Pravljice

Formula za določitev vsote aritmetične progresije. Vsota aritmetične progresije. Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.

Ta tema se pogosto zdi zapletena in nerazumljiva. Črkovni indeksi n-ti izraz napredovanja, razlike v napredovanju - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetične progresije in vse bo takoj bolje.)

Koncept aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. Imate kakšne dvome? Zaman.) Prepričajte se sami.

Napisal bom nedokončano vrsto številk:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Lahko podaljšate to serijo? Katere številke bodo naslednje, za petico? Vsi... uf..., skratka vsi bodo spoznali, da bodo na vrsto prišle številke 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo nalogo. Dajem vam nedokončano serijo številk:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Lahko boste ujeli vzorec, razširili serijo in poimenovali sedmičštevilo serij?

Če ste ugotovili, da je ta številka 20, čestitamo! Ne samo, da ste čutili ključne točke aritmetične progresije, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če še niste ugotovili, berite dalje.

Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)

Prva ključna točka.

Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, risati grafe in vse to ... Tu pa vrsto razširimo, poiščemo številko serije ...

V redu je. Samo progresije so prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje posebej z nizi števil in izrazov. Navadi se.)

Druga ključna točka.

V aritmetični progresiji je katero koli število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je tri večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da dojamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.

Tretja ključna točka.

Ta trenutek ni presenetljiv, ja ... Je pa zelo, zelo pomemben. Tukaj je: Vsaka številka napredovanja je na svojem mestu. Obstaja prva številka, obstaja sedma, obstaja petinštirideseta itd. Če jih naključno pomešate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. Kar ostane, je le niz številk.

To je bistvo.

Seveda, v nova tema pojavljajo se novi izrazi in poimenovanja. Morate jih poznati. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se boste morali nekaj takega:

Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Navdihujoče?) Črke, nekaj indeksov ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti preprostejša. Samo razumeti morate pomen izrazov in oznak. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.

Izrazi in poimenovanja.

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

Ta količina se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.

Razlika aritmetične progresije.

Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.

Ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je vsako število napredovanja z dodajanjem razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.

Za izračun, recimo drugoštevilke serije, morate prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati Za četrti, dobro itd.

Razlika aritmetične progresije Mogoče pozitivno, potem se bo vsaka številka v seriji izkazala za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu se dobi vsaka številka z dodajanjem pozitivno število, +5 k prejšnjemu.

Razlika je lahko negativno, potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.

Na primer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tukaj se tudi dobi vsaka številka z dodajanjem prejšnjemu, ampak že negativno število, -5.

Mimogrede, pri delu z napredovanjem je zelo koristno takoj določiti njegovo naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. To zelo pomaga pri sprejemanju odločitev, odkrivanju napak in popravljanju, preden bo prepozno.

Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.

Kako najti d? Zelo preprosto. Od katere koli številke v nizu je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)

Določimo npr. d za povečanje aritmetične progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

V nizu vzamemo poljubno število, ki ga želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnja številka tiste. 8:

To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.

Lahko ga vzameš katero koli število napredovanja, Ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Preprosto zato, ker je prva številka nobena prejšnja.)

Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 – dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko – dvajset.

Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebujete s katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberite poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno število.

Drugi izrazi in poimenovanja.

Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.

Vsak član napredovanja ima svojo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi člen, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno karkoli, celota, ulomek, negativ, karkoli, ampak številčenje številk- strogo v redu!

Kako napisati napredovanje v splošni pogled? Brez problema! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se običajno uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Pojme pišemo ločene z vejicami (ali podpičji), takole:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- to je prva številka, a 3- tretji itd. Nič posebnega. To serijo lahko na kratko zapišemo takole: (a n).

Napredovanja se dogajajo končno in neskončno.

Ultimativno napredovanje ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.

Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)

Končno napredovanje skozi serijo lahko zapišete takole, vse izraze in piko na koncu:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Ali takole, če je članov veliko:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

V kratkem vnosu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:

(a n), n = 20

Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.

Zdaj lahko rešite naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.

Primeri nalog o aritmetičnem napredovanju.

Oglejmo si podrobneje zgoraj navedeno nalogo:

1. Izpišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Nalogo prevedemo v razumljiv jezik. Podana je neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Razlika v napredovanju je znana: d = -2,5. Najti moramo prvi, tretji, četrti, peti in šesti člen tega napredovanja.

Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoje problema. Prvih šest členov, kjer je drugi člen pet:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zamenjaj v izraz a 2 = 5 in d = -2,5. Ne pozabite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretji mandat se je izkazal za manjšega od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, kar pomeni, da bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Štejemo četrti člen naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Torej so bili izračunani izrazi od tretjega do šestega. Rezultat je naslednja serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 po znanem drugem. To je korak v drugo smer, v levo.) Torej razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, A odnesi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je to. Odgovor na nalogo:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimogrede bi rad opozoril, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. to strašna beseda preprosto pomeni iskanje člana napredovanja glede na prejšnjo (sosednjo) številko. Spodaj si bomo ogledali druge načine dela z napredovanjem.

Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.

Ne pozabite:

Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.

Ali se spomniš? Ta preprost zaključek vam omogoča, da rešite večino težav šolskega tečaja na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli treh glavnih parametrov: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število člena progresije. Vse.

Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenakosti, enačbe in druge stvari so povezane z napredovanjem. Ampak glede na samo napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.

Kot primer si poglejmo nekaj priljubljenih nalog na to temo.

2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d = 0,4 in a 1 = 3,6.

Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se štejejo člani aritmetičnega napredovanja, jih prešteti in zapisati. Priporočljivo je, da v pogojih nalog ne zamudite besed: "končno" in " n=5". Da ne šteješ, dokler ne boš popolnoma moder.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaja še zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Druga naloga:

3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kdo ve? Kako nekaj določiti?

Kako-kako ... Zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo tam sedmica ali ne! Štejemo:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Zdaj je jasno razvidno, da nas je šele sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedem ni sodilo v naš niz števil in zato sedem ne bo član danega napredovanja.

Odgovor: ne.

In tukaj je problem, ki temelji na resnični različici GIA:

4. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tukaj je serija, napisana brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj je mogoče vedeti iz te serije? Kateri so trije glavni parametri?

Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.

Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "dosleden" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Ja, jaz imam! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Odštej od šest prejšnjištevilo, tj. devet:

Ostale so le malenkosti. Katero število bo prejšnje za X? Petnajst. To pomeni, da lahko X zlahka najdemo s preprostim seštevanjem. Razliko aritmetične progresije dodajte 15:

To je vse. odgovor: x=12

Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te težave ne temeljijo na formulah. Čisto zato, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk in črk, pogledamo in ugotovimo.

5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.

7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Poiščite 3.

8. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Poiščite člen napredovanja, označen s črko x.

9. Vlak se je začel premikati s postaje in enakomerno povečeval hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka po petih minutah? Odgovorite v km/h.

10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.

Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je vse uspelo? Neverjetno! Za več lahko obvladate aritmetično progresijo visoka stopnja, v naslednjih lekcijah.

Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te težave razvrščene po delih.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj osvetli rešitev takšnih nalog jasno, jasno, na prvi pogled!

Mimogrede, v uganki vlaka sta dve težavi, ob kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena je zgolj v smislu napredovanja, druga pa je splošna za morebitne probleme v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.

V tej lekciji smo si ogledali osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napiši vrsto, vse se bo rešilo.

Rešitev s prsti dobro deluje za zelo kratke dele vrste, kot v primerih v tej vadnici. Če je serija daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če v nalogi 9 v vprašanju zamenjamo "pet minut" na "petintrideset minut" težava se bo znatno poslabšala.)

In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar absurdne v smislu izračunov, na primer:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Pa kaj, ali bomo dodajali 1/6 veliko, velikokrat?! Se lahko ubiješ!?

Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero lahko takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Problemi z aritmetično progresijo so obstajali že v starih časih. Pojavili so se in zahtevali rešitev, ker so imeli praktično potrebo.

Torej, v enem od papirusov Starodavni Egipt", ki ima matematično vsebino - Rhindov papirus (19. stoletje pr. n. št.) - vsebuje naslednjo nalogo: razdeli deset mer kruha med deset ljudi, pri čemer mora biti razlika med vsakim ena osmina mere."

In v matematičnih delih starih Grkov so elegantni izreki, povezani z aritmetičnim napredovanjem. Tako je Hipsik iz Aleksandrije (2. stoletje, ki je sestavil veliko zanimivih problemov in Evklidovim Elementom dodal štirinajsto knjigo) oblikoval misel: »V aritmetičnem napredovanju, ki ima sodo številočlenov, je vsota členov 2. polčasa večja od vsote členov 1. polčasa za kvadrat 1/2 števila členov.«

Zaporedje je označeno z an. Številke zaporedja imenujemo njegovi členi in so običajno označene s črkami z indeksi, ki označujejo zaporedno številko tega člena (a1, a2, a3 ... beri: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd”). in tako naprej ).

Zaporedje je lahko neskončno ali končno.

Kaj je aritmetična progresija? Z njim razumemo tistega, ki ga dobimo s seštevanjem prejšnjega člena (n) z istim številom d, ki je razlika progresije.

Če d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potem se takšno napredovanje šteje za naraščajoče.

Aritmetična progresija se imenuje končna, če upoštevamo samo prvih nekaj členov. Z zelo velikim številom članov je to že neskončno napredovanje.

Vsako aritmetično napredovanje je definirano z naslednjo formulo:

an =kn+b, medtem ko sta b in k nekaj števil.

Nasprotna izjava je absolutno resnična: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem ima ravno aritmetična progresija lastnosti:

Vsak člen napredovanja je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena.
Obratno: če je, začenši od 2., vsak člen aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena, tj. če je pogoj izpolnjen, potem je to zaporedje aritmetična progresija. Ta enakost je tudi znak progresije, zato jo navadno imenujemo značilna lastnost progresije.
Na enak način je resničen izrek, ki odraža to lastnost: zaporedje je aritmetična progresija le, če ta enakost velja za katerega koli člena zaporedja, začenši z 2.

Značilno lastnost poljubnih štirih števil aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo an + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k so progresijska števila).

V aritmetični progresiji lahko vsak potreben (N-ti) člen najdemo z naslednjo formulo:

Na primer: prvi člen (a1) v aritmetični progresiji je podan in je enak tri, razlika (d) pa je enaka štiri. Najti morate petinštirideseti člen tega napredovanja. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogoča, da določite n-ti člen aritmetičnega napredovanja skozi katerega koli od njegovih k-tih členov, pod pogojem, da je znan.

Vsota členov aritmetične progresije (kar pomeni prvih n členov končne progresije) se izračuna na naslednji način:

Sn = (a1+an) n/2.

Če je znan tudi prvi člen, je za izračun primerna druga formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Vsota aritmetične progresije, ki vsebuje n členov, se izračuna na naslednji način:

Izbira formul za izračun je odvisna od pogojev problemov in začetnih podatkov.

Naravna vrsta poljubnih števil, kot so 1,2,3,...,n,...- najpreprostejši primer aritmetična progresija.

Poleg aritmetične progresije obstaja tudi geometrijska progresija, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.

I. V. Jakovlev | Materiali za matematiko | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato moramo pred definiranjem aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko obravnavati pomemben koncept številskega zaporedja.

Naknadno zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere se ena za drugo izpisujejo določene številke. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ta niz številk je natanko primer zaporedja.

Opredelitev. Številsko zaporedje je niz števil, v katerem je vsakemu številu mogoče pripisati enolično število (to je, povezano z enim samim naravnim številom)1. Pokličemo število s številko n n-ti izraz zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru je prvo število 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6 peti člen zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Na splošno je n-ti člen zaporedja označen z an (ali bn, cn itd.).

Zelo priročna situacija je, ko lahko n-ti člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n podaja zaporedje: 1; 1; 1; 1; : : :

Vsak niz številk ni zaporedje. Tako segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, ki bi jih bilo treba preštevilčiti. Množica R vseh realna števila tudi ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen (začenši od drugega) enak vsoti prejšnjega člena in nekega fiksnega števila (imenovanega razlika aritmetične progresije).

Na primer, zaporedje 2; 5; 8; enajst; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; : : : je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Ekvivalentna definicija: zaporedje an imenujemo aritmetična progresija, če je razlika an+1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).

Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je razlika pozitivna, in padajoča, če je razlika negativna.

1 Tu je bolj jedrnata definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravna števila. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N ! R.

Zaporedja se privzeto štejejo za neskončna, kar pomeni, da vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče nas ne moti, da upoštevamo končna zaporedja; pravzaprav lahko vsako končno množico števil imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljeno iz petih številk.

Formula za n-ti člen aritmetičnega napredovanja

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve števili: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljuben člen aritmetičnega napredovanja?

Zahtevane formule za n-ti člen aritmetičnega napredovanja ni težko dobiti. Naj an

aritmetična progresija z razliko d. Imamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Še posebej pišemo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
in zdaj postane jasno, da je formula za a:
an = a1 + (n 1)d:

Problem 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; : : : poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.

rešitev. Po formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji za katero koli

Z drugimi besedami, vsak člen aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

	Dokaz. Imamo:
	a n 1 + a n+1		(an d) + (an + d)

kar je bilo zahtevano.

Na splošno aritmetična progresija an izpolnjuje enakost

a n = a n k + a n+k

za vsak n > 2 in vsak naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkazalo se je, da formula (2) služi ne le kot nujen, temveč tudi kot zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak za aritmetično progresijo. Če enakost (2) velja za vse n > 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.

Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Iz tega lahko vidimo, da razlika an+1 an ni odvisna od n, kar natanko pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetične progresije je mogoče oblikovati v obliki ene izjave; Za udobje bomo to storili za tri številke (to je situacija, ki se pogosto pojavi pri težavah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.

Problem 2. (MSU, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in označite razliko te progresije.

rešitev. Po lastnosti aritmetične progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Če je x = 1, potem dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni primeren.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto števil od 1 do 100, in tiho sedel in bral časopis. Vendar ni minilo niti nekaj minut, ko je en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Carl Friedrich Gauss, pozneje eden največjih matematikov v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila naslednja. Pustiti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

in dodajte ti dve formuli:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, skupno pa je torej 100 izrazov

2S = 101 100 = 10100;

To idejo uporabimo za izpeljavo formule vsote

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uporabno modifikacijo formule (3) dobimo, če vanjo nadomestimo formulo n-tega člena an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Naloga 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

rešitev. Trimestna števila, ki so večkratniki 13, tvorijo aritmetično napredovanje, pri čemer je prvi člen 104, razlika pa 13; N-ti člen tega napredovanja ima obliko:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko členov vsebuje naše napredovanje. Če želite to narediti, rešimo neenakost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano količino:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Nekateri ljudje besedo "napredovanje" obravnavajo previdno, kot zelo zapleten izraz iz razdelkov višja matematika. Medtem je najenostavnejša aritmetična progresija delo taksimetra (kjer še obstajajo). In razumevanje bistva (in v matematiki ni nič pomembnejšega kot "razumevanje bistva") aritmetičnega zaporedja ni tako težko, če analiziramo nekaj elementarnih konceptov.

Matematično zaporedje števil

Številčno zaporedje običajno imenujemo niz števil, od katerih ima vsako svojo številko.

a 1 je prvi član zaporedja;

in 2 je drugi člen zaporedja;

a 7 je sedmi člen zaporedja;

in n je n-ti člen zaporedja;

Vendar nas ne zanima poljuben nabor številk in števil. Osredotočili se bomo na številsko zaporedje, v katerem je vrednost n-tega člena povezana z njegovim rednim številom z razmerjem, ki ga je mogoče jasno matematično formulirati. Z drugimi besedami: številska vrednost n-tega števila je neka funkcija od n.

a je vrednost člana številskega zaporedja;

n je njegova serijska številka;

f(n) je funkcija, kjer je zaporedna številka v številskem zaporedju n argument.

Opredelitev

Aritmetična progresija se običajno imenuje številčno zaporedje, v katerem je vsak naslednji člen večji (manjši) od prejšnjega za isto število. Formula za n-ti člen aritmetičnega zaporedja je naslednja:

a n - vrednost trenutnega člana aritmetične progresije;

a n+1 - formula naslednjega števila;

d - razlika (določeno število).

Enostavno je ugotoviti, da če je razlika pozitivna (d>0), bo vsak naslednji član obravnavane serije večji od prejšnjega in taka aritmetična progresija bo naraščala.

V spodnjem grafu je enostavno videti, zakaj številčno zaporedje imenovano "povečanje".

V primerih, ko je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Podana vrednost člana

Včasih je treba določiti vrednost katerega koli poljubnega člena a n aritmetične progresije. To lahko storite tako, da zaporedno izračunate vrednosti vseh članov aritmetičnega napredovanja, začenši od prvega do želenega. Vendar ta pot ni vedno sprejemljiva, če je na primer treba najti vrednost pettisočinke ali osemmilijontine. Tradicionalni izračuni bodo vzeli veliko časa. Vendar pa je mogoče določeno aritmetično progresijo preučiti z uporabo določenih formul. Obstaja tudi formula za n-ti člen: vrednost katerega koli člena aritmetičnega napredovanja je mogoče določiti kot vsoto prvega člena napredovanja z razliko napredovanja, pomnoženo s številom želenega člena, zmanjšano za eno.

Formula je univerzalna za povečanje in zmanjšanje napredovanja.

Primer izračuna vrednosti danega izraza

Rešimo naslednji problem iskanja vrednosti n-tega člena aritmetične progresije.

Pogoj: obstaja aritmetična progresija s parametri:

Prvi člen zaporedja je 3;

Razlika v številski seriji je 1,2.

Naloga: poiskati morate vrednost 214 izrazov

Rešitev: za določitev vrednosti danega izraza uporabimo formulo:

a(n) = a1 + d(n-1)

Če podatke iz izjave o problemu nadomestimo v izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. člen zaporedja je enak 258,6.

Prednosti tega načina izračuna so očitne - celotna rešitev ne zavzame več kot 2 vrstici.

Vsota danega števila izrazov

Zelo pogosto je treba v danem aritmetičnem nizu določiti vsoto vrednosti nekaterih njegovih segmentov. Za to tudi ni treba izračunati vrednosti vsakega izraza in jih nato sešteti. Ta metoda je uporabna, če je število členov, katerih vsoto je treba najti, majhno. V drugih primerih je bolj priročno uporabiti naslednjo formulo.

Vsota členov aritmetičnega napredovanja od 1 do n je enaka vsoti prvega in n-tega člena, pomnožena s številom člena n in deljena z dva. Če v formuli vrednost n-tega člena nadomestimo z izrazom iz prejšnjega odstavka člena, dobimo:

Primer izračuna

Na primer, rešimo problem z naslednjimi pogoji:

Prvi člen zaporedja je nič;

Razlika je 0,5.

Problem zahteva določitev vsote členov serije od 56 do 101.

rešitev. Za določitev stopnje napredovanja uporabimo formulo:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprej določimo vsoto vrednosti 101 členov napredovanja tako, da dane pogoje našega problema nadomestimo v formulo:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Očitno je treba, da bi ugotovili vsoto členov napredovanja od 56. do 101., od S 101 odšteti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Tako je vsota aritmetične progresije za ta primer:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Primer praktične uporabe aritmetične progresije

Na koncu članka se vrnimo k primeru aritmetičnega zaporedja, podanemu v prvem odstavku – taksimeter (števec taksi avtomobilov). Poglejmo ta primer.

Vkrcanje na taksi (ki vključuje 3 km vožnje) stane 50 rubljev. Vsak naslednji kilometer se plača po stopnji 22 rubljev/km. Dolžina potovanja je 30 km. Izračunajte stroške potovanja.

1. Zavrzimo prve 3 km, katerih cena je vključena v ceno pristanka.

30 - 3 = 27 km.

2. Nadaljnji izračun ni nič drugega kot razčlenjevanje niza aritmetičnega števila.

Članska številka - število prevoženih kilometrov (minus prvi trije).

Vrednost člana je vsota.

Prvi izraz v tej nalogi bo enak a 1 = 50 rubljev.

Razlika napredovanja d = 22 r.

število, ki nas zanima, je vrednost (27+1) člena aritmetične progresije - stanje števca na koncu 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Izračuni koledarskih podatkov za poljubno dolgo obdobje temeljijo na formulah, ki opisujejo določena številska zaporedja. V astronomiji je dolžina orbite geometrično odvisna od oddaljenosti nebesnega telesa od zvezde. Poleg tega se različne številske serije uspešno uporabljajo v statistiki in drugih uporabnih področjih matematike.

Druga vrsta številskega zaporedja je geometrijsko

Za geometrijsko progresijo so značilne večje stopnje sprememb v primerjavi z aritmetično progresijo. Ni naključje, da v politiki, sociologiji in medicini, da bi prikazali visoko hitrost širjenja določenega pojava, na primer bolezni med epidemijo, pravijo, da se proces razvija v geometrijsko napredovanje.

N-ti člen niza geometrijskih števil se od prejšnjega razlikuje po tem, da je pomnožen z neko konstantno številko - imenovalec, na primer, prvi člen je 1, imenovalec je ustrezno enak 2, potem:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrednost trenutnega člena geometrijske progresije;

b n+1 - formula naslednjega člena geometrijske progresije;

q je imenovalec geometrijske progresije (konstantno število).

Če je graf aritmetične progresije ravna črta, potem geometrijska progresija slika nekoliko drugačno sliko:

Kot v primeru aritmetike ima geometrijska progresija formulo za vrednost poljubnega člena. Vsak n-ti člen geometrijske progresije je enak zmnožku prvega člena in imenovalca progresije na potenco n, zmanjšanega za ena:

Primer. Imamo geometrijsko progresijo s prvim členom, ki je enak 3, in imenovalec progresije, ki je enak 1,5. Poiščimo 5. člen napredovanja

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

S posebno formulo se izračuna tudi vsota danega števila členov. Vsota prvih n členov geometrijske progresije je enaka razliki med produktom n-tega člena progresije in njegovim imenovalcem ter prvim členom progresije, deljeni z imenovalcem, zmanjšanim za ena: