Pasakos

Kūgio samprata. Kūgis kaip geometrinė figūra Koks yra kūgio generatricos ilgis

Kurie kyla iš vieno taško (kūgio viršaus) ir kurie eina per plokščią paviršių.

Taip atsitinka, kad kūgis yra riboto tūrio kūno dalis, kuri gaunama sujungus kiekvieną segmentą, jungiantį plokščio paviršiaus viršūnę ir taškus. Pastarasis, šiuo atveju, yra kūgio pagrindas, o kūgis, kaip teigiama, remiasi ant šio pagrindo.

Kai kūgio pagrindas yra daugiakampis, jis jau yra piramidė .

Apvalus kūgis- tai kūnas, sudarytas iš apskritimo (kūgio pagrindo), taško, kuris nėra šio apskritimo plokštumoje (kūgio viršus ir visi segmentai, jungiantys kūgio viršūnę su jo taškais). bazė).

Vadinamos atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę ir pagrindo apskritimo taškus formuojant kūgį. Kūgio paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Šoninio paviršiaus plotas yra teisingas n- anglies piramidė, įrašyta į kūgį:

S n =½P n l n,

Kur Pn- piramidės pagrindo perimetras ir l n- apotemas.

Tuo pačiu principu: nupjauto kūgio su pagrindo spinduliu šoniniam paviršiaus plotui R 1, R 2 ir formavimas l gauname tokią formulę:

S=(R1+R2)l.

Tiesūs ir įstrižai apskriti kūgiai su vienodu pagrindu ir aukščiu. Šių kūnų tūris yra toks pat:

Kūgio savybės.

Kai pagrindo plotas turi ribą, tai reiškia, kad kūgio tūris taip pat turi ribą ir yra lygus trečiajai pagrindo aukščio ir ploto sandaugos daliai.

Kur S- bazinis plotas, H- aukštis.

Taigi kiekvienas kūgis, kuris yra ant šio pagrindo ir turi viršūnę, esančią plokštumoje, lygiagrečiai pagrindui, turi tą patį tūrį, nes jų aukščiai vienodi.

Kiekvieno kūgio, kurio tūris turi ribą, svorio centras yra ketvirtadalyje aukščio nuo pagrindo.
Kietasis kampas tiesiojo apskrito kūgio viršūnėje gali būti išreikštas tokia formule:

Kur α - kūgio atidarymo kampas.

Tokio kūgio šoninio paviršiaus plotas, formulė:

ir viso paviršiaus ploto (tai yra šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų suma), formulė:

S=πR(l+R),

Kur R— pagrindo spindulys, l— generatrix ilgis.

Apvalaus kūgio tūris, formulė:

Nupjauto kūgio (ne tik tiesus ar apskritas) tūris, formulė:

Kur S 1 Ir S 2- viršutinio ir apatinio pagrindo plotas,

h Ir H- atstumai nuo viršutinio ir apatinio pagrindo plokštumos iki viršaus.

Plokštumos sankirta su dešiniuoju apskritu kūgiu yra viena iš kūginių pjūvių.

Šioje pamokoje susipažinsime su tokia figūra kaip kūgis. Panagrinėkime kūgio elementus ir jo pjūvių tipus. Ir mes išsiaiškinsime, su kuria figūra kūgis turi daug bendrų savybių.

1 pav. Kūgio formos objektai

Pasaulyje puiki suma daiktai yra kūgio formos. Dažnai mes jų net nepastebime. Kelio kūgiai, įspėjantys apie kelio darbus, pilių ir namų stogai, ledų kūgiai – visi šie objektai yra kūgio formos (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 2. Statusis trikampis

Apsvarstykite savavališką statųjį trikampį su kojomis ir (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 3. Tiesus apskritas kūgis

Sukant duotą trikampį aplink vieną iš kojų (neprarandant bendrumo, tegul tai yra koja), hipotenuzė apibūdins paviršių, o kojelė – apskritimą. Taip bus gautas kūnas, kuris vadinamas stačiu apskritu kūgiu (žr. 3 pav.).

Ryžiai. 4. Kūgių rūšys

Kadangi mes kalbame apie tiesų apskritą kūgį, matyt, yra ir netiesioginis, ir ne apskritas? Jeigu kūgio pagrindas yra apskritimas, bet viršūnė neprojektuota į šio apskritimo centrą, tai toks kūgis vadinamas pasvirusiuoju. Jei pagrindas yra ne apskritimas, o savavališka figūra, tai toks kūnas kartais dar vadinamas kūgiu, bet, žinoma, ne apskritu (žr. 4 pav.).

Taigi mes vėl pasiekiame analogiją, kuri mums jau pažįstama dirbant su cilindrais. Tiesą sakant, kūgis yra kažkas panašaus į piramidę, tiesiog piramidės pagrinde yra daugiakampis, o kūgis (kurį mes apsvarstysime) turi apskritimą (žr. 5 pav.).

Kūgio viduje uždarytas sukimosi ašies segmentas (mūsų atveju tai kojelė) vadinamas kūgio ašimi (žr. 6 pav.).

Ryžiai. 5. Kūgis ir piramidė

Ryžiai. 6. - kūgio ašis

Ryžiai. 7. Kūgio pagrindas

Apskritimas, susidaręs sukantis antrajai kojelei (), vadinamas kūgio pagrindu (žr. 7 pav.).

O šios kojos ilgis yra kūgio pagrindo spindulys (arba, paprasčiau tariant, kūgio spindulys) (žr. 8 pav.).

Ryžiai. 8. - kūgio spindulys

Ryžiai. 9. - kūgio viršus

Ant sukimosi ašies gulinčio besisukančio trikampio smailiojo kampo viršūnė vadinama kūgio viršūne (žr. 9 pav.).

Ryžiai. 10. - kūgio aukštis

Kūgio aukštis yra atkarpa, nubrėžta nuo kūgio viršaus statmenai jo pagrindui (žr. 10 pav.).

Čia gali kilti klausimas: kuo tada sukimosi ašies segmentas skiriasi nuo kūgio aukščio? Tiesą sakant, jie sutampa tik tiesiojo kūgio atveju, jei pažvelgsite į pasvirusį kūgį, pastebėsite, kad tai yra du visiškai skirtingi segmentai (žr. 11 pav.).

Ryžiai. 11. Aukštis pasvirusiame kūge

Grįžkime prie tiesiojo kūgio.

Ryžiai. 12. Kūgio generatoriai

Atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su jo pagrindo apskritimo taškais, vadinamos kūgio generatoriais. Beje, visos stačiojo kūgio generatricos yra lygios viena kitai (žr. 12 pav.).

Ryžiai. 13. Natūralūs kūgio formos objektai

Išvertus iš graikų kalbos, konos reiškia „kankorėžis“. Gamtoje yra pakankamai objektų, kurie turi kūgio formą: eglė, kalnas, skruzdėlynas ir kt. (žr. 13 pav.).

Bet mes įpratę, kad kūgis tiesus. Jis turi vienodas generatricas, o jo aukštis sutampa su ašimi. Tokį kūgį vadinome tiesiu kūgiu. Mokyklos geometrijos kurse paprastai laikomi tiesūs kūgiai, o pagal nutylėjimą bet koks kūgis laikomas dešiniuoju apskritimu. Bet mes jau sakėme, kad yra ne tik tiesūs kūgiai, bet ir pasvirę.

Ryžiai. 14. Statmenas pjūvis

Grįžkime prie tiesių kūgių. „Iškirpkite“ kūgį plokštuma, statmena ašiai (žr. 14 pav.).

Kokia figūra bus ant pjūvio? Žinoma, tai ratas! Prisiminkime, kad plokštuma eina statmenai ašiai, taigi lygiagreti pagrindui, kuris yra apskritimas.

Ryžiai. 15. Pasvirusi atkarpa

Dabar palaipsniui pakreipkime pjūvio plokštumą. Tada mūsų ratas pradės palaipsniui virsti vis pailgėjusiu ovalu. Bet tik tol, kol pjūvio plokštuma nesusidurs su pagrindo apskritimu (žr. 15 pav.).

Ryžiai. 16. Pjūvių tipai pagal morkos pavyzdį

Mėgstantys tyrinėti pasaulį eksperimentiškai gali tuo įsitikinti morkos ir peilio pagalba (pabandykite iš morkos pjaustyti griežinėliais skirtingais kampais) (žr. 16 pav.).

Ryžiai. 17. Ašinė kūgio pjūvis

Kūgio pjūvis plokštuma, einanti per jo ašį, vadinama ašine kūgio pjūviu (žr. 17 pav.).

Ryžiai. 18. Lygiašonis trikampis – pjūvio figūra

Čia gauname visiškai kitokią pjūvio figūrą: trikampį. Šis trikampis yra lygiašonis (žr. 18 pav.).

Šioje pamokoje sužinojome apie cilindrinį paviršių, cilindrų tipus, cilindro elementus ir cilindro panašumą į prizmę.

Kūgio generatrix yra 12 cm ir pasvirusi į pagrindo plokštumą 30 laipsnių kampu. Raskite kūgio ašinį skerspjūvio plotą.

Sprendimas

Panagrinėkime reikiamą ašinę sekciją. Tai lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra 12 laipsnių, o pagrindo kampas yra 30 laipsnių. Tada galite veikti įvairiais būdais. Arba galite nubrėžti aukštį, rasti jį (pusė hipotenuzės, 6), tada pagrindą (naudojant Pitagoro teoremą) ir plotą.

Ryžiai. 19. Problemos iliustracija

Arba iš karto suraskite kampą viršūnėje – 120 laipsnių – ir apskaičiuokite plotą kaip kraštinių ir tarp jų esančio kampo sinuso pusgaminį (atsakymas bus toks pat).

Geometrija. Vadovėlis 10-11 klasei. Atanasyanas L.S. ir kiti 18 leid. - M.: Švietimas, 2009. - 255 p.
Geometrija 11 klasė, A.V. Pogorelovas, M.: Švietimas, 2002 m
Geometrijos užduočių knygelė 11 klasė, V.F. Butuzovas, Yu.A. Glazkovas

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Namų darbai

) - kūnas Euklido erdvėje, gautas sujungus visus spindulius, sklindančius iš vieno taško ( viršūnės kūgis) ir einantis per plokščią paviršių. Kartais kūgis yra tokio kūno dalis, kuri turi ribotą tūrį ir gaunama sujungus visus segmentus, jungiančius plokščio paviršiaus viršūnę ir taškus (pastarasis šiuo atveju vadinamas pagrindu kūgis, o kūgis vadinamas pasviręsšiuo pagrindu). Jei kūgio pagrindas yra daugiakampis, toks kūgis yra piramidė.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 4

✪ Kaip iš popieriaus padaryti kūgį.

Subtitrai

Susiję apibrėžimai

Atkarpa, jungianti viršūnę ir pagrindo ribą, vadinama kūgio generatrix.
Kūgio generatorių sąjunga vadinama generatrix(arba pusėje) kūgio paviršius. Formuojantis kūgio paviršius yra kūginis paviršius.
Atkarpa, statmena nuleista nuo viršūnės į pagrindo plokštumą (taip pat ir tokios atkarpos ilgis), vadinama kūgio aukštis.
Kūgio kampas- kampas tarp dviejų priešingų generatricų (kampas kūgio viršūnėje, kūgio viduje).
Jei kūgio pagrindas turi simetrijos centrą (pavyzdžiui, tai yra apskritimas arba elipsė) ir kūgio viršūnės stačiakampė projekcija į pagrindo plokštumą sutampa su šiuo centru, tada kūgis vadinamas tiesioginis. Šiuo atveju vadinama tiesi linija, jungianti pagrindo viršų ir centrą kūgio ašis.
Įstrižas (linkęs) kūgis - kūgis, kurio stačiakampė viršūnės projekcija į pagrindą nesutampa su jo simetrijos centru.
Apvalus kūgis- kūgis, kurio pagrindas yra apskritimas.
Tiesus apskritas kūgis(dažnai tiesiog vadinamas kūgiu) galima gauti sukant stačiakampį trikampį aplink liniją, kurioje yra kojelė (ši linija žymi kūgio ašį).
Kūgis, esantis ant elipsės, parabolės arba hiperbolės vadinamas atitinkamai elipsės formos, parabolinis Ir hiperbolinis kūgis(paskutiniai du turi begalinį garsumą).
Kūgio dalis, esanti tarp pagrindo ir plokštumos, lygiagrečios pagrindui ir esanti tarp viršaus ir pagrindo, vadinama nupjautas kūgis, arba kūginis sluoksnis.

Savybės

Jei pagrindo plotas yra baigtinis, tada kūgio tūris taip pat yra baigtinis ir lygus trečdaliui pagrindo aukščio ir ploto sandaugos.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Kur S- bazinis plotas, H- aukštis. Taigi visi kūgiai, esantys ant tam tikro pagrindo (ribinio ploto) ir turintys viršūnę, esančią tam tikroje plokštumoje, lygiagrečioje pagrindui, turi vienodą tūrį, nes jų aukščiai yra vienodi.

Bet kurio riboto tūrio kūgio svorio centras yra ketvirtadalyje aukščio nuo pagrindo.
Kietasis kampas tiesiojo apskrito kūgio viršūnėje yra lygus

2 π (1 – cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),)čia α – kūgio atsidarymo kampas.

Tokio kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus

S = π Rl , (\displaystyle S=\pi Rl,)

ir bendras paviršiaus plotas (tai yra šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų suma)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Kur R- pagrindo spindulys, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatrix ilgis.

Apvalaus (nebūtinai tiesaus) kūgio tūris lygus

V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

Nupjauto kūgio (nebūtinai tiesus ir apskritas) tūris yra lygus:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

kur S 1 ir S 2 yra atitinkamai viršutinio (arčiausiai viršaus) ir apatinio pagrindo sritys, h Ir H- atstumai atitinkamai nuo viršutinio ir apatinio pagrindo plokštumos iki viršaus.

Plokštumos susikirtimas su dešiniuoju apskritu kūgiu yra viena iš kūginių pjūvių (neišsigimusiais atvejais - elipsė, parabolė arba hiperbolė, priklausomai nuo pjovimo plokštumos padėties).

Kūgio lygtis

Lygtys, apibrėžiančios stačiojo apskrito kūgio šoninį paviršių, kurio atidarymo kampas yra 2Θ, viršūnė pradžioje ir ašis sutampa su ašimi Ozas :

Sferinėje koordinačių sistemoje su koordinatėmis ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

Cilindrinėje koordinačių sistemoje su koordinatėmis ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatoriaus pavadinimas (ctg) \Theta ) arba r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatoriaus pavadinimas (tg) \Theta .)

Dekarto koordinačių sistemoje su koordinatėmis (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ vaikiška lovelė ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatoriaus pavadinimas (ctg) \Theta .)Ši lygtis kanonine forma parašyta kaip

kur yra konstantos a, Su nustatoma pagal proporciją c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) Tai rodo, kad dešiniojo apskrito kūgio šoninis paviršius yra antros eilės paviršius (jis vadinamas kūginis paviršius). IN bendras vaizdas antros eilės kūginis paviršius remiasi į elipsę; tinkamoje Dekarto koordinačių sistemoje (ašyje Oi Ir OU lygiagrečiai elipsės ašims, kūgio viršūnė sutampa su pradžia, elipsės centras yra ant ašies Ozas) jos lygtis turi formą

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0, (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

ir a/c Ir b/c lygus elipsės pusašiams. Paprasčiausiu atveju, kai kūgis remiasi į savavališką plokščią paviršių, galima parodyti, kad kūgio šoninio paviršiaus (su jo viršūne ištakoje) lygtis pateikiama lygtimi. f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) kur yra funkcija f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z)) yra vienalytis, tai yra, tenkinantis sąlygą f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) bet kuriam realiajam skaičiui α.

Nuskaityti

Statusis apskritas kūgis, kaip sukimosi kūnas, suformuotas iš stačiakampio, besisukančio aplink vieną iš kojų, kur h- kūgio aukštis nuo pagrindo centro iki viršaus - yra koja taisyklingas trikampis, aplink kurį vyksta sukimasis. Antroji stačiojo trikampio kojelė r- spindulys kūgio apačioje. Stačiojo trikampio hipotenuzė yra l- kūgio formavimas.

Kūgio nuskaitymui sukurti galima naudoti tik du kiekius r Ir l. Pagrindo spindulys r apibrėžia kūgio pagrindo apskritimą raidoje, o kūgio šoninio paviršiaus sektorių lemia šoninio paviršiaus generatrix l, kuris yra šoninio paviršiaus sektoriaus spindulys. Sektorinis kampas φ (\displaystyle \varphi ) kūgio šoninio paviršiaus vystymasis nustatomas pagal formulę:

φ = 360° ( r/l) .

Kūgis (tiksliau, apskritas kūgis) yra kūnas, susidedantis iš apskritimo - kūgio pagrindo, taško, esančio ne šio apskritimo plokštumoje - kūgio viršaus ir visų atkarpų, jungiančių kūgio viršūnę. su pagrindo taškais (1 pav.) Linijų atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais, vadinamos kūgio generatoriais. Visi kūgio generatoriai yra lygūs vienas kitam. Kūgio paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.
Ryžiai. 1
Kūgis vadinamas tiesiu, jei tiesi linija, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru, yra statmena pagrindo plokštumai. Vizualiai tiesus apskritas kūgis gali būti įsivaizduojamas kaip kūnas, gautas sukant stačiakampį trikampį aplink savo koją kaip ašį (2 pav.).
Ryžiai. 2
Kūgio aukštis yra statmenas, nusileidęs nuo jo viršaus iki pagrindo plokštumos. Tiesiam kūgiui aukščio pagrindas sutampa su pagrindo centru. Dešiniojo apskrito kūgio ašis yra tiesi linija, kurioje yra jo aukštis.
Kūgio pjūvis plokštuma, einanti per jo viršūnę, yra lygiašonis trikampis, kurio kraštinės sudaro kūgį (3 pav.). Visų pirma lygiašonis trikampis yra ašinė kūgio pjūvis. Tai pjūvis, einantis per kūgio ašį (4 pav.).
Ryžiai. 3 pav. 4

Kūgio paviršiaus plotas
Kūgio šoninį paviršių, kaip ir cilindro šoninį paviršių, galima pasukti į plokštumą, perpjaunant jį išilgai vienos iš generatų (2 pav., a, b). Kūgio šoninio paviršiaus raida yra apskritas sektorius (2.6 pav.), kurio spindulys lygus kūgio generatrix, o sektoriaus lanko ilgis yra kūgio pagrindo apskritimas.
Kūgio šoninio paviršiaus plotas laikomas jo vystymosi sritimi. Kūgio šoninio paviršiaus plotą S išreikškime jo generatrix l ir pagrindo spinduliu r.
Apskritimo sektoriaus plotas – kūgio šoninio paviršiaus išsivystymas (2 pav.) – lygus (Pl2a)/360, kur a yra lanko ABA laipsnio matas“, todėl
Pusė = (Pl2a)/360. (*)
Išreikškime a kaip l ir r. Kadangi lanko ilgis ABA" lygus 2Pr (kūgio pagrindo perimetras), tai 2Pr = Pla/180, iš kur a=360r/l. Pakeitę šią išraišką į formulę (*), gauname:
Sside = Prl. (**)
Taigi kūgio šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusės pagrindo ir generatoriaus perimetro sandaugai.
Bendras kūgio paviršiaus plotas yra šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų suma. Apskaičiuojant viso kūgio paviršiaus plotą Scon, gaunama formulė: Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Paimkime savavališką kūgį ir nubrėžkime jo ašiai statmeną pjovimo plokštumą. Ši plokštuma susikerta su kūgiu apskritime ir padalija kūgį į dvi dalis. Viena iš dalių yra kūgis, o kita vadinama nupjautu kūgiu. Pirminio kūgio pagrindas ir apskritimas, gautas perpjaunant šį kūgį plokštuma, vadinami nupjauto kūgio pagrindais, o jų centrus jungianti atkarpa – nupjauto kūgio aukščiu.

Kūgio paviršiaus dalis, kuri riboja nupjautinį kūgį, vadinama jo šoniniu paviršiumi, o tarp pagrindų uždari kūginio paviršiaus generatrijų segmentai – nupjauto kūgio generatoriais. Visi nupjauto kūgio generatoriai yra lygūs vienas kitam (įrodykite tai patys).
Nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus pusės pagrindų ir generatoriaus apskritimų ilgių sandaugai: Sside = П (r + r1) l.

Papildoma informacija apie kūgį
1. Geologijoje yra „ventiliatoriaus“ sąvoka. Tai reljefo forma, susidariusi susikaupus klastinių uolienų (akmenukų, žvyro, smėlio) nešimui. kalnų upėsį papėdės lygumą arba plokštesnį, platesnį slėnį.
2. Biologijoje yra „augimo kūgio“ sąvoka. Tai yra augalų ūglio galiukas ir šaknis, susidedantis iš lavinamojo audinio ląstelių.
3. Šeima vadinama „kūgiais“ jūros moliuskai prosakių poklasis. Kiautas kūgiškas (2–16 cm), ryškiaspalvis. Yra daugiau nei 500 rūšių kūgių. Jie gyvena tropikuose ir subtropikuose, yra plėšrūnai ir turi nuodingą liauką. Kūgių įkandimas yra labai skausmingas. Mirtys žinomos. Kriauklės naudojamos kaip dekoracijos ir suvenyrai.
4. Pagal statistiką kasmet nuo žaibo trenksmo Žemėje miršta 6 žmonės 1 milijonui gyventojų (pietų šalyse dažniau). Taip neatsitiktų, jei visur būtų žaibolaidžiai, nes susidaro apsauginis kūgis. Kuo aukštesnis žaibolaidis, tuo didesnis tokio kūgio tūris. Kai kas bando slėptis nuo iškrovų po medžiu, tačiau medis nėra laidininkas, ant jo kaupiasi krūviai ir medis gali būti įtampos šaltinis.
5. Fizikoje susiduriama su „kietojo kampo“ sąvoka. Tai kūgio formos kampas, supjaustytas į rutulį. Kietojo kampo vienetas yra 1 steradianas. 1 steradianas yra erdvinis kampas, kurio spindulys yra kvadratas lygus plotui dalį sferos, kurią jis išpjauna. Jeigu šiame kampe pastatysime 1 kandelės (1 žvakės) šviesos šaltinį, gausime 1 liumeno šviesos srautą. Kino kameros ar prožektorių šviesa sklinda kūgio pavidalu.