Natural sonlar tizimini qurishga aksiomatik yondashuv. Matematikada aksiomatik usullar. Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Ko'p ma'nolilik
Ko‘p ma’nolilik yoki so‘zlarning ko‘p ma’noliligi tilning real voqelikning cheksiz xilma-xilligi bilan solishtirganda chegaralangan tizimni ifodalashi tufayli yuzaga keladi, shuning uchun akademik Vinogradov ta’biri bilan aytganda, “Til son-sanoqsiz ma’nolarni bir yoki bir so‘z ostida taqsimlashga majbur bo‘ladi. asosiy tushunchalarning yana bir rubrikasi. (Vinogradov "Rus tili" 1947). Bitta leksik-semantik variantdagi so‘zlarning turlicha qo‘llanilishi bilan so‘zning haqiqiy farqini farqlash zarur. Shunday qilib, masalan, (das)Ol so'zi sigirdan tashqari bir qancha turli moylarni bildirishi mumkin (buning uchun Sariyog 'so'zi mavjud). Biroq, bundan kelib chiqadiki, har xil moylarni bildirgan holda, Ol so'zi har safar boshqa ma'noga ega bo'ladi: hamma hollarda uning ma'nosi bir xil bo'ladi, ya'ni moy (sigirdan tashqari hamma narsa). Masalan, Tisch jadvali so'zining ma'nosi, bu alohida holatda bu so'z qaysi jadval turini bildirishidan qat'i nazar. Ol so'zi moy ma'nosini bildirsa, vaziyat boshqacha. Bu erda, endi neftning yog'liligi bo'yicha har xil turdagi moylar bilan o'xshashligi emas, balki yog'ning o'ziga xos sifati - yonuvchanligi birinchi o'ringa chiqadi. Shu bilan birga, har xil turdagi yoqilg'ilarni bildiruvchi so'zlar Ol so'zi bilan bog'lanadi: Kohl, Holz va boshqalar. Bu bizga Ol soʻzidan ikki maʼnoni (yoki boshqacha aytganda, ikkita leksik-semantik variantni) farqlash imkoniyatini beradi: 1) moy (hayvon emas) 2) moy.
Odatda, yangi ma'nolar mavjud so'zlardan birini yangi narsa yoki hodisaga o'tkazish orqali paydo bo'ladi. Ko‘chma ma’nolar shunday shakllanadi. Ular predmetlarning o'xshashligiga yoki bir ob'ektning boshqasi bilan bog'lanishiga asoslanadi. Ismni o'tkazishning bir necha turlari ma'lum. Ulardan eng muhimi metafora yoki metonimiyadir.
Metaforada ko‘chirish narsalarning rangi, shakli, harakat tabiati va hokazolarning o‘xshashligiga asoslanadi. Barcha metaforik o'zgarishlar bilan asl kontseptsiyaning ba'zi belgilari saqlanib qoladi
Omonimiya
So'zning ko'p ma'noliligi shunchalik katta va ko'p qirrali muammoki, leksikologiyaning turli xil muammolari qandaydir tarzda u bilan bog'liq. Xususan, omonimiya muammosi bu muammo bilan ba'zi jihatlari bilan aloqa qiladi.
Omonimlar bir xil, ammo ma'nosi har xil bo'lgan so'zlardir. Ba'zi hollarda omonimlar yo'q qilish jarayonini boshdan kechirgan polisemiyadan kelib chiqadi. Ammo omonimlar tasodifiy tovush tasodiflari natijasida ham paydo bo'lishi mumkin. Eshikni ochadigan kalit va kalit - buloq yoki o'roq - soch turmagi va o'roq - qishloq xo'jaligi asbobi - bu so'zlar turli xil ma'no va kelib chiqishi turlicha bo'lsa-da, ovozi bilan tasodifan mos keladi.
Omonimlar leksik (ular gapning bir bo‘lagiga taalluqli, masalan, kalit qulf ochish uchun, kalit esa bahor. manba), morfologik (ular gapning turli qismlariga tegishli, masalan, uchtasi a) bilan farqlanadi. son, uch - buyruq maylidagi fe'l), leksik-grammatik bo'lib, ular berilgan so'zning boshqa gap bo'lagiga o'tishi natijasida hosil bo'ladi. masalan ingliz tilida ko'rinish va ko'rinish. Ayniqsa, ingliz tilida leksik va grammatik omonimlar juda ko'p.
Omofon va omograflarni omonimlardan farqlash kerak. Omofonlar turli xil so'zlar bo'lib, ular yozilishi har xil bo'lsa-da, talaffuzida bir xil, masalan: piyoz - o'tloq, Seite - sahifa va Saite - tor.
Omograflar shunday turli xil so'zlarki, ular bir xil imloga ega, garchi ular har xil talaffuz qilinsa ham (tovush tarkibi va so'zdagi urg'u o'rni jihatidan), masalan, Qal'a - qal'a.
Sinonimiya
Sinonimlar – ma’no jihatdan yaqin, lekin turlicha jaranglaydigan, bir tushunchaning ohangini ifodalovchi so‘zlardir.
Sinonimlarning uch turi mavjud:
1. Kontseptual yoki ideografik. Ular bir-biridan leksik ma'no jihatidan farq qiladi. Bu farq belgilangan atributning turli darajalarida (ayoz - sovuq, kuchli, kuchli, qudratli), uning belgilanish xususiyatida (yostiqli ko'ylagi - ko'rpali ko'ylagi - yostiqli ko'ylagi), ifodalangan tushuncha hajmida (banner) namoyon bo'ladi. - bayroq, daring - qalin), lug'aviy ma'nolarning uyg'unlik darajasida (qo'ng'ir - findiq, qora - qarg'a).
2. Sinonimlar uslubiy yoki funksionaldir. Ular bir-biridan foydalanish sohasiga ko'ra farqlanadi, masalan, ko'zlar - ko'zlar, yuz - yuz, peshona - peshona. Sinonimlar hissiy jihatdan - baholovchi. Ushbu sinonimlar so'zlovchining belgilangan shaxsga, narsaga yoki hodisaga munosabatini ochiq ifodalaydi. Masalan, bolani tantanali ravishda bola deb atash mumkin, mehr bilan kichkina bola va kichkina bola, mensimaslik bilan o'g'il va so'rg'ich, shuningdek, kuchukcha, so'rg'ich, brat deb atash mumkin.
3. Antonim so`zlarning leksik ma`nosi jihatidan qarama-qarshi bo`lgan birikmalari, masalan: tepa - past, oq - qora, gapir - jim, baland - jim.
Antonimiya
Antonimlarning uch turi mavjud:
1. Asta-sekin va kelishilgan qarama-qarshilikning antonimlari, masalan, oq - qora, sokin - baland, yaqin - uzoq, yaxshi - yomon va hokazo. Bu antonimlar o‘z ma’nosida umumiy narsaga ega, bu ularni qarama-qarshi qo‘yish imkonini beradi. Demak, qora va oq tushunchalar qarama-qarshi rang tushunchalarini bildiradi.
2. To‘ldiruvchi va konvertatsiya qiluvchi qarama-qarshiliklarning antonimlari: urush – tinchlik, er – xotin, turmush qurgan – bo‘ydoq, mumkin – imkonsiz, yopiq – ochiq.
3. Tushunchalarning ikkiga bo‘linishining antonimlari. Ular ko'pincha bir xil o'zak so'zlardir: xalq - antimilliy, qonuniy - noqonuniy, insoniy - g'ayriinsoniy.
Qiziqarli narsa deb ataladi so'z ichidagi antonimiya, bir xil moddiy qobiqqa ega bo'lgan so'zlarning ma'nolari qarama-qarshi qo'yilganda. Misol uchun, rus tilida birovga pul qarz berish fe'li "qarz berish" degan ma'noni anglatadi va kimdirdan qarz olish allaqachon kimdandir qarz olmoq degan ma'noni anglatadi. Maʼnolarning soʻz ichidagi qarama-qarshiligi enantiosemiya deyiladi.
6. Natural sonlar sistemasining aksiomatik qurilishi. Matematik nazariyani qurishning aksiomatik usuli. Aksioma tizimiga qo'yiladigan talablar: izchillik, mustaqillik, to'liqlik. Peano aksiomatikasi. Aksiomatik pozitsiyadan natural son tushunchasi. Peano aksioma tizimining modellari. Natural sonlarni aksiomatik o'rinlardan qo'shish va ko'paytirish. Natural sonlar to'plamining tartibliligi. Natural sonlar to'plamining xossalari. Natural sonlar to‘plamini aksiomatik pozitsiyalardan ayirish va bo‘lish. Matematik induksiya usuli. Nolni kiritish va manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini qurish. Qoldiq bilan bo'lish teoremasi.
Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Raqam - bu ma'lum miqdorning ifodasidir.
Natural son cheksiz davomli ketma-ketlikning elementi.
Natural sonlar (natural sonlar) - sanoqda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan sonlar (ham sanash ma'nosida, ham hisob ma'nosida).
Natural sonlarni aniqlashning ikkita yondashuvi mavjud - raqamlar quyidagilarda qo'llaniladi:
ob'ektlarni ro'yxatga olish (raqamlash) (birinchi, ikkinchi, uchinchi, ...);
ob'ektlar sonini belgilash (buyum yo'q, bitta buyum, ikkita narsa, ...).
Aksioma - bular ma'lum bir nazariyaning asosiy boshlang'ich nuqtalari (o'z-o'zidan ravshan tamoyillar) bo'lib, undan bu nazariyaning qolgan mazmuni deduksiya yo'li bilan, ya'ni sof mantiqiy vositalar bilan chiqariladi.
Faqat ikkita bo'luvchiga (sonning o'zi va bitta) ega bo'lgan raqam deyiladi - tub son.
Kompozit raqam ikkidan ortiq boʻluvchiga ega boʻlgan son.
§2. Natural sonlar aksiomatikasi
Natural sonlar jismlarni sanash va kattaliklarni oʻlchash yoʻli bilan olinadi. Ammo agar o'lchash paytida natural sonlardan boshqa raqamlar paydo bo'lsa, hisoblash faqat natural sonlarga olib keladi. Hisoblash uchun sizga bir raqamdan boshlanadigan va kerak bo'lganda ko'p marta o'tishga imkon beradigan raqamlar ketma-ketligi kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga tabiiy seriyaning bir qismi kerak. Shuning uchun natural sonlar sistemasini asoslash masalasini yechishda birinchi navbatda natural qator elementi sifatida son nima degan savolga javob berish kerak edi. Bunga javob ikki matematikning asarlarida berilgan - nemis Grassmann va italyan Peano. Ular aksiomatikani taklif qilishdi, unda natural son cheksiz davom etuvchi ketma-ketlikning elementi sifatida oqlandi.
Natural sonlar tizimining aksiomatik qurilishi tuzilgan qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
Beshta aksiomani asosiy tushunchalarning aksiomatik ta'rifi sifatida ko'rib chiqish mumkin:
1 - natural son;
Keyingi natural son natural sondir;
1 hech qanday natural songa ergashmaydi;
Agar natural son bo'lsa A natural songa ergashadi b va natural sondan tashqari Bilan, Bu b Va Bilan bir xil;
Agar biron bir taklif 1 uchun isbotlansa va natural son uchun to'g'ri degan farazdan kelib chiqsa n, shundan kelib chiqadiki, bu quyidagi uchun to'g'ri n natural son bo'lsa, bu gap barcha natural sonlar uchun to'g'ri.
Birlik- bu tabiiy seriyaning birinchi raqami , shuningdek, o'nlik sanoq sistemasidagi raqamlardan biri.
Xuddi shu belgiga ega bo'lgan har qanday toifadagi birlikni belgilash (zamonaviyga juda yaqin) birinchi marta Qadimgi Bobilda miloddan avvalgi 2 ming yil ichida paydo bo'lgan deb ishoniladi. e.
Faqat natural sonlarni sonlar deb hisoblagan qadimgi yunonlar ularning har birini birliklar yig`indisi deb hisoblashgan. Birlikning o'ziga alohida o'rin beriladi: u raqam hisoblanmadi.
I. Nyuton shunday deb yozgan edi: “...son deganda biz birliklar yig’indisini emas, balki bir miqdorning boshqa miqdorga mavhum munosabatini tushunamiz, biz shartli ravishda birlik sifatida qabul qilamiz”. Shunday qilib, biri allaqachon boshqa raqamlar orasida munosib o'rin egalladi.
Raqamlar ustidagi arifmetik amallar turli xossalarga ega. Ularni so'z bilan ta'riflash mumkin, masalan: "Atamalar joylarini o'zgartirish bilan yig'indi o'zgarmaydi". Siz uni harflar bilan yozishingiz mumkin: a+b = b+a. Maxsus shartlarda ifodalanishi mumkin.
Biz arifmetikaning asosiy qonunlarini ko'pincha o'zimiz sezmagan holda qo'llaymiz:
1) kommutativ qonun (kommutativlik), - sonlarni qo'shish va ko'paytirish xossasi, aniqlik bilan ifodalanadi:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) kombinatsiya qonuni (assotsiativlik), - sonlarni qo'shish va ko'paytirish xossasi, aniqliklar bilan ifodalanadi:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) taqsimot qonuni (taqsimlanish), - sonlarni qo'shish va ko'paytirishni bog'laydigan va o'ziga xosliklar bilan ifodalanadigan xususiyat:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Ko'paytirishning kommutativ, kombinativ va taqsimot (qo'shishga nisbatan) ta'sir qonunlarini isbotlagandan so'ng, natural sonlar ustida arifmetik amallar nazariyasini yanada qurish hech qanday fundamental qiyinchilik tug'dirmaydi.
Hozirgi vaqtda biz boshimizda yoki qog'ozda faqat eng oddiy hisob-kitoblarni bajaramiz, tobora murakkabroq hisoblash ishlarini kalkulyatorlar va kompyuterlarga ishonib topshiramiz. Biroq, barcha kompyuterlarning ishlashi - oddiy va murakkab - eng oddiy operatsiya - natural sonlarni qo'shishga asoslangan. Ma'lum bo'lishicha, eng murakkab hisob-kitoblarni qo'shishga qisqartirish mumkin, ammo bu operatsiyani millionlab marta bajarish kerak.
Matematikada aksiomatik usullar
Matematik mantiqning rivojlanishining asosiy sabablaridan biri keng tarqalgan aksiomatik usul turli matematik nazariyalarni qurishda, birinchi navbatda, geometriya, keyin esa arifmetika, guruhlar nazariyasi va boshqalar. Aksiomatik usul aniqlanmagan tushunchalar va ular orasidagi munosabatlarning oldindan tanlangan tizimi asosida qurilgan nazariya sifatida belgilanishi mumkin.
Matematik nazariyani aksiomatik qurishda oldindan aniqlanmagan tushunchalar va ular orasidagi munosabatlarning ma'lum bir tizimi tanlanadi. Bu tushunchalar va munosabatlar asosiy deb ataladi. Keyingi, kiriting aksiomalar bular. dalilsiz qabul qilingan ko'rib chiqilayotgan nazariyaning asosiy qoidalari. Nazariyaning barcha keyingi mazmuni mantiqiy ravishda aksiomalardan kelib chiqadi. Matematik nazariyani aksiomatik qurish birinchi marta geometriyani qurishda Evklid tomonidan amalga oshirildi.
Matematikada aksiomatik usul.
Tabiiy qatorlar aksiomatik nazariyasining asosiy tushunchalari va munosabatlari. Natural sonning ta'rifi.
Natural sonlarni qo'shish.
Natural sonlarni ko'paytirish.
Natural sonlar to'plamining xossalari
Natural sonlarni ayirish va bo'lish.
Matematikada aksiomatik usul
Har qanday matematik nazariyani aksiomatik qurishda quyidagi qoidalarga rioya qilinadi: muayyan qoidalar:
1. Nazariyaning ba'zi tushunchalari sifatida tanlangan asosiy va ta'rifsiz qabul qilinadi.
2. Shakllangan aksiomalar, bu nazariyada isbotsiz qabul qilingan, ular asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradi.
3. Nazariyaning asosiylari ro'yxatida mavjud bo'lmagan har bir tushunchasi berilgan ta'rifi, uning mazmunini asosiy va oldingi tushunchalar yordamida tushuntiradi.
4. Aksiomalar ro'yxatida mavjud bo'lmagan nazariyaning har bir taklifi isbotlanishi kerak. Bunday takliflar deyiladi teoremalar va ularni ko'rib chiqilayotgan aksioma va teoremalar asosida isbotlang.
Aksioma tizimi quyidagicha bo'lishi kerak:
a) izchil: berilgan aksiomalar tizimidan barcha mumkin bo'lgan xulosalarni chiqarib, biz hech qachon qarama-qarshilikka kelmasligimizga amin bo'lishimiz kerak;
b) mustaqil: hech qanday aksioma ushbu tizimning boshqa aksiomalarining natijasi bo'lmasligi kerak.
V) to'la, agar uning doirasida har doim ham berilgan bayonotni yoki uning inkorini isbotlash mumkin bo'lsa.
Aksiomatik nazariyani qurishning birinchi tajribasi Evklidning "Elementlar" asarida (miloddan avvalgi 3-asr) geometriyaning taqdimoti deb hisoblanishi mumkin. Geometriya va algebrani qurishning aksiomatik usulini rivojlantirishga katta hissa qo'shgan N.I. Lobachevskiy va E. Galois. 19-asr oxirida. Italiyalik matematik Peano arifmetika uchun aksiomalar tizimini ishlab chiqdi.
Natural sonlarning aksiomatik nazariyasining asosiy tushunchalari va munosabatlari. Natural sonning ta'rifi.
Muayyan to'plamdagi asosiy (aniqlanmagan) tushuncha sifatida N tanlanadi munosabat , shuningdek, to‘plam-nazariy tushunchalardan, shuningdek, mantiq qoidalaridan foydalanadi.
Elementdan darhol keyingi element A, bildirmoq A".
"To'g'ridan-to'g'ri ergashish" munosabati quyidagi aksiomalarni qondiradi:
Peano aksiomalari:
Aksioma 1. Ko'p miqdorda N to'g'ridan-to'g'ri element mavjud keyingi emas ushbu to'plamning biron bir elementi uchun emas. Keling, unga qo'ng'iroq qilaylik birlik va belgisi bilan belgilanadi 1 .
Aksioma 2. Har bir element uchun A dan N faqat bitta element mavjud A" , darhol keyin A .
Aksioma 3. Har bir element uchun A dan N darhol keyin keladigan eng ko'p bitta element mavjud A .
Aksioma 4. Har qanday kichik to'plam M to'plamlar N bilan mos keladi N , agar u quyidagi xususiyatlarga ega bo'lsa: 1) 1 tarkibida mavjud M ; 2) haqiqatdan A tarkibida mavjud M , shundan kelib chiqadi A" tarkibida mavjud M.
Ta'rif 1. Bir guruh N , ularning elementlari uchun munosabat o'rnatiladi "to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring", 1-4 aksiomalarni qoniqtiruvchi, deyiladi natural sonlar to'plami, va uning elementlari natural sonlar.
Ushbu ta'rif to'plam elementlarining tabiati haqida hech narsa aytmaydi N . Shunday qilib, har qanday narsa bo'lishi mumkin. To'plam sifatida tanlash N 1-4 aksiomalarni qanoatlantiradigan "to'g'ridan-to'g'ri" ma'lum bir munosabat berilgan ba'zi bir aniq to'plamga ega bo'lamiz. ushbu tizimning modeli aksioma.
Peano aksioma tizimining standart modeli jamiyatning tarixiy rivojlanishi jarayonida paydo bo'lgan sonlar qatoridir: 1,2,3,4,... Natural qator 1 (aksioma 1) bilan boshlanadi; har bir natural sondan keyin darhol bitta natural son keladi (aksioma 2); har bir natural son darhol ko‘pi bilan bitta natural sondan keyin keladi (3-aksioma); 1 raqamidan boshlab va bir-biridan keyingi natural sonlarga o'tish uchun biz ushbu sonlarning butun to'plamini olamiz (aksioma 4).
Shunday qilib, biz asosiyni tanlab, natural sonlar tizimini aksiomatik qurishni boshladik "to'g'ridan-to'g'ri ergashish" munosabati va uning xossalarini tavsiflovchi aksiomalar. Nazariyaning keyingi qurilishi natural sonlarning ma'lum xossalarini va ular ustida amallarni ko'rib chiqishni o'z ichiga oladi. Ular ta'riflar va teoremalarda ochib berilishi kerak, ya'ni. "to'g'ridan-to'g'ri ergash" munosabatidan va 1-4 aksiomalardan sof mantiqiy ravishda olingan.
Natural sonni aniqlagandan keyin biz kiritadigan birinchi tushuncha munosabat "darhol oldinroq" , tabiiy qatorning xususiyatlarini ko'rib chiqishda ko'pincha ishlatiladi.
Ta'rif 2. Agar natural son bo'lsa b bevosita kuzatib boradi natural son A, bu raqam A chaqirdi darhol oldingi(yoki oldingi) soni b .
"Oldin" munosabati mavjud bir qator xususiyatlar.
Teorema 1. Birlikning oldingi natural soni yo'q.
Teorema 2. Har bir natural son A, 1 dan boshqa, bitta oldingi raqamga ega b, shu kabi b"= A.
Natural sonlar nazariyasining aksiomatik qurilishi boshlang'ich maktablarda ham, o'rta maktablarda ham ko'rib chiqilmaydi. Biroq, Peano aksiomalarida aks ettirilgan "to'g'ridan-to'g'ri ergashuvchi" munosabatning xususiyatlari matematikaning boshlang'ich kursida o'rganish mavzusidir. Birinchi sinfda allaqachon birinchi o'nlik raqamlarini ko'rib chiqayotganda, har bir raqamni qanday olish mumkinligi aniq bo'ladi. "Keyingi" va "oldindan" tushunchalari qo'llaniladi. Har bir yangi raqam sonlarning tabiiy qatorining o'rganilgan segmentining davomi sifatida ishlaydi. Talabalar har bir raqamdan keyin keyingisi kelishiga va bundan tashqari, faqat bitta narsaga, sonlarning natural qatori cheksiz ekanligiga ishonch hosil qiladi.
Natural sonlarni qo'shish
Aksiomatik nazariyani qurish qoidalariga ko'ra, natural sonlarni qo'shish ta'rifi faqat munosabatlardan foydalangan holda kiritilishi kerak. "to'g'ridan-to'g'ri kuzatib borish", va tushunchalar "tabiiy son" Va "oldingi raqam".
Keling, qo'shish ta'rifini quyidagi fikrlar bilan muqaddima qilaylik. Har qanday natural songa bo'lsa A 1 qo'shing, biz raqamni olamiz A", darhol ergashadi A, ya'ni. A+ 1= a" va shuning uchun biz har qanday natural songa 1 ni qo'shish qoidasini olamiz. Lekin raqamga qanday qo'shish kerak A natural son b, 1 dan farq qiladimi? Keling, quyidagi faktdan foydalanamiz: agar biz 2 + 3 = 5 ekanligini bilsak, u holda yig'indi 2 + 4 = 6 bo'ladi, bu darhol 5 raqamidan keyin keladi. Bu sodir bo'ladi, chunki 2 + 4 yig'indisida ikkinchi a'zo darhol keyingi raqamdir. soni 3. Shunday qilib, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Umuman olganda bizda bor , .
Bu faktlar aksiomatik nazariyada natural sonlarni qo‘shish ta’rifiga asos bo‘ladi.
Ta'rif 3. Natural sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega algebraik amaldir:
Raqam a + b chaqirdi raqamlar yig'indisi A Va b , va raqamlarning o'zi A Va b - shartlari.
Asosiy tushuncha sifatida qachon
arifmetikaning aksiomatik qurilishi
natural sonlar nisbatni oladi
berilgan "to'g'ridan-to'g'ri ergashish"
bo'sh bo'lmagan to'plam N.
Darhol keyingi element
element a, a belgilang."
element ham darhol ergashmaydi
bu to'plamning qaysi elementi ortida. Biz .. qilamiz
uni birlik deb ataymiz.
Aksioma 2. N ning har bir a elementi uchun
faqat bitta element a",
darhol keyin a. Aksioma 3. N ning har bir a elementi uchun
har birida ko'pi bilan bitta element mavjud
undan keyin darhol a.
Aksioma 4. M ning har bir kichik toʻplami
N to'plami quyidagi xususiyatlarga ega:
1) birlik M to'plamga tegishli;
2) a ning M tarkibida mavjudligidan shunday xulosa kelib chiqadi
a" M tarkibida mavjud bo'lsa, M bilan mos keladi
N o'rnating.
Natural sonning ta'rifi
Elementlari uchun munosabat o'rnatilgan N to'plam"to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring", 1-4 aksiomalarni qondirish,
natural sonlar to'plami deyiladi va uning elementlari natural sonlardir.
Qo'shish
Ta'rif. Natural sonlarni qo'shish deyiladiQuyidagi xususiyatlarga ega algebraik operatsiya:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
a+b soni a va b sonlarining yig‘indisi, a va b sonlarining o‘zi deyiladi
shartlari.
Keling, quyidagi belgi bo'yicha kelishib olaylik:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 va boshqalar.
Qo'shish xususiyatlari
Teorema 3. Natural sonlarni qo'shish mavjud va ufaqat
Teorema 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Teorema 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Ko'paytirish
Natural sonlarni ko'paytirishga algebraik deyiladiquyidagi xususiyatlarga ega operatsiya:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
a b soni a va b sonlarining ko'paytmasi, a va sonlarining o'zi deyiladi
b - ko'paytiruvchilar
Ko'paytirishning xossalari
Teorema 7. Natural sonlarni ko'paytirish mavjud va ufaqat.
Teorema 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - taqsimot
qo'shishga nisbatan o'ngga.
Teorema 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a·(b + c) = + a·c - chap taqsimot
qo'shish haqida.
Teorema 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - assotsiativlik
ko'paytirish.
Teorema 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - ko'paytirishning kommutativligi
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar
1. 3-aksiomani quyidagicha shakllantirish mumkinmi: «Har bir element uchunva N dan keyin darhol bitta element mavjud
kerakmi?
2. Natural sonning ta’rifini davom ettiring: “Natural son
to‘plamning elementi deyiladi...”.
3. Har bir natural son oldingisidan olinganligi to'g'rimi?
birini qo'shib?
4. Topishda ko`paytirishning qanday xossalaridan foydalanish mumkin
ifoda ma'nolari:
a) 5·(10 + 4); b) 125·15·6; c) (8·379)·125?
Adabiyot
Stoilova L.P.Matematika: Talabalar uchun darslik. yuqoriroq ped. darslik muassasalar.
M.: "Akademiya" nashriyot markazi. 2002. - 424 b.
GOUVPO
Tula davlat pedagogika universiteti
L.N.Tolstoy nomi bilan atalgan
RAQAMLI TIZIMLAR
Tula 2008 yil
Raqamli tizimlar
Qo'llanma pedagogika universitetining matematika yo'nalishi talabalari uchun mo'ljallangan bo'lib, "Raqamli tizimlar" kursi uchun davlat standartiga muvofiq ishlab chiqilgan. Nazariy material taqdim etiladi. Oddiy vazifalarning yechimlari tahlil qilinadi. Amaliy mashg'ulotlarda yechish uchun mashqlar berilgan.
Muallif:
nomidagi TDPU fizika-matematika fanlari nomzodi, “Algebra va geometriya” kafedrasi dotsenti. L. N. Tolstoy Yu. A. Ignatov
Sharhlovchi -
nomidagi TDPU fizika-matematika fanlari nomzodi, “Matematik analiz” kafedrasi professori. L. N. Tolstoy I. V. Denisov
O'quv nashri
Raqamli tizimlar
tomonidan tuzilgan
IGNATOV Yuriy Aleksandrovich
© Yu.Ignatov, 2008 yil
RAQAMLI TIZIMLAR
Bu kurs matematika asoslarini qamrab oladi. U asosiy raqamli tizimlarning qat'iy aksiomatik tuzilishini ta'minlaydi: natural, butun, ratsional, haqiqiy, kompleks, shuningdek, to'rtburchaklar. U matematik mantiq kursida muhokama qilingan formal aksiomatik tizimlar nazariyasiga asoslanadi.
Har bir paragrafda teoremalar birinchi navbatda raqamlangan. Agar boshqa paragrafdan teoremaga murojaat qilish zarur bo'lsa, bosqichma-bosqich raqamlash qo'llaniladi: paragraf raqami teorema raqamidan oldin qo'yiladi. Masalan, 1.2.3-teorema 1.2-banddagi 3-teorema.
Butun sonlar
Natural sonlarning aksiomatik nazariyasi
Aksiomatik nazariya quyidagi elementlar bilan belgilanadi:
Konstantalar to'plami;
Operatsiyalarni ko'rsatish uchun funktsional belgilar to'plami;
Munosabatlarni ifodalovchi predikat belgilar to‘plami;
Yuqoridagi elementlarni bog'lovchi aksiomalar ro'yxati.
Rasmiy aksiomatik nazariya uchun xulosa qilish qoidalari ham ko'rsatiladi, ular yordamida teoremalar isbotlanadi. Bunda barcha gaplar ma'nosi muhim bo'lmagan formulalar ko'rinishida yoziladi va berilgan qoidalar bo'yicha bu formulalar bo'yicha o'zgartirishlar amalga oshiriladi. Substantiv aksiomatik nazariyada xulosa chiqarish qoidalari belgilanmagan. Isbotlar isbotlanayotgan gaplarning ma'nosini hisobga oladigan oddiy mantiqiy tuzilmalar asosida amalga oshiriladi.
Ushbu kurs asosiy raqamli tizimlarning mazmunli nazariyalarini quradi.
Aksiomatik nazariyaning eng muhim talabi uning izchilligidir. Muvofiqlikni isbotlash boshqa nazariyadagi nazariyaning modelini qurish orqali amalga oshiriladi. Keyin ko'rib chiqilayotgan nazariyaning izchilligi model tuzilgan nazariyaning izchilligiga tushiriladi.
Butun sonlar tizimi uchun model natural sonlar tizimi doirasida, ratsional sonlar uchun - butun sonlar tizimi doirasida va boshqalar quriladi. Natijada aksiomatik nazariyalar zanjiri vujudga keladi, bunda har bir nazariya oldingisiga asoslanadi. Ammo bu zanjirdagi birinchi nazariya, ya'ni natural sonlar nazariyasi uchun model qurish uchun hech qanday joy yo'q. Shuning uchun natural sonlar sistemasi uchun modelning mavjudligi shubhasiz bo'ladigan nazariyani qurish kerak, garchi uni qat'iy isbotlash mumkin emas.
Nazariya juda oddiy bo'lishi kerak. Shu maqsadda natural sonlar sistemasini faqat predmetlarni sanash quroli sifatida qaraymiz. Qo'shish, ko'paytirish va tartib munosabatlari amallari ko'rsatilgan shakldagi nazariya tuzilgandan keyin aniqlanishi kerak.
Hisoblash ehtiyojlari uchun natural sonlar tizimi birinchi element (birlik) aniqlangan va har bir element uchun keyingisi aniqlangan ketma-ketlik bo'lishi kerak. Shunga ko'ra biz quyidagi nazariyani olamiz.
Doimiy: 1 (birlik).
Funktsiya belgisi: "¢". Birlik "kuzatish" amalini bildiradi, ya'ni A¢ - keyingi raqam A. Bu holda raqam A chaqirdi oldingi Uchun A¢.
Maxsus predikat belgilar mavjud emas. Odatiy tenglik munosabati va to'plam nazariyasi munosabatlari qo'llaniladi. Ular uchun aksiomalar ko'rsatilmaydi.
Nazariya asos bo'lgan to'plam belgilanadi N.
Aksiomalar:
(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (bittasi hech qanday raqamga ergashmaydi).
(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (har bir raqamda ko'pi bilan bitta oldingi raqam mavjud).
(N3) M Í N, 1O M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(matematik induksiya aksiomasi).
Yuqoridagi aksiomatika (kichik o'zgarishlar bilan) 19-asr oxirida italyan matematigi Peano tomonidan taklif qilingan.
Aksiomalardan ayrim teoremalarni chiqarish qiyin emas.
Teorema 1. (Matematik induksiya usuli). Mayli R(n) – to‘plamda aniqlangan predikat N. Haqiqat bo'lsin R(1) va (" n)(P(n)® P(n¢)). Keyin R(n) xuddi shunday to‘g‘ri predikatdir N.
Isbot. Mayli M- natural sonlar to'plami n, buning uchun R(n) haqiqat. Keyin 1O M teorema shartlariga muvofiq. Keyingi, agar nÎ M, Bu P(n) ta'rifi bo'yicha to'g'ri M, P(n¢) teorema shartlariga ko'ra to'g'ri, va n¢Î M a-prior M. Induksiya aksiomasining barcha shartlari qondiriladi, shuning uchun M = N. Ta'rifga ko'ra M, shuni anglatadiki R(n) dan barcha raqamlar uchun to'g'ri N. Teorema isbotlangan.
Teorema 2. Har qanday raqam A 1-sonning oldingi va faqat bittasi bor.
Isbot. Mayli M– 1 ni o‘z ichiga olgan natural sonlar to‘plami va oldingisi bo‘lgan barcha sonlar. Keyin 1O M. Agar aÎ M, Bu a¢Î M, chunki a¢ ning oldingi xususiyati bor (shart bu yerda hatto ishlatilmaydi). aÎ M). Demak, induksiya aksiomasi bo'yicha M = N. Teorema isbotlangan.
Teorema 3. Har qanday raqam keyingi raqamdan farq qiladi.
Mashq qilish. 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6 natural sonlarini aniqlab, 2 ¹ 6 ekanligini isbotlang.
Natural sonlarni qo'shish
Natural sonlarni qo'shish uchun quyidagi rekursiv ta'rif berilgan.
Ta'rif. Natural sonlarni qo'shish ikkilik amal bo'lib, natural sonlarga nisbatan qo'llaniladi A Va b raqamga mos keladi a+b, quyidagi xususiyatlarga ega:
(S1) A + 1 = A¢ har kim uchun A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ har qanday uchun A Va b.
Bu ta'rifning to'g'riligini, ya'ni berilgan xususiyatlarni qanoatlantiradigan operatsiya mavjudligini isbotlash talab qilinadi. Bu vazifa juda oddiy ko'rinadi: induksiyani amalga oshirish kifoya b, hisoblash A belgilangan. Bunday holda, to'plamni tanlash kerak M qiymatlar b, buning uchun operatsiya a+b aniqlanadi va (S1) va (S2) shartlarni qondiradi. Induktiv o'tishni amalga oshirayotganda, biz buni uchun taxmin qilishimiz kerak b operatsiya bajariladi va uning uchun bajarilganligini isbotlaydi b¢. Lekin qanoatlantirilishi kerak bo'lgan mulkda (S2). b, ga havola allaqachon mavjud a+b¢. Bu shuni anglatadiki, bu xususiyat avtomatik ravishda uchun operatsiya mavjudligini qabul qiladi a+b¢, va shuning uchun keyingi raqamlar uchun: axir, uchun a+b¢ mulk (S2) ham qondirilishi kerak. Bu induktiv qadamni ahamiyatsiz qilish orqali muammoni osonlashtiradi, deb o'ylash mumkin: isbotlangan bayonot shunchaki induktiv gipotezani takrorlaydi. Ammo bu erda qiyinchilik induksiya asosini isbotlashda. Qiymat uchun b= 1, xususiyatlar (S1) va (S2) ham qondirilishi kerak. Lekin xossa (S2), ko'rsatilganidek, 1 dan keyingi barcha qiymatlar uchun amalning mavjudligini nazarda tutadi. Bu shuni anglatadiki, induksiya asosini tekshirish bitta emas, balki barcha raqamlar uchun dalilni nazarda tutadi va induksiya o'z ma'nosini yo'qotadi: induksiya asosi isbotlanayotgan gapga to‘g‘ri keladi.
Yuqoridagi mulohazalar rekursiv ta'riflar noto'g'ri ekanligini yoki har safar ehtiyotkorlik bilan asoslashni talab qilishini anglatmaydi. Ularni asoslash uchun faqat hozirgi bosqichda o'rnatilayotgan natural sonlarning xususiyatlaridan foydalanish kerak. Bular aniqlangandan so'ng, rekursiv ta'riflarning to'g'riligini isbotlash mumkin. Hozircha induksiya orqali qo‘shishning mavjudligini isbotlaymiz A: formulalarda (S1) va (S2) uchun qo'shish o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q A Va A¢.
Teorema 1. Natural sonlarni qo'shish har doim mumkin va o'ziga xosdir.
Isbot. a) Biz birinchi navbatda o'ziga xoslikni isbotlaymiz. Keling, tuzatamiz A. Keyin operatsiya natijasi a+b dan funksiya mavjud b. Aytaylik, ikkita bunday funktsiya mavjud f(b) Va g(b), (S1) va (S2) xossalariga ega. Keling, ular teng ekanligini isbotlaylik.
Mayli M- ma'nolar to'plami b, buning uchun f(b) = g(b). Mulk bo'yicha (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ va g(1) = A + 1 = A¢ degani f(1) = g(1) va 1O M.
Hozir ruxsat bering bÎ M, ya'ni f(b) = g(b). Mulk bo'yicha (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
Ma'nosi, b¢Î M. Induksiya aksiomasi bo'yicha M = N. O'ziga xoslik isbotlangan.
b) Endi induksiya orqali A operatsiyaning mavjudligini isbotlaylik a+b. Mayli M- bu qiymatlar to'plami A, buning uchun operatsiya a+b xususiyatlari bilan (S1) va (S2) hamma uchun aniqlanadi b.
Mayli A= 1. Bunday operatsiyaga misol keltiramiz. Ta'rif bo'yicha biz 1 + ni qabul qilamiz b == b¢. Bu amal (S1) va (S2) xossalarini qanoatlantirishini ko'rsatamiz. (S1) 1 + 1 = 1¢ shakliga ega, bu ta'rifga mos keladi. Tekshirish (S2): 1 + b¢ =( b¢)¢ =
= (1+ b)¢, va (S2) bajariladi. Shunday qilib, 1O M.
Hozir ruxsat bering AÎ M. Keling, buni isbotlaylik A¢Î M. Biz ta'rif bo'yicha ishonamiz
a¢ + b = (a+ b)¢. Keyin
a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,
a¢ + b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ + b)¢,
va xossalari (S1) va (S2) qoniqtiriladi.
Shunday qilib, M = N, va qo'shish barcha natural sonlar uchun aniqlanadi. Teorema isbotlangan.
Teorema 2. Natural sonlarni qo'shish assotsiativ, ya'ni
(a+b) + c = a + (b+c).
Isbot. Keling, tuzatamiz A Va b va induksiyani bajaring Bilan. Mayli M- bu raqamlar to'plami Bilan, buning uchun tenglik to'g'ri. (S1) va (S2) xususiyatlariga asoslanib, bizda quyidagilar mavjud:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a+(b+ 1) Þ 1O M.
Hozir ruxsat bering BilanÎ M. Keyin
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a+(b + c))¢ = a+(b + c)¢ = a+(b + c¢),
Va c¢Î M. Aksioma bo'yicha (N3) M = N. Teorema isbotlangan.
Teorema 3. Natural sonlarni qo'shish kommutativdir, ya'ni
a + b = b + a. (1)
Isbot. Keling, tuzatamiz A va induksiyani bajaring b.
Mayli b= 1, ya'ni tenglikni isbotlash kerak
A + 1 = 1 + A. (2)
Bu tenglikni induksiya orqali isbotlaymiz A.
Da A= 1 tenglik ahamiyatsiz. Buning uchun bajarilsin A, keling buni isbotlaylik A¢. Bizda ... bor
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
Induktiv o'tish tugallandi. Matematik induksiya printsipiga ko'ra, (2) tenglik hamma uchun to'g'ri A. Bu induksiya asosi haqidagi bayonotni tasdiqlaydi b.
Endi (1) formula qanoatlansin b. Keling, buni isbotlaylik b¢. Bizda ... bor
a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.
Matematik induksiya tamoyilidan foydalanib, teorema isbotlangan.
Teorema 4.a + b ¹ b.
Buning isboti mashqdir.
Teorema 5. Har qanday raqamlar uchun A Va b Quyidagi holatlardan biri va faqat bittasi sodir bo'ladi:
1) a = b.
2) raqam bor k shu kabi a = b + k.
3) Raqam bor l shu kabi b = a + l.
Isbot. 4-teoremadan kelib chiqadiki, bu holatlardan ko'pi bilan bittasi sodir bo'ladi, chunki 1) va 2), shuningdek, 1) va 3) holatlar bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Agar 2) va 3) holatlar bir vaqtning o'zida sodir bo'lgan bo'lsa, unda a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
Bu yana 4-teoremaga ziddir. Keling, bu holatlarning kamida bittasi doimo sodir bo'lishini isbotlaylik.
Raqam tanlansin A Va M - bularning ko'pi b, ularning har biri uchun berilgan a holat 1), 2) yoki 3) sodir bo'ladi.
Mayli b= 1. Agar a= 1, keyin bizda 1-holat bor). Agar A¹ 1, keyin 1.1.2 teorema bo'yicha biz bor
a = k" = k + 1 = 1 + k,
ya'ni bizda 2) holat mavjud b= 1. Demak, 1 tegishli M.
Mayli b tegishli M. Keyin quyidagi holatlar mumkin:
- A = b, Ma'nosi, b" = b + 1 = A+ 1, ya'ni bizda 3) uchun holat mavjud b";
- A = b+k, va agar k= 1, keyin A = b+ 1 = b", ya'ni 1) hol uchun sodir bo'ladi b";
agar k№ 1, keyin k = t" Va
a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,
ya'ni 2-holat) uchun sodir bo'ladi b";
- b = a+ l, va b" =(a + l)¢ = A + l¢, ya'ni bizda 3) holat mavjud b".
Barcha holatlarda b" tegishli M. Teorema isbotlangan.
Mashq qilish. Yig'indining ta'rifiga asoslanib, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6 ekanligini isbotlang.
Natural sonlarni ko'paytirish
Ta'rif. Natural sonlarni ko'paytirish ikkilik amal bo'lib, natural sonlarga nisbatan qo'llaniladi A Va b raqamga mos keladi ab(yoki a×b), quyidagi xususiyatlarga ega:
(P1) A×1 = A har kim uchun A;
(P2) ab" = ab + a har qanday uchun A Va b.
Ko'paytirishning ta'rifiga kelsak, oldingi bandda qo'shish ta'rifiga oid barcha izohlar o'z kuchini saqlab qoladi. Xususan, ta'rifda berilgan xususiyatlar bilan muvofiqlik mavjudligi hali aniq emas. Shuning uchun 1.2.1 teoremaga o'xshash quyidagi teorema katta fundamental ahamiyatga ega.
Teorema 1. Natural sonlarni faqat bitta ko'paytirish mavjud. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ko'paytirish har doim bajarilishi mumkin va aniq.
Isbot 1.2.1 teoremasiga juda o'xshash va mashq sifatida taqdim etiladi.
Ko‘paytirishning quyidagi teoremalarda ifodalangan xossalari oson isbotlanadi. Har bir teoremaning isboti avvalgilariga asoslanadi.
Teorema 2.(To'g'ri taqsimlash qonuni): ( a+b)c = ac + bc.
Teorema 3. Ko'paytirish kommutativ hisoblanadi: ab = ba.
Teorema 4.(Chap taqsimot qonuni): c(a+b)= sa + sb.
Teorema 5. Ko'paytirish assotsiativ hisoblanadi: a(miloddan avvalgi) = (ab)c.
Ta'rif. Semiring - bu aksiomalarni qondiradigan + va × qo'shish va ko'paytirishning ikkilik operatsiyalari bo'lgan tizim:
(1) kommutativ yarim gurux, ya'ni qo'shilish kommutativ va assotsiativdir;
(2) – yarimguruh, ya’ni ko‘paytirish assotsiativdir;
(3) o'ng va chap taqsimot saqlanadi.
Algebraik nuqtai nazardan, qo'shish va ko'paytirishga nisbatan natural sonlar tizimi yarim halqa hosil qiladi.
Mashq qilish. Mahsulot ta'rifiga asoslanib isbotlang
2×2 = 4, 2×3 = 6.
Mashqlar
Shaxslarni isbotlang:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Miqdorni toping:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.
Tengsizliklarni isbotlang:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Uchun n³ 4.
9. (1 + x)n³ 1 + nx, Qayerda x > –1.
10. da n > 1.
11.
da n > 1.
12.
.
13.
Barcha sonlar teng ekanligini induksiya bilan isbotlashda xatolikni toping. Biz ekvivalent bayonotni isbotlaymiz: har qanday to'plamda n raqamlar, barcha raqamlar bir-biriga teng. Da n= 1 ta bayonot to'g'ri. Bu haqiqat bo'lsin n = k, keling buni isbotlaylik n = k+ 1. O'zboshimchalik bilan to'plamni oling
(k+ 1) raqamlar. Undan bitta raqamni olib tashlaymiz A. Chapga k raqamlar, induktiv gipoteza bo'yicha ular bir-biriga teng. Xususan, ikkita raqam tengdir b Va Bilan. Endi raqamni to'plamdan olib tashlaymiz Bilan va uni yoqing A. Olingan to'plamda hali ham mavjud k raqamlar, ya'ni ular ham bir-biriga teng. Ayniqsa, a = b. Ma'nosi, a = b = c, va tamom ( k+ 1) raqamlar bir-biriga teng. Induktiv o'tish tugallandi va bayonot isbotlangan.
14. Matematik induksiyaning kuchaytirilgan printsipini isbotlang:
Mayli A(n) natural sonlar to‘plamidagi predikatdir. Mayli A(1) haqiqat va haqiqatdan A(k) barcha raqamlar uchun k < m haqiqat bo'lishi kerak A(m). Keyin A(n) hamma uchun to'g'ri n.
Buyurtma qilingan to'plamlar
Buyurtma munosabati bilan bog'liq asosiy ta'riflarni eslaylik.
Ta'rif. To'plamdagi f ("yuqorida") munosabati M chaqirdi tartib munosabati, yoki oddiygina tartibda; ... uchun, agar bu munosabat tranzitiv va antisimmetrik bo'lsa. Tizim b M, fñ deyiladi buyurtma qilingan to'plam.
Ta'rif. qat'iy tartib, agar u refleksga qarshi bo'lsa va bo'sh tartib, agar refleksli bo'lsa.
Ta'rif. f tartibli munosabat munosabat deyiladi chiziqli tartib, agar u bog'langan bo'lsa, ya'ni a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Chiziqli bo'lmagan tartib deyiladi qisman.
Ta'rif. Mayli M A- kichik to'plam M. Element T to'plamlar A chaqirdi eng kichigi, agar u to'plamning barcha boshqa elementlaridan kam bo'lsa A, ya'ni
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Ta'rif. Mayli M, fñ - buyurtma qilingan to'plam, A- kichik to'plam M. Element T to'plamlar A chaqirdi minimal, agar to'plamda bo'lsa A kichikroq element yo'q, ya'ni (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Eng katta va maksimal elementlar xuddi shunday aniqlanadi.
Mashqlar
1. O'tish va aksi refleksiv munosabat tartibli munosabat ekanligini isbotlang.
2. To'plamdagi bo'linish munosabati M ekanligini isbotlang N qisman tartib munosabati mavjud.
3. To‘plamda ko‘pi bilan bitta eng katta va ko‘pi bilan bitta eng kichik element bo‘lishi mumkinligini isbotlang.
4. Bo‘linuvchanlik munosabati uchun to‘plamdagi barcha minimal, maksimal, eng katta va eng kichik elementlarni (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) toping.
5. Agar to'plam eng kichik elementga ega bo'lsa, u yagona minimal ekanligini isbotlang.
6. Uch elementdan iborat to‘plamda chiziqli tartibni necha usulda aniqlashimiz mumkin? chiziqli va qat'iy? chiziqli va yumshoq?
7. Mayli M, fñ - chiziqli tartiblangan to'plam. > munosabati shart bilan aniqlanganligini isbotlang
a > b Û a f b & a¹ b
qat’iy chiziqli tartibli munosabatdir.
8. Mayli M, fñ - chiziqli tartiblangan to'plam. ³ munosabati shart bilan aniqlanganligini isbotlang
a ³ b Û a f b Ú a= b,
qat'iy bo'lmagan chiziqli tartibli munosabatdir.
Ta'rif. Chiziqli tartiblangan to'plam b M, fñ, bunda har bir bo'sh bo'lmagan kichik to'plam eng kichik elementga ega deb ataladi juda tartibli. Bunda f munosabati munosabat deyiladi to'liq buyurtma.
1.4.6 teoremaga ko'ra natural sonlar tizimi to'liq tartiblangan to'plamdir.
Ta'rif. Mayli M a elementi bilan ajratilgan interval, to'plam deb ataladi R a quyida joylashgan barcha elementlar A va dan farq qiladi A, ya'ni
R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.
Xususan, agar A u holda minimal element hisoblanadi R a = Æ.
Teorema 1.(Transfinit induksiya printsipi). Mayli M, fñ - to'liq tartiblangan to'plam va A Í M. Har bir element uchun ruxsat bering A dan M ga tegishli A intervalning barcha elementlari R a shunga amal qiladi AÎ A. Keyin A = M.
Isbot.
Mayli A" = M\A to‘plamlarning to‘plam nazariy farqi M Va A. Agar A"= Æ, keyin A = M, va teorema haqiqatdir. Agar A"¹ Æ , keyin, beri M to'liq tartiblangan to'plam, keyin to'plam A" eng kichik elementni o'z ichiga oladi T. Bunday holda, oldingi barcha elementlar T va dan farq qiladi T, tegishli emas A" va shuning uchun tegishli A. Shunday qilib, R m Í A. Shuning uchun teorema shartlari bo'yicha T Î A, va shuning uchun T Ï A", taxminga zid.
Mayli A; fñ - tartiblangan to'plam. Biz buni taxmin qilamiz A- cheklangan to'plam. Har bir element bilan A to'plamlar A bir nuqtani solishtiramiz T (A) berilgan tekislikning shunday qilib, agar element A elementni darhol kuzatib boradi b, keyin ishora T (a) nuqtadan yuqoriga joylashtiramiz T(b) va ularni segment bilan bog'lang. Natijada, biz ushbu tartiblangan to'plamga mos keladigan grafikni olamiz.
Mashqlar
9. Mayli M, fñ - to'liq tartiblangan to'plam, b Î XonimÎ M. Buni isbotlang yoki Pb = R s, yoki Pb Ì R s, yoki R s Ì Pb.
10.
Mayli M, f 1 s va b L, f 2 ñ shunday to'liq tartiblangan to'plamlardir
M Ç L=Æ .
Ko'p miqdorda M È L Ikkilik munosabat f ni quyidagi shartlar bilan aniqlaymiz:
1) agar a, bÎ M, Bu, a f b Û a f 1 b;
2) agar a, bÎ L, Bu, a f b Û a f 2 b;
3) agar AÎ M, bÎ L, Bu, a f b.
Bu tizimni isbotlang b MÈ L, fñ - to'liq tartiblangan to'plam.
Buyurtma qilingan yarim guruhlar
Ta'rif.Yarim guruh algebra á deb ataladi A, *ñ, bu yerda * assotsiativ ikkilik amaldir.
Ta'rif. Yarim guruh á A, *ñ xossalarini qanoatlantirsa, qisqarishli yarim guruh deyiladi
a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Ta'rif.Buyurtma qilingan yarim guruh b tizimi deb ataladi A, +, fñ, bu erda:
1) tizim b A, +ñ – yarim guruh;
2) tizim b A, fñ – tartiblangan to‘plam;
3) f munosabati yarimguruh amaliga nisbatan monoton, ya’ni
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.
Buyurtmali yarim guruh á A, +, fñ deyiladi buyurtma qilingan guruh, agar tizim b A, +ñ – guruh.
Turlarga muvofiq tartib munosabatlari belgilanadi chiziqli tartiblangan yarim guruh, chiziqli tartibli guruh, qisman tartiblangan yarim guruh, qat'iy tartiblangan yarim guruh va hokazo.
Teorema 1. Tartiblangan yarim guruhda á A, +, fñ tengsizliklarini qo'shish mumkin, ya'ni a f b, c f d Þ a+c f b+d.
Isbot. Bizda ... bor
a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,
qayerdan tranzitivlik bilan a+c f b+d. Teorema isbotlangan.
1-mashq. Natural sonlar sistemasi ko'paytirish va bo'linish bo'yicha qisman tartiblangan yarim guruh ekanligini isbotlang.
Tizimning b ekanligini ko'rish oson N, +, >ñ – qat’iy tartiblangan yarim guruh, b N, +, ³ñ - qat'iy tartiblanmagan yarim guruh. á yarimguruhining bunday tartiblanishiga misol keltirishimiz mumkin N, +ñ, bunda tartib qat'iy ham, qat'iy ham emas.
2-mashq. Natural sonlar sistemasidagi f tartibini quyidagicha aniqlaymiz: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Buni isbotlang b N, +, fñ - tartiblangan yarim guruh bo'lib, unda tartib qat'iy ham, qat'iy ham emas.
1-misol. Mayli A– birga teng bo‘lmagan natural sonlar to‘plami. f in nisbatini aniqlaylik A quyida bayon qilinganidek:
a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b№ 3.
Bu tizimni isbotlang b A, +, fñ - qisman va qat'iy tartiblangan yarim guruh.
Isbot. Keling, o'tish qobiliyatini tekshiramiz:
a f b, b f c Þ a = b + k, b№ 3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.
Chunki a f b Þ a > b, keyin anti-reflektorlik qondiriladi. 2.1.1-mashqdan f - qat'iy tartibli munosabat ekanligi kelib chiqadi. Tartib qisman, chunki 3 va 4 elementlar hech qanday munosabatda emas.
Qo'shishga nisbatan f munosabati monotonikdir. Haqiqatan ham, shart a f b Þ a+c f b+c qachongina buzilishi mumkin edi
b+c= 3. Ammo yig'indi 3 ga teng bo'lishi mumkin, chunki bu mumkin A birlik yo'q.
Ikki elementdan iborat guruhni chiziqli va qat'iy tartiblash mumkin emas. Aslida, 0 va 1 uning elementlari bo'lsin (0 - guruhning noli). Faraz qilaylik, 1 > 0. Keyin 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1 ni olamiz.
Teorema 2. Har bir chiziqli tartiblangan bekor qilinadigan yarim guruh chiziqli va qat'iy tartiblangan bo'lishi mumkin.
Isbot. Mayli A, +, fñ - tartiblangan yarim guruh. Qattiq tartib munosabati > 2.1.5-mashqdagi kabi aniqlanadi: a > b Û a f b & a¹ b. Tartibli yarim guruh ta’rifidan 3) shart bajarilganligini ko‘rsatamiz.
a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.
Agar a+c = b+c keyin, kamaytirish, biz olish a = b, bu shartga zid keladi
A > b. Ma'nosi, a+c ¹ b+c, Va a+c > b+c. 3) shartning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tekshiriladi, bu teoremani isbotlaydi.
Teorema 3. Agar b A, +, fñ - chiziqli va qat'iy tartiblangan yarim guruh, keyin:
1) A + Bilan = b + c Û a = b Û c + a = Bilan + b;
2) A + Bilan f b + c Û A f b Û Bilan + a f Bilan + b.
Isbot. Mayli A + Bilan = b + c. Agar a ¹ b, keyin ulanish tufayli A f b yoki
b f a. Ammo keyin shunga ko'ra A + Bilan f b+c yoki b + Bilan f a+ c, bu shartga zid keladi A + Bilan = b + c. Boshqa holatlar ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi.
Shunday qilib, har bir chiziqli va qat'iy tartiblangan yarim guruh bekor qilinadigan yarim guruhdir.
Ta'rif. Mayli A, +, fñ - tartiblangan yarim guruh. Element A to'plamlar A agar ijobiy (salbiy) deb ataladi a + a¹ A Va a+a f A(mos ravishda A f a + a).
2-misol. Ijobiy elementdan kattaroq bekor qilingan tartiblangan kommutativ yarimguruhning elementi har doim ham ijobiy emasligini isbotlang.
Yechim. 1-misoldan foydalanamiz. Bizda 2 + 2 f 2 bor, ya'ni 2 ijobiy element. 3 = 2 + 1, bu 3 f 2 degan ma'noni anglatadi. Shu bilan birga, 3 + 3 f 3 munosabati bajarilmaydi, ya'ni 3 musbat element emas.
Teorema 4. Bekor qilingan kommutativ yarim guruhning ijobiy elementlari yig'indisi ijobiydir.
Isbot. Agar a + a f A Va b+b f b, keyin 1-teorema bo'yicha
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Buni tekshirish qoladi ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Bizda ... bor:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
Keling, shunday deb o'ylaymiz ( a + b)+ (a+b)=a + b.(1) ni almashtirib, olamiz
a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.
Antisimmetriya tufayli a = a + a. Bu elementning haqiqatiga zid keladi A ijobiy.
Teorema 5. Agar A chiziqli va qat'iy tartiblangan yarim guruhning ijobiy elementi, keyin har qanday uchun b bizda ... bor a+b f b, b + a f b.
Isbot. Bizda ... bor a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Agar bu haqiqat bo'lmasa a+ b f b, keyin, chiziqlilik tufayli, u ushlab turadi a+b=b yoki b f a+ b. Chapdan qo'shish A, mos ravishda olamiz a+ a+ b= a+ b yoki a+ b f a+ a+ b. Bu shartlar tartib munosabatining antisimmetriya va qat'iyligiga ziddir.
Teorema 6. Mayli A, +, fñ - chiziqli va qat'iy tartiblangan yarim guruh, AÎ A Va A+ A¹ a. Keyin elementlar:
A, 2*A, 3*A, ...
hamma har xil. Agar bu holda tizim b A, +, fñ - bu guruh, u holda barcha elementlar boshqacha:
0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...
(ostida k*a, kÎ N , aÎ A, miqdorni bildiradi a+ …+ a, o'z ichiga olgan k shartlari)
Isbot. Agar a + A f A, Bu a + A + A f a + a, va hokazo. Natijada, biz zanjirni olamiz ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Tranzitivlik va antisimmetriya tufayli undagi barcha elementlar boshqacha. Guruhda zanjir elementni qo'shish orqali boshqa yo'nalishda davom ettirilishi mumkin - A.
Natija. Bekor qilish bilan cheklangan yarim guruh, agar uning elementlari soni kamida 2 bo'lsa, chiziqli tartiblash mumkin emas.
Teorema 7. Mayli A, +, fñ - chiziqli tartiblangan guruh. Keyin
a f a Û b f b.
Buning isboti mashqdir.
Shunday qilib, har bir chiziqli tartiblangan guruh qat'iy yoki qat'iy tartibsiz bo'ladi. Bu tartiblarni belgilash uchun mos ravishda > va ³ belgilaridan foydalanamiz.
Mashqlar
3. Chiziqli va qat’iy tartiblangan yarim guruhning musbat elementlari yig‘indisi musbat ekanligini isbotlang.
4. Musbat elementdan katta yarim guruhning har bir chiziqli va qat’iy tartiblangan elementining o‘zi ijobiy ekanligini isbotlang.
5. Tartibli yarimguruhning har qanday chekli elementlari to‘plami faqat bitta eng katta elementga ega bo‘lsa, chiziqli tartiblanganligini isbotlang.
6. Chiziqli tartiblangan guruhning musbat elementlari to‘plami bo‘sh emasligini isbotlang.
7. Mayli A, +, fñ - chiziqli va qat'iy tartiblangan guruh. Element ekanligini isbotlang A tizimlari A agar va faqat agar ijobiy bo'lsa A > 0.
8. Natural sonlarning qo‘shiluvchi yarim guruhida musbat elementlar to‘plami bo‘sh bo‘lmagan faqat bitta chiziqli va qat’iy tartib mavjudligini isbotlang.
9. Butun sonlarning multiplikativ yarim guruhini chiziqli tartiblash mumkin emasligini isbotlang.
Buyurtma qilingan uzuklar
Ta'rif. Tizim b A, +, ×, fñ deyiladi semiring buyurdi, Agar
1) tizim b A, +, ×ñ – yarim halqa;
2) tizim b A, +, fñ – bo‘sh bo‘lmagan to‘plamli tartiblangan yarim guruh A+ ijobiy elementlar;
3) musbat elementlarga ko'paytirishga nisbatan monotonlik o'rinli bo'ladi, ya'ni agar BilanÎ A+ va A f b, Bu ac f miloddan avvalgi, taxminan f cb.
Ijobiy element semiring buyurdi A tartiblangan yarimguruhning istalgan ijobiy elementi á A, +, fñ.
Buyurtma qilingan semiring b A, +, ×, fñ deyiladi buyurtma uzuk (maydon), agar semiring b A, +, ×ñ – halqa (mos ravishda maydon).
Ta'rif. Mayli A, +, ×, fñ – buyurtma qilingan semiring. Tizimning f tartibi A chaqirdi Arximed, va tizim A - Arximed buyurdi, agar, ijobiy elementlar nima bo'lishidan qat'iy nazar A Va b tizimlari A, bunday natural sonni belgilashingiz mumkin P, Nima na f b.
1-misol.> (katta) munosabatga ega bo'lgan natural sonlarning yarim halqasi chiziqli, qat'iy va Arximed tartibli yarim halqadir.
Chiziqli tartiblangan halqa uchun b A, +, ×, 0, fñ tizimi b A, +, 0, fñ - chiziqli tartiblangan guruh. Bu 2.2.7 teoremaga ko'ra f ning tartibi qat'iy yoki qat'iy bo'lmaganligini bildiradi. Ko'p miqdorda A siz (2.1.5. va 2.1.6-mashqlar) yangi chiziqli tartibni kiritishingiz mumkin, agar f tartibi qat'iy bo'lmasa, qat'iy bo'ladi va f tartibi qat'iy bo'lsa, qat'iy bo'lmaydi. Ushbu eslatma bilan bog'liq holda, chiziqli tartibli halqada A Odatda ikkita ikkilik tartib munosabatlari ko'rib chiqiladi, ulardan biri, qat'iy, belgi bilan belgilanadi >, ikkinchisi, qat'iy bo'lmagan, ³ bilan belgilanadi.
Keyinchalik, chiziqli tartiblangan halqada element mavjudligini eslash foydali bo'ladi A ijobiy bo'ladi, agar va faqat bo'lsa A> 0 (2.2.7-mashq).
Teorema 1. Tizim b bo'lsin A,+,×,0,>ñ – chiziqli tartiblangan halqa. Keyin har qanday element uchun A dan A yoki A = 0, yoki A> 0 yoki - A > 0.
Isbot. Elementlar orasidagi chiziqlilik va qat'iylik tufayli
a+ a Va A munosabatlardan faqat bittasi mavjud a+a>a, a+ a = a, a+ a < a. Birinchi holda A- ijobiy element. Ikkinchisida ikkala qismga ham qo'shamiz - A va biz olamiz A= 0. Uchinchi holatda, biz ikkala tomonga qo'shamiz - a - a - a va biz olamiz –a < -a-a, qayerda –a- ijobiy element.
Teorema 2. Chiziqli tartiblangan halqaning musbat elementlarining yig'indisi va mahsuloti musbat.
Buning isboti mashqdir.
Teorema 3. Chiziqli tartiblangan halqada har qanday nolga teng bo'lmagan elementning kvadrati ijobiydir.
Buning isboti mashqdir.
Teorema 4. Agar chiziqli tartiblangan maydonda a> 0, keyin a –1 > 0.
Buning isboti mashqdir.
Teorema 5. ( Buyurtma mezoni) . Ring á A, +, ×, 0ñ agar va shundan keyingina chiziqli va qat'iy tartiblangan bo'lishi mumkin (ya'ni, chiziqli va qat'iy tartib kiritilsa), agar to'plam bo'lsa A kichik to‘plamga ega A+ , shartlarni qondirish:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .
Isbot. Avval á A,+,×,0,>ñ – chiziqli tartiblangan halqa. Istalgan kichik to'plam sifatida A+ bu holda, 1 va 2 teoremalarga ko'ra, tizimning ko'plab ijobiy elementlari paydo bo'lishi mumkin A.
Hozir ruxsat bering A+ - halqaning kichik to'plami b A,+,×,0ñ, teorema shartlarini qanoatlantiruvchi. á halqasida chiziqli tartibni > kiritishga harakat qilaylik A,+,×,0ñ. Keling, bu munosabatni quyidagicha aniqlaymiz:
A > b Û a - b Î A + .
Biz kiritgan munosabatning bog'langanligini, antirefleksiv, antisimmetrik, o'tishli va monoton ekanligini tekshirish oson. A + .
Bir guruh A+ 4-teorema shartlarida aytilgan xossalari bilan deyiladi halqaning ijobiy qismi á A,+,×,0ñ. Kelajakda, har qanday halqada tartibni joriy qilganda, biz uning "ijobiy qismini" qidiramiz. Agar uzukda bunday qism mavjud bo'lsa, unda uzuk buyurtma qilinishi mumkin, agar bo'lmasa, u mumkin emas; agar bir nechta mos kelmaydigan ijobiy qismlar bo'lsa, uni bir necha usulda buyurtma qilish mumkin.
Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadiki, chiziqli tartiblangan halqani belgilashda ikkilik munosabat > o’rniga asosiy munosabat sifatida “musbat qism” unar munosabatini olish mumkin.
Teorema 6. ( Chiziqli tartibning yagonaligi mezoni) . Mayli A+ va A++ – halqaning musbat qismlari b A,+,×,0ñ. Keyin
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Aksioma tizimiga qo'yiladigan talablar, Peano aksiomalari. Har qanday matematik nazariyani aksiomatik tarzda qurishda ma'lum qoidalarga rioya qilinadi: 1) nazariyaning ayrim tushunchalari asosiy sifatida tanlanadi va ta'rifsiz qabul qilinadi; 2) nazariyaning asosiylari ro'yxatiga kirmagan har bir tushunchasiga ta'rif beriladi. U asosiy va oldingi tushunchalar yordamida uning ma'nosini tushuntiradi. 3) aksiomalar shakllantiriladi, ya’ni berilgan nazariyada isbotsiz qabul qilingan mulohazalar. Aksiomalar asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradi. 4) aksiomalar ro'yxatida mavjud bo'lmagan nazariyaning har bir taklifi isbotlanishi kerak. Bunday takliflar teorema deb ataladi. Ular bundan oldingi aksiomalar va teoremalar asosida isbotlangan.
BU. matematik nazariyani qurishning aksiomatik usuli bir necha bosqichlardan o'tadi: 1) aniqlanmagan asosiy tushunchalarni (masalan: to'plam nazariyasida to'plam elementi) kiritish. 2) asosiy munosabatlarni kiritish (masalan: to'plam nazariyasidagi a'zolik munosabati). 3) asosiy tushunchalar va asosiy munosabatlarni ko‘rsatib, boshqa tushuncha va munosabatlarning ta’rifi kiritiladi (masalan: to‘plam nazariyasida birlashma, kesishish, ayirma, to‘ldiruvchi tushunchalar).
Nazariyaning aksiomatik qurilishida barcha mulohazalar aksiomalardan isbotlash orqali olinadi. Bunday nazariyaning asosini aksiomalar sistemasi tashkil etadi va aksioma sistemasiga alohida talablar qo`yiladi: 1) aksioma sistemasi izchil bo`lishi kerak. Aksiomalar tizimi, agar undan bir-birini inkor etuvchi ikkita fikrni mantiqiy jihatdan chiqarib bo'lmasa, izchil deyiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'lishi uchun bayonot va berilgan bayonotning inkorini chiqarib bo'lmaydi. Aksioma tizimining izchilligini tekshirish uchun ushbu tizimning modelini qurish kifoya. 2) aksiomalar tizimi mustaqil bo'lishi kerak. Aksiomalar sistemasi mustaqil deyiladi, agar bu sistema aksiomalarining hech biri boshqa aksiomalarning natijasi bo'lmasa. Boshqacha qilib aytganda, bu tizimning har bir aksiomasini boshqa aksiomalardan chiqarib bo'lmaydi. Aksiomalar tizimining mustaqilligini isbotlash uchun ushbu tizimning modelini qurish kifoya. 3) aksiomalar tizimi to'liq bo'lishi kerak, ya'ni. berilgan nazariyada tanlangan aksiomalar soni yangi tushunchalar, munosabatlarni kiritish, teoremalarni isbotlash va butun nazariyani qurish uchun etarli bo'lishi kerak.
Xuddi shu nazariyani aksiomatik tarzda qurishda turli aksiomalar sistemalaridan foydalanish mumkin, lekin ular ekvivalent bo'lishi kerak. Natural sonlar sistemasini aksiomatik qurishda asosiy tushuncha sifatida “to'g'ridan-to'g'ri ergashish” munosabati olinadi. "To'plam", "to'plam elementi" va mantiq qoidasi tushunchalari ham mashhur hisoblanadi. a elementidan so'ng darhol element a - asosiy deb belgilanadi.
“To'g'ridan-to'g'ri ergash” munosabatining mohiyati quyidagi aksiomalarda ochiladi: 1) natural sonlar to'plamida to'g'ridan-to'g'ri ushbu to'plamning biron bir elementiga ergashmaydigan element mavjud, bu element 1 (bir). 2) natural sonlar to‘plamidan (N) har bir a element uchun yagona a elementi mavjud? , darhol quyidagi a. 3) N ning har bir a elementi uchun darhol a dan keyin ko'pi bilan bitta element mavjud. 4) N to‘plamning quyidagi xossalarga ega bo‘lgan har qanday M kichik to‘plami: 1 M va M tarkibida a bo‘lganligidan a nima bo‘ladi? M tarkibidagi N to'plamga to'g'ri keladi.
Ro'yxatda keltirilgan aksiomalar tizimi Peano aksiomalari deb ataladi. BU. Peano aksiomalarini qanoatlantiradigan bevosita keyingi munosabat o'rnatiladigan sonlar to'plami natural sonlar to'plami, elementi esa natural son deb ataladi. To'rtinchi aksioma tabiiy sonlar qatorining cheksizligini tavsiflaydi va induksiya aksiomasi deb ataladi. Uning asosida matematik induksiya usuli yordamida turli gaplarni isbotlash amalga oshiriladi, bu quyidagicha: berilgan bayonot har qanday natural son uchun to‘g‘ri ekanligini isbotlash uchun quyidagilar zarur: 1) buni isbotlash kerak. bu mulohaza bitta uchun togri, 2) ixtiyoriy k soni uchun gap togri degan mulohazadan keyingi k son uchun togri ekanligini isbotlang?.
N to'plamining ta'rifi bu to'plamning tabiati haqida hech narsa aytmaydi, demak u har qanday bo'lishi mumkin. Peano aksiomalarini to'g'ridan-to'g'ri kuzatib borish va qanoatlantirish munosabati berilgan har qanday to'plamni N to'plam sifatida tanlab, biz ushbu aksioma tizimining modelini olamiz. Bunday modellarning barchasi o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilishi mumkin. Ushbu modellar faqat elementlarning tabiati, nomi va belgilanishi bilan farqlanadi. No.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
