Портал дээрх зар сурталчилгаа

Бодит тооны талбар дээрх бууруулж болох олон гишүүнтүүд. Рационал тоонуудын талбар дээрх олон гишүүнтийн тэлэлт. Рационал тооны талбар дээрх олон гишүүнтүүд

Аливаа комплекс тоо нь хавтгай дээрх цэгийг заадаг. Аргументууд нь нэг цогц хавтгайд, функцын утгууд нь өөр нэг төвөгтэй хавтгайд байрлана.

F(z) нь нийлмэл хувьсагчийн комплекс функц юм. Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн нийлмэл функцүүдийн дотроос тасралтгүй функцүүдийн ангилал ялгардаг.

Def: нийлмэл хувьсагчийн нийлмэл функцийг хэрэв , ийм, .+ бол тасралтгүй гэж нэрлэдэг

Геометрийн утга нь дараах байдалтай байна.

Цогцолбор хавтгайд төв нь z0 цэг ба радиустай тойрог заана< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Теорем 1: Олон гишүүнт f(z) нэмэх. C(z) нь цогц хавтгайн аль ч цэгт тасралтгүй байна.

Дүгнэлт: нийлмэл тооны талбар дахь олон гишүүнтийн модуль нь тасралтгүй функц юм.

Теорем 2: - нийлмэл коэффициент бүхий олон гишүүнтийн цагираг, дараа нь ийм утгууд .

Теорем 3. (олон гишүүний модулийн хязгааргүй өсөлтийн тухай):

Алгебрийн үндсэн теорем:

0 зэрэгтэй биш нийлмэл тоонуудын талбар дээрх аливаа олон гишүүнт цогцолбор тооны талбарт дор хаяж нэг үндэстэй байна.

(Бид дараах мэдэгдлүүдийг нотлох баримтад ашиглах болно):

Г.: 1. Хэрэв a n =0 бол z=0 нь f(z)-ийн үндэс болно.

2. хэрэв a n 0 бол 3-р теоремоор тэгш бус байдал нь S радиустай тойргийн гадна орших цогцолбор хавтгай дахь мужийг тодорхойлно. Энэ мужид үндэс байхгүй, учир нь тиймээс f(z) олон гишүүнтийн үндсийг муж дотроос хайх хэрэгтэй.



T1-ээс авч үзье. f(z) тасралтгүй байна гэсэн үг. Вейерштрассын теоремын дагуу энэ нь хаалттай бүсэд аль нэг цэгт хамгийн багадаа хүрдэг, өөрөөр хэлбэл. . Цэг нь хамгийн бага цэг гэдгийг харуулъя. Учир нь 0 E, тэгвэл, учир нь f-ii утгын E мужаас гадуур байвал z 0 нь бүхэл бүтэн хавтгай дээрх хамгийн бага цэг болно. f(z 0)=0 гэдгийг харуулъя. Энэ нь тийм биш гэж бодъё, тэгвэл д'Аламберын Леммагаар бид зөрчилдөөнийг олж авна, учир нь z 0 хамгийн бага цэг.

Алгебрийн хаалт:

Def: P талбар нь энэ талбар дээр дор хаяж нэг үндэстэй бол алгебрийн хувьд хаалттай гэж нэрлэгддэг.

Теорем: комплекс тоонуудын талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай. (d-алгебрийн үндсэн теоремоос гардаг).

Рационал болон бодит тоонуудын талбарууд алгебрийн хувьд хаалттай байдаггүй.

задрах чадвар:

Теорем: 1-ээс дээш зэрэгтэй нийлмэл тооны талбар дээрх олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалж болно.

Дүгнэлт 1. Комплекс тоонуудын талбар дээрх n зэрэгтэй олон гишүүнт яг n үндэстэй.

Дараагийн 2: 1-ээс их зэрэгтэй нийлмэл тоонуудын талбар дээрх аливаа олон гишүүнт үргэлж буурдаг.

Def: Олон тооны C\R, i.e. b нь 0-тэй тэнцүү биш a+bi хэлбэрийн тоог төсөөлөл гэнэ.


2. Талбай дээрх олон гишүүнтүүд. Хоёр олон гишүүнтийн GCD ба Евклидийн алгоритм. Олон гишүүнтийг бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн үржвэр болгон задлах, түүний өвөрмөц байдал.

Def.Үл мэдэгдэх олон гишүүнт (олон гишүүн). Xталбай дээгүүр Рдуудсан Бүхэл тооны сөрөг бус түвшний алгебрийн нийлбэр X, талбайгаас ямар нэг коэффициентээр авсан Р.

aiÎP хаана байна эсвэл

Олон гишүүнт гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн коэффициент нь үл мэдэгдэх хэсгүүдийн харгалзах чадлын хувьд тэнцүү бол.

Олон гишүүнтийн зэрэг гэж нэрлэдэг.Үл мэдэгдэх үзүүлэлтийн хамгийн том утга, коэффициент нь тэгээс ялгаатай.

Заасан: N(f(x))=n

Талбар дээрх бүх олон гишүүнтүүдийн олонлог Ргэж тэмдэглэсэн: P[x].

Тэг градусын олон гишүүнт талбарын элементүүдтэй давхцдаг Р, тэгээс ялгаатай нь тэг олон гишүүнт, түүний зэрэг нь тодорхойгүй.

Олон гишүүнт дээрх үйлдлүүд.

1. Нэмэлт.

n³s байг, тэгвэл , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

  1. нэмэх үйлдэл нь боломжтой бөгөөд өвөрмөц байдал нь талбайн элементүүдийн нэмэлтийн өвөрмөц байдлаас үүдэлтэй
  2. нэгдэл
  3. тэг элемент
  4. өгөгдсөний эсрэг олон гишүүнт
  5. шилжих чадвар

- Абелийн бүлэг

2. Үржүүлэх.

Алгебрийн бүтцийг судлах<P[x],*>

  1. үйл ажиллагаа нь боломжтой, учир нь талбарт үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Өвөрмөц байдал нь талбайн үйл ажиллагааны хоёрдмол утгагүй байдлаас үүдэлтэй Р.
  2. нэгдэл
  3. нэгж олон гишүүнт
  4. Зөвхөн тэг зэрэгтэй олон гишүүнтүүд урвуу байна

<P[x],*>- таних элемент бүхий хагас бүлэг (маноид)

Хуваарилалтын хуулиуд хангагдсан тул,<P[x],+,*>нь таних тэмдэг бүхий хувирах цагираг юм.

Олон гишүүнт хуваагдах чадвар

ODA:олон гишүүнт f(x), f(x)ОP[x], P– талбар нь олон гишүүнт хуваагддаг g(x), g(x)≠0, g(x)ОP[x],хэрэв ийм олон гишүүнт байгаа бол h(x)ОP[x], тэр f(x)=g(x)h(x)

Хуваагдах шинж чанарууд:

Жишээ:, gcd баганаар хуваах =( x+3)

Үлдэгдэлтэй хуваах теорем:Аливаа олон гишүүнтийн хувьд f (x), g(x)ОP[x],ганц олон гишүүнт байдаг q(x) Мөн r(x)тиймэрхүү f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) эсвэл r(x)=0.

Баримт бичгийн санаа: бид одоо байгаа хоёр тохиолдлыг авч үздэг n зэрэг g(x))ба хуваах f (x)дээр g (х). Баримт бичгийн өвөрмөц байдал нь хоорондоо зөрчилддөг.

ODA:е (x) ба g(x), f(x), g(x)ОP[x], h(x)ОP[x] GCD f гэж нэрлэдэг (x) ба g(x)Хэрэв

Евклидийн алгоритм

Дараалсан хуваах үйл явцыг бичье

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) гэх мэт.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Энэ санаа бол нотолгоо: бид үүнийг харуулж байна 1 ) f(x):(бүрэн) d(x) Мөн g(x):(бүхэлдээ) d(x); 2) f(x):(бүхэлдээ) h(x) Мөн g(x):(бүрэн) h(x)бид үүнийг харуулж байна d(x):(бүрэн) h(x).

GCD-ийн шугаман дүрслэл

Т: хэрэв d(x) - олон гишүүнтийн gcd f (x) ба g(x), тэгвэл олон гишүүнт байдаг v (x) ба u(x)ОP[x],Юу f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) ба g(x)ОP[x]үргэлж нийтлэг хуваагчтай, тухайлбал P талбартай давхцах 0 зэрэгтэй олон гишүүнтүүд байх бөгөөд хэрэв өөр нийтлэг хуваагч байхгүй бол f(x) ба g(x) нь давхар анхны байна. (тэмдэглэл: (f(x),g(x))=1)

Т:ф (х) Мөн g(x) нь харьцангуй анхдагч i.i.t.k. v(x) ба u(x)ОP[x] олон гишүүнт байдаг f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Хоёрдахь олон гишүүнтийн шинж чанарууд

  1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, тэгвэл (f(x),g(x)*q(x))=1
  2. f(x)*g(x):(бүхэлдээ)h(x) ба (f(x),g(x))=1, дараа нь g(x):(бүрэн) h(x)
  3. f(x):(бүхэлдээ)g(x), f(x):(бүхэлдээ)h(x) ба ( g(x), h(x))=1, дараа нь f(x):(бүхэлдээ) g(x)*h(x)

ODA: f(x), f(x)ОP[x] олон гишүүнтийг дуудна өгсөн P талбар дээр, хэрэв градус нь 0-ээс их, f(x)-ээс бага хүчин зүйлүүдэд задалж чадвал, өөрөөр хэлбэл.

е (x)=f 1 (x)f 2 (x), градус хаана байна f 1 ба f 2 >0,

Олон гишүүнтийн бууралт нь тэдгээрийг авч үзэх талбараас хамаарна. Олон гишүүнт нь Q талбарт буурахгүй (доод зэрэгтэй хүчин зүйл болгон задлах боломжгүй олон гишүүнт) ба R талбарт буурдаг.

Буурагдахгүй олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

  1. Тэг градусын олон гишүүнт аль ч талбарт буурах боломжтой
  2. Хэрэв олон гишүүнт бол f(x) талбай дээр бууруулж болохгүй Р, дараа нь олон гишүүнт a f(x) мөн талбай дээр бууруулж болохгүй Р.
  3. Олон гишүүнтийг f (x)Тэгээд p(x) талбайн дээгүүр Р, ба p(x) – талбарт бууруулж болохгүй Р, дараа нь тохиолдлууд боломжтой

1) олон гишүүнт е (x)Тэгээд p(x) харьцангуй анхдагч байна

2) f(x):(бүхэлдээ) p(x)

Хэрэв F-ээс эерэг зэрэгтэй олон гишүүнт F-д үндэс байвал F талбарыг алгебрийн хувьд хаалттай гэж нэрлэдэг.

Теорем 5.1 (олон гишүүнт алгебрийн үндсэн теорем).Комплекс тоонуудын талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай байдаг.

Үр дагавар 5 .1.1. Дээр ХАМТЗөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн бууруулж болохгүй олон гишүүнт байдаг.

Дүгнэлт 5.1.2. Олон гишүүнт n--р зэрэгтэй дээш ХАМТБайгаа nнарийн төвөгтэй үндэс.

Теорем 5.2. If нь олон гишүүнтийн цогц үндэс юм еБодит коэффициентүүдтэй бол нийлмэл нийлмэл тоо нь мөн үндэс болно е.

Үр дагавар 5 .2.1. Дээр РЗөвхөн эхний эсвэл хоёрдугаар зэргийн бууруулж болохгүй олон гишүүнт байдаг.

Дүгнэлт 5.2.2. Олон гишүүнтийн төсөөллийн үндэс Рнийлмэл нэгдэл хос болж задардаг.

Жишээ 5.1. Хүчин зүйлээ бууруулж боломгүй хүчин зүйл болгон хуваах ХАМТба түүнээс дээш Ролон гишүүнт x 4 + 4.

Шийдэл.

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

Бидэнд байгаа Рөргөтгөл дууссан ХАМТ:

x 4 + 4 = (x – 1 – . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) (x – 1 + . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) (x + 1 – . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) (x + 1 + . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.).

Жишээ 5.2. 2 ба 1 + үндэстэй бодит коэффициент бүхий хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна..

Шийдэл. . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна. Үр дүн 5.2.2-ын дагуу олон гишүүнт 2, 1 – үндэстэй байх ёстой. . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.ба 1 +

. Түүний коэффициентийг Виетийн томъёог ашиглан олж болно. . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) + (1 +. Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) = 4;

 1 = 2 + (1 -) . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) + 2(1 + . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) + (1 – . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.)(1 + . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) = 6;

 2 = 2(1 – . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.)(1 + . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.) = 4.

 3 = 2(1 – е =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Эндээс

Дасгал. ХАМТба түүнээс дээш Р 5.1. Хүчин зүйлээ бууруулж боломгүй хүчин зүйл болгон хуваах

олон гишүүнт: X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

A) X 4 – 10X 2 + 1.

б) . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна..

5.2. Давхар язгуур 1, энгийн язгуур 1-2 байх бодит коэффициент бүхий хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул.

6. Рационал тооны талбар дээрх олон гишүүнтүүд Теорем 6.1 (Эйзенштейн шалгуур). Болъё 0 f = a 1 +a+ x + ... n x nа – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвалх x + ... 0 , x + ... 1 , … , x + ... n, Юу – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал, x + ... n-1-д хуваагдана – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал,x + ...-д хуваагдахгүй – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал 0 нь хуваагдахгүй е 2, тэгвэл

рационал тооны талбарт бууруулж болохгүй. Дасгал 6.1. Буурагдахгүй байдлаа батал Q

олон гишүүнт: е= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X A) е= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

+ 3;б) Теорем 6.2. Болъё е = x + ... 0 + x + ... 1 x + … + x + ... n x n– олон гишүүнтийн үндэс болох бууруулж болохгүй бутархай

    x + ... 0  – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал, x + ... nбүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа нь;

    е(1)  qе(–1)  p–q,.

p+q

Энэ теорем нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал язгуурыг олох асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Үүнийг хийхийн тулд бид чөлөөт гишүүний бүх хуваагч ба тэргүүлэх коэффициентийг тодорхойлж, тэдгээрээс бүх төрлийн бууруулж болохгүй бутархайг байгуулдаг. Бүх оновчтой үндэс нь эдгээр фракцуудын дунд агуулагддаг. Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд та Horner-ийн схемийг ашиглаж болно. Шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхийн тулд бид теорем 6.2-ын 2) мэдэгдлийг ашиглана.

е = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Жишээ 6.1. Олон гишүүнтийн рационал язгуурыг ол – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал Шийдэл. бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа ньБид тоологчтой бүх бутархайг бичдэг

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

– хуваагч нь 18, хуваагч нь

- хуваагч 2:

е(1) = –21  Бид тэдгээрийг Хорнерын схемийн дагуу шалгадаг.

е(–1) = –3  p–q,

X 1 = –2

X 2 = 3/2

Сэтгэгдэл X p–q XҮндэс олох е(1)– бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал – бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа нь 1 = –2 ба олон гишүүнтийг хуваах е(–1)– бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал + бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа нь+ 2, бид шинэ чөлөөт гишүүн -9 бүхий олон гишүүнтийг авна (түүний коэффициентүүдийг доогуур зурсан). Үлдсэн язгуурын тоологч нь энэ тооны хуваагч байх ёстой бөгөөд энэ нөхцлийг хангаагүй бутархайг жагсаалтаас хасч болно. Үлдсэн бүхэл утгууд нь нөхцөлийг хангахгүй байгаа тул хассан болно – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал = 3, бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа ньэсвэл е(1) = –21– бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал – бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Дараа нь. Жишээлбэл, бид 3-т байна

= 1, нөхцөл хангагдаагүй байна X(хоёр дахь нөхцөлтэй адил).

Үүний нэгэн адил үндсийг олох

Хэрэв шийдвэрлэх явцад бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт хүрч, бутархайн жагсаалт хараахан дуусаагүй бол үлдсэн үндсийг квадрат гурвалжингийн үндэс болгон ердийн томьёог ашиглан олж болно.

Дасгал 6.2. Олон гишүүнтийн рационал язгуурыг ол

олон гишүүнт: X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

б) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

2 цагт X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

г) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

  • Аравтын бутархай тооллын систем дэх тоог үржүүлэх, хуваах алгоритмууд
  • Дундаж ба ахиу алдагдлын үнэ цэнэ, шаардлагатай тооны дээж
  • Питер Скаргагийн "Бурханы сүмийн нэгдлийн тухай" номыг баталгаажуулсан нь 1577(?) r. - Острозкийн анхны полемик мэдэгдэл.
  • Асуулт No 1. Домен зууханд чийгийн ууршилт, карбонатын задрал. Карбонатын задралын термодинамик.
  • Бид тэг коэффиценттэй ХОЁР олон гишүүнт дотор хоосон БҮХ хүчийг (болон (эсвэл) чөлөөт нэр томъёог) бичнэ.

    • Бүхэл тоонуудын цагираг дээрх олон гишүүнтийг нэрлэдэг Балар эртний, хэрэв түүний илтгэлцүүрүүдийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1. Рационал коэффициенттэй олон гишүүнт эерэг рационал тооны үржвэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэнэ. агуулгаолон гишүүнт, анхдагч олон гишүүнт. Анхдагч олон гишүүнтүүдийн үржвэр нь анхдагч олон гишүүнт юм. Үүнээс үзэхэд бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт рационал тоонуудын талбарт буурах боломжтой бол бүхэл тоонуудын цагираг дээр буурах боломжтой болно. Ийнхүү рационал тоонуудын талбар дээрх олон гишүүнтийг бууруулж болохгүй хүчин зүйл болгон хуваах асуудлыг бүхэл тоонуудын цагираг дээрх ижил төстэй бодлого болгон бууруулж байна.

    Бүхэл тоон коэффициент, агуулга 1-тэй олон гишүүнтийг рационал язгуур гэж үзье. Олон гишүүнтийн үндсийг бууруулж болохгүй бутархай гэж төсөөлье. Олон гишүүнт е(x) анхдагч олон гишүүнтүүдийн үржвэр хэлбэрээр дүрслэгдсэн. Тиймээс,

    A. тоологч нь хуваагч,

    B. хуваагч – хуваагч

    C. дурын бүхэл тооны хувьд кутга учир е(к) – (-д үлдэгдэлгүй хуваагдах бүхэл тоо) bk-x + ...).

    Жагсаалтад орсон шинж чанарууд нь олон гишүүнтийн оновчтой язгуурыг олох асуудлыг төгсгөлтэй хайлт болгон багасгах боломжийг бидэнд олгодог. Үүнтэй төстэй аргыг олон гишүүнт тэлэлтэд ашигладаг еКронекерийн аргыг ашиглан рационал тоонуудын талбар дээрх бууруулж болохгүй хүчин зүйлүүд рүү. Хэрэв олон гишүүнт бол е(x) градус nөгөгдсөн бол хүчин зүйлсийн аль нэг нь -ээс ихгүй зэрэгтэй байна n/2. Энэ хүчин зүйлийг үүгээр тэмдэглэе g(x). Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо байдаг тул дурын бүхэл тоонуудын хувьд x + ...утга учир е(x + ...) нь үлдэгдэлгүй хуваагдана g(x + ...). Сонгоцгооё m= 1+n/2 ялгаатай бүхэл тоо x + ...би, . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.=1,…,м. Тоонуудын хувьд g(x + ... i) хязгаарлагдмал тооны боломжууд байдаг (тэг бус аль ч тооны хуваагчдын тоо нь төгсгөлтэй байдаг), тиймээс хуваагч байж болох олон гишүүнт тоо хязгаартай байдаг. е(x). Бүрэн хайлт хийсний дараа бид олон гишүүнтийн бууралтгүй байдлыг харуулах эсвэл хоёр олон гишүүнтийн үржвэр болгон өргөжүүлэх болно. Бүх хүчин зүйлсийг бууруулж болохгүй олон гишүүнт болгох хүртэл хүчин зүйл бүрт заасан схемийг хэрэглэнэ.

    Рационал тоонуудын талбар дээрх зарим олон гишүүнтүүдийн бууралтгүй байдлыг Эйзенштейний энгийн шалгуурыг ашиглан тогтоож болно.

    (Эйзенштейн шалгуур). е(x) нь бүхэл тоонуудын цагираг дээрх олон гишүүнт юм. Хэрэв анхны тоо байвал – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвалх



    I. Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүд е(x), хамгийн дээд зэрэглэлийн коэффициентээс гадна хуваагдана – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал

    II. Хамгийн дээд зэргийн коэффициент нь хуваагддаггүй – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал

    III. Чөлөөт гишүүн нь хуваагддаггүй

    Дараа нь олон гишүүнт е(x) нь рационал тоонуудын талбарт буурах боломжгүй.

    Эйзенштейн шалгуур нь олон гишүүнтийн бууралтгүй байдлын хангалттай нөхцлийг бүрдүүлдэг боловч шаардлагатай биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс олон гишүүнт нь рационал тоонуудын талбарт буурах боломжгүй боловч Эйзенштейний шалгуурыг хангадаггүй.

    Эйзенштейн шалгуурын дагуу олон гишүүнт нь буурах боломжгүй юм. Үүний үр дүнд рационал тооны талбар дээр градусын бууруулж болохгүй олон гишүүнт байдаг. n, Хаана n 1-ээс их натурал тоо.

    Бодит тоонуудын талбарт нэг хувьсагчийн аливаа бууруулж болохгүй олон гишүүнт 1 эсвэл 2 зэрэгтэй ба 2 зэрэгтэй олон гишүүнт сөрөг дискриминанттай, жишээлбэл, олон гишүүнт нь 1 эсвэл 2 зэрэгтэй байвал R талбар дээр буурах боломжгүй болно. Дискриминант нь сөрөг учраас бодит тооны талбар.

    Эйзенштейн шалгуур нь Германы математикч Фердинанд Эйзенштейний нэрээр нэрлэгдсэн олон гишүүнтийн бууруулж болохгүй байдлын тест юм. Хэдийгээр (уламжлалт) нэрийг үл харгалзан энэ нь "шалгуур" гэдэг үгийн математик утгад үндэслэн таамаглаж байгаачлан энэ нь тодорхой тэмдэг, өөрөөр хэлбэл хангалттай нөхцөл юм - гэхдээ огт шаардлагагүй юм.

    Теорем (Эйзенштейний шалгуур). хүчин зүйлийн R цагираг дээр олон гишүүнт ( n>0), мөн зарим бууруулж болохгүй элементийн хувьд – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвалдараах нөхцөл хангагдсан байна:

    Хуваагдах боломжгүй – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал,

    Хуваагдсан – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал, хэнд ч зориулав . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.-аас 0 өмнө n- 1,

    Хуваагдах боломжгүй.

    Дараа нь олон гишүүнтийг багасгах боломжгүй болно Фхувийн бөгж талбай Р.

    Үр дагавар.Алгебрийн тоонуудын аль ч талбарт урьдчилан тодорхойлсон зэрэгтэй, бууруулж болохгүй олон гишүүнт байдаг; жишээ нь, олон гишүүнт хаана n>1 ба – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвалЇ зарим анхны тоо.

    R нь бүхэл тоонуудын цагираг, F нь рационал тооны талбар байх үед энэ шалгуурыг ашиглах жишээг авч үзье.

    Жишээ:

    Олон гишүүнт нь Q дээр буурах боломжгүй.

    Тойргийн хуваах олон гишүүнтийг багасгах боломжгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв энэ нь буурах боломжтой бол бид олон гишүүнтийг бас багасгаж, эхнийхээс бусад бүх коэффициентүүд нь хоёр гишүүнтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хуваагддаг. – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвал, мөн сүүлчийн коэффициент `амен – бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт. Хэрэв тийм анхны тоо байвалҮүнээс гадна таамаглалаас ялгаатай нь Эйзенштейний шалгуураар хуваагддаггүй.

    Дараах таван олон гишүүнт нь бууруулж болохгүй олон гишүүнтийн зарим энгийн шинж чанарыг харуулж байна.

    Бүхэл тоон Z цагираг дээр эхний хоёр олон гишүүнт бууруулж, сүүлийн хоёр нь бууруулж болохгүй. (Гурав дахь нь бүхэл тоон дээрх олон гишүүнт биш).

    Рационал тоонуудын Q талбар дээр эхний гурван олон гишүүнт бууруулж, нөгөө хоёр нь бууруулж болохгүй.

    Бодит тоонуудын R талбар дээр эхний дөрвөн олон гишүүнт бууруулж болох боловч бууруулж болохгүй. Бодит тооны талбарт шугаман олон гишүүнт ба бодит үндэсгүй квадрат олон гишүүнтийг багасгаж болохгүй. Жишээлбэл, бодит тооны талбарт олон гишүүнтийн тэлэлт нь хэлбэртэй байна. Энэ тэлэлтийн хоёр хүчин зүйл нь бууруулж болохгүй олон гишүүнт юм.

    Комплекс тооны C талбар дээр бүх таван олон гишүүнт бууруулж болно. Үнэн хэрэгтээ, C-ээс дээш тогтмол бус олон гишүүнт бүрийг дараах хэлбэрээр үржүүлж болно.

    Хаана n- олон гишүүнтийн зэрэг; x + ...- тэргүүлэх коэффициент, - олон гишүүнтийн үндэс. Иймээс C-ээс илүү бууруулж болохгүй цорын ганц олон гишүүнт нь шугаман олон гишүүнт (алгебрийн үндсэн теорем) юм.

    Бууруулах боломжгүй олон гишүүнт- чухал бус олон гишүүнт задрах боломжгүй олон гишүүнт. Бууруулах боломжгүй олон гишүүнтүүд нь олон гишүүнт цагирагийн бууруулж болохгүй элементүүд юм.

    Талбай дээрх бууруулж болохгүй олон гишүүнт олон гишүүнт байна талбар дээрх хувьсагчийн тоо нь цагирагийн энгийн элемент юм , өөрөөр хэлбэл, үржвэрээр дүрслэх боломжгүй, энд ба нь тогтмол тооноос өөр коэффициенттэй олон гишүүнт байна.

    F талбар дээрх олон гишүүнт f нь эерэг зэрэгтэй бөгөөд ямар ч чухал бус хуваагчгүй (өөрөөр хэлбэл аль ч хуваагч түүнтэй эсвэл нэгтэй холбоотой) бол түүнийг бууруулж болохгүй (энгийн) гэж нэрлэдэг.

    Өгүүлбэр 1

    (Эйзенштейн шалгуур). Р– бууруулж болохгүй ба А– F[x] цагирагийн дурын олон гишүүнт. Дараа нь ч гэсэн Рхуваадаг А, эсвэл РТэгээд А- харилцан энгийн.

    Өгүүлбэр 2

    (Эйзенштейн шалгуур). е∈ F[x] ба f = 1 зэрэг нь f нь бууруулж болохгүй олон гишүүнт гэсэн үг.

    Жишээлбэл: 1. Q талбар дээр олон гишүүнт x+1 ав. Түүний зэрэг нь 1 бөгөөд энэ нь буурах боломжгүй гэсэн үг юм.

    2. x2 +1 – бууруулж болохгүй, учир нь үндэсгүй

    SLU. Системийн шийдэл. Хамтарсан, хоршоогүй, тодорхой, тодорхойгүй тогтолцоо. Эквивалент системүүд

    x1,...xn хувьсагчтай F талбар дээрх шугаман тэгшитгэлийн систем нь хэлбэрийн систем юм.

    А 11 X 1 + … + a 1н x n= б 1

    ………………………..

    а м1 x 1 + … + a mn x n= б м

    хаана а ik,б . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна.∈ F, m нь тэгшитгэлийн тоо, n нь үл мэдэгдэх тоо юм. Товчхондоо энэ системийг дараах байдлаар бичиж болно: ai1x1 + … + a in x n= б . Хоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурыг хаалтанд ердийн аргаар олсны дараа бид өргөтгөлийг олж авна. (i = 1,…м.)

    Энэ SLE нь n чөлөөт хувьсагчтай нөхцөл юм x 1,….хн.

    SLN нь нийцгүй (шийдэл байхгүй) болон нийцтэй (тодорхой ба тодорхойгүй) гэж хуваагддаг. Тухайн төрлийн тууштай системийг өвөрмөц шийдэлтэй гэж нэрлэдэг; хэрэв энэ нь дор хаяж хоёр өөр шийдэлтэй бол түүнийг тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.

    Жишээ нь: Q талбар дээр

    x + y = 2 - үл нийцэх систем

    x – y = 0 - хамтарсан тодорхой (x, y = ½)

    2x + 2y = 2 - хамтарсан тодорхойгүй

    Хоёр l.u систем Хэрэв эдгээр системийн шийдлүүдийн багц давхцаж байвал энэ нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл нэг системийн аливаа шийдэл нэгэн зэрэг нөгөөгийн шийдэл болно. Үүнтэй тэнцэх системийг дараахь байдлаар авч болно.



    1. тэгшитгэлийн аль нэгийг энэ тэгшитгэлээр орлуулах нь тэгээс бусад тоогоор үржүүлсэн.

    2. нэг тэгшитгэлийг энэ тэгшитгэлийн нийлбэрээр системийн өөр тэгшитгэлээр солих.

    SLE-ийн уусмалыг Гауссын аргаар гүйцэтгэдэг.

    45* Шугаман тэгшитгэлийн системийн элементийн хувиргалт (slu). Гауссын арга.

    Def.S.L.U n-xia-ийн анхан шатны өөрчлөлтүүд нь дараах өөрчлөлтүүд юм.

    1. Системийн тэгшитгэлийн системийн аль нэгийг талбайн тэг биш элементээр үржүүлэх.

    2. Системийн аль нэг тэгшитгэлд талбайн элементээр үржүүлсэн өөр тэгшитгэлийг нэмэх.

    3. 0*x1+0*x2+…+0*xn=0 тэг биш тэгшитгэлийн системд нэмэлт оруулах буюу хасах

    4. Урвуу тэгшитгэл

    СаналХязгаарлагдмал тоо ашиглан системийг (**) эсвэл системийг (*) авъя. Элементийн өөрчлөлтүүд. Дараа нь систем (**)~ систем (*). (Баримт бичиг байхгүй)

    орлогчШугаман тэгшитгэлийн системийг бичихдээ бид матрицын тэмдэглэгээг ашиглана.

    a11 a12 … a1n b1

    a21 a22 ... a2n b2

    ………………….... …

    Am1 am2 ... amn вn

    Жишээ нь: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

    x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

    3х1 + 2х2 + 4х3 = 2 3 2 4 2

    2) 1 0 1 x1=1

    0 1 2 x2=2

    3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

    0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

    Гауссын арга

    СаналСистемд (*) байгаарай

    (а) хэрэв бүх чөлөөт нөхцөл 0-тэй тэнцүү бол бүх vk=0 олон шийдэл = F n

    (б) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (шийдэл байхгүй)

    2. бүгд aij=0 биш

    (a) хэрэв систем нь 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй бол

    (б) ийм тэгшитгэл байхгүй бол b1. Тэг биш тэгшитгэлийг хасъя. Бүх коэффициентүүд xij=0 байхааргүй хамгийн бага i1 индексийг олъё.

    0……0……….. …. Хоёр дахь тэг багана нь i1 байна.

    0……0…..*=0….. ….

    0……0 ...……… …

    1. тэгшитгэлүүдийг дахин зохион байгуулснаар бид a1i1 = 0 болно

    0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(даалгавар) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

    A2i1............ .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( гишгэсэн

    0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Матриц)

    0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. ………………………….

    0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

    Хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа бид системд 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 хэлбэрийн тэгшитгэл агуулна.

    0……0 1………….. L1 “урагш Гауссын цус харвалт” 0....0 1...0..0 .....0.........0.... .. “урвуу харвалт

    0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Гаусс”

    0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0.........1... . .....0...... ..

    .............................. .... ............................................ ..

    0.......0 0 ............0..1 Лк 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

    Бид xi1, ...... xik хувьсагчдыг үндсэн хувьсагч гэж нэрлэх болно, бусад нь үнэ төлбөргүй байдаг.

    k=n => c-a тодорхойлсон

    к в-тодорхойгүй. Чөлөөт хувьсагчдад үүсмэл утгыг өгч, үндсэн хувьсагчдын утгыг тооцоолж болно.

    2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

    1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

    3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2