hantverk

Vad är egennamnet för multiplikation? Multiplikation och dess egenskaper. Multiplikation av ett flersiffrigt tal med ett flersiffrigt tal

Förklarande ordbok för det ryska språket. D.N. Ushakov

multiplikation

multiplikationer, m.s. nej, jfr.

handling på verb. multiplicera - multiplicera och ange med vb. multiplicera - multiplicera. Multiplikation av tre med två. Inkomstmultiplikation.

En aritmetisk operation, upprepningen av ett givet tal som en term lika många gånger som det finns enheter i ett annat givet tal (mat.). Multiplikationstabell. Multiplikation av heltal.

Förklarande ordbok för det ryska språket. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova.

multiplikation

En matematisk operation med hjälp av vilken från två tal (eller kvantiteter) ett nytt tal (eller kvantitet) erhålls, som (för heltal) innehåller det första talet som summering lika många gånger som det finns enheter i det andra. Multiplikationstabell. Uppgiften kl

Ny förklarande och avledningsordbok för det ryska språket, T. F. Efremova.

Encyclopedic Dictionary, 1998

multiplikation

aritmetisk operation. Indikeras med en punkt "." eller tecknet "?" (i bokstavliga termer utelämnas multiplikationstecken). Multiplikation av positiva heltal (naturliga tal) är en åtgärd som låter två tal a (multiplikator) och b (multiplikator) hitta det tredje talet ab (produkt) lika med summan av b termer, som var och en är lika med a; a och b kallas också faktorer. Multiplikationen av bråktal a / b och c / d bestäms av likheten Multiplicering av två rationella tal ger ett tal, abs. vars värde är lika med produkten av de absoluta värdena för faktorerna och som har ett plustecken (+) om båda faktorerna har samma tecken, eller minus (-) om de har olika tecken. Multiplikationen av irrationella tal bestäms med hjälp av deras rationella approximationer. Multiplikation komplexa tal, data i formuläret? = a + bi och? \u003d c + di, bestäms av jämlikheten ?? = ac - bd + (a + bc)i.

Multiplikation

operationen att av två givna objekt a och b, kallade faktorer, bilda ett tredje objekt c, som kallas produkten. W. betecknas med tecknet X (infört av den engelske matematikern W. Outred 163

eller ∙ (introducerad av den tyske vetenskapsmannen G. Leibniz 1698); i bokstavsbeteckningen är dessa tecken utelämnade och istället för a ` b eller a ∙ b skriv ab. U. har en annan specifik betydelse och följaktligen olika specifika definitioner, beroende på den specifika typen av faktorer och produkt. Konstanten för positiva heltal är per definition den åtgärd som relaterar till talen a och ba tredje talet c, lika med summan av b termer, som var och en är lika med a, så att ab = a + a + .. + a (b termer). Talet a kallas multiplikatorn, b är multiplikatorn. Bråktalen ═ och ═ definieras av likheten ═ (se Bråk). Ekvationen för rationella tal ger ett tal vars absoluta värde är lika med produkten av de absoluta värdena av faktorerna, som har ett plustecken (+) om båda faktorerna har samma tecken, och ett minustecken (√) om de har olika tecken. Koefficienten för irrationella tal bestäms med hjälp av koefficienten för deras rationella approximationer. Ekvationen för komplexa tal som ges i formen a = a + bi och b = c + di definieras av likheten ab = ac √ bd + (ad + bc) i. När U. komplexa tal skrivna i trigonometrisk form:

a = r1 (cosj1 + isinj1),

b = r2 (cosj2 + isin j

deras moduler multipliceras och deras argument läggs till:

ab = r1r2(cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)).

U.-nummer unikt och har följande egenskaper:

1) ab = ba (kommutativitet, kommutativ lag);

2) a (bc) = (ab) c (associativitet, associativ lag);

a (b + c) = ab + ac (distributivitet, distributiv lag). I det här fallet, alltid a ×0 = 0; a×1 = a. Dessa egenskaper ligger till grund för den vanliga tekniken med flervärdiga tal.

En ytterligare generalisering av begreppet vektorer är kopplad till möjligheten att betrakta siffror som operatorer på en samling vektorer på ett plan. Till exempel motsvarar det komplexa talet r (cosj + i sin j) operatorn för att sträcka ut alla vektorer med r gånger och rotera dem med en vinkel j runt origo. I detta fall motsvarar ekvationen av komplexa tal ekvationen för motsvarande operatorer, dvs resultatet av ekvationen är den operator som erhålls genom successiv tillämpning av dessa två operatorer. Denna definition av U.-operatorer kan också överföras till andra typer av operatorer som inte längre kan uttryckas med siffror (till exempel linjära transformationer). Detta leder till operationer av U. matriser, quaternions, betraktade som operatorer för rotation och expansion i tredimensionellt utrymme, kärnor av integraloperatorer, och så vidare. Med sådana generaliseringar kan några av ovanstående egenskaper hos U. visa sig vara ouppfyllda, oftast egenskapen kommutativitet (icke-kommutativ algebra). Studiet av de allmänna egenskaperna för operationen U. ingår i problemen med allmän algebra, i synnerhet teorin om grupper och ringar.

Wikipedia

Multiplikation

Multiplikation- en av de grundläggande binära matematiska operationerna (aritmetiska operationer) av två argument. Till exempel, för naturliga tal: $c=a \cdot b = \underbrace( a+a+\cdots+a )_(b)= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = (\displaystyle\sum_(i=1) ^b a_i)$

I allmänna termer kan vi skriva: Π( a, b) = c. Det vill säga varje par av element ( a, b) är associerad med elementet c = a ⋅ b, kallad produkten a och b.

Skriftligt indikeras det vanligtvis med ett av "multiplikationstecknen" - " ⋅ , × , * ", till exempel: a ⋅ b = c. Multiplikation kan också definieras för rationella, reella, komplexa tal och andra matematiska, fysiska och abstrakta storheter.

Multiplikation har flera viktiga egenskaper:

Kommutativitet: a ⋅ b = b ⋅ a; Associativitet: ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c); Distributivitet: x ⋅ (a + b) = (x ⋅ a) + (x ⋅ b), ∀a, b ∈ A; Multiplicering med noll (nollelement) ger ett tal lika med noll: x⋅ 0 = 0; Multiplicera med ett (neutralt element) ger ett tal lika med originalet: x ⋅ 1 = x.

Figuren visar ett exempel på att räkna äpplen genom att multiplicera, 3 grupper om 5 äpplen, vilket resulterar i 15 äpplen: 5 ⋅ 3 = 15.

På uppsättningen av reella tal ser räckvidden för multiplikationsfunktionen grafiskt ut som en yta som går genom origo och krökt på båda sidor i form av en parabel.

Exempel på användningen av ordet multiplikation i litteraturen.

Han jämför deras arbete också med jäsning, med sådd av frön och med multiplikation senapsfrön.

Sedan fanns det de som inte vågade ingripa alls, eftersom deras medvetande utforskade händelserna med sekundära och tertiära effekter när de multiplikation och intrassling i alla riktningar i hela systemet.

multiplikation synder och sänkningen av den syndiga tröskeln som ett resultat av antikrist som har infiltrerat människors sinnen i form av en materialistisk-ateistisk doktrin och en falsk profet i Marx-Lenins kommunistiska partis person.

Under det senaste århundradet har det funnits en annan multiplikation synder och en sänkning av den syndiga tröskeln som ett resultat av antikrist som har infiltrerat människors sinnen i form av en materialistisk-ateistisk doktrin och en falsk profet i Marx-Lenins kommunistiska partis person.

Detta är en kritik av läran om merkantilism, som identifierade multiplikation mängden pengar i landet med tillväxten av befolkningens välfärd.

Innan man beskriver truppernas handlingar, genom ett oväntat multiplikation som kom från, så att säga, ett rövareband till ett ridsällskap, skulle det inte vara överflödigt att göra läsaren bekant med de privata hövdingarna därav.

Väl på gatan hörde jag en intrikat sång som rimmar i början av bordet multiplikation: En gång ensam - herrn kom.

Hans handlingar och upptåg är meningslösa, de vittnar om bifurkationen av Chichikov, hans multiplikation i ett spegelspel av imitationer, där det inte längre finns ett original, utan bara clowning av kopior.

Åtminstone tre gånger senare berättade han om detta och lämnade den framtida berättaren fri att redigera detaljerna: -- Heisenbergs regel multiplikation Jag kom inte ur mitt huvud, och efter intensiv eftertanke en morgon fick jag en uppenbarelse: jag kom ihåg den algebraiska teorin som jag studerade som student.

Hennes studier visar att jorden blev mer och mer heterogen som multiplikation skikt som bildar dess skorpa, vidare att den blev mer och mer heterogen i förhållande till sammansättningen av dessa skikt, av vilka de senare, bildade av fragmenten av gamla skikt, blev extremt komplexa genom blandningen av de material som fanns i dem och , slutligen, att denna heterogenitet avsevärt förstärktes av verkan av stillastående från jordens heta kärna till dess yta, vilket är anledningen till att inte bara en enorm variation av plutoniska berg inträffade, utan också lutningen av de avsatta lagren i olika vinklar, bildandet av sprickor, metallådror och oändliga oregelbundenheter och avvikelser.Geologer säger också att storleken på höjderna på jordens yta förändrades, att bergssystemen är de minst höga och att Anderna och Himalaya är de senaste höjderna, under tiden, i med all sannolikhet ägde motsvarande förändringar rum på botten av havet.

Om det är svårt att göra multiplikation med spänning medan du höjer pianot, hur är det då möjligt att bemästra de subtilaste inre känslorna i en komplex roll med Othellos subtila psykologi!

Vi är specialister på forskning, analys och mätning, vi är väktare och ständiga kontrollanter av alla alfabet, tabeller multiplikation och metoder, vi är brännarna av andliga mått och vikter.

Han läste inga böcker, vår kapten Trotta, och tyckte i hemlighet synd om sin uppväxta son, som snart skulle ställas inför skiffer, tavla och svamp, papper, linjal och bord. multiplikation och som de oundvikliga antologierna redan väntade på.

Den nya chefen - en stark, salt man - tog snabbt Uzhik till rent vatten, fann att han inte ens hade bemästrat borden multiplikation, och med åska drev honom ut ur skolan.

Dessa operationer kan inkludera addition, subtraktion och multiplikation funktioner, jämförelse av funktioner, liknande operationer på en funktion och ett tal, hitta maximum av funktioner, beräkna en obestämd integral, beräkna en bestämd integral av derivatan av två funktioner, skifta en funktion längs abskissan, etc.

Multiplikationär en aritmetisk operation där det första talet upprepas som en term så många gånger som det andra talet anger.

Ett tal som upprepas som en summering anropas multiplicerbar(det multipliceras), talet som visar hur många gånger termen ska upprepas kallas multiplikator. Talet som blir resultatet av multiplikation kallas arbete.

Till exempel, att multiplicera ett naturligt tal 2 med ett naturligt tal 5 innebär att hitta summan av fem termer, som var och en är lika med 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

I det här exemplet hittar vi summan genom enkel addition. Men när antalet identiska termer är stort, blir det för tråkigt att hitta summan genom att lägga till alla termer.

För att skriva multiplikation, använd tecknet × (snett kors) eller · (punkt). Den placeras mellan multiplikatorn och multiplikatorn, med multiplikatorn skriven till vänster om multiplikationstecknet och multiplikatorn till höger. Till exempel betyder posten 2 5 att talet 2 multipliceras med talet 5. Till höger om multiplikationsposten sätter du tecknet = (lika), varefter resultatet av multiplikationen skrivs. Således ser den fullständiga notationen av multiplikation ut så här:

Denna post lyder som följer: produkten av två och fem är lika med tio, eller två gånger fem är lika med tio.

Således ser vi att multiplikation bara är en förkortning för att lägga till liknande termer.

Multiplikationskontroll

För att kontrollera multiplikationen kan du dividera produkten med en faktor. Om resultatet av divisionen är ett tal lika med multiplikationen, är multiplikationen korrekt.

Tänk på uttrycket:

där 4 är multiplikanten, 3 är multiplikatorn och 12 är produkten. Låt oss nu kontrollera multiplikationen genom att dividera produkten med faktorn.

När man multiplicerar och dividerar heltal gäller flera regler. I den här lektionen kommer vi att titta på var och en av dem.

När du multiplicerar och dividerar heltal, var uppmärksam på talens tecken. Det beror på dem vilken regel som ska tillämpas. Det är också nödvändigt att studera flera lagar för multiplikation och division. Att lära sig dessa regler hjälper dig att undvika några pinsamma misstag i framtiden.

Lektionens innehåll

Lagar för multiplikation

Vi tog upp några av matematikens lagar i lektionen. Men vi har inte tagit hänsyn till alla lagar. Det finns många lagar i matematik, och det skulle vara klokare att studera dem sekventiellt efter behov.

Låt oss först komma ihåg vad multiplikation består av. Multiplikation består av tre parametrar: multiplicera, multiplikator och Arbetar. Till exempel, i uttrycket 3 × 2 = 6 är talet 3 multiplikanten, talet 2 är multiplikatorn och talet 6 är produkten.

Multiplikand visar exakt vad vi ökar. I vårt exempel ökar vi siffran 3.

Faktor Visar hur många gånger du behöver öka multiplikanten. I vårt exempel är multiplikatorn talet 2. Denna multiplikator visar hur många gånger du behöver öka multiplikatorn 3. Det vill säga, under multiplikationsoperationen kommer talet 3 att fördubblas.

Arbete detta är faktiskt resultatet av multiplikationsoperationen. I vårt exempel är produkten talet 6. Denna produkt är resultatet av att multiplicera 3 med 2.

Uttrycket 3 × 2 kan också förstås som summan av två tripletter. Multiplikatorn 2 i det här fallet visar hur många gånger du behöver upprepa siffran 3:

Således, om siffran 3 upprepas två gånger i rad, kommer siffran 6 att erhållas.

Kommutativ lag för multiplikation

Multiplikatorn och multiplikatorn kallas ett vanligt ord - faktorer. Den kommutativa lagen för multiplikation ser ut så här:

Från permutationen av faktorernas platser förändras inte produkten.

Låt oss kolla om så är fallet. Multiplicera till exempel 3 med 5. Här är 3 och 5 faktorer.

3 x 5 = 15

Låt oss nu byta faktorerna:

5 x 3 = 15

I båda fallen får vi svaret 15, vilket betyder att vi kan sätta ett likhetstecken mellan uttrycken 3 × 5 och 5 × 3, eftersom de är lika med samma värde:

3 x 5 = 5 x 3

15 = 15

Och med hjälp av variabler kan den kommutativa lagen för multiplikation skrivas på följande sätt:

a × b = b × a

var a och b— faktorer

Associativ lag för multiplikation

Denna lag säger att om ett uttryck består av flera faktorer, kommer produkten inte att bero på operationsordningen.

Till exempel består uttrycket 3 × 2 × 4 av flera faktorer. För att beräkna det kan du multiplicera 3 och 2 och sedan multiplicera den resulterande produkten med det återstående talet 4. Det kommer att se ut så här:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

Detta var den första lösningen. Det andra alternativet är att multiplicera 2 och 4, multiplicera sedan den resulterande produkten med det återstående talet 3. Det kommer att se ut så här:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

I båda fallen får vi svaret 24. Därför kan vi mellan uttrycken (3 × 2) × 4 och 3 × (2 × 4) sätta ett likhetstecken, eftersom de är lika med samma värde:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

och med hjälp av variabler kan den associativa lagen för multiplikation skrivas på följande sätt:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

var istället för a, b,c kan vara vilket nummer som helst.

Distributiv lag för multiplikation

Den distributiva lagen för multiplikation låter dig multiplicera en summa med ett tal. För att göra detta multipliceras varje term av denna summa med detta tal, sedan läggs resultaten till.

Låt oss till exempel hitta värdet på uttrycket (2 + 3) × 5

Uttrycket inom parentes är summan. Detta belopp måste multipliceras med siffran 5. För att göra detta måste varje term av denna summa, det vill säga siffrorna 2 och 3, multipliceras med siffran 5, lägg sedan till resultaten:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Så värdet på uttrycket (2 + 3) × 5 är 25 .

Med hjälp av variabler skrivs den distributiva lagen för multiplikation enligt följande:

(a + b) × c = a × c + b × c

var istället för a, b, c kan vara vilket nummer som helst.

Lagen om multiplikation med noll

Denna lag säger att om det i någon multiplikation finns minst en nolla, så blir svaret noll.

Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll.

Till exempel är uttrycket 0 × 2 noll

I det här fallet är siffran 2 en multiplikator och visar hur många gånger du behöver öka multiplikanten. Det vill säga hur många gånger för att öka noll. Bokstavligen lyder detta uttryck som följer: "fördubbling av noll" . Men hur kan du dubbla noll om det är noll? Svaret är nej.

Med andra ord, om "ingenting" fördubblas, eller till och med en miljon gånger, kommer det fortfarande att vara "ingenting".

Och om vi i uttrycket 0 × 2 byter faktorerna, får vi återigen noll. Vi vet detta från den tidigare förskjutningslagen:

Exempel på tillämpning av lagen om multiplikation med noll:

5 x 5 x 5 x 0 = 0

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

I de två sista exemplen finns det flera faktorer. När vi ser noll i dem sätter vi omedelbart noll i svaret och tillämpar multiplikationens lag med noll.

Vi har övervägt de grundläggande lagarna för multiplikation. Tänk sedan på multiplikationen av heltal.

Heltalsmultiplikation

Exempel 1 Hitta värdet på uttrycket −5 × 2

Detta är multiplikationen av tal med olika tecken. −5 är negativt och 2 är positivt. För sådana fall bör följande regel tillämpas:

För att multiplicera tal med olika tecken måste du multiplicera deras moduler och sätta ett minus före det mottagna svaret.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Vanligtvis skrivs kortare: −5 × 2 = −10

Varje multiplikation kan representeras som en summa av tal. Tänk till exempel på uttrycket 2 × 3. Det är lika med 6.

Multiplikatorn i detta uttryck är talet 3. Denna multiplikator visar hur många gånger du behöver öka de två. Men uttrycket 2 × 3 kan också förstås som summan av tre tvåor:

Samma sak händer med uttrycket −5 × 2. Detta uttryck kan representeras som en summa

Och uttrycket (−5) + (−5) är lika med −10. Vi vet detta från . Detta är tillägget av negativa tal. Kom ihåg att resultatet av att lägga till negativa tal är ett negativt tal.

Exempel 2 Hitta värdet på uttrycket 12 × (−5)

Detta är multiplikationen av tal med olika tecken. 12 är ett positivt tal, (−5) är negativt. Återigen tillämpar vi den tidigare regeln. Vi multiplicerar modulerna med siffror och sätter ett minus före det mottagna svaret:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Vanligtvis skrivs lösningen kortare:

12 × (−5) = −60

Exempel 3 Hitta värdet på uttrycket 10 × (−4) × 2

Detta uttryck består av flera faktorer. Multiplicera först 10 och (−4), multiplicera sedan det resulterande talet med 2. Tillämpa på vägen de tidigare studerade reglerna:

Första åtgärden:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Andra åtgärden:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Så värdet på uttrycket 10 × (−4) × 2 är −80

Låt oss skriva lösningen i korthet:

10 × (−4) × 2 = -40 × 2 = -80

Exempel 4 Hitta värdet på uttrycket (−4) × (−2)

Detta är multiplikationen av negativa tal. I sådana fall bör följande regel gälla:

För att multiplicera negativa tal måste du multiplicera deras moduler och sätta ett plus framför det mottagna svaret.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Dessutom skriver vi inte av tradition, så vi skriver bara ner svaret 8.

Låt oss skriva lösningen kortare (−4) × (−2) = 8

Frågan uppstår varför, när man multiplicerar negativa tal, plötsligt visar sig ett positivt tal. Låt oss försöka bevisa att (−4) × (−2) är lika med 8 och inget annat.

Först skriver vi följande uttryck:

Låt oss omge det inom parentes:

(4×(−2) )

Låt oss lägga till vårt uttryck (−4) × (−2) till detta uttryck. Låt oss också sätta det inom parentes:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

Vi likställer allt detta till noll:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Nu börjar det roliga. Summan av kardemumman är att vi måste beräkna vänster sida av detta uttryck och som ett resultat få 0.

Så den första produkten (4 × (−2)) är −8. Låt oss skriva talet −8 i vårt uttryck istället för produkten (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Nu, istället för den andra produkten, lägger vi tillfälligt en ellips

Låt oss nu titta närmare på uttrycket -8 + ... = 0. Vilket tal ska ersätta ellipsen för att likhet ska kunna observeras? Svaret tyder på sig självt. Istället för en ellips bör det finnas ett positivt nummer 8 och ingen annan. Endast på detta sätt kommer jämställdheten att upprätthållas. Eftersom −8 + 8 är lika med 0.

Vi återgår till uttrycket −8 + ((−4) × (−2)) = 0 och istället för produkten ((−4) × (−2)) skriver vi talet 8

Exempel 5 Hitta värdet på uttrycket −2 × (6 + 4)

Vi tillämpar den distributiva lagen för multiplikation, det vill säga vi multiplicerar talet −2 med varje term av summan (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Låt oss nu göra multiplikationen och lägga till resultaten. Längs vägen, tillämpa de tidigare inlärda reglerna. Posten med moduler kan utelämnas för att inte röra upp uttrycket

Första åtgärden:

−2 × 6 = −12

Andra åtgärden:

−2 × 4 = −8

Tredje åtgärden:

−12 + (−8) = −20

Så värdet på uttrycket −2 × (6 + 4) är −20

Låt oss skriva lösningen i korthet:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Exempel 6 Hitta värdet på uttrycket (−2) × (−3) × (−4)

Uttrycket består av flera faktorer. Först multiplicerar vi talen -2 och -3, och den resulterande produkten multipliceras med det återstående talet -4. Vi hoppar över posten med moduler för att inte röra upp uttrycket

Första åtgärden:

(−2) × (−3) = 6

Andra åtgärden:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Så värdet på uttrycket (−2) × (−3) × (−4) är −24

Låt oss skriva lösningen i korthet:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Indelningslagar

Innan man delar heltal är det nödvändigt att studera två divisionslagar.

Först och främst, låt oss komma ihåg vad division består av. Uppdelningen består av tre parametrar: delbar, delare och privat. Till exempel, i uttryck 8: 2 = 4, 8 är utdelningen, 2 är divisor, 4 är kvoten.

Utdelning visar exakt vad vi delar. I vårt exempel delar vi talet 8.

Delare Visar hur många delar som ska dela utdelningen. I vårt exempel är divisor talet 2. Denna divisor visar hur många delar som ska delas utdelningen 8. Det vill säga, under divisionsoperationen kommer talet 8 att delas upp i två delar.

Privatär det faktiska resultatet av divisionsverksamheten. I vårt exempel är kvoten 4. Denna kvot är resultatet av att dividera 8 med 2.

Kan inte dividera med noll

Alla tal kan inte delas med noll.

Detta beror på att division är inversen av multiplikation. Denna fras kan tas bokstavligt. Till exempel, om 2 × 5 = 10, då 10:5 = 2.

Det kan ses att det andra uttrycket är skrivet i omvänd ordning. Om vi till exempel har två äpplen och vi vill öka dem fem gånger, så skriver vi 2 × 5 = 10. Vi får tio äpplen. Sedan, om vi vill minska de tio äpplena tillbaka till två, skriver vi 10:5 = 2

Du kan göra samma sak med andra uttryck. Om till exempel 2 × 6 = 12, så kan vi gå tillbaka till det ursprungliga talet 2. För att göra detta räcker det att skriva uttrycket 2 × 6 = 12 i omvänd ordning, dividera 12 med 6

Betrakta nu uttrycket 5 × 0. Vi vet från multiplikationslagarna att produkten är lika med noll om åtminstone en av faktorerna är lika med noll. Så uttrycket 5 × 0 är också noll

Om vi skriver detta uttryck i omvänd ordning får vi:

Svaret fångar omedelbart ögat är 5, vilket är resultatet av att dividera noll med noll. Det är omöjligt.

Ett annat liknande uttryck kan skrivas i omvänd ordning, till exempel 2 × 0 = 0

I det första fallet, genom att dividera noll med noll, fick vi 5, och i det andra fallet, 2. Det vill säga, varje gång vi dividerar noll med noll, kan vi få olika värden, och detta är oacceptabelt.

Den andra förklaringen är att att dividera utdelningen med divisorn innebär att hitta ett tal som, multiplicerat med divisorn, ger utdelningen.

Till exempel betyder uttrycket 8:2 att hitta ett tal som, multiplicerat med 2, ger 8

Här, istället för ellipsen, ska det finnas ett tal som, multiplicerat med 2, ger svaret 8. För att hitta detta tal räcker det att skriva detta uttryck i omvänd ordning:

Vi fick siffran 4. Låt oss skriva det istället för ellipsen:

Föreställ dig nu att du behöver hitta värdet på uttrycket 5: 0. I det här fallet är 5 utdelningen, 0 är divisor. Att dividera 5 med 0 innebär att hitta ett tal som, multiplicerat med 0, ger 5

Här ska det istället för ellipsen finnas ett tal som, multiplicerat med 0, ger svaret 5. Men det finns inget tal som, multiplicerat med noll, ger 5.

Uttrycket … × 0 = 5 motsäger lagen om multiplikation med noll, som säger att produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Så det är ingen mening att skriva uttrycket … × 0 = 5 i omvänd ordning, dividera 5 med 0. Det är därför de säger att man inte kan dividera med noll.

Med hjälp av variabler skrivs denna lag så här:

På b ≠ 0

siffra a kan delas med ett tal b, förutsatt att b inte lika med noll.

privat egendom

Denna lag säger att om utdelningen och divisorn multipliceras eller divideras med samma tal, så kommer kvoten inte att ändras.

Tänk till exempel på uttrycket 12: 4. Värdet på detta uttryck är 3

Låt oss försöka multiplicera utdelningen och divisorn med samma tal, till exempel med siffran 4. Om vi tror på kvotegenskapen ska vi återigen få siffran 3 i svaret

(12×4): (4×4)

(12 × 4): (4 × 4) = 48: 16 = 3

Fick svar 3.

Låt oss nu försöka att inte multiplicera, utan att dividera utdelningen och divisorn med talet 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

Fick svar 3.

Vi ser att om utdelningen och divisorn multipliceras eller divideras med samma tal, så ändras inte kvoten.

Division av heltal

Exempel 1 Hitta värdet på uttryck 12: (−2)

Detta är divisionen av tal med olika tecken. 12 är ett positivt tal, (−2) är negativt. För att lösa detta exempel behöver du dela utdelningsmodulen med divisormodulen och sätt ett minus före det mottagna svaret.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

Vanligtvis skrivet kortare:

12: (−2) = −6

Exempel 2 Hitta värdet på uttrycket −24: 6

Detta är divisionen av tal med olika tecken. −24 är negativt, 6 är positivt. Återigen dividera utdelningsmodulen med divisormodulen och sätt ett minus före det mottagna svaret.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

Låt oss skriva lösningen i korthet:

Exempel 3 Hitta värdet på uttrycket −45: (−5)

Detta är divisionen av negativa tal. För att lösa detta exempel behöver du dividera utdelningsmodulen med divisormodulen och sätt ett plustecken framför det mottagna svaret.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

Låt oss skriva lösningen i korthet:

−45: (−5) = 9

Exempel 4 Hitta värdet på uttrycket −36: (−4) : (−3)

Enligt, om uttrycket endast innehåller multiplikation eller division, måste alla åtgärder utföras från vänster till höger i den ordning som de visas.

Dividera −36 med (−4), och dividera det resulterande talet med −3

Första åtgärden:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

Andra åtgärden:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

Låt oss skriva lösningen i korthet:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya Vkontakte-grupp och börja få meddelanden om nya lektioner

MULTIPERERA värde

T.F. Efremova Ny ordbok Ryska språket. Förklarande- avledning

multiplikation

Menande:

multiplicera e nie

jfr.

1) Handlingsprocessen efter värde. verb: multiplicera (1), multiplicera.

Menande:

aritmetisk operation. Indikeras med en punkt "." eller tecknet "?" (i bokstavliga termer utelämnas multiplikationstecken). Multiplikation av positiva heltal (naturliga tal) är en åtgärd som låter två tal a (multiplikator) och b (multiplikator) hitta det tredje talet ab (produkt) lika med summan av b termer, som var och en är lika med a; a och b kallas också faktorer. Multiplikationen av bråktal a / b och c / d bestäms av likheten Multiplicering av två rationella tal ger ett tal, abs. vars värde är lika med produkten av de absoluta värdena för faktorerna och som har ett plustecken (+) om båda faktorerna har samma tecken, eller minus (-) om de har olika tecken. Multiplikationen av irrationella tal bestäms med hjälp av deras rationella approximationer. Multiplikation av komplexa tal som ges i formen? = a + bi och? \u003d c + di, bestäms av jämlikheten ?? = ac - bd + (a + bc)i.

Liten akademisk ordbok för det ryska språket

multiplikation

Menande:

JAG ÄR, jfr.

Handling på verb. multiplicera - multiplicera (i 2 värden); handling och stat efter värde. vb. multiplicera - multiplicera.

När familjen förökade sig blev tillsynen svårare. Pomyalovsky, Danilushka.

– Vi behöver mångfaldigandet av mänskliga nöjen och lindringen av mänskligt lidande. Sol. Ivanov, Blue Sands.

Inversen av division är en matematisk operation genom vilken ett nytt tal (eller kvantitet) erhålls från två tal (eller kvantiteter), som (för heltal) innehåller summan av det första talet lika många gånger som det finns enheter i det andra.

Multiplikationstabell.

Att multiplicera ett heltal med ett annat innebär att upprepa ett tal lika många gånger som det andra innehåller ettor. Att upprepa ett tal innebär att ta dess summa flera gånger och bestämma summan.

Definition av multiplikation

Multiplikation av heltal är en sådan operation där du måste ta ett tal som termer lika många gånger som det andra innehåller enheter, och hitta summan av dessa termer.

Att multiplicera 7 med 3 innebär att man tar summan av siffran 7 tre gånger och hittar summan. Önskat belopp är 21.

Multiplikation är addition av lika termer.

Uppgifterna i multiplikation kallas multiplikator och multiplikator, och den önskade - arbete.

I det föreslagna exemplet kommer data att vara multiplikatorn 7, multiplikatorn 3 och den önskade produkten 21.

Multiplikand. Multiplikanten är talet som multipliceras eller upprepas med summan. Multiplikatorn uttrycker storleken på lika termer.

Faktor. Multiplikatorn visar hur många gånger multiplikanten upprepas av termen. Multiplikatorn visar antalet lika stora termer.

Arbete. Produkten är det tal som blir resultatet av multiplikation. Det är summan av lika termer.

Multiplikatorn och multiplikatorn tillsammans kallas tillverkare.

När man multiplicerar heltal ökar ett tal lika många gånger som det andra innehåller enheter.

multiplikationstecken. Operationen av multiplikation betecknas med tecknet × (indirekt kors) eller. (punkt). Multiplikationstecknet placeras mellan multiplikanten och multiplikatorn.

Upprepa siffran 7 tre gånger som en summa och hitta summan betyder 7 gånger 3. Istället för att skriva

skriv med multiplikationstecknet i korthet:

7 × 3 eller 7 3

Multiplikation är en förkortad addition av lika termer.

Skylt ( × ) introducerades av Oughtred (1631), och tecknet. Christian Wolff (1752).

Relationen mellan data och önskat antal uttrycks i multiplikation

i skrift:

7 × 3 = 21 eller 7 3 = 21

muntligt:

sju gånger tre är 21.

För att göra en produkt på 21 måste du upprepa 7 tre gånger

För att få en faktor 3 måste du upprepa enheten tre gånger

Därför har vi en annan definition av multiplikation: Multiplikation är en operation där produkten är uppbyggd av multiplikanden på exakt samma sätt som multiplikatorn är uppbyggd av enhet.

Verkets huvudsakliga egendom

Produkten ändras inte från en förändring i tillverkarnas ordning.

Bevis. Att multiplicera 7 med 3 innebär att upprepa 7 tre gånger. Genom att ersätta 7 med summan av 7 enheter och kapsla dem vertikalt har vi:

När vi multiplicerar två tal kan vi alltså betrakta endera av de två producenterna som en multiplikator. På grundval av detta kallas tillverkare faktorer eller bara multiplikatorer.

Den vanligaste multiplikationstekniken är att lägga till lika termer; men om producenterna är stora leder det här tricket till långa beräkningar, så själva kalkylen ordnas annorlunda.

Multiplikation av ensiffriga tal. Pythagoras bord

För att multiplicera två ensiffriga tal måste du upprepa ett tal med termerna lika många gånger som det andra innehåller enheter, och hitta deras summa. Eftersom multiplikationen av heltal reduceras till multiplikationen av ensiffriga tal, utgör de en tabell med produkter av alla ensiffriga tal i par. En sådan tabell över alla produkter av ensiffriga tal i par kallas multiplikationstabell.

Dess uppfinning tillskrivs den grekiske filosofen Pythagoras, efter vilken den kallas. Pythagoras bord. (Pythagoras föddes omkring 569 f.Kr.).

För att sammanställa den här tabellen måste du skriva de första 9 siffrorna i en horisontell rad:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sedan, under den här raden, måste du signera en serie siffror som uttrycker produkten av dessa siffror med 2. Denna nummerserie kommer att visa sig när vi lägger till varje nummer till sig själv på den första raden. Från den andra raden av siffror går vi successivt till 3, 4, etc. Varje efterföljande rad erhålls från den föregående genom att lägga till numren på den första raden till den.

Om vi fortsätter att göra detta fram till rad 9 får vi den pythagoriska tabellen i följande form

För att hitta produkten av två ensiffriga tal från denna tabell, måste du hitta en tillverkare i den första horisontella raden och den andra i den första vertikala kolumnen; då kommer den önskade produkten att vara i skärningspunkten mellan motsvarande kolumn och rad. Således är produkten 6 × 7 = 42 i skärningspunkten mellan den 6:e raden och den 7:e kolumnen. Produkten av noll gånger ett tal och ett tal gånger noll ger alltid noll.

Eftersom produkten av ett tal med 1 ger själva talet, och att vända ordningen på faktorerna inte ändrar produkten, så finns alla de olika produkterna av två ensiffriga tal som du bör vara uppmärksam på i följande tabell:

Produkter av ensiffriga nummer som inte finns i denna tabell erhålls från data, om endast multiplikatorns ordning ändras i dem; alltså 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Multiplikation av ett flersiffrigt tal med ett ensiffrigt tal

Multiplikationen av talet 8094 med 3 indikeras genom att signera multiplikatorn under multiplikanten, sätta multiplikationstecknet till vänster och dra en linje för att separera produkten.

Att multiplicera det flersiffriga talet 8094 med 3 innebär att hitta summan av tre lika stora termer

därför, för multiplikation, måste du upprepa alla ordningsföljder av ett flersiffrigt tal tre gånger, det vill säga multiplicera med 3 enheter, tiotal, hundra, etc. Addition börjar från ett, därför måste multiplikation också börja från ett, och sedan gå från höger hand till vänster till högre ordningsenheter.

I det här fallet uttrycks beräkningsförloppet verbalt:

Vi börjar multiplicera med enheter: 3 × 4 är 12, vi skriver under enheterna 2, och vi tillämpar enheten (1 tio) på produkten av nästa beställning med faktorn (eller kom ihåg det i ditt sinne).

Multiplicera tiotal: 3 × 9 är 27, ja 1 i sinnet är 28; vi skriver under tiotals 8 och 2 i åtanke.

Multiplicera hundratals: Noll multiplicerat med 3 ger noll, ja 2 i sinnet blir 2, vi skriver under hundratals 2.

Multiplicera tusentals: 3 × 8 = 24, vi signerar helt 24, eftersom vi inte har följande order.

Denna åtgärd kommer att uttryckas skriftligt:

Från föregående exempel härleder vi följande regel. För att multiplicera ett flersiffrigt tal med ett ensiffrigt tal behöver du:

Signera multiplikatorn under enheterna för multiplikanten, sätt multiplikationstecknet till vänster och dra en linje.

Multiplikation börjar med enkla enheter, sedan flyttar de från höger hand till vänster och multiplicerar successivt tiotals, hundra, tusentals, etc.

Om produkten under multiplikation uttrycks som ett ensiffrigt tal, signeras den under multiplikationssiffran.

Om produkten uttrycks som ett tvåsiffrigt tal, signeras enhetssiffran under samma kolumn, och tiotalssiffran läggs till produkten av nästa beställning med faktorn.

Multiplikationen fortsätter tills hela produkten erhålls.

Multiplicera siffror med 10, 100, 1000...

Att multiplicera siffror med 10 innebär att omvandla enkla enheter till tiotal, tiotal till hundratals, etc., det vill säga att öka ordningen på alla siffror med en. Detta uppnås genom att lägga till en nolla till höger. Att multiplicera med 100 innebär att öka alla ordrar av multiplikatorn med två enheter, det vill säga att omvandla enheter till hundratals, tiotals till tusentals, etc.

Detta uppnås genom att tillskriva två nollor till talet.

Därför drar vi slutsatsen:

För att multiplicera ett heltal med 10, 100, 1000, och i allmänhet med 1 med nollor, måste du tilldela lika många nollor till höger som det finns i multiplikatorn.

Att multiplicera talet 6035 med 1000 kommer att uttryckas skriftligt:

När multiplikatorn är ett tal som slutar på nollor, signeras endast signifikanta siffror under multiplikatorn, och nollorna för multiplikatorn hänförs till höger.

För att multiplicera 2039 med 300 måste du ta talet 2029 i form av 300 gånger. Att ta 300 termer är detsamma som att ta tre gånger 100 termer eller 100 gånger tre termer. För att göra detta multiplicerar vi talet med 3 och sedan med 100, eller så multiplicerar vi först med 3, och sedan tillskriver vi två nollor till höger.

Beräkningsförloppet kommer att uttryckas skriftligt:

regel. För att multiplicera ett tal med ett annat, representerat av en siffra med nollor, måste du först multiplicera multiplikationen med talet uttryckt med en signifikant siffra och sedan tilldela så många nollor som det finns i faktorn.

Multiplikation av ett flersiffrigt tal med ett flersiffrigt tal

För att multiplicera det flersiffriga talet 3029 med det flersiffriga talet 429, eller hitta produkten 3029 * 429, måste du upprepa 3029 termer 429 gånger och hitta summan. Att upprepa 3029 termer 429 gånger betyder att upprepa dess termer först 9, sedan 20 och slutligen 400 gånger. För att multiplicera 3029 med 429 måste du därför multiplicera 3029 först med 9, sedan med 20 och slutligen med 400 och hitta summan av dessa tre produkter.

Tre verk

kallad privata arbeten.

Hela produkten på 3029 × 429 är lika med summan av tre kvoter:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Låt oss hitta värdena för dessa tre delprodukter.

Om vi multiplicerar 3029 med 9 finner vi:

3029 × 9 27261 första privata arbetet

Om vi multiplicerar 3029 med 20 finner vi:

3029 × 20 60580 andra privata arbete

Om vi multiplicerar 3026 med 400 finner vi:

3029 ×400 1211600 tredje privata arbete

Om vi lägger till dessa delprodukter får vi produkten 3029 × 429:

Det är inte svårt att se att alla dessa delprodukter är produkter av talet 3029 och ensiffriga nummer 9, 2, 4, och en nolla tillskrivs den andra produkten, som kommer från multiplikation med tiotal, och två nollor till tredje.

Nollor som tillskrivs delprodukter utelämnas under multiplikation och beräkningsprocessen uttrycks skriftligt:

I det här fallet, när de multiplicerar med 2 (siffran i multiplikatorns tiotal), tecknar de 8 under tiotalet, eller drar sig tillbaka till vänster med en siffra; när du multiplicerar med hundratal siffran 4, tecken 6 i den tredje kolumnen, eller dra dig tillbaka till vänster med 2 siffror. I allmänhet börjar varje privat verk signeras från höger till vänster i den ordning som multiplikatorsiffran tillhör.

Vi letar efter produkten av 3247 av 209, vi har:

Här börjar vi signera den andra delprodukten under den tredje kolumnen, eftersom den uttrycker produkten av 3247 med 2, den tredje siffran i multiplikatorn.

Vi har utelämnat här endast de två nollor som borde ha förekommit i den andra delprodukten, eftersom den uttrycker produkten av ett tal med 2 hundra eller med 200.

Av det som har sagts härleder vi regeln. För att multiplicera ett flersiffrigt tal med ett flersiffrigt tal,

du måste signera multiplikatorn under multiplikatorn så att siffrorna i samma ordning är i samma vertikala kolumn, sätt multiplikationstecknet till vänster och dra en linje.

Multiplikation börjar med enkla enheter, sedan flyttas de från höger hand till vänster, multiplicerar seriemultiplikatorn med siffran tiotal, hundra, etc. och utgör lika många delprodukter som det finns signifikanta siffror i multiplikatorn.

Enheterna för varje privat produkt signeras under den kolumn som multiplikatorsiffran tillhör.

Alla privata verk som hittas på detta sätt läggs samman och får en produkt totalt.

För att multiplicera ett flersiffrigt tal med en faktor som slutar på nollor måste du kassera nollorna i faktorn, multiplicera med det återstående talet och sedan lägga till så många nollor till produkten som det finns i faktorn.

Exempel. Hitta produkten av 342 gånger 2700.

Om multiplikatorn och multiplikatorn båda slutar på nollor, kasseras de under multiplikationen och sedan läggs lika många nollor till produkten som det finns i båda producenterna.

Exempel. När vi beräknar produkten av 2700 med 35000 multiplicerar vi 27 med 35

Genom att tilldela fem nollor till 945 får vi den önskade produkten:

2700 × 35000 = 94500000.

Antal siffror i produkten. Antalet siffror för produkten 3728 × 496 kan bestämmas enligt följande. Denna produkt är mer än 3728 × 100 och mindre än 3728 × 1000. Antalet siffror i den första produkten 6 är lika med antalet siffror i multiplikatorn 3728 och i multiplikatorn 496 utan enhet. Antalet siffror i den andra produkten 7 är lika med antalet siffror i multiplikatorn och i multiplikatorn. En given produkt på 3728 × 496 kan inte ha mindre än 6 siffror (antalet siffror i produkten är 3728 × 100 och fler än 7 (antalet siffror i produkten är 3728 × 1000).

Var drar vi slutsatsen: antalet siffror i en produkt är antingen lika med antalet siffror i multiplikaden och i faktorn, eller lika med detta antal utan enhet.

Vår produkt kan innehålla antingen 7 eller 6 siffror.