Модулийн жишээнүүдийн тусламжтайгаар функцийн графикийг байгуул. Модуль бүхий шугаман функцийн графикууд. Баруун талын хувьсагчийн тохиолдол

Эрднигоряева Марина

Энэхүү бүтээл нь 8-р ангид нэг сэдвийг сонгох хичээлээр судалсны үр дүн юм. Графикийн геометрийн хувиргалт ба тэдгээрийн модуль бүхий график байгуулахад ашиглах аргыг энд үзүүлэв. Модулийн тухай ойлголт, түүний шинж чанаруудыг танилцуулав. Модультай графикийг хэрхэн яаж байгуулахыг янз бүрийн аргаар үзүүлэв: хувиргалтуудыг ашиглан, модулийн үзэл баримтлалд үндэслэн.Төслийн сэдэв нь математикийн хичээлийн хамгийн хэцүү сэдэв бөгөөд сонгон судлах хичээлд авч үзсэн асуудлуудтай холбоотой бөгөөд математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангид суралцсан. Гэсэн хэдий ч ийм даалгаврыг ТЕГ-ын хоёрдугаар хэсэг буюу Улсын нэгдсэн шалгалтанд өгдөг. Энэхүү ажил нь зөвхөн шугаман төдийгүй бусад функцүүдийн (квадрат, урвуу пропорциональ гэх мэт) модулиудтай график хэрхэн бүтээх талаар ойлгоход тусална. Энэхүү ажил нь Улсын шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд тусална.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Модультай шугаман функцийн графикууд Эрднигоряева Маринагийн ажил, "Камышовская ООШ" МСУХ-ны 8-р ангийн сурагч Удирдагч Горяева Зоя Эрднигоряевна, математикийн багш МСУХ "Камышовская ООШ" х. Камышево, 2013 он

Төслийн зорилго: Модулиар шугаман функцүүдийн графикийг хэрхэн бүтээх вэ гэсэн асуултанд хариулах. Төслийн зорилго: Энэ асуудлын талаархи уран зохиолыг судлах. Графикийн геометрийн хувиргалтыг судлах, модультай график байгуулахад ашиглах. Модулийн тухай ойлголт, түүний шинж чанарыг судлах. Модультай графикийг янз бүрийн аргаар барьж сур.

Шууд пропорциональ Шууд пропорциональ нь y=kx хэлбэрийн томьёогоор тодорхойлогддог функц бөгөөд энд x нь бие даасан хувьсагч, k нь тэг биш тоо юм.

y = x x 0 2 y 0 2 функцийн графикийг зуръя

Графикийн геометрийн хувиргалт Дүрэм No1 y = f (x) + k - шугаман функц - функцийн графикийг y = f (x) функцийн графикийг + k нэгжээр O цэгээс дээш зэрэгцүүлэн шилжүүлснээр гарна. k> 0 эсвэл |- k|-ийн хувьд у тэнхлэг k-ийн O y тэнхлэгээс доош нэгж

y=x+3 y=x-2 графикуудыг байгуулъя

Дүрэм No2 y=kf(x) функцийн графикийг O y тэнхлэгийн дагуу a>1 дахин сунгаж O y тэнхлэгийн дагуу шахаж y = f (x) функцийн график гарна. удаа 0Slide 9-д

y=x y= 2 x график байгуулъя

Дүрэм No3 y = - f (x) функцийн графикийг O x тэнхлэгтэй харьцуулахад y = f (x) графикийг тэгш хэмтэйгээр үзүүлснээр гарна.

Дүрэм No4 y = f (- x) функцийн графикийг O y тэнхлэгтэй харьцуулсан y = f (x) функцийн графикийг тэгш хэмтэй үзүүлснээр гарна.

Дүрэм No5 y=f(x+c) функцийн графикийг c 0 бол O x тэнхлэгийн дагуу баруун тийш зэрэгцүүлэн шилжүүлснээр y=f(x+c) функцийн график гарна.

y=f(x) y=f(x+2) графикуудыг байгуулъя.

Модулийн тодорхойлолт Сөрөг бус a тооны модуль нь өөрийн a тоотой тэнцүү; Сөрөг a тооны модуль нь түүний эсрэг талын эерэг тоо -a-тай тэнцүү байна. Эсвэл, |a|=a, хэрэв a ≥0 |a|=-a, хэрэв a

Модуль бүхий шугаман функцүүдийн графикийг бүтээв: модулийн тодорхойлолтыг өргөжүүлэх замаар геометрийн хувиргалтыг ашиглан.

Дүрэм No6 y=|f(x)| функцийн график дараах байдлаар гарна: y=f(x) графикийн O x тэнхлэгээс дээш байрлах хэсэг хадгалагдана; O x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь O x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдана.

y=-2| функцийн графикийг зур x-3|+4 y ₁=|-г байгуул x | Бид y₂= |x - 3 |-ийг бүтээдэг → Ox тэнхлэгийн дагуу +3 нэгжээр параллель орчуулга (баруун тийш шилжих) Бид y ₃ =+2|x-3| → O тэнхлэгийн дагуу сунах y 2 удаа = 2 y₂ Бид y ₄ =-2|x-3| → x тэнхлэгийн тэгш хэм = - y₃ Бид y₅ =-2|x-3|+4 → параллель хөрвүүлэлтийг О тэнхлэгийн дагуу +4 нэгжээр байгуулна y (дээш шилжих) = y ₄ +4

y =-2|x-3|+4 функцийн график

y= 3|x|+2 y₁=|x| функцийн график y₂=3|x|= 3 y₁ → 3 дахин сунах y₃=3|x| +2= y₄+2 → 2 нэгж дээш шилжүүлнэ

Дүрэм No7 y=f(| x |) функцийн графикийг y=f(x) функцийн графикаас дараах байдлаар олно: x > 0-ийн хувьд функцийн график хадгалагдах ба мөн адил. графикийн хэсэг нь O y тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна

y = || функцийн графикийг зур x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|

y=│f(│x│)│ функцийн график байгуулах алгоритм y=f(│x│) функцийн графикийг байгуул. дараа нь x тэнхлэгээс дээш байрлах графын бүх хэсгийг хэвээр үлдээнэ. x тэнхлэгийн доор байрлах хэсгүүдийг энэ тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуулав.

Y=|2|x|-3| Барилга: a) y=2x-3 for x>0, b) y=-2x-3 for x Slide 26

Дүрэм No8 Хамааралтай байдлын график | y|=f(x)-ийг y=f(x) функцийн графикаас f(x) > 0 байх бүх цэгүүд хадгалагдаж, мөн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шилжинэ.

Декарт координат х ба у нь |y|=||x-1|-1| тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн багцыг байгуул.

| y|=||x-1| -1| бид хоёр график байгуулна 1) y=||x-1|-1| ба 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → Ox тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 1 нэгжээр шилжинэ y₃ = | x -1 |- 1= → 1 нэгжээр доош шилжих y ₄ = || x-1|- 1| → O x-тэй харьцуулахад y₃ 0 байх график цэгүүдийн тэгш хэм

|y|=||x-1|-1| тэгшитгэлийн график Бид дараах байдлаар олж авна: 1) y=f(x) функцын графикийг байгуулж, y≥0 байх хэсгийг өөрчлөхгүй 2) Ox тэнхлэгийн тэгш хэмийг ашиглан y-д тохирох графикийн өөр хэсгийг байгуулна.

y =|x | функцийн графикийг зур − | 2 − x | . Шийдэл. Энд модулийн тэмдэг нь хоёр өөр нэр томъёогоор гарч ирэх бөгөөд үүнийг арилгах ёстой. 1) Дэд модуль илэрхийллийн язгуурыг ол: x=0, 2-x=0, x=2 2) Интервалд тэмдэг тавина.

Функцийн график

Дүгнэлт Төслийн сэдэв нь математикийн хичээлийн хүнд хэцүү сэдвүүдийн нэг бөгөөд сонгон судлах хичээлд авч үзсэн асуудлуудтай холбоотой бөгөөд математикийн хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах ангиудад судлагддаг. Гэсэн хэдий ч ийм үүрэг даалгаврыг ТЕГ-ын хоёрдугаар хэсэгт өгсөн болно. Энэ ажил нь зөвхөн шугаман функцүүд төдийгүй бусад функцүүдийн (квадрат, урвуу пропорциональ гэх мэт) модулиудтай график хэрхэн бүтээх талаар ойлгоход тусална. Энэхүү ажил нь улсын шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд тусалж, математикийн өндөр оноо авах боломжийг танд олгоно.

Уран зохиол Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математик.” Москвагийн 6-р ангийн сурах бичиг. "Мнемосине" хэвлэлийн газар, 2010 Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. болон бусад.Алгебр. 8-р анги: боловсролын. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай оюутан, ангиудад зориулсан гарын авлага. - Москва. Гэгээрэл, 2009 Гайдуков И.И. "Үнэмлэхүй үнэ цэнэ." Москва. Гэгээрэл, 1968. Гурский I.P. "Функц ба график". Москва. Гэгээрэл, 1968. Ящина Н.В. Модуль агуулсан график бүтээх арга техник. "Сургууль дахь математик" сэтгүүл, 1994 оны 3-р дугаар Хүүхдийн нэвтэрхий толь. Москва. “Сурган хүмүүжүүлэх ухаан”, 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математикийн асуудлууд. М., “Шинжлэх ухаан”, 1993. Петраков И.С. 8-10-р ангийн математикийн дугуйлан. М., "Гэгээрэл", 1987. Галицки М.Л. болон бусад.8-9-р ангийн алгебрийн бодлогын эмхтгэл: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сурагч, ангиудад зориулсан сурах бичиг. - 12 дахь хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2006. – 301 х. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебр: 9-р ангийн сургуулийн сурах бичгийн нэмэлт бүлгүүд: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / Редактор Г.В.Дорофеев. – М.: Боловсрол, 1997. – 224 х. Садыкина Н. Модулийн тэмдгийг агуулсан график ба хамаарлыг бүтээх / Математик. - Үгүй 33. – 2004. – х.19-21 .. Кострикина Н.П.“7-9-р ангийн алгебрийн хичээлийн хүндрэлийг нэмэгдүүлэх асуудал”... Москва: Боловсрол, 2008.

Бичлэг

1 6-11-р ангийн сурагчдын боловсрол, судалгааны ажлын бүсийн эрдэм шинжилгээ, практикийн бага хурал “Математикийн хэрэглээний болон суурь асуудлууд” Математик судлах арга зүйн асуудлууд Модуль агуулсан функцийн график байгуулах Габова Анжела Юрьевна, 10-р анги, МОБУ “3-р биеийн тамирын сургууль” ” Кудымкар, Пикулева Надежда Ивановна, хотын боловсролын "Гимназия 3" сургуулийн математикийн багш, Пермь Кудымкар, 2016 он

2 Агуулга: Удиртгал...3 хуудас I. Үндсэн хэсэг...6 хуудас 1.1Түүхэн сурвалж..6 хуудас 2.Функцийн үндсэн тодорхойлолт, шинж чанар хуудас 2.1 Квадрат функц..7 хуудас 2.2 Шугаман функц.. .8 х. 2.3 Бутархай-рационал функц 8 х 3. Модультай график байгуулах алгоритм 9 х 3.1 Модуль тодорхойлох “үүрлэсэн модулиудын” томьёонд агуулагдах.10 х 3.4 y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b хэлбэрийн функцийн график байгуулах алгоритм...13 х 3.5 Квадрат график байгуулах алгоритм. модультай функц.14 х 3.6 Бутархай рационал функцийг модультай зурах алгоритм. 15 х. 4. Абсолют утгын тэмдгийн байршлаас хамаарч квадрат функцийн графикийн өөрчлөлт..17х. II. Дүгнэлт...26 х III. Ашигласан материал, эх сурвалжийн жагсаалт...27 х IV. Хавсралт....28х. 2

3 Оршил Функцийн график байгуулах нь сургуулийн математикийн хамгийн сонирхолтой сэдвүүдийн нэг юм. Манай үеийн хамгийн агуу математикч Израиль Моисеевич Гельфанд: "График байгуулах үйл явц нь томъёо, дүрслэлийг геометрийн дүрс болгон хувиргах арга юм. Энэхүү график нь томьёо, функцуудыг харж, тэдгээр функцууд хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харах хэрэгсэл юм. Жишээлбэл, хэрэв y =x 2 гэж бичсэн бол та тэр даруй параболыг харна; хэрэв y = x 2-4 бол дөрвөн нэгжээр буурсан параболыг харна; хэрэв y = -(x 2 4) бол өмнөх параболыг буцаасан гэж үзнэ. Томъёо, түүний геометрийн тайлбарыг шууд харах чадвар нь зөвхөн математикийг судлахад төдийгүй бусад хичээлүүдэд чухал ач холбогдолтой юм. Энэ бол дугуй унах, бичих, машин жолоодох гэх мэт насан туршдаа үлдэх чадвар юм." Модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсийг 6-7-р ангид олж авсан. Би энэ сэдвийг илүү гүнзгий, нарийн судалгаа шаарддаг гэж үзсэн учраас сонгосон. Би тоонуудын модуль, үнэмлэхүй утгын тэмдгийг агуулсан график байгуулах янз бүрийн аргуудын талаар илүү их мэдлэг олж авахыг хүсч байна. Модулийн тэмдгийг шугам, парабол, гиперболын "стандарт" тэгшитгэлд оруулахад тэдгээрийн график нь ер бусын, бүр үзэсгэлэнтэй болдог. Ийм графикийг хэрхэн бүтээхийг сурахын тулд та үндсэн дүрсийг бүтээх арга техникийг эзэмшихээс гадна тооны модулийн тодорхойлолтыг сайтар мэдэж, ойлгох хэрэгтэй. Сургуулийн математикийн хичээл дээр модультай графикуудыг хангалттай гүнзгийрүүлдэггүй тул би энэ сэдвээр мэдлэгээ өргөжүүлж, өөрөө судалгаа хийхийг хүссэн. Модулийн тодорхойлолтыг мэдэхгүй бол үнэмлэхүй утгыг агуулсан хамгийн энгийн графикийг ч байгуулах боломжгүй юм. Модулийн тэмдэг бүхий илэрхийлэл агуулсан функцын графикуудын онцлог шинж чанар нь 3 юм

4 нь модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл тэмдэг өөрчлөгдөхөд тэдгээр цэгүүдэд гулзайлтын шинж тэмдэг илэрдэг. Ажлын зорилго: модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан шугаман, квадрат ба бутархай рационал функцүүдийн график байгуулах асуудлыг авч үзэх. Зорилго: 1) Шугаман, квадрат, бутархай рационал функцүүдийн абсолют утгын шинж чанарын талаархи уран зохиолыг судлах. 2) Үнэмлэхүй утгын тэмдгийн байршлаас хамааран функцын график дахь өөрчлөлтийг судлах. 3) Тэгшитгэлийн график зурж сурах. Судалгааны объект: шугаман, квадрат ба бутархай рационал функцүүдийн графикууд. Судалгааны сэдэв: үнэмлэхүй утгын тэмдгийн байршлаас хамааран шугаман, квадрат, бутархай рационал функцүүдийн график дахь өөрчлөлт. Миний ажлын практик ач холбогдол нь: 1) энэ сэдвээр олж авсан мэдлэгээ ашиглах, түүнчлэн гүнзгийрүүлэх, бусад функц, тэгшитгэлд ашиглах; 2) цаашдын боловсролын үйл ажиллагаанд судалгааны ур чадварыг ашиглах. Хамааралтай байдал: График хийх даалгавар нь математикийн хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг юм. Манай төгсөгчид Улсын шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгөх асуудалтай тулгардаг. Судалгааны асуудал: ТЕГ-ын хоёр дахь хэсгээс модулийн тэмдгийг агуулсан функцүүдийн графикийг байгуулах. Судалгааны таамаглал: модулийн тэмдэг агуулсан функцүүдийн графикийг байгуулах ерөнхий аргуудын үндсэн дээр боловсруулсан ТЕГ-ын хоёрдугаар хэсгийн даалгавруудыг шийдвэрлэх аргачлалыг ашиглах нь оюутнуудад эдгээр даалгавруудыг шийдвэрлэх боломжийг олгоно.

5 ухамсрын үндсэн дээр шийдвэрлэх хамгийн оновчтой аргыг сонгож, шийдлийн янз бүрийн аргыг хэрэглэж, Улсын шалгалтыг илүү амжилттай өгнө. Ажилд ашигласан судалгааны аргууд: 1. Энэ сэдвээр математикийн ном зохиол, интернет эх сурвалжид дүн шинжилгээ хийх. 2. Судлагдсан материалын нөхөн үржихүйн нөхөн үржихүй. 3. Танин мэдэхүйн болон эрэл хайгуулын үйл ажиллагаа. 4. Асуудлын шийдлийг хайхад өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах. 5. Таамаглалын мэдэгдэл, тэдгээрийн баталгаажуулалт. 6. Математикийн баримтуудыг харьцуулах, нэгтгэх. 7. Хүлээн авсан үр дүнгийн шинжилгээ. Энэхүү ажлыг бичихдээ дараахь эх сурвалжийг ашигласан: Интернетийн эх сурвалжууд, OGE тестүүд, математикийн уран зохиол. 5

6 I. Үндсэн хэсэг 1.1 Түүхэн сурвалж. 17-р зууны эхний хагаст функцийг нэг хувьсагчийн нөгөөгөөс хамаарал гэсэн санаа гарч ирэв. Тиймээс Францын математикч Пьер Ферма (), Рене Декарт () нар функцийг муруй дээрх цэгийн ординатаас түүний абсциссаас хамаарах хамаарал гэж төсөөлжээ. Английн эрдэмтэн Исаак Ньютон () функцийг цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгдөж буй хөдөлгөөнт цэгийн координат гэж ойлгосон. "Функц" гэсэн нэр томъёог (Латин функцийн гүйцэтгэл, гүйцэтгэл) анх Германы математикч Готфрид Лейбниц (Готфрид Лейбниц) нэвтрүүлсэн. Тэрээр функцийг геометрийн дүрстэй (функцийн график) холбосон. Дараа нь Швейцарийн математикч Иоганн Бернулли() болон Санкт-Петербургийн Шинжлэх ухааны академийн гишүүн, 18-р зууны алдарт математикч Леонард Эйлер() нар функцийг аналитик илэрхийлэл гэж үзсэн. Эйлер мөн функцийг нэг хувьсагчийн нөгөө хувьсагчаас хамаарал гэж ерөнхий ойлголттой байдаг. "Модуль" гэдэг үг нь "хэмжих" гэсэн утгатай латин "modulus" гэсэн үгнээс гаралтай. Энэ бол олон утгатай үг (омоним) бөгөөд зөвхөн математик төдийгүй архитектур, физик, технологи, програмчлал болон бусад нарийн шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг. Архитектурт энэ нь тухайн архитектурын бүтцэд зориулагдсан анхны хэмжилтийн нэгж бөгөөд түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн олон тооны харьцааг илэрхийлэхэд ашигладаг. Технологийн хувьд энэ нь технологийн янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг нэр томъёо бөгөөд бүх нийтийн утга агуулаагүй бөгөөд янз бүрийн коэффициент, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход үйлчилдэг, жишээлбэл, оролцооны модуль, уян хатан модуль гэх мэт. 6

7 Бөөн модуль (физикийн хувьд) нь материалын хэвийн хүчдэлийн харьцангуй суналтын харьцаа юм. 2. Функцийн үндсэн тодорхойлолт ба шинж чанарууд Функц бол математикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Х хувьсагчийн утга бүр у хувьсагчийн нэг утгатай тохирч байхаар у хувьсагчийн х хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг функц гэнэ. Функцийг тодорхойлох аргууд: 1) аналитик арга (функцийг математикийн томьёо ашиглан тодорхойлсон); 2) хүснэгтийн арга (функцийг хүснэгт ашиглан тодорхойлсон); 3) дүрслэх арга (функцийг аман тайлбараар тодорхойлсон); 4) график арга (функцийг график ашиглан тодорхойлсон). Функцийн график нь абсциссууд нь аргументийн утгатай тэнцүү, ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү координатын хавтгайн бүх цэгүүдийн багц юм. 2.1 Квадрат функц y = ax 2 + in + c томьёогоор тодорхойлогдсон функцийг x ба y нь хувьсагч, a, b, c параметрүүд нь дурын бодит тоо, a = 0 бол квадрат гэнэ. y=ax 2 +in+c функцийн график нь парабол; y=ax 2 +in+c параболын тэгш хэмийн тэнхлэг нь шулуун, a>0-ийн хувьд параболын “салбарууд” дээшээ чиглэсэн, a.<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (нэг хувьсагчийн функцүүдийн хувьд). Шугаман функцүүдийн гол шинж чанар: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй пропорциональ байна. Өөрөөр хэлбэл функц нь шууд пропорциональ байдлын ерөнхий ойлголт юм. Шугаман функцийн график нь шулуун шугам бөгөөд нэр нь эндээс гаралтай. Энэ нь нэг бодит хувьсагчийн бодит функцтэй холбоотой. 1) Шулуун шугам нь абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэдэг. 2) Шулуун шугам нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг. 3) шугамын ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн ординатын үзүүлэлт юм. 4) Хэзээ, шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө. , 2.3 Бутархай-рационал функц нь хуваагч болон хуваагч нь олон гишүүнт байдаг бутархайг хэлнэ. Энэ нь ямар ч тооны хувьсагчийн олон гишүүнт хэлбэртэй байна. Онцгой тохиолдол бол нэг хувьсагчийн рационал функцууд юм:, энд ба олон гишүүнт байна. 1) Дөрвөн арифметик үйлдэл ашиглан хувьсагчдаас гаргаж болох аливаа илэрхийлэл нь рационал функц юм. 8

9 2) Рационал функцуудын багцыг арифметик үйлдлүүд болон найруулгын үйлдлээр хаадаг. 3) Аливаа рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэрээр дүрсэлж болно - үүнийг аналитик интегралд ашигладаг.. , 3. Модультай график байгуулах алгоритмууд 3.1 Модулийн тодорхойлолт Бодит а тооны модуль нь өөрөө a тоо юм. энэ нь сөрөг биш, а эсрэг тоо, хэрэв а сөрөг байвал. a = 3.2 Модультай шугаман функцийн график байгуулах алгоритм y = x функцийн графикийг байгуулахын тулд эерэг x-ийн хувьд бид x = x байна гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь аргументийн эерэг утгуудын хувьд y= x график нь y=x графиктай давхцдаг, өөрөөр хэлбэл графикийн энэ хэсэг нь абсцисса тэнхлэгт 45 градусын өнцгөөр эх үүсвэрээс гарч буй туяа гэсэн үг юм. . x үед< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Бариулахын тулд бид (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) оноо авдаг. Одоо y= x-1 график байгуулъя.Хэрэв А нь координаттай y= x график дээрх цэг бол (a; a) графикийн y= x-1 цэг нь Y ординатын ижил утгатай байх болно. A1(a+1; a) цэг байх болно. Хоёр дахь графикийн энэ цэгийг эхний графикийн A(a; a) цэгээс Ox тэнхлэгт баруун тийш параллель шилжүүлэх замаар олж авч болно. Энэ нь y= x-1 функцийн графикийг бүхэлд нь y= x функцийн графикаас Ox тэнхлэгтэй параллель баруун тийш 1-ээр шилжүүлснээр гарна гэсэн үг. Графикуудыг байгуулъя: y= x-1 Бариулахын тулд. , (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) оноог авна. 3.3 Томъёонд "үүрлэсэн модулиудыг" агуулсан функцүүдийн графикийг байгуулах Тодорхой жишээ ашиглан бүтээх алгоритмыг авч үзье Функцийн графикийг байгуул: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Функцийн график байгуул. 2. Бид доод хагас хавтгайн графикийг OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дээшээ харуулж, функцийн графикийг олж авна. арван нэгэн

12 3. Бид функцийн графикийг OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доошоо харуулж, функцийн графикийг гаргана. 4. Бид функцийн графикийг OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доош харуулж, функцийн графикийг гаргана 5. Бид функцийн графикийг OX тэнхлэгтэй харьцуулж үзүүлэн графикийг гаргана. 12

13 6. Үүний үр дүнд функцийн график дараах байдалтай байна 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b хэлбэрийн функцийн график байгуулах алгоритм. Өмнөх жишээнд модулийн тэмдгүүдийг илрүүлэхэд маш хялбар байсан. Хэрэв модулиудын нийлбэр илүү байвал дэд модуль илэрхийллийн шинж тэмдгүүдийн бүх боломжит хослолыг авч үзэх нь асуудалтай байдаг. Энэ тохиолдолд функцийн графикийг хэрхэн байгуулах вэ? График нь тасархай шугам бөгөөд оройнууд нь -1 ба 2 абсциссатай байна. x = -1 ба x = 2 үед дэд модуль илэрхийллүүд тэгтэй тэнцүү байна. Практикт бид ийм график байгуулах дүрэмд ойртсон: y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b хэлбэрийн функцийн график нь хязгааргүй туйлын холбоос бүхий тасархай шугам юм. Ийм тасархай шугамыг байгуулахын тулд түүний бүх оройг (оройнуудын абсцисса нь дэд модуль илэрхийллийн тэг) болон зүүн ба баруун хязгааргүй холбоос дээрх нэг хяналтын цэгийг мэдэхэд хангалттай. 13

14 Асуудал. y = x + x 1 + x + 1 функцийн графикийг зурж, хамгийн бага утгыг ол. Шийдэл: 1. Дэд модуль илэрхийллийн тэг: 0; -1; Полилингийн орой (0; 2); (-13); (1; 3).(бид дэд модуль илэрхийллийн тэгийг тэгшитгэлд орлуулна) 3 Баруун талд (2; 6), зүүн талд (-2; 6) шалгах цэг. Бид график байгуулдаг (Зураг 7), функцийн хамгийн бага утга нь модулийн тусламжтайгаар квадрат функцийн график байгуулах алгоритм Функцийн графикийг хөрвүүлэх алгоритмыг зурах. 1. y= f(x) функцийн графикийг зурах. Модулийн тодорхойлолтоор энэ функцийг хоёр функцийн багцад хуваадаг. Улмаар y= f(x) функцийн график нь баруун хагас хавтгайд y= f(x), зүүн хагас хавтгайд y= f(-x) гэсэн хоёр графикаас бүрдэнэ. Үүний үндсэн дээр дүрэм (алгоритм) боловсруулж болно. y= f(x) функцийн графикийг y= f(x) функцийн графикаас дараах байдлаар авна: x 0 үед график хадгалагдаж, х үед график хадгалагдана.< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. y= f(x) функцийн графикийг байгуулахын тулд эхлээд x> 0, дараа нь x функцийн хувьд y= f(x) функцийн графикийг байгуулах шаардлагатай.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Энэ графикийг авахын тулд та өмнө нь авсан графикийг баруун тийш гурван нэгж шилжүүлэхэд л хангалттай. Хэрэв бутархайн хуваагч нь x + 3 илэрхийллийг агуулж байвал бид графикийг зүүн тийш шилжүүлэх болно гэдгийг анхаарна уу: Одоо функцийн графикийг гаргахын тулд бүх ординатуудыг хоёроор үржүүлэх хэрэгтэй.Эцэст нь бид графикийг дээш шилжүүлнэ. хоёр нэгж: Бидний хийх ёстой хамгийн сүүлийн зүйл бол өгөгдсөн функцийн графикийг модулийн тэмдгийн доор хавсаргасан бол зурах явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бид графын ординатууд нь сөрөг (х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг) бүхэлд нь тэгш хэмтэйгээр дээшээ тусгана: Зураг 4 16.

17 4.Үнэмлэхүй утгын тэмдгийн байршлаас хамаарч квадрат функцийн графикийн өөрчлөлт. y = x 2 - x -3 функцийн графикийг байгуул 1) x 0 үед x = x байх тул шаардлагатай график нь y = 0.25 x 2 - x - 3 параболатай давхцаж байна. Хэрэв x бол х.<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Иймд би x-ийн бүтээн байгуулалтыг дуусгана<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Зураг. 4 y = f (x) функцийн график нь аргументийн сөрөг бус утгуудын олонлог дээрх y = f (x) функцийн графиктай давхцаж, тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Аргументийн сөрөг утгуудын олонлог дээрх OU. Баталгаажуулалт: Хэрэв x 0 бол f (x) = f (x), i.e. Аргументийн сөрөг бус утгуудын олонлог дээр y = f (x) ба y = f (x) функцуудын графикууд давхцаж байна. y = f (x) нь тэгш функц тул түүний график нь op-amp-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Иймд y = f (x) функцийн графикийг y = f (x) функцийн графикаас дараах байдлаар гаргаж болно: 1. x>0 үед y = f (x) функцийн графикийг байгуулах; 2. x-ийн хувьд<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x-ийн хувьд<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Хэрэв x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ба тэгш хэмтэй туссан хэсэг y = f(x) үед y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0 бол f (x) = f (x) гэсэн үг бөгөөд энэ хэсэгт y = f (x) функцийн график нь y = f (x) функцийн графиктай давхцаж байна. Хэрэв f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Зураг.5 Дүгнэлт: y= f(x) функцийн график байгуулах 1. y=f(x) функцийн графикийг байгуул; 2. График нь доод талын хагас хавтгайд байрладаг хэсгүүдэд, өөрөөр хэлбэл f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 y = f (x) функцийн график байгуулах судалгааны ажил Үнэмлэхүй утгын тодорхойлолт болон өмнө авч үзсэн жишээнүүдийг ашиглан функцийн графикийг байгуулна: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2. -2, дүгнэлт гаргах. y = f (x) функцийн графикийг байгуулахын тулд: 1. x>0-ийн хувьд y = f (x) функцийн графикийг байгуулах. 2. Графикийн хоёр дахь хэсгийг байгуулах, өөрөөр хэлбэл, байгуулсан графикийг op-amp-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тусгах, учир нь Энэ функц нь жигд байна. 3. Үүссэн графикийн доод хагас хавтгайд байрлах хэсгүүдийг OX тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр дээд хагас хавтгайд хөрвүүлнэ. y = 2 x - 3 функцийн графикийг байгуул (Модулийг тодорхойлох 1-р арга) 1. y = 2 x - 3, 2 x - 3 > 0, x >1.5 гэж байгуулна. X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, x>0-ийн хувьд b) x-ийн хувьд<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 б) x-ийн хувьд<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Бид op-amp-ийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шулуун шугамыг байгуулдаг. 3) Би доод хагас хавтгайд байрлах графикийн хэсгүүдийг OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулав. Хоёр графикийг харьцуулж үзвэл тэдгээр нь адилхан болохыг бид харж байна. 21

22 Бодлогын жишээ Жишээ 1. y = x 2 6x +5 функцийн графикийг авч үзье. Х нь квадрат байх тул х тооны тэмдгээс үл хамааран квадрат болгосны дараа эерэг байх болно. Эндээс y = x 2-6x +5 функцийн график нь y = x 2-6x +5 функцийн графиктай ижил байх болно, өөрөөр хэлбэл. үнэмлэхүй утгын тэмдэг агуулаагүй функцийн график (Зураг 2). Зураг.2 Жишээ 2. y = x 2 6 x +5 функцийн графикийг авч үзье. Тооны модулийн тодорхойлолтыг ашиглан бид y = x 2 6 x +5 томьёог орлуулж байна. Одоо бид бидэнд сайн мэддэг хэсэгчилсэн хамаарлын даалгаврыг авч үзэж байна. Бид ийм график байгуулна: 1) y = x 2-6x +5 параболыг байгуулж, 22 гэсэн хэсгийг дугуйл.

23 нь x-ийн сөрөг бус утгуудтай тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. Ой тэнхлэгийн баруун талд байрлах хэсэг. 2) ижил координатын хавтгайд y = x 2 +6x +5 параболыг байгуулж, x-ийн сөрөг утгатай тохирох хэсгийг дугуйл, өөрөөр хэлбэл. Ой тэнхлэгийн зүүн талд байрлах хэсэг. Параболын дугуйлсан хэсгүүд нийлээд y = x 2-6 x +5 функцийн графикийг үүсгэнэ (Зураг 3). Зураг.3 Жишээ 3. y = x 2-6 x +5 функцийн графикийг авч үзье. Учир нь y = x 2 6x +5 тэгшитгэлийн график нь модулийн тэмдэггүй функцийн графиктай ижил байна (2-р жишээнд авч үзсэн) y = x 2 6 x +5 функцийн график ижил байна. 2-р жишээнд авч үзсэн y = x 2 6 x +5 функцийн график руу (Зураг 3). Жишээ 4. y = x 2 6x +5 функцийн графикийг байгуулъя. Үүний тулд y = x 2-6x функцийн графикийг байгуулъя. Үүнээс y = x 2-6x функцийн графикийг авахын тулд параболын цэг бүрийг сөрөг ординаттай ижил абсциссатай цэгээр, харин эсрэгээр (эерэг) ординатаар солих шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, х тэнхлэгийн доор байрлах параболын хэсгийг х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шугамаар солих ёстой. Учир нь бид y = x 2-6x +5 функцийн графикийг байгуулах хэрэгтэй, тэгвэл y = x 2-6x гэж үзсэн функцийн графикийг у тэнхлэгийн дагуу 5 нэгжээр дээш өргөхөд л хангалттай (Зураг 4). ). 23

24 Зураг 4 Жишээ 5. y = x 2-6x+5 функцийн графикийг байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид сайн мэддэг хэсэгчилсэн функцийг ашиглах болно. y = 6x +5 6x + 5 = 0 үед функцийн тэгүүдийг олъё. Хоёр тохиолдлыг авч үзье: 1) Хэрэв, тэгвэл тэгшитгэл нь y = x 2 6x -5 хэлбэртэй болно. Энэ параболыг байгуулж, хаана байгаа хэсгийг дугуйлцгаая. 2) Хэрэв, тэгвэл тэгшитгэл нь y = x 2 + 6x +5 хэлбэрийг авна. Энэ параболыг зогсоож, түүний координат бүхий цэгийн зүүн талд байрлах хэсгийг дугуйлцгаая (Зураг 5). 24

25 Зураг 5 Жишээ 6. y = x 2 6 x +5 функцийн графикийг байгуулъя. Үүний тулд y = x 2-6 x +5 функцийн графикийг байгуулна. Бид энэ графикийг жишээ 3-т бүтээсэн. Манай функц бүрэн модулийн тэмдгийн доор байгаа тул y = x 2 6 x +5 функцийн графикийг байгуулахын тулд y = x 2 функцийн графикийн цэг бүр хэрэгтэй. Сөрөг ординаттай 6 x + 5-ийг ижил абсциссатай цэгээр солих хэрэгтэй, гэхдээ эсрэгээр (эерэг) ординатаар, өөрөөр хэлбэл. Үхрийн тэнхлэгийн доор байрлах параболын хэсгийг Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шугамаар солих ёстой (Зураг 6). Зураг.6 25

26 II.Дүгнэлт “Математикийн мэдээллийг бүтээлчээр эзэмшсэн тохиолдолд л түүнийг чадварлаг, ашигтайгаар ашиглаж, оюутан өөрөө яаж түүнд хүрч болохыг өөрөө олж харна”. А.Н. Колмогоров. Эдгээр асуудлууд нь OGE шалгалтанд маш их тохиолддог тул 9-р ангийн сурагчдын сонирхлыг их татдаг. Функцийн өгөгдлийн графикийг бүтээх чадвар нь шалгалтыг илүү амжилттай өгөх боломжийг танд олгоно. Францын математикч Пьер Ферма (), Рене Декарт () нар функцийг муруй дээрх цэгийн ординатаас түүний абсциссаас хамаарах хамаарал гэж төсөөлжээ. Английн эрдэмтэн Исаак Ньютон () функцийг цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгдөж буй хөдөлгөөнт цэгийн координат гэж ойлгосон. 26

27 III. Ашигласан материал, эх сурвалжийн жагсаалт 1. Галицкий М.Л., Голдман А.М., Звавич Л.И. 8-9-р ангийн алгебрийн бодлогын түүвэр: Сурах бичиг. сургуулийн сурагчдад зориулсан гарын авлага. болон ахисан түвшний ангиуд суралцсан Математик 2-р хэвлэл. М .: Гэгээрэл, Дорофеев Г.В. Математик. Алгебр. Функцүүд. Мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх. 9-р анги: m34 Боловсролын. ерөнхий боловсролын чиглэлээр. байгуулах 2-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. М .: Bustard, Solomonik V.S. Математикийн асуулт, асуудлын цуглуулга М.: "Ахлах сургууль", Ященко И.В. ТЕГ. Математик: шалгалтын стандарт хувилбарууд: Сонголтуудын тухай.м.: “Үндэсний боловсрол”, х. 5. Ященко И.В. OGE. Математик: шалгалтын стандарт хувилбарууд: Сонголтуудын тухай.м.: “Үндэсний боловсрол”, х. 6. Ященко И.В. OGE. Математик: шалгалтын стандарт сонголт: Сонголтуудын тухай.м.: “Үндэсний боловсрол”, хамт

28 Хавсралт 28

29 Жишээ 1. y = x 2 функцийн графикийг зур 8 x Шийдэл. Функцийн паритетийг тодорхойлъё. y(-x)-ийн утга нь y(x)-ийн утгатай ижил тул энэ функц тэгш байна. Тэгвэл түүний график нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Бид x 0-ийн хувьд y = x 2 8x + 12 функцийг зурж, сөрөг x-ийн хувьд Oy-тэй харьцах графикийг тэгш хэмтэйгээр үзүүлэв (Зураг 1). Жишээ 2. y = x 2 8x хэлбэрийн дараах график Энэ нь функцийн графикийг дараах байдлаар гаргана гэсэн үг: y = x 2 8x + 12 функцийн графикийг барьж, графикийн дээрх хэсгийг орхи. Ox тэнхлэг өөрчлөгдөөгүй ба абсцисса тэнхлэгийн доор байрлах графикийн хэсэг ба Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна (Зураг 2). Жишээ 3. y = x 2 8 x + 12 функцийн графикийг зурахын тулд хувиргалтын хослолыг гүйцэтгэнэ: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Хариулт: Зураг 3. Жишээ 4 Модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл, x=2/3 цэг дээр тэмдэг өөрчлөгдөнө. x үед<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3-ийн хувьд функц нь дараах байдлаар бичигдэнэ: Өөрөөр хэлбэл, x=2/3 цэг нь бидний координатын хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн аль нэгэнд (баруун талд) бид функц, нөгөө хэсэгт нь функцийг байгуулдаг. (зүүн талд) функцийн графикийг байгуулна: Жишээ 5 Дараа нь График нь мөн эвдэрсэн боловч модулийн тэмдгийн дор хоёр илэрхийлэл агуулсан тул хоёр таслах цэгтэй: Дэд модуль илэрхийллүүд ямар цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгддөгийг харцгаая: Координатын шугам дээр дэд модуль илэрхийллийн тэмдгүүдийг байрлуул: 30

31 Бид эхний интервал дээр модулиудыг өргөжүүлнэ: Хоёр дахь интервал дээр: Гурав дахь интервал дээр: Тиймээс (- ; 1.5] интервал дээр бид эхний тэгшитгэлээр бичсэн график, интервал дээр хоёр дахь тэгшитгэлээр бичсэн график байна. , мөн интервал дээр)