Хязгаарлалт ба тасралтгүй байдал

нэг хувьсагчийн функцууд

3.1.1. Тодорхойлолт. Тоо А xтэмүүлж байна xХэрэв ямар нэгэн тоо байвал 0
тоо байна
(
), нөхцөл хангагдсан байх болно:

Хэрэв
, Тэр
.

(Бэлгэдэл:
).

Хэрэв график зааж байвал Гфункцууд

, Хэзээ хязгааргүй ойрхон цэг рүү ойртоно (тэдгээр.
), (Зураг 3.1-ийг үзнэ үү), дараа нь энэ нөхцөл байдал нь функц нь геометрийн эквивалент юм.
цагт
хязгаарын утгатай (хязгаарлалт) А(бэлгэдэл:
).

Функцийн график,

Цагаан будаа. 3.1

Функцийн хязгаарын утгыг (хязгаар) тодорхойлохдоо at гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй xтэмүүлж байна x 0 нь тухайн цэг дэх функцийн үйлдлийн талаар юу ч хэлэхгүй x 0 . Яг тэр мөчид x 0 функц тодорхойлогдоогүй байж магадгүй
, магадгүй
.

Хэрэв
, дараа нь функцийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг
.

Интервал гэж нэрлэдэг  - нэг цэгийн хөрш x 0 нь зүсэгдсэн төвтэй. Энэ нэрийг ашиглан бид ингэж хэлж болно: хэрэв ямар нэгэн тооны хувьд тоо байгаа бол нөхцөл хангагдсан байх болно: хэрэв
, Тэр
.

3.1.2. Тодорхойлолт. , хэрэв ямар нэг нийлэгчдийн хувьд x 0 дараалал
дэд дараалал
-д нийлдэг А.

3.1.3. 3.1.1 ба 3.1.2-р хэсгүүдийн тодорхойлолтуудын ижил төстэй байдлыг баталъя.

Анхны тодорхойлолт болон let гэдэг утгаараа эхлээд байг
(
), дараа нь бүгд , тэдгээрийн хязгаарлагдмал тооноос бусад нь тэгш бус байдлыг хангана
, Хаана  сонгосон  анхны тодорхойлолтын утгаараа, i.e.
, өөрөөр хэлбэл эхний тодорхойлолт нь хоёр дахь гэсэн үг юм. Одоо больё
2 дахь тодорхойлолтын утгаараа мөн 2 дахь тодорхойлолтын утгаараа гэж үзье
, өөрөөр хэлбэл Зарим нь дур мэдэн жижиг хувьд (жишээлбэл, хувьд
) дараалал олдсон
, гэхдээ нэгэн зэрэг
. Тиймээс бид хоёр дахь тодорхойлолтоос эхнийх нь зөрчилд хүрсэн;

3.1.4. Дарааллын хязгаарын шинж чанарын тухай өмнө нь батлагдсан бүх теоремууд бараг автоматаар дамждаг тул эдгээр тодорхойлолтуудын тэнцүү байх нь ялангуяа тохиромжтой байдаг. шинэ хэрэг. Зөвхөн хязгаарлалтын тухай ойлголтыг тодруулах шаардлагатай. Холбогдох теорем нь дараах томъёололтой байна.

Хэрэв
, тэгвэл энэ нь тухайн цэгийн зарим  - хөршөөр хязгаарлагдана x 0 нь зүсэгдсэн төвтэй.

3.2.1.Теорем. Болъё
,
,

Дараа нь,
,

,

.

3.2.2. Болъё

- дур зоргоороо, нэгдэх x 0 функцийн аргументын утгуудын дараалал ба
. Тохирох дараалал
Тэгээд
Эдгээр функцүүдийн утгууд нь хязгаартай байдаг АТэгээд Б. Харин дараа нь 2.13.2-р хэсгийн теоремын дагуу дараалал
,
Тэгээд
тэнцүү хязгаартай байна А +Б,
Тэгээд
. Цэг дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу (2.5.2-р хэсгийг үз) энэ нь гэсэн үг юм

,
,

.

3.2.3. Теорем. Хэрэв
,
, мөн зарим орчимд

тохиолддог

.

3.2.4. Нэг цэг дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтоор xдурын дарааллын хувьд 0
тиймэрхүү

функцийн утгуудын дараалал нь хязгаартай тэнцүү байна А. Энэ нь хэнд ч гэсэн гэсэн үг
тоо байна
гүйцэтгэсэн. Үүний нэгэн адил, дарааллын хувьд
тоо байна
ямар ч тооны хувьд ийм
гүйцэтгэсэн. Сонгож байна
, бид үүнийг хүн бүрт олдог
гүйцэтгэсэн. Энэ тэгш бус байдлын гинжин хэлхээнээс бид ямар ч , энэ нь гэсэн үг юм
.

3.2.5. Тодорхойлолт. Тоо Аүед функцийн хязгаарын утга (хязгаар) гэж нэрлэдэг xтэмүүлж байна xбаруун талд 0 (бэлгэдэл:
), хэрэв дурын тооны хувьд тоо () байгаа бөгөөд нөхцөл хангагдсан бол: хэрэв
, Тэр
.

Олонлогийг баруун  - цэгийн хөрш гэж нэрлэдэг x 0 . Зүүн талд байгаа хязгаарын утга (хязгаар) гэсэн ойлголтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон (
).

3.2.6. Теорем. at функц нь тэнцүү хязгаарын утгатай (хязгаар). Адараа нь, зөвхөн хэзээ

,

3.3.1. Тодорхойлолт. Тоо Аүед функцийн хязгаарын утга (хязгаар) гэж нэрлэдэг xхязгааргүй рүү тэмүүлдэг, хэрэв ямар нэгэн тооны хувьд тоо байгаа бол
(
) ба дараах нөхцөл хангагдсан болно.

Хэрэв
, Тэр .

(Бэлгэдэл:
.)

Цөөн хэдэн
дуудсан Д- хязгааргүйн хөрш.

3.3.2. Тодорхойлолт. Тоо Аүед функцийн хязгаарын утга (хязгаар) гэж нэрлэдэг xХэрэв ямар нэгэн тооны хувьд тоо байгаа бол хязгааргүй нэмэх хандлагатай Д() ба нөхцөл хангагдсан болно:

Хэрэв
, Тэр .

(Бэлгэдэл:
).

Хэрэв график зааж байвал Гфункцууд
хязгааргүй өсөлттэй
нэг хэвтээ шугам руу хязгааргүй ойртох
(Зураг 3.2-ыг үзнэ үү), дараа нь энэ нөхцөл байдал нь функцтэй геометрийн эквивалент юм.
цагт
тоотой тэнцүү хязгаарын утгатай (хязгаар) байна А(бэлгэдэл:
).

Функцийн график
,

Цөөн хэдэн
дуудсан Д- хөрш нэмэх хязгааргүй байдал.

Хязгаарлалтын тухай ойлголт
.

Дасгал.

Тохиолдлуудад хэрэглэгдэх хязгаарын талаархи бүх теоремуудыг хэл.

1)
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
.

3.4.1. Тодорхойлолт. Функцийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг гайхалтай функц(эсвэл зүгээр л хязгааргүй том) -д, хэрэв ямар нэгэн тооны хувьд

, тэгш бус байдлыг хангаж, тэгш бус байдал хангагдана
.

(Бэлгэдэл:
.)

Хэрэв биелүүлсэн бол
, дараа нь тэд бичдэг
.

Хэрэв биелүүлсэн бол
, дараа нь тэд бичдэг
.

3.4.2. Теорем. Болъё
Тэгээд
цагт
.

Дараа нь
-д зориулсан хязгааргүй том функц юм.

3.4.3. Дурын тоо байг. Учир нь тоонуудын хувьд хязгааргүй жижиг функц юм
хүн бүрт ийм тоо байдаг xтэгш бус байдал хэвээр байхаар
, гэхдээ дараа нь мөн адил xтэгш бус байдал хангагдана
. Тэдгээр. -д зориулсан хязгааргүй том функц юм.

3.4.4.Теорем. болон төлөө хязгааргүй том функц байг.

Дараа нь -ийн хувьд хязгааргүй жижиг функц байна.

(Энэ теорем нь 3.8.2-р хэсгийн теоремтой ижил аргаар батлагдсан.)

3.4.5. Чиг үүрэг
үед хязгааргүй гэж нэрлэдэг
, хэрэв ямар нэгэн тооны хувьд
мөн цэгийн дурын δ-хөрш цэгийг зааж өгч болно xэнэ хөршөөс ийм
.

3.5.1. ТОДОРХОЙЛОЛТ. Функцийг дууддаг Үргэлжилсэнцэг дээр , Хэрэв
.

Сүүлийн нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

.

Энэ тэмдэглэгээ нь тасралтгүй функцүүдийн хувьд хязгаарын тэмдэг ба функцийн тэмдгийг сольж болно гэсэн үг юм

Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл дахин, эхэн үеийнх шигээ.

гэж тэмдэглэе
. Дараа нь
ба =
мөн сүүлчийн бичлэгийн маягт нь маягтыг авна

.

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь өсөлтөөс үүссэн функцийн цэгийн өсөлтийг илэрхийлнэ
маргаан xцэг дээр, ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг
. Үүний үр дүнд бид цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөлийг бичих дараах хэлбэрийг олж авна

,

Үүнийг цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын “ажлын тодорхойлолт” гэж нэрлэдэг.

Функцийг дууддаг Үргэлжилсэнцэг дээр зүүн, Хэрэв
.

Функцийг дууддаг Үргэлжилсэнцэг дээр баруун талд, Хэрэв
.

3.5.2. Жишээ.
. Энэ функц нь ямар ч . Хязгаарын шинж чанарын талаархи теоремуудыг ашиглан бид нэн даруй олж авна: аливаа оновчтой функц нь тодорхойлогдсон цэг бүрт тасралтгүй байдаг, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн функц
.

ДАСГАЛ.

3.6.1. Сургуулийн сурах бичиг нотолж байна (on өндөр түвшинхатуу) тэр
(эхний гайхалтай хязгаар). Харааны геометрийн үүднээс авч үзвэл энэ нь шууд гарч ирдэг
. Зүүн тэгш бус байдлаас энэ нь бас гарч байгааг анхаарна уу
, өөрөөр хэлбэл функц нь юу вэ
тэг дээр тасралтгүй. Эндээс бүх зүйлийн залгамж чанарыг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм тригонометрийн функцуудтэдгээрийг тодорхойлсон бүх цэгүүдэд. Үнэндээ хэзээ
бүтээгдэхүүн нь хязгааргүй юм шиг жижиг функц
дээр хязгаарлагдмал функц
.

3.6.2. (2 дахь гайхалтай хязгаар). Бидний аль хэдийн мэдэж байгаачлан

,

Хаана натурал тоогоор дамждаг. Үүнийг харуулж болно
. Түүнээс гадна
.

ДАСГАЛ.

3.7.1. ТЕОРЕМ (цогц функцийн тасралтгүй байдлын тухай).

Хэрэв функц бол
цэг дээр үргэлжилдэг ба
, болон функц
нэг цэг дээр тасралтгүй , дараа нь нарийн төвөгтэй функц
цэг дээр тасралтгүй байна.

3.7.2. Энэхүү мэдэгдлийн хүчин төгөлдөр байдал нь дараах байдлаар бичигдсэн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоос шууд хамаарна.

3.8.1. ТЕОРЕМ. Чиг үүрэг цэг бүрт тасралтгүй байна (
).

3.8.2. Хэрэв бид функцийг үндэслэлтэй гэж үзвэл
ямар ч хувьд тодорхойлогддог бөгөөд хатуу монотон (хатуу буурдаг
, хатуу нэмэгдсээр байна
), тэгвэл нотлох нь хэцүү биш юм.

At
бидэнд байгаа:

тэдгээр. бидэнд байгаа үед
, энэ нь функц гэсэн үг юм -д тасралтгүй байна.

At
Энэ бүхэн өмнөхөөсөө бууж байна:

At
.

At
функц
бүгдэд тогтмол байдаг тул тасралтгүй.

3.9.1. ТЕОРЕМ (урвуу функцийн зэрэгцэн орших ба тасралтгүй байдлын тухай).

Тасралтгүй функцийг цэгийн зарим δ-д хатуу бууруулж (хатуу өсгө) үзье.
. Дараа нь зарим ε - цэгийн хөрш урвуу функц байдаг
, энэ нь хатуу буурдаг (хатуу өсдөг) бөгөөд цэгийн ε - хөршид үргэлжилдэг.

3.9.2. Энд бид зөвхөн тухайн цэг дээрх урвуу функцийн тасралтгүй байдлыг нотолж байна.

Үүнийг авч үзье, хугацаа yцэгүүдийн хооронд байрладаг
Тэгээд
, тиймээс, хэрэв
, Тэр
, Хаана.

3.10.1. Тиймээс тасралтгүй функцууд дээр зөвшөөрөгдөх аливаа арифметик үйлдлүүд дахин тасралтгүй функцүүдэд хүргэдэг. Тэдгээрээс нарийн төвөгтэй ба урвуу функц үүсэх нь тасралтгүй байдлыг алдагдуулдаггүй. Тиймээс, тодорхой хэмжээний хариуцлагатай бол бүх үндсэн функцууд аргументийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд тасралтгүй байдаг гэж бид баталж чадна.

ДАСГАЛ.

Үүнийг нотол
цагт
(хоёр дахь гайхамшигтай хязгаарын өөр нэг хэлбэр).

3.11.1. Хэрэв бид эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын тухай ойлголтыг ашиглавал хязгаарын тооцоог маш хялбаршуулна. Дурын функцүүдийн тохиолдлуудад эквивалентийн тухай ойлголтыг ерөнхийд нь авч үзэх нь тохиромжтой.

Тодорхойлолт. болон функцууд нь if-тэй тэнцүү байна
(оронд та бичиж болно
,
,
,
,
).

Тэмдэглэгээ ашигласан е ~ g.

Эквивалент нь дараах шинж чанартай байдаг

Дараахь ижил төстэй хязгааргүй жижиг тоонуудын жагсаалтыг санаж байх ёстой.

~
цагт
; (1)

~ үед; (2)

~
үед; (3)

~ үед; (4)

~ үед; (5)

~ үед; (6)

~ үед; (7)

~ х үед; (8)

~ цагт
; (9)

~
цагт. (10)

Энд болон бие даасан хувьсагч биш, харин функц байж болно
Тэгээд
зарим зан үйлийн хувьд тэг ба нэг рүү чиглэдэг x. Жишээлбэл,

~
цагт
,

~
цагт
.

Эквивалент (1) нь эхний гайхалтай хязгаарыг бичих өөр нэг хэлбэр юм. (2), (3), (6) ба (7) тэнцлийг шууд баталж болно. Эквивалент (4)-ийг (1)-ээс 2) тэнцэх шинж чанарыг харгалзан авна:

~
.

Үүний нэгэн адил, (5) ба (7) -г (2) ба (6) -аас авна. Үнэхээр

~
,

~
.

(8)-ын тэнцэл нь (7) ба (6)-ийн дараалсан хэрэглээгээр нотлогддог.

(9) ба (10)-ыг (6) ба (8)-аас сольж авна
.

3.11.2. Теорем. Бүтээгдэхүүн ба харьцаа дахь хязгаарыг тооцоолохдоо та функцийг ижил төстэй болгон өөрчилж болно. Тухайлбал, хэрэв ~
, тэгвэл аль аль нь хязгаар нь нэгэн зэрэг байхгүй, мөн
, эсвэл эдгээр хоёр хязгаарлалт нэгэн зэрэг байхгүй.

Эхний тэгш байдлыг баталъя. Хязгаарын аль нэгийг нь хэлье.
байдаг. Дараа нь

.

3.11.3. ( тоо эсвэл тэмдэг байх,
эсвэл
). Бид янз бүрийн b.m-ийн зан үйлийг авч үзэх болно. функцууд (бид хязгааргүй жижиг гэсэн нэр томъёог ингэж товчилно).

ТОДОРХОЙЛОЛТ.
ба эквивалент b.m гэж нэрлэдэг. функцууд, хэрэв
(цагт).

бид үүнийг b.m гэж нэрлэх болно. илүү өндөр захиалгаб.м-ээс функц
, Хэрэв
(цагт).

3.11.4. Хэрэв ба түүнтэй адилтгах b.m. функцууд, тэгвэл
б.м байна. -аас өндөр эрэмбийн функц
Тэгээд юу гэж. - б.м. функц at, үүнд бүх x ба хэрэв энэ үед функцийг зөөврийн тасалдал гэж нэрлэдэг. хоёр дахь төрлийн тасалдалтай. Гол нь өөрөө Туршилт

Коллоквиум руу. Хэсгүүд: " ХязгаарТэгээд тасралтгүй байдалфункцуудхүчинтэй хувьсагч" функцууднэгхувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцуудхэд хэдэн хувьсагч"

Тест, асуултын сэдэв, жишээ (тест хувь хүний ​​стандарт тооцоо коллоквиум) 1-р улирлын тест No1 хэсэг “Бодит хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал”

Туршилт

Коллоквиум руу. Хэсгүүд: " ХязгаарТэгээд тасралтгүй байдалфункцуудхүчинтэй хувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцууднэгхувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцуудхэд хэдэн хувьсагч". Тооны дараалал...

Туршилт

Коллоквиум руу. Хэсгүүд: " ХязгаарТэгээд тасралтгүй байдалфункцуудхүчинтэй хувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцууднэгхувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцуудхэд хэдэн хувьсагч". Тооны дараалал...

Тестийн даалгавар, асуултын сэдэв, жишээнүүд (тестийн ажил ганцаарчилсан стандарт тооцоо, коллоквиум) 1-р улирлын шалгалтын ажлын хэсэг “Бодит хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал”

Туршилт

Коллоквиум руу. Хэсгүүд: " ХязгаарТэгээд тасралтгүй байдалфункцуудхүчинтэй хувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцууднэгхувьсагч", “Дифференциал тооцоо функцуудхэд хэдэн хувьсагч". Тооны дараалал...

Лекц 19 Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал

Лекц

... ХязгаарТэгээд тасралтгүй байдалфункцуудхэд хэдэн хувьсагч. 19.1. Үзэл баримтлал функцуудхэд хэдэн хувьсагч. Шинэчлэх замаар функцуудхэд хэдэн хувьсагч... өмч функцууднэгхувьсагч, Үргэлжилсэнсегмент дээр. Properties-г үзнэ үү функцууд, Үргэлжилсэндээр...

Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд.

Бух алхаж, ганхаж, санаа алдан:
- Өө, самбар дуусч байна, би одоо унах болно!

Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт, тасалдалын цэгүүдийн ангилал, нийтлэг ойлголтыг авч үзэх болно. практик асуудал функцүүдийн тасралтгүй байдлын судалгаа. Сэдвийн нэрнээс харахад олон хүн юу хэлэлцэхийг зөн совингоор таамаглаж, материалыг маш энгийн гэж боддог. Энэ бол үнэн. Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэдгээрийг шийдвэрлэх өнгөц байдлаар шийтгэгддэг энгийн ажлууд юм. Тиймээс би нийтлэлийг маш анхааралтай судалж, бүх нарийн ширийн зүйл, арга техникийг олж авахыг зөвлөж байна.

Та юу мэдэж, чаддаг байх хэрэгтэй вэ?Нэг их биш. Хичээлийг сайн сурахын тулд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй функцийн хязгаар. Бэлтгэл багатай уншигчдын хувьд нийтлэлийг ойлгоход хангалттай Функцийн хязгаарлалт. Шийдлийн жишээмөн харах геометрийн утгагарын авлага дахь хязгаар Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Мөн танилцахыг зөвлөж байна графикийн геометрийн хувиргалт, ихэнх тохиолдолд дадлага хийх нь зураг зурахтай холбоотой байдаг. Ирээдүй нь хүн бүрт өөдрөг байна, тэр ч байтугай бүтэн данх ч гэсэн дараагийн эсвэл хоёр цагийн дотор даалгавраа өөрөө даван туулах боломжтой болно!

Функцийн тасралтгүй байдал. Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт

Бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг зарим функцийг авч үзье.

Эсвэл илүү товчоор хэлбэл, бидний функц тасралтгүй ажилладаг (иж бүрдэл бодит тоо).

Тасралтгүй байдлын "филист" шалгуур нь юу вэ? Үргэлжилсэн функцийн графикийг цаасан дээрээс харандаа өргөхгүйгээр зурж болох нь ойлгомжтой.

Энэ тохиолдолд энэ хоёрыг тодорхой ялгах шаардлагатай энгийн ойлголтууд: функцийн домэйнТэгээд функцийн тасралтгүй байдал. Ерөнхийдөө энэ нь ижил зүйл биш юм. Жишээлбэл:

Энэ функцбүх тооны мөрөнд тодорхойлогдсон, өөрөөр хэлбэл, төлөө хүн бүр"Х"-ийн утга нь "y" гэсэн өөрийн гэсэн утгатай. Тодруулбал, хэрэв , дараа нь . Функцийн тодорхойлолтоор аргументийн утга нь дараахтай тохирч байх ёстой тул нөгөө цэг нь таслалтай гэдгийг анхаарна уу. цорын ганц зүйлфункцийн утга. Тиймээс, домэйнбидний үүрэг: .

Гэсэн хэдий ч Энэ функц тасралтгүй ажиллахгүй!Энэ үед тэр зовж байгаа нь илт байна цоорхой. Энэ нэр томъёо нь бас ойлгомжтой бөгөөд харагдахуйц, энд харандааг ямар ч байсан цаасан дээрээс урах хэрэгтэй болно. Хэсэг хугацааны дараа бид таслах цэгийн ангиллыг авч үзэх болно.

Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Математикийн тодорхой бодлогод бид цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал, интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал, хагас интервал эсвэл сегмент дэх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно. Тэр бол, "зөвхөн тасралтгүй" гэж байдаггүй– функц нь хаа нэгтээ тасралтгүй байж болно. Мөн бусад бүх зүйлийн үндсэн "барилгын материал" нь юм функцын тасралтгүй байдал цэг дээр .

Математик анализын онол нь "дельта" ба "эпсилон" хөршүүдийг ашиглан цэг дээрх функцын тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгдөг боловч практикт хэрэглэгдэх өөр тодорхойлолт байдаг бөгөөд бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

Эхлээд санацгаая нэг талын хязгаарлалтЭхний хичээлээр бидний амьдралд нэвтэрсэн хүмүүс функцын графикийн тухай. Өдөр тутмын нөхцөл байдлыг авч үзье:

Хэрэв бид тэнхлэгийг цэг рүү ойртуулах юм бол зүүн(улаан сум), дараа нь "тоглоом" -ын харгалзах утгууд нь тэнхлэгийн дагуу цэг рүү (час улаан сум) очно. Математикийн хувьд энэ баримтыг ашиглан тогтоодог зүүн гар талын хязгаар:

Оруулсан зүйлд анхаарлаа хандуулаарай (зүүн талд "x tends to ka" гэж уншина). "Нэмэлт" "хасах тэг" нь бэлгэддэг , үндсэндээ энэ нь бид зүүн талаас тоо руу ойртож байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил, хэрэв та "ка" цэг рүү ойртвол баруун талд (цэнхэр сум), дараа нь "тоглоомууд" ижил утгатай болно, гэхдээ ногоон сумны дагуу, мөн баруун гар талын хязгаардараах байдлаар форматлагдсан болно.

"Нэмэлт" нь бэлгэддэг , мөн оруулга нь: "х баруун талд ka руу хандлагатай байна."

Хэрэв нэг талт хязгаар хязгаарлагдмал, тэнцүү бол(бидний тохиолдол шиг): , тэгвэл бид ЕРӨНХИЙ хязгаар байгаа гэж хэлэх болно. Энэ нь энгийн, ерөнхий хязгаарлалт бол бидний "ердийн" функцийн хязгаар, төгсгөлтэй тоотой тэнцүү.

Хэрэв функц тодорхойлогдоогүй бол (график мөчир дээрх хар цэгийг цухуйлгавал) дээрх тооцоолол хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу. Хэд хэдэн удаа, ялангуяа нийтлэлд дурдсанчлан хязгааргүй жижиг функцууд дээр, илэрхийлэл нь "x" гэсэн утгатай хязгааргүй ойрхонцэгт ойртдог, харин ХАМААГҮЙ, функц өөрөө өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогдсон эсэх. Үүний сайн жишээг дараагийн догол мөрөнд функцэд дүн шинжилгээ хийх үед олох болно.

Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц тухайн цэг дээр тасралтгүй байна: .

Тодорхойлолтыг дараах нэр томъёонд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

1) Функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл утга нь байх ёстой.

2) Функцийн ерөнхий хязгаар байх ёстой. Дээр дурдсанчлан, энэ нь нэг талын хязгаарлалтын оршин тогтнох, тэгш байдлыг илэрхийлдэг. .

3) Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой: .

Хэрэв зөрчсөн бол ядаж нэгГурван нөхцлөөс функц нь цэг дээр тасралтгүй байх шинж чанараа алддаг.

Интервал дахь функцийн тасралтгүй байдалнь овсгоотой бөгөөд маш энгийнээр томьёолжээ: Хэрэв функц өгөгдсөн интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал тухайн интервал дээр тасралтгүй байна.

Ялангуяа олон функц нь хязгааргүй интервал дээр, өөрөөр хэлбэл бодит тооны олонлог дээр тасралтгүй байдаг. Энэ нь шугаман функц, олон гишүүнт, экспоненциал, синус, косинус гэх мэт. Ерөнхийдөө аливаа үндсэн функцдээр нь тасралтгүй тодорхойлолтын домэйн, Жишээлбэл, логарифм функцинтервал дээр тасралтгүй байна. Одоо та үндсэн функцүүдийн график ямар байх талаар нэлээд сайн ойлголттой болсон гэж найдаж байна. Илүү дэлгэрэнгүй мэдээлэлТэдний тасралтгүй байдлын талаар Фихтенхольц хэмээх сайхан сэтгэлтэй хүнээс олж болно.

Сегмент болон хагас интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдлын хувьд бүх зүйл хэцүү биш боловч энэ талаар хичээл дээр ярих нь илүү тохиромжтой. сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгыг олох тухай, гэхдээ одоохондоо үүнд санаа зовох хэрэггүй.

Хагарлын цэгүүдийн ангилал

Функцуудын сэтгэл татам амьдрал нь бүх төрлийн онцгой цэгүүдээр баялаг бөгөөд эвдрэх цэгүүд нь тэдний намтар түүхийн зөвхөн нэг хуудас юм.

Анхаарна уу : ямар ч тохиолдолд би энгийн зүйл дээр анхаарлаа хандуулъя: таслах цэг нь үргэлж байдаг ганц цэг- "дараалан хэд хэдэн завсарлага" байхгүй, өөрөөр хэлбэл "завсарлагааны интервал" гэж байдаггүй.

Эдгээр цэгүүд нь эргээд хоёр том бүлэгт хуваагддаг. Эхний төрлийн хагаралТэгээд хоёр дахь төрлийн хагарал. Цоорхойн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлогтой шинж чанаруудҮүнийг бид яг одоо харах болно:

Эхний төрлийн тасалдал

Тасралтгүй байдлын нөхцөл нь тодорхой цэгт зөрчигдсөн бол ба нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал , дараа нь үүнийг дууддаг Эхний төрлийн тасархай цэг.

Хамгийн өөдрөг тохиолдлоос эхэлье. Хичээлийн анхны санааны дагуу би онолыг "д ерөнхий үзэл”, гэхдээ материалын бодит байдлыг харуулахын тулд би тодорхой дүрүүдтэй сонголтыг шийдсэн.

Ард нь шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн зураг шиг гунигтай Мөнхийн гал, гэхдээ дараах хүрээг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Зурган дээрх функцийн графикийг дүрсэлцгээе.


Энэ функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг. Үнэн хэрэгтээ хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утгын дагуу бид чадна хязгааргүй ойрхонЗүүн ба баруун талаасаа "тэг" рүү ойртох, өөрөөр хэлбэл нэг талын хязгаарлалтууд байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг давхцаж байна.
(Тасралтгүй байдлын 2-р нөхцөл хангагдсан).

Гэхдээ тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй байдлын 1-р нөхцөл зөрчигдөж, энэ үед функц тасалдсан байна.

Энэ төрлийн завсарлага (одоо байгаа ерөнхий хязгаар) гэж нэрлэдэг засах боломжтой цоорхой. Яагаад салгах боломжтой вэ? Учир нь функц боломжтой дахин тодорхойлохтаслах цэг дээр:

Хачирхалтай харагдаж байна уу? Магадгүй. Гэхдээ ийм функцийн тэмдэглэгээ нь юу ч зөрчилддөггүй! Одоо цоорхойг хааж, бүгд баяртай байна:


Албан ёсны шалгалт хийцгээе:

2) - ерөнхий хязгаарлалт байдаг;
3)

Ийнхүү бүх гурван нөхцөл хангагдсан ба тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр функц тасралтгүй байна.

Гэсэн хэдий ч, матан үзэн ядагч нар функцийг муугаар тодорхойлж болно, жишээлбэл :


Эхний хоёр тасралтгүй байдлын нөхцөл энд хангагдаж байгаа нь сонирхолтой юм.
1) – функцийг өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлсон;
2) -Ерөнхий хязгаар гэж бий.

Гэхдээ гурав дахь хилийг даваагүй байна: , өөрөөр хэлбэл цэг дээрх функцийн хязгаар тэнцүү бишөгөгдсөн цэг дэх өгөгдсөн функцийн утга.

Тиймээс нэг цэгт функц тасалддаг.

Хоёр дахь, илүү гунигтай тохиолдол гэж нэрлэгддэг Эхний төрлийн хагарал үсрэлттэй. Мөн уйтгар гунигийг нэг талын хязгаараар өдөөдөг хязгаарлагдмал, ялгаатай. Хичээлийн хоёр дахь зураг дээр жишээг үзүүлэв. Ийм цоорхой нь ихэвчлэн тохиолддог хэсэгчлэн тодорхойлсон функцууд, аль хэдийн өгүүлэлд дурдсан байдаг график хувиргалтын тухай.

Хэсэгчилсэн функцийг авч үзье мөн бид түүний зургийг дуусгах болно. График хэрхэн бүтээх вэ? Маш энгийн. Хагас интервал дээр бид параболын фрагментийг зурдаг ( ногоон өнгө), интервал дээр - шулуун шугамын сегмент (улаан), хагас интервал дээр - шулуун шугам (цэнхэр).

Түүнчлэн тэгш бус байдлын улмаас квадрат функцийн утгыг (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас утгыг тодорхойлно. шугаман функц(цэнхэр цэг):

Хамгийн хэцүү тохиолдолд та графикийн хэсэг тус бүрийг цэгцтэй барих хэрэгтэй (эхний хэсгийг үзнэ үү). Функцийн графикуудын тухай хичээл).

Одоо бид зөвхөн гол зүйлийг л сонирхох болно. Үүнийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье:

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё.

Зүүн талд бид улаан шугамын сегменттэй тул зүүн талын хязгаар нь:

Баруун талд цэнхэр шулуун шугам, баруун гар талын хязгаар:

Үүний үр дүнд бид хүлээн авсан хязгаарлагдмал тоо, Тэгээд тэд тэнцүү биш. Нэг талын хязгаарлалт учраас хязгаарлагдмал, ялгаатай: , тэгвэл бидний функц тэсвэрлэдэг үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдал.

Цоорхойг арилгах боломжгүй нь логик юм - өмнөх жишээн дээрх функцийг цаашид тодорхойлж, "хамтдаа наах" боломжгүй юм.

Хоёр дахь төрлийн тасалдал

Ихэвчлэн хагарлын бусад бүх тохиолдлыг энэ ангилалд ухаалаг байдлаар ангилдаг. Би бүх зүйлийг жагсаахгүй, учир нь практик дээр асуудлын 99% нь танд тулгарах болно төгсгөлгүй цоорхой– зүүн гартай эсвэл баруун гартай үед, ихэвчлэн хоёр хязгаар нь хязгааргүй байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн тод зураг бол тэг цэг дээрх гипербола юм. Энд нэг талын хязгаарлалт нь хязгааргүй юм: , тиймээс функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалд өртдөг.

Би нийтлэлүүдээ аль болох олон төрлийн агуулгаар дүүргэхийг хичээдэг тул хараахан гараагүй байгаа функцийн графикийг харцгаая.

стандарт схемийн дагуу:

1) Энэ үед хуваагч тэг болж байгаа тул функц тодорхойлогдоогүй байна.

Мэдээжийн хэрэг, функц нь тухайн үед тасалдсан гэж бид шууд дүгнэж болно, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн нөхцөл шаардагддаг тасалдлын шинж чанарыг ангилах нь зүйтэй юм. Үүний тулд:

Бичлэг хийхдээ бид хэлэх гэсэн юм гэдгийг сануулъя хязгааргүй жижиг сөрөг тоо , мөн оруулгын доор - хязгааргүй бага эерэг тоо.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. Y тэнхлэг нь босоо асимптотграфикийн хувьд.

Нэг талын хязгаар хоёулаа байх нь ердийн зүйл биш боловч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хязгааргүй байдаг, жишээлбэл:

Энэ бол функцийн график юм.

Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгана:

1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Ийм өрөөсгөл хязгаарыг тооцоолох аргын талаар бид лекцийн сүүлийн хоёр жишээнд ярих болно, гэхдээ олон уншигчид бүгдийг аль хэдийн харж, таамаглаж байсан.

Зүүн талын хязгаар нь төгсгөлтэй бөгөөд тэгтэй тэнцүү (бид "цэг өөрөө очдоггүй"), харин баруун гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд графикийн улбар шар мөчир нь төгсгөлгүй ойртдог. босоо асимптот, тэгшитгэлээр өгөгдсөн(хар цэгтэй шугам).

Тиймээс функц нь муудаж байна хоёр дахь төрлийн тасалдалцэг дээр.

1-р төрлийн тасархайн хувьд функцийг тасалдлын цэг дээр өөрөө тодорхойлж болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн функцийн хувьд Координатын эхэнд хар тод цэг тавьж болно. Баруун талд нь гиперболын салбар, баруун талын хязгаар нь хязгааргүй юм. Бараг хүн бүр энэ график ямар байх талаар ойлголттой байдаг гэж би бодож байна.

Хүн бүрийн тэсэн ядан хүлээж байсан зүйл:

Функцийг тасралтгүй байдлыг хэрхэн шалгах вэ?

Нэг цэгийн тасралтгүй байдлын функцийг судлах нь тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийг шалгахаас бүрдэх нэгэнт тогтсон ердийн схемийн дагуу явагддаг.

Жишээ 1

Функцийг судлах

Шийдэл:

1) Хамрах хүрээний цорын ганц цэг бол функц тодорхойлогдоогүй газар юм.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн үед функц нь салгаж болох тасалдалд ордог.

Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?

Би хялбарчлахыг хүсч байна , мөн энэ нь энгийн параболыг олж авсан мэт санагдаж байна. ГЭХДЭЭАнхны функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул дараах заалт шаардлагатай:

Зураг зурцгаая:

Хариулт: функц нь салгаж болох тасалдлаас бусад бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Функцийг цаашид сайн эсвэл тийм ч сайн биш байдлаар тодорхойлж болох боловч нөхцөл байдлын дагуу үүнийг хийх шаардлагагүй.

Энэ бол алс холын жишээ гэж та хэлж байна уу? Огт үгүй. Практикт ийм зүйл хэдэн арван удаа тохиолдсон. Сайтын бараг бүх даалгаврууд нь бие даасан бодит ажил, тестээс ирдэг.

Дуртай модулиудаасаа салцгаая:

Жишээ 2

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойл. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: Зарим шалтгааны улмаас оюутнууд айж, модультай функцүүдэд дургүй байдаг, гэхдээ тэдэнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Хичээл дээр бид ийм зүйлийг аль хэдийн бага зэрэг хөндсөн. Графикийн геометрийн хувиргалт. Модуль нь сөрөг биш тул дараах байдлаар өргөжүүлнэ. , энд "альфа" нь зарим илэрхийлэл юм. Энэ тохиолдолд бидний функцийг хэсэгчлэн бичих ёстой:

Гэхдээ хоёр ширхэгийн бутархайг -ээр багасгах ёстой. Өмнөх жишээний адил бууралт нь үр дагаваргүйгээр явагдахгүй. Хуваагч нь тэг болж байгаа тул анхны функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Тиймээс систем нь нөхцөлийг нэмж зааж өгөх ёстой бөгөөд эхний тэгш бус байдлыг хатуу болгоно.

Одоо МАШ АШИГТАЙ шийдвэр гаргах аргын тухай: ноорог дээрх ажлыг дуусгахын өмнө зураг зурах нь давуу талтай (нөхцөлд шаардлагатай эсэхээс үл хамааран). Энэ нь нэгдүгээрт, тасралтгүй болон тасалдсан цэгүүдийг нэн даруй олж харах, хоёрдугаарт, нэг талын хязгаарыг олоход алдаа гарахаас 100% хамгаалах болно.

Зургаа хийцгээе. Бидний тооцооллын дагуу цэгийн зүүн талд параболын хэсэг (цэнхэр өнгө), баруун талд нь параболын хэсэг (улаан өнгө) зурах шаардлагатай бөгөөд функц нь тодорхойлогдоогүй байна. өөрөө зааж:

Хэрэв эргэлзэж байвал хэд хэдэн x утгыг аваад функцэд залгана уу (модуль нь боломжит хасах тэмдгийг устгадаг гэдгийг санаарай) графикийг шалгана уу.

Тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.

2) Үүнийг хийхийн тулд тасалдалын шинж чанарыг тодорхойлъё, бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно;

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо таслах цэг дээрх функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг дахин анхаарна уу.

Одоо үлдсэн бүх зүйл бол зураг төслийг ноорогоос (энэ нь судалгааны тусламжтайгаар хийгдсэн юм шиг ;-)) шилжүүлж, даалгавраа биелүүлэх явдал юм.

Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Заримдаа тэд тасархай үсрэлтийн нэмэлт заалтыг шаарддаг. Үүнийг энгийнээр тооцдог - баруун хязгаараас та зүүн хязгаарыг хасах хэрэгтэй: , өөрөөр хэлбэл завсарлагааны цэг дээр бидний функц 2 нэгжээр доошоо үсэрсэн (хасах тэмдэг бидэнд хэлдэг).

Жишээ 3

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойл. Зураг зурах.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр, хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн алдартай, өргөн тархсан хувилбар руу шилжье.

Жишээ 4

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгаж, функцийн графикийг зур .

Шийдэл: Функцийн гурван хэсэг нь харгалзах интервалууд дээр үргэлжилдэг нь тодорхой тул хэсгүүдийн хоорондох "холбох" хоёр цэгийг шалгахад л үлддэг. Юуны өмнө, бид барилгын техникийн талаар өгүүллийн эхний хэсэгт хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн зураг төслийг хийцгээе. Цорын ганц зүйл бол бид онцгой цэгүүдийг анхааралтай дагаж мөрдөх ёстой: тэгш бус байдлын улмаас утга нь шулуун шугамд (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас утга нь параболад (улаан цэг) хамаарна.


За зарчмын хувьд бүх зүйл тодорхой байна =) Шийдвэрийг албан ёсны болгох л үлдлээ. Хоёр "холбох" цэг бүрийн хувьд бид тасралтгүй байдлын 3 нөхцлийг шалгадаг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1)

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм.

Тасралтгүй үсрэлтийг баруун ба зүүн хязгаарын зөрүүгээр тооцоолъё.
, өөрөөр хэлбэл, график нэг нэгжийг хөдөлгөв.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

– нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг нь ерөнхий хязгаартай гэсэн үг.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Эцсийн шатанд бид зургийг эцсийн хувилбар руу шилжүүлж, дараа нь эцсийн хөвчийг тавьдаг.

Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Жишээ 5

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс судалж, графикийг нь байгуул .

Энэ бол бие даасан шийдэл, богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд асуудлын ойролцоо жишээ юм.

Нэг цэгт функц тасралтгүй байх ёстой, нөгөө үед тасалдал байх ёстой гэсэн сэтгэгдэл танд төрж магадгүй юм. Практикт энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Үлдсэн жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй - хэд хэдэн сонирхолтой, чухал шинж чанарууд байх болно.

Жишээ 6

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.

Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:

Энэ графикийн онцлог нь хэсэгчилсэн функцийг абсцисса тэнхлэгийн тэгшитгэлээр өгдөг. Энд энэ хэсгийг ногооноор зурсан боловч тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ихэвчлэн энгийн харандаагаар тодоор тодруулсан байдаг. Мэдээжийн хэрэг, манай хуцны тухай бүү мартаарай: утга нь шүргэгч мөчир (улаан цэг), утга нь шулуун шугамд хамаарна.

Зургаас бүх зүйл тодорхой харагдаж байна - функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй явагддаг бөгөөд 3-4 ижил төстэй жишээнүүдийн дараа бүрэн автоматжуулалтад хүргэсэн шийдлийг албан ёсны болгоход л үлддэг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг.

Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү гэсэн өчүүхэн баримтыг сануулъя. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн гар талын хязгаар).

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Мөн энд - нэгийн хязгаар нь тухайн нэгжтэй тэнцүү байна.

-Ерөнхий хязгаар гэж бий.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зургаа эцсийн хувилбарт шилжүүлдэг.

Хариулт: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг бүхэлд нь судлах талаар биднээс юу ч асуугаагүй бөгөөд томъёолох нь математикийн сайн хэлбэр гэж тооцогддогийг анхаарна уу. нарийн бөгөөд тодорхойтавьсан асуултын хариулт. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нөхцөл байдал таныг график барихыг шаарддаггүй бол та үүнийг бүтээхгүй байх бүрэн эрхтэй (хэдийгээр дараа нь багш үүнийг хийхийг албадах боломжтой).

Үүнийг өөрөө шийдэх жижиг математикийн "хэлний мушгиа":

Жишээ 7

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангилах. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Бүх "үг"-ийг зөв "дуудаж" үзээрэй =) Графикийг илүү нарийвчлалтай зур, үнэн зөв, энэ нь хаа сайгүй илүүдэхгүй байх болно;-)

Таны санаж байгаагаар би зургийг нэн даруй ноорог болгон дуусгахыг зөвлөж байсан боловч үе үе та график ямар байгааг шууд олж чадахгүй жишээнүүдтэй тулгардаг. Тиймээс зарим тохиолдолд эхлээд нэг талын хязгаарыг олж, зөвхөн дараа нь судалгаанд үндэслэн салбаруудыг дүрслэх нь давуу талтай. Сүүлийн хоёр жишээнд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолох арга техникийг сурах болно.

Жишээ 8

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.

Шийдэл: муу талууд нь тодорхой байна: (тэжээлийн хуваагчийг тэг болгон бууруулна) ба (бүхэл бутархайн хуваагчийг тэг болгон бууруулна). Энэ функцийн график ямар харагдах нь тодорхойгүй байгаа тул эхлээд судалгаа хийсэн нь дээр гэсэн үг.

Топологи– функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдлыг судалдаг математикийн салбар. Алгебртай хослуулан топологи нь математикийн ерөнхий үндсийг бүрдүүлдэг.

Топологийн орон зай эсвэл зураг -Манай нэгэн төрлийн Евклидийн орон зайн хэсэг бөгөөд тэдгээрийн хооронд тодорхой ойрын хамаарал өгөгдсөн. Энд дүрсийг хатуу биет биш, харин чанарын шинж чанараа хадгалсан тасралтгүй хэв гажилтыг зөвшөөрдөг маш уян хатан резинээр хийсэн объект гэж үздэг.

Дүрсүүдийн нэгийг харьцах тасралтгүй зураглал гэж нэрлэдэг гомеоморфизм. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд гомеоморф, хэрэв нэг нь тасралтгүй хэв гажилтаар нөгөө рүү шилжих боломжтой бол.

Жишээ. Дараахь зургууд нь гомеоморф (өөр өөр бүлгүүдийн тоонууд гомеоморф биш), Зураг дээр үзүүлэв. 2.

1. Өөрөө огтлолцоогүй сегмент ба муруй.

2. Тойрог, дөрвөлжин дотор, тууз.

3. Бөмбөрцөг, куб ба тетраэдрийн гадаргуу.

4. Тойрог, эллипс, зангилаатай тойрог.

5. Хавтгай дээрх цагираг (нүхтэй тойрог), орон зайд цагираг, хоёр удаа эрчилсэн цагираг, цилиндрийн хажуугийн гадаргуу.

6. Мобиусын зурвас, i.e. нэг удаа эрчилсэн бөгж, гурван удаа эрчилсэн бөгж.

7. Торусын гадаргуу (пончик), бариултай бөмбөрцөг, зангидсан торус.

8. Хоёр бариултай бөмбөрцөг, хоёр нүхтэй претзел.

IN математик шинжилгээфункцуудыг хязгаарын аргаар судалдаг. Хувьсагч ба хязгаар нь үндсэн ойлголтууд юм.

Төрөл бүрийн үзэгдлийн үед зарим хэмжигдэхүүн нь тоон утгыг хадгалж, бусад нь өөрчлөгддөг. Хувьсагчийн бүх тоон утгуудын багцыг нэрлэдэг энэ хувьсагчийн өөрчлөлтийн талбар.

Хувьсагчийн үйл ажиллагааны янз бүрийн арга замуудаас хамгийн чухал нь хувьсагч тодорхой хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг.

Тогтмол тоо адуудсан хувьсах хязгаар, хэрэв хоорондын зөрүүний үнэмлэхүй утга xТэгээд а() хувьсагчийн утгыг өөрчлөх явцад болдог xхүссэн хэмжээгээрээ жижиг:

"Хүссэн шигээ жижиг" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Хувьсах утга Xхязгаар руу чиглэдэг А, хэрэв дурын жижиг (дурын бага) тооны хувьд хувьсагчийн өөрчлөлтөд ийм момент байгаа бол X, үүнээс эхлэн тэгш бус байдал оршино .

Хязгаарын тодорхойлолт нь энгийн геометрийн утгатай: тэгш бус байдал гэсэн үг Xцэгийн хөршид байдаг а, тэдгээр. интервалд .

Тиймээс хязгаарын тодорхойлолтыг энд өгч болно геометрийн хэлбэр:

Тоо Ахувьсагчийн хязгаар юм X, хэрэв дурын жижиг (дураар жижиг) бол - тооны хөрш Ахувьсагчийг өөрчлөхөд ийм мөчийг зааж өгч болно X, үүнээс эхлэн түүний бүх утга нь тухайн цэгийн хөрш зэргэлдээх хэсэгт хамаарна А.

Сэтгэгдэл. Хувьсах утга Xтүүний хязгаарт янз бүрийн аргаар ойртож болно: энэ хязгаараас бага (зүүн талд), илүү их (баруун талд), хязгаарын утгын орчим хэлбэлздэг.

Дарааллын хязгаарлалт

Чиг үүрэгэлемент тус бүрийн дагуу хууль (дүрэм) гэж нэрлэдэг xзарим багц Xнэг элементтэй таарч байна yбагц Ю.

Функцийг бүх натурал тоонуудын олонлог дээр тодорхойлж болно: . Энэ функцийг нэрлэдэг байгалийн аргумент функцэсвэл тоон дараалал.

Ямар ч хязгааргүй олонлогийн нэгэн адил дарааллыг тоолох замаар тодорхойлох боломжгүй тул нийтлэг нэр томъёогоор тодорхойлогддог: , дарааллын ерөнхий гишүүн хаана байна.

Дискрет хувьсагч нь дарааллын нийтлэг нэр томъёо юм.

Тогтвортой байхын тулд "зарим цэгээс эхлэн" гэсэн үг нь "зарим тооноос эхэлдэг" гэсэн үг юм.

Тоо Адарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг , хэрэв дурын жижиг (дурын бага) тооны хувьд ийм тоо байгаа бол Н, энэ нь дугаартай дарааллын бүх гишүүдийн хувьд n>Нтэгш бус байдал бий .

эсвэл цагт .

Геометрийн хувьд дарааллын хязгаарын тодорхойлолт нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: дурын жижиг (дураар жижиг) - тооны хөршийн хувьд АДарааллын бүх гишүүн нь түүнээс их байх тоо байна Н, тоо, энэ орчимд унана. Зөвхөн хязгаарлагдмал тооны дарааллын эхний нөхцлүүд хөршөөс гадуур гарч ирнэ. Натурал тоо Нхамаарна: .