narsa yo'q), bir necha elementar tushunchalarni tahlil qilib, unchalik qiyin emas.

Matematik raqamlar ketma -ketligi

Bir qator raqamlarni raqamli ketma -ketlik bilan nomlash odat tusiga kiradi, ularning har biri o'z raqamiga ega.

a 1 - ketma -ketlikning birinchi a'zosi;

va 2 - ketma -ketlikning ikkinchi a'zosi;

va 7 - ketma -ketlikning ettinchi a'zosi;

va n-ketma-ketlikning n-chi a'zosi;

Biroq, bizni o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni raqamli ketma -ketlikka qaratamiz, bunda n -chi sonning qiymati uning tartib raqami bilan bog'liq bo'lib, matematik jihatdan aniq shakllantirilishi mumkin. Boshqacha aytganda: n-sonning raqamli qiymati n ning ba'zi funktsiyalari.

a - sonli ketma -ketlik a'zosining qiymati;

n - uning seriya raqami;

f (n) - funktsiya, bu erda n sonli ketma -ketlikdagi tartib argument hisoblanadi.

Ta'rif

Arifmetik progressiyani raqamli ketma -ketlik deb atash odat tusiga kiradi, bunda har bir keyingi atama avvalgisidan bir xil raqam bo'yicha katta (kamroq) bo'ladi. Arifmetik ketma -ketlikning n -a'zosining formulasi quyidagicha:

a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

a n + 1 - keyingi raqamning formulasi;

d - farq (ma'lum bir raqam).

Agar farq musbat (d> 0) bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan ketma -ketlikning har bir keyingi muddati avvalgisidan kattaroq bo'lishini va bunday arifmetik progressiyaning o'sishini aniqlash oson.

Quyidagi grafikda raqamlar ketma -ketligi nima uchun "ko'tarilish" deb nomlanganini tushunish oson.

Agar farq salbiy bo'lsa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belgilangan a'zoning qiymati

Ba'zida arifmetik progressiyaning a n ixtiyoriy a'zosining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Siz buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan xohlaganigacha ketma -ket hisoblash orqali qilishingiz mumkin. Ammo, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi a'zo ma'nosini topish zarur bo'lsa, bu yo'l har doim ham qabul qilinmaydi. An'anaviy hisoblash uzoq davom etadi. Biroq, ma'lum bir formulalar yordamida ma'lum bir arifmetik progressiyani tekshirish mumkin. N -chi davrning formulasi ham bor: arifmetik progressiyaning har qanday a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi davrining yig'indisi sifatida belgilash mumkin, bu istalgan sonning soniga ko'paytirilib, ko'payishining farqi bilan. bitta

Formula progressivlikni ham, kamayish uchun ham universaldir.

Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli

Arifmetik progressiyaning n -chi a'zosi qiymatini topish bo'yicha quyidagi masalani hal qilaylik.

Vaziyat: parametrlari bilan arifmetik progressiya mavjud:

Navbatdagi birinchi atama 3;

Raqamlar seriyasidagi farq 1,2 ga teng.

Topshiriq: siz 214 a'zoning qiymatini topishingiz kerak

Yechish: berilgan atamaning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

a (n) = a1 + d (n-1)

Muammo shartidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirib, bizda:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Javob: 214 -chi qator ketma -ketlikda 258,6.

Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 satrdan oshmaydi.

Berilgan a'zolar sonining yig'indisi

Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda, uning ma'lum bir segmentining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bu, shuningdek, har bir davrning qiymatlarini hisoblashni va keyin yig'ishni talab qilmaydi. Agar topiladigan atamalar soni oz bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda, quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.

1 dan n gacha arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi birinchi va nchi a'zolar yig'indisiga teng bo'lib, n a'zo soniga ko'paytiriladi va yarmiga bo'linadi. Agar formulada n -chi atama qiymati maqolaning oldingi xatboshisining ifodasi bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Hisoblash misoli

Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:

Ketma -ketlikdagi birinchi atama nolga teng;

Farqi 0,5.

Muammo bo'yicha siz 56 -dan 101 -gacha bo'lgan qator a'zolari yig'indisini aniqlashingiz kerak.

Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Birinchidan, biz muammoning shartlari ma'lumotlarini formulaga almashtirib, progressiyaning 101 a'zosining qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525

Shubhasiz, 56 -dan 101 -gacha bo'lgan progressiya a'zolarining yig'indisini bilish uchun S 101 -dan S 55 -ni olib tashlash kerak.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Shunday qilib, bu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik progressiyaning amalda qo'llanilishiga misol

Maqolaning oxirida, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma -ketlik misoliga qaytamiz - taksimetr (taksi mashinasi hisoblagichi). Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Taksiga o'tirish (3 km yurishni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Safar narxini hisoblang.

1. Birinchi 3 kmni tashlaylik, uning narxi qo'nish narxiga kiritilgan.

30 - 3 = 27 km.

2. Keyingi hisoblash - arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.

Ro'yxat raqami - bosib o'tgan kilometrlar soni (minus birinchi uchtasi).

A'zo qiymati yig'indidir.

Bu muammoning birinchi atamasi 1 = 50 p ga teng bo'ladi.

Progressiyadagi farq d = 22 p.

bizni qiziqtirgan raqam - arifmetik progressiyaning (27 + 1) - chi davrining qiymati - 27 -kilometrning oxiridagi hisoblagich ko'rsatkichi 27,999… = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

O'zboshimchalik bilan uzoq vaqt uchun kalendar ma'lumotlarini hisoblash ma'lum sonli ketma -ketlikni tavsiflovchi formulalarga asoslangan. Astronomiyada orbitaning uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yoritgichgacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida har xil sonli qatorlar muvaffaqiyatli ishlatiladi.

Raqamlar ketma -ketligining yana bir turi - geometrik

Geometrik progressiya arifmetikaga nisbatan katta o'zgarish tezligi bilan ajralib turadi. Siyosat, sotsiologiya, tibbiyotda ular tez -tez bu hodisaning, masalan, epidemiya paytida kasallikning yuqori tarqalish tezligini ko'rsatish uchun eksponentli ravishda rivojlanadi, deyishadi.

Geometrik sonlarning to'qqizinchi atamasi avvalgisidan farq qiladi, chunki u ma'lum bir doimiy songa ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi atama 1, denominator mos ravishda 2, keyin:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

b n + 1 - geometrik progressiyaning keyingi davrining formulasi;

q - geometrik progressiyaning maxraji (doimiy son).

Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, unda geometrik tasvir biroz boshqacha rasm chizadi:

Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiyada ixtiyoriy atama qiymatining formulasi mavjud. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi qismi birinchi sonning mahsulotiga teng, n-ning kuchiga bo'linishining ayirmasiga teng:

Misol. Bizda geometrik progressiya bor, uning birinchi qismi 3 ga teng va progressiyaning maxraji 1,5 ga teng. Progressiyaning 5 -chi muddatini toping

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Berilgan a'zolar sonining yig'indisi xuddi shu tarzda maxsus formula yordamida hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n shartining yig'indisi, progressiyaning n -chi qismi va uning maxraji hosilasi bilan progressiyaning birinchi atamasi o'rtasidagi farqga teng bo'lib, maxrajga bo'linadi:

Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalangan holda o'zgartirilsa, ko'rib chiqilgan sonli qatorlarning birinchi n -sonlari yig'indisi qiymati quyidagicha bo'ladi:

Misol. Geometrik progressiya birinchi tenglamaning 1 ga tengligi bilan boshlanadi. Maxraji 3 ga teng belgilanadi. Birinchi sakkizta a'zoning yig'indisini toping.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Keling, o'tirib, ba'zi raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va siz xohlaganingizcha bo'lishi mumkin (bizning holatda ular). Qancha raqamlar yozmasligimizdan qat'i nazar, biz har doim qaysi biri birinchi, ikkinchisi va boshqalarni oxirigacha aytishimiz mumkin, ya'ni ularni sanashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma -ketligiga misol:

Raqamlar ketma -ketligi
Masalan, bizning ketma -ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma -ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma -ketlikda uch soniyali raqamlar yo'q. Ikkinchi raqam ( -son kabi) har doim bitta.
Raqamli son ketma -ketlikning uchinchi a'zosi deb nomlanadi.

Biz odatda butun ketma -ketlikni ba'zi harflar deb ataymiz (masalan,) va bu ketma -ketlikning har bir a'zosi xuddi shu harf bo'lib, uning a'zosining soniga teng :.

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma -ketlik bor.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma -ketligiga arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi 6 -asrda rim muallifi Boetsiy tomonidan kiritilgan va keng ma'noda cheksiz sonlar ketma -ketligi sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar egallagan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu raqamli ketma -ketlik, uning har bir a'zosi avvalgisiga teng, bir xil songa qo'shilgan. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va u bilan belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma -ketligi arifmetik progressiya va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling.

a)
b)
v)
d)

Tushundingizmi? Keling, javoblarimizni solishtiraylik:
Bu arifmetik progressiya - b, v.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikkita uni topish usuli.

1. Usul

Biz progressiyaning uchinchi davriga etib borgunimizcha, progressiya sonining oldingi qiymatiga qo'shishimiz mumkin. Yaxshisi, bizda ko'p narsa qolmaydi - faqat uchta qiymat:

Shunday qilib, ta'riflangan arifmetik progressiyaning uchinchi a'zosi tengdir.

2. Usul

Agar biz rivojlanishning uchinchi davrining qiymatini topishimiz kerak bo'lsa -chi? Xulosa bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va biz raqamlarni qo'shishda adashmagan bo'lamiz.
Albatta, matematiklar avvalgi qiymatga arifmetik progressiyaning farqini qo'shishning hojati yo'q usulni o'ylab topdilar. Chizilgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, ya'ni:

Masalan, bu arifmetik progressiyaning uchinchi a'zosining qiymati qanday qo'shilganini ko'rib chiqaylik:

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan arifmetik progressiya a'zosining qiymatini shu tarzda mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Izohlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, siz arifmetik progressiyaning a'zolarini ketma -ket oldingi qiymatga qo'shganimizda, siz oldingi usulda bo'lgani kabi aynan bir xil raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxssizlashtirish" ga harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ko'tariladi va ba'zida kamayadi.

Ko'tarilish- a'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan kattaroq bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Kamaymoqda- a'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan past bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formulalar arifmetik progressiyaning ortish va kamayish shartlarini hisoblashda ishlatiladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan tashkil topgan arifmetik progressiya berilgan: Keling, agar hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning uchinchi soni qanday bo'lishini tekshirib ko'ramiz:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyaning kamayishi va ortishi bilan ishlashiga ishonch hosil qildik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi shartlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, olingan natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xususiyati

Keling, vazifani murakkablashtiraylik - biz arifmetik progressiyaning xususiyatini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz aytganingizdek va o'zingiz bilgan formulaga muvofiq hisoblashni boshlang:

Keling, a:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va qidirayotganimizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlar bo'yicha raqamlar berilgan bo'lsa? Tan oling, hisob -kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bitta harakatda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va aynan u biz hozir chekinishga harakat qilamiz.

Keling, arifmetik progressiyaning kerakli muddatini belgilaymiz, chunki biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olgan formuladir:
, keyin:

progressiyaning oldingi a'zosi:
progressiyaning keyingi a'zosi:

Keling, progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini umumlashtiraylik:

Ma'lum bo'lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarining yig'indisi ularning o'rtasida joylashgan progressiya a'zosining ikki barobar qiymatidir. Boshqacha aytganda, ma'lum bo'lgan oldingi va ketma -ket qiymatlarga ega bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, biz bir xil raqamni oldik. Keling, materialni tuzataylik. Progressning qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu umuman qiyin emas.

Juda qoyil! Siz progress haqida deyarli hamma narsani bilasiz! O'rganish uchun faqat bitta formula qoldi, afsonaga ko'ra, o'zi uchun hamma zamonning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gaussni osonlikcha chiqarib tashlagan ...

Karl Gauss 9 yoshida, boshqa sinf o'quvchilarining ishini tekshirish bilan shug'ullanuvchi o'qituvchi darsda quyidagi topshiriqni so'radi: "Inklyuzivgacha (boshqa manbalarga ko'ra) gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisini hisoblang". O'qituvchining ajablanishini tasavvur qiling -a, shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) bir daqiqada muammoga to'g'ri javob berdi, jasoratli sinfdoshlarining ko'plari uzoq hisob -kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...

Yosh Karl Gauss siz sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda -chi a'zolardan tashkil topgan arifmetik progressiya bor: Biz arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifada Gauss qidirganidek uning a'zolarining yig'indisini topish kerak bo'lsa -chi?

Keling, berilgan progressiyani tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik amallarni bajarishga harakat qiling.

Siz sinab ko'rdingizmi? Siz nimani payqadingiz? To'g'ri! Ularning summasi teng

Ayting -chi, berilgan progressiyada nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning aniq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita a'zosi yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftlarga asoslangan holda, biz umumiy yig'indini quyidagicha qabul qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi a'zolari yig'indisining formulasi quyidagicha bo'ladi:

Ba'zi muammolarda biz uchinchi davrni bilmaymiz, lekin biz rivojlanishning farqini bilamiz. Uchinchi davrning yig'indisi formulasini almashtirishga harakat qiling.
Nima qildingiz?

Juda qoyil! Keling, Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingizni hisoblang -sonidan boshlab sonining yig'indisi nima, va sonidan boshlab sonining yig'indisi.

Qancha oldingiz?
Gauss a'zolar yig'indisi va a'zolar yig'indisi teng ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Aslida, arifmetik progressiya a'zolari yig'indisining formulasini 3 -asrda qadimgi yunon olimi Diofant isbotlagan va shu vaqt mobaynida aqlli odamlar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan qudrat va asosiy bilan foydalanganlar.
Masalan, Qadimgi Misrni va o'sha davrdagi eng yirik qurilish maydonini - piramidaning qurilishini tasavvur qiling ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu erda taraqqiyot qayerda? Yaxshilab qarang va piramida devorining har bir qatorida qum bloklari sonini aniqlang.

Bu arifmetik progressiya emasmi? Agar tayanchga blokli g'isht qo'yilsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab o'tkazmaysiz, siz oxirgi formulani va arifmetik progress haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, rivojlanish quyidagicha ko'rinadi.
Arifmetik progressiyaning farqi.
Arifmetik progressiya a'zolari soni.
Ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1 -usul.

2 -usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidadagi bloklar soni bilan solishtiring. Birga keldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning shartlari yig'indisini o'zlashtirdingiz.
Albatta, siz bazadagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin? Bu shart bilan devor qurish uchun qancha qumli g'isht kerakligini hisoblab ko'ring.
Siz muvaffaq bo'ldingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Tayyorlamoq

Vazifalar:

Masha yozda shaklini oladi. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Masha haftada necha marta cho'kadi, agar u birinchi mashg'ulotda cho'kib o'tirgan bo'lsa.
Undagi barcha toq sonlarning yig'indisi nima?
Kundaliklarni saqlashda, o'rmonchilar ularni shunday yig'adilarki, har bir ustki qatlamda avvalgisiga qaraganda bitta jurnal kamroq bo'ladi. Agar bitta toshda qancha loglar bor, agar yog'ochdan yasalgan toshlar asos sifatida xizmat qilsa.

Javoblar:

Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kun).
Javob: Ikki haftadan so'ng, Masha kuniga bir marta cho'kishi kerak.
Birinchi toq son, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiyaning farqi.
G'alati sonlar soni yarmiga teng, ammo biz bu faktni arifmetik progressiyaning -tinchi sonini topish formulasi yordamida tekshiramiz:
Raqamlar g'alati raqamlarni o'z ichiga oladi.
Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiring:
Javob: Barcha toq sonlarning yig'indisi tengdir.
Keling, piramida muammosini eslaylik. Bizning holatimizda, a, chunki har bir yuqori qatlam bitta logga kamayadi, keyin faqat bir guruh qatlamlarda, ya'ni.
Ma'lumotni formulaga almashtiramiz:
Javob: Masonlukta jurnallar bor.

Xulosa qilaylik

- qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma -ketlik. Bu ko'tarilish va kamayish bo'lishi mumkin.
Formulani topish-arifmetik progressiyaning uchinchi a'zosi -formulasi bilan yoziladi, bu erda progressiyada sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining mulki- - progressiyada raqamlar soni qayerda.
Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi ikki usulda topish mumkin:

, bu erda qiymatlar soni.

ARITMETIKA ISHLAB CHIQISH. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma -ketligi

Keling, o'tirib, ba'zi raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamni yozishingiz mumkin va siz xohlaganingizcha bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim ayting: qaysi biri birinchi, ikkinchisi va hokazo, ya'ni biz ularni sanashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma -ketligiga misol.

Raqamlar ketma -ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va yagona. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdan boshqa raqamlarga bermaymiz.

Raqamli son ketma -ketlikning uchinchi a'zosi deb nomlanadi.

Biz odatda butun ketma -ketlikni ba'zi harflar deb ataymiz (masalan,) va bu ketma -ketlikning har bir a'zosi xuddi shu harf bo'lib, uning a'zosining soniga teng :.

Agar ketma -ketlikning uchinchi muddatini biron bir formula bilan ko'rsatish mumkin bo'lsa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma -ketlikni o'rnatadi:

Va formula quyidagi ketma -ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma -ketlikdir (bu erda birinchi atama teng va farq). Yoki (, farq).

To'rtinchi davr formulasi

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda uchinchi a'zoni bilish uchun avvalgi yoki bir nechta oldingi a'zolarni bilish kerak bo'ladi:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi davrini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, hozir qanday formula bor?

Biz qo'shadigan har bir satrda ba'zi raqamlarga ko'paytiriladi. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zolar soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n -chi sonning formulasini va yuzinchi sonini toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nima? Va bu erda:

(chunki bu farq deyiladi, bu progressiyaning ketma -ket a'zolari farqiga teng).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi atama:

Dan to gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nima?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bola bo'lib, bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqqan. U birinchi va oxirgi raqamlarning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchisining va oxirgi sonining yig'indisi bir xilligini, oxiridan uchinchisi va uchinchisining yig'indisi bir xilligini va boshqalarni payqadi. Bunday juftliklar nechta bo'ladi? To'g'ri, barcha raqamlar sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi a'zolari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Ikki xonali ko'pliklarning yig'indisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam. Har bir keyingi raqam oldingi raqamni qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi atama va farq bilan arifmetik progressiyani hosil qiladi.

Bu rivojlanishning uchinchi davr formulasi:

Hamma ikki raqamli bo'lishi kerak bo'lsa, qancha a'zolar rivojlanmoqda?

Juda oson: .

Progressdagi oxirgi muddat teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob:.

Endi o'zingiz qaror qiling:

Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq m yuguradi. Agar u birinchi kuni km m yugursa, u necha hafta ichida necha kilometr yuguradi?
Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq kilometr yuradi. Birinchi kuni u km masofani bosib o'tdi. Kmni bosib o'tish uchun u necha kun yo'l bosishi kerak? U sayohatning oxirgi kunida necha kilometr yo'l bosadi?
Do'konda muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Sovutgichning narxi har yili qancha pasayganini aniqlang, agar rublga sotuvga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan keyin u rublga sotilgan.

Javoblar:

Bu erda eng muhim narsa - arifmetik progressiyani tan olish va uning parametrlarini aniqlash. Bunday holda, (hafta = kun). Siz ushbu progressiyaning birinchi a'zolarining yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob:
Bu erda berilgan :, topish kerak.
Shubhasiz, siz avvalgi muammo bilan bir xil formuladan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:
Shubhasiz, ildiz mos emas, shuning uchun javob.
Keling, oxirgi kun uchun sayohat qilgan masofani uchinchi davr formulasidan foydalanib hisoblaylik:
(km).
Javob:
Berilgan :. Toping:.
Buni osonroq qilish mumkin emas edi:
(silamoq).
Javob:

ARITMETIKA ISHLAB CHIQISH. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu raqamli ketma -ketlik bo'lib, unda qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va tengdir.

Arifmetik progressiya ko'tarilish () va kamayish () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi sonini topish formulasi

formulada yozilgan, bu erda progressdagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining mulki

Agar siz uning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa, bu progressiyaning a'zosini osongina topishga imkon beradi - bu progressiyaning sonlari soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qiymatlar soni qayerda.

Qolgan 2/3 Maqolalar faqat talabalar uchun mavjud!

YouClever talabasi bo'ling,

"Oyiga bir chashka qahva" narxida matematikada USE yoki USE uchun tayyorlaning,

"YouClever" darsligiga, "100gia" o'quv dasturiga (reshebnik), USE va OGE -ning cheksiz sinov muddatiga, echimlarni tahlil qilishda 6000 ta muammoga va YouClever va 100gia -ning boshqa xizmatlariga cheksiz kirish huquqiga ega bo'ling.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi oddiy narsa. Ham ma'noda, ham formulada. Lekin bu mavzuda har xil vazifalar bor. Boshlang'ichdan juda qattiqgacha.

Birinchidan, yig'indining ma'nosi va formulasini aniqlaylik. Va keyin biz uni tuzatamiz. Sizning zavqingiz uchun.) Summaning ma'nosi oddiy, xum kabi. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha a'zolarini diqqat bilan qo'shish kerak. Agar bu atamalar kam bo'lsa, siz hech qanday formulasiz qo'shishingiz mumkin. Lekin agar ko'p bo'lsa, yoki ko'p bo'lsa ... qo'shimcha zerikarli bo'ladi.) Bu holda formulani saqlaydi.

To'plam formulasi oddiy ko'rinadi:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsani aniqlab beradi.

S n - arifmetik progressiyaning yig'indisi. Qo'shish natijasi hammasidan bilan a'zolari birinchi yoqilgan oxirgi Bu muhim. To'liq qo'shing hamma a'zolari ketma -ket, bo'shliqlarsiz va sakrashlarsiz. Va, aniqrog'i, boshidan birinchi Uchinchi va sakkizinchi shartlarning yig'indisini yoki beshinchi -yigirmanchi sonlarning yig'indisini topish kabi vazifalarda formulani to'g'ridan -to'g'ri qo'llash umidsizlikka tushadi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, hamma narsa oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Qatorning oxirgi raqami. Bu unchalik tanish ism emas, lekin bu miqdorga qo'llanganda, hatto juda mos keladi. Shunda o'zingiz ko'rasiz.

n - oxirgi a'zo soni. Formulada bu raqam ekanligini tushunish muhimdir qo'shilgan a'zolar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zo a n... To'ldirish savoli: qaysi a'zo bo'ladi Oxirgisi berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?)

Ishonchli javob berish uchun siz arifmetik progressiyaning asosiy ma'nosini tushunishingiz va ... topshiriqni diqqat bilan o'qishingiz kerak!)

Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi atama paydo bo'ladi (to'g'ridan -to'g'ri yoki bilvosita), cheklangan bo'lishi kerak. Aks holda, oxirgi, aniq miqdor faqat mavjud emas. Yechim uchun qaysi progressiya o'rnatilishi muhim emas: cheklangan yoki cheksiz. Bu qanday o'rnatilishining ahamiyati yo'q: sonlar soni bo'yicha yoki n-chi davrning formulasi bo'yicha.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi davridan s sonigacha ishlashini tushunishdir. n Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha: arifmetik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisi. Bu birinchi a'zolar soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu qimmatli ma'lumotlarning hammasi tez -tez shifrlangan, ha ... Lekin hech narsa yo'q, quyida keltirilgan misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiyaning yig'indisiga misollar.

Birinchidan, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiyaning yig'indisidagi vazifalarning asosiy qiyinchiliklari formulaning elementlarini to'g'ri aniqlashda.

Vazifalar mualliflari bu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlashadi.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunish uchun ularni oddiygina hal qilish kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan topshiriqdan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan belgilanadi: a n = 2n-3.5. Uning birinchi 10 a'zosining yig'indisini toping.

Yaxshi topshiriq. Oson.) Miqdorni formula bo'yicha aniqlash uchun nimani bilishimiz kerak? Birinchi davr a 1, oxirgi davr a n Ha, oxirgi a'zo raqami n

Oxirgi a'zo raqamini qayerdan olish mumkin n? Ha, o'sha joyda, sharoitda! Unda shunday deyilgan: miqdorni toping birinchi 10 a'zo. Xo'sh, qanday raqam bo'ladi oxirgi, o'ninchi a'zo?) Siz ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Demak, o'rniga a n formulada biz uni almashtiramiz a 10 va o'rniga n- o'n. Shunga qaramay, oxirgi a'zo soni a'zolar soni bilan bir xil.

Buni aniqlash qoladi a 1 va a 10... Bu muammoning bayonida berilgan n -chi davrning formulasi bilan osonlikcha hisoblab chiqiladi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga tashrif buyuring, u holda - hech narsa.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiyaning yig'indisi uchun formulaning barcha elementlarining ma'nosini bilib oldik. Ularni almashtirish qoladi, lekin hisoblang:

Hammasi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Sizga arifmetik progressiya (a n) beriladi, uning farqi 3,7; a 1 = 2.3. Uning birinchi 15 a'zosi yig'indisini toping.

Biz darhol miqdor uchun formulani yozamiz:

Bu formula har qanday a'zoning qiymatini uning soniga ko'ra topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidirmoqdamiz:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Formuladagi barcha elementlarni arifmetik progressiyaning yig'indisiga almashtirish va javobni hisoblash qoladi.

Javob: 423.

Aytgancha, agar formulada o'rniga sum a n faqat n -chi davr uchun formulani almashtiring, biz olamiz:

Biz shunga o'xshashlarni beramiz, biz arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda n -chi shart talab qilinmaydi. a n... Ba'zi vazifalarda bu formula ko'p yordam beradi, ha ... Siz bu formulani eslay olasiz. Yoki bu erda bo'lgani kabi, uni kerakli vaqtda ko'rsatish mumkin. Axir, yig'indining formulasi va n -chi davrning formulasini har tomonlama eslab qolish kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Uchtaga ko'p bo'lgan barcha ijobiy ikki xonali sonlarning yig'indisini toping.

Qanaqasiga! Na birinchi a'zo, na oxirgi, na umuman taraqqiyot ... Qanday yashash kerak!?

Siz boshingiz bilan o'ylab, shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak. Ikki xonali raqamlar nima ekanligini bilamiz. Ular ikki raqamdan iborat.) Ikki xonali son qanday bo'ladi birinchi? 10, menimcha.) oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch raqamli raqamlar unga ergashadi ...

Uchdan ko'plar ... Hm ... Bular uchta bo'linadigan raqamlar, bu erda! O'nta uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi ... 12 ... bo'linadi! Shunday qilib, nimadir kutmoqda. Muammoning sharti bo'yicha ketma -ket yozish mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu ketma -ketlik arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir a'zo avvalgisidan uchtadan farq qiladi. Agar biz atamaga 2 yoki 4 ni qo'shsak, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi 3 ga bo'linmaydi. Uyga, siz darhol arifmetik progressiyaning farqini aniqlay olasiz: d = 3. Bu foydali bo'ladi!)

Shunday qilib, siz rivojlanishning ba'zi parametrlarini ishonchli tarzda yozishingiz mumkin:

Raqam nima bo'ladi n oxirgi a'zo? Kimki 99ni o'lik xato deb hisoblasa ... Raqamlar - ular doimo ketma -ket ketishadi va a'zolarimiz kuchli uchlikdan sakrab o'tishadi. Ular mos kelmaydi.

Buni hal qilishning ikki yo'li bor. Buning bir usuli o'ta mehnatkashlar uchun. Siz progressiyani, butun sonlar seriyasini bo'yashingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini sanashingiz mumkin.) Ikkinchi usul - o'ylaydiganlar uchun. Biz n -chi davrning formulasini eslab qolishimiz kerak. Agar biz formulani muammomizga qo'llasak, shuni bilib olamizki, 99 - bu o'tishning o'ttizinchi davri. Bular. n = 30.

Biz arifmetik progressiyaning yig'indisining formulasini ko'rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va baxtli bo'lamiz.) Biz muammoning bayonotidan summani hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani oldik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Elementar arifmetik qoldiqlar. Biz raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

Javob: 1665

Yana bir mashhur jumboq turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan o'ttiz to'rtgacha a'zolar yig'indisini toping.

Biz summaning formulasini ko'rib chiqamiz va ... biz xafa bo'lamiz.) Formula, eslatib o'taman, miqdorni hisoblab chiqadi birinchisidan a'zo Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchidan ... Formula ishlamaydi.

Siz, albatta, butun jarayonni ketma -ket bo'yashingiz va 20 dan 34 gacha a'zolarni qo'shishingiz mumkin. Lekin ... bu qandaydir ahmoqlik va uzoq davom etadi, to'g'rimi?)

Yana oqlangan yechim bor. Keling, qatorimizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi a'zodan o'n to'qqizinchigacha. Ikkinchi qism - yigirmanchidan o'ttiz to'rtgacha. Agar birinchi qism a'zolari yig'indisini hisoblasak aniq S 1-19 Ha, biz ikkinchi qism shartlari yig'indisi bilan qo'shamiz S 20-34, biz birinchi davrdan o'ttiz to'rtinchi davrgacha bo'lgan harakatlarning yig'indisini olamiz S 1-34... Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu summani topish kerakligini ko'rsatadi S 20-34 oddiy ayirish bo'lishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tarafdagi ikkala miqdor ham hisobga olinadi birinchisidan a'zo, ya'ni. standart summa formulasi ular uchun juda mos keladi. Ishni boshlash?

Biz muammoning echimidan progress parametrlarini olamiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 a'zolarning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34 a'zolari kerak bo'ladi. Biz ularni 2 -masaladagi kabi n -chi davrning formulasi bo'yicha hisoblaymiz:

a 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Hech narsa qolmadi. 34 a'zoning 19 a'zosini chiqarib tashlang:

S 20-34 = S 1-34-S 1-19 = 110.5-(-152) = 262.5

Javob: 262.5

Bir muhim eslatma! Bu muammoni hal qilishda juda foydali hiyla bor. To'g'ridan -to'g'ri hisob -kitob qilish o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik nima kerak emasdek tuyuladi - S 1-19. Va keyin ular qaror qildilar S 20-34, keraksizlarni to'liq natijadan voz kechish. Bu "quloq bilan hiyla" ko'pincha yomon ishlardan qutqaradi.)

Bu darsda biz muammolarni ko'rib chiqdik, ularni yechish uchun arifmetik progressiyaning yig'indisining ma'nosini tushunish kifoya. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahatlar:

Arifmetik progressiyaning yig'indisi bo'yicha har qanday masalani echishda men darhol ushbu mavzudan ikkita asosiy formulani yozishni maslahat beraman.

N -chi davr formulasi:

Bu formulalar muammoni hal qilish uchun nimani qidirish kerakligini, qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Bu yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga bo'linmaydigan barcha ikki xonali sonlarning yig'indisini toping.

Ajoyib?) Maslahat 4 -topshiriqning eslatmasida yashiringan. Xo'sh, 3 -topshiriq yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan belgilanadi: a 1 = -5.5; a n + 1 = a n +0.5. Birinchi 24 a'zoning yig'indisini toping.

G'ayrioddiy?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Havolani e'tiborsiz qoldirmang, bunday vazifalar ko'pincha GIAda topiladi.

7. Vasya Dam olish uchun pul yig'di. Narxi 4550 rubl! Va men eng sevimli odamimga (o'zimga) bir necha kunlik baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani rad etmasdan, go'zal yashash. Birinchi kuni 500 rubl sarflang va har bir keyingi kunga avvalgisiga qaraganda 50 rubl ko'proq sarflang! Pul taklifi tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga sazovor bo'ldi?

Qiyinmi?) 2 -muammoning qo'shimcha formulasi yordam beradi.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.