Sagor

Bestämma ett tal genom dess logaritm. Egenskaper för logaritmer och exempel på deras lösningar. Omfattande guide (2020). Psykologi och biologi

De grundläggande egenskaperna för logaritmen, logaritmgrafen, definitionsdomän, värdeuppsättning, grundläggande formler, ökande och minskande anges. Att hitta derivatan av en logaritm övervägs. Och även integralen, expansionen i kraftserie och representation med hjälp av komplexa tal.

Innehåll

Domän, uppsättning värden, ökande, minskande

Logaritmen är en monoton funktion, så den har inga extrema. De huvudsakliga egenskaperna för logaritmen presenteras i tabellen.


Domän	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Värdeintervall	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monotont ökar	monotont minskar
Nollor, y = 0	x = 1	x = 1
Skär punkter med ordinataaxeln, x = 0	Nej	Nej
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privata värderingar

Basen 10 logaritmen kallas decimal logaritm och betecknas enligt följande:

Logaritm till bas e kallad naturlig logaritm:

Grundläggande formler för logaritmer

Egenskaper för logaritmen som härrör från definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Logaritm är den matematiska operationen att ta en logaritm. När man tar logaritmer omvandlas produkter av faktorer till summor av termer.
Potentiering är den matematiska operationen invers till logaritm. Under potentiering höjs en given bas till den uttrycksgrad över vilken potentiering utförs. I detta fall omvandlas termernas summor till produkter av faktorer.

Bevis på grundläggande formler för logaritmer

Formler relaterade till logaritmer följer av formler för exponentialfunktioner och från definitionen av en invers funktion.

Betrakta egenskapen för exponentialfunktionen
.
Sedan
.
Låt oss tillämpa egenskapen för exponentialfunktionen
:
.

Låt oss bevisa basersättningsformeln.
;
.
Om vi antar att c = b har vi:

Omvänd funktion

Inversen av en logaritm till basen a är en exponentiell funktion med exponent a.

Om då

Derivat av logaritm

Derivata av logaritmen av modul x:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >

För att hitta derivatan av en logaritm måste den reduceras till basen e.
;
.

Väsentlig

Integralen av logaritmen beräknas genom att integrera med delar: .
Så,

Uttryck som använder komplexa tal

Tänk på den komplexa talfunktionen z:
.
Låt oss uttrycka komplext tal z via modul r och argument φ :
.
Sedan, med hjälp av egenskaperna hos logaritmen, har vi:
.
Eller

Men argumentet φ inte unikt definierad. Om du sätter
, där n är ett heltal,
då blir det samma nummer för olika n.

Därför är logaritmen, som en funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

När utbyggnaden sker:

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Se även:

Vi fortsätter att studera logaritmer. I den här artikeln kommer vi att prata om beräkna logaritmer, kallas denna process logaritm. Först kommer vi att förstå beräkningen av logaritmer per definition. Låt oss sedan titta på hur värdena för logaritmer hittas med deras egenskaper. Efter detta kommer vi att fokusera på att beräkna logaritmer genom de initialt angivna värdena för andra logaritmer. Låt oss slutligen lära oss hur man använder logaritmtabeller. Hela teorin är försedd med exempel med detaljlösningar.

Sidnavigering.

Beräknar logaritmer per definition

I de enklaste fallen är det möjligt att utföra ganska snabbt och enkelt hitta logaritmen per definition. Låt oss ta en närmare titt på hur denna process sker.

Dess essens är att representera talet b i formen a c, från vilket, enligt definitionen av en logaritm, talet c är värdet på logaritmen. Det vill säga, per definition motsvarar följande kedja av likheter att hitta logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så att beräkna en logaritm per definition handlar om att hitta ett tal c så att a c = b, och talet c i sig är det önskade värdet på logaritmen.

Med hänsyn till informationen i de föregående styckena, när numret under logaritmetecknet ges av en viss styrka av logaritmbasen, kan du omedelbart ange vad logaritmen är lika med - den är lika med exponenten. Låt oss visa lösningar på exempel.

Exempel.

Hitta log 2 2 −3, och beräkna även den naturliga logaritmen för talet e 5,3.

Lösning.

Definitionen av logaritmen tillåter oss att omedelbart säga att log 2 2 −3 =−3. Faktum är att talet under logaritmetecknet är lika med basen 2 i potensen -3.

På liknande sätt hittar vi den andra logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 och lne 5,3 =5,3.

Om talet b under logaritmetecknet inte anges som en potens av logaritmens bas, måste du noggrant titta för att se om det är möjligt att få fram en representation av talet b i formen a c . Ofta är denna representation ganska uppenbar, särskilt när talet under logaritm-tecknet är lika med basen med styrkan 1, eller 2, eller 3, ...

Exempel.

Beräkna logaritmerna log 5 25 , och .

Lösning.

Det är lätt att se att 25=5 2, detta låter dig beräkna den första logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Låt oss gå vidare till att beräkna den andra logaritmen. Talet kan representeras som en potens av 7: (se vid behov). Därav, .

Låt oss skriva om den tredje logaritmen i följande form. Nu kan du se det , varav vi drar slutsatsen att . Därför enligt definitionen av logaritm .

Kortfattat skulle lösningen kunna skrivas så här: .

Svar:

log 5 25=2 , Och .

När under logaritmens tecken finns en tillräckligt stor naturligt nummer, då skulle det inte skada att räkna in det i primära faktorer. Det hjälper ofta att representera ett sådant tal som någon potens av basen av logaritmen, och därför beräkna denna logaritm per definition.

Exempel.

Hitta värdet på logaritmen.

Lösning.

Vissa egenskaper hos logaritmer gör att du omedelbart kan ange värdet på logaritmer. Dessa egenskaper inkluderar egenskapen för logaritmen för ett och egenskapen för logaritmen för ett tal lika med basen: log 1 1=log a a 0 =0 och log a a=log a a 1 =1. Det vill säga när det under logaritmens tecken finns ett tal 1 eller ett tal a lika med basen för logaritmen, då är logaritmerna i dessa fall lika med 0 respektive 1.

Exempel.

Vad är logaritmer och log10 lika med?

Lösning.

Sedan , sedan från definitionen av logaritmen följer det .

I det andra exemplet sammanfaller talet 10 under logaritmetecknet med dess bas, så decimallogaritmen för tio är lika med ett, det vill säga lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OCH lg10=1 .

Observera att beräkningen av logaritmer per definition (som vi diskuterade i föregående stycke) innebär användningen av likhetsloggen a a p =p, som är en av egenskaperna hos logaritmer.

I praktiken, när ett tal under logaritmens tecken och basen av logaritmen lätt representeras som en potens av ett visst tal, är det mycket bekvämt att använda formeln , vilket motsvarar en av egenskaperna hos logaritmer. Låt oss titta på ett exempel på att hitta en logaritm som illustrerar användningen av denna formel.

Exempel.

Beräkna logaritmen.

Lösning.

Svar:

Egenskaper för logaritmer som inte nämns ovan används också i beräkningar, men vi kommer att prata om detta i följande stycken.

Hitta logaritmer genom andra kända logaritmer

Informationen i det här stycket fortsätter med ämnet att använda logaritmers egenskaper när de beräknas. Men här är den största skillnaden att logaritmernas egenskaper används för att uttrycka den ursprungliga logaritmen i termer av en annan logaritm, vars värde är känt. Låt oss ge ett exempel för förtydligande. Låt oss säga att vi vet att log 2 3≈1.584963, då kan vi hitta till exempel log 2 6 genom att göra en liten transformation med hjälp av logaritmens egenskaper: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I exemplet ovan räckte det för oss att använda egenskapen för en produkts logaritm. Men mycket oftare är det nödvändigt att använda en bredare arsenal av egenskaper hos logaritmer för att beräkna den ursprungliga logaritmen genom de givna.

Exempel.

Beräkna logaritmen 27 till bas 60 om du vet att log 60 2=a och log 60 5=b.

Lösning.

Så vi måste hitta logg 60 27 . Det är lätt att se att 27 = 3 3, och den ursprungliga logaritmen, på grund av egenskapen hos potensens logaritm, kan skrivas om till 3·log 60 3.

Låt oss nu se hur man uttrycker log 60 3 i termer av kända logaritmer. Egenskapen för logaritmen för ett tal lika med basen tillåter oss att skriva likhetsloggen 60 60=1. Å andra sidan log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Således, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Därav, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Slutligen beräknar vi den ursprungliga logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat är det värt att nämna betydelsen av formeln för övergång till en ny bas av logaritmen för formen . Det låter dig gå från logaritmer med valfri bas till logaritmer med en specifik bas, vars värden är kända eller det är möjligt att hitta dem. Vanligtvis, från den ursprungliga logaritmen, med hjälp av övergångsformeln, flyttar de till logaritmer i en av baserna 2, e eller 10, eftersom det för dessa baser finns tabeller med logaritmer som gör att deras värden kan beräknas med en viss grad av noggrannhet. I nästa stycke kommer vi att visa hur detta går till.

Logaritmtabeller och deras användningsområden

För ungefärlig beräkning av logaritmvärden kan användas logaritmtabeller. Den mest använda bas 2-logaritmtabellen, naturlig logaritmtabell och decimallogaritmtabell. När du arbetar i decimaltalssystemet är det bekvämt att använda en tabell med logaritmer baserad på bas tio. Med dess hjälp kommer vi att lära oss att hitta värdena för logaritmer.

Den presenterade tabellen låter dig hitta värdena för decimallogaritmerna för tal från 1 000 till 9 999 (med tre decimaler) med en noggrannhet på en tiotusendel. Vi kommer att analysera principen för att hitta värdet på en logaritm med hjälp av en tabell med decimallogaritmer med ett specifikt exempel - det är tydligare så här. Låt oss hitta log1.256.

I den vänstra kolumnen i tabellen med decimallogaritmer hittar vi de två första siffrorna i talet 1,256, det vill säga vi hittar 1,2 (detta nummer är inringat i blått för tydlighetens skull). Den tredje siffran i siffran 1,256 (siffran 5) finns på den första eller sista raden till vänster om dubbelraden (denna siffra är inringad i rött). Den fjärde siffran i det ursprungliga numret 1.256 (siffran 6) finns på första eller sista raden till höger om dubbellinjen (denna siffra är inringad med en grön linje). Nu hittar vi siffrorna i cellerna i logaritmtabellen i skärningspunkten mellan den markerade raden och markerade kolumner (dessa siffror är markerade i orange). Summan av de markerade siffrorna ger det önskade värdet för decimallogaritmen exakt till fjärde decimalen, det vill säga log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Är det möjligt, med hjälp av tabellen ovan, att hitta värdena för decimallogaritmer för tal som har mer än tre siffror efter decimalkomma, såväl som de som går utanför intervallet från 1 till 9,999? Jo det kan du. Låt oss visa hur detta går till med ett exempel.

Låt oss beräkna lg102.76332. Först måste du skriva ner nummer i standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Efter detta ska mantissan avrundas till tredje decimalen, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medan den ursprungliga decimallogaritmen är ungefär lika med logaritmen för det resulterande talet, det vill säga vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nu tillämpar vi egenskaperna hos logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Slutligen hittar vi värdet på logaritmen lg1.028 från tabellen med decimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som ett resultat ser hela processen för att beräkna logaritmen ut så här: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sammanfattningsvis är det värt att notera att med hjälp av en tabell med decimallogaritmer kan du beräkna det ungefärliga värdet för vilken logaritm som helst. För att göra detta räcker det att använda övergångsformeln för att gå till decimallogaritmer, hitta deras värden i tabellen och utföra de återstående beräkningarna.

Låt oss till exempel beräkna log 2 3 . Enligt formeln för övergång till en ny logaritmbas har vi . Från tabellen med decimallogaritmer hittar vi log3≈0,4771 och log2≈0,3010. Således, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. och andra Algebra och början av analys: Lärobok för årskurserna 10 - 11 av allmänna läroanstalter.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för dig som går in på tekniska skolor).

Vad är en logaritm?

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Vad är en logaritm? Hur löser man logaritmer? Dessa frågor förvirrar många akademiker. Traditionellt anses ämnet logaritmer vara komplext, obegripligt och skrämmande. Speciellt ekvationer med logaritmer.

Detta är absolut inte sant. Absolut! Tro mig inte? Bra. Nu, på bara 10 - 20 minuter:

1. Du kommer att förstå vad är en logaritm.

2. Lär dig att lösa en hel klass exponentialekvationer. Även om du inte har hört något om dem.

3. Lär dig att beräkna enkla logaritmer.

Dessutom, för detta behöver du bara känna till multiplikationstabellen och hur man höjer ett tal till en potens...

Jag känner att du tvivlar... Okej, markera tiden! Gå!

Lös först den här ekvationen i ditt huvud:

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

När samhället utvecklades och produktionen blev mer komplex utvecklades också matematiken. Rörelse från enkel till komplex. Från vanlig redovisning med metoden för addition och subtraktion, med deras upprepade upprepning, kom vi till begreppet multiplikation och division. Att minska den upprepade operationen av multiplikation blev begreppet exponentiering. De första tabellerna över talens beroende av basen och antalet exponentiering sammanställdes redan på 800-talet av den indiske matematikern Varasena. Från dem kan du räkna tidpunkten för förekomsten av logaritmer.

Historisk skiss

Väckelsen av Europa på 1500-talet stimulerade också mekanikens utveckling. T krävde en stor mängd beräkningar relaterat till multiplikation och division flersiffriga nummer. De gamla borden var till stor tjänst. De gjorde det möjligt att ersätta komplexa operationer med enklare - addition och subtraktion. Ett stort steg framåt var matematikern Michael Stiefels arbete, publicerat 1544, där han förverkligade idén om många matematiker. Detta gjorde det möjligt att använda tabeller inte bara för examina i formen primtal, men också för godtyckliga rationella sådana.

År 1614 introducerade skotten John Napier, som utvecklade dessa idéer, den nya termen "logaritm av ett tal." Nya komplexa tabeller sammanställdes för att beräkna logaritmerna för sinus och cosinus, samt tangenter. Detta minskade kraftigt astronomernas arbete.

Nya tabeller började dyka upp, som framgångsrikt användes av forskare i tre århundraden. Det gick mycket tid innan den nya operationen i algebra fick sin färdiga form. Logaritmen definierades och dess egenskaper studerades.

Först på 1900-talet, med tillkomsten av räknaren och datorn, övergav mänskligheten de antika tabellerna som hade fungerat framgångsrikt under 1200-talet.

Idag kallar vi logaritmen av b för att basera a talet x som är makten av a för att göra b. Detta skrivs som en formel: x = log a(b).

Till exempel skulle log 3(9) vara lika med 2. Detta är uppenbart om du följer definitionen. Om vi höjer 3 till potensen 2 får vi 9.

Den formulerade definitionen sätter alltså bara en begränsning: talen a och b måste vara reella.

Typer av logaritmer

Den klassiska definitionen kallas den verkliga logaritmen och är egentligen lösningen på ekvationen a x = b. Alternativ a = 1 är på gränsen och är inte av intresse. Observera: 1 till valfri makt är lika med 1.

Verkligt värde på logaritmen definieras endast när basen och argumentet är större än 0, och basen får inte vara lika med 1.

Särskild plats inom matematikområdet spela logaritmer, som kommer att namnges beroende på storleken på deras bas:

Regler och begränsningar

Den grundläggande egenskapen hos logaritmer är regeln: logaritmen för en produkt är lika med den logaritmiska summan. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av detta påstående blir det: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotfunktionen är lika med skillnaden mellan funktionerna.

Från de två föregående reglerna är det lätt att se att: log a(b p) = p * log a(b).

Andra fastigheter inkluderar:

Kommentar. Det finns ingen anledning att göra ett vanligt misstag - logaritmen för en summa är inte lika med summan av logaritmerna.

Under många århundraden var operationen att hitta en logaritm en ganska tidskrävande uppgift. Matematiker använde den välkända formeln för den logaritmiska teorin om polynomexpansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), där n är ett naturligt tal större än 1, vilket bestämmer beräkningens noggrannhet.

Logaritmer med andra baser beräknades med hjälp av satsen om övergången från en bas till en annan och egenskapen hos produktens logaritm.

Eftersom denna metod är mycket arbetskrävande och när man bestämmer sig praktiska problem svåra att implementera använde vi förkompilerade tabeller med logaritmer, vilket avsevärt snabbade upp allt arbete.

I vissa fall användes speciellt sammanställda grafer av logaritmer, vilket gav mindre noggrannhet, men avsevärt snabbade upp sökningen efter det önskade värdet. Kurvan för funktionen y = log a(x), konstruerad över flera punkter, låter dig använda en vanlig linjal för att hitta värdet på funktionen vid vilken annan punkt som helst. Ingenjörer länge sedan För dessa ändamål användes så kallat millimeterpapper.

På 1600-talet uppträdde de första extra analoga beräkningsvillkoren, som 1800-talet fått ett färdigt utseende. Den mest framgångsrika enheten kallades skjutregeln. Trots enhetens enkelhet påskyndade dess utseende avsevärt processen för alla tekniska beräkningar, och detta är svårt att överskatta. För närvarande är det få människor som känner till den här enheten.

Tillkomsten av miniräknare och datorer gjorde användningen av andra enheter meningslös.

Ekvationer och ojämlikheter

För att lösa olika ekvationer och olikheter med logaritmer används följande formler:

Övergång från en bas till en annan: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Som en konsekvens av det föregående alternativet: log a(b) = 1 / log b(a).

För att lösa ojämlikheter är det användbart att veta:

Värdet på logaritmen kommer att vara positivt endast om basen och argumentet är både större eller mindre än ett; om minst ett villkor överträds kommer logaritmvärdet att vara negativt.
Om logaritmfunktionen appliceras på höger och vänster sida av en olikhet, och basen för logaritmen är större än ett, så bevaras olikhetens tecken; annars ändras det.

Exempel på problem

Låt oss överväga flera alternativ för att använda logaritmer och deras egenskaper. Exempel på att lösa ekvationer:

Tänk på alternativet att placera logaritmen i en potens:

Uppgift 3. Beräkna 25^log 5(3). Lösning: i förhållande till problemet liknar posten följande (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). Låt oss skriva det annorlunda: 5^log 5(3*2), eller kvadraten på ett tal som funktionsargument kan skrivas som kvadraten på själva funktionen (5^log 5(3))^2. Med hjälp av logaritmers egenskaper är detta uttryck lika med 3^2. Svar: som ett resultat av beräkningen får vi 9.

Praktisk användning

Eftersom det är ett rent matematiskt verktyg verkar det långt ifrån verkliga livet som logaritmen plötsligt förvärvade stor betydelse att beskriva verkliga objekt. Det är svårt att hitta en vetenskap där den inte används. Detta gäller fullt ut inte bara naturligt, utan också humanitära områden kunskap.

Logaritmiska beroenden

Här är några exempel på numeriska beroenden:

Mekanik och fysik

Historiskt har mekanik och fysik alltid utvecklats med hjälp av matematiska metoder forskning och samtidigt fungerade som ett incitament för utveckling av matematik, inklusive logaritmer. Teorin om de flesta fysikens lagar är skriven på matematikens språk. Låt oss bara ge två exempel på beskrivningar fysiska lagar med hjälp av logaritm.

Problemet med att beräkna en så komplex kvantitet som hastigheten på en raket kan lösas genom att använda Tsiolkovsky-formeln, som lade grunden för teorin om rymdutforskning:

V = I * In (M1/M2), där

V är flygplanets sluthastighet.
I – specifik impuls av motorn.
M 1 – raketens initiala massa.
M 2 – slutmassa.

Ett annat viktigt exempel- detta används i formeln för en annan stor vetenskapsman Max Planck, som tjänar till att utvärdera jämviktstillståndet i termodynamiken.

S = k * ln (Ω), där

S – termodynamisk egenskap.
k – Boltzmann konstant.
Ω är den statistiska vikten av olika tillstånd.

Kemi

Mindre uppenbart är användningen av formler i kemi som innehåller förhållandet mellan logaritmer. Låt oss bara ge två exempel:

Nernst-ekvationen, tillståndet för mediets redoxpotential i förhållande till ämnens aktivitet och jämviktskonstanten.
Beräkningen av sådana konstanter som autolysindex och lösningens surhet kan inte heller göras utan vår funktion.

Psykologi och biologi

Och det är inte alls klart vad psykologi har med det att göra. Det visar sig att känslans styrka beskrivs väl av denna funktion som det omvända förhållandet mellan stimulansintensitetsvärdet och det lägre intensitetsvärdet.

Efter ovanstående exempel är det inte längre förvånande att ämnet logaritmer används i stor utsträckning inom biologin. Hela volymer skulle kunna skrivas om biologiska former som motsvarar logaritmiska spiraler.

Andra områden

Det verkar som om världens existens är omöjlig utan samband med denna funktion, och den styr alla lagar. Speciellt när naturlagarna är relaterade till geometrisk progression. Det är värt att vända sig till MatProfi-webbplatsen, och det finns många sådana exempel inom följande verksamhetsområden:

Listan kan vara oändlig. Efter att ha bemästrat de grundläggande principerna för denna funktion kan du kasta dig in i en värld av oändlig visdom.

Logaritm Positivt nummer N till basen(b> 0, b 1 ) kallas exponent x , som du behöver bygga till b för att få N .

Logaritmnotation:

Denna post motsvarar följande:b x = N .

EXEMPEL: logg 3 81 = 4, eftersom 34 = 81;

Logga 1/3 27 = – 3, eftersom (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Ovanstående definition av logaritm kan skrivas som en identitet:

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

1) logga b= 1 , därför att b 1 = b.

2) logga 1 = 0 , därför att b 0 = 1 .

3) Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna av faktorerna:

logga( ab) = log a+ logg b.

4) Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn:

logga( a/b) = log a– logga b.

5) En potenss logaritm är lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas:

logga (b k ) = k logga b.

Konsekvensen av denna egenskap är följande:rotens logaritm lika med logaritmen för det radikala talet dividerat med rotens potens:

6) Om basen för logaritmen är en grad, då värdet inversen av exponenten, kan tas ut ur logtecknet rim:

De två sista fastigheterna kan kombineras till en:

7) Formel för övergångsmodul (dvs. e . övergång från en baslogaritm till en annan bas):

I det speciella fallet när N=a vi har:

Decimallogaritm kallad baslogaritm 10. Den är utsedd lg, dvs. logga 10 N = lg N. Logaritmer av siffror 10, 100, 1000, ... sid siffrorna är 1, 2, 3, …, respektivede där. har så mycket positivt

enheter, hur många nollor finns det i ett logaritmiskt tal efter ett. Logaritmer av siffror 0,1, 0,01, 0,001, ... sid avna respektive –1, –2, –3, …, dvs. ha lika många negativa som det finns nollor före en i logaritmtalet ( räkning och noll heltal). Logaritmer andra tal har en bråkdel som kallas mantissa. Helaen del av logaritmen kallas karakteristisk. För praktiskt brukDecimallogaritmer är mest bekväma.

Naturlig logaritm kallad baslogaritm e. Det är utpekat ln, dvs. logga eN = ln N. siffra eär irrationellt, detungefärligt värde 2,718281828. Det är gränsen till vilken antalet tenderar(1 + 1 / n) n med obegränsad ökningn(centimeter. första underbara gränsen ).
Hur konstigt det än kan tyckas, visade sig naturliga logaritmer vara mycket bekväma när de utfördes olika sorter operationer relaterade till funktionsanalys.Beräknar logaritmer till baseneutförs mycket snabbare än av någon annan anledning.