Matematikada Vieta teoremasi yordamida tenglamalarni yechish usullari. Vyeta teoremasi. Yechimga misollar Vieta usuli Kvadrat tenglama

Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganayotganda, olingan ildizlarning xossalarini ko'rib chiqing. Ular endi Vyeta teoremalari deb nomlanadi. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.

Kvadrat tenglama

Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.

Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni hal qilish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topishingiz kerak.

E'tibor bering, x ko'tarilgan kuchning maksimal qiymati ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.

Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Viet teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Vyeta teoremasining bayoni

16-asrning oxirida mashhur matematik Fransua Viet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xususiyatlarini tahlil qilib, ularning ma'lum kombinatsiyalari o'ziga xos munosabatlarni qondirishini payqadi. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.

Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .

Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik sifatida yozilishi mumkin:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.

Bu ikki tenglikdan bir qancha turli xil matematik muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Vieta teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.

Vieta teoremasi ko'pincha topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topgan bo'lsangiz, \(p\) qiymatlarini hisoblash uchun \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formulalaridan foydalanishingiz mumkin. ) va \(q\ ). Va agar ular asl tenglamadagi kabi bo'lib chiqsa, unda ildizlar to'g'ri topilgan.

Masalan, dan foydalanamiz, \(x^2+x-56=0\) tenglamasini yechamiz va ildizlarni olamiz: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Keling, hal qilish jarayonida xatoga yo'l qo'yganimizni tekshirib ko'ramiz. Bizning holatda, \(p=1\) va \(q=-56\). Vieta teoremasi bo'yicha bizda:

\(\begin(holatlar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(holatlar)\) \(\Chap o'q\) \(\begin(holatlar)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(holatlar)\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\begin(holatlar)-1=-1\\-56=-56\end(holatlar)\ )

Ikkala bayonot ham birlashdi, ya'ni biz tenglamani to'g'ri yechdik.

Ushbu test og'iz orqali amalga oshirilishi mumkin. Bu 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan qutqaradi.

Teskari Vyeta teoremasi

Agar \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), u holda \(x_1\) va \(x_2\) kvadrat tenglamaning ildizlari \ (x^ 2+px+q=0\).

Yoki oddiy usulda: agar sizda \(x^2+px+q=0\) koʻrinishdagi tenglama mavjud boʻlsa, u holda \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \) tizimini yechish orqali. cdot x_2=q\ end(cases)\) uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz kvadrat tenglamaning ildizlarini tezda topishingiz mumkin, ayniqsa bu ildizlar bo'lsa. Bu mahorat juda muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . \(x^2-5x+6=0\) tenglamasini yeching.

Qaror : Teskari Vieta teoremasidan foydalanib, biz ildizlar shartlarni qanoatlantirishini olamiz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(holatlar)\).
\(x_1 \cdot x_2=6\) tizimining ikkinchi tenglamasiga qarang. \(6\) sonni qaysi ikkitaga ajratish mumkin? \(2\) va \(3\), \(6\) va \(1\) yoki \(-2\) va \(-3\) va \(-6\) va \(- bitta\). Qaysi juftlikni tanlash kerak, tizimning birinchi tenglamasi quyidagilarni aytadi: \(x_1+x_2=5\). \(2\) va \(3\) oʻxshash, chunki \(2+3=5\).
Javob : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Misollar . Vyeta teoremasining teskari teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Qaror :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) qanday omillarga ajraladi? \(2\) va \(7\), \(-2\) va \(-7\), \(-1\) va \(-14\), \(1\) va \(14\ ). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(15\) ga teng? Javob: \(1\) va \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) qanday omillarga ajraladi? \(-2\) va \(2\), \(4\) va \(-1\), \(1\) va \(-4\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-3\) ga teng? Javob: \(1\) va \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) qanday omillarga ajraladi? \(4\) va \(5\), \(-4\) va \(-5\), \(2\) va \(10\), \(-2\) va \(-10\ ), \(-20\) va \(-1\), \(20\) va \(1\). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(-9\) ga teng? Javob: \(-4\) va \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) qanday omillarga ajraladi? \(390\) va \(2\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Yo'q. \(780\) yana qanday koʻpaytiruvchilarga ega? \(78\) va \(10\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Ha. Javob: \(78\) va \(10\).

Oxirgi atamani barcha mumkin bo'lgan omillarga (oxirgi misolda bo'lgani kabi) ajratish shart emas. Siz darhol ularning yig'indisi \(-p\) beradimi yoki yo'qligini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Viet teoremasi va teskari teorema faqat , ya'ni \(x^2\) oldidagi koeffitsienti birga teng bo'lgan bilan ishlaydi. Agar dastlab kamaytirilmagan tenglamaga ega bo'lsak, uni oddiygina \ (x ^ 2 \) oldidagi koeffitsientga bo'lish orqali qisqartirishimiz mumkin.

Masalan, \(2x^2-4x-6=0\) tenglamasi berilsin va biz Vyeta teoremalaridan birini ishlatmoqchimiz. Lekin biz qila olmaymiz, chunki \(x^2\) dan oldingi koeffitsient \(2\) ga teng. Keling, butun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Tayyor. Endi biz ikkala teoremadan ham foydalanishimiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Vieta teoremasi bo'yicha siz biron bir narsani hal qila olasizmi?
Javob: Afsuski yo'q. Agar tenglamada butun sonlar bo'lmasa yoki tenglamaning ildizlari bo'lmasa, Viet teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda, siz foydalanishingiz kerak diskriminant . Yaxshiyamki, maktab matematika kursidagi tenglamalarning 80% butun sonli yechimlarga ega.

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi og'zaki hisoblash qobiliyatiga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda kvadrat tenglamalarni echishlari kerak va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich Algebra-8 dasturiga ko‘ra, “Vyeta teoremasi” mavzusini o‘rganish uchun atigi ikki soat rejalashtirilgan. Kvadrat trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyiladi: tenglamaning ildizlari bo'lsa va , u holda ular tenglikni qanoatlantiradi, . Keyin Vyeta teoremasiga qarama-qarshi fikr shakllantiriladi va bu mavzu ustida ishlash uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, ular bo'yicha yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Faraz qilaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Vyeta teoremasi bo'yicha, tengliklar

E'tibor bering, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqamdir. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari musbat sonlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikkita usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Vieta teoremasining ikkinchi tasdiqining maqsadga muvofiqligini tekshiramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va demak, berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Vyeta teoremasidan foydalanib, berilgan kvadrat tenglamani yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko'rsatamiz:

Vyeta teoremasining tasdiqini yozing

(*)

• tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ko‘paytma va ildizlarning yig‘indisi musbat bo‘lsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar bo‘ladi. Agar ildizlarning ko‘paytmasi musbat son, ildizlarning yig‘indisi manfiy bo‘lsa, u holda Ikkala ildiz ham manfiy sonlar.Agar ildizlarning koʻpaytmasi manfiy son boʻlsa, unda ildizlar turli belgilarga ega boʻladi.Bundan tashqari, agar ildizlar yigʻindisi musbat boʻlsa, moduli katta boʻlgan ildiz musbat son boʻladi va agar ildizlar yig'indisi noldan kichik bo'lsa, moduli katta bo'lgan ildiz manfiy sondir);
• ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
• topilgan son juftlaridan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;
• javobda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, yana bir nechta misollar keltiraylik.

2-misol: Tenglamani yechish .

Qaror.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin Viet teoremasi bo'yicha mahsulot ijobiy va yig'indi manfiy ekanligini unutmang. Demak, ikkala ildiz ham manfiy sonlardir. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Demak, -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: -2; -5.

3-misol. Tenglamani yeching .

Qaror.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin Viet teoremasi bo'yicha mahsulot salbiy ekanligini unutmang. Shunday qilib, ildizlar turli xil belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Demak, eng katta modulli ildiz manfiydir. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Ikkinchi raqamlar juftligi -3 ga qo'shiladi. Demak, 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; -5.

E'tibor bering, Vieta teoremasi printsipial jihatdan to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: kvadrat tenglama bo'lsa ildizlarga ega va, keyin ular tenglikni qanoatlantiradi, . Biroq, bu teoremani qo'llash ancha muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada kamida bitta ildiz (agar mavjud bo'lsa) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Ammo hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring a va tenglamani shaklda yozing . Biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlari va (agar mavjud bo'lsa) Vieta teoremasi yordamida topilishi mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. E'tibor bering, yordamchi qisqartirilgan tenglamani yozish juda oson: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi, uchinchi koeffitsient esa mahsulotga teng. ace. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vieta teoremasidan foydalanib uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

Misol 4. Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz Vyeta teoremasi orqali esa uning ildizlarini topamiz. Shunday qilib, asl tenglamaning ildizlari .

Javob: .

5-misol. Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasi bo'yicha uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topamiz .

Javob: .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash oson 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi orqali topiladi va ga teng. Yana bir bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Shu kabi gaplarni qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ham tuzish mumkin.

Misol 6. Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: .

7-misol. Tenglamani yeching.

Bu tenglamaning koeffitsientlari xossani qanoatlantiradi (haqiqatdan ham, 1-(-999)+(-1000)=0). Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: ..

Vyeta teoremasini qo'llashga misollar

1-topshiriq. Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasidan foydalanib yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2-topshiriq. Yordamchi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'tish orqali to'liq kvadrat tenglamani yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-topshiriq. Kvadrat tenglamani xossasidan foydalanib yeching.

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri ilovadir VIETA formulalari, FRANCOIS VIETE sharafiga nomlangan.

U mashhur huquqshunos bo'lib, 16-asrda frantsuz qiroli bilan birga xizmat qilgan. Bo'sh vaqtlarida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish, uning qiymatini ildizlarni topish formulasiga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Berilgan ildizlarga ko'ra kvadrat tenglama yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formulani qo'llash qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vyeta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teskari teorema

Formula
Agar x 1 , x 2 , p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlari bo‘yicha kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 \u003d 2 -? 3 va x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Istalgan tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.

Ushbu ma'ruzada biz kvadrat tenglamaning ildizlari va uning koeffitsientlari o'rtasidagi qiziq bog'lanishlar bilan tanishamiz. Bu munosabatlarni birinchi marta fransuz matematigi Fransua Vyet (1540-1603) kashf etgan.

Masalan, Zx 2 - 8x - 6 \u003d 0 tenglamasi uchun uning ildizlarini topmasdan, Vieta teoremasidan foydalanib, darhol ildizlarning yig'indisi , ildizlarning mahsuloti esa ekanligini aytishingiz mumkin.
ya'ni - 2. Va x 2 - 6x + 8 \u003d 0 tenglamasi uchun biz xulosa qilamiz: ildizlarning yig'indisi 6, ildizlarning mahsuloti 8; Aytgancha, ildizlar nimaga teng ekanligini taxmin qilish qiyin emas: 4 va 2.
Vyeta teoremasining isboti. ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari formulalar bo'yicha topiladi.

Bu erda D \u003d b 2 - 4ac tenglamaning diskriminantidir. Bu ildizlarni yotqizish
olamiz

Endi biz ildizlarning mahsulotini hisoblaymiz x 1 va x 2 Bizda bor

Ikkinchi munosabat isbotlangan:
Izoh. Vyeta teoremasi kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lsa (ya'ni D \u003d 0 bo'lganda) ham amal qiladi, shunchaki bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblanadi, ularga yuqoridagi munosabatlar qo'llaniladi. .
Qisqartirilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q \u003d 0 uchun isbotlangan munosabatlar juda oddiy ko'rinishga ega.Bu holda biz quyidagilarni olamiz:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
bular. berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.
Vieta teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa munosabatlarni ham olish mumkin. Masalan, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 + px + q = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsin.

Biroq, Vyeta teoremasining asosiy maqsadi kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi muayyan munosabatlarni ifodalash emas. Bundan ham muhimi shundaki, Vyeta teoremasi yordamida kvadrat trinomial faktoring formulasi olinadi, bu holda biz kelajakda qilmaymiz.

Isbot. Bizda ... bor

1-misol. Kvadrat trinomial 3x 2 - 10x + 3ni ko'paytiring.
Qaror. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 tenglamasini yechib, Zx 2 - 10x + 3 kvadrat trinomining ildizlarini topamiz: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-teoremadan foydalanib, biz olamiz

Buning o'rniga Zx - 1 yozish mantiqan to'g'ri keladi. Keyin nihoyat Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) ni olamiz.
E'tibor bering, berilgan kvadrat trinomiyani guruhlash usuli yordamida 2-teoremadan foydalanmasdan koeffitsientlarga ajratish mumkin:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Ammo, ko'rib turganingizdek, bu usul bilan muvaffaqiyat biz muvaffaqiyatli guruhlashni topa olamizmi yoki yo'qligiga bog'liq, birinchi usul bilan esa muvaffaqiyat kafolatlanadi.
1-misol. Fraksiyani kamaytiring

Qaror. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tenglamasidan x 1 = - 2 ni topamiz,

x2 - 4x - 12 = 0 tenglamasidan x 1 = 6, x 2 = -2 ni topamiz. Shunung uchun
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Endi berilgan kasrni kamaytiramiz:

3-misol. Ifodalarni faktorlarga ajrating:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Yechish a) y = x 2 yangi o‘zgaruvchini kiritamiz. Bu bizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat trinomial ko‘rinishda, ya’ni y 2 + by + 6 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi.
Y 2 + bilan + 6 \u003d 0 tenglamasini yechib, y 2 + 5y + 6 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Endi biz 2-teoremadan foydalanamiz; olamiz

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Shuni esda tutish kerakki, y \u003d x 2, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) y = yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Bu sizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadrat uch a’zo ko‘rinishida, ya’ni 2y 2 + y – 3 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Tenglamani yechgandan so‘ng
2y 2 + y - 3 \u003d 0, biz 2y 2 + y - 3 kvadrat trinomialning ildizlarini topamiz:
y 1 = 1, y 2 =. Bundan tashqari, 2-teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shuni esda tutish kerakki, y \u003d, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,

Bo'lim yana Veta teoremasi bilan bog'liq bo'lgan ba'zi mulohazalar bilan, aniqrog'i, qarama-qarshi fikr bilan yakunlanadi:
agar x 1, x 2 raqamlari x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Ushbu bayonotdan foydalanib, siz ko'p kvadrat tenglamalarni og'zaki, og'ir ildiz formulalaridan foydalanmasdan yechishingiz mumkin, shuningdek, berilgan ildizlar bilan kvadrat tenglamalar tuzishingiz mumkin. Keling, misollar keltiraylik.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 ekanligini taxmin qilish oson.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati musbat son bo'lsa, u holda ikkala ildiz ham ijobiy yoki salbiy; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.

3) x 2 + x - 12 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati manfiy son bo'lsa, unda ildizlar ishora jihatidan farq qiladi; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1 tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson, ya'ni. x 1 \u003d 1 - tenglamaning ildizi. X 1 x 2 \u003d - va x 1 \u003d 1 bo'lgani uchun biz x 2 \u003d - ni olamiz.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Agar 2830 = 283 ekanligiga e'tibor qaratsangiz. 10 va 293 \u003d 283 + 10, keyin x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 ekanligi ayon bo'ladi (endi bu kvadrat tenglamani standart formulalar yordamida yechish uchun qanday hisob-kitoblarni bajarish kerakligini tasavvur qiling).

6) X 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 raqamlari uning ildizi bo'lib xizmat qiladigan kvadrat tenglama tuzamiz.Odatda bunday hollarda ular x 2 + px + q \u003d 0 qisqartirilgan kvadrat tenglamani tashkil qiladi.
Bizda x 1 + x 2 \u003d -p, shuning uchun 8 - 4 \u003d -p, ya'ni p \u003d -4. Bundan tashqari, x 1 x 2 = q, ya'ni. 8"(-4) = q, bu erdan q = -32 ni olamiz. Shunday qilib, p \u003d -4, q \u003d -32, ya'ni kerakli kvadrat tenglama x 2 -4x-32 \u003d 0 ko'rinishga ega.