Шалгалт болоход багагүй хугацаа үлдсэн юм шиг санагдаж байна уу? Энэ сар уу? Хоёр уу? Жил? Дадлагаас харахад оюутан шалгалтанд урьдчилан бэлдэж эхэлбэл шалгалтыг хамгийн сайн даван туулдаг. Улсын нэгдсэн шалгалтанд сургуулийн сурагчид болон ирээдүйн өргөдөл гаргагчдад хамгийн өндөр оноо авахад саад болох олон хэцүү даалгавар байдаг. Та эдгээр саад бэрхшээлийг даван туулж сурах хэрэгтэй бөгөөд үүнээс гадна үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Та билетээс янз бүрийн даалгавартай ажиллах зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Дараа нь шинэ хүмүүстэй холбоотой асуудал гарахгүй.

Логарифмууд нь эхлээд харахад үнэхээр төвөгтэй мэт боловч нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийснээр нөхцөл байдал илүү хялбар болно. Улсын нэгдсэн шалгалт өгөхийг хүсвэл хамгийн өндөр оноо, та энэ нийтлэлд бидний хийхийг санал болгож буй ойлголтыг ойлгох ёстой.

Эхлээд эдгээр тодорхойлолтыг салгаж үзье. Логарифм (лог) гэж юу вэ? Энэ нь заасан тоог олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүчийг харуулсан үзүүлэлт юм. Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол энгийн жишээг харцгаая.

Энэ тохиолдолд 4-ийн тоог авахын тулд доод хэсэгт байрлах суурийг хоёрдахь хүч хүртэл өсгөх шаардлагатай.

Одоо хоёр дахь үзэл баримтлалыг авч үзье. Аливаа хэлбэрийн функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог ойлголт юм. Гэсэн хэдий ч энэ сургуулийн хөтөлбөр, хэрэв танд эдгээр ойлголттой холбоотой асуудал байгаа бол энэ сэдвийг давтах нь зүйтэй.

Логарифмын дериватив

IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварЭнэ сэдвээр хэд хэдэн асуудлыг жишээ болгон өгч болно. Эхлээд хамгийн энгийн логарифмын дериватив. Дараах функцийн деривативыг олох шаардлагатай.

Бид дараагийн деривативыг олох хэрэгтэй

Тусгай жор байдаг.

Энэ тохиолдолд x=u, log3x=v. Бид функцийнхээ утгыг томъёонд орлуулдаг.

x-ийн дериватив нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Логарифм нь арай илүү төвөгтэй юм. Гэхдээ та зүгээр л үнэт зүйлсийг орлуулах юм бол зарчмыг ойлгох болно. lg x-ийн дериватив нь аравтын бутархай логарифмын дериватив, ln x-ийн дериватив нь натурал логарифмын дериватив (e дээр үндэслэсэн) гэдгийг санаарай.

Одоо гарч ирсэн утгуудыг томьёо руу оруулна уу. Үүнийг өөрөө туршаад үзээрэй, дараа нь бид хариултыг шалгах болно.

Зарим хүмүүсийн хувьд энд асуудал юу байж болох вэ? Бид үзэл баримтлалыг танилцуулсан байгалийн логарифм. Энэ талаар ярилцаж, үүнтэй зэрэгцэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдье. Ялангуяа түүний үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгох үед та ямар ч төвөгтэй зүйлийг олж харахгүй. Энэ нь математикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг тул та үүнд дасах хэрэгтэй (дээд боловсролын байгууллагуудялангуяа).

Байгалийн логарифмын дериватив

Үндсэндээ энэ нь e суурьтай логарифмын дериватив юм (энэ нь иррационал тоо бөгөөд ойролцоогоор 2.7). Үнэн хэрэгтээ ln нь маш энгийн тул математикт ерөнхийдөө ихэвчлэн хэрэглэгддэг. Уг нь түүгээр асуудлаа шийднэ гэдэг бас асуудал биш. Е суурьтай натурал логарифмын дериватив нь х-д хуваагдсантай тэнцүү байх болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Дараах жишээний шийдэл нь хамгийн ил тод байх болно.

Үүнийг хоёр энгийн функцээс бүрдсэн цогц функц гэж төсөөлье.

Хөрвүүлэхэд хангалттай

Бид x-тэй холбоотой u-ийн деривативыг хайж байна

Хоёр дахь зүйлээ үргэлжлүүлье

Комплекс функцийн деривативыг u=nx гэж орлуулах аргыг хэрэглэдэг.

Эцэст нь юу болсон бэ?

Одоо энэ жишээнд n ямар утгатай болохыг санацгаая? Энэ нь натурал логарифмд х-ийн өмнө гарч болох дурын тоо юм. Хариулт нь түүнээс хамаарахгүй гэдгийг та ойлгох нь чухал юм. Хүссэн зүйлээ орлуулаарай, хариулт нь 1/x хэвээр байх болно.

Таны харж байгаагаар энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, та энэ сэдвээр асуудлыг хурдан, үр дүнтэй шийдвэрлэх зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо та онолыг мэдэж байгаа тул үүнийг практикт хэрэгжүүлэхэд л хангалттай. Асуудлыг шийдэх зарчмыг удаан хугацаанд санахын тулд асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хий. Сургуулиа төгссөний дараа танд энэ мэдлэг хэрэггүй байж болох ч шалгалтанд энэ нь урьд өмнөхөөсөө илүү хамааралтай байх болно. Чамд амжилт хүсье!

Логарифмын дериватив ашиглан деривативыг тооцоолох жишээг үзүүлэв.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Натурал логарифмын шинж чанарууд

Шийдлийн арга

Болъё
(1)
х хувьсагчийн дифференциалагдах функц юм. Нэгдүгээрт, бид үүнийг y эерэг утгыг авдаг x утгуудын багц дээр авч үзэх болно: . Дараахь зүйлд бид олж авсан бүх үр дүн нь сөрөг утгуудад мөн хамааралтай болохыг харуулах болно.

Зарим тохиолдолд (1) функцийн деривативыг олохын тулд үүнийг урьдчилан логарифм хийх нь тохиромжтой байдаг.
,
дараа нь деривативыг тооцоол. Дараа нь нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу.
.
Эндээс
(2) .

Функцийн логарифмын деривативыг логарифмын дериватив гэнэ.
.

y = функцийн логарифм дериватив f(x)нь энэ функцийн натурал логарифмын дериватив юм: (ln f(x))'.

Сөрөг y утгын тохиолдол

Одоо хувьсагч эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тохиолдлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд модулийн логарифмыг аваад түүний уламжлалыг ол.
.
Эндээс
(3) .
Өөрөөр хэлбэл, ерөнхий тохиолдолд та функцийн модулийн логарифмын деривативыг олох хэрэгтэй.

Бид (2) ба (3)-ыг харьцуулж үзвэл:
.
Өөрөөр хэлбэл, логарифмын деривативыг тооцоолох албан ёсны үр дүн нь модулийг авсан эсэхээс үл хамаарна. Тиймээс логарифмын деривативыг тооцоолохдоо функц ямар тэмдэгтэй байна гэж санаа зовох хэрэггүй болно.

Энэ нөхцөл байдлыг комплекс тоо ашиглан тодруулж болно. Зарим x утгуудын хувьд сөрөг байг: . Хэрэв бид зөвхөн авч үзвэл бодит тоо, дараа нь функц тодорхойлогдоогүй байна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид авч үзэх юм бол нийлмэл тоо, дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.
.
Өөрөөр хэлбэл, функцууд нь нарийн төвөгтэй тогтмолоор ялгаатай байдаг:
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байх тул
.

Логарифмын деривативын шинж чанар

Ийм дүгнэлтээс үзэхэд ийм байна Хэрэв функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл логарифмын дериватив өөрчлөгдөхгүй :
.
Нээрээ, ашиглаж байна логарифмын шинж чанарууд, томьёо дериватив нийлбэрТэгээд тогтмолын дериватив, бидэнд байгаа:

.

Логарифмын деривативын хэрэглээ

Анхны функц нь чадлын үржвэр эсвэл экспоненциал функцээс бүрдэх тохиолдолд логарифмын деривативыг ашиглахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд логарифмын үйлдэл нь функцүүдийн үржвэрийг тэдгээрийн нийлбэр болгон хувиргадаг. Энэ нь деривативын тооцоог хялбаршуулдаг.

Жишээ 1

Функцийн деривативыг ол:
.

Анхны функцийг логарифм болгоё:
.

x хувьсагчийг харгалзан ялгаж үзье.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
;
;
;
;
(A1.1) .
Үржүүлэх:

.

Тиймээс бид логарифмын деривативыг олсон:
.
Эндээс бид анхны функцийн деривативыг олно.
.

Анхаарна уу

Хэрэв бид зөвхөн бодит тоог ашиглахыг хүсвэл анхны функцийн модулийн логарифмыг авах хэрэгтэй.
.
Дараа нь
;
.
Бид томъёо (A1.1) авсан. Тиймээс үр дүн өөрчлөгдөөгүй.

Жишээ 2

Логарифмын деривативыг ашиглан функцийн деривативыг ол
.

Логарифмуудыг авч үзье:
(A2.1) .
x хувьсагчаар ялгах:
;
;

;
;
;
.

Үржүүлэх:
.
Эндээс бид логарифмын деривативыг авна.
.

Анхны функцийн дериватив:
.

Анхаарна уу

Энд анхны функц нь сөрөг биш байна: . Энэ нь тодорхойлогддог. Хэрэв бид аргументийн сөрөг утгуудын хувьд логарифмыг тодорхойлж болохгүй гэж үзвэл (A2.1) томъёог дараах байдлаар бичнэ.
.
Учир нь

Тэгээд
,
энэ нь эцсийн үр дүнд нөлөөлөхгүй.

Жишээ 3

Деривативыг ол
.

Бид логарифмын дериватив ашиглан ялгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Үүнийг харгалзан логарифмыг авч үзье.
(A3.1) .

Ялгах замаар бид логарифмын деривативыг олж авна.
;
;
;
(A3.2) .

Түүнээс хойш

.

Анхаарна уу

Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд логарифмыг тодорхойлж болно гэсэн таамаглалгүйгээр тооцооллыг хийцгээе. Үүнийг хийхийн тулд анхны функцийн модулийн логарифмыг авна уу.
.
Дараа нь (A3.1)-ийн оронд бид:
;

.
(A3.2)-тай харьцуулбал үр дүн өөрчлөгдөөгүй байна.

Мөн үзнэ үү:

Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид авч үзсэн материалаа нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ арга техник, заль мэхтэй танилцах болно.

Бэлтгэл багатай уншигчид энэ нийтлэлд хандаарай Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ, энэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх Бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь нь бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Энэ хангалттай!", учир нь бүх жишээ, шийдлүүдийг бодит туршилтаас авсан бөгөөд практикт ихэвчлэн тулгардаг.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Хичээл дээр Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоолол болон математикийн шинжилгээний бусад салбарыг судлах явцад та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээнүүдийг нарийвчлан тайлбарлах нь тийм ч тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагагүй). Тиймээс бид деривативыг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан автомат нисгэгч дээр ийм деривативыг хэрхэн олохыг мэддэг гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт утас дуугарч, "Хоёр X-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" гэж аятайхан хоолой асуув гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа бараг агшин зуур эелдэг хариу үйлдэл үзүүлэх ёстой. .

Эхний жишээ нь нэн даруй зориулагдсан болно бие даасан шийдвэр.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг нэг үйлдлээр аман хэлбэрээр олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв та үүнийг хараахан санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж болох ч хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) дифференциал тооцооллын бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: бид жишээ нь "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь алхамд ялгаа нь:

6) Эцэст нь хэлэхэд хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Ямар ч алдаа байхгүй юм шиг байна ...

(1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

(4) Косинусын деривативыг ав.

(5) Логарифмын деривативыг ав.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцүүд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг, "ve" -ээр логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү – энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээсэн нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд үүнийг эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Та эндээс хэд хэдэн аргаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл нь илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд ноорог шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу? Тоолуурын илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болон бууруулъя Гурван давхар фракцаас салцгаая:

Нэмэлт хялбаршуулах сул тал нь деривативыг олохдоо биш харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтүүдийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санаахыг" хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахад санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна:

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг шууд л цөхрөлд автуулдаг - та бутархай, дараа нь бутархайгаас тааламжгүй деривативыг авах хэрэгтэй.

Тийм ч учраас өмнө"нарийн төвөгтэй" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг эхлээд сургуулийн алдартай шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томъёог шууд хуулж ав. Хэрэв танд дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр хуулж ав, учир нь хичээлийн үлдсэн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийг өөрчилье:

Деривативыг олох нь:

Функцийг урьдчилан хөрвүүлэх нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн энгийн жишээ байна:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бүх өөрчлөлтүүд болон хариултууд хичээлийн төгсгөлд байна.

Логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол асуулт гарч ирнэ: зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу? Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Саяхан бид ижил төстэй жишээнүүдийг харлаа. Юу хийх вэ? Та хуваалтыг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэж болно. Энэ аргын сул тал нь та гурван давхар том хэсэгтэй болж, үүнийг огтхон ч шийдвэрлэхийг хүсэхгүй байгаа явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Функц нь сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: , энэ нь ялгаатай байдлын үр дүнд алга болно. Гэсэн хэдий ч одоогийн загварыг хүлээн авах боломжтой бөгөөд үүнийг анхдагч байдлаар харгалзан үздэг цогцолборутга. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байвал аль алинд нь захиалга өгөх хэрэгтэй.

Одоо та баруун талын логарифмыг аль болох "задлах" хэрэгтэй (нүдний өмнө томьёо уу?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлье.
Бид хоёр хэсгийг үндсэн хэсэгт дүгнэж байна:

Баруун талын дериватив нь маш энгийн бөгөөд би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах хэрэгтэй.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "Y" үсэг байна вэ?" Гэсэн асуултыг би урьдчилан харж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг үсэгтэй тоглоом" - ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол Далд заасан функцийн дериватив нийтлэлийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бидэнд дериватив бий. Дараа нь пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шилжүүлнэ.

Одоо бид ялгах явцад ямар төрлийн "тоглогч" функцийн талаар ярилцсанаа санацгаая? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ төрлийн жишээний загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

Логарифмын деривативыг ашигласнаар 4-7-р жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Энэ функцБид хараахан үзээгүй байна. Чадлын экспоненциал функц нь түүнд зориулагдсан функц юм зэрэг ба суурь нь "x" -ээс хамаарна.. Аливаа сурах бичиг, лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Саяхан хэлэлцсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол баруун талд градусыг логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн үржвэртэй байгаа бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид үүнийг хийх деривативыг олж, бид хоёр хэсгийг цус харвах дор хавсаргана.

Цаашдын үйлдлүүд нь энгийн:

Эцэст нь:

Хэрэв ямар нэгэн хөрвүүлэлт бүрэн тодорхойгүй байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

Практик даалгаврын хувьд чадлын экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "x" ба "логарифм x" (өөр логарифм логарифмын доор байрладаг). Ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар тогтмолыг үүсмэл тэмдгээс нэн даруй шилжүүлэх нь дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй; Мэдээжийн хэрэг, бид мэддэг дүрмийг хэрэгжүүлдэг :

Экспоненциал чадлын функц эсвэл бутархай илэрхийлэлийг ялгахдаа логарифмын деривативыг ашиглах нь тохиромжтой. Энэ нийтлэлд бид нарийвчилсан шийдлүүдийн тусламжтайгаар түүний хэрэглээний жишээг авч үзэх болно.

Цаашдын танилцуулга нь деривативын хүснэгтийг ашиглах чадвар, ялгах дүрэм, нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны талаархи мэдлэгийг агуулдаг.

Логарифмын деривативын томъёоны гарал үүсэл.

Эхлээд бид логарифмуудыг е суурь руу авч, логарифмын шинж чанарыг ашиглан функцийн хэлбэрийг хялбарчилж, дараа нь далд заасан функцийн деривативыг олно.

Жишээ нь, экспоненциал чадварын функцийн деривативыг х зэрэгт олъё.

Логарифм авах нь . Логарифмын шинж чанарын дагуу. Тэгш байдлын хоёр талыг ялгах нь дараахь үр дүнд хүргэдэг.

Хариулт: .

Үүнтэй ижил жишээг логарифмын дериватив ашиглахгүйгээр шийдэж болно. Та зарим хувиргалтыг хийж, экспоненциал чадлын функцийг ялгахаас нийлмэл функцийн деривативыг олох руу шилжиж болно.

Жишээ.

Функцийн деривативыг ол .

Шийдэл.

Энэ жишээнд функц бутархай бөгөөд түүний деривативыг ялгах дүрмийг ашиглан олж болно. Гэхдээ илэрхийлэл нь төвөгтэй байдаг тул энэ нь олон өөрчлөлтийг шаарддаг. Ийм тохиолдолд логарифмын дериватив томъёог ашиглах нь илүү үндэслэлтэй юм . Яагаад? Та одоо ойлгох болно.

Эхлээд олъё. Хувиргахдаа бид логарифмын шинж чанарыг ашиглана (бутархайн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү, бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийн зэрэг нь байж болно. логарифмын өмнө коэффициент болгон авна):

Эдгээр өөрчлөлтүүд нь биднийг нэлээд энгийн илэрхийлэлд хөтөлсөн бөгөөд түүний деривативыг олоход хялбар байдаг.

Бид олж авсан үр дүнг логарифмын деривативын томъёонд орлуулж, хариултыг авна.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид нарийвчилсан тайлбаргүйгээр хэд хэдэн жишээ өгөх болно.

Жишээ.

Экспоненциал чадлын функцийн деривативыг ол

Натурал логарифмын дериватив ба логарифмыг суурь болгох томъёоны нотолгоо, гарган авах a. ln 2x, ln 3x ба ln nx-ийн деривативыг тооцоолох жишээ. Математикийн индукцийн аргыг ашиглан n-р эрэмбийн логарифмын деривативын томъёоны баталгаа.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Логарифм - шинж чанар, томъёо, график
Байгалийн логарифм - шинж чанар, томъёо, график

Натурал логарифм ба логарифмын деривативын томъёог үндэслэх

Х-ийн натурал логарифмын дериватив нь х-д хуваагдсантай тэнцүү байна.
(1) (ln x)' =.

a суурийн логарифмын дериватив нь х хувьсагчийг а-ын натурал логарифмаар үржүүлсэн нэгтэй тэнцүү байна.
(2) (log a x)' =.

Баталгаа

Зарим нь байг эерэг тоо, нэгтэй тэнцүү биш. Суурийн логарифм болох x хувьсагчаас хамаарах функцийг авч үзье.
.
Энэ функц нь дээр тодорхойлогддог. Түүний x хувьсагчтай холбоотой деривативыг олъё. Тодорхойлолтоор дериватив нь дараахь хязгаар юм.
(3) .

Энэ илэрхийллийг мэдэгдэж буй математик шинж чанар, дүрмүүд рүү багасгахын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах баримтуудыг мэдэх хэрэгтэй.
A)Логарифмын шинж чанарууд. Бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй болно.
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B)Логарифмын тасралтгүй байдал ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанар:
(7) .
Энд хязгаартай функц байгаа бөгөөд энэ хязгаар нь эерэг байна.
IN)Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утга:
(8) .

Эдгээр баримтуудыг өөрсдийнхөө хэмжээнд хэрэгжүүлцгээе. Эхлээд бид алгебрийн илэрхийлэлийг хувиргана
.
Үүнийг хийхийн тулд бид (4) ба (5) шинж чанаруудыг ашигладаг.

.

Үл хөдлөх хөрөнгө (7) ба хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг (8) ашиглацгаая:
.

Эцэст нь бид үл хөдлөх хөрөнгийг ашигладаг (6):
.
Суурь руу логарифм ддуудсан байгалийн логарифм. Үүнийг дараах байдлаар томилно.
.
Дараа нь;
.

Тиймээс бид логарифмын дериватив (2) томъёог олж авлаа.

Байгалийн логарифмын дериватив

Дахин нэг удаа бид логарифмын деривативын томъёог бичнэ.
.
Энэ томьёо нь натурал логарифмын хувьд хамгийн энгийн хэлбэртэй бөгөөд , . Дараа нь
(1) .

Энэхүү энгийн байдлаас шалтгаалан байгалийн логарифм нь математик анализ болон дифференциал тооцоотой холбоотой математикийн бусад салбаруудад маш өргөн хэрэглэгддэг. Бусад суурьтай логарифмын функцийг (6) шинж чанарыг ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно:
.

Логарифмын суурьтай холбоотой деривативыг (1) томъёоноос олж болно, хэрэв та тогтмолыг ялгах тэмдэгээс хасвал:
.

Логарифмын деривативыг батлах бусад аргууд

Энд бид экспоненциалын деривативын томъёог мэддэг гэж бодож байна.
(9) .
Дараа нь логарифм нь экспоненциалын урвуу функц гэдгийг харгалзан бид натурал логарифмын деривативын томъёог гаргаж болно.

Натурал логарифмын деривативын томъёог баталъя. урвуу функцийн деривативын томъёог хэрэглэх:
.
Манай тохиолдолд .
.
Натурал логарифмын урвуу функц нь экспоненциал юм.
.
Түүний деривативыг (9) томъёогоор тодорхойлно. Хувьсагчдыг ямар ч үсгээр тодорхойлж болно. (9) томьёоны х хувьсагчийг у-аар солино.
.
Дараа нь
.
Түүнээс хойш

Томъёо нь батлагдсан. Одоо бид натурал логарифмын деривативын томъёог ашиглан баталж байнанарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрэм
.
. Функцууд нь бие биенээсээ урвуу байдаг тул
(10) .
Энэ тэгшитгэлийг x хувьсагчийн хувьд ялгаж үзье.
.
x-ийн дериватив нь нэгтэй тэнцүү байна:
.
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.
Эндээс
.

Энд.

(10)-д орлъё: Жишээ -ийн деривативуудыг олооройТэгээд 2x,.

3x lnnxАнхны функцууд нь ижил төстэй хэлбэртэй байдаг. Тиймээс бид функцийн деривативыг олох болно y = log nx. Дараа нь бид n = 2 ба n = 3-ыг орлуулна. Тиймээс бид деривативуудын томъёог олж авдаг -ийн деривативуудыг олоорой .

2x
lnnx .
Тэгээд
1) Тиймээс бид функцийн деривативыг хайж байна
2) Энэ функцийг хоёр функцээс бүрдэх цогц функц гэж төсөөлье.
Хувьсагчаас хамаарах функцууд: ;
.

Хувьсагчаас хамаарах функцууд: .
.
Дараа нь анхны функц нь дараах функцуудаас бүрдэнэ.
.
Х хувьсагчтай холбоотой функцийн деривативыг олъё:
.
Хувьсагчтай холбоотой функцийн деривативыг олъё.

Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
(11) .
Энд бид үүнийг тохируулсан.
.
Тиймээс бид олсон:
.

; ; .

Х модулийн логарифмын дериватив

Өөр нэг чухал функцийн деривативыг олъё - модулийн х-ийн натурал логарифм:
(12) .

Хэргийг авч үзье. Дараа нь функц дараах байдлаар харагдана.
.
Үүний деривативыг (1) томъёогоор тодорхойлно.
.

Одоо хэргийг авч үзье. Дараа нь функц дараах байдлаар харагдана.
,
Хаана.
Гэхдээ бид дээрх жишээнээс энэ функцийн деривативыг бас олсон. Энэ нь n-ээс хамаарахгүй бөгөөд тэнцүү байна
.
Дараа нь
.

Бид эдгээр хоёр тохиолдлыг нэг томъёонд нэгтгэдэг:
.

Үүний дагуу логарифмыг a суурь болгохын тулд бид:
.

Натурал логарифмын дээд эрэмбийн деривативууд

Функцийг авч үзье
.
Бид түүний анхны деривативыг олсон:
(13) .

Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олъё:
.
Гурав дахь эрэмбийн деривативыг олъё:
.
Дөрөв дэх эрэмбийн деривативыг олъё:
.

n-р эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байгааг анзаарч болно.
(14) .
Үүнийг математик индукцээр баталцгаая.

Баталгаа

n = 1 утгыг (14) томъёонд орлуулъя:
.
-ээс хойш n = байх үед 1 , томъёо (14) хүчинтэй байна.

n = k-ийн хувьд (14) томъёог хангасан гэж үзье. Энэ нь томьёо нь n = k-д хүчинтэй гэдгийг илтгэж байгааг баталцгаая + 1 .

Үнэн хэрэгтээ, n = k-ийн хувьд бидэнд:
.
x хувьсагчаар ялгах:

.
Тиймээс бид авсан:
.
Энэ томьёо нь n = k +-ийн (14) томъёотой давхцаж байна 1 . Иймд (14) томьёо n = k-д хүчинтэй гэсэн таамаглалаас (14) томъёо n = k + -д хүчинтэй байна гэсэн дүгнэлт гарна. 1 .

Тиймээс n-р эрэмбийн дериватив (14) томъёо нь дурын n-д хүчинтэй байна.

Суурийн логарифмын дээд эрэмбийн дериватив a

a суурьтай логарифмын n-р эрэмбийн деривативыг олохын тулд та үүнийг натурал логарифмээр илэрхийлэх хэрэгтэй.
.
(14) томъёог ашигласнаар бид n-р деривативыг олно.
.

Мөн үзнэ үү: