Шугаман тэгшитгэлийн хувилбарын арга. Дээд эрэмбийн нэг төрлийн бус нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх. Нийгмийн өөрчлөлтүүд. Төр ба сүм
Дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргыг нэгэн төрлийн бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг дифференциал тэгшитгэл... Энэ хичээл нь тухайн сэдвийг бага багаар сайн мэддэг оюутнуудад зориулагдсан болно. Хэрэв та DU -тай танилцаж эхэлж байгаа бол. Хэрэв та цайны аяга бол эхний хичээлээс эхлэхийг зөвлөж байна. Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ... Хэрэв та аль хэдийн дуусгаж байгаа бол арга нь хэцүү гэсэн урьдчилсан таамаглалыг хаяна уу. Учир нь энэ нь энгийн зүйл юм.
Дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргыг ямар тохиолдолд ашигладаг вэ?
1) Шийдэхийн тулд дурын тогтмолын хэлбэлзлийн аргыг ашиглаж болно 1-р зэрэглэлийн шугаман жигд бус DE... Тэгшитгэл нь эхний дараалалтай тул тогтмол (тогтмол) нь бас нэг юм.
2) Дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргыг заримыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл... Энд хоёр тогтмол нь өөр өөр байдаг.
Хичээлийг хоёр догол мөрөөс бүрдэнэ гэж үзэх нь логик юм. Би энэ саналыг бичсэн бөгөөд 10 минутын турш практик жишээнүүд рүү зөөлөн шилжихийн тулд өөр ямар ухаалаг новш нэмж оруулах вэ гэж би маш их бодож байсан. Гэхдээ ямар нэгэн шалтгаанаар амралтын дараа ямар ч бодол байдаггүй, гэхдээ тэр ямар нэгэн зүйлийг буруугаар ашиглаагүй бололтой. Тиймээс шууд эхний догол мөр рүү явцгаая.
Дурын тогтмол байдлын өөрчлөлт хийх арга
шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн хувьд
Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг авч үзэхээсээ өмнө уг нийтлэлтэй танилцахыг зөвлөж байна Эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл... Тэр хичээл дээр бид дадлага хийсэн анхны шийдэл 1-р зэргийн жигд бус DE. Энэхүү анхны шийдэл нь дуудагдсан гэдгийг би танд сануулж байна орлуулах аргаэсвэл Бернуллигийн арга(эндүүрч болохгүй Бернуллигийн тэгшитгэл!!!)
Одоо бид авч үзэх болно хоёр дахь шийдэлдурын тогтмолыг өөрчлөх арга. Би ердөө гуравхан жишээ хэлээд дээрх хичээлээс авч үзье. Яагаад ийм бага юм бэ? Учир нь үнэн хэрэгтээ хоёр дахь арга нь эхний шийдэлтэй маш төстэй байх болно. Нэмж дурдахад миний ажигласнаар дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргыг орлуулах аргаас бага ашигладаг.
Жишээ 1
(Хичээлийн 2 -р жишээнээс ялгаатай 1 -р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)
Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн биш бөгөөд танил хэлбэртэй байна. 
Эхний алхам бол илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм. 
Өөрөөр хэлбэл, бид тэгийг бичихийн оронд баруун талыг нь тэнэг байдлаар тэглэдэг.
Тэгшитгэл Би залгах болно туслах тэгшитгэл.
Энэ жишээнд та дараах туслах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
Бидний өмнө салгаж болох тэгшитгэл, шийдэл нь танд хэцүү байхаа больсон гэж найдаж байна: 
Тиймээс: 
- туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.
Хоёр дахь шатанд солихзарим хүмүүсийн тогтмол хараахан"x" -ээс хамаарах үл мэдэгдэх функц:
Тиймээс аргын нэр - бид тогтмолыг өөрчилдөг. Эсвэл тогтмол нь одоо бидний олох ёстой функц байж магадгүй юм.
V эхнэг төрлийн бус тэгшитгэл бид солих болно:
Орлуулах ба 
тэгшитгэл рүү :
Хяналтын мөч - зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёог цуцална... Хэрэв ийм зүйл болохгүй бол та дээрх алдааг хайх хэрэгтэй.
Орлуулалтын үр дүнд хуваах хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авна. Хувьсагчдыг салгаж нэгтгэх.
Үзэсгэлэн худалдаанд оролцогчид бас буурч байгаа нь ямар их адислал вэ?
Олсон функцэд "хэвийн" тогтмолыг нэмнэ үү.
Асаалттай эцсийн шатбидний орлох тухай санаарай:
Дөнгөж сая функцийг оллоо!
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь: 
Хариулт:нийтлэг шийдвэр: 
Хэрэв та хоёр шийдлийг хэвлэвэл хоёуланд нь ижил интеграл олсон болохыг та анзаарах болно. Ганц ялгаа нь шийдлийн алгоритм юм.
Одоо илүү төвөгтэй зүйл бол би хоёр дахь жишээг тайлбарлах болно.
Жишээ 2
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ол 
(Хичээлийн №8 жишээнээс ялгаатай 1 -р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)
Шийдэл:Тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулъя :
Баруун гар талыг тэг болгож, туслах тэгшитгэлийг шийдье.
Туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг орлуулах болно.
Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу: 
Орлуулах ба анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлд:
Зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёог цуцалсан нь бид зөв замаар явж байна гэсэн үг юм. 
Бид хэсгүүдийг нэгтгэдэг. Хэсэг хэсгүүдийг нэгтгэх томъёоны амттай үсгийг шийдэлд аль хэдийн ашигласан тул бид жишээ нь "a" ба "be" гэсэн үсгийг ашигладаг.
Одоо бид орлуулалтыг эргэн санаж байна:
Хариулт:нийтлэг шийдвэр:
Мөн өөрөө хийх шийдлийн нэг жишээ:
Жишээ 3
Өгөгдсөн анхны нөхцөлд харгалзах дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол.
,
(Хичээлийн №4 жишээнээс ялгаатай 1 -р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)
Шийдэл:
Энэхүү DE нь шугаман нэг төрлийн бус юм. Бид дурын тогтмолуудын хувьсах аргыг ашигладаг. Туслах тэгшитгэлийг шийдье.
Хувьсагчдыг салгаж нэгтгэх: 
Нийтлэг шийдвэр: 
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг орлуулах болно. 
Орлуулалтыг хийцгээе. 
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь: 
Өгөгдсөн анхны нөхцөлтэй тохирох тодорхой шийдлийг хайж үзье. 
Хариулт:хувийн шийдэл:
Хичээлийн төгсгөлд хийсэн шийдэл нь даалгаврыг дуусгахад бараг үлгэр жишээ болж чадна.
Дурын тогтмолуудын хувьсах арга
хоёрдогч эрэмбийн шугаман тэгш бус тэгшитгэлийн хувьд
тогтмол коэффициенттэй
Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийн дурын тогтмолуудын хувьсах арга нь тийм ч амар зүйл биш гэсэн санал бодлыг бид олонтаа сонсдог. Гэхдээ би дараахь зүйлийг таамаглаж байна: энэ арга нь тийм ч түгээмэл биш тул олон хүнд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэвч бодит байдал дээр онцгой бэрхшээл гардаггүй - шийдвэрийн явц тодорхой, ил тод, ойлгомжтой байдаг. Бас үзэсгэлэнтэй.
Энэ аргыг эзэмшихийн тулд баруун гар талын хэлбэрээр тодорхой шийдлийг сонгох замаар хоёрдогч дарааллын тэгш бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх нь зүйтэй юм. Энэ аргыг нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно. 2 -р зэрэглэлийн нэг төрлийн бус DE... Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байдгийг бид санаж байна.
Дээрх хичээл дээр авч үзсэн сонгон шалгаруулах арга нь зөвхөн полином, экспонент, синус, косинус баруун талд байгаа тохиолдолд зөвхөн цөөн тооны тохиолдолд л ажилладаг. Гэхдээ баруун талд, жишээлбэл бутархай, логарифм, шүргэх үед юу хийх вэ? Ийм нөхцөлд тогтмолуудын хэлбэлзлийн арга нь аврах ажилд ирдэг.
Жишээ 4
Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ол 
Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн баруун талд бутархай хэсэг байгаа тул тодорхой шийдлийг сонгох арга нь ажиллахгүй байна гэж бид шууд хэлж чадна. Бид дурын тогтмолуудын хувьсах аргыг ашигладаг.
Аадар бороо орохыг юу ч урьдчилан хэлдэггүй, шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм.
Олоорой нийтлэг шийдвэрхаргалзах нэгэн төрлийнтэгшитгэл: 
Онцлог тэгшитгэлийг зохиож шийдье. 
- нийлмэл цогц үндсийг олж авсан тул ерөнхий шийдэл нь:
Ерөнхий шийдлийн бүртгэлд анхаарлаа хандуулаарай - хэрэв хаалт байгаа бол бид тэдгээрийг өргөжүүлнэ.
Одоо бид эхний эрэмбийн тэгшитгэлтэй бараг адилхан арга барилыг хийж байна: бид тогтмолуудыг өөрчилж, үл мэдэгдэх функцээр сольж байна. Тэр бол, төрөл бүрийн ерөнхий шийдэлБид дараахь тэгшитгэлийг хайж олох болно.
Хаана - харааханүл мэдэгдэх функцууд.
Энэ нь ахуйн хог хаягдлын хогийн цэг шиг харагдаж байгаа ч одоо бид бүх зүйлийг цэгцлэх болно.
Функцийн деривативууд нь үл мэдэгдэх үүрэг гүйцэтгэдэг. Бидний зорилго бол дериватив олох явдал бөгөөд олдсон деривативууд нь системийн эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг хангаж байх ёстой.
"Тоглоомууд" хаанаас гардаг вэ? Өрөвтас тэднийг авчирдаг. Бид өмнө нь олж авсан ерөнхий шийдлийг хараад дараах зүйлийг бичнэ.
Деривативыг олох:
Зүүн хэсгүүдийг цэгцэлснээр. Баруун талд юу байна?
Энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэлийн баруун тал нь:
Коэффициент нь хоёр дахь деривативын коэффициент юм.
Практикт бараг үргэлж, бидний жишээ бол үл хамаарах зүйл биш юм.
Бүх зүйл тодорхой болсон тул та одоо систем үүсгэж болно: 
Системийг ихэвчлэн шийддэг Крамерын томъёогоорстандарт алгоритм ашиглан. Ганц ялгаа нь тоонуудын оронд бидэнд функц байдаг.
Системийн үндсэн тодорхойлогчийг олж мэдье. 
Хэрэв та "хоёр хоёроор" тодорхойлогч хэрхэн илэрч байгааг мартсан бол хичээлийг үзнэ үү Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?Холбоос нь ичгүүрийн самбар руу хөтөлдөг =)
Тиймээс: энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.
Деривативыг олох: 
Гэхдээ энэ нь бүгд биш, одоогоор бид зөвхөн деривативыг олсон байна.
Функцийг өөрөө нэгтгэх замаар сэргээдэг.
Хоёрдахь функцийг авч үзье. 
Энд бид "ердийн" тогтмолыг нэмнэ
Шийдлийн эцсийн шатанд бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ямар хэлбэрээр хайж байснаа санаж байна уу? Ийм-д:
Таны хайж буй функцууд дөнгөж олдсон байна! 
Орлуулах ажлыг хийж, хариултыг бичихэд л үлдэх болно.
Хариулт:нийтлэг шийдвэр:
Зарчмын хувьд хариултанд хаалтуудыг өргөжүүлж болно.
Хариултын бүрэн шалгалтыг хичээл дээр хэлэлцсэн стандарт схемийн дагуу гүйцэтгэдэг 2 -р зэрэглэлийн нэг төрлийн бус DE... Гэхдээ нэлээд хүнд дериватив олж, төвөгтэй орлуулалт хийх шаардлагатай байгаа тул шалгах нь тийм ч хялбар биш байх болно. Хэрэв та иймэрхүү тархалттай тэмцэж байгаа бол энэ нь тааламжгүй шинж чанар юм.
Жишээ 5
Дифференциал тэгшитгэлийг янз бүрийн дурын тогтмолуудаар шийдээрэй
Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Үнэндээ баруун тал нь бас бутархай юм. Тригонометрийн томъёог бид санаж байна, гэхдээ үүнийг шийдлийн явцад ашиглах шаардлагатай болно.
Дурын тогтмолуудын хувьсах арга нь хамгийн уян хатан арга юм. Тэд шийдсэн аливаа тэгшитгэлийг шийдэж чадна Баруун талын хэлбэрийн дагуу тодорхой шийдлийг сонгох аргаар... Энд дурын тогтмолуудын хувьсах аргыг яагаад ашиглаж болохгүй гэж гэсэн асуулт гарч ирж байна. Хариулт нь тодорхой байна: хичээл дээр авч үзсэн хувийн шийдлийг сонгох Хоёрдогч дарааллын тэгш бус тэгшитгэл, шийдлийг мэдэгдэхүйц хурдасгаж, бичгийг богиносгодог - тодорхойлогч болон интегралд ямар ч утгагүй.
Гэсэн хоёр жишээг авч үзье Кошигийн асуудал.
Жишээ 6
Өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэд тохирсон дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол
, 
Шийдэл:Дахин нэг сонирхолтой хэсэг дэх фракц ба экспонент.
Бид дурын тогтмолуудын хувьсах аргыг ашигладаг.
Олоорой нийтлэг шийдвэрхаргалзах нэгэн төрлийнтэгшитгэл: 
- өөр өөр бодит үндсийг олж авсан тул ерөнхий шийдэл нь:
Төрөл бүрийн ерөнхий шийдэлБид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайж байна :, хаана - харааханүл мэдэгдэх функцууд.
Системийг зохиож үзье.
Энэ тохиолдолд:
,
Деривативыг хайж олох: 
, 
Тиймээс: 
Бид системийг Крамерын томъёог ашиглан шийддэг.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.
Бид функцийг нэгтгэн сэргээдэг.
Энд ашигласан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга.
Бид хоёр дахь функцийг нэгтгэн сэргээдэг. 
Ийм интеграл шийдэгддэг хувьсах орлуулах арга:
Орлуулахаас эхлээд бид дараахь зүйлийг илэрхийлж байна.
Тиймээс: 
Энэ интегралийг олж болно бүрэн дөрвөлжин сонгох арга, гэхдээ ялгаатай жишээнүүдэд би бутархайг өргөжүүлэхийг илүүд үздэг Тодорхойлогдоогүй коэффициентийн арга:
Хоёр функцийг хоёуланг нь олж болно:
Үүний үр дүнд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Анхны нөхцлийг хангасан тодорхой шийдлийг хайж үзье .
Техникийн хувьд шийдлийг хайж олох нь нийтлэлд хэлэлцсэн стандарт аргаар явагддаг Хоёрдахь эрэмбийн нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл.
Түр хүлээгээрэй, одоо бид нийтлэг шийдлийн деривативыг олох болно.
Энд ийм гутамшиг байна. Үүнийг хялбарчлах шаардлагагүй, тэгшитгэлийн системийг нэн даруй бүрдүүлэх нь илүү хялбар болно. Анхны нөхцлийн дагуу :
Тогтмол утгын утгыг орлуулна уу 
ерөнхий шийдэл болгон:
Хариултанд логарифмыг бага зэрэг баглаж болно.
Хариулт:хувийн шийдэл: 
Таны харж байгаагаар интеграл ба деривативын хувьд бэрхшээл үүсч болох боловч дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргын алгоритмд биш юм. Би чамайг айлгаагүй, энэ бол Кузнецовын цуглуулга юм!
Амрахын тулд өөрөө хийх шийдлийн эцсийн, энгийн жишээ:
Жишээ 7
Кошигийн асуудлыг шийдээрэй
, 
Жишээ нь энгийн боловч бүтээлч, хэрэв та системийг бүтээхдээ үүнийг шийдэхээсээ өмнө сайтар ажиглаарай ;-),
Үүний үр дүнд ерөнхий шийдэл нь:
Анхны нөхцөл байдалд тохирсон тодорхой шийдлийг олж мэдье .
Тогтмол утгуудын утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулъя.
Хариулт:хувийн шийдэл:
Нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийг одоо авч үзье
. (2)
Y 1, y 2, .., y n -ийг шийдлийн үндсэн систем, харгалзах нэгэн төрлийн L (y) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болог. Эхний эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил бид (2) тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно
. (3)
Энэ хэлбэрийн шийдэл байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийг тэгшитгэлээр орлуулдаг. Энэ функцийг тэгшитгэлд орлуулахын тулд бид түүний уламжлалыг олдог. Эхний дериватив нь 
. (4)
Хоёрдахь деривативыг тооцоолохдоо (4) -ийн баруун талд дөрвөн нэр томъёо, гурав дахь деривативыг тооцоолоход найман нэр томъёо гарч ирэх болно. Тиймээс цаашид тооцоолоход хялбар болгох үүднээс (4) дэх эхний гишүүнийг тэг гэж үзнэ. Үүнийг харгалзан хоёр дахь дериватив нь 
. (5)
Өмнөхтэй ижил шалтгаанаар (5) хэсэгт бид эхний нэр томъёог тэгтэй тэнцүү болгов. Эцэст нь, n дахь дериватив нь 
. (6)
Деривативуудын олж авсан утгыг анхны тэгшитгэлээр орлуулах нь бидэнд байна 
. (7)
Y 7, j = 1,2, .., n функцууд нь харгалзах нэгэн төрлийн L (y) = 0 тэгшитгэлийн шийдэл тул (7) дахь хоёр дахь гишүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Өмнөхтэй хослуулан C "j (x) функцийг олох алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авна. 
(8)
Энэхүү системийн тодорхойлогч нь харгалзах нэгэн төрлийн L (y) = 0 тэгшитгэлийн y 1, y 2, .., y n шийдлийн үндсэн системийн Wronskii тодорхойлогч бөгөөд тэг учраас тэгтэй тэнцүү биш юм. Тиймээс системийн өвөрмөц шийдэл байдаг (8). Үүнийг олсны дараа бид C "j (x), j = 1,2, ..., n функцуудыг олж авдаг бөгөөд ингэснээр C j (x), j = 1,2, ..., n Эдгээрийг орлуулах болно. утгыг (3) болговол бид нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн шийдлийг олж авна.
Тодорхойлсон аргыг дурын тогтмолын хэлбэлзлийн арга буюу Лагранжийн арга гэж нэрлэдэг.
Жишээ 1. Y "" + 4y " + 3y = 9e -3 x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоорой. Харгалзах нэгэн төрлийн y" " + 4y" + 3y = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний онцлог тэгшитгэлийн үндэс r 2 + 4r + 3 = 0 нь -1 ба - 3 -тай тэнцүү байна. Тиймээс нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь y 1 = e - x ба y 2 = e -3 x функцүүдээс бүрдэнэ. Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x хэлбэрээр хайж байна. C "1, C" 2 деривативыг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
Үүнийг олж авах, олж авсан функцийг нэгтгэх нь бидэнд байна 
Бид эцэст нь авдаг
Жишээ 2. Хоёрдахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг тогтмол коэффициентээр дурын тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргаар шийднэ. 
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3
Шийдэл:
Энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийг хэлнэ.
Бид тэгшитгэлийн шийдлийг y = e rx хэлбэрээр хайж олох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн тэгшитгэлийг гаргадаг.
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс: r 1 = 4, r 2 = 2
Тиймээс шийдлийн үндсэн систем нь y 1 = e 4x, y 2 = e 2x функцүүдээс бүрдэнэ.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Тодорхой шийдлийг дурын тогтмол хувьсах аргаар хайж олох.
C "i деривативыг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлнэ.
C '1 e 4x + C' 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Эхний тэгшитгэлээс C "1 -ийг илэрхийлье.
C "1 = -c 2 e -2x
ба хоёр дахь нь орлуулна. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Бид олж авсан C "i функцийг нэгтгэдэг.
C 1 = 2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2
Y = C 1 e 4x + C 2 e 2x тул олж авсан илэрхийллийг дараах байдлаар бичнэ.
C 1 = (2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) -e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
эсвэл
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Тодорхой шийдлийг олж мэдье.
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3
Олсон тэгшитгэлд x = 0 -ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Үр дүнгийн ерөнхий шийдлийн анхны деривативыг олоорой.
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x +C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) +ln (2e 2x +1) -2)
X = 0 -ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
эсвэл
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
эсвэл
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Хаанаас: C 1 = 0, C * 2 = 2
Хувийн шийдлийг дараах байдлаар бичих болно.
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
Лагранжийн тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргаар тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг авч үзсэн болно. Лагранжийн арга нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг мэддэг бол шугаман тэгш бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бас хэрэглэгддэг.
АгуулгаМөн үзнэ үү:
Лагранжийн арга (тогтмолуудын хэлбэлзэл)
Дурын n-р эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1)
.
Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд авч үзсэн тогтмолыг өөрчлөх аргыг өндөр эрэмбийн тэгшитгэлд бас ашигладаг.
Шийдэл нь хоёр үе шаттайгаар хийгддэг. Эхний алхам дээр бид баруун талыг нь хаяж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үр дүнд бид n дурын тогтмолыг агуулсан шийдлийг олж авдаг. Хоёрдахь шатанд бид тогтмолуудыг өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тогтмолууд нь бие даасан x хувьсагчийн функцууд гэж үзэж, эдгээр функцын хэлбэрийг олдог.
Хэдийгээр бид энд тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзэж байгаа боловч Лагранжийн арга нь нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бас хэрэглэгддэг... Гэхдээ үүний тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг мэддэг байх ёстой.
Алхам 1. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил бид эхлээд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж, баруун гар талын нэгэн төрлийн бус талыг тэг болгоно.
(2)
.
Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараахь хэлбэртэй байна.
(3)
.
Энд дур зоргоороо тогтмолууд байна; - Энэ тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2) шугаман бие даасан шийдэл.
Алхам 2. Тогтворуудын хэлбэлзэл - тогтмолуудыг функцээр солих
Хоёрдахь алхамд бид тогтмолуудын өөрчлөлтийг шийдвэрлэх болно. Өөрөөр хэлбэл бид тогтмолуудыг x гэсэн бие даасан хувьсагчийн функцээр солино.
.
Өөрөөр хэлбэл бид анхны тэгшитгэл (1) -ийн шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
(4)
.
Хэрэв (4) -ийг (1) болгон орлуулбал n функцын нэг дифференциал тэгшитгэлийг авна. Нэмж дурдахад бид эдгээр функцийг нэмэлт тэгшитгэлээр холбож болно. Дараа нь та n функцийг тодорхойлох боломжтой n тэгшитгэлийг авах болно. Нэмэлт тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар хийж болно. Гэхдээ шийдэл нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байхын тулд бид үүнийг хийх болно. Үүний тулд ялгаварлахдаа функцын дериватив агуулсан нэр томъёог тэглэх шаардлагатай болно. Үүнийг харуулъя.
Санал болгож буй шийдлийг (4) анхны тэгшитгэл (1) -ээр орлуулахын тулд (4) хэлбэрээр бичигдсэн функцын эхний n дарааллын деривативыг олох хэрэгтэй. Бид нийлбэр ба бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглан (4) ялгадаг.
.
Гишүүдийг бүлэглэе. Нэгдүгээрт, бид дериватив бүхий нэр томъёог бичиж, дараа нь дараахь деривативтай нэр томъёог бичнэ.
.
Функцуудад эхний нөхцлийг тавъя.
(5.1)
.
Дараа нь анхны деривативын илэрхийлэл илүү энгийн хэлбэртэй болно.
(6.1)
.
Хоёрдахь деривативыг ижил аргаар олоорой.
.
Функцуудад хоёрдахь нөхцлийг тавъя.
(5.2)
.
Дараа нь
(6.2)
.
Гэх мэт Нэмэлт нөхцөлд бид функцын деривативыг агуулсан нэр томъёог тэг болгож тохируулна.
Тиймээс, хэрэв та функцүүдийн хувьд дараахь нэмэлт тэгшитгэлийг сонговол:
(5.k) ,
Дараа нь анхны деривативууд хамгийн энгийн хэлбэртэй болно.
(6.k) .
Энд.
N дахь деривативыг олоорой:
(6.н)
.
Анхны тэгшитгэлийг орлуулна уу (1):
(1)
;
.
Бүх функцууд (2) тэгшитгэлийг хангаж байгааг харгалзан үзье.
.
Дараа нь агуулсан нэр томъёоны нийлбэр нь тэгийг өгнө. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.
(7)
.
Үүний үр дүнд бид деривативуудын шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авлаа.
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ') .
Энэ системийг шийдэхдээ бид x -ийн функц болох үүсмэл үгсийн илэрхийлэлийг олдог. Интеграцчилснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Энд x -ээс хамааралгүй болсон тогтмолууд байна. (4) -д орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна.
Деривативуудын утгыг тодорхойлохдоо a i коэффициент тогтмол байдаг гэдгийг бид хаана ч ашиглаагүй болохыг анхаарна уу. Тиймээс л тэр Лагранжийн арга нь нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэгхэрэв нэгэн төрлийн (2) тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг мэддэг бол.
Жишээ нь
Тэгшитгэлийг тогтмолуудын хэлбэлзлийн аргаар (Лагранж) шийдээрэй.
Шийдлийн жишээ >>>
Дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэх
Шугаман орлуулалтаар тогтмол коэффициент бүхий өндөр эрэмбийн нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл
Лекц 44. Хоёрдугаар эрэмбийн нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл. Дурын тогтмолуудын хувьсах арга. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл. (тусгай баруун тал).
Нийгмийн өөрчлөлтүүд. Төр ба сүм.
Большевикуудын нийгмийн бодлого нь тэдний ангийн хандлагаас үүдэлтэй байв. 1917 оны 11-р сарын 10-ны өдрийн зарлигаар үл хөдлөх хөрөнгийн системийг устгаж, хувьсгалын өмнөх цол, цол, шагналыг хүчингүй болгосон. Шүүгчийн сонгон шалгаруулалтыг тогтоосон; иргэний улс орнуудыг шашингүй болгох ажлыг явуулсан. Үнэгүй боловсрол, эмнэлгийн тусламжийг бий болгосон (1918 оны 10 -р сарын 31 -ний тогтоол). Эмэгтэйчүүдийг эрэгтэйчүүдтэй адил тэгш эрхтэй болгосон (1917 оны 12 -р сарын 16, 18 -ны өдрийн тогтоолууд). Гэрлэлтийн тухай тогтоол нь иргэний гэрлэлтийн институцийг танилцуулсан.
1918 оны 1 -р сарын 20 -ны өдрийн Ардын Комиссаруудын Зөвлөлийн тогтоолоор сүмийг төрөөс болон боловсролын системээс тусгаарлав. Сүмийн ихэнх эд хөрөнгийг хураан авчээ. Москва ба Бүх Оросын Патриарх Тихон (1917 оны 11 -р сарын 5 -нд сонгогдсон) 1918 оны 1 -р сарын 19 -нд анатематикжуулсан. Зөвлөлтийн хүчмөн большевикуудтай тэмцэхийг уриалав.
Хоёрдогч эрэмбийн нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье
Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн бүтцийг дараахь теоремоор тодорхойлно.
Теорем 1.Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (1) энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл ба харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр илэрхийлнэ.
Баталгаа... Энэ нь нийлбэр гэдгийг батлах шаардлагатай байна
(1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм. (3) функц нь (1) тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг эхлээд нотолж үзье.
Нийлбэрийг (1) тэгшитгэлээр орлуулах -д, байх болно
(2) тэгшитгэлийн шийдэл байдаг тул эхний хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ижил хэмжээтэй тэнцүү байна. (1) тэгшитгэлийн шийдэл байгаа тул хоёр дахь хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэнцүү байна f (x)... Тиймээс, тэгш байдал (4) бол өвөрмөц байдал юм. Тиймээс теоремын эхний хэсэг батлагдсан болно.
Хоёр дахь мэдэгдлийг нотолъё: илэрхийлэл (3) нь ерөнхийтэгшитгэлийн шийдэл (1). Энэ илэрхийлэлд орсон дурын тогтмолуудыг эхний нөхцлийг хангахын тулд сонгож болохыг бид батлах ёстой.
ямар ч тоо x 0, y 0ба (хэрэв зөвхөн x 0чиг үүргийг гүйцэтгэж буй хэсгээс авсан болно а 1, 2ба f (x)Үргэлжилсэн).
Юу хэлбэрээр дүрсэлж болохыг анзаарч байна. Дараа нь (5) нөхцлийг үндэслэн бид авах болно
Энэ системийг шийдээд тодорхойлъё C 1ба C 2... Системийг дараах байдлаар дахин бичье.
Энэ системийн тодорхойлогч нь функцын Wronski тодорхойлогч гэдгийг анхаарна уу 1 -дба 2 дээрцэг дээр x = x 0... Эдгээр функцууд нь таамаглалаар шугаман хамааралгүй байдаг тул Wronskii тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш юм; Тиймээс (6) систем нь тодорхой шийдэлтэй байдаг C 1ба C 2, өөрөөр хэлбэл ийм үнэт зүйлс байдаг C 1ба C 2(3) томъёогоор өгөгдсөн эхний нөхцлийг хангасан тэгшитгэлийн (1) шийдлийг тодорхойлно. Q.E.D.
Нэг төрлийн биш тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох ерөнхий аргыг авч үзье.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг бичье (2)
Бид нэгдмэл бус тэгшитгэлийн (1) (7) хэлбэрийн тодорхой шийдлийг хайх болно C 1ба C 2гэх мэт хараахан тодорхой болоогүй зарим функцууд NS.
Тэгш байдлыг ялгая (7):
Шаардлагатай функцуудыг сонгож үзье C 1ба C 2тэгэхээр тэгш байдал
Хэрэв энэ нэмэлт нөхцлийг харгалзан үзвэл эхний дериватив нь маягтыг авна
Энэ илэрхийлэлийг одоо ялгаж салгахад бид дараахь зүйлийг олж мэдэв.
(1) тэгшитгэлийг орлуулснаар бид олж авна
Эхний хоёр хаалтанд байгаа илэрхийлэл алга болдог, учир нь y 1ба y 2- нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл. Үүний үр дүнд сүүлчийн тэгш байдал хэлбэрийг авдаг
Тиймээс, функц (7) нь функц бол нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн (1) шийдэл болно C 1ба C 2(8) ба (9) тэгшитгэлүүдийг хангах. (8) ба (9) тэгшитгэлүүдээс тэгшитгэлийн систем зохиоё.
Энэ системийн тодорхойлогч нь шугаман хамааралгүй шийдлүүдийн Wronski тодорхойлогч юм y 1ба y 2тэгшитгэл (2), тэгвэл энэ нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Тиймээс, системийг шийдвэрлэхдээ бид тодорхой функцийг олж авдаг NS:
Энэхүү системийг шийдэж, интеграцийн үр дүнд хаанаас олж авахаа олж мэднэ. Дараа нь бид олсон функцийг томъёогоор орлуулж, дур зоргоороо тогтмол биш тэгш бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна.
