Portalda reklama

To'g'ri chiziq. Asosiy tushunchalar. Parallel chiziqlar. Vizual qo'llanma (2020) Parallel chiziqlar nima


Ushbu maqola parallel chiziqlar va parallel chiziqlar haqida. Birinchidan, tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlarning ta'rifi beriladi, yozuvlari kiritiladi, parallel chiziqlarga misollar va grafik tasvirlar keltiriladi. Keyinchalik to'g'ri chiziqlarning parallellik belgilari va shartlari tahlil qilinadi. Xulosa qilib aytganda, tekislik va uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalari bilan berilgan to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlashning tipik muammolari uchun echimlar ko'rsatilgan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.

Ta'rif.

Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Ta'rif.

Uch o'lchamdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa.

E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlar ta'rifidagi "agar ular bir tekislikda yotsa" bandi juda muhimdir. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik: uch o'lchamli fazodagi umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita to'g'ri chiziq parallel emas, balki qiyshaygan.

Bu erda parallel chiziqlarga misollar keltiramiz. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlarda yotadi. Uyning devorining tekisligi shift va zaminning tekisliklarini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar parallel. Tekis yerdagi temir yo'llarni parallel chiziqlar sifatida ham tasavvur qilish mumkin.

Parallel chiziqlarni belgilash uchun "" belgisi ishlatiladi. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, unda siz qisqacha a b yozishingiz mumkin.

E'tibor bering, agar a va b to'g'ri chiziq parallel bo'lsa, u holda a to'g'ri chiziq b to'g'riga parallel, shuningdek b chiziq a chiziqqa parallel deb aytishimiz mumkin.

Tekislikdagi parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan gapni aytaylik: berilgan to'g'rida yotmagan nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel bo'lgan yagona chiziq o'tadi. Bu fikr fakt sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.

Kosmosdagi holat uchun teorema to'g'ri: ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel bitta chiziq o'tadi. Bu teoremani yuqorida keltirilgan parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlik bilan isbotlash mumkin (uning isbotini 10-11-sinflar uchun geometriya darsligidan topishingiz mumkin, adabiyotlar ro‘yxatida maqola oxirida keltirilgan).

Kosmosdagi holat uchun teorema to'g'ri: ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel bitta chiziq o'tadi. Bu teorema yuqorida keltirilgan parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlik bilan isbotlanadi.

Chiziqlar parallelligi - parallellik belgilari va shartlari.

Parallel chiziqlar belgisi parallel chiziqlar uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi parallel chiziqlarni kafolatlaydigan shunday shartdir. Boshqacha qilib aytganda, bu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini ko'rsatish uchun etarli.

Tekislikda va uch o'lchamli fazoda parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar ham mavjud.

“Paralel chiziqlar uchun zarur va yetarli shart” iborasining ma’nosini tushuntirib beramiz.

Biz allaqachon parallel chiziqlar uchun etarli shartni ko'rib chiqdik. Va "parallel chiziqlar uchun zarur shart" nima? "Zarur" nomi bilan bu shartning bajarilishi chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur ekanligi aniq. Boshqacha qilib aytganda, agar parallel chiziqlar uchun zarur shart bajarilmasa, u holda chiziqlar parallel emas. Shunday qilib, chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shart shart bo'lib, uning bajarilishi parallel chiziqlar uchun ham zarur, ham etarli. Ya'ni, bir tomondan, bu parallel chiziqlarning belgisi bo'lsa, boshqa tomondan, bu parallel chiziqlarga ega bo'lgan xususiyatdir.

Chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartni aytishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish maqsadga muvofiqdir.

ajratuvchi chiziq berilgan ikkita to‘g‘ri kelmaydigan chiziqning har birini kesib o‘tuvchi chiziq.

Sekantning ikkita chizig'ining kesishmasida sakkizta joylashtirilmagan hosil bo'ladi. Deb atalmish ko'ndalang yotish, mos keladigan Va bir tomonlama burchaklar. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq sekant bilan kesishsa, ularning parallelligi uchun ko'ndalang yotgan burchaklar teng bo'lishi yoki mos burchaklar teng bo'lishi yoki bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng bo'lishi zarur va etarlidir. .

Keling, tekislikdagi parallel chiziqlar uchun ushbu zarur va etarli shartning grafik tasvirini ko'rsatamiz.


Parallel chiziqlar uchun bu shartlarning isbotini 7-9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.

E'tibor bering, bu shartlar uch o'lchovli fazoda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi, ikkita chiziq va sekant bir tekislikda yotadi.

Bu erda ko'pincha chiziqlar parallelligini isbotlashda qo'llaniladigan yana bir nechta teoremalar mavjud.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu xususiyatning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar uchun ham xuddi shunday holat mavjud.

Teorema.

Agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu xususiyatning isboti 10-sinfda geometriya darslarida ko'rib chiqiladi.

Ovozli teoremalarni tasvirlab beraylik.

Tekislikdagi chiziqlar parallelligini isbotlash imkonini beruvchi yana bir teorema keltiraylik.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Kosmosdagi chiziqlar uchun ham xuddi shunday teorema mavjud.

Teorema.

Agar uch o'lchamli fazodagi ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Keling, ushbu teoremalarga mos keladigan rasmlarni chizamiz.


Yuqorida ifodalangan barcha teoremalar, belgilar va zarur va yetarli shartlar toʻgʻri chiziqlar parallelligini geometriya usullari bilan isbotlash uchun toʻliq mos keladi. Ya'ni, berilgan ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatish yoki kesishgan burchaklarning tengligini ko'rsatish va hokazo. Ushbu masalalarning ko'pchiligi o'rta maktabda geometriya darslarida hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinatalar usulidan foydalanish qulay. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi.

Maqolaning ushbu qismida biz shakllantiramiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab va biz tipik masalalarning batafsil echimlarini ham beramiz.

Keling, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik shartidan boshlaylik Oxy . Uning isboti chiziqning yo'naltiruvchi vektorini aniqlashga va chiziqning tekislikdagi normal vektorini aniqlashga asoslangan.

Teorema.

Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.

Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalish vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va Va mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, u holda a va b parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart quyidagicha yozilishi mumkin. , yoki , yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida a va b to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari to'g'ri chiziqlarning ma'lum tenglamalaridan topiladi.

Xususan, tekislikdagi Oksi to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a chiziq shakl chizig'ining umumiy tenglamasini aniqlasa. , va to'g'ri chiziq b - , u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalariga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.

Agar to'g'ri chiziq a shaklning qiyalik koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasiga mos kelsa . Shuning uchun, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa va qiyalik koeffitsientli to'g'ri chiziqlar tenglamalari bilan berilishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqlar qiyalik koeffitsientlari teng bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamalari bilan berilishi mumkin bo'lsa, unda bunday to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekisligidagi chiziqning kanonik tenglamalarini aniqlasa. Va , yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari Va mos ravishda, u holda bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'lib, a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqlar parallelmi? Va ?

Yechim.

To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz: . Endi biz bu to'g'ri chiziqning normal vektori ekanligini ko'rishimiz mumkin , va to'g'ri chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki t tengligi ( ). Binobarin, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.

Javob:

Yo'q, chiziqlar parallel emas.

Misol.

Chiziqlar va parallellar bormi?

Yechim.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz: . Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning qiyaliklari teng, shuning uchun dastlabki chiziqlar parallel.

Tekislikda umumiy nuqtalari bo'lmasa, ya'ni kesishmasa, to'g'ri chiziqlar parallel deyiladi. Parallellikni ko'rsatish uchun maxsus || belgisidan foydalaning (parallel chiziqlar a || b).

Kosmosda yotgan chiziqlar uchun umumiy nuqtalarning yo'qligi talabi etarli emas - ular fazoda parallel bo'lishi uchun ular bir xil tekislikka tegishli bo'lishi kerak (aks holda ular qiyshiq bo'ladi).

Parallel chiziqlar misollari uchun uzoqqa borish shart emas, ular hamma joyda bizga hamroh bo'ladi, xonada ular devorning shift va pol bilan kesishgan chiziqlari, daftar varag'ida qarama-qarshi qirralar mavjud va hokazo.

Ko'rinib turibdiki, ikkita chiziq parallel va uchinchi chiziq birinchi ikkitadan biriga parallel bo'lsa, u ikkinchisiga parallel bo'ladi.

Tekislikdagi parallel chiziqlarni planimetriya aksiomalari yordamida isbotlab bo'lmaydigan gap bilan bog'lanadi. U fakt sifatida, aksioma sifatida qabul qilinadi: tekislikning to'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday nuqtasi uchun u orqali berilganga parallel ravishda o'tadigan bitta to'g'ri chiziq mavjud. Har bir oltinchi sinf o'quvchisi bu aksiomani biladi.

Uning fazoviy umumlashtirilishi, ya'ni fazoning chiziqda yotmaydigan har qanday nuqtasi uchun u orqali berilganga parallel ravishda o'tadigan yagona chiziq borligi haqidagi tasdig'i, avvaldan ma'lum bo'lgan parallellik aksiomasi yordamida osongina isbotlanadi. samolyot.

Parallel chiziqlarning xossalari

  • Agar ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biri uchinchisiga parallel bo'lsa, ular o'zaro parallel bo'ladi.

Parallel chiziqlar tekislikda ham, fazoda ham shunday xususiyatga ega.
Misol tariqasida stereometriyada uning asoslanishini ko'rib chiqing.

b chiziqlar a to'g'riga parallel bo'lsin.

Barcha chiziqlar bir tekislikda yotsa, planimetriyaga qoldiriladi.

Faraz qilaylik, a va b betta tekisligiga tegishli, gamma esa a va c tegishli tekislikdir (fazoda parallellik ta'rifiga ko'ra, chiziqlar bir tekislikka tegishli bo'lishi kerak).

Agar betta va gamma tekisliklarni har xil deb hisoblasak va betta tekislikdan b to‘g‘rida ma’lum B nuqtani belgilasak, u holda B nuqtadan o‘tkazilgan tekislik va c chiziq betta tekislikni to‘g‘ri chiziqda kesishishi kerak (belgilaymiz bu b1).

Agar hosil bo'lgan b1 chizig'i gamma tekislikni kesib o'tgan bo'lsa, u holda, bir tomondan, kesishish nuqtasi a ustida yotishi kerak edi, chunki b1 betta tekisligiga tegishli, ikkinchi tomondan, u ham c ga tegishli bo'lishi kerak, chunki b1 uchinchi tekislikka tegishli.
Ammo a va c parallel chiziqlar kesishmasligi kerak.

Shunday qilib, b1 chizig'i betta tekisligiga tegishli bo'lishi kerak va shu bilan birga a bilan umumiy nuqtalarga ega bo'lmasligi kerak, shuning uchun parallelizm aksiomasiga ko'ra u b bilan mos keladi.
c to‘g‘risi bilan bir tekislikka tegishli bo‘lgan va uni kesib o‘tmaydigan b chiziqqa to‘g‘ri keladigan b1 to‘g‘rini oldik, ya’ni b va c parallel.

  • Berilgan toʻgʻri chiziqqa parallel boʻlmagan nuqta orqali faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtishi mumkin.
  • Uchinchisiga perpendikulyar tekislikda yotgan ikkita to'g'ri chiziq parallel.
  • Agar ikkita parallel chiziqlardan biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchi chiziq xuddi shu tekislikni kesib o'tadi.
  • Uchinchisining parallel ikkita chizig'ining kesishishi natijasida hosil bo'lgan mos keladigan va o'zaro faoliyat ichki burchaklar tengdir, bu holda hosil bo'lgan ichki bir tomonlama bo'lganlarning yig'indisi 180 ° ni tashkil qiladi.

Qarama-qarshi gaplar ham to'g'ri bo'lib, ularni ikkita to'g'ri chiziqning parallellik belgilari sifatida qabul qilish mumkin.

Parallel chiziqlarning holati

Yuqorida ifodalangan xossa va belgilar chiziqlar parallelligi uchun shart bo‘lib, ularni geometriya usullari bilan isbotlash mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, mavjud ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallelligini yoki burchaklarning tengligini, ular mos keladimi yoki bo'ylab yotadimi va hokazolarni isbotlash kifoya.

Isbot uchun ular asosan "ziddiyat bilan" usulidan, ya'ni chiziqlar parallel emas degan faraz bilan foydalanadilar. Bu taxminga asoslanib, bu holda berilgan shartlar buzilganligini osonlik bilan ko'rsatish mumkin, masalan, kesishgan ichki burchaklar teng bo'lmagan bo'lib chiqadi, bu esa qilingan farazning noto'g'riligini isbotlaydi.

1. Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi:

Agar a||c Va b||c, Bu a||b.

2. Agar ikkita to‘g‘ri chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, ular parallel bo‘ladi:

Agar a⊥c Va b⊥c, Bu a||b.

Chiziqlar parallelligining qolgan belgilari ikki chiziqning uchdan bir qismining kesishmasida hosil bo'lgan burchaklarga asoslanadi.

3. Agar ichki bir tomonlama burchaklar yig‘indisi 180° bo‘lsa, chiziqlar parallel bo‘ladi:

Agar ∠1 + ∠2 = 180 ° bo'lsa, u holda a||b.

4. Agar mos burchaklar teng bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi:

Agar ∠2 = ∠4 bo'lsa, u holda a||b.

5. Agar ichki kesishgan burchaklar teng bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi:

Agar ∠1 = ∠3 bo'lsa, u holda a||b.

Parallel chiziqlarning xossalari

Chiziqlarning parallellik belgilariga teskari bo'lgan gaplar ularning xossalari hisoblanadi. Ular ikkita parallel chiziqning uchinchi chiziq bilan kesishishidan hosil bo'lgan burchaklarning xususiyatlariga asoslanadi.

1. Ikki parallel chiziq uchinchi chiziq bilan kesishganda, ular hosil qilgan ichki bir tomonlama burchaklar yig‘indisi 180° ga teng:

Agar a||b, keyin ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Ikki parallel chiziq uchinchi chiziq bilan kesishganda, ular tomonidan hosil qilingan mos burchaklar teng bo'ladi:

Agar a||b, keyin ∠2 = ∠4.

3. Ikki parallel to‘g‘ri chiziqning uchinchi chiziq bilan kesishgan joyida ular bo‘ylab hosil qilgan yotuvchi burchaklar teng bo‘ladi:

Agar a||b, keyin ∠1 = ∠3.

Quyidagi xususiyat oldingi har birining alohida holatidir:

4. Agar tekislikdagi chiziq ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biriga perpendikulyar boʻlsa, u boshqasiga ham perpendikulyar boʻladi:

Agar a||b Va c⊥a, Bu c⊥b.

Beshinchi xususiyat - parallel chiziqlar aksiomasi:

5. Berilgan to‘g‘rida yotmagan nuqta orqali faqat bitta to‘g‘ri chiziqqa parallel ravishda o‘tkazish mumkin.

Ko'rsatma

Isbotni boshlashdan oldin, chiziqlar bir xil tekislikda yotishiga va uning ustiga chizilishi mumkinligiga ishonch hosil qiling. Isbotlashning eng oddiy usuli o'lchagich bilan o'lchash usulidir. Buning uchun bir-biridan iloji boricha uzoqroq bo'lgan bir nechta joylarda to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani o'lchagich yordamida o'lchang. Agar masofa bir xil bo'lib qolsa, berilgan chiziqlar parallel bo'ladi. Ammo bu usul etarlicha aniq emas, shuning uchun boshqa usullardan foydalanish yaxshiroqdir.

Uchinchi chiziqni ikkala parallel chiziqni kesib o'tadigan qilib chizing. Ular bilan to'rtta tashqi va to'rtta ichki burchak hosil qiladi. Ichki burchaklarni ko'rib chiqing. Sekanta chizig'i orqali yotadiganlar o'zaro faoliyat deyiladi. Bir tomonda yotganlar bir tomonlama deyiladi. Protraktor yordamida ikkita ichki diagonal burchakni o'lchang. Agar ular teng bo'lsa, unda chiziqlar parallel bo'ladi. Agar shubhangiz bo'lsa, bir tomonlama ichki burchaklarni o'lchang va natijada olingan qiymatlarni qo'shing. Agar bir tomonlama ichki burchaklar yig'indisi 180º ga teng bo'lsa, chiziqlar parallel bo'ladi.

Agar sizda transport vositasi bo'lmasa, 90º kvadratdan foydalaning. Chiziqlardan biriga perpendikulyar qurish uchun foydalaning. Shundan so'ng, bu perpendikulyar boshqa chiziqni kesib o'tadigan tarzda davom eting. Xuddi shu kvadratdan foydalanib, bu perpendikulyar uni qaysi burchakda kesib o'tishini tekshiring. Agar bu burchak 90º ga teng bo'lsa, unda chiziqlar bir-biriga parallel.

Agar chiziqlar Dekart koordinata tizimida berilgan bo'lsa, ularning yo'nalishlarini yoki normal vektorlarini toping. Agar bu vektorlar mos ravishda bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi. Chiziqlar tenglamasini umumiy shaklga keltiring va har bir chiziqning normal vektorining koordinatalarini toping. Uning koordinatalari A va B koeffitsientlariga teng. Oddiy vektorlarning tegishli koordinatalarining nisbati bir xil bo'lgan taqdirda ular kollinear, chiziqlar esa parallel bo'ladi.

Masalan, to'g'ri chiziqlar 4x-2y+1=0 va x/1=(y-4)/2 tenglamalar bilan berilgan. Birinchi tenglama umumiy shaklda, ikkinchisi kanonikdir. Ikkinchi tenglamani umumiy shaklga keltiring. Buning uchun proportsiyani aylantirish qoidasidan foydalaning va siz 2x=y-4ga erishasiz. Umumiy shaklga qisqartirilgandan so'ng, 2x-y + 4 = 0 ni oling. Har qanday to'g'ri chiziq uchun umumiy tenglama Ax+By+C=0 yozilsa, birinchi to'g'ri chiziq uchun: A=4, B=2, ikkinchi to'g'ri chiziq uchun A=2, B=1. Oddiy vektorning birinchi to'g'ridan-to'g'ri koordinatasi uchun (4;2), ikkinchisi uchun - (2;1). 4/2=2 va 2/1=2 normal vektorlarning mos koordinatalarining nisbatini toping. Bu raqamlar teng, ya'ni vektorlar kollinear. Vektorlar kollinear bo'lgani uchun, chiziqlar parallel.

Qancha davom etishmasin, ular kesishmaydi. Yozuvdagi chiziqlar parallelligi quyidagicha ko'rsatilgan: AB|| BILANE

Bunday chiziqlarning mavjudligi teorema bilan isbotlangan.

Teorema.

Berilgan chiziqdan tashqarida olingan har qanday nuqta orqali bu chiziqqa parallel chizish mumkin..

Mayli AB bu qator va BILAN ba'zi nuqta undan tashqarida olingan. Buni isbotlash talab qilinadi BILAN to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin parallelAB. Keling, davom etaylik AB bir nuqtadan BILAN perpendikulyarBILAND va keyin biz qilamiz BILANE^ BILAND, nima mumkin. Streyt Idoralar parallel AB.

Dalil uchun biz buning aksini, ya'ni, deb faraz qilamiz Idoralar kesishadi AB bir nuqtada M. Keyin nuqtadan M to'g'ri chiziqqa BILAND bizda ikki xil perpendikulyar bo'lar edi MD Va XONIM, bu mumkin emas. Ma'nosi, Idoralar bilan kesisha olmaydi AB, ya'ni. BILANE parallel AB.

Natija.

Ikki perpendikulyar (CEVaD.B.) bitta to'g'ri chiziqqa (SD) parallel.

Parallel chiziqlar aksiomasi.

Xuddi shu nuqta orqali bir xil chiziqqa parallel ikki xil chiziq chizish mumkin emas.

Shunday qilib, agar to'g'ri chiziq bo'lsa BILAND, nuqta orqali chizilgan BILAN to'g'ri chiziqqa parallel AB, keyin boshqa har qanday qator BILANE xuddi shu nuqta orqali BILAN, parallel bo'lishi mumkin emas AB, ya'ni. u davom etadi kesishadi Bilan AB.

Bu unchalik ravshan bo'lmagan haqiqatning isboti imkonsiz bo'lib chiqadi. U zaruriy faraz (postulatum) sifatida isbotsiz qabul qilinadi.

Oqibatlari.

1. Agar Streyt(BILANE) biri bilan kesishadi parallel(SW), keyin u boshqasi bilan kesishadi ( AB), chunki aks holda bir xil nuqta orqali BILAN ikki xil to'g'ri chiziq, parallel AB, bu mumkin emas.

2. Agar ikkalasining har biri bevosita (AVaB) bir xil uchinchi chiziqqa parallel ( BILAN) , keyin ular paralleldir o'zaro.

Haqiqatan ham, agar biz buni taxmin qilsak A Va B bir nuqtada kesishadi M, keyin bu nuqtadan bir-biriga parallel bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq o'tadi. BILAN, bu mumkin emas.

Teorema.

Agar to'g'ri chiziq perpendikulyar parallel chiziqlardan biriga, keyin ikkinchisiga perpendikulyar bo'ladi parallel.

Mayli AB || BILAND Va EF ^ AB.Buni isbotlash talab etiladi EF ^ BILAND.

PerpendikulyarEF, bilan kesishadi AB, albatta kesishadi va BILAND. Kesishish nuqtasi bo'lsin H.

Aytaylik, endi BILAND perpendikulyar emas EH. Keyin, masalan, boshqa qator HK, ga perpendikulyar bo'ladi EH va shuning uchun bir xil nuqta orqali H ikki to'g'ri parallel AB: bitta BILAND, sharti bo'yicha va boshqa HK ilgari isbotlanganidek. Bu mumkin emasligi sababli, buni taxmin qilish mumkin emas SW ga perpendikulyar emas edi EH.