Котангенсийн дериватив x. Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд: тангенс, синус, косинус болон бусад. Тригонометрийн функцүүдийн дериватив томъёо

x-ийн котангенсийн x хувьсагчийн дериватив нь x-ийн синус квадратад хуваагдсан хасах нэгтэй тэнцүү байна.:
(ctg x)′ =.

Котангенсийн дериватив томъёоны гарал үүсэл

Котангенсийн деривативын томъёог гаргахын тулд бид дараах математик баримтуудыг ашиглана.
1) Котангенсыг косинус ба синусаар илэрхийлэх:
(1) ;
2) Косинусын деривативын утга:
(2) ;
3) Синусын деривативын утга:
(3) ;
4) Хэмжилтийн дериватив томъёо:
(4) ;
5) Тригонометрийн томъёо:
(5) .

Бид эдгээр томъёо, дүрмийг котангентын деривативт хэрэглэнэ.

.

Тиймээс бид котангентын деривативын томъёог олж авлаа.

Дериватив бутархайн томьёо (4) нь функцүүдийн дериватив байгаа х хувьсагчийн утгуудын хувьд хүчинтэй бөгөөд бутархайн хуваагч арилдаггүй.
.
Манай тохиолдолд
, . Косинус ба синусын деривативууд нь x хувьсагчийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог тул котангентын дериватив томъёо нь синус тэгтэй тэнцүү байх цэгээс бусад бүх x-д хүчинтэй байна. Энэ нь онооноос бусад тохиолдолд
,
бүхэл тоо хаана байна.
Функц өөрөө y = ctg xцэгээс бусад бүх х-д тодорхойлогдсон
.
Тийм ч учраас котангентын дериватив нь котангенсийн функцийг тодорхойлох бүх мужид тодорхойлогддог.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

y = котангенсийн n-р эрэмбийн деривативын энгийн томьёо ctg x, Үгүй. Гэхдээ дээд эрэмбийн деривативын тооцоог хялбаршуулж болно. Процессыг өөрөө хүртэл багасгаж болно олон гишүүнтийг ялгах.

Үүнийг хийхийн тулд бид котангенсын деривативыг котангенсаар дамжуулан илэрхийлнэ.
.
Тиймээс бид олсон:
(6) .

(6) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын деривативуудыг олоод нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлцгээе. Бид авдаг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив:
.
Орлуулах (6):
(7) .

Гурав дахь эрэмбийн деривативыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид (7) тэгшитгэлийг ялгаж, нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэж, эхний деривативын хувьд илэрхийлэл (6) -ийг ашиглана:
.

Үүнтэй ижил аргаар бид олж мэднэ дөрөв ба тав дахь эрэмбийн дериватив:

;

.

Ерөнхийдөө, n-р эрэмбийн дериватив, котангенсийн функцийн х хувьсагч дахь, , котангенсийн зэрэглэлээр олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлэгдэж болно:
.
Энэ олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь давтагдах харьцаагаар холбогддог.
,
Хаана
; ;
.

Ерөнхий томъёо

Ялгах үйл явцыг нэг томьёогоор төсөөлье. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна уу
.
Дараа нь котангентын n-р дериватив дараах хэлбэртэй байна.
,
Хаана.

Хамгийн их асуудаг асуултууд

Баримт бичигт өгсөн дээжийн дагуу тамга дарах боломжтой юу? Хариулах Тиймээ, боломжтой. Сканнердсан хуулбар эсвэл сайн чанарын зургийг манай цахим шуудангийн хаяг руу илгээвэл бид шаардлагатай хуулбарыг хийх болно.

Та ямар төрлийн төлбөрийг хүлээн авах вэ? Хариулах Дипломын үнэн зөв, гүйцэтгэлийн чанарыг шалгасны дараа шуудан зөөгч хүлээн авсны дараа та баримт бичгийн төлбөрийг төлж болно. Үүнийг бэлэн мөнгөөр ​​хүргэх үйлчилгээ үзүүлдэг шуудангийн компаниудын оффис дээр хийж болно.
Баримт бичгийг хүргэх, төлөх бүх нөхцөлийг "Төлбөр ба хүргэлт" хэсэгт тайлбарласан болно. Баримт бичгийг хүргэх, төлбөрийн нөхцөлтэй холбоотой санал хүсэлтийг бид мөн сонсоход бэлэн байна.

Та захиалга өгсний дараа миний мөнгөөр ​​алга болохгүй гэдэгт итгэлтэй байж болох уу? Хариулах Бид дипломын үйлдвэрлэлийн чиглэлээр нэлээд урт туршлагатай. Бидэнд байнга шинэчлэгдэж байдаг хэд хэдэн вэб сайт бий. Манай мэргэжилтнүүд улс орны өнцөг булан бүрт ажиллаж, өдөрт 10 гаруй баримт бичиг гаргадаг. Олон жилийн туршид бидний баримт бичиг олон хүнд хөдөлмөр эрхлэлтийн асуудлыг шийдвэрлэх эсвэл өндөр цалинтай ажилд шилжихэд тусалсан. Бид үйлчлүүлэгчдийнхээ итгэлийг олж, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тул үүнийг хийх ямар ч шалтгаан байхгүй. Түүнээс гадна, үүнийг бие махбодийн хувьд хийх боломжгүй юм: та захиалгыг гартаа хүлээн авахдаа төлдөг, урьдчилгаа төлбөр байхгүй.

Аль ч их сургуулийн диплом захиалж болох уу? Хариулах Ерөнхийдөө тийм. Бид энэ чиглэлээр бараг 12 жил ажиллаж байна. Энэ хугацаанд тус улсын бараг бүх их дээд сургуулиудын гаргасан, өөр өөр он жилүүдийн баримт бичгүүдийн бараг бүрэн мэдээллийн санг бүрдүүлсэн. Танд хэрэгтэй зүйл бол их сургууль, мэргэжил, баримт бичгийг сонгох, захиалгын маягтыг бөглөх явдал юм.

Баримт бичигт үсгийн алдаа, алдаа олдвол яах вэ? Хариулах Манай шуудангийн компани эсвэл шуудангийн компаниас баримт бичгийг хүлээн авахдаа бүх нарийн ширийн зүйлийг сайтар шалгаж үзэхийг зөвлөж байна. Хэрэв үсгийн алдаа, алдаа, алдаа илэрсэн бол та дипломоо авахгүй байх эрхтэй боловч илэрсэн согогийг шуудан илгээгчид биечлэн эсвэл бичгээр имэйл илгээх ёстой.
Бид баримт бичгийг аль болох хурдан засч, заасан хаягаар дахин илгээх болно. Мэдээж хүргэлтийг манай компани төлнө.
Ийм үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд бид анхны маягтыг бөглөхөөс өмнө эцсийн хувилбарыг шалгаж, баталгаажуулахын тулд ирээдүйн баримт бичгийн загварыг имэйлээр илгээдэг. Баримт бичгийг шуудангаар эсвэл шуудангаар илгээхийн өмнө бид нэмэлт зураг, видео (хэт ягаан туяаг оруулаад) авдаг бөгөөд ингэснээр та эцэст нь юу хүлээж авах талаар тодорхой ойлголттой болно.

Танай компаниас диплом захиалахын тулд яах ёстой вэ? Хариулах Баримт бичгийг (сертификат, диплом, эрдмийн гэрчилгээ гэх мэт) захиалахын тулд та манай вэбсайт дахь онлайн захиалгын маягтыг бөглөх эсвэл имэйл хаягаа өгөх ёстой бөгөөд бид танд анкет илгээх боломжтой бөгөөд үүнийг бөглөж, буцааж илгээнэ үү. бидэнд.
Хэрэв та захиалгын маягт/санал асуулгын аль нэг хэсэгт юу зааж өгөхөө мэдэхгүй байгаа бол хоосон орхино уу. Тиймээс бид дутуу байгаа бүх мэдээллийг утсаар тодруулах болно.

Хамгийн сүүлийн үеийн тоймууд

Торивилд:

Би өөр хот руу нүүж ирээд эд зүйлсийнхээ дундаас дипломоо олдохгүй байтал танай компанийн диплом авахаар шийдсэн. Түүнгүйгээр би сайн, сайн цалинтай ажилд орохгүй байсан. Таны зөвлөх энэ мэдээллийг задруулахгүй, хэн ч баримт бичгийг эх хувилбараас нь ялгахгүй гэж надад итгүүлсэн. Ямар ч эргэлзээгүй, гэхдээ би эрсдэлтэй байсан. Урьдчилгаа төлбөр шаарддаггүй нь надад таалагдсан. Ер нь дипломоо хугацаанд нь авсан, хууртаагүй. Баярлалаа!

Оксана Ивановна:

Дипломыг минь хулгайд алдахад би маш их бухимдсан. Эцсийн эцэст би яг тэр үед халагдсан бөгөөд одоо дээд боловсролын дипломгүйгээр сайн ажил олох бараг боломжгүй юм. Аз болоход хөрш нь танай байгууллагатай холбоо барихыг санал болгов. Эхэндээ би эргэлзэж байсан ч эрсдэлд орохоор шийдсэн. Би компанийн менежер рүү утасдаж нөхцөл байдлыг тайлбарлав. Мөн би азтай байна! Тэд бүх зүйлийг шуурхай хийсэн бөгөөд хамгийн гол нь миний нууцыг задруулахгүй гэж амласан. Диплом худалдаж авсан баримт нь сүүлд гарахгүй байх вий гэж санаа зовж байсан.

Маша Кутенкова:

Ажилд баярлалаа! Би 1991 оны диплом захиалсан. Тэд бичиг баримтаа бүрдүүлж эхлэхэд туршлага багатай, боловсролоо баталгаажуулсан баримт бичиг хэрэгтэй болсон. Надад тийм байсангүй, дарга үүнийг мэдэж байсан бөгөөд тэр өөрөө танай компанийг санал болгосон (би ажилчин шиг биш бололтой). Баримт бичиг дээр тэр надад нарийн ширийн зүйлийг зааж өгсөн - тэд хэдэн онд бэх эсвэл бэх хэрэглэдэг, гарын үсгийн зузаан гэх мэтийг хэлдэг. Нягт нямбай, чанарт баярлалаа!

ЛенОК:

Дипломыг нь өнгөт принтерээр хэвлэсэн ажилчдыг ичгүүртэй халсан тухай түүхийг уншаад би их сургуульд элсэхээр очив. Харамсалтай нь төсөв, сурах мөнгө, хичээлийн мөнгө байхгүй тул эрсдэлд орсон. Хэдийгээр би танай компанитай танилцсандаа маш их баяртай байна. Хэдийгээр практик блок бүтэлгүйтсэний улмаас би таны дипломтой ажилд ороогүй ч энэ нь таны буруу биш юм. Би шинэ газар олмогц би чам руу шууд очих болно, цаг алдалгүй!

Жерри Терри:

Хуурамч дипломын төлөө хамтран зүтгэгч маань ямар ичгүүртэйгээр ажлаасаа хөөгдөж байгааг хараад түүнээс үлгэр дуурайлал авахаас аймаар санагдсан. Чамаас захиалсан загалмайлсан эх байгаагүй бол би эрсдэлд орохгүй байсан. Энд бүх зүйл жигдэрч, миний нэр шаардлагатай газар бүрт байх болно гэж тэр хэлэв. Надад бүх зүйлийг хийхэд 4 хоног байсан. Хурдтай байгаад баярлалаа - бид үүнийг 3-т хийж дуусгасан, мөн баримт бичгийг хуурамчаар үйлдэх аргуудыг сайтар судалж чадсан боловч таны маягт хуурамч биш бөгөөд энэ нь эх хувь болно гэсэн үг юм.

Андрей:

Би хэзээ ч диплом худалдаж авна гэж бодож байгаагүй. Хичээлийн дараа охин маань Польш руу ажиллахаар явсан бөгөөд 5 жилийн дараа буцаж ирээд орон нутгийн загварын ордонд хувцасны дизайнераар ажилд орохыг хүссэн. Дипломгүй бол хэн ч түүнийг ажилд авахыг хүсээгүй. Хэрэв тэр энэ ажилд орохгүй бол дахин явах болно гэдгээ ойлгосон. Би үдшийг интернетээр хэсч, өглөө нь охиныхоо бичиг баримттай аль хэдийн оффист байсан. Долоо хоногийн дараа тэр дипломыг нь авч явсан бөгөөд тэр эцэст нь өөрийн хотод хүссэн албан тушаалд ажиллахаар үлджээ. Би чамд ямар их талархаж байгааг чи мэдэхгүй!

Сургуулийн сурагчид геометр, математикийн хичээлээс эхлэн үүсмэл ойлголтыг дүрс, дифференциал, функцын хязгаар, хязгаар зэргээр дамжуулан тэдэнд дамжуулдаг гэдэгт дассан байдаг. Дериватив гэдэг ойлголтыг өөр өнцгөөс харж, дериватив болон тригонометрийн функцийг хэрхэн холбож болохыг тодорхойлъё.

Тиймээс y = f(x) хийсвэр функцээр дүрслэгдсэн дурын муруйг авч үзье.

Хуваарь нь аялал жуулчлалын маршрутын зураг гэж төсөөлөөд үз дээ. Зураг дээрх ∆x (дельта x) өсөлт нь замын тодорхой зай, ∆y нь далайн түвшнээс дээш замын өндрийн өөрчлөлт юм.
Дараа нь ∆x/∆y харьцаа нь маршрутын сегмент тус бүрийн замын нарийн төвөгтэй байдлыг тодорхойлох болно. Энэ үнэ цэнийг олж мэдсэнийхээ дараа та өгсөх/унах нь эгц, авирах хэрэгсэл шаардлагатай эсэх, жуулчдад тодорхой биеийн тамирын дасгал хийх шаардлагатай эсэхийг итгэлтэйгээр хэлж чадна. Гэхдээ энэ үзүүлэлт зөвхөн нэг жижиг ∆x интервалд хүчинтэй байх болно.

Хэрэв аяллыг зохион байгуулагч нь замын эхлэл ба төгсгөлийн утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл ∆x нь маршрутын урттай тэнцүү бол тэрээр хүндрэлийн зэрэгтэй холбоотой бодит мэдээллийг олж авах боломжгүй болно. аяллын тухай. Тиймээс зам дахь өөрчлөлтийн хурд, "чанар" -ыг тодорхойлох өөр график байгуулах, өөрөөр хэлбэл, маршрутын "метр" бүрийн ∆x/∆y харьцааг тодорхойлох шаардлагатай.

Энэ график нь тодорхой замд зориулсан харааны дериватив байх бөгөөд сонирхлын интервал бүрт түүний өөрчлөлтийг бодитойгоор тайлбарлах болно. Үүнийг шалгах нь маш энгийн бөгөөд ∆x/∆y утга нь x ба y-ийн тодорхой утгад авсан дифференциалаас өөр зүйл биш юм. Ялгааг тодорхой координатуудад биш, харин бүхэлд нь функцэд хэрэглэцгээе.

Дериватив ба тригонометрийн функцууд

Тригонометрийн функцууд нь деривативтай салшгүй холбоотой байдаг. Үүнийг дараах зургаас ойлгож болно. Координатын тэнхлэгийн зураг нь Y = f (x) функцийг харуулж байна - цэнхэр муруй.

K (x0; f (x0)) нь дурын цэг, x0 + ∆x нь OX тэнхлэгийн дагуух өсөлт, f (x0 + ∆x) нь тодорхой L цэг дэх OY тэнхлэгийн дагуух өсөлт юм.

K ба L цэгээр шулуун шугам татаад KLN тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулъя. Хэрэв та LN сегментийг Y = f (x) графикийн дагуу оюун ухаанаараа хөдөлгөвөл L ба N цэгүүд нь K (x0; f (x0)) утга руу чиглэнэ. Энэ цэгийг графикийн нөхцөлт эхлэл - хязгаар гэж нэрлэе; хэрэв функц нь ядаж аль нэг интервал дээр хязгааргүй байвал энэ хандлага мөн хязгааргүй байх бөгөөд түүний хязгаарлах утга нь 0-тэй ойролцоо байна.

Энэ хандлагын мөн чанарыг сонгосон цэгт шүргэгч y = kx + b эсвэл анхны функцийн dy - ногоон шулуун шугамын деривативын графикаар дүрсэлж болно.

Гэхдээ энд тригонометр хаана байна?! Бүх зүйл маш энгийн, зөв ​​гурвалжин KLN-ийг авч үзье. Тодорхой K цэгийн дифференциал утга нь α эсвэл ∠K өнцгийн тангенс юм.

Ийм байдлаар бид деривативын геометрийн утга, түүний тригонометрийн функцтэй хамаарлыг тодорхойлж чадна.

Тригонометрийн функцүүдийн дериватив томъёо

Деривативыг тодорхойлохдоо синус, косинус, тангенс, котангенсийн хувиргалтыг цээжлэх ёстой.

Сүүлийн хоёр томьёо нь алдаа биш бөгөөд гол нь энгийн аргументын дериватив болон ижил хүчин чадалтай функцийг тодорхойлоход ялгаа байгаа явдал юм.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёо бүхий харьцуулсан хүснэгтийг харцгаая.

Арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенсийн деривативын хувьд томьёог гаргаж авсан боловч маш ховор хэрэглэгддэг:

Дээрх томьёо нь тригонометрийн илэрхийлэлийн деривативыг олох тодорхой жишээг шийдвэрлэхдээ харуулах ердийн USE даалгавруудыг амжилттай шийдвэрлэхэд хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дасгал хийх: Функцийн деривативыг олж π/4-ийн утгыг олох шаардлагатай:

Шийдэл: Y'-ийг олохын тулд анхны функцийг дериватив болгон хувиргах үндсэн томъёог эргэн санах хэрэгтэй.