Vyeta teoremasi. Yechim misollari. Kvadrat va boshqa tenglamalar uchun Viet teoremasi Kvadrat tenglamalarni Viet teoremasi misollari yordamida yechish.

Kvadrat tenglamalar uchun Vyeta teoremasini shakllantirish va isbotlash. Teskari Vyeta teoremasi. Kub tenglamalar va ixtiyoriy tartibli tenglamalar uchun Vyeta teoremasi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamalar

Vyeta teoremasi

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
(1) .
Keyin ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan koeffitsientga teng bo'ladi. Ildizlarning hosilasi erkin muddatga teng:
;
.

Bir nechta ildizlar haqida eslatma

Agar (1) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo, noqulay formulalarga yo'l qo'ymaslik uchun, odatda, bu holda (1) tenglama ikkita ko'p yoki teng ildizga ega ekanligi qabul qilinadi:
.

Bir dalil

(1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qo'llang:
;
;
.

Ildizlarning yig'indisini toping:
.

Mahsulotni topish uchun formulani qo'llaymiz:
.
Keyin

.

Teorema isbotlangan.

Ikki dalil

Agar va raqamlari (1) kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda
.
Biz qavslarni ochamiz.

.
Shunday qilib, (1) tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Teorema isbotlangan.

Teskari Vyeta teoremasi

Ixtiyoriy raqamlar bo'lsin. U holda va kvadrat tenglamaning ildizlari
,
qayerda
(2) ;
(3) .

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(1) .
(1) tenglamaning ildizlari bo'lsa va bo'lsa, va bo'lishini isbotlashimiz kerak.

(1) ga (2) va (3) ni almashtiring:
.
Tenglamaning chap tomonining shartlarini guruhlaymiz:
;
;
(4) .

(4) o'rniga:
;
.

(4) o'rniga:
;
.
Tenglama bajarildi. Ya'ni, raqam (1) tenglamaning ildizidir.

Teorema isbotlangan.

To'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi

Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5) ,
qaerda va ba'zi raqamlar. Va .

(5) tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
.
Ya'ni yuqoridagi tenglamani oldik
,
qayerda; .

U holda to'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
.
Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsuloti quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
.

Kub tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shunday, biz kub tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishlarni o'rnatishimiz mumkin. Kub tenglamasini ko'rib chiqing
(6) ,
bu yerda , , , ba'zi raqamlar. Va .
Bu tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
(7) ,
qayerda , ,.
, , tenglama (7) (va (6)) tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin

.

(7) tenglama bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
;
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi

Xuddi shu tarzda n-darajali tenglama uchun , , ... , , ildizlari orasidagi bog‘lanishlarni topish mumkin.
.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi shaklga ega:
;
;
;

.

Ushbu formulalarni olish uchun tenglamani quyidagi shaklda yozamiz:
.
Keyin , , , ... da koeffitsientlarni tenglashtiramiz va erkin hadni solishtiramiz.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
SM. Nikolskiy, M.K. Potapov va boshqalar, Algebra: ta'lim muassasalarining 8-sinfi uchun darslik, Moskva, Ta'lim, 2006 yil.

Shuningdek qarang:

Vyeta teoremasi (aniqrog‘i, Vyeta teoremasiga teskari teorema) kvadrat tenglamalarni yechish vaqtini qisqartirish imkonini beradi. Siz uni qanday ishlatishni bilishingiz kerak. Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishni qanday o'rganish mumkin? Bir oz o'ylab ko'rsangiz oson.

Endi biz faqat Vyeta teoremasi yordamida qisqartirilgan kvadrat tenglamani yechish haqida gapiramiz.Kimirlangan kvadrat tenglama a, ya'ni x² oldidagi koeffitsient bir ga teng bo'lgan tenglamadir. Berilmagan kvadrat tenglamalarni Vieta teoremasi yordamida ham yechish mumkin, ammo u erda ildizlardan kamida bittasi butun son emas. Ularni taxmin qilish qiyinroq.

Vyeta teoremasiga qarama-qarshi teorema shunday deydi: agar x1 va x2 raqamlari shunday bo'lsa,

u holda x1 va x2 kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamani Vieta teoremasi yordamida yechishda faqat 4 ta variant mavjud. Agar siz fikrlash jarayonini eslasangiz, butun ildizlarni tezda topishni o'rganishingiz mumkin.

I. Agar q musbat son bo‘lsa,

demak, x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlardir (chunki faqat bir xil belgilarga ega sonlarni ko'paytirishda musbat son olinadi).

I.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (mos ravishda, p>0), keyin ikkala ildiz ham manfiy sonlar (ular bir xil belgining raqamlarini qo'shdilar, manfiy raqam oldilar).

II. Agar q manfiy son bo'lsa,

bu x1 va x2 ildizlari turli xil belgilarga ega ekanligini bildiradi (sonlarni ko'paytirishda faqat omillarning belgilari boshqacha bo'lganda manfiy son olinadi). Bunday holda, x1 + x2 endi yig'indi emas, balki farq (axir, har xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni qo'shganda, biz katta moduldan kichikroqni olib tashlaymiz). Demak, x1 + x2 x1 va x2 ildizlari qanchalik farq qilishini, ya'ni bir ildiz ikkinchisidan qanchalik ko'p ekanligini ko'rsatadi (modul).

II.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (ya'ni p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (p>0), u holda kattaroq (modulo) ildiz manfiy sondir.

Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi bo‘yicha yechish misollar yordamida ko‘rib chiqiladi.

Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yeching:

Bu yerda q=12>0, demak, x1 va x2 ildizlar bir xil ishorali sonlardir. Ularning yig'indisi -p=7>0, shuning uchun ikkala ildiz ham musbat sonlardir. Biz ko'paytmasi 12 bo'lgan butun sonlarni tanlaymiz. Bular 1 va 12, 2 va 6, 3 va 4. 3 va 4 juftlik uchun yig'indi 7 ga teng. Demak, 3 va 4 tenglamaning ildizlaridir.

Bu misolda q=16>0, ya'ni x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlar. Ularning yig'indisi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Bu erda q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 bo'lsa, katta raqam ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, ildizlar 5 va -3 ga teng.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Fransua Vieta (1540-1603) - matematik, mashhur Vyeta formulalarini yaratuvchisi

Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalarni tez yechish uchun zarur (oddiy so'zlar bilan).

Batafsilroq, t Vieta teoremasi - bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi ikkinchi koeffitsientga teng bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan olinadi va mahsulot erkin muddatga tengdir. Bu xususiyat ildizlari bo'lgan har qanday berilgan kvadrat tenglamaga ega.

Vieta teoremasidan foydalanib, siz kvadrat tenglamalarni tanlash orqali osongina echishingiz mumkin, shuning uchun keling, baxtli 7-sinfimiz uchun qo'lida qilich bo'lgan bu matematikga "rahmat" aytaylik.

Vyeta teoremasining isboti

Teoremani isbotlash uchun siz taniqli ildiz formulalaridan foydalanishingiz mumkin, buning yordamida biz kvadrat tenglamaning ildizlarining yig'indisi va mahsulotini tuzamiz. Shundan keyingina biz ularning teng ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin va shunga mos ravishda .

Aytaylik, bizda tenglama bor: . Bu tenglama quyidagi ildizlarga ega: va. Keling, buni isbotlaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalariga ko'ra:

1. Ildizlarning yig‘indisini toping:

Keling, ushbu tenglamani tahlil qilaylik, chunki biz buni aniq quyidagicha oldik:

= .

1-qadam. Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, shunday bo'ladi:

= = .

2-qadam. Qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan kasrni oldik:

Biz kasrni 2 ga kamaytiramiz va olamiz:

Kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi munosabatini Viet teoremasi yordamida isbotladik.

2. Ildizlarning hosilasini toping:

= = = = = .

Bu tenglamani isbotlaylik:

1-qadam. Kasrlarni ko'paytirish qoidasi mavjud, unga ko'ra biz ushbu tenglamani ko'paytiramiz:

Endi biz kvadrat ildizning ta'rifini eslaymiz va ko'rib chiqamiz:

= .

3-qadam. Kvadrat tenglamaning diskriminantini eslaymiz: . Shuning uchun, D (diskriminant) o'rniga biz oxirgi kasrni almashtiramiz, keyin biz olamiz:

= .

4-qadam. Qavslarni oching va kasrlarga o'xshash atamalarni qo'shing:

5-qadam. Biz "4a" ni kamaytiramiz va olamiz.

Shunday qilib, biz Vyeta teoremasi bo'yicha ildizlarning hosilasi uchun munosabatni isbotladik.

MUHIM!Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega.

Vyeta teoremasiga teskari teorema

Teoremaga ko'ra, Veta teoremasining teskarisi, biz tenglamamiz to'g'ri echilganligini tekshirishimiz mumkin. Teoremaning o'zini tushunish uchun biz uni batafsilroq ko'rib chiqishimiz kerak.

Agar raqamlar bo'lsa:

Va keyin ular kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

1-qadam.Uning koeffitsientlarini tenglamaga almashtiramiz:

2-qadamTenglamaning chap tomonini aylantiramiz:

3-qadam. Keling, tenglamaning ildizlarini topamiz va buning uchun mahsulot nolga teng bo'lgan xususiyatdan foydalanamiz:

Yoki . U qayerdan keladi: yoki.

Vieta teoremasi bo'yicha yechimlarga misollar

1-misol

Vazifa

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topmasdan turib uning ildizlari yig‘indisini, ko‘paytmasini va kvadratlari yig‘indisini toping.

Qaror

1-qadam. Diskriminant formulasini eslang. Harflar ostida raqamlarimizni almashtiramiz. Ya'ni, , va ning o'rnini bosadi. Bu quyidagilarni nazarda tutadi:

Ma'lum bo'lishicha:

Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Biz ildizlarning kvadratlari yig'indisini ularning yig'indisi va mahsuloti orqali ifodalaymiz:

Javob

7; 12; 25.

2-misol

Vazifa

Tenglamani yeching. Bunday holda, kvadrat tenglama formulalarini ishlatmang.

Qaror

Bu tenglama diskriminant (D) jihatidan noldan katta ildizlarga ega. Shunga ko'ra, Vyeta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari yig'indisi 4 ga, ko'paytmasi esa 5 ga teng. Birinchidan, biz sonning bo'luvchilarini aniqlaymiz, ularning yig'indisi 4. Bular "5" raqamlari va "-1". Ularning ko'paytmasi - 5 ga, yig'indisi esa - 4 ga teng. Demak, Vyeta teoremasining aksi teoremaga ko'ra ular bu tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob

Va 4-misol

Vazifa

Har bir ildiz tenglamaning mos ildizidan ikki baravar bo‘lgan tenglamani yozing:

Qaror

Vyeta teoremasiga ko‘ra, bu tenglamaning ildizlari yig‘indisi 12 ga, ko‘paytmasi esa = 7 ga teng. Demak, ikki ildiz musbat.

Yangi tenglamaning ildizlari yig'indisi quyidagilarga teng bo'ladi:

Va ish.

Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teorema bo'yicha yangi tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

Javob

Natijada har bir ildiz ikki barobar katta bo'lgan tenglama paydo bo'ldi:

Shunday qilib, biz Viet teoremasi yordamida tenglamani qanday echishni ko'rib chiqdik. Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilari bilan bog'liq bo'lgan vazifalar yechilsa, bu teoremadan foydalanish juda qulaydir. Ya'ni, formuladagi erkin had musbat son bo'lsa va kvadrat tenglamada haqiqiy ildizlar mavjud bo'lsa, ularning ikkalasi ham manfiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin.

Va agar erkin atama manfiy son bo'lsa va kvadrat tenglamada haqiqiy ildizlar bo'lsa, ikkala belgi ham boshqacha bo'ladi. Ya'ni, agar bir ildiz ijobiy bo'lsa, boshqa ildiz faqat salbiy bo'ladi.

Foydali manbalar:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. Algebra 8-sinf: Moskva "Ma'rifat", 2016 yil - 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - darslik Algebra 8-sinf: Moskva "Balass", 2015 - 237 p.
3. Nikolskiy S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. - Algebra 8-sinf: Moskva "Ma'rifat", 2014 yil - 300

Vieta teoremasi, teskari Vieta formulasi va dummilar uchun yechim bilan misollar yangilangan: 2019 yil 22-noyabr tomonidan: Ilmiy maqolalar.Ru

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi og'zaki hisoblash qobiliyatiga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda kvadrat tenglamalarni echishlari kerak va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich “Algebra-8” dasturiga ko‘ra “Vyeta teoremasi” mavzusini o‘rganish uchun atigi ikki soat rejalashtirilgan. Kvadrat trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyiladi: tenglamaning ildizlari bo'lsa va , u holda ular tenglikni qanoatlantiradi, . Keyin Vyeta teoremasiga qarama-qarshi fikr shakllantiriladi va bu mavzu ustida ishlash uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, ular bo'yicha yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Faraz qilaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Vyeta teoremasi bo'yicha, tengliklar

E'tibor bering, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqamdir. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari musbat sonlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikkita usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Vieta teoremasining ikkinchi tasdiqining maqsadga muvofiqligini tekshiramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va demak, berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Vyeta teoremasidan foydalanib, berilgan kvadrat tenglamani yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko'rsatamiz:

Vyeta teoremasining tasdiqini yozing

(*)

• tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ko‘paytma va ildizlarning yig‘indisi musbat bo‘lsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar bo‘ladi. Agar ildizlarning ko‘paytmasi musbat son, ildizlarning yig‘indisi manfiy bo‘lsa, u holda Ikkala ildiz ham manfiy sonlar.Agar ildizlarning koʻpaytmasi manfiy son boʻlsa, unda ildizlar turli belgilarga ega boʻladi.Bundan tashqari, agar ildizlar yigʻindisi musbat boʻlsa, moduli katta boʻlgan ildiz musbat son boʻladi, agar ildizlar yig'indisi noldan kichik bo'lsa, moduli katta bo'lgan ildiz manfiy sondir);
• ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
• topilgan son juftlaridan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;
• javobda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, yana bir nechta misollar keltiraylik.

2-misol: Tenglamani yechish .

Qaror.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin Viet teoremasi bo'yicha mahsulot ijobiy va yig'indi manfiy ekanligini unutmang. Demak, ikkala ildiz ham manfiy sonlardir. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Demak, -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: -2; -5.

3-misol. Tenglamani yeching .

Qaror.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin Viet teoremasi bo'yicha mahsulot salbiy ekanligini unutmang. Shunday qilib, ildizlar turli xil belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Demak, eng katta modulli ildiz manfiydir. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -3 ga qo'shiladi. Demak, 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; -5.

E'tibor bering, Vieta teoremasi printsipial jihatdan to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: kvadrat tenglama bo'lsa ildizlarga ega va, keyin ular tenglikni qanoatlantiradi, . Biroq, bu teoremani qo'llash juda muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada kamida bitta ildiz (agar mavjud bo'lsa) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Lekin hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring a va tenglamani shaklda yozing . Biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlari va (agar mavjud bo'lsa) Vieta teoremasi yordamida topilishi mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. E'tibor bering, yordamchi qisqartirilgan tenglamani yozish juda oson: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi, uchinchi koeffitsient esa mahsulotga teng. ace. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vieta teoremasidan foydalanib uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

Misol 4. Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz Vyeta teoremasi orqali esa uning ildizlarini topamiz. Shunday qilib, asl tenglamaning ildizlari .

Javob: .

5-misol. Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasi bo'yicha uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topamiz .

Javob: .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash oson 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi orqali topiladi va ga teng. Yana bir bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Shu kabi gaplarni qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ham tuzish mumkin.

Misol 6. Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: .

7-misol. Tenglamani yeching.

Bu tenglamaning koeffitsientlari xossani qanoatlantiradi (haqiqatdan ham, 1-(-999)+(-1000)=0). Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: ..

Vyeta teoremasini qo'llashga misollar

1-topshiriq. Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasidan foydalanib yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2-topshiriq. Yordamchi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'tish orqali to'liq kvadrat tenglamani yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-topshiriq. Kvadrat tenglamani xossasidan foydalanib yeching.

Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganayotganda, olingan ildizlarning xossalarini ko'rib chiqing. Ular endi Vyeta teoremalari deb nomlanadi. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.

Kvadrat tenglama

Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.

Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni hal qilish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topishingiz kerak.

E'tibor bering, x ko'tarilgan kuchning maksimal qiymati ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.

Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Viet teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Vyeta teoremasining bayoni

16-asrning oxirida mashhur matematik Fransua Viet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xususiyatlarini tahlil qilib, ularning ma'lum kombinatsiyalari o'ziga xos munosabatlarni qondirishini payqadi. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.

Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .

Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik sifatida yozilishi mumkin:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.

Bu ikki tenglikdan bir qancha turli xil matematik muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Vieta teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.