Kvadrat va boshqa tenglamalar uchun Vyeta teoremasi. Vyeta teoremasi. Kvadrat tenglamalarni yechish formulasidan foydalanishga misollar
Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri ilovadir VIETA formulalari, FRANCOIS VIETE sharafiga nomlangan.
U mashhur huquqshunos bo'lib, 16-asrda frantsuz qiroli bilan birga xizmat qilgan. Bo'sh vaqtlarida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.
Formulaning afzalliklari:
1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish, uning qiymatini ildizlarni topish formulasiga almashtirish kerak.
2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.
3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.
4 . Berilgan ildizlarga ko'ra kvadrat tenglama yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.
5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formulani qo'llash qulay.
Kamchiliklari:
1
. Formula universal emas.
Vyeta teoremasi 8-sinf
Formula
Agar x 1 va x 2 berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 bo'lsa, u holda:
Misollar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Teskari teorema
Formula
Agar x 1 , x 2 , p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:
U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.
Misol
Uning ildizlari bo‘yicha kvadrat tenglama tuzamiz:
X 1 \u003d 2 -? 3 va x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Istalgan tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.
Vyeta teoremasining bayoni va isboti kvadrat tenglamalar. Teskari Vyeta teoremasi. Kub tenglamalar va ixtiyoriy tartibli tenglamalar uchun Vyeta teoremasi.
TarkibShuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari
Kvadrat tenglamalar
Vyeta teoremasi
Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
(1)
.
Keyin ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan koeffitsientga teng bo'ladi. Ildizlarning hosilasi erkin muddatga teng:
;
.
Bir nechta ildizlar haqida eslatma
Agar (1) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo, noqulay formulalarga yo'l qo'ymaslik uchun, odatda, bu holda (1) tenglama ikkita ko'p yoki teng ildizga ega ekanligi qabul qilinadi:
.
Bir dalil
(1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qo'llang:
;
;
.
Ildizlarning yig'indisini toping:
.
Mahsulotni topish uchun formulani qo'llaymiz:
.
Keyin
.
Teorema isbotlangan.
Ikki dalil
Agar va raqamlari (1) kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda
.
Biz qavslarni ochamiz.
.
Shunday qilib, (1) tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
.
Teorema isbotlangan.
Teskari Vyeta teoremasi
Ixtiyoriy raqamlar bo'lsin. U holda va kvadrat tenglamaning ildizlari
,
Qayerda
(2)
;
(3)
.
Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(1)
.
(1) tenglamaning ildizlari bo'lsa va bo'lsa, va bo'lishini isbotlashimiz kerak.
(1) ga (2) va (3) ni almashtiring:
.
Tenglamaning chap tomonining shartlarini guruhlaymiz:
;
;
(4)
.
(4) o'rniga:
;
.
(4) o'rniga:
;
.
Tenglama bajarildi. Ya'ni, raqam (1) tenglamaning ildizidir.
Teorema isbotlangan.
To'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi
Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5)
,
qaerda va ba'zi raqamlar. Va .
(5) tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
.
Ya'ni yuqoridagi tenglamani oldik
,
Qaerda; .
U holda to'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.
To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
.
Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsuloti quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
.
Kub tenglama uchun Vyeta teoremasi
Xuddi shunday, biz kub tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishlarni o'rnatishimiz mumkin. Kub tenglamasini ko'rib chiqing
(6)
,
bu yerda , , , ba'zi raqamlar. Va .
Bu tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
(7)
,
Qayerda,,.
, , tenglama (7) (va (6)) tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin
.
(7) tenglama bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
;
.
n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi
Xuddi shunday, , , ... , , uchun ildizlari orasidagi bog‘lanishlarni topish mumkin n tenglamalar daraja
.
Tenglama uchun Vyeta teoremasi n-daraja quyidagi shaklga ega:
;
;
;
.
Ushbu formulalarni olish uchun tenglamani quyidagi shaklda yozamiz:
.
Keyin , , , ... da koeffitsientlarni tenglashtiramiz va erkin hadni solishtiramiz.
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
SM. Nikolskiy, M.K. Potapov va boshqalar, Algebra: ta'lim muassasalarining 8-sinfi uchun darslik, Moskva, Ta'lim, 2006 yil.
Ushbu ma'ruzada biz kvadrat tenglamaning ildizlari va uning koeffitsientlari o'rtasidagi qiziq bog'lanishlar bilan tanishamiz. Bu munosabatlarni birinchi marta fransuz matematigi Fransua Vyet (1540-1603) kashf etgan.
Masalan, Zx 2 - 8x - 6 \u003d 0 tenglamasi uchun uning ildizlarini topmasdan, Vieta teoremasidan foydalanib, darhol ildizlarning yig'indisi , ildizlarning mahsuloti esa ekanligini aytishingiz mumkin.
ya'ni - 2. Va x 2 - 6x + 8 \u003d 0 tenglamasi uchun biz xulosa qilamiz: ildizlarning yig'indisi 6, ildizlarning mahsuloti 8; Aytgancha, ildizlar nimaga teng ekanligini taxmin qilish qiyin emas: 4 va 2.
Vyeta teoremasining isboti. ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari formulalar bo'yicha topiladi.
Bu erda D \u003d b 2 - 4ac tenglamaning diskriminantidir. Bu ildizlarni yotqizish
olamiz
Endi biz ildizlarning mahsulotini hisoblaymiz x 1 va x 2 Bizda bor
Ikkinchi munosabat isbotlangan:
Izoh.
Vyeta teoremasi kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lsa (ya'ni D \u003d 0 bo'lganda) ham amal qiladi, shunchaki bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblanadi, ularga yuqoridagi munosabatlar qo'llaniladi. .
Qisqartirilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q \u003d 0 uchun isbotlangan munosabatlar juda oddiy ko'rinishga ega.Bu holda biz quyidagilarni olamiz:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
bular. berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.
Vieta teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa munosabatlarni ham olish mumkin. Masalan, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 + px + q = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsin.
Biroq, Vyeta teoremasining asosiy maqsadi kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi muayyan munosabatlarni ifodalash emas. Bundan ham muhimi shundaki, Vyeta teoremasi yordamida kvadrat trinomial faktoring formulasi olinadi, bu holda biz kelajakda qilmaymiz.
Isbot. Bizda ... bor
1-misol. Kvadrat trinomial 3x 2 - 10x + 3ni ko'paytiring.
Yechim. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 tenglamasini yechib, Zx 2 - 10x + 3 kvadrat trinomining ildizlarini topamiz: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-teoremadan foydalanib, biz olamiz
Buning o'rniga Zx - 1 yozish mantiqan to'g'ri keladi. Keyin nihoyat Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) ni olamiz.
E'tibor bering, berilgan kvadrat trinomiyani guruhlash usuli yordamida 2-teoremadan foydalanmasdan koeffitsientlarga ajratish mumkin:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ammo, ko'rib turganingizdek, bu usul bilan muvaffaqiyat biz muvaffaqiyatli guruhlashni topa olamizmi yoki yo'qligiga bog'liq, birinchi usul bilan esa muvaffaqiyat kafolatlanadi.
1-misol. Fraksiyani kamaytiring
Yechim. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tenglamasidan x 1 = - 2 ni topamiz,
x2 - 4x - 12 = 0 tenglamasidan x 1 = 6, x 2 = -2 ni topamiz. Shunung uchun
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Endi berilgan kasrni kamaytiramiz:
3-misol. Ifodalarni faktorlarga ajrating:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Yechish a) y = x 2 yangi o‘zgaruvchini kiritamiz. Bu bizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat trinomial ko‘rinishda, ya’ni y 2 + by + 6 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi.
Y 2 + bilan + 6 \u003d 0 tenglamasini yechib, y 2 + 5y + 6 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Endi biz 2-teoremadan foydalanamiz; olamiz
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Shuni esda tutish kerakki, y \u003d x 2, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) y = yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Bu berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat uch a’zo ko‘rinishida, ya’ni 2y 2 + y – 3 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Tenglamani yechgandan so‘ng
2y 2 + y - 3 \u003d 0, biz 2y 2 + y - 3 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz:
y 1 = 1, y 2 =. Bundan tashqari, 2-teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Shuni esda tutish kerakki, y \u003d, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
Bo'lim yana Veta teoremasi bilan bog'liq bo'lgan ba'zi mulohazalar bilan, aniqrog'i, qarama-qarshi fikr bilan yakunlanadi:
agar x 1, x 2 raqamlari x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Ushbu bayonotdan foydalanib, siz ko'p kvadrat tenglamalarni og'zaki, og'ir ildiz formulalaridan foydalanmasdan yechishingiz mumkin, shuningdek, berilgan ildizlar bilan kvadrat tenglamalar tuzishingiz mumkin. Keling, misollar keltiraylik.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 ekanligini taxmin qilish oson.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati musbat son bo'lsa, u holda ikkala ildiz ham ijobiy yoki salbiy; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.
3) x 2 + x - 12 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ekanligini taxmin qilish oson.
E'tibor bering: agar tenglamaning erkin muddati - manfiy raqam, keyin ildizlar belgisida farqlanadi; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1 tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson, ya'ni. x 1 \u003d 1 - tenglamaning ildizi. X 1 x 2 \u003d - va x 1 \u003d 1 bo'lgani uchun biz x 2 \u003d - ni olamiz.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Agar 2830 = 283 ekanligiga e'tibor qaratsangiz. 10 va 293 \u003d 283 + 10, keyin x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 ekanligi ayon bo'ladi (endi bu kvadrat tenglamani standart formulalar yordamida yechish uchun qanday hisob-kitoblarni bajarish kerakligini tasavvur qiling).
6) X 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 raqamlari uning ildizi bo'lib xizmat qiladigan kvadrat tenglama tuzamiz.Odatda bunday hollarda ular x 2 + px + q \u003d 0 qisqartirilgan kvadrat tenglamani tashkil qiladi.
Bizda x 1 + x 2 \u003d -p, shuning uchun 8 - 4 \u003d -p, ya'ni p \u003d -4. Bundan tashqari, x 1 x 2 = q, ya'ni. 8"(-4) = q, bu erdan q = -32 ni olamiz. Shunday qilib, p \u003d -4, q \u003d -32, ya'ni kerakli kvadrat tenglama x 2 -4x-32 \u003d 0 ko'rinishga ega.
Birinchidan, teoremaning o'zini tuzamiz: Aytaylik, x^2+b*x + c = 0 ko‘rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamamiz bor. Aytaylik, bu tenglamada x1 va x2 ildizlari bor. Keyin, teorema bo'yicha, quyidagi bayonotlar qabul qilinadi:
1) x1 va x2 ildizlarning yig'indisi b koeffitsientining manfiy qiymatiga teng bo'ladi.
2) Aynan shu ildizlarning hosilasi bizga c koeffitsientini beradi.
Lekin yuqoridagi tenglama nima?
Qisqartirilgan kvadrat tenglama - bu kvadrat tenglama, eng yuqori darajali koeffitsient, birga teng, ya'ni. bu x^2 + b*x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamadir (va a*x^2 + b*x + c = 0 tenglamasi kamaytirilmaydi). Boshqacha qilib aytganda, tenglamani qisqartirilgan shaklga keltirish uchun biz ushbu tenglamani eng yuqori darajadagi (a) koeffitsientga bo'lishimiz kerak. Vazifa bu tenglamani qisqartirilgan shaklga keltirishdir:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Biz har bir tenglamani eng yuqori darajadagi koeffitsientga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.
Misollardan ko'rinib turibdiki, hatto kasrlarni o'z ichiga olgan tenglamalarni qisqartirilgan shaklga keltirish mumkin.
Viet teoremasidan foydalanish
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
biz ildizlarni olamiz: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;
natijada biz ildizlarni olamiz: x1 = -2; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
biz ildizlarni olamiz: x1 = -1; x2 = −4.
Vyeta teoremasining ahamiyati
Vieta teoremasi har qanday kvadrat tenglamani deyarli soniyalarda yechish imkonini beradi. Bir qarashda, bu juda qiyin vazifaga o'xshaydi, ammo 5 10 tenglamadan so'ng siz darhol ildizlarni ko'rishni o'rganishingiz mumkin.
Yuqoridagi misollardan va teoremadan foydalanib, siz kvadrat tenglamalarning yechimini qanday qilib sezilarli darajada soddalashtirishingiz mumkinligini ko'rishingiz mumkin, chunki bu teoremadan foydalanib, siz kam yoki umuman murakkab hisob-kitoblar va diskriminantni hisoblash bilan kvadrat tenglamani yechishingiz mumkin va siz bilganingizdek , hisob-kitoblar qanchalik kam bo'lsa, xato qilish shunchalik qiyin bo'ladi, bu muhim.
Barcha misollarda biz ushbu qoidadan ikkita muhim taxminga asoslanib foydalandik:
Yuqoridagi tenglama, ya'ni. eng yuqori darajadagi koeffitsient birga teng (bu shartdan qochish oson. Tenglamaning qisqartirilmagan shaklidan foydalanishingiz mumkin, keyin quyidagi bayonotlar x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a bo'ladi. to'g'ri, lekin odatda uni hal qilish qiyinroq :))
Qachon tenglama ikki xil ildizga ega bo'ladi. Biz tengsizlik to'g'ri va diskriminant noldan qat'iy katta deb faraz qilamiz.
Shuning uchun biz Viet teoremasidan foydalanib, umumiy yechim algoritmini tuzishimiz mumkin.
Vyeta teoremasi bo'yicha umumiy yechim algoritmi
Kvadrat tenglamani qisqartirilmagan shaklga keltiramiz, agar tenglama bizga kamaytirilmagan shaklda berilsa. Kvadrat tenglamadagi biz ilgari qisqartirilgan koeffitsientlar kasr bo'lib chiqsa (o'nlik emas), bu holda bizning tenglamamiz diskriminant orqali echilishi kerak.
Dastlabki tenglamaga qaytish bizga "qulay" raqamlar bilan ishlash imkonini beradigan holatlar ham mavjud.
Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganayotganda, olingan ildizlarning xossalarini ko'rib chiqing. Ular endi Vyeta teoremalari deb nomlanadi. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.
Kvadrat tenglama
Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.
Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni hal qilish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topishingiz kerak.
E'tibor bering, x ko'tarilgan kuchning maksimal qiymati ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.
Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Viet teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.
Vyeta teoremasining bayoni
16-asrning oxirida mashhur matematik Fransua Viet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xususiyatlarini tahlil qilib, ularning ma'lum kombinatsiyalari o'ziga xos munosabatlarni qondirishini payqadi. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.
Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .
Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik sifatida yozilishi mumkin:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.
Bu ikki tenglikdan bir qancha turli xil matematik muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Vieta teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.
