давтагдах аргууд. Давтагдах харилцааны ерөнхий ба тусгай шийдэл Давталтын харилцааны аргаар n дарааллын тодорхойлогчдыг тооцоол.

Ажиглалтын их хэмжээний өгөгдөлтэй Xмагадлалын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хязгаарлагдмал аргууд нь олон тооны анхны өгөгдөл, тооцооллын завсрын үр дүнг санах хэрэгцээтэй холбоотой тооцоолоход ихээхэн бэрхшээл учруулдаг. Үүнтэй холбогдуулан давтагдах аргууд нь онцгой анхаарал татаж байгаа бөгөөд үүнд хамгийн их магадлалын тооцоог аажмаар нэмэгдэж буй нарийвчлалтайгаар алхам алхмаар тооцдог, алхам бүр нь ажиглалтын шинэ мэдээлэл олж авахтай холбоотой байдаг бөгөөд давтагдах процедурыг хадгалах боломжтой байдлаар бүтээдэг. өмнөх мэдээллээс аль болох бага өгөгдлийг санах.алхам. Рекурсив аргын практик талаасаа нэмэлт бөгөөд маш чухал давуу тал бол завсрын үе шатанд үр дүнг гаргахад бэлэн байх явдал юм.

Энэ нь хязгаарлагдмал аргаар хамгийн их магадлалын тэгшитгэлийн яг шийдлийг олж авах боломжтой тохиолдолд ч гэсэн давтагдах аргуудыг ашиглах нь зүйтэй бөгөөд хамгийн ихийг тооцоолох нарийн аналитик илэрхийллийг олох боломжгүй үед илүү үнэ цэнэтэй болгодог. магадлал.

Ажиглалтын өгөгдлийн багц нь векторыг танилцуулах тайлбарын дараалал байг. (Үргэлжийн нэгэн адил түүний бүрэлдэхүүн хэсэг бүр нь эргээд вектор, санамсаргүй үйл явцын сегмент гэх мэт байж болно). Магадлалын функц байг, ба

түүний логарифм. Сүүлийнхийг үргэлж төлөөлж болно

Сүүлийн утгагүй ажиглалтын өгөгдлийн багцын лог-магадлал, ба

Өгөгдсөн утгуудын утгын нөхцөлт магадлалын нягтын логарифм ба.

Магадлалын функцийн логарифмын төлөөлөл (7.5.16) нь магадлалын хамгийн их үнэлгээг тооцоолох давтагдах процедурыг олж авах үндэслэл болно. Ердийн тохиолдлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд хамгийн их магадлалын тооцоог тэгшитгэлийн шийдэл болгон олж болно

(7.1.6)-аас зөвхөн индексийг оруулснаар ялгаатай байна p yмагадлалын функцийн логарифм.

Энэхүү тооцоог ажиглалтын нийлбэр дүнгээс гарган авсан гэдгийг онцлон энэ тэгшитгэлийн шийдлийг тодорхойлъё. Үүний нэгэн адил өгөгдлийн багцаас олж авсан магадлалын хамгийн их тооцоог тэгшитгэлийн шийдлээр тэмдэглэе.

(7.5.19) тэгшитгэлийг (7.5.16)-ыг харгалзан дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

(7.5.20) -ын зүүн талыг цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье. Хаана

(7.5.22)

цэг дээрх функцийн градиент вектор; , өмнөхийн магадлалын тэгшитгэлийн шийдэл учраас нэр томъёо алга болно (P - 1)-р алхам:

Эсрэг тэмдгээр авсан цэг дэх магадлалын функцын логарифмын хоёр дахь деривативуудын тэгш хэмт матриц, тэлэлтийн бичигдээгүй нөхцлүүд нь ялгааны хувьд квадрат ба жижиг дарааллаар илүү өндөр дараалалтай байна. Эдгээрийг үл тоомсорлож, бид хамгийн их магадлалын тэгшитгэлийн дараах ойролцоо шийдлийг олж авна.

урвуу матриц хаана байна.

Энэхүү шийдлийг өмнөх алхам дахь тооцоолол, залруулгаар дамжуулан тооцооллын дараагийн утгыг тодорхойлдог давтагдах хамаарлын хэлбэрээр үзүүлэв. , боломжтой ажиглалтын өгөгдлөөс шууд болон өмнөх үнэлгээнээс хамаарна. Залруулга нь шинээр олж авсан утгын нөхцөлт магадлалын нягтын логарифмын градиентийн үржвэрээр үүсгэгддэг. X n өмнөх тооцоотой тэнцүү цэг дээр жингийн матриц дээр . Сүүлийнх нь (7.5.23) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд өмнөх алхамын тооцооноос хамаардаг бөгөөд ажиглалтын шинэ өгөгдлөөс түүний хамаарал нь нөхцөлт магадлалын нягтын логарифмын хэлбэрээр бүхэлдээ тодорхойлогддог.

Харилцааны хэлбэр (7.5.24) нь (7.5.8)-тай тун төстэй бөгөөд энэ нь Ньютоны аргаар хамгийн их магадлалыг тооцоолох давталтын аргыг хэрэгжүүлдэг. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ тэд бие биенээсээ эрс ялгаатай. (7.5.8)-д тооцооллын өмнөх утгын залруулга нь бүх боломжит ажиглалтын өгөгдлөөс үргэлж хамаардаг бүх магадлалын функцийн логарифмын градиентийн хэмжээгээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь нийт хүн амыг санахыг шаарддаг. (7.5.24)-ийн дагуу залруулга нь градиентийн хэмжээгээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь нөхцөлт магадлалын нягтын шинж чанараас шалтгаалан зөвхөн статистикийн хүчтэй хамаарал бүхий утгуудаас () хамаарна. хамт X n. Энэ ялгаа нь ажиглалтын өгөгдлүүдийн багцаас олдсон хамгийн их магадлалын тооцоог нэг утгаар бууруулсан өмнөх ойролцоо тооцооллын тусгай сонголтын үр дагавар бөгөөд () -ийн бие даасан утгуудын хувьд ялангуяа тод илэрдэг. Энэ сүүлчийн тохиолдолд

үүнээс үүдэн энэ нь зөвхөн ба-аас хамаарна X n , мөн градиент нь зөвхөн тооцооллын өмнөх утга болон шинээр олж авсан утгаас хамаарна P-Хяналтын өгөгдлийн алхам. Тиймээс, бие даасан утгуудын тусламжтайгаар вектор үүсгэхийн тулд тооцооллын утгаас бусад өмнөх алхамаас бусад мэдээллийг хадгалах шаардлагагүй болно.

Үүний нэгэн адил ажиглалтын өгөгдлийн Марковын дарааллын хувьд, өөрөөр хэлбэл, хэзээ

вектор нь зөвхөн одоогийн болон өмнөх нэг утгаас хамаарна.Энэ тохиолдолд тооцооллын хувьд өмнөх алхамаас утгаас гадна ажиглалтын бүхэл бүтэн багц биш харин зөвхөн утгыг санах шаардлагатай. давтагдах журамд. Ерөнхийдөө тооцоололд өмнөх олон тооны утгыг () хадгалах шаардлагатай байж болох ч зөвхөн статистикийн хувьд хамааралтай утгуудыг харгалзан үзэх шаардлагатай тул энэ тоо бараг үргэлж бага байдаг. ажиглалтын мэдээллийн багцын нийт хэмжээ. Тэгэхээр, хэрэв вектор нь цаг хугацааны дарааллыг дүрсэлдэг бол энэ дарааллын цээжлэх гишүүдийн тоог корреляцийн цаг хугацаагаар тодорхойлох бөгөөд тэдгээрийн харьцангуй хувь нь урвуу пропорциональ буурна. n, бие даасан үнэт зүйлсийн нэгэн адил.

Одоо давтагдах хамааралд орсон жингийн матрицын бүтцийг авч үзье (7.5.24). Тодорхойлолтын дагуу (7.5.23) нэр томъёо байгаа тул энэ нь ерөнхийдөө бие даасан утгуудын хувьд ч гэсэн бүх утгуудаас хамаардаг бөгөөд энэ нь давтагдах хамаарлыг (7.5.24) холбоотой давуу талуудаас хасдаг. өмнөх алхамаас хадгалагдсан өгөгдлийн хэмжээг бууруулах боломжтой. Матрицыг ойролцоогоор тооцоолох хэд хэдэн арга байдаг , Энэ дутагдлыг арилгах.

Тэдгээрийн эхнийх нь тооцооллын дараалсан хоёр утгын хоорондох бага зөрүү гэсэн үндсэн таамаглалыг илүү тууштай ашиглахад үндэслэсэн бөгөөд энэ нь давтагдах хамаарлыг олж авах үндэс болсон (7.5.24). Энэ нь жингийн матрицын ижил төстэй давталтын хамаарлыг олж авах боломжийг бидэнд олгодог.Үнэхээр (7.5.23)-ын жижиг байдлыг ашиглан бид

Тэмдэглэгээг танилцуулснаар

(7.5.24) ба (7.5.25) -аас бид вектор ба жингийн матрицын давтагдах харилцааны системийг олж авна.

Энэхүү систем нь анхны утгуудын хамт аль ч алхам дахь тооцооны утгыг бүрэн тодорхойлдог бөгөөд тэдгээр нь тус бүр дээр зөвхөн градиент ба одоогийн ажиглагдаж буй утгын нөхцөлт магадлалын нягтын логарифмын хоёр дахь деривативын матрицыг тооцоолохыг шаарддаг. Анхны утгуудыг боломжит утгууд болон параметрийн хүрээний талаархи априори өгөгдлийг харгалзан сонгосон бөгөөд эдгээр өгөгдөл байхгүй тохиолдолд тэдгээрийг тэг (,) гэж авна.

Бие даасан утгуудын хувьд давтагдах харилцааны систем (7.5.27) нь олон хэмжээст (хэмжээ) Марковын санамсаргүй үйл явцыг тодорхой тайлбарладаг бөгөөд түүний бүрэлдэхүүн хэсэг нь параметрийн жинхэнэ утгад нийлдэг бөгөөд бүрэлдэхүүн хэсэг нь Фишерийн мэдээллийн матрицад (7.3. 8), энд тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга бөгөөд тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгддэг П.Хэрэв дараалал нь эргодик байвал илүү ерөнхий нөхцөлд систем (7.5.27) ижил төстэй нэгдэх шинж чанартай байдаг.

Дээр дурдсан аргуудын хоёр дахь нь магадлалын функцийн логарифмын хоёр дахь деривативын матрицыг түүний математик хүлээлт - Фишерийн мэдээллийн матрицаар солиход үндэслэсэн бөгөөд үүнийг (7.5.16) харгалзан дараах байдлаар бичиж болно.

(7.5.26)-тай төстэй

(7.5.24) дэх матрицыг матрицаар орлуулснаар бид давтагдах хамаарлыг олж авна.

Сакрисоны санал болгосон хамгийн их магадлалын тооцооллын ойролцоо тооцоололд (эх хувилбарт бие даасан ижил тархсан , хэзээ ба . Энэ давталтын хамаарал нь системээс (7.5.27) хялбар байдаг, учир нь оновчтой жингийн матрицыг түүний математикийн аргаар сольсон. Тооцоолсон үнэ цэнэд төвлөрсөн мэдээллээс бусад тохиолдолд үүнийг олохын тулд бэлэн байгаа ажиглалтын өгөгдөл шаардагдахгүй. Үүний зэрэгцээ, ийм орлуулалт нь (7.5.5)-тай харьцуулахад нэмэлт шаардлагыг биелүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм. 27) хоёр дахь деривативын матриц нь түүний математикийн хүлээлттэй ойролцоо байна.

Магадлалын нягтын тархалт болон матриц нь алхам тутамд өөрчлөгддөг бол алхам бүрийг шууд олоход хэт олон тооцоолол шаардагдана. Үүний зэрэгцээ, үр дүнгийн нарийвчлалын нэмэлт бууралтаас шалтгаалан жижиг ялгааны тэг тэгш бус байдалаар тодорхойлогддог тул матрицын ойролцоо утгыг дахин тооцоолоход шилжиж болно. Энэ ойролцоо утгын өмнөх тэмдэглэгээ рүү буцаж очиход бид дахин давтагдах харилцааны өөр системийг олж авна

Матрицын математик хүлээлт (нэг ажиглалтын Фишерийн мэдээллийн матриц), цэг дээр авсан . Энэ систем нь (7.5.27)-аас ялгаатай нь дахин давтагдах харилцааны хоёр дахь нь (7.5.31) ажиглалтын өгөгдлийг шууд оруулдаггүй.

Дээр авч үзсэн давтагдах харилцааны аль ч систем нь функц нь квадратаар хамааралтай, мөн хоёр дахь деривативын матриц нь -аас хамаарахгүй бол яг тохирно. Үнэн хэрэгтээ энэ нь үл мэдэгдэх математик хүлээлт бүхий бие даасан хэвийн тархсан (заавал тэнцүү биш) утгуудын хувьд тохирч байгаа бөгөөд энэ нь тооцоолсон параметр юм.

Дахин давтагдах харилцааны систем (7.5.24) нь функц нь квадратын хамааралтай байх цорын ганц шаардлага бүхий илүү өргөн нөхцөлд хамгийн их магадлалтай тэгшитгэлийн яг шийдлийг өгдөг. -аас хамаарал нь дур зоргоороо байдаг бөгөөд энэ нь бие даасан болон хамааралтай утгууд бүхий популяцийн магадлалын тархалтын өргөн ангилалд нийцдэг.

Харгалзан үзсэн ерөнхий аргуудын зэрэгцээ тодорхой хязгаарлалтад тохирсон дахилтын хамаарлын жингийн коэффициентийн матрицыг сонгох хэд хэдэн аргууд байдаг (7.5.24). Эдгээрээс хамгийн энгийн нь диагональ матрицын сонголт бөгөөд , ( Iнь таних матриц), энд дараагийн бүлгүүдэд авч үзэх Робинс-Монрогийн стохастик ойролцоолсон процедурын нэгэн адил магадлалын функцийн шинж чанараас үл хамааран сонгосон тоон коэффициентүүдийн буурах дараалал юм.

Хамгийн их магадлалын тооцоог олохын тулд давтагдах эсвэл давтагдах аливаа процедур нь ерөнхийдөө ойролцоо байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, ерөнхийдөө эдгээр процедурыг хэрэглэсний үр дүнд олж авсан тооцооллын хувьд тууштай байдал, асимптотын үр ашиг, асимптот хэвийн байдлыг шинээр нотлох ёстой. Давталтын горимуудын хувьд тооцооллын шаардлагатай шинж чанарууд нь зарчмын хувьд зохих тооны давталт бүхий ийм процедур нь магадлалын тэгшитгэлийг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар шийддэг тул баталгаатай байдаг. (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) болон бусад давтагдах процедурын хувьд тусгай нотолгоо байдаг. Үүний зэрэгцээ, тогтмол байх шаардлагаас гадна зарим нэмэлт шаардлагыг тавьдаг.

Функцийн үйл ажиллагааны талаар (7.2.2) ||-ийн өөр өөр утгуудын хувьд, давтагдах процедурыг ашиглан параметрийн жинхэнэ утгад тохирох цэг дээр энэ функцийн дэлхийн хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхийн тулд;

Том модулийн утгуудын магадлалын функцын логарифмын деривативын хоёр дахь моментийн өсөлтийн дарааллаар. Эдгээр шаардлагууд нь Марковын санамсаргүй үйл явцын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бүхэлд нь эсвэл хэсэгчилсэн цэг рүү ойртох ерөнхий нөхцлийн үр дагавар бөгөөд энэ нь нэг эсвэл өөр давтагдах процедурт хүргэдэг.

Эцэст нь хэлэхэд, хамгийн их магадлалын тэгшитгэлийн яг шийдэл байгаа тохиолдолд үүнийг бараг үргэлж рекурсив хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Бид хоёр энгийн гетероген жишээг өгдөг. Ийнхүү нийлбэр дэх хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн энгийн тооцоолол. nарифметик дундаж хэлбэрээр түүний түүврийн утгууд

Энэ нь хамгийн их магадлалын тооцоо бөгөөд үүнийг рекурсив хэлбэрээр илэрхийлж болно:

хамгийн энгийн тусгай тохиолдол (7.5.30).

Өөр нэг жишээ бол (7.4.2) -аас тэгш өнцөгт тархалтын өргөн гэсэн параметрийн тогтмол бус хамгийн их магадлалтай тооцоо бөгөөд үүнийг давталтын хамаарлаар тодорхойлж болно.

анхны нөхцөлтэй. Энэ давталтын хамаарал нь өөр төрөлтэй: түүний баруун талыг өмнөх тооцооллын нийлбэр ба жижиг засварын нийлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд энэ нь энэ жишээний жигд бус байдлын үр дагавар юм; гэхдээ энэ нь рекурсив аргын бүх давуу талуудтай: өмнөх алхамаас зөвхөн нэг тоог санах шаардлагатай - тооцоолол - бүх утгыг харьцуулахын оронд тооллогыг эрс багасгадаг.

Өгөгдсөн жишээнүүд нь үр дүнгийн аналитик дүрслэлийн энгийн байдал нь түүнийг олж авах тооцооллын энгийн байдалтай ижил биш тул магадлалын хамгийн их тэгшитгэл нь яг шийдлийг хүлээн зөвшөөрсөн тохиолдолд ч рекурсив аргын давуу талыг харуулж байна.

7.5.3. Тасралтгүй цаг руу шилжих. Хамгийн их магадлалын тооцооллын дифференциал тэгшитгэл

Одоо ажиглалтын мэдээлэл байгаа онцгой тохиолдлыг авч үзье Xтүүвэр цэгүүдийн багцаар тодорхойлогдоогүй , гэхдээ зарим үйл явцын хэрэгжилтийн хэсгийг төлөөлдөг , параметрүүдээс хамаарч интервал дээр өгөгдсөн , Үүнээс гадна ажиглалтын явцад энэ интервалын урт нэмэгдэж болно (цаг хугацаа тхувьсагч).

Ажиглалтын өгөгдлийн статистикийн тодорхойлолтын хувьд энэ тохиолдолд магадлалын харьцаа функцийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь дур мэдэн өгөгдсөн утгын багц утгын магадлалын нягтралын ижил төстэй магадлалын харьцааны дээд хязгаар юм. нягтрал нь зарим нэг тогтмол утгад, мөн зарим тохиолдолд санамсаргүй үйл явц нь ямар нэг утгын нягтралаас хамааралгүй байх тохиолдолд дүрслэлийг хүлээн зөвшөөрдөг. Магадлалын харьцааны функцийг ашиглах нь тасралтгүй цаг руу шилжихэд үүсэх магадлалын нягтыг тодорхойлох албан ёсны бэрхшээлийг арилгах боломжийг олгодог.

Магадлалын харьцааны функциональ логарифмыг дараах байдлаар илэрхийлж болно

интервал дээр зарим процесс хаана байна . Зарим тохиолдолд функц нь зөвхөн -ийн утгаас хамаарах функц болж доройтдог. Тэгэхээр хэрэв

Энэ нь цаг хугацаа ба параметрүүдийн мэдэгдэж буй функц бөгөөд спектрийн нягтралтай дельта хамааралтай санамсаргүй процесс ("цагаан" чимээ) юм. Н o , тэгвэл магадлалын тархалтын магадлалын харьцааг хуваагчаар сонгоно Xүед, бид байх болно

Let - интервал дээрх үйл явцын хэрэгжилт дээр суурилсан параметрийн хамгийн их магадлалын тооцоо, өөрөөр хэлбэл хамгийн их магадлалтай тэгшитгэлийн шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг цаг хугацааны хувьд ялгаж, бид олж авна

Тэмдэглэгээг танилцуулж байна

ба тэгшитгэлийг (7.5.42) -тай харьцуулан шийдэж, хамгийн их магадлалын тооцооллын дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

(7.5.37)-ын дагуу матрицыг дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Дискрет тохиолдлын нэгэн адил (7.5.45), (7.5.47) дахь матрицыг түүний математик хүлээлт - утга бүхий Фишерийн мэдээллийн матриц, жингийн матрицын дифференциал тэгшитгэл (7.5.46) -аар сольж болно. - тэгшитгэлээр

хаана, салангид тохиолдолтой адил

Хоёрдахь деривативын матрицын математик хүлээлт.

Дифференциал тэгшитгэлийн багц (7.5.45), (7.5.46) эсвэл (7.5.45), (7.5.48) нь анхны нөхцлийн хамт, тэдгээрийн сонголтын хувьд салангид тохиолдолд хэлсэн бүхэн хүчинтэй хэвээр байна. цаг хугацааны аль ч цэгийн магадлалын хамгийн их тооцоог тодорхойлдог. Энэ багцыг тохирох, ерөнхийдөө шугаман бус аналог төхөөрөмж ашиглан загварчлах эсвэл тохиромжтой цаг хугацааны түүврийн тусламжтайгаар компьютер ашиглан шийдэж болно. Дүгнэж хэлэхэд, бид эдгээр тэгшитгэлийн нэг өөрчлөлтийг тэмдэглэж байгаа нь матрицыг эргүүлэх шаардлагаас зайлсхийх боломжийг олгодог.

Тэмдэглэгээг танилцуулж байна

, хаана I

болон цаг хугацааны хамаарлыг ялгах , хаана Iнь таних матриц бөгөөд бид (7.5.46)-ын тусламжтайгаар матрицыг шууд тодорхойлдог дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

(мөн үүнтэй адилаар -аар солигдсон бол) нь тэгшитгэлийн хамт (7.5.45)

оноог тодорхойлдог , матрицын хөрвүүлэлт хийх шаардлагагүй. Энэ тохиолдолд хамгийн энгийн шугаман дифференциал тэгшитгэлээс (7.5.46) Риккати төрлийн дифференциал тэгшитгэлээс (7.5.51) шугаман бус тэгшитгэлд шилжих шилжилт явагдана.

Хязгаарлагдмал олонлогуудын хослолын тооцоо

Комбинаторикийн танилцуулга

Комбинаторын тооцоолол гэж нэрлэгддэг комбинатор алгоритмын онолын сэдэв нь салангид математик бүтцийн тооцоолол юм. Энэ онолд дискрет математикийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмын арга барил, хувилбаруудын тооллогыг оновчтой болгох, авч үзсэн шийдлүүдийн тоог багасгахад ихээхэн анхаарал хандуулдаг.

Комбинаторийн алгоритмын талбарт хязгаарлагдмал олонлогийн элементүүдийн тоог тоолох (тооцох) эсвэл эдгээр элементүүдийг тусгай дарааллаар жагсаах шаардлагатай ажлууд орно (Хавсралт Б). Энэ тохиолдолд буцах элемент болон түүний хувилбаруудыг сонгох журам өргөн хэрэглэгддэг.

Тоолох хоёр төрлийн асуудал байдаг. Энгийн тохиолдолд тодорхой багц өгсөн бөгөөд энэ нь шаардлагатай элементүүдийн яг тоог тодорхойлохтүүнд. Ерөнхий тохиолдолд зарим параметрээр тодорхойлогддог олонлогийн гэр бүл байдаг бөгөөд олонлогийн кардинал байдал нь параметрийн функцээр тодорхойлогддог. Үүний зэрэгцээ энэ нь ихэвчлэн байдаг функцийн дарааллын хангалттай тооцообас заримдаа танд л хэрэгтэй түүний өсөлтийн хурдыг үнэлэх. Жишээлбэл, хэрэв авч үзэж буй олонлогийн хүч нь зарим параметрт экспоненциалаар өсдөг бол энэ нь асуудлыг нарийвчлан судлахгүйгээр санал болгож буй арга барилаас татгалзахад хангалттай юм. Энэхүү илүү ерөнхий төрлийн асуудлын хувьд асимптотик тэлэлт, дахилтын хамаарал, үүсгэх функцүүдийн процедурыг ашигладаг.

Асимптотик

Асимптот нь тусгай шугам (ихэнхдээ шулуун шугам) бөгөөд авч үзэж буй муруйны хязгаар юм.

Асимптотик бол функцүүдийн өсөлтийн хурдыг тооцоолох, харьцуулах урлаг юм. Тэд ингэж хэлдэг X®¥ функц "хэрэгтэй X", эсвэл "нь ижил хурдаар нэмэгддэг X", болон at X®0 "1 шиг ажилладаг/ х". Тэд "лог хцагт х®0 ба дурын e>0 нь дараах байдалтай байна х e , мөн юу n®¥ илүү хурдан ургадаг nбүртгэл n". Ийм тодорхой бус боловч зөн совингийн хувьд тодорхой мэдэгдлүүд нь функцийг харилцаатай ижил аргаар харьцуулахад тустай.<, £ и = при сравнивании чисел.

Гурван үндсэн асимптот харилцааг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 1.Чиг үүрэг е(х) -тай тэнцүү байна g(х) цагт X® x0, хэрэв зөвхөн =1 бол.

Энэ тохиолдолд функцийг гэж хэлнэ е(х) нь функцтэй асимптотоор тэнцүү байна g(х) эсвэл юу е(х) ижил хурдтай ургадаг g(х).

Тодорхойлолт 2. е(х)=o( g(х)) цагт х® x0, хэрэв зөвхөн =0 бол.

Тэд ингэж хэлдэг х® x 0 f(х) илүү удаан ургадаг g(х), эсвэл юу е(х) "тэнд о-жижиг" -ээс g(х).

Тодорхойлолт 3 . е(х)=O( g(х)) цагт х® x0, зөвхөн sup =C гэсэн тогтмол С байгаа тохиолдолд л.

Энэ тохиолдолд тэд ингэж хэлдэг е(х) илүү хурдан ургадаг g(х), эсвэл юу ч байсан х® x 0 f(х) "том О" байна g(х).

Харьцаа е(х)=g(х)+о(h(х)) цагт х®¥ гэсэн үг е(x)-g(х)=o(h(х)). Үүнтэй адил е(х)=g(х)+О(h(х)) гэсэн үг е(х)-г(х)=О(h(х)).

O( ) ба o( ) илэрхийллийг тэгш бус байдалд ч ашиглаж болно. Жишээлбэл, тэгш бус байдал х+о(х)2 фунт хцагт х®0 гэдэг нь аливаа функцэд зориулагдсан гэсэн үг е(х) ийм байна е(х)=o(х), цагт х®¥ x+f(х)2 фунт хбүх хангалттай том утгуудын хувьд X.

Зарим ашигтай асимптот тэгшитгэлүүдийг танилцуулъя.

Олон гишүүнт нь асимптотын хувьд хамгийн дээд гишүүнтэй тэнцүү байна:

цагт х®¥; (4.1)

цагт х®¥; (4.2)

цагт х®¥ ба a k¹0. (4.3)

Бүхэл тоонуудын зэрэглэлийн нийлбэр нь дараах харьцааг хангана.

цагт n®¥. (4.4)

Тиймээс, ялангуяа бидэнд байна n®¥

Илүү ерөнхий тохиолдолд, хэзээ n®¥ ба дурын бүхэл тоо к³0

; (4.6)

. (4.7)

Дахин давтагдах харилцаа

1200 онд Фибоначчийн тавьж, судалж байсан сонгодог асуудалтай давтагдах харилцааны тухай ойлголтыг тайлбарлая.

Фибоначчи өөрийн асуудлыг туулайн популяцийн өсөлтийн хурдны тухай түүх хэлбэрээр дараах таамаглалаар тавьсан. Энэ бүхэн нэг хос туулайнаас эхэлдэг. Хос туулай бүр сарын дараа үржил шимтэй (үржил шимтэй) болж, дараа нь хос бүр сар бүр шинэ хос туулай төрүүлдэг. Туулай хэзээ ч үхдэггүй, үржил нь зогсдоггүй. Болъё F n- дараа нь популяцийн хос туулайн тоо nсар ба энэ хүн амаас бүрдэх болтугай Н нхог хаягдал хос ба О н"хуучин" хосууд, өөрөөр хэлбэл. F n = Н н + О н. Тиймээс дараагийн сард дараахь үйл явдлууд тохиолдох болно.

Хуучин хүн ам ( n+1)-р мөч нь тухайн үеийн төрөлтийн тоогоор нэмэгдэнэ n, өөрөөр хэлбэл O n+1 = О н + Н н= F n;

Хөгшин бүхэн цаг хугацааны хувьд nхос нь цагтаа үйлдвэрлэдэг ( n+1) хос үр удам, өөрөөр хэлбэл. Nn+1= C n.

Дараа сард энэ хэв маяг давтагдана:

O n+2 = O n+1+ Nn+1= Fn+1,

Nn+2=O n+1;

Эдгээр тэгш байдлыг нэгтгэн бид Фибоначчийн давталтын хамаарлыг олж авна.

O n+2 + Nn+2=Fn+1 + O n+1,

Fn+2 = Fn+1 + F n. (4.8)

Фибоначчийн дарааллын эхний нөхцөлийг сонгох нь чухал биш; Энэ дарааллын чухал шинж чанарууд нь давтагдах хамаарлаар тодорхойлогддог (4.8). Ихэвчлэн итгэдэг F0=0, F1=1 (заримдаа F0=F1=1).

Давтагдах хамаарал (4.8) нь тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман давталтын харилцааны онцгой тохиолдол юм.

x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +...a k x n-k , (4.9)

коэффициентүүд хаана байна a iхамаарахгүй nболон x 1, x2, …, х көгсөн гэж үзнэ.

Шийдвэрлэх ерөнхий арга байдаг (өөрөөр хэлбэл олох x nфункц болгон n) тогтмол коэффициент бүхий шугаман давтагдах хамаарал. Энэ аргыг (4.8) хамаарлыг жишээ болгон авч үзье. Бид маягтаас шийдлийг олдог

F n=crn (4.10)

байнгын хамт -тайболон r. Энэ илэрхийллийг (4.8)-д орлуулснаар бид олж авна

cr + 2 = crn+ 1 + crn,

crn(rn-r-1)=0. (4.11)

Энэ нь тийм гэсэн үг F n=crnаль нэг нь шийдэл юм -тай=0, эсвэл r= 0 (тиймээс бүгдэд нь F n =0 n), мөн түүнчлэн (мөн энэ нь илүү сонирхолтой тохиолдол юм) хэрэв r 2 - r -1=0, тогтмол -тайдур зоргоороо. Дараа нь (4.11) -ээс дараах зүйл гарч ирнэ

r= эсвэл r = . (4.12)

Эрт дээр үеэс 1 талтай гурвалжин (тэгш өнцөгт) нь нүдэнд хамгийн тааламжтай харьцаатай байдаг гэж үздэг байсан тул "1.618" тоог "алтан" харьцаа гэж нэрлэдэг.

Нэг төрлийн шугаман давталтын хоёр шийдлийн нийлбэр нь мэдээжийн хэрэг шийдэл бөгөөд Фибоначчийн дарааллын ерөнхий шийдэл нь

F n= , (4.13)

тогтмолууд хаана байна -тайболон хамт'эхний нөхцлөөр тодорхойлогддог. F 0 =0 ба F 1 =1-ийг тавиад бид дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна.

, (4.14)

хэний шийдэл өгдөг

в = -в" = . (4.15)

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман давтагдах харилцаа. Дахин давтагдах харилцааны үндсэн тодорхойлолт ба жишээнүүд. Ихэнхдээ нэг комбинаторын асуудлын шийдлийг латин хэлний давтагдах - буцах гэсэн үгнээс давтагдах гэж нэрлэгддэг зарим харилцааны тусламжтайгаар жижиг хэмжээтэй ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэх хүртэл багасгаж болно. Иймд ээдрээтэй асуудлын шийдлийг хялбархан шийдлийг дараалан олж, дараа нь давтагдах харьцааны дагуу дахин тооцоолж хүнд хэцүү асуудлын шийдлийг олох боломжтой. Давтагдах хамаарал...

Нийгмийн сүлжээн дэх ажлаа хуваалцах

Хэрэв энэ ажил танд тохирохгүй бол хуудасны доод талд ижил төстэй бүтээлүүдийн жагсаалт байна. Та мөн хайлтын товчийг ашиглаж болно

Аранов Виктор Павлович Дискрет математик. Бүлэг 2. Комбинаторикийн элементүүд.

Лекц 5

Лекц 5. ДАХИН ХАРИЛЦАХ АРГА

Лекцийн төлөвлөгөө:

1. Давтагдах харилцааны үндсэн тодорхойлолт, жишээ.
2. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман давтагдах харилцаа. Томъёо

Бинет.

1. Давтагдах харилцааны үндсэн тодорхойлолт ба жишээнүүд

Ихэнхдээ нэг комбинаторын асуудлын шийдлийг гол гэж нэрлэгддэг зарим хамаарлыг ашиглан доод хэмжээтэй ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэхэд багасгаж болно.Р түрээс (Латин үгнээсдавтагдах - буцах). Тиймээс, хялбар асуудлын шийдлийг дараалан олох замаар нарийн төвөгтэй асуудлын шийдлийг олж авах боломжтой бөгөөд цаашлаад nд давтагдах харьцаагаар тооцоолж, хэцүү асуудлын шийдлийг олох.

--р эрэмбийн давталтын хамааралтоонуудын дарааллын элементүүдийн хоорондохыг хэлбэрийн томъёо гэж нэрлэдэг

(1)

Хувийн шийдвэрдавтагдах харьцаа нь аливаа залгамжлагч юмб (1)-ийг ижил төстэй байдал болгон хувиргах харилцаа. Харилцаа (1) imд Эхний элементүүд нь дараалсан байдаг тул хязгааргүй олон тодорхой шийдэл байдагО sti-г дур мэдэн тохируулж болно. Жишээ нь, дараалал нь p байнад давтагдах харилцааО шийдлүүд, учир нь таних тэмдэг.

--р эрэмбийн давтагдах харилцааны шийдлийг нэрлэнэнийтлэг, хэрэв энэ нь a дурын тогтмолуудаас хамаардаг ба эдгээр тогтмолуудыг сонгосноор бид чаднасайн гэхдээ энэ харилцааны ямар нэгэн шийдлийг олоорой. Жишээлбэл, харьцааны хувьдэ нияа

(2)

ерөнхий шийдэл байх болно

. (3)

Үнэн хэрэгтээ (3) дараалал (2) хамаарлыг таних тэмдэг болгон хувиргаж байгааг шалгахад хялбар байдаг. Иймд (2) харьцааны аливаа шийдэл боломжтой гэдгийг л харуулах хэрэгтэйсайн гэхдээ (3) хэлбэрээр илэрхийлнэ. Гэхдээ энэ харилцааны аливаа шийдэл нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.Т үнэт зүйлстэй ба. Тиймээс бид дурын тооны хувьд m байгаа гэдгийг батлах ёстойа ямар үнэ цэнэ, юу

Энэ систем нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул (3) шийдэл нь (2) харьцааны ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1. Фибоначчийн тоо.1202 онд Италийн алдарт математикч ЛеО Фибоначчи хочоороо илүү алдартай Пизагийн нардо ( Fib o nacci - товчилсон filius Bonacci , өөрөөр хэлбэл Боначчийн хүү) ном бичсэн " Liber abacci "(" Ном болон га абакусын тухай"). Энэхүү ном нь 1228 оноос эхтэй хоёр дахь хувилбараараа бидэнд ирсэн бөгөөд энэ номонд өгөгдсөн олон асуудлын нэгийг авч үзье.

Хос туулай сард нэг удаа хоёр туулай (эм, эр) гэх мэт үр удмаа авчирдаг.болон шинэ төрсөн туулайгаас хоёр сарын дараа аль хэдийн үр удмаа төрүүлдэг. Хэдэн туулай гарч ирэх болд res жил, хэрэв оны эхэнд нэг хос туулай байсан бол?

Асуудлын нөхцөл байдлаас харахад нэг сарын дараа хоёр хос туулай гарч ирнэ. Хоёр сарын дарааБи бол Зөвхөн эхний хос туулай үр удмаа өгөх бөгөөд та 3 хос авах болно.А өөр сард анхны хос туулай, хоёр сарын өмнө гарч ирсэн хос туулай хоёулаа үр төлтэй болно. Тиймээс нийтдээ 5 хос туулай гэх мэт.

r-ийн эхэн үеэс хойш хэдэн сарын дараа хос туулайн тоогоор тэмдэглэнэО Тиймээ. Дараа нь хэдэн сарын дараа эдгээр хосууд болон олон шинэ төрсөн хосууд байх болно.О нүүр царай, р сарын сүүлээр хичнээн олон байсан, өөрөөр хэлбэл илүү олон хос. Тиймээс r байнад Одоогийн харьцаа

. (4)

Үүнээс хойш, дараа нь бид дараалан олдог: гэх мэт Эдгээр тоо нь дарааллыг бүрдүүлдэг

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…,

дуудсанФибоначчийн ойролцоо, түүний гишүүд - Фибоначчийн тоо. Тэд хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг. Фибоначчийн тоо нь дараах комбинатортой холбоотойгэхдээ хэцүү ажил.

Хоёр 1-гүй урттай хоёртын үгийн тоог ол d эгнээ.

Эдгээр үгсийг нэрлэезөв мөн тэдгээрийн тоог -оор тэмдэглэнэ. Эдгээр энгийн үгсийн багцыг тэгээр төгссөн үгс, нэгээр төгссөн үгс гэж хоёр ангилъя. Эдгээр ангиудын үгсийн тоог тэмдэглэеТ хариуцлагатай. Нэмэх дүрмийн дагуу

(5)

Мэдээжийн хэрэг, тэгээр төгссөн үгийн хувьд эхний тэмдэгтүүд нь ердийн урттай үгийг бүрдүүлдэг, эсвэл өөрөөр хэлбэл, тэгээр төгссөн тогтмол урттай үгсийн багц ба ердийн урттай үгсийн багц хооронд хуваагдал байдаг, өөрөөр хэлбэл.

Хэрэв хүчинтэй урт үг нэгээр төгссөн бол тухайн үгийн өмнөх тэмдэгт тэг байх ёстой бөгөөд эхний тэмдэгтүүд нь зөв урттай үг үүсгэх ёстой. Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил бид нэгээр төгссөн ердийн урттай үгсийн багц ба урттай ердийн үгсийн багцын хооронд дахин хуваагдана. Тиймээс. . (5) томъёоноос бид рекурсив хамаарлыг олж авнатухай

. (6)

Давталтын хамаарлыг ашиглахын тулд энэ тооцоог хийх шаардлагатай-тай өмнөх бүх утгыг өөрчлөх. Жишээлбэл, бид дүрмийн тоог мэдэх шаардлагатай болб 10 тэмдэгтээс бүрдсэн үг байвал дараах хүснэгтийг дараалан бөглөх замаар олж болноб царай:

Хүснэгт 1

Эхний хоёр утгыг шууд (0 ба 1 гэсэн үгс; - 000, 010, 101 гэсэн үгс), үлдсэнийг нь (6) томъёогоор олно.

Жишээ 2 Ассоциатив бус хогийн савтай илэрхийлэлд хаалт хийх асуудалүйл ажиллагаа. Хоёртын үйлдлийг “” гэж тэмдэглэе. авч үзнэ үүс тэмдэг нь зарим хоёртын холбоогүй байдлыг илэрхийлдэг илэрхийлэла идэвхтэй ажиллагаа. Үүнд хаалтуудыг байрлуулах олон янзын арга байдаг s raz e nii?

Ассоциатив бус үйлдлийн жишээ бол вектор үржвэр юм. Өөр нэг жишээ бол компьютер дээр хийгддэг ердийн нэмэх, үржүүлэх явдал юм. -тэй хамтболон Компьютерийн санах ойд тоо бүрийн дүрслэл тодорхой хэмжээгээр хязгаарлагддаг n цифрүүдийн тоо, үйлдэл бүрийг гүйцэтгэх үед алдаа гардаг бам Эдгээр алдааны хүлээгдэж буй үр дүн нь хаалтны зохион байгуулалтаас хамаарна. зөвшөөрөх -машин тэг . Энэ нь тийм гэсэн үг. Дараа нь.

Хаалтанд байрлуулах боломжит аргуудын тоог дараах байдлаар тэмдэглэе. Дараа нь

Бид үйл ажиллагааг болзолт бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Дурын хувьд бид хаалт зохион байгуулах бүх аргыг ангиудад хуваадаг, үүнд --р ангида chala, эхний болон сүүлчийн операндуудын үржвэрийг тодорхой зайд тооцдога шинэ хаалт, дараа нь тэдгээрийн үржвэрийг тооцоолно:

(7)

хаана.

Тодорхойлолтоор эхний операндуудыг тооцоолох хаалтуудыг цэгцлэх аргын тоо тэнцүү, сүүлчийнх нь - . Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу зохицуулалтын тооО (4) илэрхийллийн тал тэнцүү байна. Нэмэх дүрмийн дагуу

, (8)

Тухайлбал, .

1. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман давталтын харилцаа

(1)-тэй холбоотой функцийг шугам гэж үзьеНоа

, (9)

хэдэн тоо хаана байна. Ийм харьцаа гэж нэрлэдэгшугаман харьцаа тогтмол коэффициент бүхий --р эрэмбийн шийдлүүд.

Эхлээд хоёр дахь эрэмбийн харилцааг нарийвчлан авч үзээд дараа нь oб одоогийн тохиолдол. -д (9) томъёоноос бид олж авна

, . (10)

Эдгээр харилцааны шийдэл нь дараах амархан батлагдсан мэдэгдлүүд дээр суурилдагэ ниях.

Лемма 1. (10) харьцааны шийдэл, дурын тоо байг. Дараа нь дараалал нь бас шийдэгдэнэболон энэ харьцааг идээрэй.

Лемма 2. -ийн шийдэл байцгааяО шийдэл (10). Дараа нь дараалал нь бас байнаБи бол энэ харилцааны шийдэл юм.

Эдгээр хоёр энгийн лемма нь дараах чухал дүгнэлтэд хүргэдэг. утгуурП амрах үйлдлүүдтэй бүх боломжит дараалал байгаа эсэхР Динатик нэмэх ба скаляраар үржүүлэх нь вектор орон зайг үүсгэдэг. утгуурП (10) харьцааны шийдэл болох дарааллын тоог илэрхийлнэО тэр орон зайн дэд орон зайтай тулалдах. Бүх боломжит хаалттай орон зайО дараалал нь хязгааргүй хэмжээст боловч шугаман давталтын шийдлийн дэд орон зайТ харьцаа нь тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү хязгаарлагдмал хэмжээстэй байнаэ нияа.

Лемма 3. Давтагдах харилцааны (10) шийдлийн орон зайн хэмжээ нь хоёртой тэнцүү байна.

Лемма 3-аас (12) тэгшитгэлийн бүх шийдлийг тодорхойлохын тулд шугаман бие даасан хоёр шийдийг олох шаардлагатай байна. Өөр ямар ч шийдэл байх болноб нь эдгээр үндсэн шийдлүүдийн шугаман хослол юм.

Эхний дарааллын дахилтын хамаарлыг авч үзье

, (11)

тогтмол хаана байна.

Хэрэв (11) -ээс бидэнд байна

, (12)

өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр эрэмбийн рекурсив тэгшитгэлийн шийдэл нь геометрийн прогресс юм.

Бид 2-р эрэмбийн давталтын харилцааны шийдлийг мөн (12) хэлбэрээр хайх болно. Дараа нь (12)-г (9) орлуулснаар бид олж авна

. (13)

=0-ийн хувьд бид тэг шийдэлтэй бөгөөд энэ нь сонирхолгүй юм. Бид сүүлчийн харьцааг дараахь байдлаар хуваана.

(14)

Иймд геометр прогресс (12) нь хэрвээ прогрессийн хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур бол давтагдах харьцааны (10) шийдэл болно.д нияа (14). Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэгшинж чанарын тэгшитгэлдавтагдах coo-ийн хувьд t өмссөн (9).

Үндсэн шийдлүүдийг бүтээх нь үндэс ба шинж чанарын тэгшитгэлээс хамаарна (14).

1. (). Энэ тохиолдолд бид хоёр шийдэлтэй бөгөөд аль нь lмөн үл мэдэгдэх Sims. Үүнийг батлахын тулд бид үүнийг томъёогоор харуулав

(15)

Тогтмолуудын тохирох сонголтоор (10) хамаарлын аливаа шийдлийг гаргаж болно. Дурын шийдлийг авч үзье. Бид тогтмолуудыг сонгох ба дараах байдлаар:

(16)

Шугаман системийн тодорхойлогч (16)

тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд энэ нь томъёо (15) нь ерөнхий р гэсэн үг юмд хамаарал (10).

1. . Олон үндэстэй тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл (13) нь эсвэл хэлбэртэй байна. Дараа нь, мөн хамаарлын хувьд (10) хО ба гэсэн хоёр үндсэн шийдлийг өгөх тэгшитгэлийг олж авна. Ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

. (17)

(9)-р эрэмбийн харилцааны хувьд 2-р эрэмбийн тэгшитгэлд авч үзсэнтэй төстэй мэдэгдлүүд явагдана.

1. (9) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн багц нь pr дахь дэд орон зай юмО бүх дарааллын орон зай.
2. Энэ орон зайн хэмжээ нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл шийдэл бүр нь анхны утгаараа өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.
3. Шийдлийн дэд орон зайн үндсийг тодорхойлохын тулд шинж чанар e тэгшитгэл

. (18)

Олон гишүүнт

(19)

дуудсан онцлог олон гишүүнтрекурсив хамаарал (9).

1. Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл өөр өөр үндэстэй бол давтагдах харилцааны ерөнхий шийдэл (9) хэлбэртэй байна.

. (20)

Уусмалын өгөгдсөн анхны утгуудын хувьд тогтмол nа системээс гарах

1. Хэрэв шинж чанарын үржвэрийн тэгшитгэлийн үндэс бол (9) хамаарал нь дараах шийдлүүдтэй байна

Онцлог тэгшитгэл (18) нь үндэстэй байг: ,..., үржвэрүүдО хариуцлагатай, ..., үүнээс гадна. Дараа нь шинж чанарын багцО (9) харьцааны нэр томьёо ба ерөнхий шийдийг хэлбэрээр илэрхийлнэ

Жишээ 3. Бинетийн томъёо . h-ийн тодорхой хэлбэрээр томьёо олж авах даалгаврыг өгьеболон Фибоначчи суув. Үүний тулд бид давтагдах харьцааны шийдлийг (4) гэсэн нөхцлөөр олно. Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиож, түүний үндсийг олж, ерөнхий шийдлийг олж авна. Тогтмол ба тодорхойлолтуудд эхний нөхцлөөс lim: . Дараа нь ч гэсэн

, (21)

алтан харьцаа хаана байна. Формула (21) гэж нэрлэдэгБинегийн томъёо . Хаана. Binet-ийн томъёоноос ийм зүйл гарч ирдэг.

Таны сонирхлыг татахуйц холбоотой бусад бүтээлүүд.vshm>
3792.		Аж ахуйн нэгжийн хөрөнгийн харьцааны оновчтой байдал	113.83KB
	Баланс нь санхүүгийн тайлангийн үндсэн хэлбэр юм. Энэ нь тайлант өдрийн байгууллагын өмч, санхүүгийн байдлыг тодорхойлдог. Баланс нь тайлант өдрийн бүх нягтлан бодох бүртгэлийн дансны үлдэгдлийг тусгасан болно. Эдгээр үзүүлэлтүүдийг балансад тодорхой бүлэгт хуваадаг.
8407.		тогтмол арга	17.82KB
	Обьектийн арга нь биелсэний дараа объектын төлөв байдал өөрчлөгдөхгүй бол хувиршгүй (тогтвортой) шинж чанартай гэж хэлдэг.Хэрэв та хувиршгүй байдлын шинж чанарыг хянахгүй бол түүний хангалт нь тухайн хүний ​​ур чадвараас бүрэн хамаарна. программист. Хэрэв хувиршгүй арга нь гүйцэтгэлийн явцад гадны нөлөөлөл үүсгэдэг бол үр дүн нь хамгийн гэнэтийн байж болох бөгөөд ийм кодыг дибаг хийх, хадгалахад маш хэцүү байдаг.
13457.		Фазын хавтгай арга	892.42KB
	Фазын хавтгайн аргыг Францын эрдэмтэн Анри Пуанкаре анх шугаман бус системийг судлахад ашигласан. Энэ аргын гол давуу тал нь шугаман бус системийн хөдөлгөөний шинжилгээний нарийвчлал, харагдах байдал юм. Арга нь чанарын хувьд
2243.		БОЛОМЖТОЙ ЧИГЛЭЛИЙН АРГА	113.98KB
	MRI-ийн боломжит чиглэлүүдийн аргын санаа нь дараалсан цэг бүрт буух чиглэл байдаг бөгөөд энэ чиглэлийн дагуу тодорхой зайд цэгийг хөдөлгөх нь асуудлын хязгаарлалтыг зөрчихгүй байх явдал юм. Хэрэв чиглэлээс хангалттай бага хөдөлгөөн хийвэл зөвшөөрөгдөх талбайн m-ийн гадна цэгийг авч чадахгүй бол вектороор тодорхойлогдсон чиглэлийг тухайн цэг дээрх боломжит чиглэл гэж нэрлэдэг.Мэдээж хэрэв олонлогийн дотоод цэг бол энэ дээрх дурын чиглэл нь тодорхой байна. цэг боломжтой. Боломжтой...
12947.		ГАРМОНИК Шугаманчлах арга	338.05KB
	Гармоник шугаманчлалын аргыг шууд авч үзэхэд бид судалж буй шугаман бус системийг харуулсан хэлбэрт хүргэсэн гэж үзэх болно. Шугаман бус элемент нь хоёр дахь төрлийн тасалдалгүйгээр интегралдах боломжтой бол ямар ч шинж чанартай байж болно. Энэ хувьсагчийг үхсэн бүс бүхий шугаман бус элементээр хувиргах жишээг Зураг дээр үзүүлэв.
2248.		ХХК-ийг шийдвэрлэх график арга	219.13KB
	Энэ хэсгийн дотор болон хил дээр байрлах цэгүүд нь хүчинтэй онгоц юм. Тухайлбал, AB сегментийн бүх цэгүүд нь шугаман хэлбэрийн хамгийн их утгад хүрсэн асуудлын оновчтой төлөвлөгөө юм. Төлөвлөгөөний дараалсан сайжруулах арга Энэ арга нь шугаман хэлбэрийг нэмэгдүүлэх, багасгах чиглэлд асуудлын төлөвлөгөөний багцын булангийн цэгүүдийг дарааллаар нь тоолоход үндэслэсэн бөгөөд үндсэн гурван зүйлийг агуулна. Нэгдүгээрт, суурь үзүүлэлтийг тооцоолох аргыг зааж өгсөн болно.
7113.		Гармоник шугаманчлалын арга	536.48KB
	Гармоник шугаманчлалын арга Энэ арга нь ойролцоо учраас тодорхой таамаглалыг хангасан тохиолдолд олж авсан үр дүн нь үнэнд ойр байх болно: Шугаман бус систем нь зөвхөн нэг шугаман бус байдлыг агуулсан байх ёстой; Системийн шугаман хэсэг нь хязгаарын мөчлөгт үүсэх өндөр гармоникуудыг сулруулдаг нам дамжуулалтын шүүлтүүр байх ёстой; Энэ аргыг зөвхөн бие даасан системд хэрэглэнэ. Бид системийн чөлөөт хөдөлгөөнийг, өөрөөр хэлбэл гадны нөлөөлөл байхгүй үед тэгээс өөр анхны нөхцөл дэх хөдөлгөөнийг судалдаг....
10649.		Шинжилгээний индексийн арга	121.13KB
	бие даасан индексүүд. Ерөнхий нэгтгэсэн индексүүд. Хөрвүүлсэн дундаж индексүүд. Хувьсах ба тогтмол бүрэлдэхүүний индексүүд бүтцийн шилжилтийн индексүүд.
12914.		Хамгийн бага квадрат арга	308.27KB
	Үүнийг онолын үүднээс авч үзье. Тиймээс бидний даалгавар бол шулуун шугамыг хамгийн сайн аргаар зурах явдал гэж хэлж болно. Бүх алдаа энд байна гэж бид таамаглах болно. Санамсаргүй нэмэлт нь хамгийн бага байхын тулд бид хүссэн коэффициентүүдийг харгалзан үзэх болно.
9514.		Нягтлан бодох бүртгэлийн арга	1002.23KB
	Нягтлан бодох бүртгэлийн rahunki гэж їх pobudova. Vіn sladєtsya z хэд хэдэн elementіv golovnі z yakikh: баримт бичиг; бараа материал; рахунки; дэд бичлэг; үнэлгээ; тооцоо; тэнцвэр; эрүүл мэнд. Рахунки нягтлан бодох бүртгэл нь хөрөнгө, өр төлбөр байгаа эсэхийг хүлээн зөвшөөрсөн. Нягтлан бодох бүртгэлийн rahunki гэж їх pobudova.

ДАХИН ХАРИЛЦААНД

ДАХИН ХАРИЛЦААНД

(лат. recur-rens, genus case recurrentis - буцах) - бие биенээ дагаж тодорхой дарааллыг холбодог ижил төрлийн f-ууд (энэ нь тоонуудын дараалал, f-тис гэх мэт байж болно). R.-тай холбогдсон объектуудын шинж чанараас хамааран эдгээр харилцаа нь алгебрийн, функциональ, дифференциал, интеграл гэх мэт байж болно.

Наиб. R.-ийн сайн мэдэх анги нь давтагдах функцууд юм тусгай функцууд.Тийм, төлөө цилиндр функцууд Z m (x)П. -тай. шиг харагдах

Тэд функцээр нь зөвшөөрдөг Z m0 (x) функцийг олох Z м (x) цагт Т= Т 0 б 1, Т 0 б 2гэх мэт эсвэл жишээлбэл, функцүүдийн утгын дагуу хэзээ нэгэн цагт X 0 . 0 аль нэг функцийн утгыг (тоон тооцоололд) ол

Яг тэр үед (энд м 0 - дурын бодит тоо).

Доктор. чухал анги R. s. Дараалсан ойролцоо тооцооллын олон аргыг өг (харьц. давталтын арга);аргууд энд байна онолын хямрал.

Квантын механикт Гильберт муж дахь векторуудыг холбогч өөр нэг төрлийн R. s. байдаг. Жишээлбэл, хөдөлгөөнгүй зохицол, осцилляторыг сөрөг бус бүхэл тоогоор параметржүүлдэг. Харгалзах векторуудыг , хаана гэж тэмдэглэв n- бүхэлд нь, өөр өөр nүүсгэх операторуудын үйлдлээр бие биенээсээ авч болно a +болон сүйрэл а:

Эдгээр харилцааг дурын векторыг (хамгийн бага энергийн төлөв, h = 0):

Энэхүү бүтээн байгуулалтын ерөнхий ойлголт нь дүрслэл юм хоёр дахь квантчлалквант статистикт. механик ба квант талбайн онол (харна уу Фокзай).

R. s-ийн ердийн жишээ. статистикт механик - Боголюбовын гинжийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн хуваарилалтын функцүүдийн тэгшитгэл (үзнэ үү. Боголюбовын тэгшитгэл);Ийм ф-ионуудын талаархи мэдлэг нь бүх термодинамикийг олох боломжийг олгодог. системийн шинж чанар.

Квант талбайн онолд динамик. агуулагдсан, жишээ нь, дотор Ногоон функцууд.Тэдний тооцооллын хувьд янз бүрийн Ойролцоо, ихэнхдээ - цочролын онолын тооцоо. Альтернатив арга нь интегро-дифференциал дээр суурилдаг Дайсон тэгшитгэл, R. s.: хоёр цэгийн Гринийн функцийн тэгшитгэл нь дөрвөн цэгийн нэгийг агуулсан гэх мэт. Боголюбовын тэгшитгэлийн нэгэн адил энэ системийг зөвхөн гинжийг ("таслах" газар) "таслах" замаар л шийдэж болно. нь ихэвчлэн физик шинж чанараас сонгогддог бөгөөд үр дүнг тодорхойлдог).

Өөр нэг төрлийн R. s. квант талбайн онолд - Баримтлалын бүлэгонолын хувьд тохируулгын талбарууд.Эдгээр таних тэмдэг нь мөн Грийн функцийг Dec-тэй холбосон интегро-дифференциал харилцааны хэлхээг төлөөлдөг. гадаад шугамын тоо, p нь онолын хэмжүүрийн инвариант байдлын үр дагавар юм. Тэд процедурын явцад тохируулгын тэгш хэмийг шалгахад шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэдэг дахин хэвийн болгох.

Эцэст нь, энэ нь бас давтагдах журам юм: алхам бүрт (дараагийн давталт бүрт) эсрэг заалтууд,Цөөн гогцоотой диаграммуудын тооцооноос олж авсан (дэлгэрэнгүй мэдээллийг үзнэ үү R ажиллагаа).А.М.Малокостов.

Физик нэвтэрхий толь бичиг. 5 боть. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. Ерөнхий редактор А.М.Прохоров. 1988 .

Бусад толь бичгүүдээс "RECURRENT RELATIONS" гэж юу болохыг харна уу:

давтагдах харилцаа- - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи орос толь бичиг. М .: GP TsNIIS, 2003.] Сэдэв мэдээллийн технологийн ерөнхий EN давтагдах харилцаа ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

- (Веберийн функцууд) Лапласын тэгшитгэл, тэгшитгэл зэрэг математик физикийн тэгшитгэлд хувьсагчдыг салгах аргыг хэрэглэснээр олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл болох тусгай функцүүдийн ерөнхий нэр, тэгшитгэл ... ... Wikipedia

Эсвэл Иосефийн шүлэг бол түүхэн өнгө аястай, алдартай математикийн асуудал юм. Энэ даалгавар нь Йодфат хотыг хамгаалж байсан Иосиф Флавиусын отряд агуйг хаасан Ромчуудын дээд хүчинд бууж өгөхийг хүсээгүй гэсэн домог дээр үндэслэсэн болно. ... ... Википедиа

Пафнутый Львович Чебышев Математикт бодит олон гишүүнтийн хязгааргүй дарааллыг ортогональ олон гишүүнтийн дараалал гэж нэрлэдэг ... Wikipedia

Энэ нийтлэлийг устгахыг санал болгож байна. Шалтгаануудын тайлбар болон холбогдох хэлэлцүүлгийг Википедиа хуудаснаас олж болно: Устгах / 2012 оны 11-р сарын 22. Хэлэлцүүлгийн явцад ... Википедиа

Падован дараалал нь анхны утга бүхий бүхэл тоо P(n) ба шугаман давталтын хамаарал юм. P(n)-ийн эхний утгууд нь 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 ... Википедиа

Тодорхой хэлбэрийн гермит олон гишүүнтүүд нь нэг бодит хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийн дараалал юм. Эрмит олон гишүүнтүүд магадлалын онол, комбинаторик, физикт үүсдэг. Эдгээр олон гишүүнтүүдийг Чарльз Эрмитийн нэрээр нэрлэсэн. Агуулга 1 ... ... Википедиа

- (Бесселийн функц) параметр (индекс) v нь дурын бодит эсвэл комплекс тоо байх Бесселийн тэгшитгэлийн Zv(z) шийдлүүд. Хэрэглээний хувьд ихэвчлэн дөрвөн параметрээс хамаарах тэгшитгэлтэй тулгардаг: шийдлүүд нь C... Физик нэвтэрхий толь бичиг

Шугаман алгебрийн системийг шийдвэрлэх арга. тэгшитгэл A x= b Гермитийн ганц биш матрицтай A. Шууд аргуудын дотроос энэ нь компьютер дээр хэрэгжихэд хамгийн үр дүнтэй байдаг. Аргын тооцооллын схем нь ерөнхийдөө Гермитийн хүчин зүйлчлэл дээр суурилдаг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Өөрчлөгдсөн Бесселийн функцууд нь цэвэр төсөөллийн аргументийн Бесселийн функцууд юм. Хэрэв бид дифференциал Бесселийн тэгшитгэлээр солих юм бол энэ нь хэлбэрийг авна. Энэ тэгшитгэлийг өөрчилсөн Бесселийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ... Wikipedia

Давтагдах хамаарал байна захиалга k , хэрэв f(n+k)-г f(n), f(n+1), …, f(n+k-1)-ээр илэрхийлэхийг зөвшөөрвөл.

Жишээ.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 нь хоёр дахь эрэмбийн давтагдах хамаарал юм.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) нь гурав дахь эрэмбийн давтагдах хамаарал юм.

Хэрэв k-р эрэмбийн давтагдах хамаарлыг өгөгдсөн бол дарааллын эхний k элементийг дур мэдэн тохируулж болох тул хязгааргүй олон дараалал нь үүнийг хангаж чадна - тэдгээрийн хооронд ямар ч хамаарал байхгүй. Харин эхний k нэр томъёо өгөгдсөн бол бусад бүх элементүүд онцгой тодорхойлогдоно.

Дахин давтагдах хамаарал болон эхний нөхцлүүдийг ашиглан дарааллын нөхцлүүдийг нэг нэгээр нь бичиж болох бөгөөд эрт орой хэзээ нэгэн цагт бид түүний аль нэг гишүүнийг авах болно. Гэсэн хэдий ч хэрэв та дарааллын зөвхөн нэг тодорхой гишүүнийг мэдэх шаардлагатай бол өмнөх бүх зүйлийг тооцоолох нь оновчтой биш юм. Энэ тохиолдолд n-р гишүүнийг тооцоолох томьёотой байх нь илүү тохиромжтой.

Давтагдах харилцааны шийдэлӨгөгдсөн хамаарал нь ижил байх аливаа дарааллыг дуудна.

Жишээ. 2, 4, 8, …, 2 n дараалал нь f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n) харьцааны шийдэл юм.

Баталгаа. Дарааллын нийтлэг гишүүн нь f(n)=2 n . Тэгэхээр f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1 . Аливаа n-ийн хувьд 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n ижил утгатай байна. Иймд f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) томьёонд 2 n дарааллыг орлуулахад хамаарал яг адилхан биелнэ. Тиймээс 2 n нь заасан хамаарлын шийдэл юм.

Давтагдах харилцааны шийдэлк-р дарааллыг дууддаг ерөнхий, хэрэв энэ нь дурын k тогтмол α 1 , α 2 , … α k-аас хамаарах ба эдгээр тогтмолуудыг сонгосноор энэ харилцааны дурын шийдлийг гаргаж болно.

Жишээ. Давтагдах хамаарлыг өгөгдсөн: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Үүний ерөнхий шийдэл нь f(n)= α 2 n + β3 n хэлбэртэй болохыг баталъя.

1. Эхлээд f(n)=α 2 n + β3 n дараалал нь давтагдах харилцааны шийдэл гэдгийг батална. Энэ дарааллыг давтагдах хамааралд орлуулаарай.

f(n)= α 2 n + β 3 n , тэгэхээр f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2, тэгвэл

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2) n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 – 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).

Дахин давтагдах хамаарал нь тохирч байгаа тул α 2 n + β 3 n нь энэхүү давтагдах харилцааны шийдэл болно.

2. f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) харьцааны дурын шийдийг f(n)= α 2 n + β 3 n гэж бичиж болохыг баталъя. Гэхдээ хоёрдахь эрэмбийн дахилтын харилцааны аливаа шийдэл нь дарааллын эхний хоёр гишүүний утгуудаар тодорхойлогддог. Иймд аливаа a=f(1) ба b=f(2)-ын хувьд 2 α +3 β =a, 4 α +9 β =b байхаар α ба β байдгийг харуулахад хангалттай. Тэгшитгэлийн систем нь a ба b-ийн аль ч утгын шийдэлтэй болохыг харахад хялбар байдаг.

Иймд f(n)= α 2 n + β 3 n нь f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) давтагдах харилцааны ерөнхий шийдэл болно.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман давталтын харилцаа

Дахин давтагдах харилцааг шийдвэрлэх ерөнхий дүрэм байдаггүй боловч тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритмыг мэддэг давтагдах харилцааны нэг анги байдаг. Эдгээр нь тогтмол коэффициент бүхий шугаман давтагдах харилцаа юм, i.e. төрлийн харьцаа:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+…+c k f(n).

Нэгдүгээр эрэмбийн тогтмол коэффициенттэй ерөнхий шугаман дахилтын харилцааны шийдлийг олъё.

Нэгдүгээр эрэмбийн тогтмол коэффициенттэй шугаман давталтын хамаарал нь f(n+1)=c f(n) хэлбэртэй байна.

f(1)=a, f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, f(4)=c-тэй төстэй. 3 ∙a гэх мэтээр f(n)=cn -1 ∙f(1) болохыг анхаарна уу.

c n -1 ∙f(1) дараалал нь нэгдүгээр эрэмбийн давтагдах харилцааны шийдэл гэдгийг баталъя. f(n)=c n -1 ∙f(1), тэгэхээр f(n+1)=c n f(1). Энэ илэрхийллийг хамааралд орлуулснаар c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1) адилтгалыг олж авна.

Одоо илүү дэлгэрэнгүй авч үзье хоёрдугаар эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман давталтын харилцаа , өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн харилцаа

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).

Дээд зэрэглэлийн харилцаанд ч гэсэн бүх бодол үнэн гэдгийг анхаарна уу.

Шийдлийн шинж чанарууд:

1) Хэрэв x n дараалал нь шийдэл (*) бол a∙x n дараалал нь мөн шийдэл болно.

Баталгаа.

x n нь (*) -ийн шийдэл бөгөөд x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n болно. Бид тэгш байдлын хоёр талыг а-аар үржүүлнэ. Бид a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n болно. Энэ нь ax n нь шийдэл (*) гэсэн үг юм.

2) Хэрэв x n ба y n дараалал нь шийдэл (*) бол x n +y n дараалал нь мөн шийдэл болно.

Баталгаа.

x n ба y n нь шийдлүүд тул дараахь ижил төстэй шинж чанаруудыг хангана.

x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .

Хоёр тэгш байдлын гишүүнийг гишүүнээр нэмье:

xn +2 +yn +2 =С 1 ∙xn +1 +С 2 ∙xn + С 1 ∙yn +1 +С 2 ∙yn = С 1 ∙(xn +1 + yn +1)+С 2 ∙(xn) +yn). Энэ нь x n +y n нь (*) -ийн шийдэл гэсэн үг юм.

3) Хэрэв r 1 нь r 2 =С 1 r+С 2 квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бол (r 1) n дараалал (*) хамаарлын шийдэл болно.

r 1 нь квадрат тэгшитгэлийн шийдэл r 2 =C 1 r+C 2 тул (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 болно. Тэгш байдлын хоёр талыг (r 1) n -ээр үржүүлье. Авах

r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.

r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.

Энэ нь (r 1) n дараалал нь (*) -ийн шийдэл гэсэн үг юм.

Эдгээр шинж чанаруудаас дараахь зүйл гарч ирнэ шийдвэрлэх аргаХоёрдахь эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман давталтын харилцаа:

1. r 2 =C 1 r+C 2 шинж чанарын (квадрат) тэгшитгэлийг зохио. Үүний r 1, r 2 үндсийг олъё. Үндэс нь өөр бол ерөнхий шийдэл нь f(n)= ar 1 n +βr 2 n .

2. a ба β коэффициентүүдийг ол. f(0)=a, f(1)=b гэж үзье. Тэгшитгэлийн систем

аль ч a ба b-ийн шийдэлтэй. Эдгээр шийдлүүд нь

Даалгавар . Фибоначчийн дарааллын нийтлэг гишүүний томъёог олцгооё.

Шийдэл . Онцлог тэгшитгэл нь x 2 \u003d x + 1 эсвэл x 2 -x-1 \u003d 0 хэлбэртэй, үндэс нь тоонууд бөгөөд энэ нь ерөнхий шийдэл нь f (n) \u003d хэлбэртэй байна гэсэн үг юм. . Эндээс харахад хялбар байдаг тул f(0)=0, f(1)=1 гэсэн анхны нөхцлөөс харахад a=-b=1/Ö5, улмаар Фибоначчийн дарааллын ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна. :

.

Гайхалтай нь энэ илэрхийлэл нь n-ийн бүх натурал утгыг бүхэл тоогоор авдаг.