Portalda reklama

Kalkulyator tugunlari uchta raqam. Uch yoki undan ortiq raqamlarning tugunlarini topish. GCD va NOC ni topish uchun kalkulyator

Berilgan bo'luvchiga qoldiqsiz bo'linadigan dividend ham deyiladi bir nechta. Masalan, 48 soni 8 ning karrali, 48 soni karrali, 8 soni esa bo‘luvchidir.

Raqam bir emas, balki bir vaqtning o'zida bir nechta sonning karrali bo'lishi mumkin, bunday raqam deyiladi umumiy koʻplik. Masalan, 77 soni raqamlarning umumiy karrali: 1, 7, 11, 77.

Yana bir misol. 3 soni 12, 15, 24, 27, 30 va hokazolarning karrali. 5 soni 10, 15, 25, 30, 35 va hokazolarga karrali. 3 va 5 raqamlari 15 va 30 ning umumiy karralariga ega. .

Bir nechta raqamlarning umumiy ko'paytmasini topish juda oddiy, siz bu raqamlarni shunchaki ko'paytirishingiz mumkin, natijada bu raqamlarning mahsuloti ularning umumiy ko'paytmasi bo'ladi.

MOQ

Berilgan sonlar uchun umumiy ko‘paytmalardan eng kichik umumiy ko‘paytma alohida qiziqish uyg‘otadi.

Eng kichik umumiy ko'plik(qisqartirilgan LCM) bir nechta berilgan raqamlarning har biriga teng bo'linadigan eng kichik sondir.

Misol uchun, uchta son uchun: 3, 5 va 12, eng kichik umumiy ko'paytma 60 raqamidir, chunki 60 dan kichik boshqa hech qanday son 3, 5 va 12 ga to'liq bo'linmaydi.

Odatda eng kichik umumiy ko'paytma quyidagicha yoziladi: LCM ( a, b, ...) = x.

Bunga ko'ra 3, 5 va 12 sonlarining eng kichik umumiy karralini yozamiz:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC kalkulyatori

Ushbu kalkulyator sizga eng kichik umumiy sonlarni topishga yordam beradi. Raqamlarni bo'sh joy yoki vergul bilan ajrating va "LCMni hisoblash" tugmasini bosing.

Keling, muammoni hal qilaylik. Bizda ikki turdagi cookie-fayllar mavjud. Ba'zilari shokoladli, ba'zilari esa oddiy. 48 ta shokolad bo'lagi bor va oddiy 36. Bu kukilardan maksimal darajada sovg'a qilish kerak va ularning barchasi ishlatilishi kerak.

Birinchidan, keling, ushbu ikki raqamning har birining barcha bo'luvchilarini yozamiz, chunki bu raqamlarning ikkalasi ham sovg'alar soniga bo'linishi kerak.

olamiz

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Keling, bo'luvchilar orasida birinchi va ikkinchi songa ega bo'lgan umumiy sonlarni topamiz.

Umumiy bo'luvchilar: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Hammaning eng katta umumiy boʻluvchisi 12. Bu son 36 va 48 ning eng katta umumiy boʻluvchisi deyiladi.

Natijaga asoslanib, biz barcha kukilardan 12 ta sovg'a qilish mumkin degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bunday sovg'alardan biri 4 ta shokoladli pechene va 3 ta oddiy pechene bo'ladi.

Eng katta umumiy bo'luvchini topish

  • Ikkita a va b sonlar qoldiqsiz boʻlinadigan eng katta natural son shu sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi deyiladi.

Ba'zan GCD qisqartmasi yozuvni qisqartirish uchun ishlatiladi.

Ba'zi juft raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bittaga ega. Bunday raqamlar chaqiriladi umumiy sonlar. Masalan, 24 va 35 raqamlari. GCD =1 bo'lsin.

Eng katta umumiy bo'luvchini qanday topish mumkin

Eng katta umumiy bo'luvchini topish uchun bu sonlarning barcha bo'luvchilarini yozish shart emas.

Siz boshqacha qilishingiz mumkin. Birinchidan, ikkala raqamni tub omillarga aylantiring.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Endi birinchi raqamni kengaytirishga kiritilgan omillardan biz ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmaydigan barcha narsalarni o'chirib tashlaymiz. Bizning holatlarimizda bu ikkita ikkilikdir.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

2, 2 va 3 koeffitsientlari qoladi.Ularning ko'paytmasi 12. Bu raqam 48 va 36 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi.

Bu qoida uch, to'rt va hokazo holatlarga kengaytirilishi mumkin. raqamlar.

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning umumiy sxemasi

  • 1. Sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajrating.
  • 2. Bu raqamlardan birining kengayishiga kiruvchi omillardan boshqa raqamlarning kengayishiga kirmaydiganlarini kesib tashlang.
  • 3. Qolgan omillarning mahsulotini hisoblang.

Onlayn kalkulyator sizga ikkita yoki boshqa raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini va eng kichik umumiy karralini tezda topish imkonini beradi.

GCD va NOC ni topish uchun kalkulyator

GCD va NOC toping

GCD va NOC topildi: 12197

Kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

  • Kirish maydoniga raqamlarni kiriting
  • Noto'g'ri belgilar kiritilsa, kiritish maydoni qizil rang bilan ta'kidlanadi
  • "GCD va NOCni toping" tugmasini bosing.

Raqamlarni qanday kiritish kerak

  • Raqamlar bo'sh joy, nuqta yoki vergul bilan ajratilgan holda kiritiladi
  • Kiritilgan raqamlarning uzunligi cheklanmagan, shuning uchun uzun raqamlarning gcd va lcm larini topish qiyin bo'lmaydi

NOD va NOK nima?

Eng katta umumiy boʻluvchi bir nechta sonlar - barcha asl sonlar qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son. Eng katta umumiy bo'luvchi qisqartma sifatida ifodalanadi GCD.
Eng kichik umumiy ko'plik bir nechta sonlar - asl sonlarning har biriga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik son. Eng kichik umumiy ko'paytma sifatida qisqartiriladi MOQ.

Raqam boshqa raqamga qoldiqsiz bo'linishini qanday tekshirish mumkin?

Bir son ikkinchisiga qoldiqsiz boʻlinish yoki boʻlinmasligini bilish uchun sonlarning boʻlinuvchanligining baʼzi xossalaridan foydalanish mumkin. Keyin, ularni birlashtirib, ularning ba'zilari va ularning kombinatsiyalariga bo'linish qobiliyatini tekshirish mumkin.

Raqamlarning bo'linuvchanligining ba'zi belgilari

1. Sonning 2 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Raqam ikkiga bo‘linishini (juft bo‘ladimi) aniqlash uchun ushbu sonning oxirgi raqamiga qarash kifoya: agar u 0, 2, 4, 6 yoki 8 ga teng bo‘lsa, u holda son juft, bu 2 ga bo'linishini bildiradi.
Misol: 34938 soni 2 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: oxirgi raqamga qarang: 8 bu raqam ikkiga bo'linishini bildiradi.

2. Sonning 3 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linsa, raqam 3 ga bo'linadi. Shunday qilib, raqam 3 ga bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlash uchun siz raqamlar yig'indisini hisoblashingiz va uning 3 ga bo'linishini tekshirishingiz kerak. Raqamlar yig'indisi juda katta bo'lib chiqsa ham, xuddi shu jarayonni takrorlashingiz mumkin. yana.
Misol: 34938 soni 3 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: raqamlar yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 ga bo'linadi, ya'ni son uchga bo'linadi.

3. Sonning 5 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Agar oxirgi raqami nol yoki besh bo'lsa, raqam 5 ga bo'linadi.
Misol: 34938 soni 5 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: oxirgi raqamga qarang: 8 bu raqam beshga bo'linmasligini bildiradi.

4. Sonning 9 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Bu belgi uchga bo'linish belgisiga juda o'xshaydi: raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linadigan son 9 ga bo'linadi.
Misol: 34938 soni 9 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: raqamlar yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 9 ga bo'linadi, ya'ni son to'qqizga bo'linadi.

Ikki raqamning GCD va LCM larini qanday topish mumkin

Ikki raqamning GCD ni qanday topish mumkin

Ikki sonning eng katta umumiy bo'luvchisini hisoblashning eng oddiy usuli bu sonlarning barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topish va ulardan eng kattasini tanlashdir.

GCD (28, 36) ni topish misolidan foydalanib, ushbu usulni ko'rib chiqing:

  1. Ikkala raqamni ham faktorlarga ajratamiz: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Biz umumiy omillarni topamiz, ya'ni ikkala raqamda ham bor: 1, 2 va 2.
  3. Biz ushbu omillarning mahsulotini hisoblaymiz: 1 2 2 \u003d 4 - bu 28 va 36 raqamlarining eng katta umumiy bo'linuvchisi.

Ikki raqamning LCM ni qanday topish mumkin

Ikki sonning eng kichik karralini topishning ikkita eng keng tarqalgan usuli mavjud. Birinchi usul shundaki, siz ikkita raqamning birinchi karralarini yozishingiz va keyin ular orasida ikkala raqam uchun umumiy bo'lgan va bir vaqtning o'zida eng kichik bo'lgan raqamni tanlashingiz mumkin. Ikkinchisi esa bu raqamlarning GCD ni topishdir. Keling, buni ko'rib chiqaylik.

LCMni hisoblash uchun siz asl raqamlarning mahsulotini hisoblashingiz va keyin uni ilgari topilgan GCD ga bo'lishingiz kerak. Xuddi shu 28 va 36 raqamlari uchun LCM ni topamiz:

  1. 28 va 36 sonlarining ko‘paytmasini toping: 28 36 = 1008
  2. gcd(28, 36) allaqachon 4 ekanligi ma'lum
  3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Bir nechta raqamlar uchun GCD va LCM topish

Eng katta umumiy bo'luvchini faqat ikkita emas, balki bir nechta raqamlar uchun topish mumkin. Buning uchun eng katta umumiy boʻluvchi uchun topiladigan sonlar tub koʻpaytuvchilarga ajratiladi, soʻngra bu sonlarning umumiy tub koʻpaytmalari koʻpaytmasi topiladi. Bundan tashqari, bir nechta raqamlarning GCD ni topish uchun siz quyidagi munosabatdan foydalanishingiz mumkin: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Xuddi shunday munosabat raqamlarning eng kichik umumiy karrali uchun ham amal qiladi: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Misol: 12, 32 va 36 raqamlari uchun GCD va LCM ni toping.

  1. Birinchidan, raqamlarni koeffitsientlarga ajratamiz: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Umumiy omillarni topamiz: 1, 2 va 2 .
  3. Ularning mahsuloti gcd ni beradi: 1 2 2 = 4
  4. Endi LCM ni topamiz: buning uchun birinchi navbatda LCM(12, 32) ni topamiz: 12 32 / 4 = 96 .
  5. Barcha uchta raqamning LCM ni topish uchun siz GCD(96, 36) ni topishingiz kerak: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
  6. LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Eng katta umumiy bo‘luvchi va eng kichik umumiy karrali oddiy kasrlar bilan oson ishlash imkonini beruvchi asosiy arifmetik tushunchalardir. LCM va ko'pincha bir nechta kasrlarning umumiy maxrajini topish uchun ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

X butun sonining bo'luvchisi X ni qoldiqsiz bo'linadigan boshqa butun Y sondir. Masalan, 4 ning bo‘luvchisi 2 ga, 36 soni esa 4, 6, 9 ga teng. X butun sonining ko‘paytmasi X ga qoldiqsiz bo‘linadigan Y sondir. Masalan, 3 soni 15 ga, 6 soni esa 12 ga karrali.

Har qanday son juftligi uchun ularning umumiy boʻluvchi va koʻpaytmalarini topishimiz mumkin. Misol uchun, 6 va 9 uchun umumiy karrali 18 ga, umumiy bo'luvchi esa 3 ga teng. Shubhasiz, juftliklar bir nechta bo'luvchi va ko'paytmalarga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun hisob-kitoblarda GCD ning eng katta bo'luvchisi va LCMning eng kichik karrali ishlatiladi. .

Eng kichik bo'luvchining ma'nosi yo'q, chunki har qanday raqam uchun u har doim bitta bo'ladi. Eng katta ko'paytma ham ma'nosiz, chunki ko'paytmalar ketma-ketligi cheksizlikka intiladi.

GCD topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ko'plab usullari mavjud, ulardan eng mashhurlari:

  • bo'luvchilarni ketma-ket sanash, juftlik uchun umumiylarini tanlash va ulardan eng kattasini izlash;
  • sonlarni bo'linmas ko'rsatkichlarga ajratish;
  • Evklid algoritmi;
  • ikkilik algoritm.

Bugungi kunda ta'lim muassasalarida asosiy omillarga parchalanishning eng mashhur usullari va Evklid algoritmi. Ikkinchisi, o'z navbatida, Diofantin tenglamalarini echishda qo'llaniladi: GCD ni qidirish tenglamani butun sonlarda echish imkoniyatini tekshirish uchun talab qilinadi.

MOKni topish

Eng kichik umumiy ko'paytma ham takroriy sanash yoki bo'linmas omillarga bo'linish orqali aniq aniqlanadi. Bundan tashqari, agar eng katta bo'luvchi allaqachon aniqlangan bo'lsa, LCMni topish oson. X va Y raqamlari uchun LCM va GCD quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

LCM (X, Y) = X × Y / GCM (X, Y).

Misol uchun, agar gcd(15,18) = 3 bo'lsa, u holda LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCMning eng aniq qo'llanilishi umumiy maxrajni topishdir, bu umumiy maxrajning eng kichik umumiy karralisidir. berilgan kasrlar.

Koʻpaytirish raqamlari

Agar juft sonning umumiy boʻluvchilari boʻlmasa, unda bunday juftlik koʻp sonli son deyiladi. Bunday juftliklar uchun GCM har doim birga teng bo'ladi va bo'luvchilar va ko'paytiruvchilarning ulanishiga asoslanib, ko'paytma uchun GCM ularning mahsulotiga teng bo'ladi. Misol uchun, 25 va 28 raqamlari ko'paytiriladi, chunki ularning umumiy bo'luvchilari yo'q va LCM(25, 28) = 700, bu ularning mahsulotiga mos keladi. Har qanday ikkita bo'linmas son har doim ko'p sonli bo'ladi.

Umumiy bo'luvchi va ko'p kalkulyator

Kalkulyatorimiz yordamida siz tanlagan raqamlarning istalgan soni uchun GCD va LCM ni hisoblashingiz mumkin. Umumiy bo'luvchilar va ko'paytiruvchilarni hisoblash uchun vazifalar 5, 6-sinflar arifmetikasida mavjud, ammo GCD va LCM - asosiy tushunchalar matematika va sonlar nazariyasi, planimetriya va kommunikativ algebrada qo'llaniladi.

Haqiqiy hayot misollari

Kasrlarning umumiy maxraji

Eng kichik umumiy karrali bir necha kasrning umumiy maxrajini topishda ishlatiladi. Aytaylik, arifmetik masalada 5 ta kasrni yig'ish kerak bo'ladi:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kasrlarni qo'shish uchun ifodani umumiy maxrajga qisqartirish kerak, bu esa LCMni topish muammosiga olib keladi. Buning uchun kalkulyatorda 5 ta raqamni tanlang va tegishli katakchalarga denominator qiymatlarini kiriting. Dastur LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ni hisoblab chiqadi. Endi siz LCM ning maxrajga nisbati sifatida belgilangan har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni hisoblashingiz kerak. Shunday qilib, qo'shimcha ko'paytirgichlar quyidagicha ko'rinadi:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Shundan so'ng, biz barcha kasrlarni tegishli qo'shimcha omilga ko'paytiramiz va olamiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Biz bunday kasrlarni osongina qo'shamiz va natijani 159/360 ko'rinishida olamiz. Biz kasrni 3 ga kamaytiramiz va yakuniy javobni ko'ramiz - 53/120.

Chiziqli diofant tenglamalarini yechish

Chiziqli diofant tenglamalari ax + by = d ko'rinishdagi ifodalardir. Agar d / gcd(a, b) nisbati butun son bo'lsa, u holda tenglama butun sonlarda echiladi. Butun sonli yechish imkoniyati uchun bir nechta tenglamalarni tekshiramiz. Birinchidan, 150x + 8y = 37 tenglamasini tekshiring. Kalkulyatordan foydalanib, biz gcd (150,8) = 2 ni topamiz. 37/2 = 18,5 ni ajratamiz. Raqam butun son emas, shuning uchun tenglamada butun son ildizlari yo'q.

1320x + 1760y = 10120 tenglamasini tekshirib ko'ramiz. Kalkulyatordan foydalanib gcd(1320, 1760) = 440 ni toping. 10120/440 = 23 ni bo'ling. Natijada, biz butun sonni olamiz, shuning uchun diophantine koeffitsienti ineffitsientdir. .

Xulosa

GCD va LCM raqamlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi va tushunchalarning o'zi matematikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Har qanday sonning eng katta bo'luvchilari va eng kichik karralarini hisoblash uchun kalkulyatorimizdan foydalaning.

umumiy bo'luvchi bir nechta sonlar - berilgan sonlarning har biri bo'linadigan son. Masalan, ikkita son berilgan: 6 va 9. 6 sonining bo‘luvchilari 1, 2, 3, 6. 9 sonining 1, 3, 9 bo‘luvchilari bor. 6 va 9 sonlarining 1 va 3 umumiy bo‘luvchilari borligini ko‘ramiz.

Eng katta umumiy boʻluvchi(GCD deb qisqartirilgan) bir nechta sonlar, ular bu raqamlarning har biri qoldiqsiz bo'linadigan umumiy bo'luvchilarning eng kattasini chaqiradi.

Shunday qilib, 6 va 9 ning barcha umumiy bo'luvchilari ichida eng katta umumiy bo'luvchi 3 ga teng.

Odatda eng katta umumiy bo'luvchi quyidagicha yoziladi: gcd ( a, b, ...) = x.

Bunga ko'ra 6 va 9 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini yozamiz:

gcd(6, 9) = 3.

Gcd birga teng bo'lgan raqamlar chaqiriladi umumiy sonlar. Masalan, 14 va 15 raqamlari nisbatan tubdir: gcd(14, 15) = 1.

GCD kalkulyatori

Ushbu kalkulyator sizga raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topishga yordam beradi. Raqamlarni bo'sh joy yoki vergul bilan ajrating va "GCD hisoblash" tugmasini bosing.