Yaratilish

Teng tomonli uchburchak - bu parallelogramm. Paralelogramma teoremalari. Diagonallar yarmiga bo'lingan

Evklid geometriyasida nuqta va to'g'ri chiziq tekisliklar nazariyasining asosiy elementlari bo'lgani kabi, parallelogramm ham asosiy raqamlar qavariq to'rtburchaklar. Undan, xuddi to'pning iplari kabi, "to'rtburchaklar", "kvadrat", "romb" va boshqa geometrik miqdorlar tushunchalari oqadi.

Bilan aloqada

Paralelogramma ta'rifi

qavariq to'rtburchak, har bir jufti parallel bo'lgan segmentlardan iborat bo'lib, geometriyada parallelogramma sifatida tanilgan.

Klassik parallelogramma qanday ko'rinishda bo'lishi to'rtburchak ABCD bilan tasvirlangan. Tomonlar asoslar (AB, BC, CD va AD), har qanday cho‘qqidan shu cho‘qqiga qarama-qarshi tomonga o‘tkazilgan perpendikulyar balandlik (BE va BF), AC va BD chiziqlari diagonallar deyiladi.

Diqqat! Kvadrat, romb va to'rtburchaklar parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Tomonlar va burchaklar: munosabatlarning xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar, umuman olganda, belgilashning o'zi tomonidan oldindan belgilanadi, ular teorema bilan isbotlangan. Bu xususiyatlar quyidagilardan iborat:

Qarama-qarshi tomonlar juftlikda bir xil.
Bir-biriga qarama-qarshi burchaklar juftlikda tengdir.

Isbot: ABCD to‘rtburchakni AC to‘g‘ri chiziqqa bo‘lish natijasida olingan ∆ABC va ∆ADC ni ko‘rib chiqaylik. ∠BCA=∠CAD va ∠BAC=∠ACD, chunki AC ular uchun umumiydir (mos ravishda BC||AD va AB||CD uchun vertikal burchaklar). Bundan kelib chiqadi: ∆ABC = ∆ADC (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi).

∆ABC dagi AB va BC segmentlari ∆ADC da CD va AD chiziqlariga juft holda mos keladi, bu ularning bir xil ekanligini bildiradi: AB = CD, BC = AD. Shunday qilib, ∠B ∠D ga mos keladi va ular tengdir. Chunki ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ular ham juftlik bilan bir xil, u holda ∠A = ∠C. Mulk isbotlangan.

Shakl diagonallarining xarakteristikalari

Asosiy xususiyat parallelogrammaning ushbu chiziqlari: kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi.

Isbot: ABCD rasmining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Ular ikkita mutanosib uchburchak hosil qiladi - ∆ABE va ∆CDE.

AB=CD, chunki ular qarama-qarshidir. Chiziqlar va sekantlarga ko'ra, ∠ABE = ∠CDE va ∠BAE = ∠DCE.

Tenglikning ikkinchi mezoni bo'yicha ∆ABE = ∆CDE. Demak, ∆ABE va ∆CDE elementlari: AE = CE, BE = DE va shu bilan birga ular AC va BD ning proporsional qismlaridir. Mulk isbotlangan.

Qo'shni burchaklarning xususiyatlari

Qo'shni tomonlarning burchaklari yig'indisi 180 ° ga teng, Ular parallel chiziqlar va ko'ndalang bir xil tomonda yotadi beri. ABCD to'rtburchak uchun:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bissektrisaning xossalari:

, bir tomonga tushirilgan, perpendikulyar;
qarama-qarshi cho'qqilarning parallel bissektrisalari bor;
bissektrisa chizish orqali olingan uchburchak teng yon tomonli bo'ladi.

Teorema yordamida parallelogrammning xarakterli belgilarini aniqlash

Ushbu raqamning xarakteristikalari uning asosiy teoremasidan kelib chiqadi, unda quyidagilar ko'rsatilgan: to'rtburchak parallelogramm deb hisoblanadi uning diagonallari kesishgan taqdirda va bu nuqta ularni teng segmentlarga ajratadi.

Isbot: ABCD to'rtburchakning AC va BD chiziqlari ya'ni kesishsin. ∠AED = ∠BEC va AE+CE=AC BE+DE=BD boʻlgani uchun ∆AED = ∆BEC (uchburchaklar tengligining birinchi mezoni boʻyicha). Ya'ni, ∠EAD = ∠ECB. Ular, shuningdek, AD va BC chiziqlari uchun AC sekantning ichki ko'ndalang burchaklaridir. Shunday qilib, parallelizm ta'rifi bo'yicha - AD || Miloddan avvalgi BC va CD chiziqlarining ham xuddi shunday xossasi olingan. Teorema isbotlangan.

Shaklning maydonini hisoblash

Ushbu raqamning maydoni bir necha usullar bilan topiladi eng oddiylaridan biri: balandlikni va u chizilgan poydevorni ko'paytirish.

Isbot: B va C cho'qqilardan BE va CF perpendikulyarlarini o'tkazing. ∆ABE va ∆DCF teng, chunki AB = CD va BE = CF. ABCD o'lchami bo'yicha EBCF to'rtburchakka teng, chunki ular mutanosib raqamlardan iborat: S ABE va S EBCD, shuningdek S DCF va S EBCD. Bundan kelib chiqadiki, bu hudud geometrik shakl to'rtburchak bilan bir xil tarzda joylashgan:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelogramm maydonining umumiy formulasini aniqlash uchun balandlikni quyidagicha belgilaymiz hb, va yon tomoni - b. Mos ravishda:

Hududni topishning boshqa usullari

Hududni hisoblash parallelogrammning yon tomonlari va burchak orqali, ular hosil qiladi, ikkinchi ma'lum usuldir.

Spr-ma - maydon;

a va b uning tomonlari

a - a va b segmentlari orasidagi burchak.

Bu usul amalda birinchisiga asoslangan, ammo noma'lum bo'lsa. har doim parametrlari trigonometrik identifikatsiyalar bilan topilgan to'g'ri burchakli uchburchakni kesib tashlaydi, ya'ni. Munosabatni o'zgartirib, biz . Birinchi usulning tenglamasida biz balandlikni ushbu mahsulot bilan almashtiramiz va ushbu formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz.

Paralelogramma va burchakning diagonallari orqali, ular kesishganda yaratadigan, siz maydonni ham topishingiz mumkin.

Isbot: AC va BD to'rtta uchburchak hosil qilish uchun kesishadi: ABE, BEC, CDE va AED. Ularning yig'indisi ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

Bularning har birining maydonini ∆ ifoda bilan topish mumkin, bunda a=BE, b=AE, ∠g =∠AEB. dan beri, hisob-kitoblar bitta sinus qiymatidan foydalanadi. Ya'ni . AE+CE=AC= d 1 va BE+DE=BD= d 2 bo‘lgani uchun maydon formulasi quyidagicha kamayadi:

Vektor algebrasida qo'llanilishi

Ushbu to'rtburchakning tarkibiy qismlarining xususiyatlari vektor algebrasida, ya'ni ikkita vektorni qo'shishda qo'llanilishini topdi. Paralelogramma qoidasi shuni bildiradi vektorlar berilgan bo'lsaVaYo'qkollinear bo'lsa, unda ularning yig'indisi bu raqamning diagonaliga teng bo'ladi, ularning asoslari ushbu vektorlarga mos keladi.

Isbot: o'zboshimchalik bilan tanlangan boshidan - ya'ni. - vektorlarni qurish va . Keyinchalik, OA va OB segmentlari tomonlar bo'lgan OASV parallelogrammasini quramiz. Shunday qilib, OS vektor yoki yig'indida yotadi.

Paralelogramma parametrlarini hisoblash formulalari

Shaxslar quyidagi shartlarda beriladi:

a va b, a - tomonlar va ular orasidagi burchak;
d 1 va d 2, g - diagonallar va ularning kesishish nuqtasida;
h a va h b - a va b tomonlarga tushirilgan balandliklar;

Parametr	Formula
Yon tomonlarini topish
diagonallar bo'ylab va ular orasidagi burchakning kosinusu
diagonallar va tomonlar bo'ylab
balandlik va qarama-qarshi cho'qqi orqali
Diagonallarning uzunligini topish
yon tomonlarida va ular orasidagi cho'qqining kattaligi
yon tomonlar va diagonallardan biri bo'ylab	Xulosa Paralelogramma geometriyaning asosiy ko'rsatkichlaridan biri sifatida hayotda, masalan, qurilishda uchastkaning maydonini yoki boshqa o'lchovlarni hisoblashda qo'llaniladi. Shuning uchun, uning turli parametrlarini hisoblashning o'ziga xos xususiyatlari va usullari haqidagi bilimlar hayotning istalgan vaqtida foydali bo'lishi mumkin.

Dars mavzusi

Paralelogramma diagonallarining xossalari.

Dars maqsadlari

Yangi ta'riflar bilan tanishing va allaqachon o'rganilganlarni eslang.
Paralelogramma diagonallarining xossasini ayting va isbotlang.
Masalalar yechishda shakllarning xossalarini qo‘llashni o‘rganing.
Rivojlantiruvchi - o'quvchilarning diqqatini, qat'iyatliligini, qat'iyatliligini rivojlantirish, mantiqiy fikrlash, matematik nutq.
Tarbiyaviy - dars orqali bir-biriga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish, o'rtoqlarni tinglash, o'zaro yordam va mustaqillik qobiliyatini tarbiyalash.

Dars maqsadlari

Talabalarning muammoni yechish qobiliyatlarini tekshirish.

Dars rejasi

Kirish.
Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.
Paralelogramma, uning xossalari va xususiyatlari.
Vazifalarga misollar.
O'z-o'zini tekshirish.

Kirish

"Katta ilmiy kashfiyot asosiy muammoga yechim beradi, lekin har qanday muammoni hal qilishda kashfiyot donasi bor”.

Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari xossasi

Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng bo'ladi.

Isbot.

ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. Va uning diagonallari O nuqtada kesishsin.
Uchburchaklar tengligining birinchi mezoni bo'yicha D AOB = D COD bo'lgani uchun (∠ AOB = ∠ COD, vertikallar sifatida, AO=OC, DO=OB, parallelogramma diagonallari xususiyati bo'yicha), keyin AB=CD. Xuddi shunday, BOC va DOA uchburchaklarining tengligidan BC = DA kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.

Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklarining xossasi

Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar teng.

Isbot.

ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. Va uning diagonallari O nuqtada kesishsin.
Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari xossalari haqidagi teoremada isbotlangan narsadan D ABC = D CDA uch tomonida (AB=CD, BC=DA isbotlanganidan, AC - umumiy). Uchburchaklar tengligidan kelib chiqadiki, ∠ ABC = ∠ CDA.
∠ ABD = ∠ CDB dan kelib chiqadigan ∠ DAB = ∠ BCD ekanligi ham isbotlangan. Teorema isbotlangan.

Paralelogramma diagonallarining xossasi

Paralelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida ikkiga bo'linadi.

Isbot.

ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. AC diagonali chizamiz. Unda o'rta O ni belgilaymiz DO segmentining davomida DO ga teng OB 1 segmentini chetga qo'yamiz.
Oldingi teoremaga ko'ra, AB 1 CD parallelogrammdir. Shuning uchun AB 1 chizig'i DC ga parallel. Lekin A nuqta orqali DC ga parallel faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin. Demak, to'g'ri AB 1 to'g'ri AB bilan mos keladi.
Miloddan avvalgi 1 miloddan avvalgi davrga to'g'ri kelishi ham isbotlangan. Bu shuni anglatadiki, C nuqta C 1 bilan mos keladi. ABCD parallelogrammasi AB 1 CD parallelogrammasi bilan mos keladi. Binobarin, parallelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida ikkiga bo'linadi. Teorema isbotlangan.

Oddiy maktablar uchun darsliklarda (masalan, Pogorelovoda) bu shunday isbotlangan: diagonallar parallelogrammani 4 ta uchburchakka bo'ladi. Keling, bir juftlikni ko'rib chiqamiz va aniqlaymiz - ular teng: ularning asoslari qarama-qarshi tomonlar, unga qo'shni tegishli burchaklar parallel chiziqlar bilan vertikal burchaklar kabi tengdir. Ya'ni diagonallarning segmentlari juftlikda tengdir. Hammasi.

Hammasi shumi?
Yuqorida isbotlanganki, kesishish nuqtasi diagonallarni ikkiga bo'ladi - agar mavjud bo'lsa. Yuqoridagi mulohazalar uning mavjudligini hech qanday tarzda isbotlamaydi. Ya'ni, "paralelogrammaning diagonallari kesishadi" teoremasining bir qismi isbotlanmagan.

Qizig'i shundaki, bu qismni isbotlash ancha qiyin. Aytgancha, bu umumiyroq natijadan kelib chiqadi: har qanday qavariq to'rtburchakning diagonallari kesishadi, lekin har qanday qavariq bo'lmagan to'rtburchaklar kesishmaydi.

Yon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab uchburchaklarning tengligi (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi) va boshqalar.

Thales bir tomon bo'ylab ikkita uchburchak va ikkita qo'shni burchakning tengligi haqidagi muhim teoremani topdi amaliy foydalanish. Dengizdagi kemagacha bo'lgan masofani aniqlash uchun Milet portida masofa o'lchagich qurilgan. U uchta qo'zg'aluvchan A, B va C (AB = BC) va CA ga perpendikulyar belgilangan SC to'g'ri chiziqdan iborat edi. SK to'g'ri chiziqda kema paydo bo'lganida, biz D nuqtani topdikki, D, .B va E nuqtalari bir xil to'g'ri chiziqda bo'lgan. Chizmadan ko'rinib turibdiki, erdagi masofa CD - kemaga kerakli masofa.

Savollar

Kvadratning diagonallari kesishish nuqtasi bo'yicha yarmiga bo'linganmi?
Paralelogrammaning diagonallari tengmi?
Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari tengmi?
Parallelogramma ta'rifini ayting?
Parallelogrammaning nechta belgisi bor?
Romb parallelogramm bo'lishi mumkinmi?

Foydalanilgan manbalar ro'yxati

Kuznetsov A.V., matematika o'qituvchisi (5-9 sinflar), Kiev
"Bo'ydoq Davlat imtihoni 2006. Matematika. Talabalarni tayyorlash uchun o'quv va o'quv materiallari / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. "M. I. Skanavi tahriri ostidagi to'plamning matematikadan asosiy tanlov muammolarini hal qilish"
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometriya, 7 – 9: ta’lim muassasalari uchun darslik”

Biz dars ustida ishladik

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

haqida savol bering zamonaviy ta'lim, fikr bildirish yoki dolzarb muammoni hal qilish mumkin Ta'lim forumi, bu erda yangi fikr va harakatlarning ta'lim kengashi xalqaro miqyosda yig'iladi. Yaratgan blog, Siz nafaqat malakali o‘qituvchi sifatidagi mavqeingizni oshirasiz, balki kelajak maktabi rivojiga ham salmoqli hissa qo‘shasiz. Ta'lim rahbarlari gildiyasi yuqori darajali mutaxassislarga eshiklarni ochadi va ularni dunyodagi eng yaxshi maktablarni yaratishda hamkorlik qilishga taklif qiladi.

Mavzular > Matematika > Matematika 8-sinf

Isbot

Avvalo, AC diagonali chizamiz. Biz ikkita uchburchakni olamiz: ABC va ADC.

ABCD parallelogramm bo'lgani uchun quyidagi to'g'ri bo'ladi:

AD || BC \O'ng strelka \burchak 1 = \burchak 2 ko'ndalang yotish kabi.

AB || CD \ O'ng strelka \ burchak3 = \ burchak 4 ko'ndalang yotish kabi.

Shuning uchun \triangle ABC = \triangle ADC (ikkinchi mezon bo'yicha: va AC umumiy).

Va shuning uchun \triangle ABC = \triangle ADC, keyin AB = CD va AD = BC.

Tasdiqlangan!

2. Qarama-qarshi burchaklar bir xil.

Isbot

Dalilga ko'ra xususiyatlari 1 Biz buni bilamiz \burchak 1 = \burchak 2, \burchak 3 = \burchak 4. Shunday qilib, qarama-qarshi burchaklar yig'indisi: \ burchak 1 + \ burchak 3 = \ burchak 2 + \ burchak 4. \triangle ABC = \triangle ADC ekanligini hisobga olsak, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ni olamiz.

Tasdiqlangan!

3. Diagonallar kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

Isbot

Keling, yana bir diagonal chizamiz.

tomonidan mulk 1 qarama-qarshi tomonlar bir xil ekanligini bilamiz: AB = CD. Yana bir bor, ko'ndalang yotgan teng burchaklarga e'tibor bering.

Shunday qilib, uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga (ikki burchak va ular orasidagi tomon) ko'ra \triangle AOB = \triangle COD ekanligi aniq. Ya'ni, BO = OD (burchaklarga qarama-qarshi \burchak 2 va \burchak 1) va AO = OC (mos ravishda 3 burchak va 4 burchakka qarama-qarshi).

Tasdiqlangan!

Parallelogramma belgilari

Agar muammoingizda faqat bitta xususiyat mavjud bo'lsa, unda bu raqam parallelogramma bo'lib, siz ushbu raqamning barcha xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin.

Yaxshiroq yodlash uchun parallelogramma belgisi quyidagi savolga javob berishiga e'tibor bering - "Qanday bilish mumkin?". Ya'ni, nimani bilasiz raqamni o'rnating bu parallelogramm.

1. Ikki tomoni teng va parallel boʻlgan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD - parallelogramm.

Isbot

Keling, batafsil ko'rib chiqaylik. Nima uchun AD || miloddan avvalgi?

\triangle ABC = \triangle ADC tomonidan mulk 1: AB = CD, AC - umumiy va \angle 1 = \angle 2 parallel AB va CD va kesuvchi AC bilan ko'ndalang yotadi.

Lekin agar \triangle ABC = \triangle ADC , u holda \angle 3 = \angle 4 (mos ravishda AB va CD ga qarama-qarshi yotadi). Va shuning uchun AD || BC (\angle 3 va \angle 4 - ko'ndalang yotganlar ham teng).

Birinchi belgi to'g'ri.

2. Qarama-qarshi tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak parallelogrammdir.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD - parallelogramm.

Isbot

Keling, ushbu belgini ko'rib chiqaylik. Keling, yana AC diagonali chizamiz.

tomonidan mulk 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Bundan kelib chiqadiki: \burchak 1 = \burchak 2 \O'ng strelka AD || Miloddan avvalgi Va \burchak 3 = \burchak 4 \O'ng strelka AB || CD, ya'ni ABCD parallelogrammdir.

Ikkinchi belgi to'g'ri.

3. Qarama-qarshi burchaklari teng bo'lgan to'rtburchak parallelogramma deyiladi.

\ burchak A = \ burchak C , \angle B = \angle D \O'ng strelka ABCD- parallelogramm.

Isbot

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(chunki ABCD to'rtburchakdir va shart bo'yicha \ burchak A = \ burchak C , \ burchak B = \ burchak D).

Ma'lum bo'lishicha, \alpha + \beta = 180^(\circ) . Lekin \alpha va \beta AB sekantida ichki bir tomonlama.

Va \alpha + \beta = 180^(\circ) ekanligi ham AD || Miloddan avvalgi

Bundan tashqari, \alpha va \beta AD sekantida ichki bir tomonlama. Va bu AB || degan ma'noni anglatadi CD.

Uchinchi belgi to'g'ri.

4. Diagonallari kesishish nuqtasi boʻyicha yarmiga boʻlingan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi.

AO = OC; BO = OD \ O'ng tomon parallelogrammasi.

Isbot

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 vertikal sifatida \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \O'ng strelka \burchak 3 = \burchak 4, va \Rightarrow AB || CD.

Xuddi shunday BO = OD; AO = OC, \ burchak 5 = \ burchak 6 \ o'ng strelka \ uchburchak AOD = \ uchburchak BOC \ o'ng strelka \ burchak 7 = \ burchak 8, va \Rightarrow AD || Miloddan avvalgi

To'rtinchi belgi to'g'ri.

Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft boʻlib parallel boʻlgan toʻrtburchakdir (233-rasm).

Ixtiyoriy parallelogramm uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:

1. Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng.

Isbot. ABCD parallelogrammasida AC diagonalini chizamiz. ACD va AC B uchburchaklari tengdir, chunki umumiy AC tomoni va unga tutashgan ikki juft teng burchaklar mavjud:

(AD va BC parallel chiziqlari bo'lgan ko'ndalang burchaklar kabi). Bu shuni anglatadiki, teng burchaklar qarama-qarshi yotgan teng uchburchaklarning tomonlari kabi, buni isbotlash kerak.

2. Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari teng:

3. Parallelogrammaning qo‘shni burchaklari, ya’ni bir tomoniga qo‘shni burchaklar, yig‘indisi va hokazo.

2 va 3 xossalarning isboti darhol parallel chiziqlar uchun burchaklar xossalaridan olinadi.

4. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasida bir-birini ikkiga bo'ladi. Boshqa so'zlar bilan aytganda,

Isbot. AOD va BOC uchburchaklari kongruentdir, chunki ularning AD va BC tomonlari teng (1-xususiyat) va ularga tutash burchaklar (parallel chiziqlar uchun koʻndalang burchaklar kabi). Bundan kelib chiqadiki, bu uchburchaklarning tegishli tomonlari tengdir: AO, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

Ushbu to'rtta xususiyatning har biri parallelogrammni tavsiflaydi yoki ular aytganidek, uning xarakterli xususiyatidir, ya'ni ushbu xususiyatlardan kamida bittasiga ega bo'lgan har bir to'rtburchak parallelogrammadir (va shuning uchun qolgan uchta xususiyatga ega).

Keling, har bir mulk uchun dalilni alohida bajaramiz.

1". Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juftlikda teng bo'lsa, u parallelogrammdir.

Isbot. ABCD to'rtburchakning mos ravishda AD va BC, AB va CD tomonlari teng bo'lsin (233-rasm). AC diagonali chizamiz. ABC va CDA uchburchaklari uch juft teng tomonlarga ega bo'lgani uchun mos keladi.

Lekin u holda BAC va DCA burchaklari teng va . BC va AD tomonlarning parallelligi SAPR va ACB burchaklarining tengligidan kelib chiqadi.

2. Agar to'rtburchakning ikki juft qarama-qarshi burchaklari teng bo'lsa, u parallelogrammdir.

Isbot. Mayli. O'shandan beri AD va BC ikkala tomonlari parallel (chiziqlar parallelligi asosida).

3. Formula va isbotni o‘quvchiga qoldiramiz.

4. Agar to'rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasida bir-birini ikkiga bo'lsa, u holda to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

Isbot. Agar AO = OS, BO = OD bo'lsa (233-rasm), u holda AOD va BOC uchburchaklari tengdir, chunki O cho'qqisida teng burchaklar (vertikal!), AO va CO, BO va DO teng tomonlari juftlari orasiga o'ralgan. Uchburchaklar tengligidan AD va BC tomonlari teng degan xulosaga kelamiz. AB va CD tomonlari ham teng bo'lib, to'rtburchak G xarakteristikasi bo'yicha parallelogramm bo'lib chiqadi.

Shunday qilib, berilgan to'rtburchakning parallelogramm ekanligini isbotlash uchun to'rtta xususiyatdan birortasining haqiqiyligini tekshirish kifoya. O'quvchiga parallelogrammning yana bir xarakterli xususiyatini mustaqil ravishda isbotlash taklif etiladi.

5. Agar to'rtburchakning teng, parallel tomonlari juft bo'lsa, u parallelogrammdir.

Ba'zan parallelogrammaning har qanday juft parallel tomonlari uning asoslari, qolgan ikkitasi esa lateral tomonlari deb ataladi. Parallelogrammaning ikki tomoniga perpendikulyar boʻlgan, ular orasiga oʻralgan toʻgʻri chiziq boʻlagiga parallelogramm balandligi deyiladi. Rasmdagi paralelogramma. 234 AD va BC tomonlariga chizilgan h balandligi bor, uning ikkinchi balandligi segment bilan ifodalanadi.

Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi

Savinskaya o'rtacha umumta'lim maktabi

Tadqiqot

Paralelogramma va uning yangi xossalari

To‘ldiruvchi: 8B sinf o‘quvchisi

MBOU Savinskaya o'rta maktabi

Kuznetsova Svetlana, 14 yosh

Rahbar: matematika o'qituvchisi

Tulchevskaya N.A.

p. Savino

Ivanovo viloyati, Rossiya

2016 yil

I. Kirish ______________________________________________________ 3-bet

II. Paralelogramma tarixidan ________________________________________________ 4-bet

III Paralelogrammaning qo‘shimcha xossalari ____________________________4-bet

IV. Xususiyatlarni tasdiqlash ______________________________________ 5-bet

V. Qo‘shimcha xossalar yordamida masalalar yechish __________8-bet

VI. Paralelogramma xossalarining hayotda qo‘llanilishi ___________________11-bet

VII. Xulosa _________________________________________________12-bet

VIII. Adabiyot _________________________________________________13-bet

Kirish

"Teng aqllar orasida

da boshqa shartlarning tengligi

Geometriyani bilgan kishi ustundir"

(Blez Paskal).

Geometriya darslarida “Parallelogramma” mavzusini o‘rganar ekanmiz, biz parallelogrammning ikkita xossasini va uchta xususiyatini ko‘rib chiqdik, ammo masalalarni yecha boshlaganimizda, bu yetarli emasligi ma’lum bo‘ldi.

Menda savol bor edi: parallelogramning boshqa xususiyatlari bormi va ular muammolarni hal qilishda qanday yordam beradi?

Va men parallelogrammaning qo'shimcha xususiyatlarini o'rganishga va ularni muammolarni hal qilishda qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatishga qaror qildim.

O'rganish mavzusi : parallelogramma

O'rganish ob'ekti : parallelogrammning xossalari
Ishning maqsadi:

maktabda o'rganilmagan parallelogrammaning qo'shimcha xususiyatlarini shakllantirish va isbotlash;

muammolarni hal qilish uchun ushbu xususiyatlardan foydalanish.

Vazifalar:

Parallelogrammaning paydo bo'lish tarixi va uning xususiyatlarining rivojlanish tarixini o'rganish;

O'rganilayotgan masala bo'yicha qo'shimcha adabiyotlarni toping;

Parallelogrammaning qo'shimcha xossalarini o'rganing va ularni isbotlang;

Masalalarni yechish uchun bu xossalarning qo‘llanilishini ko‘rsatish;

Parallelogramma xususiyatlarini hayotda qo'llashni ko'rib chiqing.
Tadqiqot usullari:

O‘quv va ilmiy-ommabop adabiyotlar, internet resurslari bilan ishlash;

Nazariy materialni o'rganish;

Parallelogrammaning qo'shimcha xossalari yordamida yechish mumkin bo'lgan bir qator masalalarni aniqlash;

Kuzatish, taqqoslash, tahlil qilish, qiyoslash.

O'qish muddati : 3 oy: 2016 yil yanvar-mart

Geometriya darsligida biz parallelogrammaning quyidagi ta'rifini o'qiymiz: Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

"Parallelogramma" so'zi "" deb tarjima qilingan. parallel chiziqlar"(yunoncha Parallelos - parallel va gramm - chiziq so'zlaridan), bu atama Evklid tomonidan kiritilgan. Evklid o'zining "Elementlar" kitobida parallelogrammaning quyidagi xususiyatlarini isbotladi: parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari va burchaklari teng, diagonali esa uni ikkiga bo'ladi. Evklid parallelogrammaning kesishish nuqtasini eslatmaydi. U faqat o'rta asrlarning oxirlarida rivojlangan to'liq nazariya Paralelogrammalar Va faqat 17-asrda parallelogrammlar haqidagi teoremalar darsliklarda paydo bo'ldi, ular Evklidning parallelogrammning xossalari haqidagi teoremasi yordamida isbotlangan.

III Paralelogrammaning qo'shimcha xossalari

Geometriya darsligida parallelogrammaning faqat ikkita xususiyati berilgan:

Qarama-qarshi burchaklar va tomonlar teng

Paralelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Geometriya bo'yicha turli manbalarda siz quyidagi qo'shimcha xususiyatlarni topishingiz mumkin:

Parallelogrammaning qo‘shni burchaklarining yig‘indisi 180 0 ga teng

Paralelogramm burchagining bissektrisasi undan teng yonli uchburchakni kesib tashlaydi;

Parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklarining bissektrisalari parallel chiziqlarda yotadi;

Parallelogrammaning qoʻshni burchaklarining bissektrisalari toʻgʻri burchak ostida kesishadi;

Parallelogrammaning barcha burchaklarining bissektrisalari kesishganda, ular toʻrtburchak hosil qiladi;

Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklaridan bir xil diagonalgacha bo'lgan masofalar teng.

Agar siz parallelogrammada qarama-qarshi tomonlarni o'rta nuqtalari bilan bog'lasangiz, siz boshqa parallelogramm olasiz.

Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi uning qo'shni tomonlari kvadratlari yig'indisining ikki barobariga teng.

Agar siz parallelogrammada ikkita qarama-qarshi burchakdan balandliklarni chizsangiz, siz to'rtburchakka ega bo'lasiz.

IV Paralelogramma xossalarini isbotlash

Parallelogrammaning qo‘shni burchaklarining yig‘indisi 180 ga teng 0

Berilgan:

ABCD - parallelogramm

Isbot qiling:

A+
B=

Isbot:

A va
B - BC parallel chiziqlari bo'lgan ichki bir tomonlama burchaklar AD va sekant AB, ya'ni
A+
B=

Berilgan: A B C D - parallelogramm,

AK bissektrisa
A.

Isbot qiling: AVK - teng yon tomonlar

Isbot:

1)
1=
3 (miloddan avvalgi ko'ndalang yotadi AD va sekant AK),

2)
2=
3, chunki AK bissektrisa,

1= ni bildiradi
2.

3) ABC - teng yon tomonli, chunki uchburchakning 2 burchagi teng

. Paralelogramm burchagining bissektrisasi undan teng yonli uchburchakni kesib tashlaydi

Berilgan: ABCD - parallelogramm,

AK - bissektrisa A,

CP - bissektrisa C.

Isbot qiling: AK ║ SR

Isbot:

1) 1=2, chunki AK bissektrisadir

2) 4=5, chunki CP - bissektrisa

3) 3=1 (ko‘ndalang yotqizilgan burchaklar

Miloddan avvalgi ║ AD va AK-sekant),

4) A =C (paralelogramma xossasi bo'yicha), bu 2=3=4=5 degan ma'noni anglatadi.

4) 3 va 4-bandlardan kelib chiqadiki, 1 = 4 va bu burchaklar AK va CP to'g'ri chiziqlarga va BC sekantlariga mos keladi,

bu AK ║ CP degan ma'noni anglatadi (chiziqlar parallelligi asosida)

. Parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklarining bissektrisalari parallel chiziqlar ustida yotadi

Parallelogrammaning qo‘shni burchaklarining bissektrisalari to‘g‘ri burchak ostida kesishadi

Berilgan: ABCD - parallelogramm,

AK-bissektor A,

DP bissektrisa D

Isbot qiling: DP AK.

Isbot:

1) 1=2, chunki AK - bissektrisa

1=2=x, keyin A=2x,

2) 3=4, chunki D R – bissektrisa

3=4=y, keyin D=2y bo‘lsin

3) A + D =180 0, chunki parallelogrammning qo'shni burchaklarining yig'indisi 180 ga teng

2) O'ylab ko'ring OD

1+3=90 0, keyin
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Paralelogrammaning barcha burchaklarining bissektrisalari kesishganda to‘rtburchak hosil qiladi.

Berilgan: ABCD - parallelogramm, AK-bissektrisa A,

DP-bissektor D,

CM bissektrisa C,

BF - bissektrisa B.

isbotlash: KRNS - to'rtburchak

Isbot:

Oldingi xususiyatga asoslanib 8=7=6=5=90 0 ,

KRNS to'rtburchak ekanligini bildiradi.

Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklaridan bir xil diagonalgacha bo'lgan masofalar teng.

Berilgan: ABCD-paralelogramma, AC-diagonal.

VC AC, D.P. A.C.

Isbot qiling: BC=DP

Isbot: 1) DCP = KAB, AB ║ CD va AC sekant bilan yotadigan ichki xochlar.

2) AKB= CDP (yon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab AB=CD CD P=AB K).

Va teng uchburchaklarda mos keladigan tomonlar teng, bu DP=BK degan ma'noni anglatadi.

Agar siz parallelogrammada qarama-qarshi tomonlarni o'rta nuqtalari bilan bog'lasangiz, siz boshqa parallelogramm olasiz.

Berilgan: ABCD parallelogrammasi.

Isbot qiling: VKDP - bu parallelogramm.

Isbot:

1) BP=KD (AD=BC, K va P nuqtalari

bu tomonlarni yarmiga bo'ling)

2) BP ║ KD (ADda yotadi miloddan avvalgi)

Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari teng va parallel bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

Agar siz parallelogrammada ikkita qarama-qarshi burchakdan balandliklarni chizsangiz, siz to'rtburchakka ega bo'lasiz.

Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi uning qo'shni tomonlari kvadratlari yig'indisining ikki barobariga teng.

Berilgan: ABCD - parallelogramm. BD va AC diagonaldir.

Isbot qiling: AC 2 +VD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Isbot: 1)SO'ROQ: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (Pifagor teoremasiga ko'ra)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B R²+RD ²

4) SC = BP = N(balandlik )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Mayli D K=A P=x, Keyin C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 Pifagor teoremasiga ko'ra )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2SD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 BILAND²-2 X² +AD 2 +2AD X+ X 2 +AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ IND²=2 CD 2 +2AD 2 =2 (CD 2 +AD 2 ).

V . Ushbu xususiyatlardan foydalangan holda muammolarni hal qilish

Bir tomoniga tutashgan parallelogrammaning ikki burchagi bissektrisalarining kesishish nuqtasi qarama-qarshi tomonga tegishlidir. Paralelogrammaning eng qisqa tomoni 5 . Uning katta tomonini toping.

Berilgan: ABCD - parallelogramm,

AK - bissektrisa
A,

D K - bissektrisa
D , AB=5

Toping: Quyosh

qaror

Yechim

Chunki AK - bissektrisa
Va keyin ABC teng yon tomonlardir.

Chunki D K - bissektrisa
D, keyin DCK - teng yon tomonlar

DC =C K= 5

Keyin, BC=VC+SC=5+5 = 10

Javob: 10

2. Parallelogrammaning burchaklaridan birining bissektrisasi parallelogramm tomonini 7 sm va 14 sm bo‘laklarga ajratsa, uning perimetrini toping.

1 ta holat

Berilgan:
A,

VK=14 sm, KS=7 sm

Toping: P parallelogramma

Yechim

VS=VK+KS=14+7=21 (sm)

Chunki AK - bissektrisa
Va keyin ABC teng yon tomonlardir.

AB=BK= 14 sm

Keyin P=2 (14+21) =70 (sm)

sodir bo'lmoqda

Berilgan: ABCD - parallelogramm,

D K - bissektrisa
D

VK=14 sm, KS=7 sm

Toping: P parallelogrammasi

Yechim

VS=VK+KS=14+7=21 (sm)

Chunki D K - bissektrisa
D, keyin DCK - teng yon tomonlar

DC =C K= 7

Keyin, P= 2 (21+7) = 56 (sm)

Javob: 70 sm yoki 56 sm

3. Parallelogrammning tomonlari 10 sm va 3 sm.Katta tomoniga tutashgan ikki burchakning bissektrisalari qarama-qarshi tomonni uchta segmentga ajratadi. Ushbu segmentlarni toping.

1 holat: bissektrisalar parallelogrammdan tashqarida kesishadi

Berilgan: ABCD – parallelogramm, AK – bissektrisa
A,

D K - bissektrisa
D , AB=3 sm, BC=10 sm

Toping: VM, MN, NC

Yechim

Chunki AM - bissektrisa
Va keyin AVM teng yon tomonlardir.

Chunki DN - bissektrisa
D, keyin DCN - teng yon tomonlar

DC=CN=3

Keyin, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 sm

2-holat: bissektrisalar parallelogramm ichida kesishadi

Chunki AN - bissektrisa
Va keyin ABN teng yon tomonlardir.

AB=BN = 3 D

Va toymasin panjarani eshik oldida kerakli masofaga o'tkazish kerak

Paralelogramma mexanizmi- bog'lanishlari parallelogramm hosil qiluvchi to'rt barli mexanizm. Menteşali mexanizmlar orqali tarjima harakatini amalga oshirish uchun ishlatiladi.

Ruxsat etilgan havolaga ega paralelogramma- bitta bo'g'in harakatsiz, qarama-qarshisi harakatsizga parallel bo'lib, tebranma harakatini amalga oshiradi. Bir-birining ortidan tutashgan ikkita parallelogramma oxirgi bo'g'inga ikki daraja erkinlik beradi va uni statsionar bo'g'inga parallel qoldiradi.

Misollar: avtobus oynasi tozalagichlari, yuk ko'targichlar, shtat, ilgichlar, avtomashinalar osmalari.

Ruxsat etilgan bo'g'inli paralelogramma- parallelogrammning uch nuqta orasidagi masofalarning doimiy nisbatini saqlash xususiyatidan foydalaniladi. Misol: chizma pantografi - chizmalarni masshtablash qurilmasi.

Romb- barcha bo'g'inlar bir xil uzunlikda, bir juft qarama-qarshi ilgakning yaqinlashishi (qisqarishi) qolgan ikkita ilgakning bir-biridan uzoqlashishiga olib keladi. Barcha havolalar siqilgan holda ishlaydi.

Misollar - avtomobil olmos shaklidagi domkrat, tramvay pantografi.

Qaychi yoki X shaklidagi mexanizm, shuningdek, nomi bilan tanilgan Nyurnberg qaychi- rombli versiya - o'rtada menteşe bilan bog'langan ikkita havola. Mexanizmning afzalliklari - ixchamlik va soddalik, kamchilik - ikkita toymasin juftlikning mavjudligi. Ketma-ket ulangan ikkita (yoki undan ko'p) bunday mexanizmlar o'rtada olmos (lar) ni hosil qiladi. Liftlar va bolalar o'yinchoqlarida ishlatiladi.

VII Xulosa

Bolaligidan kim matematikani o'rgangan?

u diqqatni rivojlantiradi, miyasini mashq qiladi,

o'z irodasi, qat'iyatlilikni tarbiyalaydi

va maqsadlarga erishishda qat'iyatlilik

A. Markushevich

Ish davomida men parallelogrammning qo'shimcha xususiyatlarini isbotladim.

Ishonchim komilki, ushbu xususiyatlardan foydalanib, muammolarni tezroq hal qilishingiz mumkin.

Men ushbu xususiyatlar qanday qo'llanilishini aniq muammolarni hal qilish misollari yordamida ko'rsatdim.

Men geometriya darsligimizda yo'q parallelogramm haqida ko'p narsalarni bilib oldim

Geometriyani bilish hayotda juda muhim ekaniga parallelogramm xossalarini qo‘llash misollari orqali amin bo‘ldim.

Tadqiqot ishimning maqsadi yakunlandi.

Butun umrini matematika yordamisiz o‘tkazgan shaxs haqidagi kitobni nashr etgan shaxsga mukofot ta’sis etilgani matematik bilimlarning muhimligidan dalolat beradi. Bu mukofotni hali biror kishi olgani yo'q.

VIII Adabiyot