Лекц

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Төлөвлөгөө

1.Комплекс тооны геометрийн дүрслэл.

2. Комплекс тооны тригонометрийн тэмдэглэгээ.

3. Үйлдлүүд дээр нийлмэл тоотригонометрийн хэлбэрээр.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл.

a) Дараах дүрмийн дагуу нийлмэл тоонуудыг хавтгайн цэгүүдээр илэрхийлнэ. а + би = М ( а ; б ) (зураг 1).

Зураг 1

б) Комплекс тоог тухайн цэгээс эхэлсэн вектороор илэрхийлж болноО ба төгсгөл нь энэ цэг дээр (Зураг 2).

Зураг 2

Жишээ 7. Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн цэгүүд:1; - би ; - 1 + би ; 2 – 3 би (зураг 3).

Зураг 3

Комплекс тоонуудын тригонометрийн тэмдэглэгээ.

Цогцолбор тооz = а + би радиус вектор ашиглан тохируулж болно координатуудтай( а ; б ) (зураг 4).

Зураг 4

Тодорхойлолт . Вектор урт нийлмэл тоог төлөөлдөгz , энэ тооны модуль гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байна эсвэлr .

Аливаа комплекс тооны хувьдz түүний модульr = | z | томъёогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог .

Тодорхойлолт . Бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба векторын хоорондох өнцгийн хэмжээ нийлмэл тоог илэрхийлэхийг энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд тэмдэглэнэА rg z эсвэлφ .

Цогцолбор тооны аргументz = 0 тодорхойлогдсон. Цогцолбор тооны аргументz≠ 0 нь олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд тухайн нэр томъёо хүртэл тодорхойлогддог2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = arg z + 2πк , хаанаarg z - интервалд хавсаргасан аргументийн үндсэн утга(-π; π] , тэр бол-π < arg z ≤ π (заримдаа аргументийн гол утгыг интервалд хамаарах утга болгон авдаг .

Энэ томъёо ньr =1 Мойврын томъёо гэж ихэвчлэн нэрлэдэг:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Жишээ 11. Тооцоо(1 + би ) 100 .

Комплекс тоо бичье1 + би тригонометрийн хэлбэрээр.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + би нүгэл үйлддэг )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + би нүгэл үйлддэг 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авахдааа + би бидэнд хоёр тохиолдол байна:

хэрэвб > тухай , дараа нь ;

ЦОГЦОЛБОР ДУГААР XI

§ 256. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс тоог гарга a + bi вектортой таарч байна О.А> координаттай ( а, б ) (332-р зургийг үз).

Бид энэ векторын уртыг тэмдэглэнэ r , мөн тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцөг X , хөндлөн φ ... Синус ба косинусын тодорхойлолтоор:

а / r = cos φ , б / r = нүгэл φ .

Тэгэхээр а = r cos φ , б = r нүгэл φ ... Гэхдээ энэ тохиолдолд нийлмэл тоо a + bi дараах байдлаар бичиж болно.

a + bi = r cos φ + ir нүгэл φ = r (cos φ + би нүгэл φ ).

Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Тэгэхээр r 2 = а 2 + б 2, хаанаас r = √a 2 + б 2

Тэгэхээр, дурын комплекс тоо a + bi хэлбэрээр төлөөлж болно :

a + bi = r (cos φ + би нүгэл φ ), (1)

хаана r = √a 2 + б 2 ба өнцөг φ нөхцөлөөр тодорхойлогддог:

Комплекс тоонуудын тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометр.

Тоо r томъёонд (1) гэж нэрлэдэг модульболон өнцөг φ - маргаан, комплекс тоо a + bi .

Хэрэв комплекс тоо a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний модуль эерэг байна; хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0, дараа нь r = 0.

Аливаа комплекс тооны модуль нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Хэрэв комплекс тоо a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний аргументыг (2) томъёогоор тодорхойлно. хоёрдмол утгагүй 2-оор үржүүлсэн өнцгийн нарийвчлал π ... Хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0. Энэ тохиолдолд r = 0. Томъёо (1)-ээс үүнийг аргумент гэж ойлгоход хялбар φ Энэ тохиолдолд та ямар ч өнцгийг сонгож болно: эцсийн эцэст, аль ч өнцгөөр φ

0 (cos φ + би нүгэл φ ) = 0.

Тиймээс тэг аргумент нь тодорхойгүй байна.

Комплекс тооны модуль r заримдаа | гэж тэмдэглэдэг z | ба аргумент z ... Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр хэрхэн дүрсэлж болох зарим жишээг авч үзье.

Жишээ. нэг. 1 + би .

Модуль олох r болон аргумент φ энэ тоо.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Тиймээс нүгэл үйлд φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, хаанаас φ = π / 4 + 2nπ .

Энэ замаар,

1 + би = √ 2 ,

хаана П - дурын бүхэл тоо. Ихэвчлэн комплекс тооны аргументуудын хязгааргүй олон тооны утгуудаас 0-ээс 2-ын хооронд байх нэгийг сонгодог. π ... Энэ тохиолдолд энэ утга байна π / 4 . Тэгэхээр

1 + би = √ 2 (cos π / 4 + би нүгэл π / 4)

Жишээ 2.Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү √ 3 - би ... Бидэнд байгаа:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, нүгэл φ = - 1 / 2

Тиймээс 2-ын үржвэрийн өнцөг хүртэл π , φ = 11 / 6 π ; тиймээс,

√ 3 - би = 2 (cos 11/6 π + би нүгэл 11/6 π ).

Жишээ 3Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү би.

Цогцолбор тоо би вектортой таарч байна О.А> тэнхлэгийн А цэг дээр төгсдөг цагт ординат 1-тэй (зураг 333). Ийм векторын урт нь 1, абсциссатай хийсэн өнцөг нь байна π / 2. Тэгэхээр

би = cos π / 2 + би нүгэл π / 2 .

Жишээ 4. 3-р цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо 3 нь вектортой тохирч байна О.А > X abscissa 3 (Зураг 334).

Ийм векторын урт нь 3, абсциссатай хийх өнцөг нь 0. Иймд

3 = 3 (cos 0 + би гэм 0),

Жишээ 5.-5 цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо -5 нь вектортой тохирч байна О.А> тэнхлэгийн цэг дээр төгсдөг X абсциссатай -5 (Зураг 335). Ийм векторын урт нь 5, абсциссатай үүсгэсэн өнцөг нь байна π ... Тэгэхээр

5 = 5 (cos π + би нүгэл π ).

Дасгал

2047. Эдгээр нийлмэл тоонуудыг модуль болон аргументуудыг тодорхойлон тригонометрийн хэлбэрээр бич.

1) 2 + 2√3 би , 4) 12би - 5; 7).3би ;

2) √3 + би ; 5) 25; 8) -2би ;

3) 6 - 6би ; 6) - 4; 9) 3би - 4.

2048. Модуль r ба аргументууд нь φ нь нөхцөлийг хангасан комплекс тоонуудыг илэрхийлэх цэгүүдийн багцыг хавтгай дээр заана.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Комплекс тооны модуль нь нэгэн зэрэг тоо байж болох уу? r ба - r ?

2050. Комплекс тооны аргумент нь нэгэн зэрэг өнцөг байж чадах уу? φ ба - φ ?

Эдгээр нийлмэл тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойлохын тулд:

2051 *. 1 + cos α + би нүгэл α ... 2054 *. 2 (хос 20 ° - би нүгэл 20 °).

2052 *. нүгэл φ + би cos φ ... 2055 *. 3 (- cos 15 ° - би нүгэл 15 °).

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд туйлын координатыг ашиглаж болно [r, (p), хаана Гнь цэгийн эхлэлээс зай, ба (Р- радиусыг бүрдүүлдэг өнцөг - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ цэгийн вектор Өө.Өнцгийн өөрчлөлтийн эерэг чиглэл (Рцагийн зүүний эсрэг чиглэлийг авч үзнэ. Декарт ба туйлын координатуудын хоорондох холболтыг ашиглан: x = r cos cf, y = r sin (х,

Бид нийлмэл тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг

z - r (нүгэл (p + i нүгэл

хаана Г

Xі + y2, (p нь нийлмэл тооны аргумент бөгөөд үүнийг олдог

л X . цагт

томъёо cos (p --, нүгэл ^ 9 = - эсвэл үүнээс үүдэлтэй тг (p --, (p-arctg

Утга сонгохдоо анхаарна уу Лхагвасүүлчийн тэгшитгэлээс тэмдгүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай x ба y.

Жишээ 47. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич 2 = -1 + л / Z /.

Шийдэл. Комплекс тооны модуль ба аргументыг ол:

= yj 1 + 3 = 2 . Тарилга Лхагвахарилцаанаас олох cos (х = -, нүгэл (p = -.Дараа нь

авах cos (p = -, суп

u / z g ~

• - -. z = -1 + V3- / цэг нь ойлгомжтой
• 2 руу 3

хоёрдугаар улиралд: (Р= 120 °

Орлуулах

2 р.... cos - h; нүгэл

(1) томъёонд олсон 27Г Л

Сэтгэгдэл. Комплекс тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин үржвэр болох нэр томъёо хүртэл 2х.Дараа нь дамжин cn ^ rтэмдэглэнэ

дотор хавсаргасан аргументын утга (х 0 %2 Дараа нь

A) ^ r = + 2kk.

Сайн мэдэх Эйлерийн томъёог ашиглан Энэ нь бид комплекс тооны экспоненциал тэмдэглэгээг авдаг.

Бидэнд байгаа r = r (co ^ (p + i?, n (p) = r,

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

• 1. Хоёр комплекс тооны нийлбэр r, = X] + у х/ та 2 - x 2 + y 2 / r томъёоны дагуу тодорхойлогдоно! +2 2 = (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'g
• 2. Нийлмэл тоог хасах үйлдлийг нэмэхийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно. Цогцолбор тоо r = rx - r 2,хэрэв z 2 + z = z x,

нь нийлмэл тоонуудын ялгаа 2, ба г 2.Дараа нь r = (x, - x 2) + (y, - цагт 2) /.

• 3. Хоёр комплекс тооны үржвэр r x= x, + y, -z ба 2 2 = x 2+ U2‘G томьёогоор тодорхойлогддог
• *1*2 =(* + У"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Байна1 Байна2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

Тухайлбал, жил= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

Та комплекс тоонуудын үржүүлэх томъёог экспоненциал болон тригонометрийн хэлбэрээр авах боломжтой. Бидэнд байгаа:

• 1^ 2 - Г х е 1 = ) Г 2 е> = Г] Г 2 cOs ((P + cf 2) + isin
• 4. Комплекс тоог хуваахыг урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно

үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл. тоо G--хуваах коэффициент гэж нэрлэдэг! r 2 дээр,

хэрэв r x -1 2 ? 2 . Дараа нь

X + Ті _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^ Ү 2) (2 ~ 1 Ө 2)

x, x 2 + / y, x 2 - их х у 2 - і 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2) + / (- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + U 2

1 д

би (х

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї ((R -cr 1) + І- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь тухайн тоог экспоненциал эсвэл тригонометрийн хэлбэрээр бичсэн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой.

Үнэхээр, хэрэв r = rt 1 дараа нь

= (дахин,) = r n e t = G"(co8 psr + ит гкр).

Формула g " = rn (cosn (p + нь n (p))Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг.

6. Үндэсийг задлах P-нийлмэл тооны 0-р зэрэг нь хүчин чадал руу өсгөх урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог n, n- 1,2,3, ... өөрөөр хэлбэл. нийлмэл тоо = y [gүндэс гэж нэрлэдэг P-нийлмэл тооны р зэрэг

d хэрэв Г = r x... Энэ тодорхойлолтоос үзэхэд g - g ", a r x= л / г. (p-psr x,а cf-cp / n, энэ нь = r / * + тоонд зориулж бичсэн Moivre томъёоноос гардаг ilipn (p).

Дээр дурьдсанчлан, нийлмэл тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин 2-ын үржвэр хүртэл байдаг. е.Тэгэхээр = (p + 2pk, мөн r тооны аргументаас хамааран руу,тэмдэглэнэ (х-ээсмөн боо

томъёогоор тооцоолно (х-ээс= - +. Байгаа нь ойлгомжтой П com-

plex тоо, П-р зэрэг нь 2. Эдгээр тоонууд нэгтэй

мөн ижил модультай тэнцүү байна y [r,ба эдгээр тоонуудын аргументуудыг хэзээ олж авдаг руу = 0, 1, P - 1. Тиймээс тригонометрийн хэлбэрээр үндэс i-р зэрэгтомъёогоор тооцоолно:

(p + 2kp . . Лхагва + 2кп

, руу = 0, 1, 77-1,

(p + 2ктг

ба үлгэр жишээ хэлбэрээр - томъёоны дагуу l [z - y [ge n

Жишээ 48. Комплекс тоон дээр үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр гүйцэтгэнэ:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / л / 2) 3 (с + /) = (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 л / 2 /? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2л / 2 / DZ + /) = (- 5 - л / 2 / DZ + /) =

15-Zl / 2 / -5 / -l / 2/2 = -15 - Zl / 2 / -5 / + л / 2 = (-15 + л / 2) - (5 + Zl / 2) /;

Жишээ 49. r = Uz - / тоог тав дахь зэрэглэл болгон байгуул.

Шийдэл. Бид r тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг.

Г =л / 3 + 1 = 2, C08 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2 / X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-i) -ийн + /
• 9 + 1 с_ ±.
• 5 2 1 "

Эндээс О--, а r = 2

Бид дараах зүйлийг авах болно. би -2

/ ^ _ 7Г,. ?Г

• -ҮШ-- ИБІП -

• --B / -

= - (l / Z + z) = -2.

Жишээ 50. Бүх утгыг ол

Шийдэл, r = 2, ба Лхагватэгшитгэлээс ол шар буурцаг (p = -, zt -.

Энэ цэг 1 - / d / z дөрөвдүгээр улиралд, i.e. f =-. Дараа нь

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Бид илэрхийллээс язгуурын утгыг олдог

V1 - / л / с = л / 2

• - + 2А: / г --- b 2 кк
• 3 . . 3

С08-1- і 81П-

At - 0 нь бидэнд 2 0 = l / 2 байна

Та 2-ын язгуурын утгыг дэлгэцэн дээрх тоог харуулах замаар олох боломжтой

-* TO/ 3 + 2 cl

At руу= 1 бидэнд өөр нэг үндсэн утга байна:

• 7G. 7G _
• --- b27g --- b2; g
• 3. ... с

7G ... ... 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --Н -

хамтран? - 7G + / 5SH - Z "

л / 3__т_

утасны маягт. Учир нь r = 2, а Лхагва=, дараа нь r = 2e 3, ба y [g = y / 2e 2

Алгебрийн хэлбэрээр бичсэн нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүд

z = комплекс тооны алгебрийн хэлбэр(а,б) хэлбэрийн алгебр илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

z = а + би.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд z 1 = a 1 + б 1 биболон z 2 = a 2 + б 2 биалгебрийн хэлбэрээр бичсэн үйлдлийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэр (ялгаа).

z 1 ± z 2 = (а 1 ± a 2) + (б 1 ± б 2)∙ би,

тэдгээр. нэмэх (хасах) нь ижил төстэй нэр томъёоны бууралттай олон гишүүнт нэмэх дүрмийн дагуу хийгддэг.

2. Комплекс тоонуудын үржвэр

z 1 ∙ z 2 = (а 1 ∙ a 2 - б 1 ∙ б 2) + (а 1 ∙ б 2 + a 2 ∙ б 1)∙ би,

тэдгээр. үржүүлэх нь олон гишүүнтийг үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу хийгддэг. би 2 = 1.

3. Хоёр нийлмэл тоог хуваахыг дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

, (z 2 ≠ 0),

тэдгээр. хуваах нь ногдол ашиг ба хуваагчийг хуваагчийн нэгдэлээр үржүүлэх замаар хийгддэг.

Комплекс тооны экспонентацийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Үүнийг харуулах нь амархан

Жишээ нь.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэрийг ол z 1 = 2 – биболон z 2 = – 4 + 3би.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ би)+ (–4 + 3би) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) би = –2+2би.

2. Комплекс тооны үржвэрийг ол z 1 = 2 – 3биболон z 2 = –4 + 5би.

= (2 – 3би) ∙ (–4 + 5би) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3би)+ 2∙5би– 3би ∙ 5би = 7+22би.

3. Хувийн зүйлийг ол zхуваалтаас z 1 = 3 - 2 на z 2 = 3 – би.

z = .

4. Тэгшитгэлийг шийд:, хболон y Î Р.

(2x + y) + (x + y)би = 2 + 3би.

Комплекс тоонуудын тэгш байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна.

хаана x =–1 , y= 4.

5. Тооцоол: би 2 ,би 3 ,би 4 ,би 5 ,би 6 ,би -1 , би -2 .

6. Хэрэв бол тооцоол.

.

7. Тооны эсрэг тоог тооцоол z=3-и.

Тригонометрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Нарийн төвөгтэй онгоцДекарт координаттай хавтгай гэж нэрлэдэг ( x, y) хэрэв цэг бүр координаттай ( а, б)-д нийлмэл тоо өгөгдсөн z = a + bi... Энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг гэж нэрлэгддэг бодит тэнхлэг, ординатын тэнхлэг нь байна төсөөлөл... Дараа нь нийлмэл тоо бүр a + biгеометрийн хувьд хавтгай дээр цэг хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг А (а, б) эсвэл вектор.

Тиймээс цэгийн байрлал А(тиймээс комплекс тоо z) -ийг | векторын уртаар тодорхойлж болно | = rболон өнцөг жвектороор үүсгэгдсэн | | бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй. Векторын уртыг нэрлэдэг комплекс тооны модульба | гэж тэмдэглэнэ z | = rболон өнцөг ждуудсан комплекс тооны аргументболон тэмдэглэсэн j = arg z.

Энэ нь тодорхой байна | z| ³ 0 ба | z | = 0 Û z = 0.

Зураг дээрээс. 2 үүнийг харуулж байна.

Комплекс тооны аргумент нь хоёрдмол утгатай боловч 2-ын нарийвчлалтайгаар тодорхойлогддог pk, kÎ З.

Зураг дээрээс. 2 энэ нь бас харагдаж байна, хэрэв z = a + biболон j = arg z,тэгээд

cos j =, нүгэл j =, төг j =.

Хэрэв zÎРболон z> 0, тэгвэл arg z = 0 +2pk;

хэрэв z ÎРболон z< 0, тэгвэл arg z = p + 2pk;

хэрэв z = 0,arg zтодорхойлогдсон.

Аргументийн үндсэн утгыг 0 сегмент дээр тодорхойлно £ arg z£ 2 p,

эсвэл -х£ arg z £ х.

Жишээ нь:

1. Комплекс тооны модулийг ол z 1 = 4 – 3биболон z 2 = –2–2би.

2. Нөхцөлөөр тогтоосон талбайг цогц хавтгайд тодорхойлно.

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+би) | £ 3; 4) 6 £ | z – би| £ 7.

Шийдэл ба хариултууд:

1) | z| = 5 Û Û нь радиус 5, төв нь эх цэгтэй тойргийн тэгшитгэл юм.

2) Эхэнд төвтэй 6 радиустай тойрог.

3) Нэг цэг дээр төвлөрсөн 3 радиустай тойрог z 0 = 2 + би.

4) Нэг цэг дээр төвлөрсөн 6 ба 7 радиустай тойрогоор хүрээлэгдсэн цагираг z 0 = би.

3. Тоонуудын модуль ба аргументыг ол: 1); 2).

1) ; а = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2би; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Анхаар: Үндсэн аргументыг тодорхойлохдоо нарийн төвөгтэй хавтгайг ашиглана уу.

Энэ замаар: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Векторыг комплекс хавтгайд тоогоор тодорхойл.

Ox эерэг хагас тэнхлэг ба векторын хоорондох өнцгийг φ-ээр тэмдэглэе (хэрэв φ өнцгийг цагийн зүүний эсрэг тоолвол эерэг, эсрэгээр нь сөрөг гэж үзнэ).

Бид векторын уртыг r гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь . Бид бас тэмдэглэдэг

z-ээс ялгаатай комплекс тоог маягт дээр бичих

z цогцолбор тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. r тоог z цогцолбор тооны модуль, φ тоог энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд Arg z гэж тэмдэглэнэ.

Комплекс тооны тригонометрийн тэмдэглэгээ - (Эйлерийн томъёо) - комплекс тооны экспоненциал тэмдэглэгээ:

Цогцолбор тоо z нь хязгааргүй олон аргументтай: хэрэв φ0 нь z тооны аль нэг аргумент бол бусад бүх тоог томъёогоор олж болно.

Комплекс тооны хувьд аргумент болон тригонометрийн хэлбэр тодорхойлогдоогүй байна.

Тиймээс, тэгээс өөр комплекс тооны аргумент нь тэгшитгэлийн системийн аливаа шийдэл юм.

(3)

Тэгш бус байдлыг хангаж буй z цогцолбор тооны аргументийн φ утгыг үндсэн гэж нэрлэх ба arg z гэж тэмдэглэнэ.

Arg z болон arg z нь хоорондоо холбоотой

, (4)

Формула (5) нь (3) системийн үр дагавар тул комплекс тооны бүх аргументууд (5) тэгшитгэлийг хангадаг боловч (5) тэгшитгэлийн φ бүх шийдлүүд z тооны аргумент биш юм.

Тэг биш комплекс тооны аргументын үндсэн утгыг дараах томъёогоор олж болно.

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх, хуваах томъёо нь дараах байдалтай байна.

. (7)

Комплекс тоог натурал зэрэгт хүргэхдээ Мойврын томъёог ашиглана:

Комплекс тооноос үндэс гаргаж авахдаа дараах томъёог ашиглана.

, (9)

Энд k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Бодлого 54. Хаана тооцоол.

Энэ илэрхийллийн шийдийг комплекс тооны экспоненциал тэмдэглэгээнд дүрсэлцгээе:.

Хэрэв тийм бол.

Дараа нь, ... Тиймээс, тэгвэл болон , хаана.

Хариулт: , цагт.

Бодлого 55. Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр бич.

a) ; б); v); G); e); д) ; g).

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр нь:

a) Комплекс тоонд:.

,

Тэгэхээр

б) , хаана,

G) , хаана,

д) .

g) , a , дараа нь.

Тэгэхээр

Хариулт: ; 4; ; ; ; ; .

Бодлого 56. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол

.

зөвшөөрөх, .

Дараа нь, , .

Түүнээс хойш ба ,, дараа нь, ба

Тиймээс, тиймээс

Хариулт: , хаана.

Бодлого 57. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ашиглан заасан үйлдлийг гүйцэтгэнэ үү:.

Тоонуудыг төлөөлж үзье тригонометрийн хэлбэрээр.

1), хаана тэгээд

Үндсэн аргументийн утгыг ол:

Утгыг орлуулж, илэрхийлэлд оруулбал бид авна

2) тэгээд хаана

Дараа нь

3) Хэмжилтийг ол

k = 0, 1, 2 гэж тохируулснаар бид хүссэн язгуурын гурван өөр утгыг авна.

Хэрэв тийм бол

хэрэв тэгвэл

хэрэв тэгвэл .

Хариулт: :

:

: .

Бодлого 58.,,, ялгаатай комплекс тоо ба байг ... Үүнийг нотол

тоо бодит эерэг тоо;

б) тэгш байдал үүснэ:

a) Бид эдгээр комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Учир нь .

Ингэж жүжиглэе. Дараа нь

.

Сүүлчийн илэрхийлэл нь эерэг тоо, учир нь синусын тэмдэг нь интервалаас авсан тоонууд юм.

тооноос хойш бодит ба эерэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a ба b нь нийлмэл тоо бөгөөд бодит бөгөөд тэгээс их бол.

Түүнээс гадна,

тиймээс шаардлагатай тэгш байдал нотлогдож байна.

Бодлого 59. Тоог алгебрийн хэлбэрээр бич .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь түүний алгебр хэлбэрийг олъё. Бидэнд байгаа ... Учир нь Бид системийг авдаг:

Энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ: .

Moivre томьёог хэрэглэх нь:,

бид авдаг

Өгөгдсөн тооны тригонометрийн хэлбэрийг олов.

Одоо бид энэ тоог алгебрийн хэлбэрээр бичнэ.

.

Хариулт: .

Бодлого 60. Нийлбэрийг ол,,

Хэмжээг анхаарч үзээрэй

Moivre томъёог ашигласнаар бид олдог

Энэ нийлбэр нь хуваагчтай геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэр юм болон анхны гишүүн .

Ийм прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид байна

Сүүлийн илэрхийлэл дэх төсөөллийн хэсгийг салгаснаар бид олдог

Бодит хэсгийг салгаснаар бид дараахь томъёог авна:,,.

Бодлого 61. Хэмжээг ол:

а) ; б).

Ньютоны эрх мэдэлд хүрэх томьёоны дагуу бид байна

Moivre томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Хүлээн авсан илэрхийллийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тэгшитгэхийн тулд бид дараахь зүйлийг олж авна.

болон .

Эдгээр томьёог дараах байдлаар авсаархан хэлбэрээр бичиж болно.

,

, a тооны бүхэл хэсэг хаана байна.

Бодлого 62. Хэнд зориулсан хүн бүрийг олоорой.

Үүний хэрээр , дараа нь томъёог хэрэглэнэ

, Үндэсийг задлахын тулд бид авдаг ,

Тиймээс, , ,

, .

Тоонуудыг харгалзах цэгүүд нь (0; 0) цэг дээр төвлөрсөн 2 радиустай тойрогт бичээстэй дөрвөлжингийн оройн хэсэгт байрладаг (Зураг 30).

Хариулт: , ,

, .

Бодлого 63. Тэгшитгэлийг шийд , .

Нөхцөлөөр; тиймээс энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул тэгшитгэлтэй тэнцэнэ.

Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь z байхын тулд уг тоо нь язгуур байх шаардлагатай n-р зэрэг 1-р тооноос.

Эндээс бид анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлээс тодорхойлогддог үндэстэй гэж дүгнэж байна

,

Энэ замаар,

,

өөрөөр хэлбэл ,

Хариулт: .

Бодлого 64. Комплекс тооны багц дахь тэгшитгэлийг шийд.

Тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийн хувьд тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Энэ нь тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг томъёоноос гаргаж авна (62-р асуудлыг үзнэ үү):

; ; ; ; .

Бодлого 65. Тэгш бус байдлыг хангах цэгүүдийн багцыг цогцолбор хавтгай дээр зур. ... (45-р асуудлыг шийдэх 2-р арга)

Болъё .

Ижил модультай нийлмэл тоонууд нь гарал үүслийн цэг дээр төвлөрсөн тойрог дээр байрлах хавтгайн цэгүүдтэй тохирч байгаа тул тэгш бус байдал үүсдэг. гарал үүсэл ба радиус дээр нийтлэг төвтэй дугуйгаар хүрээлэгдсэн нээлттэй цагирагийн бүх цэгүүдийг хангах ба (Зураг 31). Цогцолбор хавтгайн зарим цэг w0 тоотой тохирно. Тоо , модуль нь w0-аас нэг дахин бага, харин w0 аргументаас том аргументтай. Геометрийн хувьд w1-д харгалзах цэгийг гарал үүслийн эхэнд төвтэй, коэффициент бүхий гомотетийг, мөн эхийг цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авч болно. Эдгээр хоёр хувиргалтыг цагирагийн цэгүүдэд хэрэглэсний үр дүнд (Зураг 31) сүүлийнх нь ижил төвтэй, 1 ба 2 радиустай тойргуудаар хүрээлэгдсэн цагираг болон хувирдаг (Зураг 32).

Өөрчлөлт вектор руу параллель орчуулгыг ашиглан хэрэгжүүлсэн. Нэг цэг дээр төвлөрсөн цагиргийг заасан вектор руу шилжүүлснээр бид цэг дээр төвлөрсөн ижил хэмжээтэй цагиргийг олж авна (Зураг 22).

Онгоцны геометрийн хувиргалтын санааг ашиглан санал болгож буй арга нь тайлбарлахад тийм ч тохиромжтой биш боловч маш гоёмсог, үр дүнтэй байдаг.

Бодлого 66. Хэрвээ олох .

За тэгвэл ба. Анхны тэгш байдал нь хэлбэрийг авдаг ... Хоёр нийлмэл тооны тэгш байдлын нөхцлөөс бид,, хаанаас, олж авна. Энэ замаар, .

z тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичье.

, хаана, . Moivre томъёоны дагуу бид олдог.

Хариулт: - 64.

Бодлого 67. Комплекс тооны хувьд, ба гэсэн бүх комплекс тоог ол .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье.

... Тиймээс,. Бидний олж авсан тооны хувьд аль аль нь тэнцүү байж болно.

Эхний тохиолдолд , хоёрдугаарт

.

Хариулт: , .

Бодлого 68. Ийм тооны нийлбэрийг ол. Эдгээр тоонуудын аль нэгийг оруулна уу.

Асуудлыг томъёолсныхоо дараагаар тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг үндсийг нь тооцоолохгүйгээр олж болно гэдгийг ойлгож болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициент (Вьетагийн ерөнхий теорем), i.e.

Оюутнууд, сургуулийн баримт бичиг, энэ үзэл баримтлалыг шингээх түвшний талаар дүгнэлт хийдэг. Математик сэтгэлгээний онцлог, цогц тооны тухай ойлголтыг бүрдүүлэх үйл явцын судалгааг нэгтгэн дүгнэ. Аргын тодорхойлолт. Оношлогоо: I үе шат. 10-р ангийн алгебр, геометрийн хичээл заадаг математикийн багштай ярилцлаа. Энэ яриа эхнээсээ хэсэг хугацааны дараа болсон ...

Резонанс "(!)), Үүнд үнэлгээ орно өөрийн зан байдал... 4. Нөхцөл байдлын талаарх таны ойлголтыг шүүмжлэлтэй үнэлэх (эргэлзэх). 5. Эцэст нь, хууль эрх зүйн сэтгэл судлалын зөвлөмжийг ашиглах (хуульчийн хийсэн мэргэжлийн үйл ажиллагааны сэтгэл зүйн талыг харгалзан үзэх - мэргэжлийн болон сэтгэл зүйн бэлтгэл). Одоо хууль зүйн баримтуудын сэтгэл зүйн шинжилгээг авч үзье. ...

Тригонометрийн орлуулалтын математик, боловсруулсан сургалтын аргын үр нөлөөг шалгах. Ажлын үе шат: 1. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн сурагчидтай "Алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах нь" сэдвээр нэмэлт хичээл боловсруулах. 2. Боловсруулсан нэмэлт хичээлийг явуулах. 3. Оношлогооны хяналт хийх ...

Танин мэдэхүйн даалгаврууд нь зөвхөн одоо байгаа сургалтын хэрэглэгдэхүүнийг нөхөх зорилготой бөгөөд боловсролын үйл явцын бүх уламжлалт хэрэгсэл, элементүүдтэй зохих хослолд байх ёстой. Хүмүүнлэгийн ухааныг заах боловсролын асуудлын яг нарийн, математикийн асуудлаас ялгаатай нь түүхэн бодлогод томъёо, хатуу алгоритм гэх мэт зүйл байхгүй байгаа нь түүнийг шийдвэрлэхэд хүндрэл учруулдаг. ...