O'yinlar

Dastlabki nisbat 13 ga teng. Nisbatlar. Proporsiyani qanday hisoblash mumkin

Proporsiya formulasi

Proporsiya a:b=c:d bo‘lganda ikki nisbatning tengligidir

munosabat 1 : 10 nisbati 7 ga teng : 70, uni kasr sifatida ham yozish mumkin: 1 10 = 7 70 "Bir o'ngacha yettigacha yetmishgacha" deb o'qiladi.

Proporsiyaning asosiy xossalari

Ekstremal hadlarning ko'paytmasi o'rta hadlarning ko'paytmasiga teng (ko'ndalang): agar a:b=c:d , u holda a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proporsiyaning inversiyasi: agar a:b=c:d bo‘lsa, b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

O'rta atamalarni o'zgartirish: agar a:b=c:d bo'lsa, a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Ekstremal atamalarni qayta tartiblash: agar a:b=c:d u holda d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Bitta noma'lum | bilan nisbatni yechish Tenglama

1 : 10 = x : 70 yoki 1 10 = x 70

X ni topish uchun ikkita ma'lum sonni o'zaro ko'paytirish va qarama-qarshi qiymatga bo'lish kerak

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Proporsiyani qanday hisoblash mumkin

Vazifa: 10 kilogramm vazn uchun 1 tabletka faollashtirilgan uglerod ichish kerak. Agar odamning vazni 70 kg bo'lsa, qancha tabletka ichish kerak?

Keling, nisbatni tuzamiz: 1 tabletka - 10 kg x planshetlar - 70 kg X ni topish uchun siz ikkita ma'lum sonni o'zaro ko'paytirishingiz va qarama-qarshi qiymatga bo'lishingiz kerak: 1 tabletka x planshetlar✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Javob: 7 tabletka

Vazifa: besh soat ichida Vasya ikkita maqola yozadi. U 20 soat ichida nechta maqola yozadi?

Keling, nisbatni tuzamiz: 2 ta maqola - 5 soat x maqolalar - 20 soat x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Javob: 8 ta maqola

Bo'lajak maktab bitiruvchilariga aytishim mumkinki, mutanosibliklarni tuzish qobiliyati rasmlarni mutanosib ravishda kamaytirish uchun ham, Internet sahifasining HTML tartibida ham, kundalik vaziyatlarda ham foydali bo'lgan.

Nisbatan (matematikada) bir xil turdagi ikki yoki undan ortiq sonlar orasidagi munosabatdir. Nisbatlar mutlaq miqdorlarni yoki bir butunning qismlarini taqqoslaydi. Nisbatlar turli yo'llar bilan hisoblab chiqiladi va yoziladi, lekin asosiy tamoyillar barcha nisbatlar uchun bir xil.

Qadamlar

1-qism

Koeffitsientlarning ta'rifi

Nisbatlardan foydalanish. Nisbatlar ham fanda, ham fanda qo'llaniladi Kundalik hayot qiymatlarni solishtirish. Eng oddiy munosabatlar faqat ikkita raqamni bog'laydi, lekin uch yoki undan ortiq qiymatlarni taqqoslaydigan munosabatlar mavjud. Bir nechta miqdor mavjud bo'lgan har qanday vaziyatda munosabatlar yozilishi mumkin. Muayyan qiymatlarni bog'lash orqali nisbatlar, masalan, retseptdagi ingredientlar miqdorini yoki kimyoviy reaktsiyadagi moddalarni qanday oshirishni taklif qilishi mumkin.

Koeffitsientlarning ta'rifi. Nisbatan bir xil turdagi ikki (yoki undan ko'p) qiymatlar o'rtasidagi munosabatdir. Misol uchun, tort tayyorlash uchun sizga 2 stakan un va 1 stakan shakar kerak bo'lsa, unda un va shakar nisbati 2 dan 1 gacha.
- Ikki miqdor bir-biriga bog'liq bo'lmagan hollarda ham nisbatlar qo'llanilishi mumkin (pirojnoe misolida bo'lgani kabi). Misol uchun, agar sinfda 5 qiz va 10 o'g'il bo'lsa, unda qizlar va o'g'il bolalar nisbati 5 dan 10 gacha. Bu qiymatlar (o'g'il bolalar soni va qizlar soni) bir-biridan mustaqil, ya'ni, agar kimdir sinfni tark etsa yoki sinfga yangi o'quvchi kelsa, ularning qadriyatlari o'zgaradi. Nisbatlar shunchaki miqdorlarning qiymatlarini taqqoslaydi.
e'tibor bering turli yo'llar bilan nisbatlarning taqdimoti. Aloqalar so'zlar yoki matematik belgilar yordamida ifodalanishi mumkin.
- Ko'pincha munosabatlar so'zlar bilan ifodalanadi (yuqorida ko'rsatilganidek). Munosabatlarni ifodalashning bu shakli, ayniqsa, fandan uzoqda, kundalik hayotda qo'llaniladi.
- Aloqalar ikki nuqta yordamida ham ifodalanishi mumkin. Ikkita raqamni nisbatda taqqoslashda siz bitta nuqta qo'yasiz (masalan, 7:13); Uch yoki undan ortiq qiymatlarni solishtirganda, har bir juft son orasiga ikki nuqta qo'ying (masalan, 10:2:23). Bizning sinf misolimizda siz qizlar va o'g'il bolalar nisbatini 5 qiz: 10 o'g'il sifatida ifodalashingiz mumkin. Yoki shunday: 5:10.
- Kamroq hollarda munosabatlar slash yordamida ifodalanadi. Sinf misolida buni quyidagicha yozish mumkin: 5/10. Shunga qaramay, bu kasr emas va bunday nisbat kasr sifatida o'qilmaydi; Bundan tashqari, nisbatda raqamlar butunning bir qismini anglatmasligini unutmang.
2-qism
Nisbatlardan foydalanish
1. Nisbatni soddalashtiring. Nisbatning har bir a'zosini (sonini) ga bo'lish orqali nisbatni soddalashtirish mumkin (kasrlarga o'xshash). Biroq, asl nisbat qiymatlarini e'tibordan chetda qoldirmang.
  - Bizning misolimizda sinfda 5 qiz va 10 o'g'il bola bor; nisbati 5:10. Eng katta umumiy bo'luvchi nisbat shartlari 5 ga teng (chunki 5 va 10 ham 5 ga bo'linadi). 1 qiz va 2 o'g'il (yoki 1: 2) nisbatini olish uchun har bir nisbat raqamini 5 ga bo'ling. Biroq, nisbatni soddalashtirganda, asl qiymatlarni yodda tuting. Bizning misolimizda, sinfda 3 ta o'quvchi emas, balki 15. Soddalashtirilgan nisbat o'g'il bolalar soni va qizlar sonini taqqoslaydi. Ya'ni, har bir qizga 2 o'g'il to'g'ri keladi, lekin sinfda 2 o'g'il va 1 qiz yo'q.
  - Ba'zi munosabatlarni soddalashtirish mumkin emas. Misol uchun, 3:56 nisbati soddalashtirilmagan, chunki bu raqamlar umumiy ko'rsatkichlarga ega emas (3 - tub son, 56 esa 3 ga bo'linmaydi).
2. Nisbatni oshirish yoki kamaytirish uchun ko'paytirish yoki bo'lishdan foydalaning. Umumiy muammolar bir-biriga mutanosib bo'lgan ikkita qiymatni oshirish yoki kamaytirishni o'z ichiga oladi. Agar sizga nisbat berilgan bo'lsa va unga mos keladigan katta yoki kichik nisbatni topishingiz kerak bo'lsa, asl nisbatni berilgan raqamga ko'paytiring yoki bo'ling.
  - Misol uchun, novvoy retseptda berilgan ingredientlar miqdorini uch baravar oshirishi kerak. Agar retsept bo'yicha un va shakar nisbati 2 dan 1 gacha bo'lsa (2: 1), u holda novvoy 6: 3 (6 stakan un 3 stakan shakar) nisbatini olish uchun har bir shartni 3 ga ko'paytiradi.
  - Boshqa tomondan, agar novvoy retseptda ko'rsatilgan ingredientlar miqdorini ikki baravar kamaytirishi kerak bo'lsa, u holda novvoy har bir nisbatni 2 ga bo'ladi va 1: ½ (1 stakan un 1/2 stakan shakar) nisbatini oladi. ).
3. Ikki ekvivalent nisbat berilganda noma'lum qiymatni topish. Bu birinchisiga ekvivalent bo'lgan ikkinchi munosabat yordamida bitta munosabatda noma'lum o'zgaruvchini topish kerak bo'lgan muammo. Bunday muammolarni hal qilish uchun foydalaning. Har bir nisbatni oddiy kasr sifatida yozing, ular orasiga teng belgi qo'ying va ularning shartlarini ko'ndalang ko'paytiring.
  - Masalan, 2 o'g'il va 5 qiz bo'lgan talabalar guruhi berilgan. Qizlar soni 20 ga ko'paytirilsa, o'g'il bolalar soni qancha bo'ladi (proporsiya bir xil bo'lib qoladi)? Birinchidan, ikkita nisbatni yozing - 2 o'g'il: 5 qiz va X o'g'il bolalar: 20 qiz. Endi bu nisbatlarni kasr sifatida yozing: 2/5 va x/20. Kasrlar shartlarini o'zaro ko'paytiring va 5x = 40 ni oling; shuning uchun x = 40/5 = 8.
3-qism
Umumiy xatolar
1. Nisbatan so‘z masalalarida qo‘shish va ayirishdan saqlaning. Ko'pgina so'z muammolari quyidagicha ko'rinadi: "Retsept bo'yicha 4 ta kartoshka ildizi va 5 ta sabzi ildizi kerak. Agar siz 8 ta kartoshka qo'shmoqchi bo'lsangiz, nisbatni bir xil saqlash uchun sizga qancha sabzi kerak bo'ladi? Bu kabi masalalarni yechishda o‘quvchilar ko‘pincha bir xil miqdordagi ingredientlarni asl raqamga qo‘shib xato qiladilar. Biroq, nisbatni saqlab qolish uchun siz ko'paytirishdan foydalanishingiz kerak. To'g'ri va noto'g'ri echimlarga misollar:
  - Noto'g'ri: "8 - 4 = 4 - shuning uchun biz 4 ta kartoshka ildizini qo'shdik. Bu degani, siz 5 ta sabzi ildizini olishingiz va ularga yana 4 ta qo'shishingiz kerak ... To'xtating! Koeffitsientlar bu tarzda hisoblanmaydi. Yana urinib ko‘rishga arziydi”.
  - To'g'ri: "8 ÷ 4 = 2 - demak, biz kartoshka miqdorini 2 ga ko'paytirdik. Shunga ko'ra, 5 ta sabzi ildizi ham 2 ga ko'paytirilishi kerak. 5 x 2 = 10 - retseptga 10 ta sabzi ildizini qo'shishingiz kerak. ”

Matematikadagi ko'pgina muammolarni hal qilish uchun o'rta maktab Proportionlarni tuzishni bilish talab qilinadi. Ushbu oddiy mahorat nafaqat darslikdagi murakkab mashqlarni bajarishga, balki matematika fanining mohiyatini o'rganishga yordam beradi. Proportionni qanday qilish kerak? Keling, buni hozir aniqlaylik.

Eng oddiy misol uchta parametr ma'lum bo'lgan muammo bo'lib, to'rtinchisini topish kerak. Proportionlar, albatta, har xil, lekin ko'pincha foizlar yordamida ba'zi raqamlarni topishingiz kerak. Masalan, bolada jami o'nta olma bor edi. To'rtinchi qismni onasiga berdi. Bolada nechta olma qoldi? Bu sizga nisbatni yaratishga imkon beradigan eng oddiy misol. Asosiysi, buni qilish. Dastlab o'nta olma bor edi. 100% bo'lsin. Biz uning barcha olmalarini belgilab qo'ydik. U to'rtdan birini berdi. 1/4=25/100. Bu uning ketganligini anglatadi: 100% (dastlab shunday edi) - 25% (u berdi) = 75%. Bu raqam qolgan meva miqdorining dastlab mavjud bo'lgan miqdorga nisbatan foizini ko'rsatadi. Endi bizda uchta raqam bor, ular orqali biz allaqachon proportsiyani hal qila olamiz. 10 ta olma - 100%, X olma - 75%, bu erda x - kerakli meva miqdori. Proportionni qanday qilish kerak? Bu nima ekanligini tushunishingiz kerak. Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi. Tushunish uchun teng belgisi qo'yiladi.

10 ta olma = 100%;

x olma = 75%.

Ma'lum bo'lishicha, 10/x = 100%/75. Bu nisbatlarning asosiy xususiyati. Axir, x qanchalik katta bo'lsa, bu raqamning asl nusxadagi foizi shunchalik katta bo'ladi. Biz bu nisbatni yechib, x = 7,5 olma ekanligini topamiz. Nima uchun bola butun sonni berishga qaror qilganini bilmaymiz. Endi siz nisbatni qanday qilishni bilasiz. Asosiysi, ikkita munosabatlarni topish, ulardan biri noma'lumni o'z ichiga oladi.

Proportsiyani yechish ko'pincha oddiy ko'paytirish va keyin bo'lish bilan bog'liq. Maktablar bolalarga buning sababini tushuntirmaydi. Proportsional munosabatlar matematik klassika ekanligini tushunish muhim bo'lsa-da, fanning mohiyati. Proporsiyalarni yechish uchun kasrlarni boshqarishni bilish kerak. Misol uchun, ko'pincha foizlarni kasrga aylantirishingiz kerak. Ya'ni, 95% ni yozib olish ishlamaydi. Va agar siz darhol 95/100 ni yozsangiz, unda asosiy hisobni boshlamasdan sezilarli qisqartirishlar qilishingiz mumkin. Darhol aytish kerakki, agar sizning nisbatingiz ikkita noma'lum bo'lsa, uni hal qilib bo'lmaydi. Bu yerda sizga hech bir professor yordam bermaydi. Va sizning vazifangiz, ehtimol, to'g'ri harakatlar uchun yanada murakkab algoritmga ega.

Keling, foizlar bo'lmagan boshqa misolni ko'rib chiqaylik. Avtomobilchi 5 litr benzinni 150 rublga sotib oldi. 30 litr yoqilg‘i uchun qancha to‘lashini o‘yladi. Bu masalani hal qilish uchun kerakli pul miqdorini x bilan belgilaymiz. Siz bu muammoni o'zingiz hal qilishingiz va keyin javobni tekshirishingiz mumkin. Agar siz mutanosiblikni qanday qilishni hali tushunmagan bo'lsangiz, unda ko'rib chiqing. 5 litr benzin 150 rublni tashkil qiladi. Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz 5l - 150r yozamiz. Endi uchinchi raqamni topamiz. Albatta, bu 30 litr. Ushbu vaziyatda 30 l - x rubl juftligi mos kelishiga rozi bo'ling. Keling, matematik tilga o'tamiz.

5 litr - 150 rubl;

30 litr - x rubl;

Keling, bu nisbatni hal qilaylik:

x = 900 rubl.

Shunday qilib, biz qaror qildik. Vazifangizda javobning adekvatligini tekshirishni unutmang. Noto'g'ri qaror bilan mashinalar soatiga 5000 kilometr va hokazo tezlikka erishadilar. Endi siz nisbatni qanday qilishni bilasiz. Siz ham hal qila olasiz. Ko'rib turganingizdek, bu borada murakkab narsa yo'q.

asos Matematik tadqiqot - bu ma'lum miqdorlarni boshqa miqdorlar bilan taqqoslash orqali bilimga ega bo'lish qobiliyati. teng, yoki Ko'proq yoki Ozroq tadqiqot ob'ekti bo'lganlarga qaraganda. Bu odatda ketma-ketlik yordamida amalga oshiriladi tenglamalar Va nisbatlar. Tenglamalardan foydalanganda biz izlayotgan miqdorni topib aniqlaymiz tenglik allaqachon tanish bo'lgan boshqa miqdor yoki miqdorlar bilan.

Biroq, ko'pincha biz noma'lum miqdorni boshqalar bilan taqqoslaymiz teng emas uni, lekin undan ko'p yoki kamroq. Bu ma'lumotlarni qayta ishlashga boshqacha yondashuvni talab qiladi. Biz bilishimiz kerak, masalan, qanday muddatga bir miqdor boshqasidan kattaroq yoki necha marta biri ikkinchisini o'z ichiga oladi. Bu savollarga javob topish uchun biz nima ekanligini bilib olamiz nisbat ikki o'lcham. Bitta nisbat deyiladi arifmetik, va boshqa geometrik. Shuni ta'kidlash kerakki, bu ikkala atama ham tasodifan yoki shunchaki farqlash maqsadida qabul qilinmagan. Ham arifmetik, ham geometrik munosabatlar arifmetikaga ham, geometriyaga ham tegishli.

Keng va muhim mavzuning tarkibiy qismi sifatida mutanosiblik nisbatlarga bog'liq, shuning uchun bu tushunchalarni aniq va to'liq tushunish kerak.

338. Arifmetik munosabat Bu farqikki miqdor yoki bir qator miqdorlar o'rtasida. Miqdorlarning o'zi deyiladi a'zolari munosabatlar, ya'ni o'zaro munosabatlar mavjud bo'lgan atamalar. Shunday qilib, 2 - 5 va 3 ning arifmetik nisbati. Bu ikki qiymat orasiga minus belgisini qo'yish orqali ifodalanadi, ya'ni 5 - 3. Albatta, arifmetik nisbat atamasi va uni nuqta bo'yicha tavsiflash amalda foydasiz, chunki faqat so‘zning o‘rnini bosish sodir bo‘ladi farq ifodadagi minus belgisi bilan.

339. Agar arifmetik munosabatning ikkala hadi ko'paytirmoq yoki bo'lmoq bir xil miqdorda, keyin nisbat, oxir-oqibat bu miqdorga ko'paytiriladi yoki bo'linadi.
Shunday qilib, agar bizda a - b = r bo'lsa
Keyin ikkala tomonni h ga ko'paytiring, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Va h ga bo'lish, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Agar arifmetik munosabatning hadlari boshqasining tegishli hadlariga qo’shilsa yoki ayirilsa, yig’indi yoki ayirmaning nisbati ikki nisbatning yig’indisiga yoki ayirmasiga teng bo’ladi.
Agar a - b
Va d - h,
ikki munosabatlar,
Keyin (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Qaysi har bir holatda = a + d - b - h.
Va (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Qaysi har bir holatda = a - d - b + h.
Shunday qilib, 11 - 4 arifmetik nisbat 7 ga teng
5 - 2 arifmetik munosabat esa 3 ga teng
16 - 6 hadlar yig'indisining nisbati 10, - nisbatlar yig'indisi.
6 - 2 hadlar farqining nisbati 4, - nisbatlar farqi.

341. Geometrik nisbat - ifodalangan miqdorlar orasidagi munosabatdir XUSUSIY, agar bir miqdor boshqasiga bo'lingan bo'lsa.
Shunday qilib, 8 dan 4 gacha bo'lgan nisbat 8/4 yoki 2 deb yozilishi mumkin. Ya'ni 8 ning 4 ga bo'lingan qismi. Boshqacha qilib aytganda, 8 sonida 4 ning necha marta borligini ko'rsatadi.

Xuddi shunday, har qanday miqdorning boshqasiga nisbati birinchisini ikkinchiga bo'lish yoki, asosan, bir xil narsa bo'lib, birinchisini kasrning sonini, ikkinchisini esa maxraj qilish orqali aniqlanishi mumkin.
Demak, a ning b ga nisbati $\frac(a)(b)$
d + h ning b + c ga nisbati $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Taqqoslanayotgan kattaliklar orasiga ikkita nuqtani bir-birining ustiga qo'yish orqali ham geometrik munosabat yoziladi.
Shunday qilib, a:b - a ning b nisbati, 12:4 esa 12 dan 4 gacha bo'lgan nisbatdir. Ikki miqdor birgalikda hosil qiladi. er-xotin, unda birinchi atama deyiladi oldingi, va oxirgisi - oqibatli.

343. Nuqtali ko‘rinishdagi bu belgi va kasr shaklidagi ikkinchisi zaruratga ko‘ra bir-birining o‘rnini bosadi, oldingi qism kasrning soniga, natijada esa maxrajga aylanadi.
Demak, 10:5 $\frac(10)(5)$ va b:d $\frac(b)(d)$ bilan bir xil.

344. Bu uch maʼnodan biri: oldingi, natija va nisbat berilgan boʻlsa ikki, keyin uchinchisini topish mumkin.

a= oldingi, c= natija, r= nisbat bo'lsin.
Ta'rifga ko'ra, $r=\frac(a)(c)$, ya'ni nisbat oldingi qismning natijaga bo'linishiga teng.
c ga ko'paytirilsa, a = cr, ya'ni oldingi ko'rsatkichlar nisbatning natijaviy martalariga teng bo'ladi.
Keling, r ga bo'linamiz, $c=\frac(a)(r)$, ya'ni natija oldingi nisbatga bo'lingan nisbatga teng.

Javob. 1. Ikki juftning oldingi va oqibati teng bo'lsa, ularning nisbatlari ham teng bo'ladi.

Javob. 2. Ikki juftning nisbati va oldingilari teng bo‘lsa, natijalar, nisbatlar va natijalar teng bo‘lsa, oldingilar teng bo‘ladi.

345. Ikki miqdor solishtirilsa teng, keyin ularning nisbati bir yoki tenglik nisbatiga teng bo'ladi. 3*6:18 nisbati bir ga teng, chunki har qanday miqdorning o'ziga bo'lingan qismi 1 ga teng.

Agar juftlikning oldingi qismi bo'lsa Ko'proq, natijadan ko'ra, u holda nisbat birdan katta bo'ladi. Dividend bo'luvchidan katta bo'lganligi sababli, ko'rsatkich birdan katta. Demak, 18:6 nisbati 3 ga teng. Bu nisbat deyiladi kattaroq tengsizlik.

Boshqa tomondan, agar oldingi bo'lsa Ozroq natijadan ko'ra, u holda nisbat birdan kichik bo'ladi va bu nisbat deyiladi kamroq tengsizlik. Demak, 2:3 nisbat birdan kichik, chunki dividend bo'luvchidan kichik.

346. Teskari nisbat ikki o'zaro nisbatdir.
Demak, teskari nisbat 6 ga 3 ga teng, ya'ni:.
a ning b ga to'g'ridan-to'g'ri munosabati $\frac(a)(b)$, ya'ni oldingi natijaga bo'lingan.
Teskari munosabat $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ yoki $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
ya'ni keyingi b oldingi oldingi a ga bo'linadi.

Demak, teskari munosabat ifodalanadi kasrni teskari aylantirish orqali, bu to'g'ridan-to'g'ri munosabatni ko'rsatadi yoki nuqtalar yordamida yozib olinganda, a'zolarni yozish tartibini o'zgartirish.
Shunday qilib, a b ga qarama-qarshi bo'lib, b a ga qarama-qarshidir.

347. Kompleks nisbat bu nisbat ishlaydi ikki yoki undan ortiq oddiy munosabatlarga ega tegishli atamalar.
Shunday qilib, nisbat 6: 3, 2 ga teng
Va nisbati 12:4 3 ga teng
Ulardan tashkil topgan nisbat 72:12 = 6 ni tashkil qiladi.

Bu yerda murakkab munosabat ikkita oldingi va shuningdek, oddiy munosabatlarning ikkita natijasini ko'paytirish orqali olinadi.
Shunday qilib, nisbat tuziladi
a:b nisbatidan
Va c:d nisbatlari
va h:y nisbatlari
Bu $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ munosabati.
Murakkab munosabatlar o'z nuqtai nazaridan farq qilmaydi tabiat boshqa har qanday nisbatdan. Bu atama muayyan holatlarda munosabatlarning kelib chiqishini ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Javob. Murakkab nisbat oddiy nisbatlarning mahsulotiga teng.
a:b nisbati $\frac(a)(b)$ ga teng
c:d nisbati $\frac(c)(d)$ ga teng
h:y nisbati $\frac(h)(y)$ ga teng
Va bu uchtadan qo'shilgan nisbat ach/bdy bo'ladi, bu oddiy nisbatlarni ifodalovchi kasrlarning mahsulotidir.

348. Har bir oldingi juftdagi munosabatlar ketma-ketligida oqibat keyingi juftlikda oldingi bo'lsa, u holda. birinchi oldingi va oxirgi natija nisbati oraliq nisbatlardan olinganga teng.
Shunday qilib, bir qator nisbatlarda
a:b
b:c
c:d
d:h
a:h nisbati a:b, va b:c, va c:d va d:h nisbatlaridan yig’ilgan nisbatga teng. Shunday qilib, oxirgi maqoladagi murakkab nisbat $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ yoki a:h.

Xuddi shunday, ham oldingi, ham natija bo'lgan barcha miqdorlar yo'qoladi, qachonki kasrlar mahsuloti uning pastki shartlariga soddalashtiriladi va murakkab munosabatlarning qolgan qismi birinchi oldingi va oxirgi natija bilan ifodalanadi.

349. Murakkab munosabatlarning maxsus sinfi oddiy munosabatni ga ko‘paytirish yo‘li bilan olinadi o'zingiz yoki boshqasiga teng nisbat. Bu munosabatlar deyiladi ikki barobar, uchlik, to'rt barobar, va hokazo, ko'paytirish amallari soniga muvofiq.

dan tashkil topgan nisbat ikki teng nisbatda, ya'ni kvadrat ikki barobar nisbat.

dan tashkil topgan uch, ya'ni, kub oddiy munosabat deyiladi uchlik, va hokazo.

Shunga o'xshash nisbat kvadrat ildizlar ikki miqdor nisbat deyiladi kvadrat ildiz, va nisbati kubik ildizlar- nisbat kub ildizi, va hokazo.
Demak, a ning b ga oddiy nisbati a:b ga teng
a ning b ga ikki karra nisbati a 2:b 2 ga teng
a ning b ga uch karra nisbati 3:b 3 ga teng
a ning kvadrat ildizining b ga nisbati √a :√b
a ning kub ildizining b ga nisbati 3 √a : 3 √b va hokazo.
Shartlar ikki barobar, uchlik, va boshqalar bilan aralashtirish kerak emas ikki barobar, uch barobar, va hokazo.
6 dan 2 gacha bo'lgan nisbat 6: 2 = 3 ni tashkil qiladi
Biz bu nisbatni, ya'ni nisbatni ikki barobarga oshiramiz, keyin 12:2 = 6 ni olamiz
Bu nisbatni uch marta, ya'ni bu nisbatni uch marta ko'paytirsak, biz 18:2 = 9 ni olamiz
A ikki barobar nisbati, ya'ni kvadrat nisbati 6 2:2 2 = 9 ga teng
VA uchlik nisbati, ya'ni nisbatning kubi 6 3:2 3 = 27

350. Miqdorlar bir-biri bilan korrelyatsiya bo‘lishi uchun ular bir xil bo‘lishi kerak, shunda ular bir-biriga teng yoki ulardan biri katta yoki kichik ekanligini ishonch bilan aytish mumkin. Oyoq 12 dan 1 gacha bo'lganidek, bir dyuymga teng: u dyuymdan 12 marta katta. Ammo, masalan, bir soat tayoqdan uzoq yoki qisqa, yoki akr bir darajadan ko'proq yoki kamroq deb aytish mumkin emas. Biroq, agar bu miqdorlar ifodalangan bo'lsa raqamlar, keyin bu raqamlar o'rtasida bog'liqlik bo'lishi mumkin. Ya'ni, bir soatdagi daqiqalar soni va bir mildagi qadamlar soni o'rtasida bog'liqlik bo'lishi mumkin.

351. O'girilib tabiat nisbatlar, keyingi bosqichda biz bir-biri bilan taqqoslanadigan bir yoki ikkita atamaning o'zgarishi nisbatning o'ziga qanday ta'sir qilishini hisobga olishimiz kerak. Eslatib o'tamiz, to'g'ridan-to'g'ri munosabat kasr sifatida ifodalanadi, bu erda oldingi juftliklar har doim shunday hisoblagich, A natijada - maxraj. Shunda qiyoslangan miqdorlarni o'zgartirish orqali nisbatdagi o'zgarishlar sodir bo'ladigan kasrlar xossasidan olish oson bo'ladi. Ikki miqdorning nisbati bir xil ma'nosi kasrlar, ularning har biri ifodalaydi xususiy: maxrajga bo‘lingan son. (341-modda.) Endi kasrning payini istalgan qiymatga ko'paytirish ko'paytirish bilan bir xil ekanligi ko'rsatildi. ma'nosi bir xil miqdorda va hisoblagichni bo'lish kasr qiymatlarini bo'lish bilan bir xildir. Shunung uchun,

352. Juftlikning oldingi qismini istalgan qiymatga ko‘paytirish nisbatni shu qiymatga ko‘paytirishni, oldingisini bo‘lish esa bu nisbatni bo‘lish demakdir..
Shunday qilib, 6: 2 nisbati 3 ga teng
Va 24: 2 nisbati 12 ga teng.
Bu erda oldingi juftlik va oxirgi juftlikdagi nisbat birinchisiga qaraganda 4 baravar katta.
a:b nisbati $\frac(a)(b)$ ga teng
Va na:b nisbati $\frac(na)(b)$ ga teng.

Javob. Ma'lum bo'lgan natijani hisobga olsak, ko'proq oldingi, ko'proq nisbat, va aksincha, nisbat qanchalik katta bo'lsa, oldingi holat shunchalik katta bo'ladi.

353. Juftlikning natijasini har qanday qiymatga ko'paytirish orqali natija nisbatni ushbu qiymatga bo'linadi va natijani bo'linib, biz nisbatni ko'paytiramiz. Kasrning maxrajini ko'paytirish orqali biz qiymatni ajratamiz va maxrajni bo'lish orqali qiymat ko'paytiriladi.
Shunday qilib, 12: 2 nisbati 6 ga teng
Va 12: 4 nisbati 3 ga teng.
Mana ikkinchi juftlikning natijasi ikki marta ko'proq va nisbat ikki marta birinchisidan kamroq.
a:b nisbati $\frac(a)(b)$ ga teng
Va a: nb nisbati $\frac(a)(nb)$ ga teng.

Javob. Oldindan kelib chiqqan holda, natija qanchalik katta bo'lsa, nisbat shunchalik kichik bo'ladi. Aksincha, nisbat qanchalik katta bo'lsa, natija shunchalik kichik bo'ladi.

354. Oxirgi ikki moddadan kelib chiqadiki oldingisini ko'paytirish har qanday miqdorning juftlari nisbatiga bir xil ta'sir ko'rsatadi keyingi bo'linish bu miqdor bo'yicha va oldingi bo'linish, bilan bir xil ta'sirga ega bo'ladi natijani ko'paytirish.
Shuning uchun 8: 4 nisbati 2 ga teng
Oldingi 2 ga ko'paytirilsa, 16: 4 nisbati 4 ga teng
Oldingi narsani 2 ga bo'lsa, 8: 2 nisbati 4 ga teng bo'ladi.

Javob. Har qanday omil yoki ajratuvchi munosabatni o‘zgartirmagan holda juftlikning oldingi gapidan ergash gapga yoki oqibatdan oldingi qismga o‘tishi mumkin.

Shuni ta'kidlash joizki, koeffitsient bir haddan ikkinchisiga ko'chirilganda, u bo'luvchiga, o'tkazilgan bo'luvchi esa ko'paytiruvchiga aylanadi.
Demak, nisbat 3,6:9 = 2 ga teng
3 omilni oldinga olib borsak, $6:\frac(9)(3)=2$
bir xil nisbat.

Munosabatlar $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
y $ma:by=\frac(ma)(by)$ koʻchirish
Harakatlanuvchi m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Maqolalardan ko'rinib turibdiki. 352 va 353, agar oldingi va natija bir xil miqdorga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, nisbat o'zgarmaydi..

Javob. 1. Ikkisining nisbati kasrlar, umumiy maxrajga ega bo'lgan, ularning nisbati bilan bir xil hisoblagichlar.
Demak, a/n:b/n nisbati a:b bilan bir xil.

Javob. 2. To'g'ridan-to'g'ri umumiy numeratorga ega bo'lgan ikkita kasrning nisbati ularning nisbatiga teskari nisbatga teng denominatorlar.

356. Maqolada istalgan ikki kasrning nisbatini aniqlash oson. Agar har bir a'zo ikkita maxrajga ko'paytirilsa, nisbat integral ifodalar bilan beriladi. Shunday qilib, a/b:c/d juftlik shartlarini bd ga ko‘paytirsak, $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$ ni olamiz, bu esa ad:bc ga aylanadi, numeratorlar va maxrajlarning umumiy qiymatlari.

356. b. Nisbat kattaroq tengsizlik ortadi uning
Kattaroq tengsizlikning nisbati 1+n:1 ga teng bo‘lsin
Va shunga o'xshash har qanday nisbat a:b
Murakkab nisbat (347-modda,) a + na:b bo'ladi
Qaysi a:b nisbatidan kattaroqdir (351-modda javob)
Ammo nisbat kamroq tengsizlik, boshqa nisbat bilan katlanmış, kamaytiradi uning.
Kichikroq farqning nisbati 1-n:1 bo'lsin
Har qanday berilgan nisbat a:b
Kompleks nisbat a - na:b
Qaysi a:b dan kichik.

357. Har qanday juftlik a'zolariga yoki a'zolaridan bo'lsaqo'shish yoki bir xil nisbatda bo'lgan boshqa ikkita miqdorni ayirib tashlasak, yig'indilar yoki qoldiqlar bir xil nisbatga ega bo'ladi..
a:b nisbati bo'lsin
Bu c:d bilan bir xil bo'ladi
Keyin nisbat miqdor oqibatlar yig'indisining oldingilari, ya'ni a + c dan b + d gacha, ham bir xil.
Ya'ni $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Isbot.

1. Taxminga ko'ra, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. b va d ga ko'paytiring, ad = bc
3. Ikkala tomonga cd qo'shing, ad + cd = bc + cd
4. d ga bo'linadi, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. b + d ga bo'linadi, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Nisbat farqlar oqibatlardagi farqning oldingi holatlari ham bir xil.

358. Agar bir necha juftlikda nisbatlar teng bo'lsa, u holda barcha oldingilarning yig'indisi barcha oqibatlar yig'indisi bilan bog'liq, xuddi har qanday oldingi o'z natijasi bilan bog'liq.
Shunday qilib, nisbat
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Shunday qilib, nisbat (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Nisbat kattaroq tengsizlikkamayadi, qo'shish bir xil miqdorda ikkala a'zoga.
Berilgan nisbat a+b:a yoki $\frac(a+b)(a)$ bo‘lsin
Ikkala shartga x qo'shish orqali biz a+b+x:a+x yoki $\frac(a+b)(a)$ olamiz.

Birinchisi $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$ bo'ladi
Va oxirgisi $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Oxirgi raqam boshqasidan kamroq bo'lgani uchun, demak nisbat kamroq bo'lishi kerak. (351-modda)

Ammo nisbat kamroq tengsizlik ortadi, ikkala shartga bir xil miqdorni qo'shish.
Berilgan nisbat (a-b):a yoki $\frac(a-b)(a)$ bo'lsin.
Ikkala shartga x qo'shish orqali u (a-b+x):(a+x) yoki $\frac(a-b+x)(a+x)$ bo'ladi.
Ularni umumiy maxrajga keltirish,
Birinchisi $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$ bo'ladi
Va oxirgisi, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Oxirgi raqam boshqasidan katta bo'lgani uchun nisbat Ko'proq.
Agar bir xil qiymatni qo'shish o'rniga olib ketish ikki shartdan bo'lsa, u holda nisbatga ta'sir aksincha bo'lishi aniq.

Misollar.

1. Qaysi biri kattaroq: 11:9 nisbatmi yoki 44:35 nisbatmi?

2. Qaysi biri katta: $(a+3):\frac(a)(6)$ nisbati yoki $(2a+7):\frac(a)(3)$ nisbati?

3. Agar juftlikning oldingi qismi 65 va nisbati 13 bo'lsa, natija nima bo'ladi?

4. Agar juftlikning natijasi 7 va nisbati 18 bo‘lsa, oldingisi nima?

5. 8:7 va 2a:5b, shuningdek (7x+1):(3y-2) dan tashkil topgan murakkab nisbat qanday ko'rinishga ega?

6. (x+y):b, va (x-y):(a + b), shuningdek (a+b):h dan tuzilgan murakkab munosabat qanday ko‘rinishga ega? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Agar (5x+7):(2x-3) va $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ munosabatlari kompleks munosabat hosil qilsa, u holda qanday munosabat bo‘ladi. olinadi: Ko'p yoki kamroq tengsizlik? Rep. Kattaroq tengsizlik nisbati.

8. (x + y):a va (x - y):b va $b:\frac(x^2-y^2)(a)$ dan qanday nisbat tuzilgan? Rep. Tenglik munosabati.

9. 7:5 nisbatda, ikki barobar 4:9 nisbatda, 3:2 nisbatda esa uch barobar ko‘p bo‘lsa?
Rep. 14:15.

10. 3:7 nisbatdan yasalgan va x:y nisbatini uch marta ko‘paytirib, 49:9 nisbatning ildizini oladigan bo‘lsak, qanday nisbat bo‘ladi?
Rep. x 3:y 3.

Munosabat - bu bizning dunyomiz mavjudotlari o'rtasidagi muayyan munosabatlar. Bu raqamlar, jismoniy miqdorlar, ob'ektlar, mahsulotlar, hodisalar, harakatlar va hatto odamlar bo'lishi mumkin.

Kundalik hayotda, nisbatlar haqida gap ketganda, biz aytamiz "bu va u o'rtasidagi munosabat". Misol uchun, vazoda 4 ta olma va 2 nok bo'lsa, biz aytamiz "olma nok nisbati" "nok va olma nisbati".

Matematikada nisbat ko'proq ishlatiladi "falonchining falonchiga munosabati". Masalan, biz yuqorida ko'rib chiqqan to'rtta olma va ikkita nokning nisbati matematikada shunday o'qiladi "to'rtta olmaning ikkita nokga nisbati" yoki olma va nokni almashtirsangiz, unda "ikki nokning to'rtta olma nisbati".

Bu nisbat quyidagicha ifodalanadi a Kimga b(qaerda o'rniga a Va b har qanday raqamlar), lekin ko'pincha siz ikkita nuqta yordamida tuzilgan yozuvni topishingiz mumkin a:b. Siz ushbu xabarni turli yo'llar bilan o'qishingiz mumkin:

a Kimga b
a ga tegishli b
munosabat a Kimga b

Keling, nisbat belgisi yordamida to'rtta olma va ikkita nokning nisbatini yozamiz:

4: 2

Agar olma va nokni almashtirsak, biz 2: 4 nisbatga ega bo'lamiz. Bu nisbat sifatida o'qilishi mumkin "ikki to'rt" yoki ikkalasi ham "Ikki nok to'rt olmaga teng" .

Quyida biz munosabatlarni nisbat deb ataymiz.

Dars mazmuni

Munosabat nima?

Munosabat, avval aytib o'tilganidek, shaklda yoziladi a:b. Uni kasr shaklida ham yozish mumkin. Va biz bilamizki, matematikada bunday belgi bo'linishni anglatadi. Shunda munosabatning natijasi sonlar qismi bo'ladi a Va b.

Matematikada nisbat ikki sonning nisbati hisoblanadi.

Nisbatan bir ob'ektning boshqa birligi uchun qancha ekanligini aniqlashga imkon beradi. Keling, to'rtta olma va ikkita nok nisbatiga qaytaylik (4: 2). Bu nisbat bizga nok birligiga qancha olma borligini aniqlash imkonini beradi. Birlik deganda biz bitta nokni nazarda tutamiz. Birinchidan, 4:2 nisbatni kasr sifatida yozamiz:

Bu nisbat 4 sonining 2 soniga bo'linishini ifodalaydi. Agar bu bo'linishni bajarsak, nok birligiga nechta olma bor degan savolga javob olamiz.

Bizda 2 bor. Shunday qilib, to'rtta olma va ikkita nok (4: 2) o'zaro bog'langan (bir-biri bilan bog'langan), shuning uchun bitta nok uchun ikkita olma bo'ladi.

Rasmda to'rtta olma va ikkita nok bir-biriga qanday bog'liqligi ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, har bir nok uchun ikkita olma bor.

Munosabatni teskari yozish orqali o'zgartirish mumkin. Keyin biz ikkita nokning to'rtta olma nisbatini yoki "ikki nokning to'rtta olma nisbatini" olamiz. Bu nisbat olma birligiga qancha nok borligini ko'rsatadi. Olma birligi bitta olma degan ma'noni anglatadi.

Kasrning qiymatini topish uchun siz kichikroq sonni kattaroq raqamga qanday bo'lishni eslashingiz kerak.

Bizda 0,5 bor. Keling, buni tarjima qilaylik kasr oddiyga:

Olingan umumiy kasrni 5 ga kamaytiramiz

Biz javob oldik (yarim nok). Bu shuni anglatadiki, ikkita nok va to'rtta olma (2: 4) o'zaro bog'liq (bir-biri bilan bog'langan), shuning uchun bitta olma yarim nokni tashkil qiladi.

Rasmda ikkita nok va to'rtta olma bir-biri bilan qanday bog'liqligi ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, har bir olma uchun yarim nok bor.

Nisbatni tashkil etuvchi raqamlar deyiladi munosabatlar a'zolari. Masalan, 4: 2 nisbatda atamalar 4 va 2 ga teng.

Keling, munosabatlarning boshqa misollarini ko'rib chiqaylik. Biror narsa tayyorlash uchun retsept tuziladi. Retsept mahsulotlar o'rtasidagi munosabatlardan qurilgan. Masalan, jo'xori uni tayyorlash uchun odatda ikki stakan sut yoki suv uchun bir stakan don kerak. Olingan nisbat 1: 2 ("birdan ikkiga" yoki "bir stakan dondan ikki stakan sutga").

1:2 nisbatni kasrga aylantiramiz, biz . Ushbu kasrni hisoblab, biz 0,5 ni olamiz. Bu shuni anglatadiki, bir stakan don va ikki stakan sut o'zaro bog'liq (bir-biri bilan bog'liq), shuning uchun bir stakan sut yarim stakan donni tashkil qiladi.

Agar siz 1: 2 nisbatini o'zgartirsangiz, siz 2: 1 nisbatiga ega bo'lasiz ("ikkidan birga" yoki "bir stakan donga ikki stakan sut"). 2:1 nisbatni kasrga aylantirsak, biz . Bu kasrni hisoblab, biz 2 ni olamiz. Bu degani, ikki stakan sut va bir stakan don o'zaro bog'liq (bir-biri bilan bog'liq), shuning uchun bir stakan don uchun ikki stakan sut bor.

2-misol. Sinfda 15 nafar o‘quvchi bor. Shulardan 5 nafari o‘g‘il, 10 nafari qiz bolalardir. Siz qizlar va o'g'il bolalar nisbatini 10: 5 deb yozishingiz va bu nisbatni kasrga aylantirishingiz mumkin. Bu kasrni hisoblab, biz 2 ni olamiz. Ya'ni qizlar va o'g'il bolalar bir-biriga shunday munosabatda bo'lishadiki, har bir o'g'ilga ikkita qiz to'g'ri keladi.

Rasmda o'nta qiz va besh o'g'ilning bir-biri bilan taqqoslanishi ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, har bir o'g'ilga ikkita qiz to'g'ri keladi.

Har doim ham nisbatni kasrga aylantirish va qismni topish mumkin emas. Ba'zi hollarda bu intuitiv bo'ladi.

Shunday qilib, agar siz munosabatni aylantirsangiz, bu chiqadi va bu o'g'il bolalarning qizlarga bo'lgan munosabati. Agar siz ushbu kasrni hisoblasangiz, u 0,5 bo'ladi. Ma'lum bo'lishicha, besh o'g'il o'nta qizga qarindosh bo'lib, har bir qizga yarim o'g'il to'g'ri keladi. Matematik jihatdan bu, albatta, to'g'ri, lekin haqiqat nuqtai nazaridan bu mutlaqo mantiqiy emas, chunki o'g'il bola tirik odam va uni nok yoki olma kabi oddiygina olib bo'linib bo'lmaydi.

To'g'ri munosabatni rivojlantirish qobiliyati muammolarni hal qilishda muhim mahoratdir. Shunday qilib, fizikada bosib o'tilgan masofaning vaqtga nisbati harakat tezligidir.

Masofa o'zgaruvchi orqali ko'rsatiladi S, vaqt - o'zgaruvchi orqali t, tezlik - o'zgaruvchi orqali v. Keyin ibora "Bosilgan masofaning vaqtga nisbati harakat tezligidir" quyidagi ifoda bilan tavsiflanadi:

Faraz qilaylik, mashina 2 soatda 100 kilometr yurdi. Keyin yurgan yuz kilometrning ikki soatga nisbati avtomobil tezligi bo'ladi:

Tezlik odatda tananing vaqt birligida bosib o'tgan masofasi deb ataladi. Vaqt birligi 1 soat, 1 daqiqa yoki 1 soniyani bildiradi. Va nisbat, yuqorida aytib o'tilganidek, bir ob'ektning boshqa birligi uchun qancha ekanligini aniqlashga imkon beradi. Bizning misolimizda yuz kilometrning ikki soatga nisbati bir soatlik harakatda qancha kilometr borligini ko'rsatadi. Har bir soatlik harakat uchun 50 kilometr borligini ko'ramiz

Shuning uchun tezlik bilan o'lchanadi km/soat, m/min, m/s. Kasr belgisi (/) masofaning vaqtga munosabatini bildiradi: soatiga kilometr , daqiqada metr Va sekundiga metr mos ravishda.

2-misol. Mahsulot tannarxining uning miqdoriga nisbati mahsulotning bir birligining narxidir

Agar biz do'kondan 5 ta shokolad barini olgan bo'lsak va ularning umumiy qiymati 100 rubl bo'lsa, unda bitta barning narxini aniqlashimiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz yuz rublning konfet barlari soniga nisbatini topishingiz kerak. Keyin biz bitta konfetning narxi 20 rublni olamiz

Qiymatlarni solishtirish

Avvalroq biz har xil tabiatli miqdorlar orasidagi nisbat yangi miqdorni tashkil etishini bilib oldik. Shunday qilib, bosib o'tilgan masofaning vaqtga nisbati harakat tezligidir. Mahsulot qiymatining uning miqdoriga nisbati mahsulotning bir birligining narxidir.

Ammo nisbat miqdorlarni solishtirish uchun ham ishlatilishi mumkin. Bunday munosabatning natijasi birinchi qiymat ikkinchisidan necha marta katta ekanligini yoki birinchi qiymat ikkinchisining qaysi qismi ekanligini ko'rsatadigan raqamdir.

Birinchi qiymat ikkinchisidan necha marta katta ekanligini bilish uchun nisbatning soniga kattaroq qiymatni va maxrajga kichikroq qiymatni yozish kerak.

Birinchi qiymat ikkinchisining qaysi qismi ekanligini bilish uchun nisbatning numeratoriga kichikroq qiymatni va maxrajga kattaroq qiymatni yozish kerak.

20 va 2 raqamlarini ko'rib chiqing. Keling, 20 soni necha marta ekanligini bilib olaylik ko'proq raqam 2. Buning uchun 20 sonining 2 soniga nisbatini toping. Nisbatning numeratoriga 20 raqamini, maxrajiga esa 2 raqamini yozamiz.

Ushbu nisbatning qiymati o'nga teng

20 sonining 2 soniga nisbati 10 soni. Bu raqam 20 soni 2 sonidan necha marta katta ekanligini ko'rsatadi. Bu 20 soni 2 sonidan o'n marta katta ekanligini anglatadi.

2-misol. Sinfda 15 nafar o‘quvchi bor. Ularning 5 nafari o‘g‘il, 10 nafari qiz bolalardir. Qizlar o'g'il bolalardan necha marta ko'pligini aniqlang.

Biz qizlarning o'g'il bolalarga bo'lgan munosabatini qayd etamiz. Nisbatning numeratoriga qizlar sonini, nisbatning maxrajiga - o'g'il bolalar sonini yozamiz:

Bu nisbatning qiymati 2. Demak, 15 kishilik sinfda qizlar o‘g‘il bolalarga qaraganda ikki barobar ko‘p.

Endi bitta o'g'il uchun qancha qiz bor degan savol yo'q. Bunday holda, nisbat qizlar sonini o'g'il bolalar soni bilan solishtirish uchun ishlatiladi.

3-misol. 20 soni 2 raqamining qaysi qismidan iborat?

2 sonining 20 soniga nisbatini topamiz. 2 raqamini nisbatning payiga, 20 sonini esa maxrajga yozamiz.

Ushbu munosabatlarning ma'nosini topish uchun siz eslab qolishingiz kerak

2 sonining 20 soniga nisbati qiymati 0,1 raqamidir

Bunday holda, 0,1 o'nlik kasrni oddiy kasrga aylantirish mumkin. Bu javobni tushunish osonroq bo'ladi:

Bu 20 sonining 2 raqami o'ndan bir ekanligini anglatadi.

Siz tekshirishingiz mumkin. Buning uchun biz 20 raqamidan topamiz. Agar biz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsak, biz 2 raqamini olishimiz kerak.

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Biz 2 raqamini oldik. Demak, 20 sonining o‘ndan bir qismi 2 raqamidir. Shu yerdan masala to‘g‘ri yechilgan degan xulosaga kelamiz.

4-misol. Sinfda 15 kishi bor. Ularning 5 nafari o‘g‘il, 10 nafari qiz bolalardir. Maktab o'quvchilarining umumiy sonining qancha qismini o'g'il bolalar tashkil etishini aniqlang.

Biz o'g'il bolalarning maktab o'quvchilarining umumiy soniga nisbatini yozamiz. Nisbatning sanoqchisiga beshta o‘g‘il bolani, maxrajdagi maktab o‘quvchilarining umumiy sonini yozamiz. Maktab o'quvchilarining umumiy soni 5 o'g'il va 10 qiz, shuning uchun nisbatning maxrajiga 15 raqamini yozamiz.

Berilgan nisbatning qiymatini topish uchun siz kichikroq raqamni kattaroq raqamga qanday bo'lishni eslab qolishingiz kerak. Bunday holda, 5 raqamini 15 raqamiga bo'lish kerak

5 ni 15 ga bo'lish davriy kasr hosil qiladi. Bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz

Yakuniy javobni oldik. Shunday qilib, o'g'il bolalar butun sinfning uchdan bir qismini tashkil qiladi

Rasmdan ko'rinib turibdiki, 15 o'quvchidan iborat sinfda sinfning uchdan bir qismi 5 o'g'il boladan iborat.

Tekshirish uchun 15 nafar maktab o‘quvchisini topsak, 5 nafar o‘g‘il bola olamiz

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

5-misol. 35 soni 5 sonidan necha marta katta?

35 sonining 5 soniga nisbatini yozamiz. 35 sonini nisbatning payiga, 5 raqamini maxrajga yozish kerak, aksincha emas.

Bu nisbatning qiymati 7. Bu 35 soni 5 sonidan etti marta katta ekanligini anglatadi.

6-misol. Sinfda 15 kishi bor. Ularning 5 nafari o‘g‘il, 10 nafari qiz bolalardir. Umumiy sonning qaysi ulushi qizlar ekanligini aniqlang.

Biz qizlarning maktab o'quvchilarining umumiy soniga nisbatini qayd etamiz. Nisbat soniga o'nta qizni, maxrajdagi maktab o'quvchilarining umumiy sonini yozamiz. Maktab o'quvchilarining umumiy soni 5 o'g'il va 10 qiz, shuning uchun nisbatning maxrajiga 15 raqamini yozamiz.

Berilgan nisbatning qiymatini topish uchun siz kichikroq raqamni kattaroq raqamga qanday bo'lishni eslab qolishingiz kerak. Bunday holda, 10 raqamini 15 raqamiga bo'lish kerak

10 ni 15 ga bo'lish davriy kasr hosil qiladi. Bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz

Olingan kasrni 3 ga kamaytiramiz

Yakuniy javobni oldik. Bu shuni anglatadiki, qizlar butun sinfning uchdan ikki qismini tashkil qiladi.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, 15 o'quvchidan iborat sinfda sinfning uchdan ikki qismini 10 qiz tashkil qiladi.

Tekshirish uchun 15 nafar maktab o‘quvchisini topsak, 10 nafar qiz olamiz

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

7-misol. 10 sm ning qaysi qismi 25 sm ga teng?

Biz o'n santimetrdan yigirma besh santimetrga nisbatini yozamiz. Nisbatning payiga 10 sm, maxrajiga 25 sm yozamiz

Berilgan nisbatning qiymatini topish uchun siz kichikroq raqamni kattaroq raqamga qanday bo'lishni eslab qolishingiz kerak. Bunday holda, 10 raqamini 25 raqamiga bo'lish kerak

Olingan o'nli kasrni oddiy kasrga aylantiramiz

Olingan kasrni 2 ga kamaytiramiz

Yakuniy javobni oldik. Demak, 10 sm 25 sm ga teng.

8-misol. 25 sm 10 sm dan necha marta katta?

Biz yigirma besh santimetrdan o'n santimetrga nisbatini yozamiz. Nisbatning payiga 25 sm, maxrajiga 10 sm yozamiz

Biz 2,5 javob oldik. Bu 25 sm 10 sm dan 2,5 baravar katta degan ma'noni anglatadi (ikki yarim marta)

Muhim eslatma. Xuddi shu nomdagi munosabatlarni topganda jismoniy miqdorlar bu miqdorlar bir o'lchov birligida ifodalanishi kerak, aks holda javob noto'g'ri bo'ladi.

Misol uchun, agar biz ikkita uzunlik bilan ishlayotgan bo'lsak va birinchi uzunlik ikkinchisidan necha marta kattaroq ekanligini yoki birinchi uzunlik ikkinchisining qaysi qismi ekanligini bilmoqchi bo'lsak, unda ikkala uzunlik birinchi navbatda bitta o'lchov birligida ifodalanishi kerak.

9-misol. 150 sm 1 metrdan necha marta katta?

Birinchidan, ikkala uzunlik ham bir xil o'lchov birligida ifodalanganligiga ishonch hosil qilaylik. Buning uchun 1 metrni santimetrga aylantiring. Bir metr - yuz santimetr

1 m = 100 sm

Endi biz bir yuz ellik santimetrning yuz santimetrga nisbatini topamiz. Nisbatning numeratorida biz 150 santimetr, maxrajda - 100 santimetr yozamiz.

Keling, bu nisbatning qiymatini topamiz

Biz 1,5 javob oldik. Bu 150 sm 100 sm dan 1,5 baravar ko'p (bir yarim marta) degan ma'noni anglatadi.

Va agar biz metrlarni santimetrga o'tkazishni boshlamaganimizda va darhol 150 sm ning bir metrga nisbatini topishga harakat qilganimizda, biz quyidagilarni olgan bo'lardik:

Ma'lum bo'lishicha, 150 sm bir metrdan bir yuz ellik marta ko'p, lekin bu noto'g'ri. Shu sababli, munosabatlarda ishtirok etadigan fizik miqdorlarning o'lchov birliklariga e'tibor berish majburiydir. Agar bu miqdorlar turli o'lchov birliklarida ifodalangan bo'lsa, unda bu miqdorlarning nisbatini topish uchun bitta o'lchov birligiga o'tish kerak.

10-misol. O'tgan oyda bir kishining ish haqi 25 000 rublni tashkil etgan bo'lsa, bu oy ish haqi 27 000 rublga oshdi. Ish haqi necha marta oshganini aniqlang

Biz yigirma etti mingdan yigirma besh mingga nisbatini yozamiz. Nisbatning sanoqchisiga 27000, maxrajiga 25000 yozamiz.

Keling, bu nisbatning qiymatini topamiz

Biz 1.08 javob oldik. Bu ish haqi 1,08 barobar oshganini bildiradi. Kelajakda biz foizlar bilan tanishganimizda, ish haqi kabi ko'rsatkichlarni foiz sifatida ifodalaymiz.

11-misol. Turar-joy binosining kengligi 80 metr, balandligi esa 16 metr. Uyning kengligi uning balandligidan necha marta katta?

Biz uyning kengligining balandligiga nisbatini yozamiz:

Ushbu nisbatning qiymati 5. Bu uyning kengligi uning balandligidan besh barobar ko'p ekanligini anglatadi.

Aloqa mulki

Agar uning a'zolari bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, nisbat o'zgarmaydi.

Bu munosabatlarning eng muhim xususiyatlaridan biri xususiy shaxsning xususiyatidan kelib chiqadi. Biz bilamizki, agar dividend va bo'luvchi bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda ko'rsatkich o'zgarmaydi. Aloqa bo'linishdan boshqa narsa emasligi sababli, quotient xususiyati ham buning uchun ishlaydi.

Keling, qizlarning o'g'il bolalarga bo'lgan munosabatiga qaytaylik (10:5). Bu nisbat har bir o'g'ilga ikkita qiz to'g'ri kelishini ko'rsatdi. Keling, munosabat xossasi qanday ishlashini tekshirib ko'ramiz, ya'ni uning a'zolarini bir xil songa ko'paytirishga yoki bo'lishga harakat qilaylik.

Bizning misolimizda munosabatlar shartlarini eng katta umumiy bo'luvchiga (GCD) bo'lish qulayroqdir.

10 va 5 atamalarning gcd soni 5. Shuning uchun munosabat hadlarini 5 soniga bo'lish mumkin.

Bizda yangi munosabat paydo bo'ldi. Bu ikkiga bir nisbat (2:1). Bu nisbat, avvalgi 10:5 nisbati kabi, bitta o'g'il uchun ikkita qiz borligini ko'rsatadi.

Rasmda 2: 1 (ikkidan birga) nisbat ko'rsatilgan. Oldingi 10: 5 nisbatda bo'lgani kabi, bitta o'g'il uchun ikkita qiz bor. Boshqacha aytganda, munosabat o'zgarmadi.

2-misol. Bir sinfda 10 nafar qiz va 5 nafar o‘g‘il bola bor. Boshqa sinfda 20 qiz va 10 o'g'il. Birinchi sinfda qizlar o'g'il bolalardan necha marta ko'p? Ikkinchi sinfda qizlar o'g'il bolalardan necha marta ko'p?

Ikkala sinfda ham qizlar o'g'il bolalarga qaraganda ikki baravar ko'p, chunki nisbatlar bir xil songa teng.

Relation xususiyati haqiqiy ob'ektga o'xshash parametrlarga ega bo'lgan turli xil modellarni yaratishga imkon beradi. Faraz qilaylik, ko'p qavatli uyning kengligi 30 metr va balandligi 10 metr.

Xuddi shunday uyni qog'ozga chizish uchun uni bir xil nisbatda 30:10 chizishingiz kerak.

Keling, bu nisbatning ikkala shartini 10 soniga ajratamiz. Keyin 3: 1 nisbatni olamiz. Bu nisbat 3 ga teng, xuddi oldingi nisbat 3 ga teng

Keling, metrlarni santimetrga aylantiramiz. 3 metr 300 santimetr, 1 metr esa 100 santimetr

3 m = 300 sm

1 m = 100 sm

Bizda 300 sm nisbat mavjud: 100 sm.Bu nisbatning shartlarini 100 ga bo'ling.Biz 3 sm nisbatni olamiz: 1 sm Endi siz 3 sm kengligida va 1 sm balandlikdagi uyni chizishingiz mumkin.

Albatta, chizilgan uy haqiqiy uydan ancha kichikroq, lekin kenglik va balandlik nisbati o'zgarishsiz qoladi. Bu bizga imkon qadar haqiqiy uyga o'xshash uyni chizishimizga imkon berdi.

Munosabatni boshqa yo'l bilan tushunish mumkin. Dastlab haqiqiy uyning kengligi 30 metr va balandligi 10 metr ekanligi aytilgan. Jami 30+10, ya'ni 40 metr.

Bu 40 metrni 40 qism deb tushunish mumkin. 30:10 nisbati 30 qism kenglikda va 10 qism balandlikda ekanligini anglatadi.

Keyinchalik, 30: 10 nisbati shartlari 10 ga bo'lindi. Natijada 3: 1 nisbat paydo bo'ldi. Bu nisbatni 4 qism deb tushunish mumkin, ulardan uchtasi kenglikda, biri balandlikda. Bunday holda, odatda, kenglik va balandlikda qancha metr borligini aniq bilib olishingiz kerak.

Boshqacha qilib aytganda, 3 qismda qancha metr va 1 qismda qancha metr borligini aniqlashingiz kerak. Avval siz bir qismda qancha metr borligini bilib olishingiz kerak. Buning uchun jami 40 metrni 4 ga bo'lish kerak, chunki 3: 1 nisbatda faqat to'rt qism mavjud.

Kengligi necha metr ekanligini aniqlaymiz:

10 m × 3 = 30 m

Keling, qancha metr balandlikda ekanligini aniqlaymiz:

10 m × 1 = 10 m

Bir nechta munosabatlar a'zolari

Agar munosabatda bir nechta a'zolar berilsa, ularni biror narsaning qismlari deb tushunish mumkin.

1-misol. 18 ta olma sotib olindi. Bu olmalar ona, ota va qiz o'rtasida 2: 1: 3 nisbatda bo'lingan. Har bir kishi nechta olma oldi?

2: 1: 3 nisbati, onam 2 qism, dadam - 1 qism, qizi - 3 qismni olganligini anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, 2: 1: 3 nisbatdagi har bir atama 18 ta olmaning ma'lum bir qismidir:

Agar siz 2: 1: 3 nisbat shartlarini qo'shsangiz, unda nechta qism borligini bilib olishingiz mumkin:

2 + 1 + 3 = 6 (qismlar)

Bir qismda nechta olma borligini aniqlang. Buning uchun 18 ta olmani 6 ga bo'ling

18: 6 = 3 (har bir qismga olma)

Keling, har bir kishi qancha olma olganligini aniqlaymiz. 2: 1: 3 nisbatining har bir shartiga uchta olma ko'paytirib, onaning nechta olma olganini, qancha dadam olganini va nechta qizi borligini aniqlashingiz mumkin.

Keling, onam nechta olma olganini bilib olaylik:

3 × 2 = 6 (olma)

Keling, dadam nechta olma olganini bilib olaylik:

3 × 1 = 3 (olma)

Keling, qizim nechta olma olganini bilib olaylik:

3 × 3 = 9 (olma)

2-misol. Yangi kumush (alpaka) - 3:4:13 nisbatda nikel, sink va misning qotishmasi. 4 kg yangi kumush olish uchun har bir metalldan necha kilogramm olish kerak?

4 kilogramm yangi kumushda 3 qism nikel, 4 qism rux va 13 qism mis bo'ladi. Birinchidan, to'rt kilogramm kumushda nechta qism borligini bilib olaylik:

3 + 4 + 13 = 20 (qismlar)

Keling, bir qismda qancha kilogramm bo'lishini aniqlaymiz:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Keling, 4 kg yangi kumushda necha kilogramm nikel bo'lishini aniqlaymiz. 3:4:13 nisbati qotishmaning uch qismida nikel borligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz 0,2 ni 3 ga ko'paytiramiz:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikel

Endi 4 kg yangi kumushda necha kilogramm rux borligini aniqlaymiz. 3: 4: 13 nisbati qotishmaning to'rtta qismida sink borligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz 0,2 ni 4 ga ko'paytiramiz:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg sink

Endi 4 kg yangi kumushda necha kilogramm mis borligini aniqlaymiz. 3:4:13 nisbati qotishmaning o'n uch qismida mis mavjudligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz 0,2 ni 13 ga ko'paytiramiz:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg mis

Demak, 4 kg yangi kumush olish uchun 0,6 kg nikel, 0,8 kg rux va 2,6 kg mis olish kerak.

3-misol. Guruch - mis va ruxning qotishmasi bo'lib, ularning massalari 3: 2 nisbatda. Bir parcha guruch qilish uchun 120 g mis kerak bo'ladi. Ushbu guruch bo'lagini tayyorlash uchun qancha sink kerak?

Keling, bir qismda qancha gramm qotishma borligini aniqlaymiz. Shartda aytilishicha, bir parcha guruch yasash uchun 120 g mis kerak. Qotishmaning uch qismida mis borligi ham aytiladi. Agar 120 ni 3 ga bo'lsak, har bir qismga necha gramm qotishma borligini bilib olamiz:

120:3 = har bir qism uchun 40 gramm

Keling, bir parcha guruch yasash uchun qancha sink kerakligini aniqlaylik. Buning uchun 40 grammni 2 ga ko'paytiring, chunki 3: 2 nisbatda ikki qismda sink borligi ko'rsatilgan:

40 g × 2 = 80 gramm sink

4-misol. Biz ikkita oltin va kumush qotishmasini oldik. Birida bu metallar miqdori 1:9, ikkinchisida esa 2:3 nisbatda. Oltin va kumush 1 nisbatda bo‘ladigan 15 kg yangi qotishma olish uchun har bir qotishmadan qancha miqdorda olish kerak. : 4?

Yechim

15 kg yangi qotishma 1: 4 nisbatdan iborat bo'lishi kerak. Bu nisbat qotishmaning bir qismi oltin, to'rt qismi kumush bo'lishini ko'rsatadi. Hammasi bo'lib besh qismdan iborat. Sxematik ravishda buni quyidagicha ifodalash mumkin

Keling, bir qismning massasini aniqlaymiz. Buning uchun avval barcha qismlarni (1 va 4) qo'shing, so'ngra qotishma massasini ushbu qismlarning soniga bo'ling.

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Qotishmaning bir qismi 3 kg massaga ega bo'ladi. Keyin 15 kg yangi qotishma tarkibida 3 × 1 = 3 kg oltin va 3 × 4 = 12 kg kumush bo'ladi.

Shuning uchun 15 kg og'irlikdagi qotishma olish uchun bizga 3 kg oltin va 12 kg kumush kerak bo'ladi.

Endi muammoning savoliga javob beraylik - " Har bir qotishmadan qancha miqdorda olishingiz kerak? »

Biz birinchi qotishmadan 10 kg olamiz, chunki undagi oltin va kumush 1: 9 nisbatda. Ya'ni, bu birinchi qotishma bizga 1 kg oltin va 9 kg kumush beradi.

Biz 5 kg ikkinchi qotishma olamiz, chunki unda oltin va kumush 2: 3 nisbatda bo'ladi. Ya'ni, bu ikkinchi qotishma bizga 2 kg oltin va 3 kg kumush beradi.

Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi VKontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang