Möbius funkcija. Möbius inversijos formulė. Mobius juosta - nuostabus Mobius juostos atradimas "Magija".

Savivaldybės biudžetinė ugdymo įstaiga vidurinė Bendrojo lavinimo mokyklos su nuodugniais individo tyrimais

daiktai su. Terbuny

Mobius juosta

Užbaigė: Čepurina Anna Vitalievna,

10 klasės mokinys

Vadovas: Kirikova M.A.

pirmasis matematikos mokytojas

kvalifikacinė kategorija

Terbuny kaimas

2015 m

Įvadas……………………………………………………………………………………

Istorinis pagrindas………………………………………………………………

Möbius juosta yra naujo topologijos mokslo pradžia...................................5

Mobius juostelės kūrimas……………………………………………………………………………………………………………………………………

Eksperimentai su Mobius juostele.................................................. ......................9

Mėbiuso juostos topologinės savybės………………………..11

Teoremos ant Möbius juostos………………………………………….12

Triukai su Mobius juostele…………………………………………………………15

Möbius juostos taikymas………………………………………..16

Išvada................................................ ............................................23

Naudotos literatūros sąrašas.................................................. ........ .25

Taikymas

Įvadas

Šiais laikais svarbu ištirti įvairias neįprastų figūrų savybes ir nestandartinį pritaikymą.

Ar kada nors girdėjote apie Möbius juostą? Kaip jis gali būti pagamintas, kaip jis susijęs su matematika ir kur jis naudojamas gyvenime.

Atlikdamas šį darbą priėjau išvados, kad nors Mėbijaus juosta buvo atrasta dar XIX a., ji buvo aktuali ir XX, ir XX a. Nuostabios Möbius juostos savybės buvo ir yra naudojamos kulinarijoje, technologijose, fizikoje, tapyboje, architektūroje, kuriant papuošalus ir bižuteriją. Jis įkvėpė daugelio rašytojų ir menininkų kūrybą.

Susidomėjimas Möbius juosta neišblėso iki šiol. 2006 m. rugsėjį Maskvoje vyko Meninės matematikos festivalis. Profesoriaus iš Tokijo kalba buvo sutikta itin sėkmingai.

Mane ši tema labai sudomino ir sudomino. Studijavau literatūrą, tada pats pasidariau Mobius juostelę, o paskui dariau tyrimus, eksperimentus, tyrinėjau jos magiškas, nepaprastas savybes.

Möbius juostelė yra popieriaus juostelė, kurios vienas galas pasuktas pusę apsisukimo (ty 180 laipsnių) ir priklijuotas prie kito galo. Milijonai žmonių visame pasaulyje net nesuvokia, kad kasdien naudojasi Möbius juostele.

Tikslas : papasakokite ir parodykite savo klasės draugams, kad iš pažiūros paprasta juostelė, pasukta

pusapsis suklijuotais galais, gali buti daug

netikėtumai.

Studijų objektas: Möbius juosta.

Užduotys: nustatyti šaltinius ir literatūrą šia tema ir juos analizuoti;

susipažinti su Mobius juostos istorija;

išmokti pasidaryti Mobius juostelę;

ištirti įvairias Möbius juostos savybes;

Dirbdamas prie temos naudojau štai ką metodus: analizė, sintezė,

stebėjimas, eksperimentas, palyginimas ir sociologinis tyrimas.

SKYRIUS aš

"Möbius juosta - naujo mokslo pradžia"

1. 1. Istorinis pagrindas

Paslaptingąją ir garsiąją Möbius juostą 1858 metais išrado vokiečių geometrijaAugustas Ferdinandas Mobiusas . Sakoma, kad Mobiui „lapą“ atplėšti padėjo tarnaitė, neteisingai susiuvusi ilgos juostelės galus. Septynerius metus jis laukė, kol jo darbas bus peržiūrėtas, ir nelaukęs paskelbė jo rezultatus.

Tuo pačiu metu kaip Möbius, kitas K. F. Gausso mokinys išrado šį lapą -Johanas Benediktas Listingas, Getingeno universiteto profesorius. Savo darbą jis paskelbė trejais metais anksčiau nei Mobiusas, 1862 m. A. F. Mobius gimė Schulpforte mieste. Kurį laiką, vadovaujamas K. Gauso, studijavo astronomiją. Jis pradėjo vykdyti nepriklausomus astronominius stebėjimus Pleisenburgo observatorijoje 1818 m. tapo jos direktoriumi. Tais laikais matematika nebuvo remiama, o astronomija duodavo pakankamai pinigų, kad apie jas negalvotų, palikdavo laiko savo mintims. Tapęs Leipcigo universiteto profesoriumi, 1816 m. Möbius pirmą kartą pristatė projekcinę geometriją, koordinačių sistemą ir analitinius tyrimo metodus; nustatė, kad egzistuoja vienpusiai paviršiai (Mėbius juostos), daugiakampiai, kuriems negalioja „briaunų dėsnis“ ir kurie neturi tūrio. Möbiusas yra vienas iš geometrinių transformacijų teorijos, taip pat topologijos įkūrėjų. Jis gavo svarbių rezultatų skaičių teorijoje (Möbius funkcija) ir tapo vienu iš pirmaujančių savo laiko geometrijų.

1.2. Möbius juosta – naujo topologijos mokslo pradžia

Nuo to momento, kai vokiečių matematikas A. F. Möbius atrado nuostabaus vienpusio popieriaus lapo egzistavimą, pradėjo vystytis visiškai nauja matematikos šaka, vadinama topologija. Terminas „topologija“ gali būti priskirtas dviem matematikos šakoms. Viena topologija, kurios įkūrėjas buvo Poincaré, ilgą laiką buvo vadinama kombinatorine. Kitas, kurio ištakos buvo vokiečių mokslininkas Georgas Cantoras, buvo pavadintas bendruoju arba aibių teoretišku.

Kombinatorinė topologija yra geometrijos šaka. „Geometrija“ yra graikiškas žodis, išvertus į rusų kalbą reiškia „žemės matavimas“ („geo“ graikiškai reiškia žemę, o „metreo“ – matuoti) tiria figūrų savybes. Kaip ir bet kuris mokslas, geometrija yra padalinta į skyrius.

1. Planimetrija (lot. žodis „planum“ – paviršius + geometrija), geometrijos atkarpa, tirianti figūrų plokštumoje (trikampio, kvadrato, apskritimo, apskritimo ir kt.) savybes.

2. Stereometrija (graikų k. „stereos“ – erdvė + geometrija) – geometrijos skyrius, tiriantis figūrų savybes erdvėje (sfera, kubas, gretasienis ir kt.)

H. Topologija (gr. „topos“ – vieta, reljefas + logika) – viena „jauniausių“ šiuolaikinės geometrijos pjūvių, tirianti tokių figūrų savybes, kurios nesikeičia jas sulenkus, ištempus, suspaudus, bet nesuklijuojant. ir neplyš, t.y., nesikeičia deformuodamas. Topologinių objektų pavyzdžiai yra: raidės I ir H, ploni ilgi balionai.

Kombinatorinė topologija tiria savybes geometrines figūras, kurios išlieka nepakitusios naudojant „vienas su vienu“ ir nuolatinį atvaizdavimą. Ilgą laiką topologija buvo suvokiama kaip toli nuo gyvenimo mokslas, skirtas tik „šlovinti žmogaus protą“. Tačiau mūsų laikais tapo aišku, kad tai tiesiogiai susiję su visatos sandaros paaiškinimu.

Bendroji topologija yra greta aibių teorijos ir yra matematikos pagrindas. Tai aksiomatinė teorija, skirta tyrinėti tokias sąvokas kaip „riba“, „konvergencija“, „tęstinumas“ ir kt. Topologinės erdvės aksiomatikos pagrindus padėjo Felixas Hausdorffas ir užbaigė. rusų matematikas Pavelas Sergejevičius Aleksandrovas.

1.3. Kaip pasidaryti Möbius juostelę

● Möbius juosta yra viena iš (matematinių staigmenų) Norėdami pagaminti Möbius juostelę, paimkite stačiakampę juostelę ABCD, pasukite 180 laipsnių kampu ir klijuokite priešingas puses AB irCD, t.y. taigi taškai A ir sutapsC ir taškais D ir V.

Žr. adj. vienuolika.

● Popieriaus juostelių formos ir dydžiai už Möbius juostą.

Juostelė turi būti siaura ir ilga, jos ilgio ir pločio santykis turi būti kuo didesnis. Negalite padaryti Möbius juostelės iš kvadratinio popieriaus lapo. Tai tiesa, tačiau negalima neįvertinti, kad dydžio apribojimai yra svarbūs, kai popieriui neleidžiama susiraukšlėti. Jei popieriaus glamžyti nedraudžiama, tai Möbius juostelę galima klijuoti ne tik iš kvadrato, bet iš bet kokio dydžio stačiakampio - klijuoti šonai gali būti net kiek kartų ilgesni už neklijuotuosius.

● Vystymo paviršius.

Kadangi reikalavimas neglamžyti popieriaus yra svarbus, pažiūrėkime, kokia jo matematinė reikšmė.

Nesunku suprasti, kad draudimas glamžyti popierių gerokai apriboja

gebėjimas manipuliuoti popieriaus lapu. Pavyzdžiui, popieriaus lapas gali būti susuktas į vamzdelį arba sulankstytas per pusę nesiglamžydamas, bet jo negalima sulankstyti į keturias. Galite padaryti kūgį iš popieriaus lapo jo nesuglamžydami, bet negalite padaryti rutulio ar net gabalo: prispauskite popieriaus lapą prie gaublio ir tikrai atsiras klostės. Kaip matote, popieriaus lapui negalima suteikti jokios formos. Žr. adj. 2.

Paviršius, kuriuos galima pagaminti iš popieriaus lapo jį sulenkus nesutraiškant, matematikai vadina vystomais paviršiais. Matematikoje plėtojami paviršiai apibrėžiami skirtingai: metamatematinėje kalboje nėra žodžių „popierius“, „glamžyti“, „padaryti“. Yra visa plėtojamų paviršių teorija, tarp kurios pasiekimų yra patenkinamas atsakymas į klausimą, kokie jie gali būti; matematikai tai vadina „klasifikacija“ (atsakymas priklauso Leonardo Euleriui). Pateiksime tik kai kurias išryškinamų paviršių savybes kaip eksperimentinius faktus.

Žr. adj. 3

1. Per kiekvieną išryškinamo paviršiaus tašką A, kuris nėra ant jo ribos, eina atkarpa, esanti ant paviršiaus, kuri nesibaigia ties A. Kitaip tariant, į kiekvieną išryškinamo paviršiaus tašką (išlenktą, bet nesuglamžytą). popieriaus lapas) mezgimo adatą galima pritvirtinti taip, kad ji tam tikru mastu būtų greta paviršiaus abiejose paimto taško pusėse. Toks segmentas vadinamas paviršiaus generatoriumi (sutikime, kad šis pavadinimas taikomas tik didžiausio ilgio segmentams, kurie yra visiškai ant paviršiaus, tai yra segmentams, kurių nėra dideliuose segmentuose, turinčiuose šią savybę).

2. Jei du skirtingi generatoriai eina per tašką A, kuris nėra ant paviršiaus ribos, o A nėra nė vieno iš jų galas, tai pakankamai mažas paviršiaus gabalas, supantis A, yra plokščias. Šiuo atveju tašką A vadinsime plokščiu.

3. Jei taškas A, kuris nėra ant paviršiaus ribos, yra kurio nors generatoriaus galas, tarkime,A , tada taško A kaimynystė struktūrizuota taip: per tašką A eina vienintelė generatrix, kuri tuo nesibaigia, tarkimeb . Šis generatrix padalina paviršių į dvi dalis. Kitoje generatrix pusėjeb , su kuria yra generatoriusa , prie generatoriaus b plokščias gabalas yra greta, kitoje pusėjeb , savavališkai nuo taško A, yra neplokščių taškų. Šioje situacijoje tašką A vadinsime pusiau plokščiu.

Pabrėžiame, kad jei paviršiaus taškas nėra nei ribinis, nei plokščias, tai per jį praeina viena generacija, kuri tuo nesibaigia, o jos galai yra ant paviršiaus ribos.

●Pavyzdžiai: popieriaus lapas, susuktas į cilindrą arba kūgį, neturi plokščių (arba pusiau plokščių) taškų. Cilindre generatoriai sudaro šeimą lygiagrečiai segmentai, kūgis turi segmentų šeimą, išsiskleidžiančią iš vieno taško. Galimi sudėtingesni generatricų išdėstymai.

Žr. adj. 4 .

Pavyzdžiui, formuojamojo paviršiaus generatoriai ir plokšti taškai pavaizduoti paveiksle (kuriame paviršius išlankstytas į plokščią popieriaus lapą): plonos linijos yra generatoriai, o nuspalvintos sritys susideda iš plokščių taškų.

Taškai, esantys ant plokščių taškų srities ribos, yra viso paviršiaus arba pusiau plokšti ribiniai taškai. Jei paviršius sudarytas iš popierinio daugiakampio (tarkime, stačiakampio), tada plokštieji taškai sudaro vieną ar kelis plokštuminius daugiakampius, kurių kiekvieno viršūnės yra ant paviršiaus ribos, o kraštinės yra ant ribos arba susideda iš pusiau plokštuminių taškų.

2 SKYRIUS

2.1. Eksperimentai su Mobius juostele

Kiekvienas iš mūsų intuityviai supranta, kas yra „paviršius“. Popieriaus lapo paviršius, klasės sienų paviršius, Žemės rutulio paviršius yra visiems žinomas. Ar tokioje įprastoje koncepcijoje gali būti kas nors paslaptingo? Taip, galbūt pavyzdys yra Möbius juosta. Norėdamas ištirti jo savybes, aš pats atlikau keletą eksperimentų (suskirstiau juos į dvi grupes).

aš eksperimentų grupė

Eksperimentas Nr.1. Esame įpratę, kad prie bet kurio paviršiaus, nuo kurio

mes prekiaujame (popieriaus lapas, dviratis ar tinklinio vamzdis) –

dvi pusės.

Mobiuso juostelę pradėjau dažyti neapversdamas.

Rezultatas . Möbius juosta buvo visiškai nudažyta.

„Jei kas nuspręs nuspalvinti tik vieną pusę

Möbiuso juostos paviršiaus, tegul jis tuoj pat visa tai panardina į kibirą dažų. - puikiai rašo Richardas Courantas ir Herbertas Robinsas

knyga "Kas yra matematika?"

Patirtis Nr.2. Iš popieriaus padariau vorą ir musę ir išsiunčiau „pasivaikščioti“.

eilinį žiedą, bet uždraudė jiems kirsti sienas.

Rezultatas. Voras negalėjo patekti į musę.

Eksperimentas Nr. 3. Siunčiu šiuos vorus ir skrendu tik palei Mobius juostą. IR

uždraudė jiems šliaužti per sieną.

Rezultatas.Vargšė musė bus suėsta, jei, žinoma, voras bėgs

greičiau!

Patirtis Nr.4. Iš popieriaus padariau mažą žmogeliuką ir nusiunčiau jį keliauti po Mobius juostą.

Rezultatas. Žmogus grįš į išvykimo tašką, kur susitiks su savo veidrodiniu atvaizdu.

II eksperimentų grupė

susiję su Möbius juostos pjovimu, rezultatai pateikiami lentelėje

patirtį

Patirties aprašymas

Rezultatas

Išilgai per vidurį nupjaunu paprastą žiedą.

Gavau du paprastus žiedus, vienodo ilgio, dvigubai platesnius, su dviem apvadais.

Möbius juosta buvo nupjauta išilgai per vidurį.

Gavau 1 žiedą, kurio ilgis dvigubai ilgesnis, plotis dvigubai siauresnis, susuktas 1 pilnas apsisukimas, su vienu apvadu.

Möbius juostos plotis

5 cm iškirpti išilgai 1 cm atstumu nuo krašto.

Gavau du žiedus, sujungtus vienas su kitu: 1) Mobius juostelę - ilgis = originalo ilgis, plotis 3 cm; 2) plotis 1 cm, ilgis du kartus didesnis už originalą, susukti du pilni apsisukimai, su dviem apvadais.

Möbius juostos plotis

5 cm iškirpti išilgai 2 cm atstumu nuo krašto.

Gavau du žiedus, sujungtus vienas su kitu: 1) žiedas yra 1 cm pločio Möbius juostelė, ilgis = originalo ilgis; 2) žiedas - 2 cm pločio, dvigubai ilgesnis už originalų, susuktas dviem pilnais apsisukimais, su dviem apvadais.

5 cm pločio Möbius juosta, perpjauta išilgai 3 cm atstumu nuo krašto.

Gavau du žiedus, susietus vienas su kitu: 1) žiedas yra Möbius juosta, kurios plotis

1 cm tokio pat ilgio; 2) žiedas - 2 cm pločio, jo ilgis dvigubai didesnis už originalą, susuktas du pilni apsisukimai.

Sociologinės apklausos, atliktos su 10 klasės mokiniais, rezultatai.

Klausimai

Taip

Nr

Ar girdėjai

1. Ar žinote, kas yra topologija?

2. Ar žinote, kas yra Mobius juostelė?

3.Ar žinojai Mobius juostos savybės?

Tik 5% 10 klasės mokinių žino, kas yra topologija. 30 % mokinių žino, kas yra Mobius juostelė, 20 % yra apie tai girdėję. 50% neturi supratimo apie Mobius juostą. 25% studentų žino juostelės savybes, 10% apie jas yra girdėję, 65% nieko nežino apie Mėbius juostos savybes.

2.2.Mobiuso juostos topologinės savybės

Remiantis eksperimentų rezultatais, galime suformuluoti tokias Möbius juostos topologines savybes, susijusias su matematiniais netikėtumais.

Vienpusiškumas yra topologinė Mėbiuso juostos savybė, būdinga tik jai.

Tęstinumas – ant Möbius juostos galima prijungti bet kurį tašką

su bet kuriuo kitu tašku. Pertraukų nėra – visiškas tęstinumas.

Topologiniu požiūriu apskritimas nesiskiria nuo kvadrato,

nes jas lengva paversti viena kita nesulaužant

tęstinumą.

Ryšys – norint perpus žiedą prireiks dviejų pjūvių. Kalbant apie Möbius juostą, jungčių skaičius keičiamas priklausomai nuo juostos apsisukimų skaičiaus pasikeitimo: jei vienas posūkis prijungtas dvigubai, jei du posūkiai yra tiesiog sujungti, jei trys posūkiai yra sujungti dvigubai ir tt padalinkite kvadratą į dvi dalis, mums reikia tik vieno pjūvio. Ryšys paprastai vertinamas pagal Betti skaičių arba kartais naudojama Eulerio charakteristika.

4. Orientacija yra savybė, kurios Möbius juostoje nėra. Taigi, jei žmogus galėtų keliauti visais Mobius juostos vingiais, tada jis grįžtų atspirties taškas, bet virstų jo veidrodiniu atvaizdu.

5. „Chromatinis skaičius“ – tai didžiausias plotų skaičius, kurį galima nupiešti ant paviršiaus, kad kiekvienas iš jų turėtų bendrą kraštą su visais kitais. Möbius juostelės chromatinis skaičius yra šeši.

6.Teoremos ant Mėbius juostos

1 teorema: λ ≥ π/2

Dėl įrodinėjimo sudėtingumo savo darbe į tai neatsižvelgiu.

2 teorema: λ ≤ √3

Ši teorema yra paprastesnė nei ankstesnė: norint ją įrodyti, pakanka paaiškinti, kaip iš juostos, kurios ilgis yra didesnis nei √3, suklijuoti Möbius juostelę. Pirmiausia darykime prielaidą, kad jo ilgis yra lygiai √3. Tada ant šios juostelės galite įdėti du įprastus trikampius. Sulenkime juostelę išilgai šių trikampių kraštų, keisdami lenkimo kryptis. Juostos kraštai AB ir CD susilygiuos, taškas A susilygins su tašku D, o taškas B su tašku C. Gausis Möbius juosta, kurios kraštai yra išdėstyti vienas nuo kito (žr. 1.2 priedą). )

Šioje konstrukcijoje buvo pažeista pagrindinė taisyklė – neglamžyti popieriaus. Tačiau nesunku suprasti, kad jei juostelės ilgis yra bent šiek tiek didesnis nei √3, tada pertrauką išilgai generatoriaus galima pakeisti lenkimu, atliekamu siauroje atkarpoje. Trumpai tariant, mes nebijome lenkimo tiesiame segmente: jį galima pakeisti arti jo esančiu posūkiu. (Nepataisomas popierius susiglamžo, kai susikerta dvi lenkimo linijos, t. y. kai lapas sulankstytas kaip nosinė – visa tai mums žinoma iš kasdienės patirties.) Jo struktūrą galima įsivaizduoti taip: trys vienodi taisyklingi trikampiai ABC, A"B"C", A"B"C yra lygiagrečiai vienas kitam, atitinkamos viršūnės yra virš atitinkamų viršūnių; pusės AB ir A"B", B"C" ir B"C", C"A" ir CA yra sujungtos trumpikliais. Klijavimo linija eina išilgai vieno iš trikampių vidurio.

Kodėl negalime rasti λ tiksliau?

Kol problema neišspręsta, sunku pasakyti, kodėl ji neišsprendžiama. Nepaisant to, kartais įvairiose neišspręstuose uždaviniuose galima atsekti bendrus sunkumus, pažymėti, taip sakant, sudėtingas vietas matematiniame žemėlapyje, o tai kartais leidžia numatyti sėkmę ar nesėkmę sprendžiant konkrečią problemą.

3 teorema. Iš bet kokio ilgio juostos, ilgesnės nei π/2, galima suklijuoti Mėbiuso juostą su savaiminiais susikirtimais.

Tai daroma taip. Paimkime pakankamai didelį nelyginį n ir sukonstruokime taisyklingąjį n-kampį, įrašytą į apskritimą, kurio skersmuo 1. Toliau panagrinėkime n trikampių, turinčių apskritimo centrą, kurių kiekvieną riboja n- kraštinė ir dvi įstrižainės. gon (n=7). Šie trikampiai kelis kartus dengia mūsų n-kampį, kai kurias jo vietas. Dabar pritaikykime šiuos n trikampių vienas kitam, po to nupjaukime pusę kairiojo kairiojo trikampio išilgai ilgosios medianos ir pritaikome prie dešiniojo trikampio. Gaunama stačiakampė juostelė, kurios ilgio ir pločio santykis yra didesnis nei π/2 ir linkęs į π/2 kaip n, linkęs į ∞ (juostelės plotis siekia 1, o ilgis – π/2). Nuosekliai sulenkite šią juostelę išilgai visų ant jos nubrėžtų linijų, keisdami lankstymo kryptis. AB ir CD segmentai beveik sutaps – tarp jų bus tik keli sluoksniai sulankstyto popieriaus. Šiame „beveik išlygiavime“ taškas A susilygins su D, o taškas B – su C, taigi, jei galėtume „praleisti juostą“ ir priklijuoti |AB| su |CD|, tada rezultatas būtų Möbius juosta. Patraukus juostą kiek ilgiau, galima išvengti klostelių, lygiai taip pat, kaip darėme 2 teoremos įrodyme. Gavome Möbius juostelę, kurios kraštus skiria keli popieriaus sluoksniai, žr. 1.3 priedą. Bet grįžkime prie Möbius juostos. 1 teorema, kaip matėme, iš tikrųjų taikoma savaime susikertančioms juostoms. Mažai tikėtina, kad savaiminio susikirtimo sąlyga neturėtų jokios įtakos λ; Tačiau į šį efektą atsižvelgti negalima, nes matematika neturi pakankamai techninių priemonių, kad galėtų ištirti savarankiškus susikirtimus trimatėje erdvėje. Priešingai, gana tikėtina, kad 2 teorema negali būti patobulinta. Juk ją tobulinti reiškia sugalvoti naują juostos dizainą. Patirtis rodo, kad optimalios konstrukcijos yra paprastos ir harmoningos, tokia ir yra 2 teoremos įrodymo konstrukcija. Natūralu manyti, kad jei būtų geriausia konstrukcija, ji būtų rasta – po tiek metų!

Štai kodėl galime tikėtis λ = √3.

Moebijaus juostelių triukai

Problema rišant mazgus

Kaip surišti mazgą šalikoje nepaleidus jo galų? Tai galima padaryti taip. Padėkite šaliką ant stalo. Sukryžiuokite rankas ant krūtinės. Laikydami juos šioje pozicijoje, pasilenkite virš stalo ir kiekviena ranka paeiliui paimkite vieną skarelės galą. Išskleidus rankas, šaliko viduryje automatiškai susiformuos mazgas. Naudojant topologinę terminologiją, galima teigti, kad žiūrovo rankos, jo kūnas ir skara sudaro uždarą kreivę „trijų lapų“ mazgo pavidalu. Išskėstant rankas mazgas tik nuo rankų juda į skarelę.

Viena ranka suriškite mazgą į šaliką, nepaleisdami nuo rankos šaliko galo. Atsakymą į šį galvosūkį galima rasti M. Gardnerio knygoje „Matematiniai stebuklai ir paslaptys“.

Topologiniu požiūriu liemenę galima laikyti dvipusiu paviršiumi su trimis nesusijungiančiais kraštais, kurių kiekvienas yra įprastas uždaras kreivė. Užsegama liemenė yra dvipusis paviršius su keturiais kraštais.

Paslaptinga kilpa.

Liemenę vilkinčiam žiūrovui ant rankos uždedama kilpa, o tada jo prašoma įkišti nykštį į apatinę liemenės kišenę. Dabar galite pakviesti susirinkusiuosius nuimti kilpą nuo rankos, neištraukdami piršto iš liemenės kišenės. Išeitis tokia: kilpą reikia įtraukti į liemenės angą rankovei, užmesti žiūrovui per galvą, ištraukti per antrąją rankovės angą ir perkelti po antrąja ranka. Dėl šių veiksmų kilpa bus po liemene, apjuosdama krūtinę. Nuleiskite ją, kol pasirodys iš po liemenės, tada leiskite nukristi ant grindų.

Liemenės apvertimas aukštyn kojomis jos nenuimant nuo žmogaus.

Liemenės savininkui reikia suglausti pirštus už nugaros. Aplinkiniai turėtų apversti liemenę iš vidaus, neatskirdami savininko rankų. Norint pademonstruoti šią patirtį, būtina atsegti liemenę ir užtraukti ją per rankas už nugaros. Liemenė kabės ore, bet, žinoma, nenusis, nes rankos susikabinusios. Dabar reikia paimti kairįjį liemenės kraštą ir, stengiantis nesuglamžyti liemenės, įstumti ją kuo toliau į dešinę porankio angą. Tada paimkite dešinę rankos skylę ir įkiškite ją į tą pačią angą ta pačia kryptimi. Belieka ištiesinti liemenę ir užtempti ją savininkui. Liemenė bus apversta aukštyn kojomis. Šį triuką atlikome ir filmavome su klasės draugais. Jis pateiktas pristatyme „Mobius Strip“.

2.3. Möbius juostos pritaikymas

∞ Prie įėjimo į Istorijos ir technologijų muziejų Vašingtone ant pjedestalo lėtai sukasi per pusę apsisukimo pasukta plieninė juosta. 1967 m., kai Brazilijoje vyko Tarptautinis matematikos kongresas, jo organizatoriai išleido atminimo antspaudą penkių centavo nominalų. Jame buvo pavaizduota Mėbijaus juosta. Tiek daugiau nei dviejų metrų aukščio paminklas, ir mažasis antspaudas yra unikalūs paminklai vokiečių matematikui ir astronomui Augustui Ferdinandui Möbiusui.

Žr. 5 priedą.

Patentų tarnyba yra užregistravusi daug išradimų, paremtų tuo pačiu vienpusiu paviršiumi.

∞ Möbius juosta naudojama daugelyje išradimų, įkvėptų kruopštaus vienpusio paviršiaus savybių tyrimo. Konvejerio juosta, pagaminta Möbius juostos pavidalu, leidžia jai dirbti dvigubai ilgiau, nes visas lakšto paviršius susidėvi tolygiai. 1923 m. buvo išduotas patentas išradėjui Lee de Force'ui, kuris pasiūlė įrašyti garsą į filmą nekeičiant ritės iš karto iš abiejų pusių. Buvo išrastos kasetės magnetofonams, kur juosta susukama ir suklijuojama į žiedą, kas leidžia įrašyti arba nuskaityti informaciją iš abiejų pusių vienu metu, kas padvigubina kasetės talpą ir atitinkamai grojimo laiką. Taškiniuose spausdintuvuose rašalo juostelė buvo suformuota kaip Möbius juostelė, kad būtų padidintas galiojimo laikas. Tai leidžia žymiai sutaupyti. Möbius juosta naudojama dviračių ir tinklinio vamzdeliuose.

∞ Visai neseniai jie surado kitą panaudojimą – jis pradėjo atlikti spyruoklės, tik ypatingos spyruoklės, vaidmenį. Kaip žinote, įkrauta spyruoklė suveikia priešinga kryptimi. Mobius juostelė, priešingai visiems dėsniams, nekeičia veikimo krypties, kaip ir mechanizmai su dviem stabiliomis padėtimis. Tokia spyruoklė galėtų tapti neįkainojama suvyniojamuose žaisluose – jos negalima susukti kaip įprastos – savotiškas amžinasis variklis.

Žr. adj. 6.

∞ 1971 metais išradėjas iš Uralo P.N. uždėjo filtrą Mobius juostelės pavidalu.

∞ Mobiuso lapas naudojamas gaminant maistą, kad būtų sukurta įdomi ir patraukli bandelių, krekerių ir krūmų išvaizda. Taip pat gaminant įrankius įvairiems patiekalams ruošti ir dekoruoti, jėgos struktūras (maišytuvą).

Žr. adj. 7.

∞ Möbius juostos pagalba sukuriami ištisi šedevrai.

Möbius juosta buvo įkvėpimo šaltinis skulptūroms ir grafikos menui. Escheris buvo vienas iš menininkų, kurie jį ypač mėgo ir keletą savo litografijų skyrė šiam matematiniam objektui. Viename garsiajame pavaizduotos skruzdėlės, ropojančios Möbius juostos paviršiumi.

Žr. 9 priedą.

∞ Möbius juosta taip pat reguliariai pasirodo mokslinėje fantastikoje, pavyzdžiui, Arthuro C. Clarke apsakyme „Tamsos siena“. Kartais mokslinės fantastikos istorijos rodo, kad mūsų Visata gali būti kažkokia apibendrinta Möbius juosta. Pasakojime autorius A.J. Deitch, Bostono metro stato naują liniją, kurios maršrutas tampa toks painus, kad virsta Mobius juosta, po kurios šioje linijoje pradeda dingti traukiniai.

∞ Egzistuoja hipotezė, kad pati DNR spiralė taip pat yra Mobiuso juostelės fragmentas, ir tik dėl to genetinį kodą taip sunku iššifruoti ir suvokti. Be to, tokia struktūra gana logiškai paaiškina prasidėjusią biologinės mirties priežastį: spiralė užsidaro pati savaime ir įvyksta savęs sunaikinimas.

10 priedas.

∞ Mėbijaus juosta patiko ne tik matematikams, bet ir magai

Daugiau nei 100 metų Möbius juosta buvo naudojama įvairiems magiškiems triukams ir pramogoms atlikti. Nuostabios lapo savybės buvo pademonstruotos net cirke, kur buvo pakabintos ryškios juostelės, suklijuotos Möbius juostelių pavidalu. Magas prisidegė cigaretę ir degančiu galu palietė kiekvienos juostelės vidurinę liniją, kuri buvo pagaminta iš kalio nitrato. Ugninis takas pirmąją juostelę pavertė ilgesne, o antrąją – dviem juostelėmis, įsriegtais viena į kitą. (Šiuo atveju magas Mobius juostelę nukirpo ne per vidurį, o trečdalio jos pločio atstumu).

∞ Fizikai teigia, kad visi optiniai dėsniai pagrįsti Mobiuso juostos savybėmis, ypač atspindys veidrodyje yra tam tikras perkėlimas laike, trumpalaikis, trunkantis šimtąsias sekundės dalis, nes matome prieš save. tiesa, mūsų veidrodis dvigubas.

∞Yra hipotezė, kad mūsų Visata greičiausiai uždaryta toje pačioje Mobiuso juostoje, pagal reliatyvumo teoriją, kuo didesnė masė, tuo didesnis erdvės kreivumas. Ši teorija visiškai patvirtina prielaidą, kad erdvėlaivis, visą laiką skrendantis tiesiai, gali grįžti į pradinį tašką, tai patvirtina Visatos neribotumą ir baigtinumą.

Žr. adj. vienuolika.

∞ Susidomėjimas Möbius juosta neišblėso iki šiol. 2006 m. rugsėjį Maskvoje vyko meninės matematikos festivalis. Profesoriaus iš Tokijo Jin Akiyamos kalba buvo sutikta itin sėkmingai. Jo pasirodymas priminė iliuzionistų pasirodymą, kur buvo vieta Mėbijaus juostai (darbas su popieriumi „Mėbijaus juosta ir jos modifikacijos“).

SPORTAS

Rankinis plėtiklis "Robur"

Žr. adj. 12 .

Vienas išvisų mokyklų kūno kultūros mokytojų mėgstamų dalykų, kurie anot jųjo paties žodžiais tariant, „netreniruojatik plaštakos raumenys, betir smegenų raumenys."Riešo plėtiklis išArtemy Lebedev studija pakartoja Möbius juostos formą. Puikiai padeda numalšinti stresą, susimąstytibegalybė irtiesiog naudingas būdas išlaikyti jūsų rankas užimtas.

KVEPALAI

Bugatti kvepalai

Žr. adj. 13

BendrovėBugattipradėjo gaminti ne tik itin brangius automobilius (modVeyronaskainuoja 1,3 milijono eurų), bet ir... kvepalų. Kiekvienas butelis, pagamintas iš krištolo ir padengtas tikru auksu, yra suprojektuotas kaip neįprasta Möbius juostelė, kuri turi tik vieną pusę. Kvepalų kainaBugattiyra 3500 eurų.

Kvepalai Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Žr. adj. 14 .

2011 metų rudenį buvo išleista tamsiai raudona aromato versija, kurios buteliukas apvyniotas Mobius juostele – aistrų ciklo gamtoje simboliu. Kompozicijos sodrumą sudaro azijietiškų apelsinų, bergamočių, raudonų uogų gaivumas, tęsiasi magnolijos, frezijų ir apelsinų žiedlapių gėlių širdys, o baigiasi jausmingu kašmyro medienos, auksinio gintaro ir vetiverijų pėdsakais.

Kvepalai UFO Limited Edition, Kenzo

Žr. adj. 15 .

Kvapų pristatymasKenzoįvyko 2009 m. retrospektyvinėje Rono Arado darbų parodoje (RonisAradas) Pompidou centre Paryžiuje. Būtent šis menininkas ir architektas sugalvojo kosminį butelio dizainą Mobius juostelės pavidalu. Jis sukurtas taip, kad tiksliai tilptų jūsų delne.NeatpažintasKvapasObjektas, arba „Neidentifikuotas aromatinis objektas“, yra tik 180 vienetų, o mažmeninė prekyba kainuoja 188 USD.

BALDAI

Mobius stalas

Žr. adj. 16

Stalas su vienu paviršiumi, prie kurio galėsite patogiai stovėti, sėdėti ir gulėti.

Knygų lentyna begalybė

Žr. adj. 17.

Dizaineris Jobas Kelevius sulaužė pelėsį, kai sukūrė savo „Infinity“ knygų lentyną. Naudodamas matematinę Lemniscate koncepciją ir kažką panašaus į Möbius juostą, dizaineris įkūnijo fizinę begalybės koncepciją Begalybės lentynoje. Tai reiškia, kad jei perskaitėte visas šioje lentynoje esančias knygas, manykite, kad suvokėte visą literatūros begalybę.

Mobius sofa

Žr. adj. 18.

Gimęs pagal šūkį „Dviguba kėdė – dvigubas malonumas“, sofos kėdėMoebiusDvigubasFotelissukurta dizainerioGaeįdegisVandeWyeriš Belgijos ir atneša naują baldų viziją mėgėjams.

LOGOS

Woolmark įmonės logotipas

Žr. adj. 19.

Logotipas buvo sukurtas 1964 m. konkurso būdu. Žiuri narysFrancoGrignaninegalėjo atsispirti ir pasiūlė savo versiją, pasislėpęs po pseudonimuFrancescoSeragas. Šis logotipas primena Mobius juostelę ir yra įmonės amžinumo bei lankstumo simbolis.

Perdirbimo simbolis

Žr. adj. 20.

Tarptautinis perdirbimo simbolis yra Möbius juosta. Perdirbimas (kitos sąlygos: perdirbimas, atliekų perdirbimas, perdirbimas ir perdirbimas)- pramoninių atliekų ar šiukšlių pakartotinis naudojimas arba grąžinimas į apyvartą. Dažniausios yra antrinės, tretinės ir T. e. medžiagų, tokių kaip stiklas, popierius, aliuminis, asfaltas, geležis, audiniai ir įvairių rūšių plastikas, perdirbimas. Taip pat naudojamas nuo seniausių laikų Žemdirbystė organinės žemės ūkio ir buitinės atliekos.

Matematikos simbolis

Žr. adj. 21.

Möbius juosta laikoma šiuolaikinės matematikos simboliu, nes būtent jis davė impulsą naujiems matematiniams tyrimams.

DRABUŽIAI IR AVALYNĖ

Avalynė

Žr. adj. 22.

Įkūrė 2003 m. architekto Ram Di Koolhaase ir batsiuvio Galahad Clark.JungtinėNuogasspecializuojasi novatoriškų dizainerių batų gamyboje. Vienas iš sėkmingiausių įmonės pokyčių yra bataiMobiusas , pavadintas geometro Augusto Möbiuso ir jo idėjos apie vienpusį paviršių vardu. Batų idėja tokia: odinis batų viršus ir padas yra vientisas, tam tikru būdu susuktas kaspinas.

Mobius šalikas

Žr. adj. 23.

Įdomus dalykas – XXI amžiaus spintose pasirodantis Möbius šalikas. Möbius šaliką galite pasigaminti patys, surišę skarelės galus ir pasukę vieną apsisukimą.

DAŽYMAS

Graffiti

Žr. adj. 24.

Prahoje, Čekijoje, ant sienos nupiešta moderni Möbius juosta.

 Juostą juda dviejų tipų transporto priemonės: cisternos ir kelių tiesimo technika šiuolaikinė civilizacija: griauti-statyti-griauti-statyti..

ARCHITEKTŪRA

Bibliotekos pastatas

Žr. adj. 25.

Šiuo metu svarstomas projektas statyti biblioteką Möbius juostos pavidalu Kazachstane.

Pastato vingiai sudaro Mėbius juostą, todėl vidinė erdvė įteka į išorę ir atvirkščiai; panašiu būdu sienos virsta stogu, o stogas vėl virsta sienomis. Natūrali šviesa patenka į vidinius koridorius per geometrines angas išoriniame korpuse, sukurdama gražiai apšviestas erdves, idealias skaitymui.

Atrakcionai

Žr. adj. 26.

Pasivažinėjimas amerikietiškais kalneliais primena Mobius juostos formą. Maskvoje yra didžiausi pasaulyje apversti kalneliai, kur žmogus sėdi pakabintoje kėdėje, o jo kojos yra ore. Greitis - 81 km/h, aukštis 30 m. Aukštis, lyginant su užsienio analogais, nedidelis, tačiau tai daugiau nei atsiperka spiralių, žiedų ir kilpų gausa.

Kino juosta

Žr. adj. 27.

1923 metais buvo išduotas patentas išradėjui Lee de Force'ui, kuris pasiūlė įrašyti garsą į juostą nekeičiant ritės, iš abiejų pusių vienu metu.

Kasetė

Žr. adj. 28.

Magnetofonams buvo išrastos kasetės, kur juosta susukama ir suklijuojama į žiedą, kas leidžia įrašyti ar nuskaityti informaciją iš abiejų pusių vienu metu, o tai padidina kasetės talpą ir atitinkamai grojimo laiką.

Automobilis Toyota MOB

Žr. adj. 29.

Möbius juostelę sukūrė ispanų dizaineris Jorge Marti Vidal ir sujungia Möbius juostelės grožį ir paslaptį. Unikali kėbulo forma suteikia lenktyniniam automobiliui gerą aerodinamiką

Matricinis spausdintuvas

Žr. adj. trisdešimt.

Daugelyje matricinių spausdintuvų rašalo juostelė taip pat turi Mobius juostelės formą, kad padidintų jos išteklius.

Möbius rezistorius

Žr. adj. 31.

Tai naujai išrastas elektroninis elementas, neturintis savo induktyvumo.

Šlifavimo juosta

Žr. adj. 32.

1969 m. sovietų išradėjas Gubaidullinas pasiūlė begalinį šlifavimo juostą Möbius juostos pavidalu.

Išvada

Möbiuso juosta yra pirmasis vienpusis paviršius, kurį atrado mokslininkas. Vėliau matematikai atrado visą eilę vienpusių paviršių. Bet

tai pats pirmasis, padėjęs pamatus visai geometrijos krypčiai, ir toliau traukiantis mokslininkų, išradėjų, menininkų ir mūsų studentų dėmesį. Mane labai sudomino atviros Möbius juostos savybės:

Möbius juosta turi vieną kraštą, vieną pusę

Möbius juosta yra topologinis objektas. Kaip ir bet kuri topologinė figūra, ji savo savybių nekeičia tol, kol nėra nupjauta, suplėšyta arba nesuklijuojamos atskiros jos dalys.

Vienas Mobiuso juostos kraštas ir viena pusė nesusiję su jos padėtimi erdvėje ir nesusiję su atstumo sąvokomis.

Möbius juosta randa daugybę pritaikymų kulinarijoje, technologijų, fizikos, tapybos, architektūros, papuošalų dizaino ir Visatos savybių tyrimo srityse. Jis įkvėpė daugelio rašytojų ir menininkų kūrybą.

μ( n) yra apibrėžtas visiems natūraliems skaičiams n ir paima reikšmes, priklausomai nuo skaičiaus išplėtimo pobūdžio nį paprastus veiksnius:

• μ( n) = 1, jei n be kvadratų (t. y. joks pirminis skaičius nesidalija iš kvadrato) ir skilimo n lyginis veiksnių skaičius;
• μ( n) = − 1 jei n be kvadratų ir skilimo nį pirminius veiksnius sudaro nelyginis veiksnių skaičius;
• μ( n) = 0, jei n nėra laisvas nuo kvadratų.

Pagal apibrėžimą taip pat darome prielaidą, kad μ(1) = 1.

Savybės ir programos

Möbius funkcija yra dauginama: bet kokiems pirminiams skaičiams a Ir b galioja lygybė μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Möbius funkcijos reikšmių suma per visus sveikojo skaičiaus daliklius n, nelygus vienetui, yra lygus nuliui

Style="maksimalus plotis: 98%; aukštis: automatinis; plotis: automatinis;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Iš čia visų pirma išplaukia, kad bet kuriai netuščiai baigtinei aibei yra skirtingų poaibių, susidedančių iš nelyginis skaičius elementai yra lygus skirtingų poaibių, susidedančių iš lyginio elementų skaičiaus, skaičiui – įrodyme naudojamas faktas.

Möbius funkcija yra susijusi su Mertenso funkcija ryšiu

Mertenso funkcija savo ruožtu yra glaudžiai susijusi su Riemano zeta funkcijos nulių problema, žr. straipsnį Mertenso hipotezė.

Mobius inversija

Pirmoji Möbius inversijos formulė

Aritmetinėms funkcijoms f Ir g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

tada ir tik tada

.

Antroji Möbius inversijos formulė

Realios vertės funkcijoms f(x) Ir g(x) apibrėžta ,

tada ir tik tada

.

Čia suma aiškinama kaip .

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Mobius funkcija“ kituose žodynuose:

Möbius funkcija μ(n) yra dauginamoji aritmetinė funkcija, naudojama skaičių teorijoje ir kombinatorikoje, pavadinta vokiečių matematiko Möbius vardu, kuris pirmą kartą ją įvertino 1831 m. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Savybės ir taikymas ... Wikipedia

Möbius funkcija μ(n) yra dauginamoji aritmetinė funkcija, naudojama skaičių teorijoje ir kombinatorikoje, pavadinta vokiečių matematiko Möbius vardu, kuris pirmą kartą ją įvertino 1831 m. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Savybės ir taikymas ... Wikipedia

Transformacijų tipai kompleksinėje plokštumoje (pilka) ir Riemann sferoje (juoda) Turinys 1 Apibrėžimas 2 Algebrinės savybės... Vikipedija

Trupmenomis tiesinė funkcija formos funkcija, kur z = (z1,...,zn) yra kompleksiniai arba realieji kintamieji, o ai,b,ci,d yra kompleksiniai arba realieji koeficientai. Dažnai terminas „dalinė tiesinė funkcija“ vartojamas kaip ypatingas transformacijos atvejis... ... Vikipedija

Möbius serija yra formos funkcinė eilutė Šią seriją ištyrė Möbius, kuris rado šios serijos inversijos formulę: kur μ(s) yra Möbius funkcija ... Wikipedia

MEDICINOS TYRIMŲ METODAI- Aš. Bendrieji medicininių tyrimų principai. Mūsų žinių augimas ir gilinimas, vis daugiau klinikos techninės įrangos, paremtos naujausių fizikos, chemijos ir technologijų pasiekimų panaudojimu, su tuo susijęs metodų komplikavimas... ... Didžioji medicinos enciklopedija

Patologinė būklė, kuri išsivystė gimdymo metu ir kuriai būdingas vaiko audinių ir organų pažeidimas, paprastai kartu su jų funkcijų sutrikimu. Veiksniai, skatinantys vystytis R. vadinamieji yra neteisingi... ... Medicinos enciklopedija

Lemma.

Įrodymas. Nes teiginys yra akivaizdus. Leisti ir būti skaičiaus kanonine plėtra. Tada, atsižvelgiant į tai, kad dalikliai turi formą , kur , ,…, ; , mes gauname

nes

Teorema. (Priedo Möbius inversijos formulė.) Leisti ir būti natūraliojo argumento funkcijomis. Tada jei

Įrodymas. Mes turime

Leisti . Tada fiksuotasis eina per visas skaičiaus daliklių reikšmes. Tai reiškia, kad sumavimo ženklai paskutinėje dviguboje sumoje gali būti apversti, t.y.

Dabar, atsižvelgiant į tai

mes gauname

Yra ir kita įrodytos teoremos forma:

Teorema. (Multiplikacinė Möbius inversijos formulė.) Leisti

kur simbolis žymi sandaugą, išplėstą iki visų skaičiaus daliklių.

Įrodymas:

Möbius inversijos formulės naudojimo pavyzdžiai:

Problema dėl skambėjimo sekų skaičiaus. Žr.: M salė. Kombinatorika. M.: Mir, , § .

Tam tikro laipsnio neredukuojamų daugianarių skaičius baigtiniame elementų lauke. Žr.: Berlekamp E. Algebrinė kodavimo teorija. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.

Gluchovas M. M., Elizarovas V. P., Nechajevas A. A. Algebra. In t.: Helios, . T. , § .

Dėl savarankiškas mokymasis :

Möbius inversija iš dalies užsakytuose rinkiniuose. Įtraukimo-išskyrimo principas ypatinga byla Möbius inversijos formulės. Žr.: M salė. Kombinatorika. M.: Mir, , § ; Bender E., Goldman J. Apie Möbius inversijos taikymą kombinatorinėje analizėje. Knygoje: Kombinatorinės analizės numeracinės problemos. M.: Mir, 1971. S. - .

Skaičių kombinacijų palyginimai

Tegul yra pirminis skaičius.

Lemma.

Įrodymas. Kai skaitiklis formulėje

Pasekmė.

Įrodymas.

Lemma. Tegul , , , yra neneigiami sveikieji skaičiai ir tegul , . Tada

Įrodymas. Mes turime

Kitoje pusėje,

Lyginant koeficientus tais pačiais laipsniais, gauname reikiamą rezultatą. ∎

− neneigiamų sveikųjų skaičių ir šaknies atvaizdavimas. (Čia yra bet koks sveikasis skaičius, kuriam , ). Neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje apibrėžiame dalinės tvarkos santykį (ryšį pirmenybė), darant prielaidą, kad tada ir tik tada

Luko teorema ( ).

Įrodymas. Pagal ankstesnę lemą,

Kur,. Pakartotinai taikydami lemą reikiamą skaičių kartų, gauname reikiamą rezultatą. ∎

komentuoti. Teorema netinka nepirminiams. Pavyzdžiui (žr. Berlekamp, ​​p.),

Pasekmė.

II . Algebrinės struktūros

II. 1. Rinkiniai su dvejetainėmis operacijomis. Grupoidai, pusgrupės, monoidai

Dvejetainis algebrinis veiksmas(arba kompozicijos dėsnis) ant netuščio rinkinio S vadinamas kartografavimu : , atitinkantis elementų porą, unikaliai apibrėžtas elementas, . Rinkinyje gali būti nurodyta daug operacijų. (Jei, pavyzdžiui, žinoma, tada būdų skaičius yra lygus , kur yra elementų skaičius .) Jei norite paryškinti vieną iš jų, pavyzdžiui, parašykite , . Toks objektas vadinamas dvejetainė algebra, arba grupoidas. Vietoj , jie dažnai rašo , o pati operacija žymima kokiu nors simboliu ( , , , ir pan.).

komentuoti. Kartu su dvejetainėmis operacijomis svarstomos ir bendresnės -arinės operacijos (vieninė at, trinarė ir kt.). Su jomis susijusios algebrinės struktūros (sistemos) yra vadinamųjų tyrimų objektas. universalios algebros.

Vadinama dvejetainė aibės operacija asociatyvus, Jei

, bet kuriam , , .

Vadinamas grupoidas su asociatyvine operacija pusgrupė.

Neasociatyvaus grupoido pavyzdys. Rinkinyje apibrėžiame operaciją kaip . Operacija neasociatyvi: , bet .

Teorema. Jei aibės dvejetainė operacija yra asociatyvi, tada išraiškos reikšmė nepriklauso nuo skliaustų išdėstymo joje.

Įrodymas. Su , arba teiginys yra akivaizdus. Nes pakanka parodyti, naudojant indukciją, kad

bet kuriam , . Remiantis indukcijos hipoteze, skliaustų įdėjimas į

Nereikšmingas; ypač,.

Jei tada.

Jei tada

Dešinė įrodomos lygybės (1) pusė taip pat redukuojama į tą pačią formą. ∎

Elementas vadinamas neutralus dėl operacijos, jei

bet kam.

Pusgrupė su elementu vadinama monoidinis(arba pusgrupė su tapatybe) ir žymi , , .

Pusgrupė (grupoidas) gali turėti daugiausia vieną neutralų elementą: jei

, yra neutralūs elementai

Vadinamas grupoidas (pusgrupė). pogrupinis (pogrupis) grupoidas (pusgrupė), , jei

Ir bet kokiam,.

Šiuo atveju jie sako, kad poaibis uždaryta veikiant. Monoidinis vadinamas submonoidinis monoidas , , , jei ir .

Monoido elementas vadinamas grįžtamasis, jei yra toks elementas (akivaizdu, kad tada mes tai pakeisime). Jeigu elementas turi tą pačią savybę, t.y. , tada iš lygybių išplaukia, kad elementas iš tikrųjų yra unikalus (atsižvelgiant į ). Tai leidžia mums kalbėti apie atvirkščiai elementas , į (apverčiamą) elementą , su savybėmis: , .

Jei , yra apverčiamieji monoido , , elementai, tai jų sandauga taip pat yra apverčiamasis elementas, nes , . Akivaizdu, kad tai yra apverčiamas elementas. Todėl yra

Teorema. Visų monoido , , apverčiamųjų elementų aibė yra uždaryta atliekant operaciją ∗ ir sudaro submonoidą , , .

Grupės

Grupės apibrėžimas. Vadinamas monoidas , , , kurio visi elementai yra apverčiami grupė.

Kitaip tariant, grupė yra rinkinys su dvejetaine operacija, kuriai galioja šios aksiomos:

. (Uždaryta operacija.) , .

. (Operacijos asociatyvumas.) ,

. (Neutralaus elemento buvimas.) ∃ .

. (Atvirkštinio elemento buvimas.) .

komentuoti. Grįžtant prie pirmiau pristatytų algebrinių struktūrų, tarp jų stebime tokią hierarchiją: pora , yra grupoidas, jei aksioma patenkinta; pusgrupė, jei aksiomos ir ; monoidinis, jei aksiomos ir ; grupė, jei aksiomos , , ir .

Elementų, turinčių akivaizdžių savybių, laipsniai nustatomi natūraliu būdu:

( kartą),

; , ( , , .

Paprastai tariant, išraiškos elementų pertvarkyti neįmanoma (t. y. ). Jeigu , tada elementai vadinami keičiamas, arba važinėti į darbą ir atgal. Jei bet kurie du grupės elementai keliauja į darbą ir atgal, tada grupė vadinama komutacinės, arba Abelis(norvegų matematiko Riehl Henrik Abelio ( - ) garbei).

Veiksmas grupėje dažniausiai nurodomas simboliu (sudėtis) arba simboliu (daugyba). Tokiu atveju grupė vadinama atitinkamai priedas arba dauginamasis, jo neutralus elementas yra atitinkamai nulis() arba vienetas(). Adityvinėje grupėje vadinamas elementas, elemento atvirkštinis priešingas ir yra pažymėtas , bet vietoj to jie rašo . Dauginimo grupėje jie paprastai rašo vietoj to, praleidžiant operacijos simbolį.

Priedų grupių pavyzdžiai. 1) , , , , , , , – adityvinės žiedo ir laukų grupės , , . Jie tiesiog rašo , , , . 2) Bet koks žiedas pridedant yra Abelio grupė. Visų pirma, polinomų žiedas ,…, ] ir eilės matricų žiedas virš lauko yra Abelio grupės. 3) bet koks vektorinė erdvė per lauką pridėjimo atžvilgiu yra Abelio grupė. 4) , 1,…, – išbaigta mažiausiai neneigiamų likučių sistema modulo su sudėjimo modulo operacija.

Dauginamųjų grupių pavyzdžiai. 1) , , yra dauginamosios laukų grupės , , . 2) – bet kurio žiedo apverčiamųjų elementų rinkinys, turintis vienybę dauginant. Visų pirma = ; , yra apverčiamųjų matricų rinkinys iš . 3) − visos (tikrosios ir kompleksinės) šaknys

, , 1,…, , − įsivaizduojamas vienetas,

lygtis yra dauginamoji Abelio grupė. 4) - taisyklingo -gon apsisukimų aibė plokštumoje ir erdvėje - nekomutacinė grupė (už ).

Be to, dažniau naudojama dauginamoji operacijos įrašymo forma. Grupė paprastai žymima viena raide, nenurodant operacijos. Visų grupės elementų aibė vadinama pagrindinis grupės rinkinys ir žymimas ta pačia raide. Jei bazinė aibė yra baigtinė, tada grupė vadinama galutinis; kitaip jis vadinamas begalinis. Baigtinės grupės skaičiaus elementas vadinamas jos tvarka. Vadinama 1 eilės grupė vienišas, arba T Rivinė. Sakoma, kad turi begalinę grupę begalinė tvarka . Grupės eilės tvarkai (pagrindinio rinkinio kardinalumui) nurodyti naudojami vienodi simboliai Card (kardinalinis skaičius) ir ().

Jei , yra grupės poaibiai (pagrindinio rinkinio), tada mes įdedame

, , .

Pogrupis grupė yra poaibis, kuriame pati yra grupė tos pačios operacijos atžvilgiu kaip ir . Kitaip tariant, poaibis yra pogrupis tada ir tik tada, kai ( one in ) ir yra uždarytas daugybos ir reciprokiniu požiūriu, t.y. , (tiesą sakant, čia yra net lygybės). Jei yra pogrupis , tada parašykite ; jei tuo pačiu metu, tada jis vadinamas savo pogrupis ir tai žymima kaip .

Möbius funkcija  (n), kur n– natūralusis skaičius, turi šias reikšmes:

Möbius funkcija leidžia įrašyti Eulerio funkciją kaip sumą:

Sumuojama per visus n daliklius (ir ne tik pirminius daliklius).

Pavyzdys. Paskaičiuokime φ (100) naudojant Möbius funkciją.

Visi 100 dalikliai yra (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

(2) = (-1) 1 = -1 (du turi vieną pirminį daliklį – 2)

(4) = 0 (4 padalintas iš dviejų kvadrato)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 turi vieną pirminį daliklį – 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10 turi du pirminis daliklis– 2 ir 5)

(20) = 0 (20 padalytas iš dviejų kvadrato)

(25) = 0 (25 padalytas iš penkių kvadrato)

(50) = 0 (50 dalijasi iš 2 2 ir 5 5)

(100) = 0 (100 dalijasi iš 2 2 ir 5 5)

Taigi,

Möbius funkcijos savybė:.

Pavyzdžiui, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Teorema apie būdų, kaip pasirinkti k elementus, tarp kurių nėra dviejų gretimų, iš n elementų, išdėstytų iš eilės. Įrodykite gaudami pasikartojimo formulę.

17 Derinių su pakartojimais skaičius

Skaičius r-deriniai su pakartojimais iš n- rinkiniai yra lygūs

.

– įrodymas naudojant pasikartojimo formulę.

Metodas pagrįstas formulės, leidžiančios žingsnis po žingsnio apskaičiuoti norimo kiekio reikšmes, gavimu, remiantis žinomomis pradinėmis vertėmis ir vertėmis, apskaičiuotomis ankstesniuose žingsniuose.

Pasikartojimo formulėr – įsakymas– formos formulė

a n = f(n, a n- 1 , a n- 2 , … , a n-r).

Formulė išreiškia ties n>r kiekvienas sekos narys ( a i) per ankstesnį r nariai. Pasikartojančios formulės kūrimą sudaro šie žingsniai.

1. Gamyba pradines sąlygas remiantis bet kokiais akivaizdžiais santykiais.

Pažymėkime pagal f(n,r). Tai akivaizdu

2. Loginis samprotavimas. Pataisykime kokį nors elementą rinkinyje S. Tada palyginti su bet kokiu r- deriniai su pakartojimais iš n- rinkiniai S galime pasakyti, ar jame yra nurodytas fiksuotas elementas, ar ne.

Jeigu yra, tada visa kita ( r-1) galima pasirinkti prekę f(n,r-1) būdai.

Jeigu nėra(šio elemento pasirinkime nėra), tada r- derinys, sudarytas iš elementų ( n-1)-rinkiniai (rinkinys S išskyrus šį fiksuotą elementą). Tokių derinių skaičius f(n-1,r).

Nes šie atvejai yra vienas kitą nesuderinami, tada pagal sumos taisyklę

3. Kai kurių verčių formulės patikrinimas ir bendro modelio išvedimas.

1) Paskaičiuokime f (n ,0) . Iš (2) išplaukia

Tada f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Nuo (1) f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.

Vadinasi, f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f (n ,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) f (n ,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(aritmetinės progresijos suma)

4) f (n ,3) =f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(geometrinės progresijos suma)

5) f (n ,4) =

Remiantis konkrečiais atvejais, galima daryti prielaidą, kad

4. Pradinių sąlygų patikrinimas naudojant gautą formulę.

,

kuris atitinka (1) #

19, 20) Dvejetainių medžių, turinčių n viršūnių, skaičius lygus C(n), kur C(n) yra n-tas katalonų skaičius.

Dvejetainių medžių, turinčių n viršūnių, skaičius vadinamas katalonų skaičiumi, kuris turi daug įdomių savybių. N-tas katalonų skaičius apskaičiuojamas pagal formulę (2n)! / (n+1)!n!, kuris auga eksponentiškai. (Wikipedia siūlo keletą įrodymų, kad tai yra katalonų skaičiaus forma.) Tam tikro dydžio dvejetainių medžių skaičius 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Pakeitimas

Eiti į: navigacija, Paieška

Tai straipsnis apie pakeitimą kaip sintaksinę operacijątermai . Galbūt jus dominapertvarkymas .

IN matematika Ir informatika pakeitimas- tai operacija sintaksė duotosios dalinių pakeitimas terma kitomis sąlygomis, pagal tam tikras taisykles. Paprastai mes kalbame apie termino pakeitimą kintamasis.

Apibrėžimai ir žymėjimai

Nėra universalaus, sutarto pakeitimo žymėjimo, taip pat nėra standartinio apibrėžimo. Pakeitimo samprata skiriasi ne tik skyriuose, bet ir atskirų leidinių lygmeniu. Apskritai galime pabrėžti konteksto pakeitimas Ir pakeitimas "vietoj". Pirmuoju atveju nurodoma termino vieta, kurioje įvyksta pakeitimas kontekste, tai yra, šią vietą „supančios“ termino dalis. Visų pirma, ši pakeitimo sąvoka naudojama perrašymas. Antrasis variantas yra labiau paplitęs. Šiuo atveju pakeitimas paprastai nurodomas kokia nors funkcija iš kintamųjų rinkinio į terminų rinkinį. Norėdami nurodyti pakeitimo veiksmai, kaip taisyklė, naudokite postfix žymėjimas. Pavyzdžiui, reiškia termino pakeitimo veiksmo rezultatą.

Daugeliu atvejų reikalaujama, kad pakaitalas turėtų baigtinį nešiklį, tai yra, kad rinkinys buvo baigtinis. Šiuo atveju jį galima nurodyti tiesiog surašant poras "kintamoji vertė". Kadangi kiekvieną tokį pakaitalą galima redukuoti į pakeitimų, pakeičiančių tik vieną kintamąjį, seką, neprarandant bendrumo galime manyti, kad pakaitalą suteikia viena pora. "kintamoji vertė", kas dažniausiai ir daroma.

Paskutinis pakeitimo apibrėžimas tikriausiai yra tipiškiausias ir dažniausiai naudojamas. Tačiau nėra ir vieno visuotinai priimto žymėjimo. Dažniausiai naudojamas pakeitimui nurodyti a vietoj x V t naudojamas įrašas t[a/x], t[x:=a] arba t[x←a].

Kintamasis pakeitimasλ skaičiavimas

λ skaičiavime pakeitimą lemia struktūrinė indukcija. Savavališkiems objektams ir savavališkam kintamajam apskaičiuojamas savavališko laisvo įvykio pakeitimo rezultatas pakeitimas ir yra nustatomas pagal konstrukcijos indukciją:

i) pagrindas:: objektas atitinka kintamąjį. Tada;

ii) pagrindas:: objektas atitinka konstantą. Tada savavališkiems atominiams;

iii) žingsnis: : objektas nėra atominis ir atrodo kaip programa. Tada;

iv) žingsnis:: objektas nėra atominis ir yra abstrakcija. Tada [;

v) žingsnis:: objektas nėra atominis ir yra abstrakcija, be to. Tada:

už andor;

Kintamųjų pakeitimas programuojant

Pakeitimas kintamasis ( Anglų pakeitimas) V taikomasis programavimas suprantamas taip. Norėdami apskaičiuoti funkcijos reikšmę f dėl argumento v taikomas įrašas f(v)), kur f nustatoma pagal dizainą f(x) = e. Įrašas f(v)šiuo atveju reiškia, kad išraiškoje e Vyksta pakeitimas, arba kintamasis pakeitimas xįjungta v. Pakeitimas atliekamas pagal skaičiavimų semantika.

Pakeitimas kintamasis ( Anglų paskyrimas) V programavimas suprastas kaip paskyrimas. Priskyrimo operatorius yra von Neumann kliūties efekto tradicinėms programavimo kalboms apraiška . Laisvas nuo šito taikomosios skaičiavimo sistemos.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Generavimo funkcijos.Generavimo funkcija (skaitiklis) ir surašymo generavimo funkcija deriniams be pasikartojimų.

Generavimo funkcijos: 1) Z transformuoja 2) generatorius 3) generavimo funkcija 4) generavimo funkcija (a r ) remiantis pagrindu (g r ) - funkcija f, išplečiant į fiksuoto pagrindo (g r ) funkcijų seriją, susidaro ši koeficientų seka (a r ). …………*)

Ši serija yra formali. Pavadinimas formalus reiškia, kad formulę *) traktuojame kaip patogią mūsų sekos žymėjimą - šiuo atveju nesvarbu, kurioms (veiksmams ir sudėtingoms) reikšmėms ji susilieja. t vaidmuo sumažinamas iki sekos A0, A1,…Ar koeficientų išskyrimo, todėl funkcijų generavimo teorijoje šios eilutės reikšmės niekada neskaičiuojamos konkrečiai kintamojo t reikšmei. Su tokiomis eilėmis atliekami tik kai kurie veiksmai, o tada nustatomi tik kai kurie tokių eilučių veiksmai, o tada nustatomi koeficientai atskiroms kintamojo t laipsnėms.

Paprastai kaip

22 Generavimo funkcija. Generavimo funkcija (skaitiklis) ir surašymo generavimo funkcija deriniams su pasikartojimais.

Gamybos įrenginys, skirtas:

Statybos taisyklė

1) Jei i tipo elementas gali būti įtrauktas į derinius K 1 arba K 2 arba... K i kartų, tai jis turi atitinkamą daugiklį

3) Belieka rasti koeficientą. adresu

eksponentinė generavimo funkcija paskirties vietų konstravimo taisyklėms

25) Kombinaciniai skaičiai taip pat apima Stirlingo skaičiai pirmos ir antros rūšies. Šie skaičiai lygybėse apibrėžiami kaip koeficientai

ir turi paprastą kombinatorinę reikšmę – lygią permutacijos grupės elementų, kurie yra tiksliai sandaugai, skaičiui k disjunktiniai ciklai ir lygūs skaidinių skaičiui n- elementas įjungtas k netušti poaibiai. Tai akivaizdu. Panaši antros rūšies Stirlingo skaičių suma vadinama n- skambučio numeris ir lygus visų pertvarų skaičiui n- elementų rinkinys. Pasikartojimo formulė galioja varpelio numeriams.

Sprendžiant kombinatorinius uždavinius dažnai praverčia įtraukimo-išskyrimo formulė

kuri leidžia rasti aibių sąjungos kardinalumą, jei žinomas jų susikirtimų kardinalumas. Naudokime įtraukimo-išskyrimo formulę, kad gautume aiškią antrojo tipo Stirlingo skaičių formulę.

Pirmosios rūšies Stirlingo numeriai

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Eiti į: navigacija, Paieška

Pirmosios rūšies Stirlingo numeriai(nepasirašytas) – kiekis permutacijasįsakymas n Su k ciklai.

Apibrėžimas

Pirmos rūšies Stirlingo numeriai(su ženklu) s(n, k) vadinami koeficientais daugianario:

kur ( x) n - Pochhammer simbolis (mažėjantis faktorialas):

Kaip matyti iš apibrėžimo, skaičiai turi kintamą ženklą. Jų absoliučios vertės nurodo skaičių permutacijas rinkinys, susidedantis iš n elementai su k ciklai.

Pasikartojimo ryšys

Pateikiami pirmosios rūšies Stirlingo numeriai pasikartojantis santykis:

s(n,n) = 1, kai n ≥ 0,

s(n,0) = 0, jei n > 0,

už 0< k < n.

Įrodymas.

Dėl n=1 ši lygybė tikrinama tiesiogiai. Tegul permutacija ( n-1)-oji tvarka skyla į k ciklai. Skaičius n galima pridėti po bet kurio skaičiaus atitinkamoje kilpoje. Visos gautos permutacijos yra skirtingos ir turi k ciklų, jų skaičių ( n-1)· s(n-1, k). Iš bet kokios permutacijos ( n-1) įsakymas, kuriame yra k-1 ciklas, galima suformuoti vieną permutaciją nįsakymas, kuriame yra k ciklai, pridedant ciklą, sudarytą iš vienaskaitos skaičiaus n. Akivaizdu, kad ši konstrukcija apibūdina visas permutacijas n– įsakymas, kuriame yra k ciklai. Taigi lygybė įrodyta.

Pavyzdys

Pirmosios eilutės:

IN kombinatorika Antros rūšies Stirlingo numeris iš n Autorius k, žymimas arba, yra netvarkingų skaičius pertvaros n- elementarus rinkiniaiįjungta k netušti poaibiai.

Pasikartojimo formulė

Antrosios rūšies Stirlingo skaičiai tenkina pasikartojantis santykis:

Jei n ≥ 0,

Jei n > 0,

Aiški formulė

Pavyzdys

Pradinės antrojo tipo Stirlingo skaičių reikšmės pateiktos lentelėje:

Savybės

BijektyvusŽemėlapis yra žemėlapis, turintis tuo pačiu metu injekcinio ir surjektyvaus savybių.

1. Pirmiausia prisiminkime svarbios skaičių teorinės Möbiu funkcijos apibrėžimą

1, jei n = 1

µ (n)=0, jei yra pirminis skaičius p, p2 n (-1)k, jei n = p1 ... pk yra k skirtingų pirminių faktorių sandauga.

Įrodykime pagrindinę Möbius funkcijos savybę:

1 teorema.

♦ Jei n = 1, tai vienintelis daliklis yra d = 1 ir (1) yra teisingas, nes µ (1) = 1. Dabar tegul n > 1. Pavaizduokime jį forma

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

kur pi, i 1, k yra pirminiai skaičiai, si yra jų laipsniai. Jei d yra n daliklis, tai d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

kur 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Jei di > 1 kai kuriems i 1, k, tai µ (d) = 0. Tai reiškia, kad (1) reikia atsižvelgti tik į tuos d, kurių di ≤ 1, i 1, k. Kiekvienas toks daliklis kartu

susideda iš r skirtingų pirminių skaičių sandaugos, kur r 1, k, ir jos įnašo į sumą

(1) yra lygus (-1)r ir iš viso yra k. Taigi, mes gauname

			µ (d) = 1 −	K + (− 1) k	0. ♦
			2 teorema (Mobiuso inversijos formulė). Tegul f(n) ir g(n) yra natūraliosios funkcijos
ral argumentas. Tada lygybė
					∑f(d)
yra teisinga tada ir tik tada, kai lygybė yra teisinga
					∑ µ (d)g(

♦ Tegul (2) yra teisinga bet kuriam n. Tada

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d′d n

Pakeisdami į dešinę (3) pusę, gauname

∑ µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d′

Dvigubas sumavimas dešinėje atliekamas per visas poras d, d′ taip, kad d d′ n. Jei pasirinksite d ′ , tada d eis per visus daliklius d n ′ . Taigi

∑ µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

d′

d′

d′

n > d′

Bet pagal (1) turime ∑

µ (d′ ) =

n = d′

d′

d′

Tai reiškia, kad yra nustatyta lygybė (3). Dabar tegul (3) yra teisinga bet kuriam n. Tada

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ – yra n daliklis ir dviguba suma gali

d′

n d′

būti perrašytas kaip

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑ µ (d′ )

d′′

n d′

d′′

d′′

d′

d′′

Pagal (1) paskutinė suma virsta vienybe, kai d′′ = n, kitais atvejais

Bet kokiu atveju tai yra nulis. Tai įrodo (2). ♦ 2. Apsvarstykite Möbius inversijos taikymą.

Tegu pateikiama s raidžių abėcėlė A. Tam tikroje abėcėlėje yra n ilgio žodžių. Kiekvienam žodžiui w0 = a1 a2 … galima apibrėžti n - 1 žodžius

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , gaunami vienas iš kito cikliniais poslinkiais. Visų sn žodžių aibėje įvedame ekvivalentiškumo ryšį: paskelbiame du žodžius lygiaverčiais, jei vienas gaunamas iš kito cikliniu poslinkiu. Mus domina klasių, kuriose yra tiksliai n žodžių, skaičius. Ši problema iškyla kodų sinchronizavimo teorijoje.

Žodį w vadinsime išsigimusiu, jei lygiavertiškumo klasę, kurioje yra w, sudaro mažiau nei n žodžių. W vadiname periodiniu, jei egzistuoja žodis u ir natūralusis skaičius m, kad w = u u … u (m kartų).

3 teorema. Žodis w yra periodinis tada ir tik tada, kai yra išsigimęs.

kaip jūs galime paimti a 1 a 2 … a p ir kaip m =

♦ Akivaizdu, kad jei w yra periodinis, tai jis yra išsigimęs. Tegul w būna išsigimęs. Tegul p yra minimalus sveikasis skaičius, kad w = wp. Tada jei

w = a1 a2 … an , tada wp = a1+p a2+p … an+p (indeksai modulio n). Iš čia gauname, kad n p . (Lengva pastebėti, kad p n). ♦ Tapetai

reikšmingas per M(d) – kvadratų, kuriuose yra d žodžių, skaičius. Iš ankstesnio turime

d n. Taigi formulė galioja∑ dM(d) = s n . dn

Taikykime Möbius inversijos formulę atvejui g(n) = sn , f(d) = dM(d). Tada gauname

nM(n) = ∑ µ (d)s n d n

∑ µ (d)sn d

Taigi M (n) yra mus dominantis skaičius. Jei n = p yra pirminis skaičius, tada

− s)

Yra daugybinė Möbius inversijos versija. Šviesus

4 teorema. Tegul f(n) ir g(n) yra atitinkamai susijusios natūraliojo argumento funkcijos

dėvėti

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏ f(d)

Ir ir atvirkščiai, iš (5) seka (4).

Naudojant Möbius inversijos formulę, galima išspręsti praktiškai svarbią fiksuoto laipsnio neredukuojamų daugianarių skaičiaus baigtiniame lauke problemą. Tegul GF(q) yra q elementų laukas, o m – natūralusis skaičius. Tada dėl numerio

Φ m (q) neredukuojamų daugianarių lauke GF(q) galioja ši formulė:

Pateiksime kelių pirmųjų funkcijos Φ m (2) reikšmių lentelę.

Φ m (2)

§ 5. Permanentai ir jų taikymas surašytiniams

1. Permanentai naudojami daugeliui kombinacinių problemų spręsti. Apsvarstykite skaitmeninę matricą

A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m

Nuolatinė matrica A (pavadinimas – per A) nustatoma pagal lygybę

už A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 , K , jn )

kur sumavimas atliekamas per visas m elementų 1, 2, m n-permutacijas. Kitaip tariant, matricos nuolatinė vertė yra lygi elementų, paimtų iš kiekvienos eilutės ir skirtingų stulpelių, sandaugų sumai.

Iš (1) formulės išplaukia kai kurios akivaizdžios nuolatinės savybės, panašios į kvadratinių matricų determinanto savybes.

1. Jei viena iš eilučių(n × m) matrica A (n ≤ m) susideda iš nulių, tada per A = 0. Jei n = m, tas pats pasakytina ir apie stulpelius.

2. Kai visi vienos iš matricos A eilučių elementai padauginami iš tam tikro skaičiaus, nuolatinė A reikšmė dauginama iš to paties skaičiaus.

3. Nuolatinis nesikeičia, kai jo eilutės ir stulpeliai yra pertvarkomi.

Aij pažymėkime matricą, gautą iš A išbraukus i-tą eilutę ir j-ą stulpelį.

4. Formulė nuolatinio išskaidymui i-oje eilutėje galioja: per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + tikslas per tikslą (2)

taigi daugelis nuolatinių savybių yra panašios į determinantų savybes.

Tačiau pagrindinė determinantų det(A B) = detA detB savybė nuolatiniams netenkinama, ir ši aplinkybė labai apsunkina jų skaičiavimą.

Pavyzdžiui,

					2, per
Tačiau 4 = vienam						≠ per

Panagrinėkime vieną iš svarbiausių nuolatinio sąvokos pritaikymo kombinatoriniuose uždaviniuose.

vasarnamiai. Tegu X = (x1, xm) yra baigtinė aibė, o X1, …, Xn yra poaibiu sistema

Šiuo atveju elementas xi reiškia aibę Xi. Poreikis rasti skirtingų atstovų sistemą iškyla sprendžiant daugelį taikomųjų problemų. Apsvarstykite šią kodavimo problemą. Tebūnie koks nors pasiūlymas, t.y. sutvarkytas tam tikros abėcėlės žodžių rinkinys. Šį sakinį reikia užkoduoti taip, kad kiekvienam žodžiui būtų priskirta viena raidė, o ši raidė turi būti šio žodžio dalis, o skirtingos raidės turi atitikti skirtingus žodžius.

Pavyzdys: sakinys a bc ab d abe c de cd e gali būti užkoduotas kaip abecd. Tuo pačiu metu sakinys ab ab bc abc bcd negali būti užkoduotas tokiu būdu, nes pirmuose keturiuose žodžiuose kartu yra tik trys raidės.

Aibių X1 , … , Xn sistemai apibrėžiame sergamumo matrica A = (aij), i = 1, n,

				1 jei xi
		a ij =
				0 kitaip.
		Šviesus
		Teorema 1. Tegu A = (aij), i =					(n ≤ m) dažnumo matrica

aibės X1, …, Xn, kur Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm). Tada apie sistemų skaičių

Aibių X1 , … , Xn asmeniniams atstovams R(X1 , … , Xn ) galioja ši lygybė:

R(X1 , … , Xn ) = vienam A

♦ Iš tiesų, kadangi matricoje A elementas aij = 1, jei xj Xi ir aij = 0,

jei xj

K, xi

) elementai X yra įvairių išankstinių

Xi , tada rinkinys (xi

priesagos X1 , … , Xn

jei ir tik jei a1i

K ,a ni

policininkai a1i

K ,a ni

yra skirtinguose matricos A stulpeliuose. Susukime skaičius

a1i ,K ,a ni

per visas 1, 2, …, m elementų n-permutacijas. Tada gauname iš šimto

rons, skirtingų X1, ..., Xn atstovų sistemų skaičius ir, kita vertus, per-

manenta matrica A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Pasekmė. Skirtingų X1, …, Xn atstovų sistema egzistuoja tada ir tik tada, kai tenkina atitinkamos matricos įvykis A:

Kadangi (1) formulėje yra m(m - 1) ... (m - n +1) narių, apskaičiuoti nuolatinį pagal apibrėžimą yra sunku. Pateikiame bendrą formulę šiam tikslui.

2. Apsiribokime kvadratinėmis skaitinėmis matricomis A = (aij), i, j = 1, n.

Tada per A = ∑

(i1 ,K ,in )

kur suma apima visas permutacijas i1 , … , elementuose

1, 2, … , n. Taikykime įtraukimo-išskyrimo formulę matricos A pastovumui apskaičiuoti. Kiekvienai aibei i1, ... priskiriame svorį, lygų a1i 1,K,a ni n.

Tai reiškia, kad nuolatinis A yra tų aibių, kurios atitinka permutacijas, svorių suma. Įveskime n savybių P1 , … , Pn visų rinkinių i1 , i2 , … , in iš 1, 2, … , n aibėje, kur savybė Pi reiškia, kad rinkinyje i1 , … elemento i nėra, in. Taigi nuolatinis A yra aibių i1, ..., in, neturinčių nė vienos iš P1, ..., Pn savybių, svorių suma. Belieka nustatyti k savybių turinčių aibių svorių W(Pi 1 ,K , Pi k ) sumą

Pi 1 ,K , Pi k . Turime visų aibių i1 , … , ik svorių W(0) sumą.
W(0) = ∑			K, ani		= (a 11 + L + a 1n ) (a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K ,a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

kur ^ ženklas virš A matricos elemento reiškia, kad šis elementas turėtų būti praleistas. Panašiai ir sij (t< j) имеем

W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a 1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Dabar, naudodamiesi įtraukimo-išskyrimo formule, gauname nuolatinio A Raiser formulę:

per A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1) s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L +a kn ) +L
	1≤i1< L < is ≤ k n= 1

Nuolatinio skaičiavimas naudojant Raiser formulę gali būti organizuojamas taip, kad to reikia

(2n - 1)(n - 4) daugybos ir (2n - 2)(n + 1) sudėjimas. Nors ši reikšmė greitai auga su n, ši formulė duoda daugiausiai efektyvus metodas nuolatinių darbuotojų skaičiavimai.

3. Dabar išsiaiškinkime sąlygas, kad nuolatinė (0, 1) matrica būtų lygi nuliui. Apsiribokime kvadratinės matricos atveju.

2 teorema. Tegu A = (aij ), i, j = 1, n yra n eilės (0, 1) matrica. Tada

per A = 0 tada ir tik tada, kai A yra s × t dydžio nulių pomatrica, kur s + t = n + 1.

♦ Tegu tokia nulinė submatrica egzistuoja A. Kadangi nuolatinis nesikeičia dėl eilučių ir stulpelių permutacijų, galime manyti, kad ši submatrica yra apatiniame kairiajame kampe, t.y.

kur O – (s × t) yra nulių matrica, submatricos B dydis (n – s) × t. Kiekvienas nuolatinio A narys turi turėti vieną elementą iš pirmųjų t stulpelių. Todėl, jei ieškome teigiamo nuolatinio nario, tai šių stulpelių elementai turi priklausyti poromis skirtingoms eilutėms su skaičiais 1, 2, ..., n - s. Tačiau n – s = t – 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Tegu dabar per A = 0. Teoremą įrodome indukcija ant n. Jei n = 1, teiginys yra akivaizdus (A = (0)). Tegul tai teisinga visiems užsakymams, mažesniems nei n. Jei A yra n eilės nulinė matrica, tada teiginys yra akivaizdus. Jei A nėra nulinė matrica, tegul aij = 1. Parašykime A skaidymą išilgai i eilutės:

per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Kadangi per A = 0, tada per Aij = 0. Tačiau Aij dydis (n - 1) × (n - 1) ir pagal indukcijos hipotezę yra dydžio nulių submatrica

s1 × t1, kai s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Pertvarkykime eilutes ir stulpelius taip, kad ši nulinė submatrica būtų apatiniame kairiajame kampe:

A → B =

kur O yra s1 × t1 dydžio nulinė submatrica, s1 + t1 = n, C - dydis (n - s1) × t1, D -

turi dydį s1 × (n - t) . Tai reiškia, kad matricos C ir D yra kvadratinės ir turi atitinkamai eilę (t1 × t1) ir (s1 × s1). Pagal nuolatinio apibrėžimą, turime per B = per A ir,

per B = per C per D, taigi iš per A = 0, išplaukia, kad arba per C = 0, arba per D = 0.

Tegu per C = 0. Pagal indukcijos hipotezę yra nulinė dydžio submatrica

u × v, kur u + v = t1 + 1. Tegul jis yra eilutėse su skaičiais i1, …, iu ir stulpeliuose su skaičiais j1, …, jv. Apsvarstykite submatricą B, susidedančią iš eilučių

i1, …, iu, t1 + 1, …, n ir stulpeliai j1, …, jv. Tai nulinė submatrica, kurios dydis (u + n - t1) × v,

kur u + n - t1 + v = n + +1. Taigi, matricoje B yra s × t dydžio nulinė submatrica, kur s + t = n + 1. Kadangi matricos A ir B skiriasi eilučių ir stulpelių permutacija, teorema įrodyta. ♦

Dabar panagrinėkime svarbų specialų matricos A atvejį. Pažymėkime A(k, n) 0,1 elemento n × n dydžio matricą su k vienetų kiekvienai eilutei ir kiekvienam stulpeliui (k > 0).

3 teorema. Bet kuriai matricai A(k, n) per A(k, n) > 0.

♦ Tarkime priešingai, kad per A(k, n) = 0. Tada pagal 2 teoremą egzistuoja nulis-

s × t dydžio submatrica, kur s + t = n + 1. Tada, pertvarkę matricos A(k, n) eilutes ir stulpelius, gauname matricą

kur O yra nulio (s × t) matrica.

Suskaičiuokime vienetų skaičių matricose B ir D. Kadangi A(k, n) kiekvienoje eilutėje ir stulpelyje yra k vienetų, tai kiekviename B stulpelyje ir kiekvienoje D eilutėje yra lygiai k vienetų.

vienetų. A(k, n) iš viso yra n k vienetų, taigi nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Tokiu būdu

som, n ≥ t + s, o tai neįmanoma, nes s + t = n + 1 Iš šio prieštaravimo išplaukia, kad

pareiškimo pagrįstumą. ♦ Panašiai įrodoma

3a teorema. Tegu A yra (0,1) matrica, kurios dydis n× m (n≤ m). Tada perA = 0 tada ir tik tada, kai joje yra s×t dydžio nulinė submatrica, kur s+t=m+1.

4. Dabar panagrinėkime svarstomų klausimų taikymą statant la-

Tina kvadratai. Lotynų kalba (n × m)-stačiakampis virš aibės X=(x1 ,…,xm )

vadinama (n× m) elementų X matrica, kurioje kiekviena eilutė yra X n permutacija, o kiekvienas stulpelis yra aibės X m permutacija. Jei n=m, lotyniškasis stačiakampis vadinamas Lotynų aikštė.

Aišku, kad n=1 lotyniškų 1×m stačiakampių skaičius lygus m!. Kai n=2, pasirinkus pirmą eilutę, bet kuri permutacija gali būti laikoma antrąja eilute.

naujas produktas, kuris prieštarauja pasirinktam. Tokių permutacijų skaičius yra Dm, taigi skaičius 2× m yra

lotyniškų stačiakampių yra lygus m! Dm.

Kyla natūralus klausimas, susijęs su indukcine lotyniškų kvadratų konstrukcija. Sukurkime lotynišką (n × m) stačiakampį (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

Šviesus

4 teorema. Kiekvienas lotyniškas (n× m)-stačiakampis n

♦ Tegu X=(x1,…,xm) ir L-lotynų (n×m) stačiakampis su elementais iš X. Panagrinėkime aibių A1,…,Am aibę, kur Ai yra i-ojo stulpelio elementai. lotyniškasis stačiakampis L. Tegu A yra aibės sistemos A1 ,… ,Am kritimo matrica. Jo dydis yra m×m, o kiekvienoje matricos A eilutėje yra lygiai n vienetų, nes Ai = n, i = 1, m. Kiekvienas elementas xi X gali pasirodyti L stulpeliuose ne daugiau kaip m kartų, kitaip būtų eilutė, kurioje šis elementas būtų rodomas du kartus. Bendras elementų skaičius

L lygus m n, todėl kiekvienas elementas xi X stulpeliuose pasirodo lygiai n kartų. Iš to išplaukia, kad kiekviename matricos A stulpelyje yra lygiai n vienetų. Dabar panagrinėkime matricą A, gautą kiekvieną pakeitus nuliu ir kiekvieną nulį vienetu.

Matrica A yra aibių X1, …, Xn sistemos dažnumo matrica, kur Xi = X\Ai,

i = 1, m. Kiekvienoje eilutėje ir kiekviename stulpelyje yra m - n vienetų. Pagal teoremą

> 0. Tegu ai1

…a mi

≠ 0. Tada turime xi X1 , K , xi

Xm ir visi elementai

xi, K, xi

poromis skiriasi. Linija

xi, K, xi

galima laikyti (n + 1)-ąja

lotyniškam (n × m) stačiakampiui L. Tęsdami šią procedūrą gauname lotynišką

dangaus aikštė. ♦

Pažymėkime l n - lotyniškų n eilės kvadratų skaičių su elementais iš aibės X = (1, 2, ..., n), kurioje pirmojo stulpelio ir pirmosios eilutės elementai yra natūralia tvarka. Čia yra kelių žinomų skaičiaus l n verčių lentelė:

5. Matrica A = (aij), kurios dydis n × n su tikrais, neneigiamais elementais, vadinama du kartus stochastinis, Jei