Тэгшитгэл аль мөрийг тодорхойлж байгааг олж мэд. Шугамын тэгшитгэлийн тодорхойлолт, хавтгай дээрх шугамын жишээ. зэрэгцээ шугамын нөхцөл

Аналитик геометрийн хамгийн чухал ойлголт бол хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх шугамын (муруй) тэгшитгэл Оксикоординатыг хангасан тэгшитгэл гэж нэрлэдэг xболон yЭнэ шугамын цэг бүр бөгөөд энэ шулуун дээр ороогүй цэгийн координатыг хангахгүй (Зураг 1).

Ерөнхийдөө шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно F(x,y)=0эсвэл y=f(x).

Жишээ.Цэгүүдээс ижил зайд байгаа олонлогийн тэгшитгэлийг ол A(-4;2), B(-2;-6).

Шийдэл.Хэрвээ М(x;y)нь хүссэн шугамын дурын цэг (Зураг 2), тэгвэл бид байна AM=BMэсвэл

Өөрчлөлтийн дараа бид авдаг

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь шулуун шугамын тэгшитгэл юм. MD- сегментийн дундаас сэргээгдсэн перпендикуляр AB.

Онгоц дээрх бүх шугамуудаас онцгой ач холбогдолтой юм шулуун шугам. Энэ нь практикт хамгийн түгээмэл шугаман эдийн засаг, математик загварт хэрэглэгддэг шугаман функцийн график юм.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн төрлүүд:

1) налуу k ба анхны ординаттай b:

y = kx + b,

шулуун ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг хаана байна Өө(Зураг 3).

Онцгой тохиолдлууд:

- шугам дамжин өнгөрдөг гарал үүсэл(зураг 4):

– биссектрисЭхний ба гурав дахь, хоёр, дөрөв дэх координатын өнцөг:

y=+x, y=-x;

- Чигээрээ x тэнхлэгтэй параллельмөн өөрөө ҮХЭР тэнхлэг(Зураг 5):

y=b, y=0;

- Чигээрээ OY тэнхлэгтэй зэрэгцээмөн өөрөө OY тэнхлэг(Зураг 6):

x=a, x=0;

2) энэ чиглэлд өнгөрөх (налуутай) өгөгдсөн цэгээр дамжуулан k (Зураг 7) :

.

Дээрх тэгшитгэлд байгаа бол кдурын тоо бол тэгшитгэл тодорхойлогдоно шулуун шугамын багццэгээр дамжин өнгөрөх , тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамаас бусад Өө.

ЖишээA(3,-2):

a) тэнхлэгийн өнцөгт Өө;

б) тэнхлэгтэй зэрэгцээ Өө.

Шийдэл.

а) , у-(-2)=-1(x-3)эсвэл y=-x+1;

б) x=3.

3) өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх (Зураг 8) :

.

Жишээ. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич A(-5.4), B(3,-2).

Шийдэл. ,

4) сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл (зураг 9):

хаана а, б-тэнхлэгүүд дээр тус тус таслагдсан сегментүүд Үхэрболон Өө.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич A(2,-1), хэрэв энэ шугам эерэг хагас тэнхлэгээс тасарвал Өөэерэг хагас тэнхлэгээс хоёр дахин урт сегмент Үхэр(Зураг 10).

Шийдэл. Нөхцөлөөр b=2a, дараа нь. Цэгийн координатыг орлуулна A(2,-1):

Хаана a=1.5.

Эцэст нь бид:

Эсвэл y=-2x+3.

5) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Ax+By+C=0,

хаана аболон бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш.

Шулуун шугамын зарим чухал шинж чанарууд :

1) цэгээс шулуун хүртэлх зай d:

.

2) шулуун шугамын хоорондох өнцөг ба тус тус:

болон .

3) зэрэгцээ шугамын нөхцөл:

эсвэл .

4) шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл:

эсвэл .

Жишээ 1. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх хоёр шулууны тэгшитгэлийг бич А(5.1), тэдгээрийн нэг нь шугамтай зэрэгцээ байна 3x+2y-7=0нөгөө нь ижил шулуунтай перпендикуляр байна. Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайг ол.

Шийдэл. Зураг 11.

1) Ax+By+C=0 параллель шулууны тэгшитгэл:

параллелизмын нөхцлөөс;

1-тэй тэнцүү пропорциональ коэффициентийг авбал бид авна A=3, B=2;

тэгээд. 3x+2y+C=0;

утга учир FROMкоординатыг орлуулах замаар олно A(5,1),

3*5+2*1+C=0,хаана C=-17;

зэрэгцээ шулууны тэгшитгэл нь 3x+2y-17=0.

2) перпендикуляр шугамын тэгшитгэлперпендикуляр байдлын нөхцлөөс эхлэн хэлбэртэй байна 2x-3y+C=0;

координатыг орлуулах А(5.1), бид авдаг 2*5-3*1+C=0, хаана C=-7;

перпендикуляр шулууны тэгшитгэл нь 2x-3y-7=0.

3) зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайхүртэлх зайгаар олж болно А(5.1)шууд өгөхөөс өмнө 3x+2y-7=0:

.

Жишээ 2. Гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг өгөв.

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Өнцгийн биссектрисын тэгшитгэлийг бич ABC.

Шийдэл. Эхлээд оройн координатыг ол ATгурвалжин:

,

хаана x=-8, y=0,тэдгээр. B(-8.0)(Зураг 12) .

Цэг бүрийн зайн биссектрисын шинж чанараар М(х,у), биссектриса Б.Дтал хүртэл ABболон нартэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

,

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Зураг 12-аас харахад хүссэн шулуун шугамын налуу нь сөрөг байна (өнцөг Өөмохоо), тиймээс эхний тэгшитгэл бидэнд тохирно x+7y+8=0эсвэл y=-1/7x-8/7.

Маягтын хамаарлыг авч үзье F(x, y)=0холбох хувьсагч xболон цагт. Тэгш байдал (1) гэж нэрлэгдэх болно x, y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл,хэрэв энэ тэгш байдал бүх хос тоонд үнэн биш бол Xболон цагт. Тэгшитгэлийн жишээ: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

нүгэл х + нүгэл у - 1 = 0.

Хэрэв (1) нь бүх x ба у тоонуудын хувьд үнэн бол түүнийг дуудна таних тэмдэг. Биеийн жишээнүүд: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Тэгшитгэл (1) дуудагдана олонлог цэгийн тэгшитгэл (x; y),хэрэв энэ тэгшитгэл нь координатаар хангагдвал Xболон цагтолонлогийн аль ч цэг бөгөөд энэ олонлогт хамааралгүй аль ч цэгийн координатыг хангахгүй.

Аналитик геометрийн чухал ойлголт бол шугамын тэгшитгэлийн тухай ойлголт юм. Тэгш өнцөгт координатын систем ба зарим нэг шулуун байг α.

Тодорхойлолт.(1) тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг α (үүсгэсэн координатын системд), хэрэв энэ тэгшитгэл нь координатаар хангагдсан бол Xболон цагтшугамын аль ч цэг α , мөн энэ шулуун дээр ороогүй цэгийн координатыг хангаж болохгүй.

Хэрэв (1) нь шулууны тэгшитгэл юм α, Дараа нь бид (1) тэгшитгэлийг хэлэх болно. тодорхойлдог (багц)шугам α.

Шугам α зөвхөн (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр биш, мөн хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

F(P, φ) = 0, туйлын координатуудыг агуулсан.

• налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл;

Тэнхлэгт перпендикуляр биш зарим шулуун шугамыг өгье Өө. За дуудъя хазайлтын өнцөгтэнхлэгт өгөгдсөн шугам Өөбулан α тэнхлэгийг эргүүлэх Өөэерэг чиглэл нь шулуун шугамын аль нэг чиглэлтэй давхцах болно. Шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенс Өөдуудсан налуугийн хүчин зүйлэнэ шулуун шугам ба үсгээр тэмдэглэгдсэн руу.

	K=tg α
		(1)

Хэрэв бид үүнийг мэддэг бол энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргана рууболон сегмент дэх үнэ цэнэ О.В, тэр түүнийг тэнхлэг дээр таслав OU.

(2)

y=kx+b

-ээр тэмдэглээрэй М"Онгоцны цэг (x; y).Хэрэв та шулуун зурвал Б.Нболон Н.М, тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ, дараа нь r BNM -тэгш өнцөгт. Т. MC C BM <=>үнэт зүйлс байхад Н.Мболон Б.Ннөхцөлийг хангана: . Гэхдээ NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> (1) өгөгдсөн бол бид үүнийг ойлгодог М (х; у) Cэнэ мөрөнд<=>координатууд нь тэгшитгэлийг хангах үед: =>

Тэгшитгэл (2) гэж нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.Хэрвээ K=0, дараа нь шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өөба түүний тэгшитгэл нь y = b.

• хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

(4)

Хоёр оноо өгье M 1 (x 1; y 1)болон M 2 (x 2; y 2).(3) цэгийг авсны дараа М (х; у) per M 2 (x 2; y 2),бид авдаг y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).Тодорхойлох кСүүлийн тэгшитгэлээс (3) тэгшитгэлд орлуулснаар бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна. . Энэ бол тэгшитгэл юм y 1 ≠ y 2, дараах байдлаар бичиж болно.

Хэрвээ y 1 = y 2, дараа нь хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = y 1. Энэ тохиолдолд шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө. Хэрвээ x 1 = x 2, дараа нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам М 1болон М 2, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU, түүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна x = x 1.

• өгөгдсөн налуутай өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

(3)

Ax + By + C = 0

Теорем.Тэгш өнцөгт координатын системд ӨөАливаа шулуун шугамыг нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн:

ба эсрэгээр, дурын коэффициентүүдийн тэгшитгэл (5). A, B, C (ГЭХДЭЭболон B ≠ 0нэгэн зэрэг) тэгш өнцөгт координатын систем дэх зарим шугамыг тодорхойлно Өө.

Баталгаа.

Эхлээд эхний мэдэгдлийг баталъя. Хэрэв шугам перпендикуляр биш бол Өө,Дараа нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно. y = kx + b, өөрөөр хэлбэл (5) хэлбэрийн тэгшитгэл, энд

A=k, B=-1болон C = b.Хэрэв шугам перпендикуляр байвал Өө,тэгвэл түүний бүх цэгүүд нь утгатай тэнцүү абсциссатай байна α тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегмент Өө.

Энэ шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна x = α,тэдгээр. нь мөн (5) хэлбэрийн нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл бөгөөд энд A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α.Энэ нь эхний мэдэгдлийг баталж байна.

Эсрэг заалтыг баталцгаая. (5) тэгшитгэл, ядаж нэг коэффициентийг өгье ГЭХДЭЭболон B ≠ 0.

Хэрвээ B ≠ 0, дараа нь (5) гэж бичиж болно. налуу , бид тэгшитгэлийг авна y = kx + b, өөрөөр хэлбэл шулуун шугамыг тодорхойлох (2) хэлбэрийн тэгшитгэл.

Хэрвээ B = 0, дараа нь A ≠ 0ба (5) хэлбэрийг авна. Дамжуулан тэмдэглэнэ α, бид авдаг

x = α, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр шулуун шугамын тэгшитгэл Ox.

Тэгш өнцөгт координатын системд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамыг дуудна эхний дарааллын шугамууд.

Төрөл тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0бүрэн бус, өөрөөр хэлбэл. коэффициентүүдийн нэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

1) C = 0; Ah + Wu = 0ба эхийг дайран өнгөрөх шугамыг тодорхойлно.

2) B = 0 (A ≠ 0); тэгшитгэл Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0зэрэгцээ шугамыг тодорхойлно Өө.

(6) тэгшитгэлийг "сегмент дэх" шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тоонууд аболон бкоординатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамыг таслах сегментүүдийн утгууд юм. Тэгшитгэлийн энэ хэлбэр нь тохиромжтой геометрийн барилгаЧигээрээ.

• шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл;

Аx + Вy + С = 0 нь зарим шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл бөгөөд (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

түүний хэвийн тэгшитгэл.

(5) ба (7) тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлж байгаа тул ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0болон

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) эдгээр тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь пропорциональ байна. Энэ нь тэгшитгэлийн бүх гишүүн (5)-ыг зарим M хүчин зүйлээр үржүүлснээр тэгшитгэлийг олж авна гэсэн үг юм. MA x + MB y + MS = 0, (7) тэгшитгэлтэй давхцаж байгаа нь i.e.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M хүчин зүйлийг олохын тулд бид эдгээр тэгшитгэлийн эхний хоёрыг квадрат болгож, нэмнэ:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

(9)

хавтгай дахь муруйг тодорхойлно. Нэр томъёоны бүлгийг квадрат хэлбэр гэж нэрлэдэг. - шугаман хэлбэр. Хэрэв квадрат хэлбэрт зөвхөн квадрат хувьсагч байвал түүний хэлбэрийг каноник гэж нэрлэдэг ба квадрат хэлбэр нь канон хэлбэртэй байдаг ортонормаль суурийн векторуудыг квадрат хэлбэрийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг.
Матриц квадрат матриц гэж нэрлэдэг. Энд 1 2 = a 2 1 байна. В матрицыг диагональ хэлбэрт оруулахын тулд энэ матрицын хувийн векторуудыг үндэс болгон авах шаардлагатай. , энд λ 1 ба λ 2 нь В матрицын хувийн утга юм.
В матрицын хувийн векторуудын үндсэн дээр квадрат хэлбэр нь каноник хэлбэртэй байна: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Энэ үйлдэл нь координатын тэнхлэгүүдийн эргэлттэй тохирч байна. Дараа нь гарал үүслийг шилжүүлж, улмаар шугаман хэлбэрээс ангижрах болно.
Хоёрдахь эрэмбийн муруйн каноник хэлбэр: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, үүнээс гадна:
a) хэрэв λ 1 >0; λ 2 >0 нь эллипс, тухайлбал λ 1 =λ 2-ийн хувьд тойрог;
б) λ 1 >0 бол λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) бидэнд гипербол байна;
в) хэрэв λ 1 =0 эсвэл λ 2 =0 бол муруй нь парабол бөгөөд координатын тэнхлэгүүдийг эргүүлсний дараа λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (энд λ 2 =0) шиг харагдана. Бүтэн квадратыг нөхөхөд бид: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 болно.

Жишээ. (0,i,j) координатын системд 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 муруйны тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энд i =(1,0) ба j =(0,1).
1. Муруйн төрлийг тодорхойлох.
2. Тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж, анхны координатын системд муруй байгуул.
3. Тохирох координатын хувиргалтыг ол.

Шийдэл. B=3x 2 +10xy+3y 2 квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгт, өөрөөр хэлбэл каноник хэлбэрт шилжүүлнэ. Энэ квадрат хэлбэрийн матриц . Энэ матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг ол.

Онцлог тэгшитгэл:
; λ 1 \u003d -2, λ 2 \u003d 8. Квадрат хэлбэрийн төрөл: .
Анхны тэгшитгэл нь гиперболыг тодорхойлдог.
Квадрат хэлбэрийн хэлбэр нь өвөрмөц биш гэдгийг анхаарна уу. Та 8x 1 2 -2y 1 2 гэж бичиж болно, гэхдээ муруйн төрөл нь ижил хэвээр байна - гипербол.
Бид квадрат хэлбэрийн үндсэн тэнхлэгүүдийг, өөрөөр хэлбэл В матрицын хувийн векторуудыг олдог. .
x 1 =1-ийн хувьд λ=-2 тоонд тохирох хувийн вектор: x 1 =(1,-1).
Нэгж хувийн векторын хувьд бид векторыг авдаг , x 1 векторын урт хаана байна.
Хоёр дахь хувийн утга λ=8-д тохирох хоёр дахь хувийн векторын координатыг системээс олно.
.
1 ,j 1).
4.3.3 дахь хэсгийн (5) томъёоны дагуу. Бид шинэ суурь руу шилждэг:
эсвэл

; . (*)

Бид x ба y илэрхийлэлүүдийг анхны тэгшитгэлд оруулж, хувиргасны дараа дараахь зүйлийг авна. .
Бүтэн квадратуудыг сонгоно уу: .
Бид координатын тэнхлэгүүдийг шинэ гарал үүсэлтэй зэрэгцүүлэн орчуулж байна. , .
Хэрэв бид эдгээр харилцааг (*) -д оруулж, x 2 ба y 2-ын хувьд эдгээр тэгш байдлыг шийдвэл бид дараахь зүйлийг авна. , . Координатын системд (0*, i 1, j 1) энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. .
Муруй байгуулахын тулд бид хуучин координатын системд шинээр байгуулна: x 2 =0 тэнхлэгийг хуучин координатын системд x-y-3=0 тэгшитгэлээр, y 2 =0 тэнхлэгийг x+ тэгшитгэлээр өгөгдсөн. y-1=0. 0 * (2,-1) координатын шинэ системийн гарал үүсэл нь эдгээр шугамын огтлолцлын цэг юм.
Ойлголтыг хялбарчлахын тулд бид график зурах үйл явцыг 2 үе шатанд хуваана.
1. Хуучин координатын системд x-y-3=0, x+y-1=0 тэгшитгэлээр тус тус өгөгдсөн x 2 =0, y 2 =0 тэнхлэгтэй координатын системд шилжих.

2. Функцийн графикийг олж авсан координатын системд байгуулах.

Графикийн эцсийн хувилбар дараах байдалтай байна. Шийдэл: Шийдэл татаж авах

Дасгал хийх. Дараах тэгшитгэл бүр нь эллипсийг тодорхойлж, түүний төвийн С, хагас тэнхлэг, эксцентриситет, директрисын координатыг ол. Зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг, голомт, чиглүүлэлтийн тэнхлэгийг харуулсан эллипс зур.
Шийдэл.

§ 9. Шугамын тэгшитгэлийн тухай ойлголт.

Тэгшитгэл ашиглан шугамыг тодорхойлно уу

F хэлбэрийн тэгш байдал (x, y) = 0хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг x, у,бүх хос тоонуудын хувьд үнэн биш бол x, y.Тэд хоёр тоо хэлдэг x = x 0 , y=y 0, хэлбэрийн зарим тэгшитгэлийг хангана F(x, y)=0,хувьсагчийн оронд эдгээр тоог орлуулах үед хэрэв Xболон цагттэгшитгэлд түүний зүүн тал алга болно.

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл (тогтоосон координатын систем дэх) нь энэ шулуун дээр байрлах цэг бүрийн координатаар хангагдсан, түүн дээр ороогүй цэг бүрийн координатаар хангагддаггүй хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Ирээдүйд "шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн" гэсэн илэрхийллийн оронд F(x, y) = 0" гэж бид ихэвчлэн богиносгодог: мөр өгөгдсөн F(x, y) = 0.

Хоёр шугамын тэгшитгэлийг өгөв F(x, y) = 0болон Ф(x, y) = Q,дараа нь системийн хамтарсан шийдэл

Тэдний бүх уулзвар цэгүүдийг өгдөг. Илүү нарийн, энэ системийн хамтарсан шийдэл болох хос тоо бүр нь огтлолцох цэгүүдийн аль нэгийг тодорхойлдог.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4цагт+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4цагт -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10y+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Туйлын координатын системд цэгүүдийг өгсөн

Эдгээр цэгүүдийн аль нь туйлын координат  = 2 cos  тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр хэвтэж, аль нь түүн дээр байхгүй болохыг тодорхойл. Энэ тэгшитгэлээр ямар шугам тодорхойлогддог вэ? (Зураг дээр харуулаарай :)

164.  = тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр
, Туйлтын өнцөг нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) ,b) - , c) 0, d) . Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ?

(Зураг дээр бүтээгээрэй.)

165.  = тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр
, туйлын радиус нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) 1, b) 2, c)
. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр бүтээгээрэй.)

166. Туйлын координатаар ямар шулуунууд тодорхойлогддогийг дараах тэгшитгэлээр тодорхойл (зураг дээр байгуул).

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  нүгэл  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 нүгэл ; 8) гэм  =

Томъёогоор өгөгдсөн функцийг (тэгшитгэл) авч үзье.

Энэ функц, улмаар тэгшитгэл (11) нь энэ функцийн график болох нарийн тодорхойлогдсон шугамтай хавтгайд тохирч байна (20-р зургийг үз). Функцийн графикийн тодорхойлолтоос харахад энэ шулуун нь координатууд нь (11) тэгшитгэлийг хангасан хавтгайн зөвхөн эдгээр цэгүүдээс бүрдэнэ.

Одоо зөвшөөр

Энэ функцийн график болох шугам нь (12) тэгшитгэлийг хангасан координатууд нь хавтгайн зөвхөн эдгээр цэгүүдээс бүрдэнэ. Энэ нь хэрэв цэг заасан шулуун дээр оршдог бол түүний координатууд (12) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм. Хэрэв цэг нь энэ шулуун дээр ороогүй бол түүний координат нь (12) тэгшитгэлийг хангахгүй болно.

(12) тэгшитгэлийг y-д хамааруулан шийднэ. Тэгшитгэл гэх мэт у-ийн хувьд шийдэгдээгүй x ба у-г агуулсан тэгшитгэлийг авч үзье.

Хавтгай дээрх энэ тэгшитгэлд шулуун тохирч байгааг харуулъя, тухайлбал, координатын эхэнд төвтэй, 2-той тэнцүү радиустай тойрог. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье.

Түүний зүүн тал нь цэгийн эхлэлээс зайны квадрат юм (§ 2, 2-р зүйл, томъёо 3-ыг үз). Тэгш тэгшитгэлээс (14) энэ зайны квадрат нь 4 байна.

Энэ нь координатууд нь (14) тэгшитгэл, улмаар (13) тэгшитгэлийг хангасан аливаа цэг нь эх үүсвэрээс 2-ын зайд байрлана гэсэн үг юм.

Ийм цэгүүдийн байрлал нь эх ба радиус 2 дээр төвлөрсөн тойрог юм. Энэ тойрог нь (13) тэгшитгэлд тохирох шулуун байх болно. Түүний аль нэг цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (13) хангаж байгаа нь ойлгомжтой. Хэрэв цэг нь бидний олсон тойрог дээр ороогүй бол түүний гарал үүсэлээс зайны квадрат нь 4-өөс их эсвэл бага байх бөгөөд энэ нь ийм цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (13) хангахгүй гэсэн үг юм.

Одоо ерөнхий тохиолдолд тэгшитгэлийг өгье

зүүн талд нь x ба у-г агуулсан илэрхийлэл байна.

Тодорхойлолт. (15) тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун нь координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангасан хавтгайн цэгүүдийн байрлал юм.

Энэ нь хэрэв L шулууныг тэгшитгэлээр тодорхойлвол L-ийн дурын цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангах ба L-ийн гадна байрлах хавтгайн аль ч цэгийн координатууд (15) тэгшитгэлийг хангахгүй гэсэн үг юм.

(15) тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

Сэтгэгдэл. Аливаа тэгшитгэл нь ямар ч шугамыг тодорхойлдог гэж бодож болохгүй. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь ямар ч шугамыг тодорхойлдоггүй. Үнэн хэрэгтээ, y-ийн бодит утгуудын хувьд энэ тэгшитгэлийн зүүн тал эерэг, баруун тал нь тэгтэй тэнцүү тул энэ тэгшитгэл нь хавтгайн аль ч цэгийн координатыг хангаж чадахгүй.

Шугамыг хавтгай дээр зөвхөн декарт координатыг агуулсан тэгшитгэлээр бус туйлын координат дахь тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Туйлтын координат дахь тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун нь туйлын координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн байрлал юм.

Жишээ 1. Архимед спиралыг .

Шийдэл. Туйлын өнцгийн зарим утгууд болон туйлын радиусын харгалзах утгуудын хүснэгтийг хийцгээе.

Бид туйлын координатын системд цэгийг бий болгодог бөгөөд энэ нь туйлтай давхцаж байгаа нь ойлгомжтой; Дараа нь тэнхлэгийг туйлын тэнхлэгт өнцгөөр зурж, бид энэ тэнхлэг дээр эерэг координат бүхий цэгийг байгуулдаг; үүний дараа бид туйлын өнцөг ба туйлын радиусын эерэг утгатай цэгүүдийг (эдгээр цэгүүдийн тэнхлэгүүд) ижил төстэй байдлаар байгуулдаг. 30-р зурагт заагаагүй болно).

Цэгүүдийг хооронд нь холбосноор бид 1-р зурагт заасан муруйн нэг салбарыг олж авна. 30 тод мөр. 0-ээс энэ салбар руу шилжих үед муруй нь хязгааргүй тооны эргэлтээс бүрдэнэ.