Ypatingi atvejai, kai į centrą iškeliama savavališka erdvinė jėgų sistema. Jėgų sistemos pateikimas į paprasčiausią formą Lygiagrečių jėgų centras

Jeigu, atvedus erdvinę jėgų sistemą į pasirinktą centrą O, pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas yra lygūs nuliui, t.y.

Jėgų sistema subalansuota. Tokios jėgų sistemos įtakoje kietasis kūnas bus pusiausvyroje. Akivaizdu, kad bendruoju atveju dvi vektorių lygtys (4.1) atitinka šešias skaliarines lygtis, atspindinčias šių vektorių projekcijų lygybę nuliui pasirinktos koordinačių sistemos ašyse (pavyzdžiui, Dekarto).

Jeigu atvedus erdvinę jėgų sistemą į pasirinktą centrą O pagrindinis vektorius lygus nuliui, o pagrindinis momentas nelygus nuliui, t.y.

Susidariusi jėgų pora veikia kūną, linkusi jį pasukti. Atminkite, kad šiuo atveju sumažinimo centro pasirinkimas neturi įtakos rezultatui.

Jeigu atvedus erdvinę jėgų sistemą į pasirinktą centrą O pagrindinis vektorius nelygus nuliui, o pagrindinis momentas lygus nuliui, t.y.

Kūną veikia susidariusi jėgų sistema, einanti per redukcijos centrą ir linkusi judinti kūną išilgai jo veikimo linijos. Akivaizdu, kad ryšiai (4.3.) galioja visuose rezultato veikimo linijos taškuose.

Atkreipkite dėmesį, kad susiliejančių jėgų sistemos veikimas sumažinamas iki šio atvejo, jei sistemos jėgų veikimo linijų susikirtimo taškas laikomas redukcijos centru (nes jėgų momentai šio taško atžvilgiu yra lygūs iki nulio).

Jeigu, atvedus erdvinę jėgų sistemą į pasirinktą centrą O, pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas nėra lygūs nuliui, o jų kryptys sudaro stačią kampą, t.y.

tada tokią jėgų sistemą taip pat galima redukuoti į rezultatyvųjį, bet einantį per kitą redukcijos centrą – tašką. Norėdami atlikti šią operaciją, pirmiausia atsižvelgiame į lygiavertes jėgos sistemas, parodytas Fig. 4.2.b ir pav. 4.1. Akivaizdu, kad jei pakeisime žymėjimą (taškas B vadinamas centru O, taškas A vadinamas centru), mums tenkanti užduotis reikalauja atlikti operaciją, atvirkščiai, nei atliekama lemoje lygiagrečiai perduodant jėgą. Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, taškas, pirma, turi būti plokštumoje, statmenoje pagrindinio momento vektoriui, einančiam per centrą O, ir, antra, gulėti tiesėje, lygiagrečioje pagrindinio vektoriaus veikimo linijai. jėgų ir atskirtos nuo jos atstumu h lygiu

Iš dviejų rastų tiesių reikia pasirinkti tą, kurios taškuose pagrindinio momento vektorius lygus nuliui (pagrindinio jėgų vektoriaus momentas naujo centro atžvilgiu turi būti lygus pagal dydį ir priešingas kryptimi pagrindinis jėgų sistemos momentas taško O atžvilgiu).

Bendru atveju, atvedus erdvinę jėgų sistemą į pasirinktą centrą O, pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas, kurie nėra lygūs nuliui, nesudaro vienas su kitu stačiojo kampo (4.5.a pav.).

Jei pagrindinis momentas suskaidomas į du komponentus - išilgai pagrindinio jėgų vektoriaus ir statmenai jam, tada pagal (4.5) galima rasti redukcijos centrą, kurio statmena pagrindinio momento dedamoji tampa lygi nuliui, o pagrindinio vektoriaus ir pirmųjų pagrindinio momento dedamųjų dydžiai ir kryptys išlieka tos pačios (4.5.b pav.). Vektorių rinkinys vadinamas maitinimo varžtas arba dinamo.

Tolesnis supaprastinimas neįmanomas.

Kadangi su tokiu redukcijos centro pasikeitimu į jėgų sistemos pagrindiniam vektoriui statmeną kryptį pasikeičia tik pagrindinio momento projekcija, tai šių vektorių skaliarinės sandaugos reikšmė išlieka nepakitusi, t.y.

Ši išraiška vadinama antrasis invariantas

statika.

4.1 pavyzdys. Stačiakampio gretasienio su kraštinėmis ir viršūnes veikia jėgos ir (žr. 4.6 pav.). Atsižvelgdami į Dekarto koordinačių sistemos koordinačių pradžią, nurodytą paveiksle kaip jėgų sistemos redukcijos centrą, užrašykite pagrindinio vektoriaus ir pagrindinio momento projekcijų išraiškas.

Užrašykime trigonometrinius ryšius kampams nustatyti:

Dabar galime parašyti pagrindinio vektoriaus projekcijų ir pagrindinių sistemos jėgų momentų išraiškas:

Pastaba: vektorių projekcijų į koordinačių ašis žinios leis prireikus apskaičiuoti jo dydžio ir krypties kosinusus.

Plokštuminė jėgų sistema taip pat redukuojama į jėgą, lygią tiek veikiančioms savavališkai pasirinktame centre O, tiek porai su momentu

šiuo atveju vektorius gali būti nustatytas arba geometriškai, sukonstruojant jėgos daugiakampį (žr. 4 punktą), arba analitiškai. Taigi plokštumai jėgų sistemai

R x = F kx , R y = F ky ,

kur visi paskutinės lygybės momentai yra algebriniai, o suma taip pat yra algebrinė.

Raskime, į kokią paprasčiausią formą galima sumažinti tam tikrą plokščią jėgų sistemą, kuri nėra pusiausvyroje. Rezultatas priklauso nuo R ir M O reikšmių.

• 1. Jei duotai jėgų sistemai R=0, a M O ?0, tai ji sumažinama iki vienos poros su momentu M O, kurio reikšmė nepriklauso nuo centro O pasirinkimo.
• 2. Jei duotai jėgų sistemai R?0, tai ji sumažinama iki vienos jėgos, t.y., iki rezultato. Šiuo atveju galimi du atvejai:
  • a) R=0, M O=0. Šiuo atveju sistema, kaip iš karto akivaizdu, redukuojama iki gaunamo R, einančio per centrą O;
  • b) R<0, M O<0. Šiuo atveju pora su momentu M O gali būti pavaizduota dviem jėgomis R" ir R, imant R"=R, o R"= - R. Be to, jei d=OC yra poros atšaka, tai ji turėtų būti Rd=|M O |.

Dabar atmetę jėgas R ir R" kaip subalansuotas, matome, kad visa jėgų sistema pakeičiama rezultatine R" = R, einančia per tašką C. Taško C padėtį lemia dvi sąlygos: 1) atstumas OC. = d () turi tenkinti lygybę Rd = |. 2) taške C veikiančios jėgos R" centro O momento ženklas, t.y. m O (R") ženklas turi sutapti su M O ženklu.

Jėgų sistemos atvedimas į centrą

Klausimai

6 paskaita

3. Savavališkos jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos

1. Apsvarstykite savavališką jėgų sistemą. Pasirinkime savavališką tašką APIE už redukcijos centro ir, naudodamiesi lygiagretaus jėgos perdavimo teorema, visas sistemos jėgas perkeliame į tam tikrą tašką, nepamiršdami perkeldami kiekvieną jėgą pridėti atitinkamą jėgų porą.

Pakeiskime gautą konverguojančių jėgų sistemą viena jėga, lygia pirminės jėgų sistemos pagrindiniam vektoriui. Perkėlimo metu susidariusią jėgų porų sistemą pakeis viena pora, kurios momentas lygus visų jėgų porų momentų geometrinei sumai (t. y. pradinės jėgų sistemos momentų geometrinei sumai centro atžvilgiu APIE).

Šis momentas vadinamas pagrindinis jėgos sistemos momentas centro O atžvilgiu (1.30 pav.).

Ryžiai. 1.30. Jėgų sistemos atvedimas į centrą

Taigi, bet kurią jėgų sistemą visada galima pakeisti tik dviem jėgos veiksniais - pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas, palyginti su savavališkai pasirinktu redukcijos centru . Akivaizdu, kad pagrindinis jėgų sistemos vektorius nepriklauso nuo redukcijos centro pasirinkimo (sakoma, kad pagrindinis vektorius yra nekintamas redukcijos centro pasirinkimo atžvilgiu). Taip pat akivaizdu, kad pagrindinis momentas šios savybės neturi, todėl visada reikia nurodyti, kurio centro atžvilgiu yra nustatytas pagrindinis momentas.

2. Sukelti jėgų sistemą į paprasčiausią formą

Galimybė toliau supaprastinti savavališkas jėgų sistemas priklauso nuo jų pagrindinio vektoriaus ir pagrindinio momento vertės, taip pat nuo sėkmingo redukcijos centro pasirinkimo. Galimi šie atvejai:

a) , . Tokiu atveju sistema redukuojama iki poros jėgų su momentu, kurios reikšmė nepriklauso nuo redukcijos centro pasirinkimo.

b), . Sistema sumažinama iki rezultato, lygaus , kurio veikimo linija eina per centrą APIE.

c) ir yra viena kitai statmenos. Sistema sumažinama iki rezultato, kuris yra lygus, bet neperžengia centro APIE(1.31 pav.).

Ryžiai. 1.31. Jėgų sistemos atvedimas į rezultatą

Pakeiskime pagrindinį momentą jėgų pora, kaip parodyta Fig. 1.31. Apibrėžkime R nuo sąlygos, kad M 0 = R h. Tada, remdamiesi antrąja statikos aksioma, atmeskime subalansuotą dviejų jėgų sistemą, veikiančią taške. APIE.

d) ir lygiagrečiai. Sistemą varo dinaminis varžtas, kurio ašis eina per centrą APIE(1.32 pav.).

Ryžiai. 1.32. Dinaminis varžtas

e) ir nėra lygūs nuliui, o tuo pačiu pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas nėra lygiagretūs ir nėra statmeni vienas kitam. Sistema varoma dinaminiu sraigtu, bet ašis nepereina per centrą APIE(1.33 pav.).

Ryžiai. 1.33. Pats bendriausias jėgų sistemos mažinimo atvejis

Sumažinimo iki paprasčiausios formos atvejai

Suvedimas į porą

Tegu, atvedus jėgas į centrą O, paaiškėja, kad pagrindinis vektorius lygus nuliui, o pagrindinis momentas skiriasi nuo nulio: . Tada, remiantis pagrindine statikos teorema, galime rašyti

Tai reiškia, kad pradinė jėgų sistema šiuo atveju yra lygi jėgų porai su momentu.

Poros momentas nepriklauso nuo to, kuris taškas pasirinktas momento centru skaičiuojant poros momentą. Todėl šiuo atveju pagrindinis dalykas neturėtų priklausyti nuo sumažinimo centro pasirinkimo. Tačiau būtent tokia išvada ir veda prie santykių

jungiantis pagrindinius taškus dėl dviejų skirtingų centrų. Kai papildomas narys taip pat lygus nuliui, gauname

Sumažinimas iki rezultato

Tegu dabar pagrindinis vektorius nelygus nuliui, o pagrindinis momentas lygus nuliui: . Remiantis pagrindine statikos teorema, turime

tai yra, jėgų sistema pasirodo esanti lygiavertė vienai jėgai – pagrindiniam vektoriui. Vadinasi, šiuo atveju pradinė jėgų sistema redukuojama į rezultantą, o šis rezultatas sutampa su pagrindiniu vektoriumi, taikomu redukcijos centre: .

Jėgų sistema redukuojama į rezultantą tuo atveju, kai pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas abu nelygūs nuliui, o vienas kitam statmeni: . Įrodymas atliekamas naudojant tokią veiksmų seką.

Per redukcijos centrą O nubrėžiame plokštumą, statmeną pagrindiniam momentui (50 pav., a). Paveiksle ši plokštuma yra sujungta su piešimo plokštuma, o joje yra pagrindinis vektorius. Šioje plokštumoje sukonstruojame porą su momentu, o poros jėgas pasirenkame, kad jos būtų lygios pagrindiniam vektoriui; tada poros svertas bus lygus . Toliau porą perkeliame jos plokštumoje taip, kad viena iš poros jėgų būtų taikoma redukcijos centre O priešinga pagrindinei; antroji poros jėga bus veikiama taške C, nutolusiame nuo centro O norima kryptimi, nustatyta kryptimi, atstumu OS, lygiu poros h pečiai (50 pav., b). Dabar atmetus subalansuotas jėgas R ir -, taikomas taške O, gauname vieną jėgą, veikiančią taške C (50 pav., c). Tai bus šios jėgų sistemos rezultatas.

Matyti, kad reakcijos jėga vis dar lygi pagrindiniam vektoriui, tačiau skiriasi nuo pagrindinio vektoriaus taikymo tašku. Jei pagrindinis vektorius taikomas redukcijos centre O, tai rezultatas yra taške C, kurio padėtis reikalauja specialaus apibrėžimo. Geometrinis taško C radimo metodas matomas iš aukščiau pateiktos konstrukcijos.

Rezultato momentą, palyginti su redukcijos centru O, galime parašyti (žr. 50 pav.):

arba, praleidžiant tarpines reikšmes:

Jei šią vektoriaus lygybę projektuojame į bet kurią ašį, einantį per tašką O, gausime atitinkamą lygybę projekcijose:

Prisimindami, kad jėgos momento projekcija taško atžvilgiu į ašį, einančią per šį tašką, yra jėgos momentas ašies atžvilgiu, šią lygybę perrašome taip:

Gautos lygybės išreiškia Varinjono teoremą bendrąja forma (2 paskaitoje teorema buvo suformuluota tik konverguojančioms jėgoms): jei jėgų sistema turi rezultantą, tai šio rezultato momentas (taško atžvilgiu, ašies atžvilgiu) yra lygus visų duotųjų jėgų – komponentų momentų sumai (to paties taško, tos pačios ašies atžvilgiu). Aišku, kad taško atveju momentų suma yra vektorinė, ašies – algebrinė.

Sumažinimas iki dinamiškumo

Dinamija arba dinaminis varžtas yra jėgų poros ir jėgos, nukreiptos statmenai poros veikimo plokštumai, derinys. Galima parodyti, kad bendruoju redukcijos atveju, kai ir nėra statmena, pirminė jėgų sistema yra lygiavertė tam tikram dinamiškumui.

Tegul kietam kūnui vienu metu taikomos kelios jėgų poros, kurių momentai veikia skirtingose ​​plokštumose. Ar įmanoma šią porų sistemą redukuoti į paprastesnę formą? Pasirodo, tai įmanoma, o atsakymą siūlo ši teorema apie dviejų porų pridėjimą.

Teorema. Dvi poros jėgų, veikiančių skirtingose ​​plokštumose, yra lygiavertės vienai jėgų porai, kurios momentas yra lygus duotų porų momentų geometrinei sumai.

Poras apibrėžkime jų momentais ir (36 pav., a). Sukonstruokime dvi plokštumas, statmenas šiems vektoriams (porų veikimo plokštuma) ir, pasirinkę tam tikrą atkarpą AB ant abiejų porų bendros peties plokštumų susikirtimo linijos, sukonstruosime atitinkamas poras: (Pav. 36, b).

Pagal poros momento apibrėžimą galime rašyti

Taškuose A ir B turime konverguojančias jėgas. Taikydami jėgų lygiagretainio taisyklę (3 aksioma), turėsime:

Pateiktos poros pasirodo lygiavertės dviem jėgoms, kurios taip pat sudaro porą. Taigi pirmoji teoremos dalis yra įrodyta. Antroji teoremos dalis įrodoma tiesiogiai apskaičiuojant gautos poros momentą:

Jei yra daug porų, sudėjus jas poromis pagal šią teoremą, bet koks porų skaičius gali būti sumažintas iki vienos poros. Dėl to darome tokią išvadą: absoliučiai standų kūną veikiančių jėgų porų aibė (sistema) gali būti sumažinta iki vienos poros, kurios momentas lygus visų duotųjų porų momentų geometrinei sumai.

Matematiškai tai galima parašyti taip:

Fig. 37 paveiksle pateikta gautos išvados geometrinė iliustracija.

Jėgų porų pusiausvyrai reikia, kad gautos poros momentas būtų lygus nuliui, o tai lemia lygybę

Ši sąlyga gali būti išreikšta geometrine ir analitine forma. Geometrinė jėgų porų pusiausvyros sąlyga: kad jėgų porų sistema būtų pusiausvyroje, būtina ir pakanka, kad vektorinis daugiakampis, sudarytas iš visų porų momentų, būtų uždaras.

Analitinė jėgų porų pusiausvyros sąlyga: kad jėgų porų sistema būtų pusiausvyroje, būtina ir pakanka, kad visų porų momentų vektorių projekcijų į savavališkai pasirinktas koordinačių ašis Oxyz algebrinės sumos būtų lygios nuliui:

Jei visos poros yra toje pačioje plokštumoje, tai yra, sudaro plokščią porų sistemą, gaunama tik viena analitinė pusiausvyros sąlyga - porų algebrinių momentų suma lygi nuliui.

Savitikros klausimai

1. Kas yra jėgos daugiakampio taisyklė? Kam naudojamas galios daugiakampis?

2. Kaip analitiškai rasti konverguojančių jėgų rezultantą?

3. Kokia geometrinė sąlyga susiliejančių jėgų pusiausvyrai? Kaip ta pati sąlyga formuluojama analitiškai?

4. Nurodykite trijų jėgų teoremą.

5. Kurios statikos problemos vadinamos statiškai apibrėžtomis, o kurios – statiškai neapibrėžtomis? Pateikite statiškai neapibrėžtos problemos pavyzdį.

6. Kas vadinama jėgų pora?

7. Kas vadinama jėgų poros momentu (vektoriniu momentu)? Kokia yra momento kryptis, dydis ir taikymo taškas?

8. Kas vadinamas poros algebriniu momentu?

9. Suformuluokite porų, savavališkai išsidėsčiusių erdvėje, pridėjimo taisyklę.

10. Kokios yra vektorinės, geometrinės ir analitinės sąlygos jėgų porų sistemos pusiausvyrai?