Натурал сандар жүйесін құрудың аксиоматикалық тәсілі. Математикадағы аксиоматикалық әдістер. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар
Көп мағыналылық
Көп мағыналылық немесе сөздердің көп мағыналылығы тілдің нақты шындықтың шексіз алуандығымен салыстырғанда шектеулі жүйені білдіруіне байланысты туындайды, сондықтан академик Виноградовтың сөзімен айтқанда, «Тіл сансыз мағыналарды бір немесе негізгі ұғымдардың тағы бір айдары». (Виноградов «Орыс тілі» 1947 ж.). Сөздердің бір лексикалық-семантикалық нұсқадағы әртүрлі қолданысы мен сөздің нақты айырмашылығын ажырата білу керек. Мысалы, (das)Ol сөзі сиыр майынан басқа бірнеше түрлі майларды білдіруі мүмкін (ол үшін Сары май деген сөз бар). Алайда, бұдан әр түрлі майларды білдіре отырып, Ол сөзі әр жолы әр түрлі мағынаға ие болады деген қорытынды шықпайды: барлық жағдайда оның мағынасы бірдей болады, яғни май (сиырдан басқаның бәрі). Мысалы, Tisch кестесі сөзінің мағынасы осы нақты жағдайда кестенің қандай түрін білдіретініне қарамастан. Ол сөзі мұнай дегенді білдірсе, жағдай басқаша. Бұл жерде ендігі кезекте мұнайдың майлылығы жағынан әртүрлі мұнай түрлерімен ұқсастығы емес, мұнайдың ерекше сапасы – жанғыштығы бірінші орынға шығады. Сонымен бірге отынның әр түрін білдіретін сөздер Ол сөзімен байланысады: Коль, Хольц, т.б. Бұл бізге Ол сөзінен екі мағынаны (немесе басқаша айтқанда екі лексика-семантикалық нұсқаны) ажыратуға мүмкіндік береді: 1) май (жануар емес) 2) май.
Әдетте, жаңа мағыналар бұрыннан бар сөздердің бірін жаңа затқа немесе құбылысқа ауыстыру арқылы пайда болады. Бейнелік мағыналар осылай жасалады. Олар не объектілердің ұқсастығына, не бір объектінің екіншісімен байланысына негізделген. Атауларды ауыстырудың бірнеше түрлері белгілі. Олардың ең маңыздысы метафора немесе метонимия.
Метафорада тасымалдау заттардың түсі, пішіні, қозғалыс сипаты және т.б. ұқсастығына негізделген. Барлық метафоралық өзгерістермен бастапқы ұғымның кейбір белгісі қалады
Омонимия
Сөздің көп мағыналылығы соншалықты үлкен және көп қырлы мәселе, сондықтан лексикологиядағы көптеген мәселелер онымен байланысты. Атап айтқанда, омонимия мәселесі кейбір аспектілерде осы мәселемен байланыста болады.
Омонимдер – дыбысталуы бірдей, бірақ мағынасы әртүрлі сөздер. Кейбір жағдайларда омонимдер жойылу процесіне ұшыраған полисемиядан туындайды. Бірақ омонимдер кездейсоқ дыбыс сәйкестіктерінің нәтижесінде де пайда болуы мүмкін. Есікті ашатын кілт, ал кілт – серіппе немесе орақ – шаш үлгісі мен орақ – ауылшаруашылық құралы – бұл сөздердің мағынасы әр түрлі, шығу тегі әртүрлі болғанымен, дыбысталуы жағынан сәйкес келеді.
Омонимдер лексикалық (сөйлемнің бір мүшесіне қатысты, мысалы, кілт – құлыпты ашу және кілт – серіппе. көз) морфологиялық (әр түрлі сөйлеу мүшелеріне қатысты, мысалы, үш – сан есім) бойынша ажыратылады. , үш - ішіндегі етістік императивті көңіл-күй), лексика-грамматикалық, олар берілген сөздің басқа сөйлем мүшесіне ауысуы нәтижесінде түрлену нәтижесінде жасалады. мысалы, ағылшын тілінде сыртқы түрі және сыртқы түрі. Әсіресе лексика-грамматикалық омонимдер өте көп Ағылшын тілі.
Омофондар мен омографтарды омонимдерден ажырату керек. Омофондар – жазылуы әр түрлі болғанымен, айтылуы бірдей әр түрлі сөздер, мысалы: пияз – шалғын, Сейте – бет және Сайте – жіп.
Гомографтар (дыбыс құрамы жағынан да, сөздегі екпіннің орны жағынан да) әр түрлі айтылса да, жазылуы бірдей, мысалы, Castle – castle сияқты әртүрлі сөздер.
Синонимия
Синонимдер – мағынасы жағынан жақын, бірақ дыбысталуы әртүрлі, бір ұғымның реңктерін білдіретін сөздер.
Синонимдердің үш түрі бар:
1. Концептуалды немесе идеографиялық. Олар бір-бірінен лексикалық мағынасы жағынан ерекшеленеді. Бұл айырмашылық мынада көрінеді әртүрлі дәрежедебелгіленген атрибут (аяз - суық, күшті, күшті, құдіретті), оның белгілену сипаты бойынша (көрпе күрте - көрпеше - төсеніш пиджак), көрсетілген ұғым көлемінде (ту - ту, батыл - батыл), жылы лексикалық мағынаның байланысу дәрежесі (қоңыр – қоңыр, қара – қара).
2. Синонимдер стильдік немесе қызметтік. Олар бір-бірінен қолдану аясы бойынша ерекшеленеді, мысалы, көз – көз, бет – бет, маңдай – маңдай. Синонимдер эмоционалды – бағалаушы. Бұл синонимдер сөйлеушінің белгіленген адамға, затқа немесе құбылысқа қатынасын ашық білдіреді. Мысалы, баланы салтанатты түрде бала деп атауға болады, еркелетіп кішкентай бала мен кішкентай бала, менсінбей ұл мен сорғыш, сондай-ақ күшейіп, менсінбей күшік, сорғыш, брат.
3. Антоним сөздер – лексикалық мағынасы жағынан қарама-қарсы сөздердің тіркесімі, мысалы: үстіңгі – астыңғы, ақ – қарасы, сөйлесу – үнсіз, қатты – тым-тырыс.
Антонимия
Антонимдердің үш түрі бар:
1. Біртіндеп және үйлестірілген қарсылықтың антонимдері, мысалы, ақ - қара, тыныш - қатты, жақын - алыс, жақсы - жаман және т.б. Бұл антонимдердің мағынасында ортақ нәрсе бар, бұл оларды қарама-қарсы қоюға мүмкіндік береді. Сонымен қара және ақ ұғымдары қарама-қарсы түс ұғымдарын білдіреді.
2. Толықтауыш пен конверсиялық қарсылықтардың антонимдері: соғыс – бейбітшілік, күйеу – әйел, үйленген – бойдақ, мүмкін – мүмкін емес, жабық – ашық.
3. Ұғымдардың дихотомиялық бөлінуінің антонимдері. Олар көбінесе бір түбір сөздер: халықтық – ұлтқа қарсы, заңды – заңсыз, адамшылық – адамгершілікке жатпайтын.
Қызығушылық тудырады деп аталады заттық қабығы бірдей сөздердің мағыналары қарама-қарсы қойылса, сөз ішіндегі антонимия. Мысалы, орыс тілінде біреуге ақшаны қарызға беру етістігі «қарыз беру» дегенді білдіреді, ал біреуден қарызға ақша алу дегенді білдіреді. Сөз ішілік мағыналардың қарама-қайшылықтары энантиосемия деп аталады.
6. Жүйенің аксиоматикалық құрылысы натурал сандар. Математикалық теорияны құрудың аксиоматикалық әдісі. Аксиома жүйесіне қойылатын талаптар: жүйелілік, тәуелсіздік, толықтық. Пеано аксиоматикасы. Аксиоматикалық позициядан натурал сан туралы түсінік. Пеано аксиома жүйесінің модельдері. Натурал сандарды аксиоматикалық орындардан қосу және көбейту. Натурал сандар жиынының реттілігі. Натурал сандар жиынының қасиеттері. Натурал сандар жиынын аксиоматикалық орындардан алу және бөлу. Математикалық индукция әдісі. Нөлді енгізу және бүтін сандар жиынын құру теріс емес сандар. Қалдықпен бөлу туралы теорема.
Негізгі ұғымдар мен анықтамалар
Саны -бұл белгілі бір шаманың көрінісі.
Натурал саншексіз жалғасатын тізбектің элементі.
Натурал сандар (натурал сандар) -санау кезінде табиғи түрде пайда болатын сандар (санау мағынасында да, есептеу мағынасында да).
Натурал сандарды анықтаудың екі тәсілі бар - сандар:
листинг (нөмірлеу) элементтері (бірінші, екінші, үшінші, ...);
заттардың санын белгілеу (заттар жоқ, бір зат, екі зат, ...).
аксиома –бұл белгілі бір теорияның негізгі бастапқы нүктелері (өзінен-өзі түсінікті принциптер), олардан осы теорияның қалған мазмұны дедукция арқылы, яғни таза логикалық құралдармен алынады.
Екі ғана бөлгіші бар сан (санның өзі және бір) деп аталады - жай сан.
Құрама санекіден көп бөлгіші бар сан.
§2. Натурал сандардың аксиоматикасы
Натурал сандар заттарды санау және шамаларды өлшеу арқылы алынады. Бірақ егер өлшеу кезінде натурал сандардан басқа сандар пайда болса, онда санау тек натурал сандарға әкеледі. Санау үшін бір саннан басталатын сандар тізбегі қажет және бір саннан екінші санға қажетінше көп рет өтуге мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, табиғи қатардың сегменті қажет. Сондықтан натурал сандар жүйесін негіздеу мәселесін шешкенде, ең алдымен, натурал қатардың элементі ретінде қандай сан деген сұраққа жауап беру қажет болды. Бұған жауап екі математиктің еңбектерінде берілген - неміс Грассманн және итальяндық Пеано.Олар аксиоматиканы ұсынды, онда натурал сан шексіз жалғасатын тізбектің элементі ретінде негізделді.
Натурал сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылысы тұжырымдалған ережелер бойынша жүзеге асырылады.
Бес аксиоманы негізгі ұғымдардың аксиоматикалық анықтамасы ретінде қарастыруға болады:
1 - натурал сан;
Келесі натурал сан – натурал сан;
1 ешбір натурал саннан кейін жүрмейді;
Натурал сан болса Анатурал санға сәйкес келеді бжәне натурал саннан тыс бірге, Бұл бЖәне біргебірдей;
Кез келген ұсыныс 1 үшін дәлелденсе және натурал сан үшін ақиқат деген болжамнан болса n, бұл келесіге қатысты дұрыс екендігі шығады nнатурал сан болса, онда бұл сөйлем барлық натурал сандар үшін дұрыс.
Бірлік– бұл табиғи қатардың бірінші саны , сондай-ақ ондық санау жүйесіндегі цифрлардың бірі.
Бірдей белгісі бар кез келген категорияның бірлігін белгілеу (қазіргіге өте жақын) алғаш рет Ежелгі Вавилонда шамамен б.з.б. 2 мың жыл бұрын пайда болған деп саналады. e.
Натурал сандарды ғана сан деп есептеген ежелгі гректер олардың әрқайсысын бірліктердің жиынтығы деп санаған. Бірліктің өзіне ерекше орын беріледі: ол сан ретінде қарастырылмады.
И.Ньютон былай деп жазды: «...саны арқылы біз бірліктердің жиынтығын емес, шартты түрде біз бірлік ретінде қабылданған бір шаманың екінші шамаға абстрактілі қатынасын түсінеміз». Осылайша, біреуі басқа нөмірлер арасында лайықты орнын алып үлгерді.
Сандарға арифметикалық амалдар әртүрлі қасиеттерге ие. Оларды сөзбен сипаттауға болады, мысалы: «Терминдердің орнын ауыстыру арқылы қосынды өзгермейді». Оны әріптермен жазуға болады: a+b = b+a. Арнайы терминдермен көрсетуге болады.
Біз арифметиканың негізгі заңдарын әдеттен тыс, байқамай қолданамыз:
1) ауыстырымдылық заңы (коммутативтілік), - сәйкестіктермен өрнектелетін сандарды қосу және көбейту қасиеті:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) комбинациялық заң (ассоциативтілік), - сәйкестіктермен өрнектелетін сандарды қосу және көбейту қасиеті:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) үлестіру заңы (таралушылық), - сандарды қосу мен көбейтуді байланыстыратын және сәйкестіктермен өрнектелетін қасиет:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Көбейтудің ауыспалы, комбинативті және үлестірмелі (қосуға қатысты) әрекетінің заңдарын дәлелдегеннен кейін натурал сандарға арифметикалық амалдар теориясын одан әрі құру ешқандай іргелі қиындықтар туғызбайды.
Қазіргі уақытта біздің санамызда немесе қағазда біз тек ең көп нәрсені жасаймыз қарапайым есептеулер, барған сайын күрделі есептеу жұмыстарын калькуляторлар мен компьютерлерге сеніп тапсыру. Дегенмен, барлық компьютерлердің жұмысы - қарапайым және күрделі - ең қарапайым операцияға - натурал сандарды қосуға негізделген. Ең күрделі есептеулерді қосуға дейін азайтуға болатыны белгілі болды, бірақ бұл операцияны миллиондаған рет жасау керек.
Математикадағы аксиоматикалық әдістер
Математикалық логиканың дамуының негізгі себептерінің бірі - кең таралуы аксиоматикалық әдісәртүрлі математикалық теорияларды құруда ең алдымен геометрия, содан кейін арифметика, топтық теория т.б. Аксиоматикалық әдісанықталмаған ұғымдар мен олардың арасындағы қатынастардың алдын ала таңдап алынған жүйесіне құрылған теория ретінде анықтауға болады.
Математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысында алдын ала анықталмаған ұғымдар мен олардың арасындағы қатынастардың белгілі бір жүйесі таңдалады. Бұл ұғымдар мен қатынастар негізгі деп аталады. Келесі, енгізіңіз аксиомаларанау. қарастырылатын теорияның дәлелсіз қабылданған негізгі ережелері. Теорияның барлық кейінгі мазмұны логикалық түрде аксиомалардан алынған. Алғаш рет математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысын Евклид геометрияны құруда қолға алды.
Математикадағы аксиоматикалық әдіс.
Табиғи қатарлардың аксиоматикалық теориясының негізгі ұғымдары мен қатынастары. Натурал санның анықтамасы.
Натурал сандарды қосу.
Натурал сандарды көбейту.
Натурал сандар жиынының қасиеттері
Натурал сандарды алу және бөлу.
Математикадағы аксиоматикалық әдіс
Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысында келесі принциптер сақталады: белгілі бір ережелер:
1. Теорияның кейбір тұжырымдамалары ретінде таңдалады негізгіжәне анықтамасыз қабылданады.
2. Тұжырымдалған аксиомалар, бұл теорияда дәлелсіз қабылданған, олар негізгі ұғымдардың қасиеттерін ашады.
3. Негізгілер тізімінде жоқ теорияның әрбір тұжырымдамасы келтірілген анықтамасы, оның мәнін негізгі және алдыңғы ұғымдар арқылы түсіндіреді.
4. Аксиомалар тізімінде жоқ теорияның әрбір ұсынысы дәлелденуі керек. Мұндай ұсыныстар деп аталады теоремаларжәне оларды қарастырылып отырғанның алдындағы аксиомалар мен теоремалар негізінде дәлелдеңіз.
Аксиома жүйесі келесідей болуы керек:
а) дәйекті:берілген аксиомалар жүйесінен мүмкін болатын барлық қорытындыларды жасай отырып, біз ешқашан қайшылыққа келмейтінімізге сенімді болуымыз керек;
б) тәуелсіз: ешбір аксиома осы жүйенің басқа аксиомаларының салдары болмауы керек.
V) толық, егер оның шеңберінде берілген мәлімдемені де, оның терістеуін де дәлелдеу әрқашан мүмкін болса.
Аксиоматикалық теорияны құрудың алғашқы тәжірибесі Евклидтің «Элементтерінде» (б.з.б. 3 ғ.) геометрияны көрсетуі деп санауға болады. Геометрия мен алгебраны салудың аксиоматикалық әдісінің дамуына елеулі үлес қосқан Н.И. Лобачевский және Э.Галуа. 19 ғасырдың аяғында. Итальяндық математик Пеано арифметика үшін аксиомалар жүйесін жасады.
Натурал сандардың аксиоматикалық теориясының негізгі ұғымдары мен қатынастары. Натурал санның анықтамасы.
Белгілі жиынтықтағы негізгі (анықталмаған) ұғым ретінде Н таңдалады көзқарас , сонымен қатар жиынтық-теориялық ұғымдарды, сонымен қатар логика ережелерін қолданады.
Элементтен кейінгі элемент А,белгілеу А».
«Тікелей ілесу» қатынасы келесі аксиомаларды қанағаттандырады:
Пиано аксиомалары:
Аксиома 1. Көпшілікте Н тікелей элементі бар келесі емесбұл жиынның кез келген элементі үшін емес. Оны шақырайық бірлікжәне таңбамен белгіленеді 1 .
Аксиома 2. Әрбір элемент үшін А бастап Н бір ғана элемент бар А" , бірден келесі А .
Аксиома 3. Әрбір элемент үшін А бастап Нбірден кейін келетін ең көбі бір элемент бар А .
Аксиома 4.Кез келген ішкі жиын М жинақтар Н сәйкес келеді Н , егер ол келесі қасиеттерге ие болса: 1) 1 құрамында қамтылған М ; 2) бұл фактіден А құрамында қамтылған М , осыдан шығады А" құрамында қамтылған М.
Анықтама 1. Бір топ Н , оның элементтері үшін қатынас орнатылады «тікелей орындаңыз", 1-4 аксиомаларды қанағаттандыратын, деп аталады натурал сандар жиыны, және оның элементтері натурал сандар.
IN бұл анықтамажиын элементтерінің табиғаты туралы ештеңе айтылмаған Н . Сондықтан кез келген нәрсе болуы мүмкін. Жиынтық ретінде таңдау Н 1-4 аксиомаларды қанағаттандыратын нақты қатынас «тікелей орындалатын» кейбір нақты жиынтық, біз аламыз осы жүйенің моделі аксиома.
Стандартты үлгіПиано аксиома жүйесі - бұл процесте пайда болатын жүйе тарихи дамуықоғам, сандар қатары: 1,2,3,4,... Натурал қатар 1 санынан басталады (аксиома 1); әрбір натурал саннан кейін бірден бір натурал сан (2 аксиома); әрбір натурал сан бірден ең көбі бір натурал саннан кейін келеді (3 аксиома); 1 санынан бастап және бірінен соң бірі бірден натурал сандарға көшу арқылы біз осы сандардың барлық жиынын аламыз (аксиома 4).
Сонымен, біз натурал сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылысын негізгісін таңдау арқылы бастадық «тікелей ілесу» қатынасыжәне оның қасиеттерін сипаттайтын аксиомалар. Теорияны одан әрі құру натурал сандардың белгілі қасиеттерін және оларға амалдарды қарастыруды қамтиды. Олар анықтамалар мен теоремаларда ашылуы керек, яғни. «тікелей орындалатын» қатынастан және 1-4 аксиомалардан таза логикалық түрде алынған.
Натурал санды анықтағаннан кейін біз енгізетін бірінші ұғым көзқарас «бірден алда» , табиғи қатардың қасиеттерін қарастырғанда жиі қолданылады.
Анықтама 2.Натурал сан болса б тікелей артынан жүредінатурал сан А, сол сан А шақырды тікелей алдында(немесе алдыңғы) саны б .
«Алдыңғы» қатынасы бар бірқатар қасиеттер.
Теорема 1. Бірліктің алдыңғы натурал саны жоқ.
Теорема 2. Әрбір натурал сан А, 1-ден басқасының алдында жалғыз сан бар б,солай б»= А.
Натурал сандар теориясының аксиоматикалық құрылысы бастапқыда да, ішінде де қарастырылмайды орта мектеп. Дегенмен, Пеано аксиомаларында көрсетілген «тікелей жалғасатын» қатынастың қасиеттері математиканың бастапқы курсында зерттеу пәні болып табылады. Бірінші сыныпта бірінші ондықтың сандарын қарастырған кезде әрбір санды қалай алуға болатыны белгілі болады. «Артынан келеді» және «алдыңғы» ұғымдары қолданылады. Әрбір жаңа сан сандардың натурал қатарының зерттелетін сегментінің жалғасы ретінде әрекет етеді. Оқушылар әрбір саннан кейін келесісі келетініне, сонымен қатар, тек бір нәрсеге, сандардың натурал қатары шексіз екеніне сенімді.
Натурал сандарды қосу
Аксиоматикалық теорияны құру ережелеріне сәйкес натурал сандарды қосу анықтамасы тек қатынасты пайдаланып енгізілуі керек. «тікелей бақылаңыз», және ұғымдар «натурал сан»Және «алдыңғы сан».
Қосудың анықтамасын келесі ойлармен алғы сөзбен алайық. Кез келген натурал санға болса А 1 қосыңыз, біз санды аламыз A",бірден кейін А, яғни. А+ 1= a"сондықтан кез келген натурал санға 1 қосу ережесін аламыз. Бірақ санға қалай қосуға болады Анатурал сан б, 1-ден өзгеше? Келесі фактіні қолданайық: егер біз 2 + 3 = 5 екенін білсек, онда қосынды 2 + 4 = 6 болады, ол бірден 5 санынан кейін келеді. Бұл 2 + 4 қосындысында екінші мүше бірден кейінгі сан болатындықтан болады. саны 3. Сонымен, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Жалпы бізде бар, .
Бұл фактілер аксиоматикалық теориядағы натурал сандарды қосуды анықтауға негіз болады.
Анықтама 3. Натурал сандарды қосукелесі қасиеттері бар алгебралық операция болып табылады:
Сан a + b шақырды сандардың қосындысы АЖәне б , және сандардың өздері АЖәне б - шарттар.
Негізгі ұғым ретінде қашан
арифметиканың аксиоматикалық құрылысы
натурал сандар қатынасты қабылдайды
бойынша берілген «тікелей ілесу».
бос емес жиын N.
Бірден кейінгі элемент
a элементін а деп белгілеңіз."
элементі де бірден орындалмайды
осы жиынның қай элементінің артында. Біз істейміз
оны бірлік деп атаңыз.
Аксиома 2. N әрбір а элементі үшін
бір ғана элемент а»,
бірден кейін а. Аксиома 3. N әрбір а элементі үшін
ең көбі бір элемент бар
одан кейін бірден а.
Аксиома 4. M-ның әрбір ішкі жиыны
N жиынының келесі қасиеттері бар:
1) бірлік М жиынына жатады;
2) а-ның М құрамында болу фактісінен мынадай қорытынды шығады
бұл a" M құрамында болса, онда M сәйкес келеді
N орнатыңыз.
Натурал санның анықтамасы
Элементтері үшін қатынас орнатылған N жиыны1-4 аксиомаларды қанағаттандыратын «тікелей орындаңыз»,
натурал сандар жиыны деп аталады, ал оның элементтері натурал сандар.
Қосу
Анықтама. Натурал сандарды қосу деп аталадыкелесі қасиеттері бар алгебралық операция:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
a+b саны a және b сандарының қосындысы, ал а және b сандарының өздері деп аталады
шарттар.
Келесі белгі бойынша келісейік:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5, т.б.
Қосудың қасиеттері
Теорема 3. Натурал сандарды қосу бар және олтек
Теорема 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Теорема 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Көбейту
Натурал сандарды көбейту алгебралық деп аталадыкелесі қасиеттері бар операция:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
a b саны a және b сандарының көбейтіндісі деп аталады, ал а және сандарының өздері
b – көбейткіштер
Көбейтудің қасиеттері
Теорема 7. Натурал сандарды көбейту бар және олтек.
Теорема 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - үлестірімділік
қосуға қатысты оңға.
Теорема 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a·(b + c) = + a·c - сол таралу
қосуға қатысты.
Теорема 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - ассоциациялық
көбейту.
Теорема 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - көбейтудің ауыстырымдылығы
Өзін-өзі тексеру сұрақтары
1. 3-аксиоманы былай тұжырымдауға болады: «Әрбір элемент үшінжәне N-ден кейін бірден бір элемент бар
керек пе?
2. Натурал санның анықтамасын жалғастырыңыз: «Натурал сан
жиынның элементі деп аталады...».
3. Әрбір натурал сан алдыңғысынан алынғаны рас па?
біреуін қосу арқылы?
4. Табу кезінде көбейтудің қандай қасиеттерін қолдануға болады
өрнек мағыналары:
a) 5·(10 + 4); б) 125·15·6; в) (8·379)·125?
Әдебиет
Стойлова Л.П.Математика: Оқушыларға арналған оқулық. жоғарырақ пед. оқулық мекемелер.
М.: «Академия» баспа орталығы. 2002. - 424 б.
GOUVPO
Тула мемлекеті Педагогикалық университет
Л.Н.Толстойдың атымен аталған
САНДЫҚ ЖҮЙЕЛЕР
Тула 2008 ж
Сандық жүйелер
Оқу құралы педагогикалық университеттің математикалық мамандықтарының студенттеріне арналған және «Сандық жүйелер» курсының мемлекеттік стандартына сәйкес әзірленген. Теориялық материал берілген. Типтік тапсырмалардың шешімдері талданады. Практикалық сабақтарда шешуге арналған жаттығулар берілген.
Құрастырушы -
атындағы ОҚМУ алгебра және геометрия кафедрасының доценті, физика-математика ғылымдарының кандидаты. Л.Н.Толстой А.Игнатов
Рецензент -
физика-математика ғылымдарының кандидаты, кафедра профессоры математикалық талдауатындағы ТДПУ. Л.Н.Толстой И.В.Денисов
Оқу басылымы
Сандық жүйелер
Құрастырған
ИГНАТОВ Юрий Александрович
© Ю.Игнатов, 2008 ж
САНДЫҚ ЖҮЙЕЛЕР
Бұл курс математиканың негіздерін қамтиды. Ол негізгі сандық жүйелердің қатаң аксиоматикалық құрылысын қамтамасыз етеді: натурал, бүтін, рационал, нақты, күрделі, сонымен қатар кватерниондар. Ол математикалық логика курсында қарастырылған формальды аксиоматикалық жүйелер теориясына негізделген.
Әрбір абзацта теоремалар бірінші рет нөмірленеді. Басқа абзацтағы теоремаға сілтеме жасау қажет болса, қадамдық нөмірлеу қолданылады: абзац нөмірі теорема нөмірінен бұрын қойылады. Мысалы, 1.2.3-теорема 1.2-параграфтағы 3-теорема.
Бүтін сандар
Натурал сандардың аксиоматикалық теориясы
Аксиоматикалық теория келесі элементтермен анықталады:
Тұрақтылар жиыны;
Операцияларды көрсетуге арналған функционалдық белгілер жиынтығы;
Қарым-қатынастарды бейнелейтін предикаттық белгілердің жиынтығы;
Жоғарыдағы элементтерді байланыстыратын аксиомалардың тізімі.
Формальді аксиоматикалық теория үшін қорытынды жасау ережелері де көрсетіледі, оның көмегімен теоремалар дәлелденеді. Бұл жағдайда барлық мәлімдемелер мағынасы маңызды емес формулалар түрінде жазылады және берілген ережелер бойынша осы формулалар бойынша түрлендірулер жасалады. Мазмұнды аксиоматикалық теорияда қорытынды жасау ережелері нақтыланбайды. Дәлелдеу дәлелденетін тұжырымдардың мағынасын ескеретін қарапайым логикалық конструкциялар негізінде жүзеге асырылады.
Бұл курста негізгі сандық жүйелердің мағыналы теориялары құрастырылады.
Аксиоматикалық теорияға қойылатын ең маңызды талап – оның жүйелілігі. Сәйкестікті дәлелдеу басқа теориядағы теорияның моделін құру арқылы жүзеге асырылады. Содан кейін қарастырылатын теорияның жүйелілігі модель құрастырылған теорияның сәйкестігіне дейін төмендейді.
Бүтін сандар жүйесі үшін модель натурал сандар жүйесі шеңберінде, рационал сандар үшін – бүтін сандар жүйесінде және т.б. Нәтижесінде аксиоматикалық теориялар тізбегі пайда болады, онда әрбір теория алдыңғысына негізделеді. Бірақ бұл тізбектегі бірінші теория, атап айтқанда, натурал сандар теориясы үшін модель құруға еш жерде жоқ. Сондықтан натурал сандар жүйесі үшін моделінің бар екендігі күмән тудырмайтын теорияны құру қажет, дегенмен мұны қатаң дәлелдеу мүмкін емес.
Теория өте қарапайым болуы керек. Ол үшін натурал сандар жүйесін тек объектілерді санау құралы ретінде қарастырамыз. Қосу, көбейту және реттік қатынастар амалдары көрсетілген формадағы теорияны құрастырғаннан кейін анықталуы керек.
Санау қажеттіліктері үшін натурал сандар жүйесі бірінші элемент (бірлік) анықталған, ал әрбір элемент үшін келесісі анықталған реттілік болуы керек. Осыған сәйкес келесі теорияны аламыз.
Тұрақты: 1 (бірлік).
Функция белгісі: "¢". Бірыңғай «іздену» операциясын білдіреді, яғни А¢ – келесі сан А. Бұл жағдайда нөмір Ашақырды алдыңғыҮшін А¢.
Арнайы предикат таңбалары жоқ. Әдеттегі теңдік қатынасы және жиынтық-теориялық қатынастар қолданылады. Олар үшін аксиомалар көрсетілмейді.
Теория негізделген жиынтық белгіленеді Н.
Аксиомалар:
(N1) (" а) а¢ ¹ 1 (біреуі ешбір саннан кейін жүрмейді).
(N2) (" а)("б) (а¢ = b¢ ® a = b) (әр санда ең көбі бір алдыңғы сан болады).
(N3) М Í Н, 1О М, ("а)(аÎ М ® а¢Î М) Þ М = Н(математикалық индукция аксиомасы).
Жоғарыда көрсетілген аксиоматиканы итальян математигі Пеано (аздаған өзгерістермен) ұсынған аяғы XIXғасыр.
Аксиомалардан кейбір теоремаларды шығару қиын емес.
Теорема 1. (Математикалық индукция әдісі). Болсын Р(n) – жиында анықталған предикат Н. Шындық болсын Р(1) және (" n)(П(n)® П(n¢)). Содан кейін Р(n) бойынша бірдей ақиқат предикат Н.
Дәлелдеу. Болсын М– натурал сандар жиыны n, ол үшін Р(n) рас. Содан кейін 1О Мтеореманың шарттарына сәйкес. Келесі, егер nÎ М, Бұл П(n) анықтамасы бойынша шын М, П(n¢) теореманың шарттарына сәйкес ақиқат, және n¢Î Ма- приорит М. Индукция аксиомасының барлық алғышарттары қанағаттандырылады, сондықтан М = Н. Анықтама бойынша М, бұл дегеніміз Р(n) бастап барлық сандар үшін дұрыс Н. Теорема дәлелденді.
2-теорема.Кез келген сан А№ 1-де алдыңғы және бір ғана.
Дәлелдеу. Болсын М– құрамында 1 бар натурал сандар және алдыңғы қатардағы барлық сандар жиыны. Содан кейін 1О М. Егер аÎ М, Бұл а¢Î М, өйткені а¢-ның алдыңғы жағы бар (шарт мұнда тіпті қолданылмайды). аÎ М). Сонымен, индукция аксиомасы бойынша М = Н. Теорема дәлелденді.
Теорема 3.Кез келген сан келесі саннан ерекшеленеді.
Жаттығу. 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6 натурал сандарын анықтап, 2 ¹ 6 болатынын дәлелдеңдер.
Натурал сандарды қосу
Натурал сандарды қосу үшін келесі рекурсивті анықтама берілген.
Анықтама.Натурал сандарды қосу – натурал сандарға қолданылатын екілік операция АЖәне бсанына сәйкес келеді a+b, келесі қасиеттерге ие:
(S1) А + 1 = А¢ кез келген адам үшін А;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ кез келген үшін АЖәне б.
Бұл анықтаманың дұрыстығын, яғни берілген қасиеттерді қанағаттандыратын операцияның бар екенін дәлелдеу қажет. Бұл тапсырма өте қарапайым болып көрінеді: индукцияны жалғастыру жеткілікті б, санау Атұрақты. Бұл жағдайда жиынтықты таңдау қажет Мқұндылықтар б, ол үшін операция a+bанықталған және (S1) және (S2) шарттарын қанағаттандырады. Индуктивті ауысуды орындаған кезде біз оны үшін деп есептеуіміз керек боперация орындалады және оның орындалғанын дәлелдеді б¢. Бірақ меншікте (S2), ол қанағаттандырылуы керек б, сілтемесі әлдеқашан бар a+b¢. Бұл бұл сипат автоматты түрде операцияның болуын болжайды дегенді білдіреді a+b¢, демек, кейінгі сандар үшін: ақыр соңында, үшін a+b¢ қасиеті (S2) да қанағаттандырылуы керек. Бұл индуктивті қадамды тривиальды ету арқылы мәселені жеңілдетеді деп ойлауы мүмкін: дәлелденген мәлімдеме индуктивті гипотезаны қайталайды. Бірақ мұндағы қиындық индукция негізін дәлелдеуде. Құндылық үшін б= 1, (S1) және (S2) қасиеттері де қанағаттандырылуы керек. Бірақ қасиет (S2), көрсетілгендей, 1-ден кейінгі барлық мәндер үшін операцияның болуын болжайды. Бұл индукция негізін тексеру бір емес, барлық сандар үшін дәлелдеуді болжайды дегенді білдіреді, ал индукция мәнін жоғалтады: индукция негізі дәлелденген тұжырыммен сәйкес келеді.
Жоғарыда келтірілген пайымдаулар рекурсивті анықтамалардың дұрыс емес екенін немесе әр жолы мұқият негіздеуді қажет ететінін білдірмейді. Оларды негіздеу үшін тек осы кезеңде орнатылып жатқан натурал сандардың қасиеттерін пайдалану керек. Олар анықталғаннан кейін рекурсивті анықтамалардың дұрыстығын дәлелдеуге болады. Әзірге қосудың бар екенін индукция арқылы дәлелдеп көрейік А: (S1) және (S2) формулаларында үшін қосу арасында ешқандай байланыс жоқ АЖәне А¢.
1-теорема.Натурал сандарды қосу әрқашан мүмкін және бірегей.
Дәлелдеу. а) Алдымен бірегейлікті дәлелдейміз. Оны түзетейік А. Содан кейін операцияның нәтижесі a+bбастап функциясы бар б. Мұндай екі функция бар делік f(б) Және g(б), қасиеттері бар (S1) және (S2). Олардың тең екендігін дәлелдеп көрейік.
Болсын М– мағыналар жиынтығы б, ол үшін f(б) = g(б). Меншік бойынша (S1)
f(1) = А + 1 = А¢ және g(1) = А + 1 = А¢ білдіреді f(1) = g(1) және 1О М.
Енді рұқсат етіңіз бÎ М, яғни f(б) = g(б). Меншік бойынша (S2)
f(б¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(б)¢, g(б¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(б)¢ = f(б¢),
білдіреді, б¢Î М. Индукция аксиомасы бойынша М = Н. Бірегейлігі дәлелденді.
б) Енді индукция бойынша Аоперацияның бар екенін дәлелдеп көрейік a+b. Болсын М– сол мәндердің жиынтығы А, ол үшін операция a+bқасиеттері бар (S1) және (S2) барлығы үшін анықталған б.
Болсын А= 1. Мұндай операцияға мысал келтірейік. Анықтама бойынша біз 1+ деп есептейміз b == б¢. Бұл операция (S1) және (S2) қасиеттерді қанағаттандыратынын көрсетейік. (S1) анықтамаға сәйкес келетін 1 + 1 = 1¢ пішініне ие. Тексеру (S2): 1 +б¢ =( б¢)¢ =
= (1+б)¢, және (S2) қанағаттандырылады. Сонымен, 1О М.
Енді рұқсат етіңіз АÎ М. Соны дәлелдеп көрейік А¢Î М. Біз анықтама бойынша сенеміз
а¢ +б = (a+ b)¢. Содан кейін
а¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( А¢)¢,
а¢ +б¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( а¢ +б)¢,
және (S1) және (S2) қасиеттері қанағаттандырылады.
Осылайша, М = Н, ал қосу барлық натурал сандар үшін анықталады. Теорема дәлелденді.
2-теорема.Натурал сандарды қосу ассоциативті, яғни
(a+b) + c = a + (b+c).
Дәлелдеу. Оны түзетейік АЖәне бжәне индукцияны орындаңыз бірге. Болсын М- сол сандардың жиынтығы бірге, ол үшін теңдік ақиқат. (S1) және (S2) қасиеттеріне сүйене отырып, бізде:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a +(б+ 1) Þ 1О М.
Енді рұқсат етіңіз біргеÎ М. Содан кейін
(a+b) + в¢ = (( a+b) + в)¢ = ( a +(б + в))¢ = a +(б + в)¢ = a +(б + в¢),
Және в¢Î М. Аксиома бойынша (N3) М = Н. Теорема дәлелденді.
Теорема 3.Натурал сандарды қосу коммутативті, яғни
a + b = b + a. (1)
Дәлелдеу. Оны түзетейік Ажәне индукцияны орындаңыз б.
Болсын б= 1, яғни теңдігін дәлелдеу керек
А + 1 = 1 + А. (2)
Бұл теңдікті индукция арқылы дәлелдейміз А.
Сағат А= 1 теңдік тривиальды. Ол үшін жасалсын А, дәлелдеп көрейік А¢. Бізде бар
А¢ + 1 = ( А + 1) + 1 = (1 + А) + 1 = (1 + А)¢ = 1 + А¢.
Индуктивті ауысу аяқталды. Математикалық индукция принципі бойынша (2) теңдік барлығы үшін дұрыс А. Бұл индукция негізі туралы мәлімдемені дәлелдейді б.
Енді (1) формула орындалсын б. Оны дәлелдеп көрейік б¢. Бізде бар
а +б¢ = ( а +б)¢ = ( б + а)¢ = б + а¢ = б + (а + 1) = б + (1 + а) = (б + 1) + а = б¢ + а.
Математикалық индукция принципін қолдана отырып, теорема дәлелденеді.
Теорема 4.а + б ¹ б.
Дәлел – жаттығу.
5-теорема.Кез келген сандар үшін АЖәне бкелесі жағдайлардың біреуі ғана орын алады:
1) a = b.
2) Сан бар ксолай a = b + k.
3) Сан бар лсолай b = a + l.
Дәлелдеу. 4-теоремадан бұл жағдайлардың көбінде біреуі орын алатыны шығады, өйткені 1) және 2), сондай-ақ 1) және 3) жағдайлары бір уақытта бола алмайтыны анық. Егер 2) және 3) жағдайлары бір мезгілде орын алса, онда a = b + k=
= (А + л) + к = А+ (л + к),
Бұл тағы да 4-теоремаға қайшы келеді. Осы жағдайлардың кем дегенде біреуі әрқашан болатынын дәлелдейік.
Сан таңдалсын АЖәне М –көп б,олардың әрқайсысы үшін берілген а 1), 2) немесе 3) жағдай орын алады.
Болсын б= 1. Егер а= 1, онда бізде 1 жағдай бар). Егер А¹ 1, онда 1.1.2 теоремасы бойынша бізде бар
a = k" = k + 1 = 1 + k,
яғни бізде 2) жағдай бар б= 1. Демек 1 тиесілі М.
Болсын бтиесілі М.Сонда келесі жағдайлар болуы мүмкін:
- А = б,білдіреді, b" = b + 1 = А+ 1, яғни бізде 3) үшін жағдай бар б»;
- А = b+k,және егер к= 1, онда А = b+ 1 = б», яғни 1) жағдай үшін орын алады б»;
егер к№1, онда k = t"Және
a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+м) = (b+ 1)+ m = b¢ +м,
яғни 2) жағдай үшін орын алады б»;
- б = a +л, және б» =(a + l)¢ = А + л¢, яғни бізде 3) жағдай бар б».
Барлық жағдайларда б»тиесілі М.Теорема дәлелденді.
Жаттығу. Қосындының анықтамасына сүйене отырып, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6 болатынын дәлелдеңдер.
Натурал сандарды көбейту
Анықтама.Натурал сандарды көбейту – натурал сандарға қолданылатын екілік операция АЖәне бсанына сәйкес келеді аб(немесе a×b), келесі қасиеттерге ие:
(P1) А×1 = Акез келген адам үшін А;
(P2) ab" = ab + aкез келген үшін АЖәне б.
Көбейтудің анықтамасына қатысты алдыңғы абзацта қосудың анықтамасына қатысты айтылған барлық ескертулер өз күшін сақтайды. Атап айтқанда, одан анықтамада берілген қасиеттерге сәйкестік бар екені әлі анық емес. Сондықтан 1.2.1 теоремасына ұқсас келесі теорема үлкен іргелі маңызға ие.
1-теорема.Натурал сандардың бір ғана көбейтіндісі бар. Басқаша айтқанда, көбейту әрқашан орындалатын және бір мәнді.
Дәлелдеу 1.2.1 теоремасына өте ұқсас және жаттығу ретінде ұсынылады.
Төмендегі теоремаларда тұжырымдалған көбейтудің қасиеттері оңай дәлелденеді. Әрбір теореманың дәлелі алдыңғыларына негізделген.
2-теорема.(Құқық дистрибутив заңы): ( a+b)c = ac + bc.
Теорема 3.Көбейту коммутативті: ab = ba.
Теорема 4.(Сол үлестіру заңы): в(a+b)= сa + сb.
5-теорема.Көбейту ассоциативті: а(б.з.б) = (аб)в.
Анықтама.Жартылай сақина дегеніміз - аксиомаларды қанағаттандыратын + және × қосу және көбейтудің екілік амалдары болатын жүйе:
(1) коммутативті жартылай топ, яғни қосу коммутативті және ассоциативті;
(2) – жартылай топ, яғни көбейту ассоциативті;
(3) оң және сол үлестірімділік сақталады.
Алгебралық тұрғыдан алғанда, қосу мен көбейтуге қатысты натурал сандар жүйесі жарты сақинаны құрайды.
Жаттығу. Өнімнің анықтамасына сүйене отырып дәлелдеңіз
2×2 = 4, 2×3 = 6.
Жаттығулар
Жеке тұлғаларды дәлелдеңіз:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
соманы табыңыз:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1х1! + 2х2! + ... + n×n!.
Теңсіздіктерді дәлелде:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Үшін n³ 4.
9. (1 + x)n³ 1 + nx, Қайда x > –1.
10. сағ n > 1.
11.
сағ n > 1.
12.
.
13.
Барлық сандардың тең екендігін индукция арқылы дәлелдеудегі қатені табыңыз. Біз эквивалентті мәлімдемені дәлелдейміз: кез келген жиында nсандар, барлық сандар бір-біріне тең. Сағат n= 1 мәлімдеме дұрыс. Ол үшін шын болсын n = к, дәлелдеп көрейік n = к+ 1. Еріктілер жиынын алыңыз
(к+ 1) сандар. Одан бір санды алып тастайық А. Сол ксандар, индуктивті гипотеза бойынша олар бір-біріне тең. Атап айтқанда, екі сан тең бЖәне бірге. Енді жиынтықтан санды алып тастайық біргежәне оны қосыңыз А. Алынған жиынтықта әлі де бар ксандар, яғни олар да бір-біріне тең. Сондай-ақ, а = б. білдіреді, a = b = c, болды ( к+ 1) сандар бір-біріне тең. Индуктивті ауысу аяқталып, тұжырым дәлелденеді.
14. Математикалық индукцияның күшейтілген принципін дәлелдеңіз:
Болсын А(n) натурал сандар жиынындағы предикат. Болсын А(1) ақиқат және шындықтан А(к) барлық сандар үшін к < мақиқатты ұстанады А(м). Содан кейін А(n) барлығына қатысты n.
Тапсырыс берілген жиынтықтар
Реттік қатынаспен байланысты негізгі анықтамаларды еске түсірейік.
Анықтама.Жиындағы f («жоғары») қатынасы Мшақырды тәртіп қатынасы, немесе жай қалпында, егер бұл қатынас өтпелі және антисимметриялы болса. Жүйе б М, fñ деп аталады тапсырыс жиынтығы.
Анықтама. қатаң тәртіп, егер ол антирефлексивті болса, және бос тәртіп, рефлексивті болса.
Анықтама. f ретті қатынасты қатынас деп атайды сызықтық тәртіп, егер ол қосылған болса, яғни а ¹ бÞ а f бÚ б f а. Сызықтық емес тәртіп деп аталады ішінара.
Анықтама.болсын М А– ішкі жиын М. Элемент Тжинақтар Ашақырды ең кішкентай, егер ол жиынның барлық басқа элементтерінен аз болса А, яғни
("XÎ А)(X ¹ Т® X f Т).
Анықтама.болсын М, fñ – реттелген жиын, А– ішкі жиын М. Элемент Тжинақтар Ашақырды минималды, жиынтықта болса Аодан кіші элемент жоқ, яғни (" XÎ А)(X ¹ Т® Ø Т f X).
Ең үлкен және ең үлкен элементтер бірдей анықталады.
Жаттығулар
1. Өтпелі және антирефлексиялық қатынастың реттік қатынас екенін дәлелдеңдер.
2. Жиынға бөлінгіштік қатынасы М екенін дәлелдеңдер Нішінара реттілік қатынасы бар.
3. Жиынның ең көбі бір ең үлкен, ең көп дегенде бір ең кіші элементі болуы мүмкін екенін дәлелдеңіз.
4. Бөлінгіштік қатынасы үшін жиынның (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) барлық минимум, максимум, ең үлкен және ең кіші элементтерін табыңыз.
5. Егер жиында ең кіші элемент болса, онда оның жалғыз минималды элемент екенін дәлелдеңіз.
6. Үш элементтен тұратын жиынның сызықтық тәртібін қанша тәсілмен анықтауға болады? сызықтық және қатаң? сызықтық және бос?
7. болсын М, fñ – сызықтық реттелген жиын. > қатынасы шарт арқылы анықталатынын дәлелдеңдер
а > б Û а f б & а¹ б
қатаң сызықтық реттілік қатынасы болып табылады.
8. болсын М, fñ – сызықтық реттелген жиын. ³ қатынасы шартпен анықталатынын дәлелдеңдер
а ³ б Û а f б Ú а= б,
қатаң емес сызықтық реттілік қатынасы болып табылады.
Анықтама.Сызықтық реттелген жиын b М, fñ, онда әрбір бос емес ішкі жиын ең кіші элементі деп аталады әбден реттелген. Бұл жағдайда f қатынасы қатынас деп аталады толық тапсырыс.
1.4.6 теоремасы бойынша натурал сандар жүйесі толық реттелген жиын болып табылады.
Анықтама.болсын М a элементімен бөлінген интервал, жиын деп аталады Р атөмендегі барлық элементтер Ажәне басқаша А, яғни
Р а = {x Î Мï а f x, x¹ а}.
Атап айтқанда, егер Аонда минималды элемент болып табылады Р а = Æ.
1-теорема.(Трансфинитті индукция принципі). болсын М, fñ - толық реттелген жиын және А Í М. Әрбір элемент үшін рұқсат етіңіз Абастап Мтиесілігінен Аинтервалдың барлық элементтері Р асоны ұстанады АÎ А. Содан кейін A = M.
Дәлелдеу.
Болсын А" = М\Ажиындардың теориялық айырмасы болып табылады МЖәне А.Егер А"= Æ, онда А = М,және теореманың тұжырымы орындалады. Егер А"¹ Æ , содан бері, содан бері Мтолық реттелген жиынтық, содан кейін жиынтық А"ең кіші элементті қамтиды Т.Бұл жағдайда алдыңғы барлық элементтер Тжәне басқаша Т,тиесілі емес А"сондықтан тиесілі А.Осылайша, Р м Í А.Демек, теореманың шарттары бойынша Т Î А,және сондықтан Т Ï A",жорамалға қайшы.
болсын А; fñ – реттелген жиын. Біз соны болжаймыз А– шекті жиын. Әрбір элементпен Ажинақтар Абір нүктені салыстырайық Т (А) берілген жазықтықтың элементі болатындай Абірден элементтен кейін жүреді б,содан кейін көрсетіңіз Т (а) нүктесінен жоғары орналасады T(b)және оларды сегментпен байланыстырыңыз. Нәтижесінде осы реттелген жиынтыққа сәйкес графикті аламыз.
Жаттығулар
9. болсын М, fñ - толық реттелген жиын, б Î ХанымÎ М.Мұны дәлелдеңіз немесе Pb = Rs,немесе Pb Ì Rs,немесе R s Ì Pb.
10.
болсын М, f 1 с және b Л, f 2 ñ толық реттелген жиынтықтар болып табылады
М Ç L=Æ .
Көпшілікте М È Л f екілік қатынасын келесі шарттар арқылы анықтайық:
1) егер а, бÎ М,Бұл, а f б Û а f 1 б;
2) егер а, бÎ L,Бұл, а f б Û а f 2 б;
3) егер АÎ М,бÎ L,Бұл, а f б.
Бұл жүйені дәлелдеңіз b МÈ Л, fñ - толық реттелген жиын.
Реттелген жартылай топтар
Анықтама.Жартылай топалгебра á деп аталады А, *ñ, мұндағы * ассоциативті екілік операция.
Анықтама.Жартылай топ á А, *ñ қасиеттерін қанағаттандыратын болса, қысқаруы бар жартылай топ деп аталады
а*c = b*в Þ a = b;в*a = c*б Þ a = b.
Анықтама.Реттелген жартылай топб жүйесі деп аталады А, +, fñ, мұндағы:
1) жүйе b А, +ñ – жартылай топ;
2) жүйе b А, fñ – реттелген жиынтық;
3) f қатынасы жартылай топтық операцияға қатысты монотонды, яғни
а f б Þ a+c f b + c, c + a f c+b.
Реттелген жартылай топ á А, +, fñ деп аталады тапсырыс берген топ, егер жүйе b А, +ñ – топ.
Тәртіптік қатынастардың түрлеріне сәйкес анықталады сызықтық реттелген жартылай топ, сызықтық реттелген топ, жартылай реттелген жартылай топ, қатаң реттелген жартылай топжәне т.б.
1-теорема.Реттелген жартылай топта á А, +, fñ теңсіздіктерін қосуға болады, яғни а f б, с f г Þ a+c f b+d.
Дәлелдеу. Бізде бар
а f б Þ a+c f b + c, c f г Þ b+c f b + d,
транзиттік арқылы қай жерден a+c f b+d. Теорема дәлелденді.
1-жаттығу. Натурал сандар жүйесі көбейту мен бөлінгіштікке қатысты жартылай реттелген жартылай топ екенін дәлелдеңдер.
Жүйенің b Н, +, >ñ – қатаң реттелген жартылай топ, б Н, +, ³ñ - қатаң реттелген емес жартылай топ. á жартылай тобының мұндай ретке келтірілуіне мысал келтіруге болады Н, +ñ, онда тәртіп қатаң да, қатаң да емес.
2-жаттығу. Натурал сандар жүйесіндегі f ретін былай анықтайық: а f б Û а ³ б & а¹ 1. Дәлелдеу b Н, +, fñ – реттелген жартылай топ, оның тәртібі қатаң да, қатаң да емес.
1-мысал.Болсын А– бірге тең емес натурал сандар жиыны. f in қатынасын анықтайық Акелесідей:
а f б Û ($ кÎ Н)(а = b+k) & б№3.
Бұл жүйені дәлелдеңіз b А, +, fñ - жартылай және қатаң реттелген жартылай топ.
Дәлелдеу. Транзитивтілікті тексерейік:
а f б, б f в Þ a = b + k, b№3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(к+л), с¹ 3 Þ а f в.
Өйткені а f б Þ а > б, содан кейін антирефлексивтілік қанағаттандырылады. 2.1.1-жаттығудан f - қатаң ретті қатынас екені шығады. Рет ішінара, себебі 3 және 4 элементтері ешқандай қатынаста емес.
f қатынасы қосуға қатысты монотонды. Шынында да, шарт а f б Þ a+c f b+cкезде ғана бұзуға болады
b+c= 3. Бірақ қосынды 3-ке тең болуы мүмкін, өйткені бұл мүмкін Абірлік жоқ.
Екі элементтен тұратын топ сызықтық және қатаң реттелген болуы мүмкін емес. Шындығында, 0 және 1 оның элементтері болсын (0 - топтың нөлі). 1 > 0 деп алайық. Сонда 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1 аламыз.
2-теорема.Әрбір сызықтық реттелген жойылатын жартылай топ сызықтық және қатаң реттелген болуы мүмкін.
Дәлелдеу. болсын А, +, fñ – реттелген жартылай топ. Қатаң реттілік қатынасы > 2.1.5-жаттығудағыдай анықталған: а > б Û а f б & а¹ б. Реттелген жартылай топ анықтамасынан 3) шарт орындалатынын көрсетейік.
а > б Þ а f б, а¹ бÞ a+c f b+c.
Егер a+c = b+cсосын азайта отырып, аламыз a = b, бұл шартқа қайшы келеді
А > б. білдіреді, a+c ¹ b+c, Және a+c > b+c. 3) шарттың екінші бөлігі теореманы дәлелдейтін сияқты тексеріледі.
Теорема 3.Егер б А, +, fñ - сызықтық және қатаң реттелген жартылай топ, онда:
1) А + бірге = b + c Û a = b Û c + a = бірге + б;
2) А + бірге f b + c Û А f б Û бірге + а f бірге + б.
Дәлелдеу. Болсын А + бірге = b + c. Егер а ¹ б, содан кейін қосылымға байланысты А f бнемесе
б f а. Бірақ содан кейін сәйкесінше А + бірге f b+cнемесе б + бірге f a+ c, бұл шартқа қайшы келеді А + бірге = b + c. Басқа істер де осылай қаралады.
Сонымен, әрбір сызықтық және қатаң реттелген жартылай топ жойылатын жартылай топ болып табылады.
Анықтама.болсын А, +, fñ – реттелген жартылай топ. Элемент Ажинақтар Аегер оң (теріс) деп аталады a + a¹ АЖәне а+а f А(тиісінше А f a + a).
2-мысал.Жоюы оң элементтен үлкен реттелген коммутативті жартылай топтың элементі міндетті түрде оң емес екенін дәлелдеңіз.
Шешім. 1-мысалды қолданайық. Бізде 2 + 2 f 2 бар, бұл 2 оң элемент екенін білдіреді. 3 = 2 + 1, бұл 3 f 2 дегенді білдіреді. Сонымен бірге 3 + 3 f 3 қатынасы орындалмайды, яғни 3 оң элемент емес.
Теорема 4.Жоюы бар коммутативті жартылай топтың оң элементтерінің қосындысы оң.
Дәлелдеу. Егер a + a f АЖәне b+b f б, онда 1-теорема бойынша
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Тексеру керек ( a + b)+ (a+b)¹ a + b.Бізде бар:
b+b f б Þ a+b+b f a+b(1)
солай етіп көрейік ( a + b)+ (a+b)=a + b.(1) орнына қойып, аламыз
a+b+b f a+b+a+b Þ а f а+а.
Антисиметрияға байланысты a = a + a. Бұл элемент фактісіне қайшы келеді Аоң.
5-теорема.Егер Асызықтық және қатаң реттелген жартылай топтың оң элементі болып табылады, содан кейін кез келген үшін ббізде бар a+b f b, b + a f б.
Дәлелдеу. Бізде бар a+ a f А Þ a+ a+ b f a+ b. Егер олай болмаса a+ b f б,онда сызықтыққа байланысты ол орындалады a+b=бнемесе б f a+ b. Сол жақтан қосу А, сәйкесінше аламыз a+ a+ b= a+ bнемесе a+ b f a+ a+ b. Бұл шарттар реттік қатынастың антисимметриясына және қатаңдығына қайшы келеді.
Теорема 6.болсын А, +, fñ – сызықтық және қатаң реттелген жартылай топ, АÎ АЖәне А+ А¹ а. Содан кейін элементтер:
А, 2*А, 3*А, ...
әркім әртүрлі. Егер бұл жағдайда жүйе b А, +, fñ - топ, онда барлық элементтер әртүрлі:
0, А,–А, 2*A, - 2*а, 3*а, –3*А, ...
(астында к*а, кÎ Н , аÎ А, соманы білдіреді a+ …+ a, құрамында кшарттары)
Дәлелдеу. Егер а + А f А, Бұл а + А + А f a + a, және т.б. Нәтижесінде ... f тізбекті аламыз ка f… f 4 А f3 А f2 А f А. Транзиттілік пен антисиметрияға байланысты ондағы барлық элементтер әртүрлі. Топта тізбекті элементті қосу арқылы басқа бағытта жалғастыруға болады - А.
Салдары.Жоюы бар ақырлы жартылай топ, егер оның элементтерінің саны кемінде 2 болса, сызықты ретке келтірілмейді.
Теорема 7.болсын А, +, fñ – сызықтық реттелген топ. Содан кейін
а f а Û б f б.
Дәлел – жаттығу.
Осылайша, әрбір сызықтық реттелген топ қатаң немесе қатаң реттелген емес. Бұл реттерді белгілеу үшін сәйкесінше > және ³ белгілерін қолданамыз.
Жаттығулар
3. Сызықтық және қатаң реттелген жартылай топтың оң элементтерінің қосындысы оң болатынын дәлелдеңдер.
4. Позитивті элементтен үлкен жартылай топтың әрбір сызықты және қатаң реттелген элементінің өзі оң болатынын дәлелдеңіз.
5. Реттелген жартылай топ, егер оның элементтерінің кез келген соңғы жиынында бір ғана ең үлкен элемент болса ғана, сызықтық реттелгенін дәлелдеңіз.
6. Сызықтық реттелген топтың оң элементтерінің жиыны бос емес екенін дәлелдеңдер.
7. болсын А, +, fñ - сызықтық және қатаң реттелген топ. элемент екенін дәлелдеңіз Ажүйелер Аегер және тек егер оң болса А > 0.
8. Натурал сандардың аддитивтік жартылай тобында оң элементтер жиыны бос болмайтын бір ғана сызықтық және қатаң тәртіп бар екенін дәлелдеңдер.
9. Бүтін сандардың мультипликативті жартылай тобын сызықтық ретке келтіруге болмайтынын дәлелдеңдер.
Тапсырыс берген сақиналар
Анықтама.Жүйе б А, +, ×, fñ деп аталады тапсырыс берді, Егер
1) жүйе b А, +, ×ñ – жартылай сақина;
2) жүйе b А, +, fñ – бос емес жиыны бар реттелген жартылай топ А+ оң элементтер;
3) оң элементтерге көбейтуге қатысты монотондылық орындалады, яғни егер біргеÎ А+ және А f б, Бұл ак f б.з.б, шамамен f cb.
Оң элементтапсырыс берді Ареттелген жартылай топтың кез келген оң элементі á А, +, fñ.
Тапсырылған жартылай сақина b А, +, ×, fñ деп аталады тапсырыс берген сақина (өріс), егер жарты сақина b А, +, ×ñ – сақина (тиісінше өріс).
Анықтама.болсын А, +, ×, fñ – реттелген семиринг. Жүйенің f реті Ашақырды Архимед,және жүйе А - Архимед бұйырды,егер, кез келген оң элементтер АЖәне бжүйелер А, мұндай натурал санды көрсетуге болады P,Не на f б.
1-мысал.> (үлкен) қатынасы бар натурал сандардың жарты сақинасы сызықты, қатаң және архимед ретті жарты сақина болып табылады.
Сызықтық реттелген сақина үшін b А, +, ×, 0, fñ жүйесі b А, +, 0, fñ – сызықтық реттелген топ. Бұл 2.2.7 теоремасына сәйкес f ретінің қатаң немесе қатаң емес екенін білдіреді. Көпшілікте Ажаңа енгізуге болады (2.1.5. және 2.1.6-жаттығулар). сызықтық тәртіп, егер f реті қатаң болмаса, қатаң болады, ал f реті қатаң болса, қатаң болмайды. Осы ескертуге байланысты сызықтық реттелген сақинада АӘдетте екі екілік ретті қатынас қарастырылады, олардың біреуі қатаң, белгімен белгіленеді >, ал екінші, қатаң емес, ³ белгісі.
Қосымша мақсаттар үшін элементтің сызықты реттелген сақинада екенін еске түсіру пайдалы Атек және егер болса ғана оң болады А> 0 (2.2.7-жаттығу).
1-теорема. b жүйесі болсын А,+,×,0,>ñ – сызықты реттелген сақина. Содан кейін кез келген элемент үшін Абастап Анемесе А = 0, немесе А> 0 немесе – А > 0.
Дәлелдеу. Элементтер арасындағы сызықтық пен қатаңдыққа байланысты
a+ aЖәне Ақарым-қатынастардың біреуі ғана a+ a>a, a+ a = a, a+ a < а. Бірінші жағдайда А- оң элемент. Екіншісінде біз екі бөлікке қосамыз - Ажәне аламыз А= 0. Үшінші жағдайда екі жағын қосамыз – а – а – ажәне аламыз –а < -а-а, қайда –а- оң элемент.
2-теорема.Сызықтық реттелген сақинаның оң элементтерінің қосындысы мен көбейтіндісі оң болады.
Дәлел – жаттығу.
Теорема 3.Сызықтық реттелген сақинада кез келген нөлдік емес элементтің квадраты оң болады.
Дәлел – жаттығу.
Теорема 4.Сызықтық реттелген өрісте егер а> 0, содан кейін а –1 > 0.
Дәлел – жаттығу.
Теорема 5. ( Тапсырыс критерийі) . Сақина á А, +, ×, 0ñ егер және сонда ғана сызықтық және қатаң реттелген болуы мүмкін (яғни, сызықтық және қатаң тәртіпті енгізу), егер жиын Аішкі жиыны бар А+ , шарттарды қанағаттандыратын:
1) АÎ А + Þ А¹ 0 & – АÏ А + ;
А¹ 0 Þ АÎ А + Ú – АÎ А + ;
2)а, бÎ А + Þ a+ bÎ А + & абÎ А + .
Дәлелдеу. Алдымен а А,+,×,0,>ñ – сызықты реттелген сақина. Қажетті жиын ретінде А+ бұл жағдайда 1 және 2 теоремалардың арқасында жүйенің көптеген оң элементтері пайда болуы мүмкін. А.
Енді рұқсат етіңіз А+ - сақинаның ішкі жиыны b А,+,×,0ñ, теореманың шарттарын қанағаттандыратын. á сақинасына сызықтық тәртіпті > енгізуге тырысайық А,+,×,0ñ. Бұл қатынасты келесідей анықтайық:
А > б Û а – б Î А + .
Біз енгізген қатынастың байланысты, антирефлексивті, антисимметриялық, өтпелі және кез келген элементке қосу және көбейту бойынша монотонды екенін тексеру оңай. А + .
Бір топ А+ 4-теорема шарттарында айтылған қасиеттермен аталады сақинаның оң бөлігі á А,+,×,0ñ. Болашақта кез келген сақинаға тәртіпті енгізген кезде біз оның «оң бөлігін» іздейміз. Егер сақинада мұндай бөлік болса, онда сақинаға тапсырыс беруге болады, егер жоқ болса, онда ол бірнеше сәйкес келмейтін оң бөліктер болса, онда оны бірнеше жолмен тапсырыс беруге болады;
Жоғарыда айтылғандардан шығатыны, сызықты реттелген сақинаны анықтау кезінде > екілік қатынастың орнына негізгі қатынас ретінде «оң бөлік» унарлы қатынасты алуға болады.
Теорема 6. ( Сызықтық тәртіптің бірегейлігінің критерийі) . Болсын А+ және А++ – сақинаның оң бөліктері b А,+,×,0ñ. Содан кейін
А + = А ++ Û А + Í А ++ .
Аксиома жүйесіне қойылатын талаптар, Пиано аксиомалары. Кез келген математикалық теорияны аксиоматикалық тұрғыда құру кезінде белгілі бір ережелер сақталады: 1) теорияның кейбір ұғымдары негізгі болып таңдалады және анықтамасыз қабылданады; 2) негізгілер тізімінде жоқ теорияның әрбір тұжырымдамасына анықтама беріледі. Негізгі және алдыңғы сөздердің көмегімен оның мағынасын түсіндіреді берілген ұғымдар. 3) аксиомалар тұжырымдалады, яғни берілген теорияда дәлелсіз қабылданған ұсыныстар. Аксиомалар негізгі ұғымдардың қасиеттерін ашады. 4) аксиомалар тізімінде жоқ теорияның әрбір ұсынысы дәлелденуі керек. Мұндай ұсыныстар теоремалар деп аталады. Олар осының алдындағы аксиомалар мен теоремалар негізінде дәлелденген.
БҰЛ. математикалық теорияны құрудың аксиоматикалық әдісі бірнеше кезеңнен өтеді: 1) негізгі анықталмаған ұғымдарды енгізу (мысалы: жиын, жиын теориясындағы жиын элементі). 2) негізгі қатынастарды енгізу (мысалы: жиынтық теориясындағы мүшелік қатынас). 3) негізгі ұғымдар мен негізгі қатынастарды көрсету арқылы басқа ұғымдар мен қатынастардың анықтамасы енгізіледі (мысалы: жиын теориясында бірігу, қиылысу, айырма, толықтауыш ұғымдары).
Теорияның аксиоматикалық құрылысында барлық мәлімдемелер аксиомалардан дәлелдеу арқылы шығарылады. Мұндай теорияның негізін аксиомалар жүйесі құрайды, ал аксиома жүйесіне ерекше талаптар қойылады: 1) аксиома жүйесі бірізді болуы керек. Аксиомалар жүйесі, егер одан бір-бірін жоққа шығаратын екі пікірді логикалық түрде шығару мүмкін болмаса, оны сәйкес деп атайды. Басқаша айтқанда, олардың екеуі де ақиқат болатындай тұжырым мен берілген пікірді теріске шығару мүмкін емес. Аксиома жүйесінің сәйкестігін тексеру үшін осы жүйенің моделін құрастыру жеткілікті. 2) аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы керек. Аксиомалар жүйесі тәуелсіз деп аталады, егер бұл жүйенің аксиомаларының ешқайсысы басқа аксиомалардың салдары болмаса. Басқаша айтқанда, бұл жүйенің әрбір аксиомасын басқа аксиомалардан шығаруға болмайды. Аксиомалар жүйесінің тәуелсіздігін дәлелдеу үшін осы жүйенің моделін құрастыру жеткілікті. 3) аксиомалар жүйесі толық болуы керек, яғни. берілген теорияда таңдалған аксиомалардың саны жаңа ұғымдарды, қатынастарды енгізу, теоремаларды дәлелдеу және бүкіл теорияны құру үшін жеткілікті болуы керек.
Бір теорияны аксиоматикалық түрде құру кезінде аксиомалардың әртүрлі жүйелерін қолдануға болады, бірақ олар эквивалентті болуы керек. Натурал сандар жүйесін аксиоматикалық құруда негізгі ұғым ретінде «тікелей жалғану» қатынасы алынады. «Жиын», «жиын элементі», логика ережесі деген ұғымдар да белгілі болып саналады. a элементінен кейінгі бірден элемент a - жай деп белгіленеді.
«Тікелей бағыну» қатынасының мәні келесі аксиомаларда ашылады: 1) натурал сандар жиынында осы жиынның ешбір элементіне тікелей бағынбайтын элемент бар, бұл элемент 1 (бір). 2) натурал сандар жиынының (N) әрбір а элементі үшін бірегей а элементі бар ма? , бірден кейін а. 3) N әрбір a элементі үшін бірден кейін а элементінен тұратын ең көбі бір элемент бар. 4) N жиынының келесідей қасиеттері бар кез келген M ішкі жиыны: 1 M, ал M құрамында а болатындықтан, а дегеніміз не? M құрамындағы, N жиынымен сәйкес келеді.
Аксиомалардың тізімделген жүйелері Пеано аксиомалары деп аталады. БҰЛ. Пеано аксиомаларын қанағаттандыратын тікелей келесі қатынас орнатылатын сандар жиыны натурал сандар жиыны, ал оның элементі натурал сан деп аталады. Төртінші аксиома натурал сандар қатарының шексіздігін сипаттайды және индукция аксиомасы деп аталады. Оның негізінде математикалық индукция әдісін қолдану арқылы әртүрлі тұжырымдарды дәлелдеу жүзеге асырылады, ол келесідей: берілген тұжырымның кез келген натурал сан үшін ақиқат екендігін дәлелдеу үшін: 1) дәлелдеу қажет. бұл тұжырым біреу үшін дұрыс, 2) ерікті k саны үшін ақиқат деген тұжырымнан келесі k саны үшін ақиқат екенін дәлелдеңіз?.
N жиынының анықтамасы бұл жиынның табиғаты туралы ештеңе айтпайды, яғни ол кез келген нәрсе болуы мүмкін. Пеано аксиомаларын қанағаттандыратын және бірден орындалатын қатынасы берілген кез келген жиынды N жиыны ретінде таңдау арқылы біз осы аксиома жүйесінің моделін аламыз. Барлық осындай модельдер арасында бір-біріне сәйкестік орнатуға болады. Бұл модельдер элементтердің табиғаты, атауы және белгіленуі бойынша ғана ерекшеленеді. No.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
