Картууд

Сайн байна уу оюутан. Ойролцоогоор цуврал ашиглан DE-ийн тодорхой шийдлийг хэрхэн олох вэ? Мөр. Үндсэн ойлголтууд. Нэгдлийн зайлшгүй шинж тэмдэг

эрчим хүчний цуврал.

Эрчим хүчний цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх боломжтой.

Дараах хэлбэрийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

Хэрэв энэ тэгшитгэлийн бүх коэффициент ба баруун талыг тодорхой интервалд нийлэх болгон өргөжүүлбэл эрчим хүчний цуврал, тэгвэл энэ тэгшитгэлийн анхны нөхцөлийг хангасан тэг цэгийн зарим жижиг хороололд шийдэл байна.

Энэ шийдлийг чадлын цуваагаар илэрхийлж болно:

Шийдлийг олохын тулд үл мэдэгдэх тогтмолуудыг тодорхойлох шаардлагатай в би.

Энэ асуудлыг шийдэж болно тодорхойгүй коэффициентүүдийг харьцуулах арга. Хүссэн функцийн бичмэл илэрхийлэлийг анхны дифференциал тэгшитгэлд орлуулж, хүч чадлын цуваа (ялгарах, нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) бүхий л шаардлагатай үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

Дараа нь бид коэффициентүүдийг ижил градусаар тэгшитгэдэг Xтэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд. Үүний үр дүнд эхний нөхцөлийг харгалзан бид коэффициентүүдийг дараалан тодорхойлдог тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. в би.

Энэ арга нь шугаман бус дифференциал тэгшитгэлд бас хамаатай гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.Анхны нөхцөл бүхий тэгшитгэлийн шийдийг ол y(0)=1, y’(0)=0.

Бид тэгшитгэлийн шийдлийг маягтаас хайх болно

Бид үүссэн илэрхийлэлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

………………

Бид орлуулах замаар авдаг анхны нөхцөлХүссэн функц болон түүний анхны деривативын илэрхийлэл болгон:

Эцэст нь бид:

Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг арга бий. Энэ нь гэж нэрлэгддэг дараалсан ялгах арга.

Үүнтэй ижил жишээг харцгаая. Бид Маклаурины цувралд үл мэдэгдэх функцийг өргөтгөх хэлбэрээр дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно.

Өгөгдсөн эхний нөхцөл бол y(0)=1, y’(0)=0Анхны дифференциал тэгшитгэлд орлуулбал бид үүнийг олж авна

Хүлээн авсан утгыг орлуулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Фурье цуврал.

(Жан Батист Жозеф Фурье (1768 - 1830) - Францын математикч)

Тригонометрийн цуврал.

Тодорхойлолт.Тригонометрийн цувралхэлбэрийн цуврал гэж нэрлэдэг:

эсвэл товчхондоо,

Бодит тоо a i, b iтригонометрийн цувралын коэффициент гэж нэрлэдэг.

Хэрэв дээр дурдсан төрлийн цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь 2p үетэй үечилсэн функц болно, учир нь нүгэл үйлддэг nxболон cos nxМөн 2p үетэй үечилсэн функцууд.

Тригонометрийн цуваа сегмент дээр жигд нийлнэ [-p; p], тиймээс үечилсэн байдлаас шалтгаалан аль ч сегмент дээр, түүний нийлбэр нь тэнцүү байна f(x).

Энэ цувралын коэффициентийг тодорхойлъё.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид дараахь тэгшитгэлийг ашиглана.

Эдгээр тэгш байдлын хүчинтэй байдал нь тэдгээрийг интегралд хэрэглэхээс хамаарна тригонометрийн томъёо. Дэлгэрэнгүй мэдээллийг Тригонометрийн функцуудыг нэгтгэх тухай үзнэ үү.

Учир нь функц f(x)[-p интервал дээр тасралтгүй байна; p], тэгвэл интеграл байна

Үүний үр дүнд ийм үр дүнд хүрч байна.

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

Үүний нэгэн адил бид функцийн цуваа тэлэлтийн илэрхийллийг нүгэлээр үржүүлдэг nxба -p-ээс p хүртэлх мужид интеграци хийнэ.

Бид авах:

Коэффицентийн илэрхийлэл a 0коэффициентийг илэрхийлэх онцгой тохиолдол юм a n.

Тиймээс хэрэв функц f(x)– 2p үеийн аливаа үечилсэн функц, [-p интервал дээр тасралтгүй; p] эсвэл энэ сегмент дээр эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүд, дараа нь коэффициентүүд

байдаг ба дуудагддаг Фурье коэффициентүүдфункцийн хувьд f(x).

Тодорхойлолт.Фурьегийн ойролцоофункцийн хувьд f(x)коэффициентүүд нь Фурьегийн коэффициентүүд болох тригонометрийн цуваа гэж нэрлэгддэг. Хэрэв функцийн Фурье цуваа f(x)үүнтэй тасралтгүй байдлын бүх цэгүүдэд нийлдэг бол бид функц гэж хэлнэ f(x)Фурье цуврал болж өргөжсөн.

Фурье цувралын задралын хангалттай шинж тэмдэг.

Теорем. (Дирихлетийн теорем) Хэрэв f(x) функц нь 2p үетэй ба хэрчим дээр

[-p;p] нь тасралтгүй буюу эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүд ба сегмент

[-p;p]-ийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж болох тул тэдгээрийн дотор f(x) функц нь монотон байх ба f(x) функцийн Фурье цуврал нь x-ийн бүх утгуудад нийлдэг. ба f(x) функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд түүний нийлбэр нь f(x)-тэй тэнцүү, тасалдлын цэгүүдэд нийлбэр нь , өөрөөр хэлбэл. зүүн ба баруун талын хязгаарын утгын арифметик дундаж. Энэ тохиолдолд f(x) функцийн Фурье цуваа f(x) функцийн тасралтгүй байдлын интервалд хамаарах дурын сегмент дээр жигд нийлдэг.

Дирихлегийн теоремын нөхцөл хангагдсан f(x) функцийг нэрлэнэ хэсэгчилсэн монотон[-p;p] сегмент дээр.

Теорем. Хэрэв f(x) функц нь 2p үетэй бол нэмэлтээр f(x) ба түүний уламжлал f’(x) – тасралтгүй функцууд[-p;p] интервал дээр эсвэл энэ интервал дээр эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүд байвал f(x) функцийн Фурье цуврал нь x-ийн бүх утгууд болон цэгүүдэд нийлдэг. Тасралтгүй байдлын нийлбэр нь f(x) -тэй тэнцүү, тасалдалтай цэгүүд нь -тэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд f(x) функцийн Фурье цуваа f(x) функцийн тасралтгүй байдлын интервалд хамаарах дурын сегмент дээр жигд нийлдэг.

Энэ теоремын нөхцлийг хангасан функцийг нэрлэнэ хэсэгчлэн - гөлгөр[-p;p] сегмент дээр.

Үелэх бус функцийн Фурье цувралын өргөтгөл.

Үелэх бус функцийг Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх асуудал нь зарчмын хувьд үечилсэн функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөтгөхөөс ялгаагүй юм.

Функцийг хэлье f(x)интервал дээр өгөгдсөн бөгөөд энэ интервалд хэсэгчлэн монотон байна. Дурын үечилсэн хэсэгчилсэн монотон функцийг авч үзье f 1 (x)хугацаатай 2Т ³ ïb-aï, сегмент дээрх f(x) функцтэй давхцаж байна.

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Тиймээс функц f(x)нэмэгдсэн байна. Одоо функц f 1 (x)Фурье цуврал болж өргөжсөн. Сегментийн бүх цэг дээрх энэ цувралын нийлбэр нь функцтэй давхцаж байна f(x),тэдгээр. функц гэж бид таамаглаж болно f(x)сегмент дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлсэн.

Иймд f(x) функцийг 2p-тэй тэнцүү интервалд өгвөл энэ нь үечилсэн функцийн цуваа тэлэлтээс ялгаагүй болно. Хэрэв функц өгөгдсөн сегмент нь 2p-ээс бага бол функцийг (b, a + 2p) интервал руу сунгаж, Фурьегийн цуваа руу тэлэх нөхцөлийг хадгална.

Ерөнхийдөө энэ тохиолдолд өгөгдсөн функцийг 2p урттай сегмент (интервал) дээр үргэлжлүүлэх ажлыг хязгааргүй олон аргаар гүйцэтгэж болох тул үр дүнгийн цувааны нийлбэр өөр байх боловч тэдгээр нь өгөгдсөнтэй давхцах болно. сегмент дээрх f(x) функц.

Тэгш ба сондгой функцүүдэд зориулсан Фурье цуврал.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

2) Тэгш ба сондгой хоёр функцийн үржвэр нь тэгш функц юм.

3) Тэгш ба сондгой функцүүдийн үржвэр нь сондгой функц юм.

Эдгээр шинж чанаруудын үнэн зөвийг тэгш ба сондгой функцүүдийн тодорхойлолт дээр үндэслэн хялбархан баталж болно.

Хэрэв f(x) нь Фурье цувааны тэлэлтийн нөхцөлийг хангасан 2p үетэй тэгш үечилсэн функц бол бид дараахийг бичиж болно.

Ийнхүү тэгш функцийн хувьд Фурье цувралыг бичнэ.

Үүний нэгэн адил бид сондгой функцийн хувьд Фурье цувралын өргөтгөлийг олж авна.

Жишээ.[-p;p] интервал дээр T = 2p үетэй үечилсэн функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл.

Өгөгдсөн функц нь сондгой тул Фурьегийн коэффициентийг дараах хэлбэрээр хайна.

Тодорхойлолт.Функцийн ортогональ системийн Фурье цуврал j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x)-ийг дараах хэлбэрийн цуваа гэж нэрлэдэг.

коэффициентийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Хаана f(x)= нь функцүүдийн ортогональ системийн дагуу хэрчим дээр жигд нийлдэг цувааны нийлбэр юм. f(x) -Үргэлжилсэн эсвэл сегмент дээрх эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай аливаа функц.

Ортонормаль функцүүдийн системийн хувьд коэффициентийг дараахь байдлаар тодорхойлно.

Компьютерийн хувилбарыг ашиглах үед " Дээд математикийн курс” дурын функцийг Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх програмыг ажиллуулах боломжтой.

Тейлорын цуврал. Маклаурин цуврал

Цэгийн ойролцоо хязгааргүй олон удаа дифференциалагдах функц байг, i.e. ямар ч дарааллын деривативтай. Нэг цэг дэх функцийн Тейлорын цуврал нь чадлын цуваа юм

Цувралын онцгой тохиолдолд (1.8) Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг:

Асуулт гарч ирнэ: Цэгийн ойролцоо хязгааргүй олон удаа дифференциаллагдсан функцийн Тейлорын цуврал ямар тохиолдолд функцтэй давхцдаг вэ?

Функцийн Тейлорын цуваа нийлдэг ч нийлбэр нь тэнцүү биш байх тохиолдол байдаг

Функцийн Тейлорын цувралыг энэ функцэд нэгтгэх хангалттай нөхцөлийг үзүүлье.

Теорем 1.4: хэрэв функц нь интервалд ямар нэгэн эрэмбийн деривативтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд үнэмлэхүй утгаараа ижил тоогоор хязгаарлагддаг, өөрөөр хэлбэл. Дараа нь энэ функцийн Тейлорын цуврал нь энэ интервалын аль нэгэнд нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал бий

Энэ тэгш байдал нь нийлэх интервалын төгсгөлд байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд тусдаа судалгаа хийх шаардлагатай.

Хэрэв функцийг хүчирхэг цуваа болгон өргөтгөсөн бол энэ цуврал нь энэ функцийн Тейлор (Маклаурин) цуврал бөгөөд энэ өргөтгөл нь өвөрмөц гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дифференциал тэгшитгэл

Энгийн дифференциал тэгшитгэлАргумент функцийн n-р дарааллыг хэлбэрийн хамаарал гэнэ

түүний аргументуудын өгөгдсөн функц хаана байна.

Математикийн тэгшитгэлийн энэ ангийн нэрээр "дифференциал" гэсэн нэр томъёо нь тэдгээрт дериватив (дифференциалын үр дүнд үүссэн функц) орно гэдгийг онцлон тэмдэглэв. "ердийн" гэсэн нэр томъёо нь хүссэн функц нь зөвхөн нэг бодит аргументаас хамаарна гэдгийг харуулж байна.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл нь хүссэн функц болон түүний деривативын аргументыг тодорхой агуулаагүй байж болох ч хамгийн өндөр деривативыг n-р эрэмбийн тэгшитгэлд оруулах ёстой.

Жишээлбэл,

A) - эхний эрэмбийн тэгшитгэл;

B) - гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл.

Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг бичихдээ үүсмэлийг дифференциалаар тэмдэглэхийг ихэвчлэн ашигладаг.

B) - хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл;

D) - эхний эрэмбийн тэгшитгэл нь эквивалент хэлбэрээр хуваагдсаны дараа дараахь тэгшитгэлийг үүсгэдэг.

Функцийг ердийн дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар ижил төстэй байдал болж хувирвал түүнийг шийд гэж нэрлэдэг.

Нэг буюу өөр аргаар, жишээлбэл сонгох, тэгшитгэлийг хангасан нэг функцийг олох нь үүнийг шийдэх гэсэн үг биш юм. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь тэгшитгэлд орлуулах үед ижил төстэй байдлыг үүсгэдэг бүх функцийг олохыг хэлнэ. (1.10) тэгшитгэлийн хувьд ийм функцүүдийн бүлгийг дурын тогтмолуудыг ашиглан үүсгэсэн бөгөөд үүнийг n-р эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд тогтмолуудын тоо нь тэгшитгэлийн дараалалтай давхцдаг: Ерөнхий шийдэл нь тийм биш байж болно. талаар тодорхой шийдвэрлэнэ Энэ тохиолдолд уг шийдлийг (1.10) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэдэг.

Ерөнхий шийдэл эсвэл ерөнхий интеграл дахь бүх дурын тогтмолуудад зарим зөвшөөрөгдөх утгыг оноож өгснөөр бид дурын тогтмолуудыг агуулаагүй тодорхой функцийг олж авдаг. Энэ функцийг (1.10) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл эсвэл хэсэгчилсэн интеграл гэж нэрлэдэг. Дурын тогтмолуудын утгыг олохын тулд (1.10) тэгшитгэлийн янз бүрийн нэмэлт нөхцлийг ашигладаг. Жишээлбэл, анхны нөхцөл гэж нэрлэгддэг зүйлийг дараахь хаягаар тодорхойлж болно.

Анхны нөхцлийн баруун талд (1.11) функц ба деривативын тоон утгыг өгсөн болно. нийт тооэхний нөхцөл нь тодорхойлогдсон дурын тогтмолуудын тоотой тэнцүү байна.

Анхны нөхцлөөр (1.10) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох бодлогыг Коши бодлого гэнэ.

Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх

Ерөнхий тохиолдолд нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг (ODE) интеграллах замаар яг шийдлийг олох боломжгүй юм. Түүнээс гадна, энэ нь ODE системийн хувьд боломжгүй юм. Энэ нөхцөл байдал нь бүтээлийг бий болгоход хүргэсэн их тоо ODE болон тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх ойролцоо аргууд. Ойролцоо аргуудын дотроос аналитик, график, тоон гэсэн гурван бүлгийг ялгаж салгаж болно. Мэдээжийн хэрэг, ийм ангилал нь тодорхой хэмжээгээр дур зоргоороо байдаг. Жишээлбэл, Эйлерийн тасархай шугамын график арга нь дифференциал тэгшитгэлийг тоон аргаар шийдвэрлэх аргуудын нэгд тулгуурладаг.

Эрчим хүчний цуваа ашиглан ODE-ийг нэгтгэх нь ойролцоогоор хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэлд хэрэглэгддэг ойролцоогоор аналитик арга юм. Хялбар болгохын тулд бид хувьсах коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн ODE-ийг авч үзэхээр хязгаарладаг.

Анхаарна уу: нэлээд өргөн хүрээний функцуудыг маягтаар илэрхийлж болно

зарим тогтмолууд хаана байна. Энэ илэрхийлэлийг хүчний цуваа гэж нэрлэдэг.

Функцуудыг интервалаар нэгтгэх цуврал болгон өргөжүүлж болно гэж үзье.

Дараах теоремыг баримтална (нотолгоо орхигдуулбал бид зөвхөн түүний томъёоллыг танилцуулж байна).

Теорем 1.5: Хэрэв функцүүд нь (1.13) хэлбэртэй байвал ODE (1.12)-ын аливаа шийдлийг дараах үед нийлдэг хүчний цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ теорем нь шийдийг чадлын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог төдийгүй хамгийн чухал нь цувралын нийлэлтийг зөвтгөдөг (1.14). Хялбар болгохын тулд бид (1.13) ба (1.14) -ийг оруулаад ODE (1.12) -ийн шийдлийг маягтаас хайж байна.

(1.15)-ыг (1.12) орлуулснаар бид тэгш байдлыг олж авна

(1.16)-ыг биелүүлэхийн тулд градус тус бүрийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай.

Энэ нөхцлөөс бид хязгааргүй шугаман системийг олж авдаг алгебрийн тэгшитгэл

үүнээс утгуудыг тохируулсан эсэхийг дараалан олж болно (ODE (1.12)-д зориулсан Коши асуудлын хувьд тэдгээрийг эхний нөхцөлд оруулсан болно).

Хэрэв функцууд нь оновчтой бол, i.e.

олон гишүүнт хаана байна, тэгвэл зэрэглэлийн цуваа хэлбэрийн аль нэг шийдэл байхгүй байж болох цэгүүдийн ойролцоо, хэрэв байгаа бол энэ нь тухайн цэгээс бусад бүх газарт зөрөх боломжтой. хэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзсэн

Энэ тэгшитгэлийг чадлын цуваа хангана

Гэсэн хэдий ч, энэ цуврал нь хэний ч хувьд ялгаатай гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм

Дивергент хүчний цуваа хэлбэрээр ODE-ийн шийдлийг албан ёсны гэж нэрлэдэг.

БНКазахстан УЛСЫН БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ

Хойд Казахстан улсын их сургууль

тэд. М.Козыбаева

Мэдээллийн технологийн факультет

Математикийн тэнхим

Курсын ажил хамгаалагдсан

"___________" үнэлгээтэй

"___"___________ 2013 он

толгой хэлтэс___________

А.Тажигитов

Математикийн курсын ажил

"ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГТҮҮДИЙН ИНТЕГРАЛЬ

ЭРЧИМ ХҮЧНИЙ ЦУВРАЛ АШИГЛАХ"

ДАРГА: Валеева М.Б. ___________

Петропавловск 2013 он

АДАПТА

Бэрилгэн курстык жумыста каттармэн жане дифференциал тендэлэрмэн байланысты онолын сурактар карастыралган. Дифференциалууд ендемегийн интегралдауынн жишээDERы zhәne manğaz lARDïnïn kïmïnïn karïsïyalı.

ТАЙЛБАР

Энэ нь курсын ажилЦуврал ба дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой онолын асуудлыг авч үзнэ. Хүч чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх жишээг авч үзнэ.

өгөгдсөн ажил нь цуврал ба дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой онолын асуултууд гэж тооцогддог. Эрчим хүчний цувааг ашиглан интеграцийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн жишээг авч үзсэн.

ОРШИЛ

Цуврал ба дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой үндсэн ойлголтууд

1 мөр. Үндсэн ойлголтууд. Нэгдлийн зайлшгүй шинж тэмдэг

2 Эрчим хүчний цуврал. Хүч чадлын цувааны шинж чанарууд

3 Тейлор Роу. Маклаурин цуврал

4 Дифференциал тэгшитгэл

5 Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх

Дифференциал тэгшитгэлийг ИНТЕГРАЛАХАД ХҮЧНИЙ ЦУВРАЛ АШИГЛАХ ЖИШЭЭ

1 Айри тэгшитгэл

2 Бесселийн тэгшитгэл

3 Интеграцийн жишээ

4 Maple дахь интеграцийн жишээ

ДҮГНЭЛТ

ОРШИЛ

"Дифференциал тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёо нь Лейбницээс гаралтай (1676, 1684 онд хэвлэгдсэн). Дифференциал тэгшитгэлийн талаархи судалгааны эхлэл нь Лейбниц, Ньютон нарын үеэс эхэлсэн бөгөөд тэдний бүтээлүүдэд ийм тэгшитгэлд хүргэдэг анхны асуудлуудыг судалж байжээ. Лейбниц, Ньютон, ах дүү Ж., И.Бернулли нар энгийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргыг боловсруулсан. Бүх нийтийн аргын хувьд дифференциал тэгшитгэлийн интегралыг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх аргыг ашигласан.

Өнөө үед өндөр хүчин чадалтай тооцоолох хэрэгслүүд бий болсонтой холбоотой тооцооллын аргыг шинжлэх ухаанд өргөнөөр нэвтрүүлж байгаа нь математикийн янз бүрийн салбарууд, ялангуяа энгийн дифференциал тэгшитгэлийн онолын хэсгүүдийн ач холбогдлыг дахин үнэлэхийг шаарддаг. Одоогийн байдлаар дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн чанарын судалгааны аргууд, түүнчлэн шийдлийг ойролцоогоор олох аргуудын ач холбогдол нэмэгдэж байна.

Олон дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энгийн функцууд эсвэл квадратуудаар илэрхийлэгдээгүй. Эдгээр тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх ойролцоо аргыг ашигладаг. Ийм аргуудын нэг нь тэгшитгэлийн шийдийг чадлын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм; энэ цувралын хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэр нь хүссэн шийдэлтэй ойролцоогоор тэнцүү байх болно. Энэ нь сонгосон судалгааны сэдвийн хамаарлыг тодорхойлдог.

Энэхүү ажлын зорилго: дифференциал тэгшитгэлийн интеграцчлалд чадлын цувааны аргыг ашиглахыг харуулах.

Судалгааны объект нь чадлын цувааны аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх үйл явц юм.

Судалгааны сэдэв нь дифференциал тэгшитгэлийг чадлын цуваагаар нэгтгэх хэлбэр, арга, хэрэгсэл юм.

Зорилгодоо нийцүүлэн энэхүү ажлын үндсэн зорилтуудыг дараахь байдлаар тодорхойлж болно.

Цуврал ба дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой үндсэн ойлголтуудыг авч үзье.

Хүч чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргад дүн шинжилгээ хий.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эрчим хүчний цуврал аргыг хэрэглэнэ.

Ажлын бүтэц: гарчиг, ажлын даалгаварын маягт, хураангуй, агуулга, танилцуулга, үндсэн хэсэг, дүгнэлт, ашигласан материалын жагсаалт.

Ажлын үндсэн хэсэг нь хоёр бүлгээс бүрдэнэ. Эхний бүлэгт цуваа, хүчний цуваа, Тейлорын цуваа, дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтуудыг нээнэ. Хоёрдугаар бүлэгт дифференциал тэгшитгэлийг чадлын цуваагаар нэгтгэх жишээг авч үзнэ.

Ажлын онолын хэсгийг судлахын тулд ашигласан уран зохиолын жагсаалтад заасан боловсролын уран зохиол, тогтмол хэвлэлүүдийн материалыг ашигласан.

Ажлын хэмжээ: 26 хуудас.

1. ЦУВРАЛ БА дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой үндсэн ойлголтууд

1.1 Мөр. Үндсэн ойлголтууд. Нэгдлийн зайлшгүй шинж тэмдэг

Математикийн хэрэглээ, түүнчлэн эдийн засаг, статистик болон бусад салбарын зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд хязгааргүй тооны нэр томъёо бүхий нийлбэрүүдийг авч үздэг. Энд бид ийм хэмжээгээр юу гэсэн үг болохыг тодорхойлох болно.

Хязгааргүй тооны дарааллыг өгье. Тоон цуваа эсвэл энгийн цуваа нь хэлбэрийн илэрхийлэл (нийлбэр) юм

,(1.1)

тоонуудыг цувралын гишүүд гэж нэрлэдэг - нийтлэг эсвэл n-р улиралэгнээ.

Цувралыг (1.1) тодорхойлохын тулд цувралын n-р гишүүнийг тоогоор нь тооцоолох натурал аргументын функцийг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээ 1.1. Let . Мөр

(1.2)

гармоник цуврал гэж нэрлэдэг.

Цувралын нөхцлөөс (1.1) бид үүсгэдэг тооны дараалалхэсэгчилсэн дүн Хаана - n-р хэсэгчилсэн нийлбэр гэж нэрлэгддэг цувралын эхний гишүүдийн нийлбэр, i.e.

(1.3)

Тооны дараалал Хязгааргүй тооны өсөлтөөр дараахь зүйлийг хийх боломжтой.

) хязгаартай байх;

) хязгааргүй (хязгаар нь байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү).

Хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал (1.3) нь хязгаарлагдмал хязгаартай бол (1.1) цувралыг нийлэх гэж нэрлэдэг.

Энэ тохиолдолд тоог цувралын нийлбэр (1.1) гэж нэрлээд бичнэ

Хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалалд төгсгөлийн хязгаар байхгүй бол (1.1) цувралыг дивергент гэж нэрлэдэг. Дивергент цувралд нийлбэр оноогдоогүй.

Ийнхүү нийлсэн цувааны нийлбэрийг олох бодлого (1.1) нь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаарыг тооцоолохтой тэнцүү байна.

Теоремын баталгаа нь үүнээс үүдэлтэй , мөн хэрэв

S нь цувралын нийлбэр (1.1), тэгвэл

Нөхцөл (1.4) нь цувааг нэгтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай боловч хангалтгүй нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, цувралын нийтлэг гишүүн нь -д тэг болох хандлагатай байвал энэ нь цуваа нийлнэ гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, гармоник цувралын хувьд (1.2)

Гэсэн хэдий ч энэ нь ялгаатай.

Үр дүн (цувралын зөрүүний хангалттай шинж тэмдэг): хэрвээ цувааны нийтлэг гишүүн тэг рүү чиглэхгүй бол энэ цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ 1.2. Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Энэ цувралын хувьд, энэ цуврал нь ялгаатай.

1.1 1.2 Эрчим хүчний цуврал. Хүч чадлын цувааны шинж чанарууд

Эрчим хүчний цуваа нь функциональ цувралын онцгой тохиолдол юм.

Хүчтэй цуваа нь хэлбэрийн функциональ цуврал юм

энд чадлын цувааны коэффициент гэж нэрлэгддэг тогтмол бодит тоонууд байна;

Зарим тогтмол тоо;

Бодит тооны олонлогоос утгыг авдаг хувьсагч.

Эрчим хүчний цуваа (1.5) хэлбэрийг авах үед

(1.6)

Хүчтэй цувааг (1.5) зэрэглэлийн цуврал гэж нэрлэдэг (1.6) нь хувьсагчд ямар нэгэн утга өгөгдсөн бол (1.5) (эсвэл (1.6)) зэрэглэлийн цуваа тоо болж хувирна. нийлж эсвэл салж болох цувралууд.

Хүч чадлын цувааны нийлэх муж нь чадлын цуваа нийлдэг утгуудын багц юм.

Теорем 1.2 (Абелийн теорем): хэрвээ (1.6) зэрэглэлийн цуваа нийлдэг бол тэгш бус байдлыг хангасан бүх утгуудад туйлын нийлдэг, харин (1.6) цуваа зөрүүтэй байвал тэгш бус байдлыг хангасан бүх утгуудын хувьд зөрүүтэй байна.

Абелын теорем нь хүч чадлын цуваа нийлэх мужийн бүтцийн талаар тодорхой ойлголт өгдөг.

Теорем 1.3: (1.6) зэрэглэлийн цувааны нэгдэх муж нь дараах интервалуудын аль нэгтэй давхцаж байна.

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

зарим нь сөрөг биш хаана байна бодит тооэсвэл

Тоо нь нэгдэх радиус, интервалыг чадлын цуваа (1.6) нийлэх интервал гэж нэрлэдэг.

Хэрэв нийлэх интервал нь бүх тооны шугамыг илэрхийлнэ

Хэрэв дараа нь нэгдэх интервал нь цэг хүртэл буурдаг

Тайлбар: хэрэв чадлын цуваа (1.2) нийлэх интервал байвал - чадлын цуваа (1.5) нийлэх интервал.

Теорем 1.3-аас үзэхэд (1.6) хүчний цувааны нийлэх мужийг бодитоор олохын тулд түүний ойрын радиусыг олж, нийлэх интервалын төгсгөлд энэ цувралын нийлэх тухай асуултыг тодруулахад хангалттай, өөрөөр хэлбэл. болон

Хүчний цувааны нийлэх радиусыг дараах томъёоны аль нэгийг ашиглан олж болно.

d'Alembert-ийн томъёо:

Коши томъёо:

Жишээ 1.3. Хүчний цувааны нэгдэх радиус, нийлэх интервал, нийлэх мужийг ол

Энэ цувралын нэгдэх радиусыг томъёогоор олъё

Манай тохиолдолд

Иймээс энэ цувралын нэгдэх интервал нь хэлбэртэй байна

Нэгдэх интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг судалъя.

гармоник цуваа шиг хуваагддаг.

Хүчний цуваа тоон цуваа болж хувирах үед

Энэ бол ээлжлэн цуврал бөгөөд нэр томъёо нь үнэмлэхүй утгыг бууруулдаг

Тиймээс Лейбницийн шалгуурын дагуу энэ тооны цуваа нийлдэг.

Тиймээс интервал нь өгөгдсөн чадлын цуваа нийлэх муж юм.

Эрчим хүчний цуваа (1.6) нь нийлэх интервалд тодорхойлогдсон функц юм, i.e.

Функцийн зарим шинж чанарууд энд байна:

Property 1. Функц нь нийлэх интервалд хамаарах дурын сегмент дээр тасралтгүй байна

Өмч 2. Функц нь интервал дээр дифференциалагдах ба түүний уламжлалыг (1.6) цувралын гишүүнээр ялгах замаар олж болно, өөрөөр хэлбэл.

бүгдэд нь

Өмч 3. Бүгдэд зориулагдсан функцийн тодорхойгүй интегралыг (1.6) цувралын гишүүнчлэлээр интеграл болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл.

бүгдэд нь

Эрх мэдлийн цувааг нэр томъёогоор ялгах, интеграци хийх үед түүний ойртох радиус өөрчлөгдөхгүй, харин интервалын төгсгөлд ойртох нь өөрчлөгдөж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дээрх шинж чанарууд нь чадлын цувралд (1.5) мөн хүчинтэй байна.

Жишээ 1.4. Эрчим хүчний цувралыг авч үзье

Энэ цувралын нийлэх муж нь жишээ 1.3-т үзүүлсэн шиг интервал юм

Энэ цуврал нэр томъёог нэр томъёогоор нь ялгаж үзье:

(1.7)

Конвергенцийн интервалын төгсгөлд энэ цувралын зан төлөвийг судалж үзье.

Шаардлагатай нийлэх шалгуур хангагдаагүй тул энэ тооны цуваа зөрүүтэй байна

аль нь байхгүй.

Эрчим хүчний цуваа (1.7) тоон цуваа болж хувирах үед

шаардлагатай нийлэх шалгуур хангагдаагүй тул мөн адил зөрүүтэй байна.

Үүний үр дүнд анхны чадлын цувааг нэр томъёогоор ялгах замаар олж авсан чадлын цувааны нийлэх муж өөрчлөгдөж, интервалтай давхцаж байна.

1.3 Тейлорын цуврал. Маклаурин цуврал

Цэгийн ойролцоо хязгааргүй олон удаа дифференциалагдах функц байг, өөрөөр хэлбэл. ямар ч дарааллын деривативтай. Нэг цэг дэх функцийн Тейлорын цуврал нь чадлын цуваа юм

(1.8)

Цувралын онцгой тохиолдолд (1.8) Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг:

Асуулт гарч ирнэ: Ямар тохиолдолд цэгийн ойролцоо хязгааргүй олон удаа дифференциаллагдсан функцийн Тейлорын цуваа функцтэй давхцдаг вэ?

Функцийн Тейлорын цуваа нийлдэг ч нийлбэр нь тэнцүү биш байх тохиолдол байдаг

Функцийн Тейлорын цувралыг энэ функцэд нэгтгэх хангалттай нөхцөлийг танилцуулъя.

Теорем 1.4: хэрэв интервалд байгаа бол Функц нь дурын дарааллын деривативтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд үнэмлэхүй утгаараа ижил тоогоор хязгаарлагддаг. дараа нь энэ функцийн Тейлорын цуврал нь энэ интервалын аль нэгэнд нийлдэг тэдгээр. тэгш байдал бий

1.4 Дифференциал тэгшитгэл

Аргументын функцийн n-р эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн хамаарал юм.

түүний аргументуудын өгөгдсөн функц хаана байна.

Жишээлбэл,

A) - эхний эрэмбийн тэгшитгэл;

B) - гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл.

Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг бичихдээ үүсмэлийг дифференциалаар тэмдэглэхийг ихэвчлэн ашигладаг.

IN) - хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл;

G) - эхний эрэмбийн тэгшитгэл нь эквивалент хэлбэрээр хуваагдсаны дараа дараах тэгшитгэлийг үүсгэдэг.

Анхны нөхцлийн баруун талд (1.11) функц ба деривативын тоон утгыг зааж өгсөн бөгөөд эхний нөхцлийн нийт тоо нь тодорхойлсон дурын тогтмолуудын тоотой тэнцүү байна.

Анхны нөхцлөөр (1.10) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох бодлогыг Коши бодлого гэнэ.

1.5 Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх

Ерөнхий тохиолдолд нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг (ODE) интеграллах замаар яг шийдлийг олох боломжгүй юм. Түүнээс гадна, энэ нь ODE системийн хувьд боломжгүй юм. Энэ нөхцөл байдал нь ODE болон тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх олон тооны ойролцоо аргыг бий болгоход хүргэсэн. Ойролцоо аргуудын дотроос аналитик, график, тоон гэсэн гурван бүлгийг ялгаж салгаж болно. Мэдээжийн хэрэг, ийм ангилал нь тодорхой хэмжээгээр дур зоргоороо байдаг. Жишээлбэл, Эйлерийн тасархай шугамын график арга нь дифференциал тэгшитгэлийг тоон аргаар шийдвэрлэх аргуудын нэгд тулгуурладаг.

(1.12)

Анхаарна уу: нэлээд өргөн хүрээний функцуудыг маягтаар илэрхийлж болно

зарим тогтмолууд хаана байна. Энэ илэрхийлэлийг хүчний цуваа гэж нэрлэдэг.

Функцуудыг интервалаар нэгтгэх цуврал болгон өргөжүүлж болно гэж үзье.

Дараах теоремыг баримтална (нотолгоо орхигдуулбал бид зөвхөн түүний томъёоллыг танилцуулж байна).

(1.14)

(1.15)

(1.15)-ыг (1.12) орлуулснаар бид тэгш байдлыг олж авна

(1.16)-ыг биелүүлэхийн тулд градус тус бүрийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай.

Энэ нөхцлөөс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн хязгааргүй системийг олж авна

Үүнээс бид утгуудыг тохируулсан бол дараалан олж болно (ODE (1.12)-д зориулсан Коши асуудлын хувьд тэдгээрийг эхний нөхцөлд оруулсан болно) ).

Хэрэв функцууд нь оновчтой бол, i.e.

Энэ тэгшитгэлийг чадлын цуваа хангана

Гэсэн хэдий ч, энэ цуврал нь хэний ч хувьд ялгаатай гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм

Дивергент хүчний цуваа хэлбэрээр ODE-ийн шийдлийг албан ёсны гэж нэрлэдэг.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГЛИЙГ ИНТЕГРАЛАХ ХЭРЭГСЛИЙН ЦУВРАЛ АШИГЛАХ ЖИШЭЭ.

Агаарын тэгшитгэл

Эйри тэгшитгэлийн шийдэл

Бид эрчим хүчний цуваа (1.15) хэлбэрээр хайх болно. Дараа нь тэгш байдал (1.16) хэлбэрийг авна

коэффициент нь тэнцүү Тиймээс коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байхаас бид for коэффициент нь тэнцүү болохыг олж мэдэв. Эндээс

Энэ томъёоноос бид олж авна

Үүнтэй адилаар бид олдог

Магадлал тодорхойгүй хэвээр байна. Шийдлийн үндсэн системийг олохын тулд бид эхлээд тохируулна тэгээд эсрэгээрээ. Эхний тохиолдолд бидэнд байна

мөн хоёрдугаарт

Теорем 1.5-д үндэслэн эдгээр цувралууд нь тооны шулууны хаа сайгүй нийлдэг

Функцуудыг Airy функцууд гэж нэрлэдэг. Их хэмжээний утгуудын хувьд эдгээр функцүүдийн асимптот шинж чанарыг томъёогоор дүрсэлсэн болно

Эдгээр функцүүдийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1

Хязгааргүй өсөхөд Эйри тэгшитгэлийн аливаа шийдийн тэг нь хязгааргүй ойртож байгаа нь эдгээр шийдлүүдийн асимптот дүрслэлээс тодорхой харагдаж байгаа боловч Эйри функцийг нийлэх хүч хэлбэрээр дүрсэлсэнээс огтхон ч тодорхой биш юм. цуврал. Эндээс харахад цувралыг ашиглан ODE-ийн шийдлийг олох арга нь ерөнхийдөө үүнийг шийдвэрлэхэд бага ач холбогдолтой юм. хэрэглээний асуудлууд, мөн шийдлийг цуврал хэлбэрээр дүрсэлсэн нь үүссэн уусмалын чанарын шинж чанарыг шинжлэхэд хэцүү болгодог.

2.1 Бесселийн тэгшитгэл

хэлбэртэй, хувьсах коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэл

Бесселийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Бид (2.1) тэгшитгэлийн шийдлийг ерөнхий чадлын цуваа хэлбэрээр хайх болно, өөрөөр хэлбэл. хээрийн цувралын тодорхой хэмжээний бүтээгдэхүүн:

(2.2)

Ерөнхий чадлын цувааг тэгшитгэлд (2.1) орлуулж, тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хүч тус бүрийн коэффициентийг тэгтэй тэнцүүлэх замаар бид системийг олж авна.

Энэ системээс бид системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс Let After-ийг олоод 3,5,7,... утгыг өгч байгаа тэгшитгэлээс тэгш тоотой коэффициентүүдийн хувьд бид илэрхийлэлүүдийг олж авна гэж дүгнэж байна.

Олдсон коэффициентүүдийг цувралд (2.2) орлуулснаар бид шийдлийг олж авна

коэффициент нь дур зоргоороо хэвээр байна.

Бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоотой тэнцүү биш тохиолдолд л ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Дараа нь өмнөх уусмал дахь утгыг дараах байдлаар орлуулах замаар шийдлийг гаргаж болно.

Үүссэн чадлын цуваа нь -ийн бүх утгуудад нийлдэг бөгөөд үүнийг D'Alembert-ийн тест дээр үндэслэн хялбархан тогтоодог. Шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь тэдгээрийн харьцаа тогтмол биш юм.

Тогтмол тоогоор үржүүлсэн уусмал Эхний төрлийн эрэмбийн Бесселийн функц (эсвэл цилиндр функц) гэж нэрлэгддэг ба Шийдэл гэж тэмдэглэгдсэн тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн.

Тогтмолыг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн сонголт нь буруу интегралаар тодорхойлогддог гамма функцийг агуулдаг.

Тиймээс, нийтлэг шийдвэртэгшитгэл (2.1) нь бүхэл тоотой тэнцүү биш үед ба дурын тогтмолууд хэлбэртэй байна.

2.2 Интеграцийн жишээ

Тэгшитгэл нь анхны нөхцөлд Кошигийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай тохиолдолд Тейлорын цувралыг ашиглан шийдлийг хайж болно.

өөр деривативууд хаана олддог дараалсан ялгааанхны тэгшитгэл, утгуудын оронд ялгах үр дүнд орлуулах болон бусад бүх дараачийн деривативуудыг олсон. Үүний нэгэн адил өндөр эрэмбийн тэгшитгэлийг Тейлорын цуврал ашиглан нэгтгэж болно.

Жишээ 2.1. Тейлорын цувралыг ашиглан тэлэлтийн эхний зургаан тэгээс бусад гишүүнийг авч тэгшитгэлийг ойролцоогоор нэгтгэ.

Анхны нөхцлийн тэгшитгэлээс бид олдог Энэ тэгшитгэлийг ялгаж, бид дараалан олж авна

Итгэх ба утгыг ашиглах Бид шаардлагатай шийдэл нь хэлбэрийг байнга олж авдаг

Жишээ 2.2. Өргөтгөлийн эхний дөрвөн (тэг биш) нөхцөлийг ол. Тэгээд

Олдсон утгыг цувралаар (2.3) орлуулснаар бид хүссэн шийдлийг заасан нарийвчлалтайгаар олж авна.

2.3 Maple дахь интеграцийн жишээ

Maple дээр дифференциал тэгшитгэлийн аналитик шийдлүүдийг олохын тулд dsolve(eq,var,options) командыг ашиглана уу. Энд eq нь дифференциал тэгшитгэл, var нь үл мэдэгдэх функц, сонголтууд нь параметр юм. Параметрүүд нь асуудлыг шийдэх аргыг зааж өгч болно, жишээлбэл, анхдагчаар аналитик шийдлийг хайдаг: төрөл = яг. Дифференциал тэгшитгэл зохиохдоо дифференциал тэгшитгэлийг diff(y(x),x$2)+y(x)=x хэлбэрээр бичдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг чадлын цуваа хэлбэрээр олохын тулд dsolve командын параметрийн төрөл=цуваа (эсвэл зүгээр л цуваа) хувьсагчийн дараа зааж өгнө. Задрах дарааллыг зааж өгөхийн тулд, i.e. Задаргаа хийх зэрэглэлийн дарааллын өмнө Order:=n командыг ашиглан дарааллын тодорхойлолт байх ёстой.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг чадлын цувааны өргөтгөлийн хэлбэрээр хайж байгаа бол олсон тэлэлтийн чадлын коэффициентүүд нь тэг дэх функцийн үл мэдэгдэх утгууд ба түүний дериватив гэх мэтийг агуулна. Гаралтын мөрөнд олж авсан илэрхийлэл нь Maclaurin цувралын хүссэн шийдлийн өргөтгөлтэй төстэй хэлбэртэй байх боловч хүч чадлын хувьд өөр өөр коэффициенттэй байна. Тодорхой шийдлийг тусгаарлахын тулд эхний нөхцөл гэх мэтийг зааж өгөх ёстой бөгөөд эдгээр эхний нөхцлийн тоо нь харгалзах дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай давхцах ёстой.

Хүчтэй цуваа болгон өргөтгөх нь цуваа төрлийнх тул цаашид энэ цуваатай ажиллахын тулд түүнийг хувиргах(%,polynom) командыг ашиглан олон гишүүнт болгон хувиргаж, дараа нь үүссэн илэрхийллийн баруун талыг rhs()-аар сонгоно. %) тушаал.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),цуврал);

Анхаарна уу: Цуврал хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн төрөл нь цуваа тул ийм шийдлийг цаашид ашиглахын тулд (тооцоолол эсвэл график) хувиргах командыг ашиглан олон гишүүнт хувиргах шаардлагатай.

дифференциал тэгшитгэлийн цуврал зэрэг

> хөрвүүлэх(%,полином): y2:=rhs(%):

> p1:=зураг(y1, x=-3..3, зузаан=2, өнгө=хар):

> p2:=зураг(y2, x=-3..3, шугамын загвар=3, зузаан=2, өнгө=хар):

> with(plots): display(p1,p2);

Зураг 2-оос харахад хүч чадлын цуваагаар яг шийдлийн хамгийн сайн ойролцооллыг ойролцоогоор интервалд хүрдэг.

Зураг 2

ДҮГНЭЛТ

Курсын ажилд тавьсан зорилтуудыг бүрэн биелүүлж, дараахь ажлуудыг шийдвэрлэв.

Цуврал ба дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлсон.

Хүч чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргыг авч үзсэн.

Энэ сэдэвтэй холбоотой асуудлууд шийдэгдсэн.

Энэхүү курсын ажилд уг материалыг судалж, системчилсэн байдлаар оюутнуудад ашиглах боломжтой болсон бие даан суралцаххүчний цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх арга. Цуврал ба дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтуудыг авч үзнэ. Ойролцоогоор тооцооллыг цуваа ашиглан хийсэн.

Энэхүү бүтээлийг техник, математикийн чиглэлээр суралцаж буй оюутнуудад сургалтын хэрэглэгдэхүүн болгон ашиглаж болно.

Ажлын үр дүн нь цаашдын судалгаанд үндэс суурь болж чадна.

АШИГЛАСАН АШИГЛАЛТЫН ЖАГСААЛТ

1 Tricomi F. Дифференциал тэгшитгэл. Англи хэлнээс орчуулга. - М.: Букинист, 2003. - 352 х.

Власова Б.А., Зарубин Б.С., Кувыркин Г.Н. Математик физикийн ойролцоо аргууд: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг. - М .: MSTU im-ийн хэвлэлийн газар. N. E. Bauman, 2001. - 700 х.

Будак B. M. Fomin S. V. Олон тооны интеграл ба цуваа. - М.: Физматлит, 2002. - 512 х.

Демидович Б.П. Бодлого, дасгалын цуглуулга математик шинжилгээ. - М .: Моск хэвлэлийн газар. Черо их сургууль, 2000 он. - 624 с.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., гэх мэт Бүх дээд математик: Сурах бичиг. T. 3. - М.: URSS хэвлэлийн газар, 2005. - 240 х.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. болон бусад. Дээд математик: Ерөнхий курс: Сурах бичиг. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 2000.- 351 х.

Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. Дээд математик. - М.: EAOI, 2008. - 315 х.

Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Дээд математик. 2-р хэсэг. Математик анализын үндэс ба дифференциал тэгшитгэлийн элементүүд. - М.: Амалфея, 2003. - 352 х.

Агафонов С.А., Германы А.Д., Муратова Т.В. Дифференциал тэгшитгэл. - М .: MSTU im-ийн хэвлэлийн газар. Н.Э. Бауман, 2004. - 352 х.

Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн онол. - М.: Амалфея, 2001. - 475 х.

Фихтэнголц Г.М. Дифференциал ба интеграл тооцооллын курс. T. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 810 х.

Ойролцоогоор цуврал ашиглан DE-ийн тодорхой шийдлийг хэрхэн олох вэ?

Цуврал онолын практик хэрэглээг үргэлжлүүлэн судалж, гарчигнаас нэрийг нь харж байгаа өөр нэг нийтлэг асуудлыг авч үзье. Хичээлийн туршид зүлэгжүүлэгч шиг санагдахгүйн тулд даалгаврын мөн чанарыг нэн даруй ойлгоцгооё. Гурван асуулт, гурван хариулт:

Та юу олох хэрэгтэй вэ? Дифференциал тэгшитгэлийн тусгай шийдэл. Мөр хоорондын сануулга нь энэ мөчид ядаж юу болохыг ойлгохыг зөвлөж байна дифференциал тэгшитгэлмөн түүний шийдэл юу вэ.

Энэ шийдэл ХЭРХЭН шаардлагатай вэ? Ойролцоогоор - цувралыг ашиглана.

Гурав дахь логик асуулт: яагаад ойролцоогоор?Би энэ асуултыг аль хэдийн ангидаа авч үзсэн. Эйлер ба Рунге-Куттагийн аргууд, гэхдээ давталт нь гэмтэхгүй. Тодорхой зүйлийг дэмжигч учраас би хамгийн энгийн зүйл рүү буцах болно дифференциал тэгшитгэл. Диффузоруудын тухай анхны лекцийн үеэр бид түүний ерөнхий шийдэл (экпоненциалын багц) болон анхны нөхцөлтэй тохирох тодорхой шийдлийг олсон. Функцийн график нь зураг дээр дүрслэхэд хялбар хамгийн түгээмэл шугам юм.

Гэхдээ энэ бол энгийн тохиолдол юм. Практикт маш олон дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийг аналитик байдлаар яг таг шийдэж чадахгүй (ядаж л одоо мэдэгдэж байгаа аргуудаар). Өөрөөр хэлбэл, ийм тэгшитгэлийг яаж мушгисан ч интеграллах боломжгүй болно. Тэгээд барьж авсан зүйл нь энэ юм ерөнхий шийдэл (онгоц дээрх шугамын бүлэг) байж болно. Дараа нь тооцооллын математикийн аргууд аврах ажилд ирдэг.

Баяр хөөртэйгээ уулзацгаая!

Ердийн даалгавардараах байдлаар томъёолсон:

… , эхний нөхцөлийг хангасан, гурван хэлбэрээр (багахан - дөрөв эсвэл тав)тэг бус нөхцөл Тейлорын цуврал.

Шаардлагатай тодорхой шийдлийг алдартай томъёоны дагуу энэ цуврал болгон өргөжүүлэв.

Цорын ганц зүйл бол энд "ef" үсгийн оронд "игрек" ашиглагддаг (энэ нь яг л тохиолддог).

Үзэл санаа, утга учир нь бас танил: зарим diffusers болон тодорхой нөхцөлд (бид онол руу орохгүй) барьсан хүчний цуваа нийлнэхүссэн тодорхой шийдэлд. Өөрөөр хэлбэл, бид цувралын олон гишүүнийг авч үзэх тусам харгалзах олон гишүүнтийн график нь функцийн графикийг илүү нарийвчлалтай харуулах болно.

Дээрх нь хамгийн энгийн тохиолдлуудад хамаатай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Нэг тогоонд энгийн хүүхдийн судалгаа хийцгээе.

Жишээ 1

Тейлорын цувралын эхний дөрвөн тэгээс бусад гишүүний хэлбэрээр анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоогоор хэсэгчилсэн шийдийг ол.

Шийдэл: энэ асуудлын нөхцөлд Тейлорын ерөнхий томъёог өөрчилсөн онцгой тохиолдол Маклаурин цувралын өргөтгөл:

Бага зэрэг урагшаа харахад практик даалгавруудад энэ илүү авсаархан цуврал илүү түгээмэл байдаг гэж би хэлэх болно.

Ажлын томьёо хоёрыг лавлах номдоо оруулна уу.

Утгыг нь ойлгоцгооё. Шийдлийн үе шатуудыг дугаарлах нь тохиромжтой:

0) Тэг алхам дээр бид нөхцөл байдлаас үргэлж мэдэгдэж байгаа утгыг бичдэг. Тэмдэглэлийн дэвтэрт цэгүүдийн эцсийн үр дүнг дугуйлж, тодорхой харагдах бөгөөд шийдэлд төөрөхгүй байхыг зөвлөж байна. Техникийн шалтгааны улмаас тэдгээрийг тодоор тодруулах нь надад илүү тохиромжтой. Түүнээс гадна, Энэ утга нь тэг биш гэдгийг анхаарна уу! Эцсийн эцэст, нөхцөл нь дөрөв олохыг шаарддаг тэг бишцувралын гишүүд.

1) Тооцоолъё. Үүнийг хийхийн тулд анхны тэгшитгэлийн баруун талд "y"-ийн оронд мэдэгдэж буй утгыг орлуулна уу.

2) Тооцоолъё. Эхлээд бид олдог хоёр дахь дериватив:

Бид өмнөх догол мөрөнд байгаа утгыг баруун талд орлуулна.

Бидэнд өргөтгөлийн тэгээс өөр гурван нөхцөл аль хэдийн байгаа бөгөөд бидэнд дахиад нэг зүйл хэрэгтэй:

Жишээ 2

Дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоогоор хэсэгчилсэн шийдийг ол , Тейлорын цувралын эхний гурван тэгээс бусад гишүүний хэлбэрээр анхны нөхцөлийг хангаж байна.

Шийдэлстандарт хэллэгээр эхэлдэг:

Иймд энэ асуудалд:

Одоо бид утгуудыг дараалан олдог - гурвыг авах хүртэл тэг бишүр дүн. Хэрэв та азтай бол тэд тэгээс ялгаатай байх болно - Энэ бол хамгийн бага ажилтай хамгийн тохиромжтой тохиолдол юм.

Шийдлийн цэгүүдийг багасгая:

0) Нөхцөлөөр. Анхны амжилт энд байна.

1) Тооцоолъё. Эхлээд анхны деривативтай холбоотой анхны тэгшитгэлийг шийдье, өөрөөр хэлбэл бид илэрхийлнэ . Баруун талд мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулъя:

Бид жолооны хүрд хүлээн авсан бөгөөд энэ нь бидний сонирхож байгаа тул сайн биш юм тэг бишутга. Гэсэн хэдий ч тэг - ижил үр дүн, бид үүнийг дугуйлж эсвэл өөр аргаар тодруулахаа мартдаггүй.

2) Хоёрдахь деривативыг олж, мэдэгдэж буй утгыг баруун талд орлуулна уу:

Хоёр дахь нь "тэг биш".

3) Хоёр дахь деривативын деривативыг ол:

Ерөнхийдөө энэ даалгавар нь өвөө, эмээ, ач охин нь алдаа, муур гэх мэтийг тусламж дууддаг "Манжингийн үлгэр"-ийг санагдуулдаг. Үнэн хэрэгтээ дараагийн дериватив бүрийг "өмнөх" хэлбэрээр илэрхийлдэг.

Баруун талд мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулъя:

Гурав дахь тэг бус утга. Тэд манжингаа сугалж авав.

"Тод" тоог бидний томъёонд болгоомжтой, болгоомжтой орлуулна уу:

Хариулах: тодорхой шийдлийн хүссэн ойролцоогоор өргөтгөл:

Үзэж буй жишээн дээр хоёрдугаарт зөвхөн нэг тэг байсан бөгөөд энэ нь тийм ч муу биш юм. Ерөнхийдөө тэг нь хүссэн хэмжээгээр, хаана ч тохиолдож болно. Би давтан хэлье, эцсийн шатанд сэлгээнд андуурахгүйн тулд тэдгээрийг тэгээс өөр үр дүнгийн хамт тодруулах нь маш чухал юм.

Энд байна - уут эхний байранд байна:

Жишээ 3

Тейлорын цувралын эхний 3 тэгээс бусад гишүүний хэлбэрээр анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоогоор хэсэгчилсэн шийдийг ол.

Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ. Алгоритмын цэгүүдийг дугаарлахгүй байж магадгүй (жишээлбэл, алхмуудын хооронд хоосон мөр үлдээх), гэхдээ би эхлэгчдэд хатуу загварыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна.

Харж байгаа ажил нь илүү их анхаарал шаарддаг - хэрэв та ямар ч алхам дээр алдаа гаргавал бусад бүх зүйл буруу болно! Тиймээс таны цэвэр толгой цаг шиг ажиллах ёстой. Харамсалтай нь энэ биш интегралэсвэл диффузорууд, энэ нь ядарсан үед ч найдвартай шийдвэрлэх боломжтой, учир нь тэдгээр нь үр дүнтэй шалгалт хийх боломжийг олгодог.

Практикт энэ нь илүү түгээмэл байдаг Маклаурин цувралын өргөтгөл:

Жишээ 4

Шийдэл: зарчмын хувьд та шууд бичиж болно Маклаурин өргөтгөл, гэхдээ ерөнхий тохиолдлоос асуудлыг албан ёсоор эхлүүлэх нь илүү академик юм.

Анхны нөхцөлд дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг өргөтгөх нь дараахь хэлбэртэй байна.

Иймд энэ тохиолдолд:

0) Нөхцөлөөр.

За та юу хийж чадах вэ ... Цөөн тэг байгаасай гэж найдъя.

1) Тооцоолъё. Эхний дериватив нь ашиглахад бэлэн болсон байна. Утгыг орлуулъя:

2) Хоёр дахь деривативыг олъё:

Үүнийг орлуулъя:

Бүх зүйл сайн болсон!

3) олох. Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Ердийн алгебрийн дүрмүүд нь деривативуудад хамаарна гэдгийг анхаарна уу: ижил төстэй нэр томъёог сүүлчийн алхамд авчирч, бүтээгдэхүүнийг хүч болгон бичих: (мөн тэнд).

Хүнд хөдөлмөрөөр олж авсан бүх зүйлээ орлуулъя:

Гурван тэгээс өөр утга төрдөг.

Бид "том" тоог Маклаурины томъёонд орлуулж, тодорхой шийдлийн ойролцоогоор өргөтгөлийг олж авна.

Хариулах:

Учир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг чадлын цувааны эхний гурван тэгээс бусад гишүүний нийлбэр болгон үзүүл.

Хичээлийн төгсгөлд загвар дизайны загвар.

Таны харж байгаагаар тодорхой өргөтгөлтэй холбоотой асуудал Маклаурин цувралерөнхий хэргээс ч илүү хэцүү болсон. Харж байгаа ажлын нарийн төвөгтэй байдал нь бидний саяхан харсанчлан задралд биш, харин ялгах бэрхшээлд оршдог. Түүнээс гадна заримдаа та 5-6 дериватив (эсвэл түүнээс ч олон) олох хэрэгтэй болдог бөгөөд энэ нь алдаа гарах эрсдэлийг нэмэгдүүлдэг. Хичээлийн төгсгөлд би нарийн төвөгтэй хэд хэдэн ажлыг санал болгож байна.

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг тодорхой шийдлийг Маклаурины цуврал болгон өргөжүүлэх замаар ойролцоогоор тооцоолж, цувралын тэг биш эхний гурван гишүүнээр хязгаарлана.

Шийдэл: Бид хоёр дахь эрэмбийн ялгавартай, гэхдээ энэ нь асуудлыг бараг өөрчлөхгүй. Нөхцөлийн дагуу бид нэн даруй Maclaurin цувралыг ашиглахыг шаардаж байгаа бөгөөд бид үүнийг ашиглахгүй байх болно. Заавал илүү олон нэр томъёо авч танил болсон өргөтгөлийг бичье:

Алгоритм нь яг адилхан ажилладаг:

0) - нөхцөлөөр.

1) - нөхцөл байдлын дагуу.

2) Анхны тэгшитгэлийг хоёр дахь деривативт хамааруулан шийдье: .

Тэгээд орлуулъя:

Эхний тэг биш утга

Дериватив дээр товшоод орлуулалт хийнэ үү:

Орлуулах ба:

Орлуулж үзье:

Хоёр дахь тэгээс бусад утга.

5) - замдаа бид ижил төстэй деривативуудыг танилцуулж байна.

Орлуулж үзье:

Эцэст нь. Гэсэн хэдий ч энэ нь илүү муу байж болно.

Тиймээс хүссэн тодорхой шийдлийн ойролцоогоор өргөтгөл нь:

Беларусь улсын Боловсролын яам

Боловсролын байгууллага

"Могилевский Улсын их сургууль A.A-ийн нэрэмжит. Кулешова"

MAiVT-ийн хэлтэс

Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бүтээх

Курсын ажил

Гүйцэтгэсэн: 3-р курсын В бүлгийн оюутан

Физик-математикийн факультет

Юскаева Александра Маратовна

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

Морозов Николай Порфирьевич

Могилев, 2010 он

Оршил

1. Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл

1.1. n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт

2. Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх

2.1. Хүч чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн интеграцчлал.

2.2. Ерөнхий чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

3. Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэхдээ ерөнхий чадлын цуваа ашиглах онцгой тохиолдлууд.

3.1. Бесселийн тэгшитгэл.

3.2. Гипергеометрийн тэгшитгэл эсвэл Гауссын тэгшитгэл.

4. Цуврал ашиглан энгийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргыг практикт хэрэглэх.

Дүгнэлт

Уран зохиол

Оршил

Ерөнхий тохиолдолд нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг интеграллах замаар яг шийдлийг олох боломжгүй юм. Түүнээс гадна энэ нь энгийн дифференциал тэгшитгэлийн системийн хувьд боломжгүй юм. Энэ нөхцөл байдал нь энгийн дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх олон тооны ойролцоо аргыг бий болгоход хүргэсэн. Ойролцоо аргуудын дотроос аналитик, график, тоон гэсэн гурван бүлгийг ялгаж салгаж болно. Мэдээжийн хэрэг, ийм ангилал нь тодорхой хэмжээгээр дур зоргоороо байдаг. Жишээлбэл, Эйлерийн тасархай шугамын график арга нь дифференциал тэгшитгэлийг тоон аргаар шийдвэрлэх аргуудын нэгд тулгуурладаг.

Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг чадлын цуваа ашиглан интеграци хийх нь ойролцоогоор аналитик арга бөгөөд ихэвчлэн хоёр дахь дарааллын шугаман тэгшитгэлд хэрэглэгддэг.

Аналитик аргуудыг дифференциал тэгшитгэлийн хичээлээс олж болно. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд (салгаж болох хувьсагчтай, нэгэн төрлийн, шугаман гэх мэт), түүнчлэн зарим төрлийн дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд (жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий шугаман) шийдлийг томъёо хэлбэрээр авах боломжтой. аналитик хувиргалтаар дамжуулан.

Ажлын зорилго нь энгийн дифференциал тэгшитгэлийг цуваа ашиглан интегралдах, дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах зэрэг ойролцоо аналитик аргуудын аль нэгийг шинжлэхэд оршино.

Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл

n-р эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн хамаарал юм

Энд F нь тодорхой мужид тодорхойлогдсон аргументуудын мэдэгдэж буй функц юм;

x - бие даасан хувьсагч;

y нь тодорхойлогдох х хувьсагчийн функц;

y’, y”, …, y (n) - y функцийн деривативууд.

Энэ тохиолдолд y (n) нь дифференциал тэгшитгэлд үнэхээр орсон гэж үздэг. F функцийн бусад аргументуудын аль нь ч энэ харилцаанд шууд оролцохгүй байж болно.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангасан аливаа функцийг түүний шийдэл буюу интеграл гэнэ. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх шийдлийг олох гэсэн үг юм. Хэрэв шаардлагатай y функцийн хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдийг зөвхөн тэдгээрийг өгөх томъёог олж авах боломжтой бол бид түүний ерөнхий шийдэл буюу ерөнхий интегралыг олсон гэж хэлнэ.

n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дурын n тогтмол c 1, c 2,..., c n байх ба хэлбэртэй байна.

1.1. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтn--р захиалга

n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь y, y’, ..., y (n) хэмжигдэхүүний олонлогтой харьцуулахад нэгдүгээр зэрэгтэй байвал шугаман гэж нэрлэдэг. Тиймээс n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

X-ийн мэдэгдэж буй тасралтгүй функцууд хаана байна.

Энэ тэгшитгэлийг нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэл гэж нэрлэдэг баруун тал. Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй ижил тэнцүү бол шугаман тэгшитгэлнэгэн төрлийн дифференциал шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ба хэлбэртэй байна

Хэрэв n нь 2-той тэнцүү бол бид хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичнэ: n-р дарааллын шугаман тэгшитгэлийн нэгэн адил хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн () ба нэг төрлийн бус байж болно.

Цуврал ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Нэгдүгээр эрэмбийн хувьсах коэффициенттэй ердийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд нь үргэлж энгийн функцээр илэрхийлэгддэггүй бөгөөд ийм тэгшитгэлийн интеграл нь квадрат хэлбэрт шилжих нь ховор байдаг.

2.1. Хүч чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн интеграцчлал.

Эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэх хамгийн түгээмэл арга бол хүссэн шийдлийг чадлын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм. Хувьсах коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзье

Тайлбар1. Хэлбэрээр нэлээд өргөн функцүүдийн ангиллыг төлөөлж болно

хаана, зарим тогтмолууд байна. Энэ илэрхийлэлийг хүчний цуваа гэж нэрлэдэг. Хэрэв түүний утгууд нь аль ч х интервалын (x 0 - T; x 0 + T) функцийн харгалзах утгатай тэнцүү бол ийм цувралыг энэ интервал дахь нийлэг гэж нэрлэдэг.

a(x), b(x) функцууд нь (x 0 - T; x 0 + T), T > 0 интервал дээрх (2.1) тэгшитгэлийн аналитик функцууд гэж үзье. Эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлсэн:

Дараах теоремыг баримтална (нотолгоо орхигдуулбал бид зөвхөн түүний томъёоллыг танилцуулж байна).

Теорем_1. Хэрэв a(x), b(x) функцууд (2.2) хэлбэртэй байвал энгийн дифференциал тэгшитгэлийн (2.1) y(x) шийдлийг |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Энэ теорем нь шийдийг чадлын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог төдийгүй хамгийн чухал нь цуваа (2.3) нийлэхийг зөвтгөдөг.

Ийм дүрслэлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна. Тохиромжтой болгохын тулд (2.2) ба (2.3)-д x 0 = 0-ийг тавиад энгийн дифференциал тэгшитгэлийн (2.1) шийдлийг хэлбэрээр хайцгаая.

(2.4)-ийг (2.1) орлуулснаар бид тэгш байдлыг олж авна

(2.5)-ыг биелүүлэхийн тулд х тус бүрийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай. Энэ нөхцлөөс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн хязгааргүй системийг олж авна

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн төгсгөлгүй системээс дараалан олж болно, ..., хэрэв утгыг тогтоосон бол (энгийн дифференциал тэгшитгэлийн (2.1) Коши бодлогын хувьд) эхний нөхцөлүүдийг танилцуулж болно. =, =).

Хэрэв a(x), b(x) функцууд рационал бол, өөрөөр хэлбэл. , b , олон гишүүнт хаана байна, тэгвэл аль цэгүүдийн ойролцоо буюу, зэрэглэлийн цуваа хэлбэрийн шийдэл байхгүй байж болох ба хэрэв байгаа бол энэ нь x = 0 цэгээс бусад бүх газарт зөрөөтэй байж болно. Энэ нөхцөл байдал Эхний эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзсэн Л.Эйлер мэддэг байсан

Энэ тэгшитгэлийг чадлын цуваа хангана

Гэсэн хэдий ч, энэ цуврал нь хэний ч хувьд ялгаатай гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн дивергент зэрэглэлийн цуваа хэлбэрээр шийдлийг албан ёсны гэж нэрлэдэг.

Энэхүү интеграцийн аргыг ашиглах хамгийн гайхалтай бөгөөд ойлгомжтой жишээнүүдийн нэг бол Эйри тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн бүх шийд нь x-ийн бүхэл функц юм. Дараа нь бид Эйри тэгшитгэлийн шийдлийг чадлын цуваа (2.4) хэлбэрээр хайх болно. Дараа нь тэгш байдал (2.5) хэлбэрийг авна

Хүчин чадал тус бүрийн коэффициентийг тэгтэй тэнцүү болгоё. Бидэнд байгаа

……………………………

x-ийн тэг градусын коэффициент нь 2y 2-той тэнцүү байна. Улмаар y 2 = 0. Дараа нь коэффициентийн тэг хүртэлх тэгшитгэлээс бид = олно. Коэффициент нь тэнцүү байна. Эндээс.

Энэ томъёоноос бид олж авна

Магадлал тодорхойгүй хэвээр байна. Шийдлийн үндсэн системийг олохын тулд эхлээд = 1, = 0, дараа нь эсрэгээр тохируулна. Эхний тохиолдолд бидэнд байна

мөн хоёрдугаарт

Теорем 1-д үндэслэн эдгээр цувралууд нь тооны шулууны хаа сайгүй нийлдэг.

функцуудыг Airy функц гэж нэрлэдэг. X-ийн том утгуудын хувьд эдгээр функцүүдийн асимптот шинж чанарыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эдгээр функцүүдийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.1. Бид х-г хязгааргүй ихэсгэх үед Эйри тэгшитгэлийн аливаа шийдийн тэгүүд хоорондоо тодорхойгүй хугацаагаар ойртож байгааг бид олж мэдсэн бөгөөд энэ нь эдгээр шийдлүүдийн асимптотик дүрслэлээс тодорхой харагдаж байгаа боловч Эйри функцүүдийн дүрслэлээс огт илэрхий биш юм. нийлсэн хүчний цувааны хэлбэр. Эндээс харахад энгийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг цуврал ашиглан хайх арга нь ерөнхийдөө хэрэглэгдэх асуудлыг шийдвэрлэхэд төдийлөн ашиггүй бөгөөд уг шийдлийг цуврал хэлбэрээр дүрсэлсэн нь дүн шинжилгээ хийхэд хэцүү болгодог. үүссэн уусмалын чанарын шинж чанар.

2.2. Ерөнхий чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Тэгэхээр (2.1) тэгшитгэлийн a(x), b(x) функцууд рациональ байвал (2.1) тэгшитгэлийн дан цэгүүд буюу цэгүүд гэж нэрлэнэ.

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд

Үүнд a(x), b(x) нь |x - x 0 | интервал дахь аналитик функцууд юм< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

x = x 0 ганц цэгийн ойролцоо хүч чадлын цуваа хэлбэрээр шийдлүүд байхгүй байж болно, энэ тохиолдолд шийдлийг ерөнхий хүчин чадалтай цуваа хэлбэрээр хайх шаардлагатай;

Энд λ ба, …, ()-ийг тодорхойлно.

Теорем_2. Тэгшитгэл (2.6) нь x = x 0 цорын ганц цэгийн ойролцоо ерөнхий чадлын цуваа (2.7) хэлбэрээр дор хаяж нэг тодорхой шийдэлтэй байхын тулд энэ тэгшитгэл ийм хэлбэртэй байхад хангалттай.

Эдгээр нь нэгдмэл чадлын цуваа бөгөөд коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, учир нь өөрөөр хэлбэл x = x 0 цэг нь тусгай цэг биш бөгөөд x = x 0 цэг дээр голоморф хэлбэртэй шугаман бие даасан хоёр шийдэл байдаг. Түүнчлэн тэгшитгэлийн (2.7’) коэффициентэд багтсан цуваа (2.7”) бүс нутагт нийлдэг бол | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

(2.6) x > 0-ийн тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлд x 0 = 0-ийн илэрхийлэл (2.7)-г орлуулбал бид дараах байдалтай байна.

X-ийн зэрэглэлийн коэффициентүүдийг тэг хүртэл тэнцүүлэх замаар бид давтагдах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

……..........................……………………………………………. (2.8)

заасан газар

Учир нь λ нь тэгшитгэлийг хангах ёстой

үүнийг тодорхойлох тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлийн үндэс байцгаая. Хэрэв ялгаа нь бүхэл тоо биш бол аливаа бүхэл тоон хувьд k > 0 байх бөгөөд энэ нь заасан аргыг ашиглан тэгшитгэлийн (2.6) шугаман бие даасан хоёр шийдийг бүтээх боломжтой гэсэн үг юм:

Хэрэв ялгаа нь бүхэл тоо бол дээрх аргыг ашиглан нэг шийдлийг ерөнхий цуврал хэлбэрээр байгуулж болно. Энэ шийдлийг мэдсэнээр Лиувилл-Остроградскийн томъёог ашиглан та хоёр дахь шугаман бие даасан шийдлийг олох боломжтой.

Үүнтэй ижил томъёоноос харахад шийдлийг хэлбэрээр хайж болно

(А тоо тэгтэй тэнцүү байж болно).

Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэхдээ ерөнхий чадлын цуваа ашиглах онцгой тохиолдлууд.

3.1. Бесселийн тэгшитгэл.

Бесселийн тэгшитгэл нь математик, түүний хэрэглээний хамгийн чухал дифференциал тэгшитгэлүүдийн нэг юм. Түүний үндсэн функцүүдийн системийг бүрдүүлдэг Бесселийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энгийн функц биш юм. Гэхдээ тэдгээрийг эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлсэн бөгөөд коэффициентийг нь маш энгийнээр тооцдог.

Бесселийн тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Математик физикийн олон асуудлыг энэ тэгшитгэлд буулгасан.

x-г -x-ээр солих үед тэгшитгэл өөрчлөгдөхгүй тул x-ийн сөрөг бус утгыг авч үзэхэд хангалттай. Ганц ганц цэг нь x=0 байна. x=0-д харгалзах тодорхойлох тэгшитгэл нь, . Хэрэв 0 бол тодорхойлох тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: ба. Энэ тэгшитгэлийн шийдийг ерөнхий чадлын цуваа хэлбэрээр олъё

Дараа нь y, y" ба y" -г анхны тэгшитгэлд орлуулж, бид олж авна

Тиймээс бид бууруулж байна

Энэ тэгшитгэл ижил байхын тулд коэффициентүүд нь тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой

λ = n тодорхойлох тэгшитгэлийн язгуурт тохирох шийдийг олъё. Сүүлийн тэгшитгэлд λ = n-ийг орлуулснаар бид тэгээс өөр ямар ч тоог авч болно, тоо = 0, k = 2, 3, ... хувьд бид байна.

Иймээс бүх m = 0, 1, 2, …-ийн хувьд.

Тиймээс бүх коэффициентүүд олдсон бөгөөд энэ нь (3.1) тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр бичнэ гэсэн үг юм.

Функцийг танилцуулъя

Эйлерийн гамма функц гэж нэрлэдэг. Бүхэл тоонуудын хувьд юу, юуг авч үзэх, мөн дурын тогтмолыг сонгохдоо үүнийг хэлбэрээр бичнэ.

n-р эрэмбийн эхний төрлийн Бесселийн функц гэж нэрлэдэг.

Бесселийн тэгшитгэлийн хоёр дахь тодорхой шийдэл нь шугаман бие даасан, хэлбэрээр хайж байна

тодорхойлох тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Бид олдог гэж бодвол

Уламжлал ёсоор бол n нь бүхэл тоо биш тул тэгш тоотой бүх коэффициентийг дараах байдлаар тусгайлан илэрхийлдэг.

Тиймээс,

Бид y 2 (x) -ийг хэлбэрээр илэрхийлнэ гэж үзвэл

сөрөг индекстэй эхний төрлийн Бесселийн функц гэж нэрлэдэг.

Тиймээс хэрэв n нь бүхэл тоо биш бол анхны Бесселийн тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд байна шугаман хослолуудБесселийн функцууд ба: .

3.2. Гипергеометрийн тэгшитгэл эсвэл Гауссын тэгшитгэл.

Гипергеометрийн тэгшитгэл (эсвэл Гауссын тэгшитгэл) нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Энд α, β, γ нь бодит тоо юм.

Цэгүүд нь тэгшитгэлийн ганц цэгүүд юм. Эдгээр цэгүүдийн ойролцоо Гауссын тэгшитгэлийн коэффициентүүд хэвийн хэлбэрээр бичигдсэн тул хоёулаа тогтмол байдаг.

ерөнхий чадлын цуваа хэлбэрээр төлөөлж болно.

Үүнийг хэсэг хугацаанд баталгаажуулъя. Нээрээ үүнийг анзаарч байна

тэгшитгэлийг (3.2) гэж бичиж болно

Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм

энд x=0 цэг нь Гауссын тэгшитгэлийн ердийн ганц цэг болно.

Ганц цэг x=0 орчимд Гауссын тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя.

x=0 цэгт харгалзах тодорхойлох тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Үүний үндэс, тэдгээрийн ялгаа нь бүхэл тоо биш юм.

Иймд x=0 ганц цэгийн орчимд ерөнхийлсөн чадлын цуваа хэлбэрээр шийдлийн суурь системийг байгуулах боломжтой.

эхнийх нь тодорхойлох тэгшитгэлийн 0 язгууртай тохирч, энгийн зэрэглэлийн цуваа тул шийдэл нь x=0 ганц цэгийн ойролцоо холоморф байна. Хоёрдахь шийдэл нь х=0 цэгт голоморф биш байх нь ойлгомжтой. Эхлээд тодорхойлох тэгшитгэлийн тэг язгуурт тохирох тодорхой шийдлийг байгуулъя.

Тиймээс бид (3.2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

(3.3)-ыг (3.2) орлуулснаар бид олж авна

Чөлөөт нэр томъёог тэгтэй тэнцүүлснээр бид олж авна.

Байг, тэгвэл бид үүнийг авна.

Коэффициентийг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид дараахь зүйлийг олно.

Тиймээс шаардлагатай тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Баруун талын цувааг гипергеометрийн цуваа гэж нэрлэдэг, учир нь α=1, β=γ үед энэ нь геометр прогресс болон хувирдаг.

Теорем_2-ын дагуу (3.4) цуваа |x| хэлбэрээр нийлдэг<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Хоёрдахь тусгай шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг олохын оронд бид томъёог ашиглан Гауссын тэгшитгэл дэх хүссэн функцийг орлуулах болно.

Бид Гауссын тэгшитгэлийг олж авна

Үүнд α, β, γ параметрүүдийн үүргийг ба гүйцэтгэдэг.

Иймд тодорхойлох тэгшитгэлийн тэг язгуурт тохирох энэ тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдийг байгуулж, (3.6)-д орлуулснаар бид Гауссын тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэгчилсэн шийдийг дараах хэлбэрээр олж авна.

Гауссын тэгшитгэлийн (3.2) ерөнхий шийдэл нь:

Гауссын тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг x=0 цорын ганц цэгийн хөршид ашигласнаар x=1 цорын ганц цэгийн ойролцоо энэ тэгшитгэлийн үндсэн шийдлийн системийг хялбархан байгуулж болно. онцгой цэг.

Үүний тулд бид x = 1 бие даасан хувьсагчийн шугаман орлуулалтыг ашиглан бидний сонирхсон цорын ганц цэгийг t = 0 цэг рүү, түүнтэй хамт x = 0 цорын ганц цэгийг t = 1 цэг рүү шилжүүлнэ. - т.

Энэхүү орлуулалтыг Гауссын тэгшитгэлд хийснээр бид олж авна

Энэ бол параметр бүхий Гауссын тэгшитгэл юм. Энэ нь хөрш |t| байна<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

x хувьсагч руу буцаж, өөрөөр хэлбэл, t = 1 - x тохиргоог хийснээр бид цэгийн ойролцоо анхны Гауссын тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг олж авна | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Гауссын тэгшитгэлийн (3.2) муж дахь ерөнхий шийдэл болно

Цуврал ашиглан энгийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргыг практикт хэрэглэх.

Жишээ_1. (No 691) Цувралын эхний хэдэн коэффициентийг (х 4-ийг багтаасан коэффициент хүртэл) эхний нөхцлөөр тооцоол.

Эхний нөхцлөөс харахад одоо үлдсэн коэффициентүүдийг олъё.

Жишээ_2. (No 696) Цувралын эхний хэдэн коэффициентийг (х 4-ийг багтаасан коэффициент хүртэл) эхний нөхцлөөр тооцоол.

Шийдэл: Бид тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Бид үүссэн илэрхийлэлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Баруун талыг чадлын цуваа хэлбэрээр төлөөлж, тэгшитгэлийн хоёр тал дахь х-ийн ижил чадлын коэффициентүүдийг тэнцүүлэх замаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Нөхцөл байдлын дагуу x 4 хүртэлх коэффициентийг багтаасан цувралын коэффициентийг тооцоолох шаардлагатай тул коэффициентийг тооцоолоход хангалттай.

Анхны нөхцлөөс харахад энэ ба 2. Одоо үлдсэн коэффициентүүдийг олъё:

Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр бичнэ

Жишээ_3. (No700) Тэгшитгэлийн чадлын цуваа хэлбэрээр шугаман бие даасан шийдлүүдийг ол. Боломжтой бол үүссэн цувааны нийлбэрийг энгийн функцуудыг ашиглан илэрхийл.

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн шийдлийг цуврал хэлбэрээр хайх болно

Энэ цувралыг хоёр удаа ялгаж, энэ тэгшитгэлд орлуулбал бидэнд байна

Гарсан тэгшитгэлд цувралын эхний хэдэн гишүүнийг бичье.

Х-ээс тэг хүртэл тэнцүү хүчин чадалтай коэффициентүүдийг тэнцүүлэхдээ бид дараахь зүйлийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

………………………………….

Эдгээр тэгшитгэлээс бид олдог

Дараа нь зөвхөн коэффициентүүд тэгээс ялгаатай байх болно гэж үзье. Бид үүнийг ойлгодог

Тэгшитгэлийн нэг шийдийг бүтээв

Олдсон нэгээс шугаман хамааралгүй хоёр дахь шийдлийг бид таамаглах замаар олж авна. Дараа нь зөвхөн коэффициентүүд тэгээс ялгаатай байх болно:

Х-ийн дурын утгыг илэрхийлэх ба нийлэх цувралууд нь аналитик функцууд юм. Тиймээс анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд нь x-ийн бүх утгын аналитик функцууд юм. Бүх шийдлүүдийг томъёогоор илэрхийлсэн бөгөөд C 1, C 2 нь дурын тогтмолууд юм.

Үүссэн цувааны нийлбэрийг энгийн функцээр хялбархан илэрхийлэх боломжтой тул дараах байдлаар бичнэ.

Жишээ_4. (No711) 2х 2 у" + (3х - 2х 2)у" - (х + 1)у = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. x = 0 цэг нь энэ тэгшитгэлийн ердийн ганц цэг юм. Бид тодорхойлох тэгшитгэлийг зохио: Үүний үндэс нь λ 1 = 1/2 ба λ 2 = - 1. Бид λ = λ 1 язгуурт харгалзах анхны тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр хайдаг.

Анхны тэгшитгэлийг орлуулахад бид байна

Эндээс багасаад бид олж авдаг

Коэффициентийг x-ийн ижил зэрэглэлд тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг тодорхойлох тэгшитгэлтэй болно.

y 0 = 1 гэж тохируулбал бид олно

Тиймээс,

Бид λ = λ 2 язгуурт тохирох анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайдаг.

Энэ илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлуулж, х-ийн ижил зэрэглэлд байгаа коэффициентүүдийг тэгшитгэвэл бид y 0 = 1-ийг олж авна.

Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ба дурын тогтмолууд хэлбэрээр бичнэ.

Дүгнэлт

Үл мэдэгдэх функцүүд болон тэдгээрийн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэлийг эхнийхээс их эсвэл илүү төвөгтэй аргаар шийдвэрлэх нь ихэвчлэн маш хэцүү байдаг.

Сүүлийн жилүүдэд ийм дифференциал тэгшитгэл улам бүр анхаарал татаж байна. Тэгшитгэлийн шийдлүүд нь ихэвчлэн маш нарийн төвөгтэй бөгөөд энгийн томъёогоор илэрхийлэхэд хэцүү байдаг тул орчин үеийн онолын нэлээд хэсэг нь тэдний зан төлөвийн чанарын шинжилгээнд зориулагдсан байдаг. тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр шийдлүүдийн мөн чанарын талаар ямар нэгэн чухал зүйлийг хэлэх боломжийг олгодог аргуудыг боловсруулах: жишээлбэл, тэдгээр нь бүгд хязгаарлагдмал, эсвэл үе үе шинж чанартай байдаг, эсвэл тодорхой байдлаар хамааралтай байдаг. коэффициентүүд.

Курсын ажлын явцад хүч ба ерөнхий чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргын шинжилгээг хийсэн.

Уран зохиол:

Матвеев Н.В. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх арга. Эд. 4, илч. болон нэмэлт Минск, “Хамгийн өндөр. сургууль”, 1974. - 768 х. өвчтэй.
Агафонов С.А., Германы А.Д., Муратова Т.В. Дифференциал тэгшитгэл: Сурах бичиг. их дээд сургуулиудад зориулсан / Ed. МЭӨ Зарубина, А.П. Крисченко. - 3-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. -М.: МУИС-ийн хэвлэлийн газар. Н.Э. Бауман, 2004. - 352 х.
Бугров Я., Никольский С.М. Дээд математик. Т.3: Дифференциал тэгшитгэл. Олон интеграл. Мөр. Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцууд: Сурах бичиг. их дээд сургуулиудад: 3 боть / Я.Бугров, С.М.Никольский; Эд. V. A. Садовничий. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Bustard, 2004. -- 512 х.: өвчтэй.
Самолейнко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциал тэгшитгэл: жишээ ба асуудал. Сурах бичиг тэтгэмж. - 2-р хэвлэл, шинэчилсэн. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 1989. - 383 х.: өвчтэй.
Филиппов A.F. Дифференциал тэгшитгэлийн асуудлын цуглуулга. Сурах бичиг их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага. - М.: Физматизд, 1961. - 100 х.: өвчтэй.

Татаж авах: Та манай серверээс файл татаж авах эрхгүй.