Порталдағы жарнама

Сыныптан тыс сабақ – сандық модуль. Санның абсолютті мәні. Толық сабақтар - Білім гипермаркети Теріс емес санның модулі теріс емес сан

Сабақтың мақсаттары

Мектеп оқушыларын санның модулі сияқты математикалық ұғыммен таныстыру;
Мектеп оқушыларына сандардың модульдерін табу дағдыларын үйрету;
Әртүрлі тапсырмаларды орындау арқылы меңгерілген материалды бекіту;

Тапсырмалар

Балалардың сандар модулі туралы білімдерін бекіту;
Тест тапсырмаларын шешу арқылы оқушылардың оқытылған материалды қалай меңгергенін тексеру;
Математика сабағына қызығушылықты арттыруды жалғастыру;
Оқушыларды логикалық ойлауға, ізденімпаздыққа, алғырлыққа тәрбиелеу.

Сабақ жоспары

1. Жалпы түсініктер және санның модулінің анықтамасы.
2. Модульдің геометриялық мағынасы.
3. Санның модулі және оның қасиеттері.
4. Құрамында санның модулі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.
5. «Санның модулі» термині туралы тарихи мәліметтер.
6. Өтілген тақырып бойынша білімдерін бекітуге тапсырма.
7. Үй тапсырмасы.

Санның модулі туралы жалпы түсініктер

Санның модулі әдетте санның өзі деп аталады, егер оның теріс мәні болмаса немесе сол сан теріс болса, бірақ таңбасы қарама-қарсы болса.

Яғни, а теріс емес нақты санның модулі санның өзі:

Ал теріс нақты санның модулі х қарама-қарсы сан болады:

Жазу кезінде ол келесідей болады:

Түсінікті болу үшін мысал келтірейік. Мәселен, 3 санының модулі 3-ке тең, сонымен қатар -3 санының модулі 3-ке тең.

Бұдан шығатыны, санның модулі абсолютті шаманы, яғни оның абсолютті мәнін білдіреді, бірақ оның белгісін есепке алмай. Одан да оңайырақ айтсақ, саннан белгіні алып тастау керек.

Санның модулі белгіленуі мүмкін және келесідей болуы мүмкін: |3|, |x|, |a| және т.б.

Сонымен, мысалы, 3 санының модулі |3| деп белгіленеді.

Сондай-ақ, санның модулі ешқашан теріс болмайтынын есте ұстаған жөн: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 және т.б.

Модульдің геометриялық мағынасы

Санның модулі – басынан нүктеге дейінгі бірлік кесінділермен өлшенетін қашықтық. Бұл анықтама модульді геометриялық тұрғыдан ашады.

Координаталық түзуді алып, оның екі нүктесін белгілейік. Бұл нүктелер −4 және 2 сияқты сандарға сәйкес болсын.



Енді осы көрсеткішке назар аударайық. Координаталық түзуде көрсетілген А нүктесінің -4 санына сәйкес келетінін көреміз, ал мұқият қарасаңыз, бұл нүкте 0 тірек нүктесінен 4 бірлік сегмент қашықтықта орналасқанын көресіз. Бұдан ОА сегментінің ұзындығы төрт бірлікке тең болатыны шығады. Бұл жағдайда OA кесіндісінің ұзындығы, яғни 4 саны -4 санының модулі болады.

Бұл жағдайда санның модулі былай белгіленеді және жазылады: |−4| = 4.

Енді координаталық түзудегі В нүктесін алып, белгілейік.

Бұл В нүктесі +2 санына сәйкес болады және біз көріп отырғанымыздай, ол координат басынан екі бірлік сегмент қашықтықта орналасқан. Бұдан шығатыны, OB кесіндісінің ұзындығы екі бірлікке тең. Бұл жағдайда 2 саны +2 санының модулі болады.

Жазбада ол келесідей болады: |+2| = 2 немесе |2| = 2.

Енді қорытындылайық. Егер қандай да бір белгісіз а санын алып, оны координаталық түзуде А нүктесі деп белгілесек, онда бұл жағдайда А нүктесінен координаталық нүктеге дейінгі қашықтық, яғни ОА кесіндісінің ұзындығы дәл «a» санының модулі болады. ».

Жазбаша ол келесідей болады: |a| = ОА.

Санның модулі және оның қасиеттері

Енді модульдің қасиеттерін бөліп көрсетуге тырысайық, барлық мүмкін жағдайларды қарастырайық және оларды әріптік өрнектерді қолданып жазайық:

Біріншіден, санның модулі теріс емес сан, бұл оң санның модулі санның өзіне тең екенін білдіреді: |a| = a, егер a > 0;

Екіншіден, қарама-қарсы сандардан тұратын модульдер тең: |a| = |–a|. Яғни, бұл қасиет бізге қарама-қарсы сандар әрқашан координаталық түзудегі сияқты модульдері тең болатынын, олардың қарама-қарсы сандары болса да, тірек нүктесінен бірдей қашықтықта орналасқанын айтады. Осыдан осы қарама-қарсы сандардың модульдері тең болатыны шығады.

Үшіншіден, нөлдің модулі нөлге тең, егер бұл сан нөлге тең болса: |0| = 0, егер a = 0. Мұнда нөлдің модулі координаталық түзудің басына сәйкес келетіндіктен, анықтамасы бойынша нөлге тең деп сенімді түрде айта аламыз.

Модульдің төртінші қасиеті екі санның көбейтіндісінің модулі осы сандардың модульдерінің көбейтіндісіне тең. Енді бұл нені білдіретінін егжей-тегжейлі қарастырайық. Егер біз анықтаманы ұстанатын болсақ, онда сіз бен біз a және b сандарының көбейтіндісінің модулі a b-ге тең болатынын білеміз немесе −(a b), егер a b ≥ 0 болса, немесе – (a b), егер a b үлкен болса 0. B жазуы келесідей болады: |a b| = |a| |б|.

Бесінші қасиет – сандар бөлігінің модулі осы сандардың модульдерінің қатынасына тең: |a: b| = |a| : |b|.

Сандық модульдің келесі қасиеттері:



Санның модулін қамтитын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

Сандық модулі бар есептерді шығаруға кіріскенде, мұндай тапсырманы шешу үшін осы есеп сәйкес келетін қасиеттерді білу арқылы модульдің таңбасын ашу қажет екенін есте ұстаған жөн.

1-жаттығу

Мәселен, мысалы, модуль белгісінің астында айнымалыға тәуелді өрнек болса, онда модуль анықтамаға сәйкес кеңейтілуі керек:


Әрине, есептерді шешу кезінде модуль бірегей түрде ашылатын жағдайлар болады. Егер, мысалы, аламыз

, мұнда біз модуль таңбасының астындағы мұндай өрнек x және y кез келген мәндері үшін теріс емес екенін көреміз.

Немесе, мысалы, алайық

, біз бұл модуль өрнегі кез келген z мәндері үшін оң емес екенін көреміз.

2-тапсырма

Сіздің алдыңызда координаталық сызық көрсетіледі. Бұл жолда модулі 2-ге тең болатын сандарды белгілеу керек.



Шешім

Ең алдымен, біз координаталық сызықты сызуымыз керек. Мұны істеу үшін алдымен түзу сызықта басын, бағытын және бірлік сегментін таңдау керек екенін білесіз. Әрі қарай, екі бірлік кесіндінің қашықтығына тең нүктелерді басынан қою керек.

Көріп отырғаныңыздай, координаталық түзуде осындай екі нүкте бар, олардың біреуі -2 санына, екіншісі 2 санына сәйкес келеді.

Сандардың модулі туралы тарихи мәліметтер

«Модуль» термині латынның modulus атауынан шыққан, ол «өлшеу» дегенді білдіреді. Бұл терминді ағылшын математигі Роджер Котес енгізген. Бірақ модуль белгісі неміс математигі Карл Вейерштрастың арқасында енгізілді. Жазу кезінде модуль келесі таңба арқылы белгіленеді: | |.

Материал бойынша білімдерін бекітуге арналған сұрақтар

Бүгінгі сабақта біз санның модулі сияқты ұғыммен таныстық, ал енді берілген сұрақтарға жауап беру арқылы осы тақырыпты қалай меңгергеніңізді тексерейік:

1. Оң санға қарама-қарсы сан қалай аталады?
2. Теріс санға қарама-қарсы сан қалай аталады?
3. Нөлге қарама-қарсы санды ата. Мұндай сан бар ма?
4. Санның модулі бола алмайтын санды ата.
5. Санның модулін анықтаңыз.

Үй жұмысы

1. Сіздердің алдарыңызда модульдердің кему ретімен орналастыру керек сандар. Тапсырманы дұрыс орындасаңыз, математикаға «модуль» терминін алғаш енгізген адамның аты-жөнін білесіз.



2. Координаталық түзуді жүргізіп, М (-5) және К (8) нүктелерінен координаталық нүктеге дейінгі қашықтықты табыңдар.

Пәндер > Математика > Математика 6 сынып

Бүгін, достар, бұл жерде тоқырау немесе сентименталдылық болмайды. Оның орнына мен сізді 8-9 сыныптардағы алгебра курсындағы ең қорқынышты қарсыластардың бірімен шайқасқа жіберемін, ешқандай сұрақ қойылмады.

Иә, сіз бәрін дұрыс түсіндіңіз: біз модулі бар теңсіздіктер туралы айтып отырмыз. Біз төрт негізгі әдісті қарастырамыз, олардың көмегімен сіз осындай есептердің шамамен 90% шешуге үйренесіз. Қалған 10% ше? Ал, біз олар туралы бөлек сабақта сөйлесеміз. :)

Дегенмен, кез келген әдістерді талдамас бұрын, мен сізге бұрыннан білуіңіз керек екі фактіні еске салғым келеді. Әйтпесе, бүгінгі сабақтың материалын мүлде түсінбеу қаупі бар.

Сіз нені білуіңіз керек

Капитан Айқындық теңсіздіктерді модульмен шешу үшін екі нәрсені білу керек дегенге ұқсайды:

  1. Теңсіздіктер қалай шешіледі;
  2. Модуль дегеніміз не?

Екінші тармақтан бастайық.

Модуль анықтамасы

Мұнда бәрі қарапайым. Екі анықтамасы бар: алгебралық және графикалық. Бастау үшін - алгебралық:

Анықтама. $x$ санының модулі не ол теріс болмаса, сол санның өзі немесе бастапқы $x$ әлі теріс болса, оған қарама-қарсы сан болып табылады.

Ол былай жазылған:

\[\сол| x \right|=\left\( \бастау(туралау) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Қарапайым тілмен айтқанда, модуль «минуссыз сан». Дәл осы екі жақтылықта (кейбір жерлерде бастапқы нөмірмен ештеңе істеудің қажеті жоқ, ал басқаларында минустың қандай да бір түрін жоюға тура келеді) жаңадан бастаған студенттер үшін барлық қиындық осында.

Сондай-ақ геометриялық анықтама бар. Білу де пайдалы, бірақ біз оған тек күрделі және кейбір ерекше жағдайларда ғана жүгінеміз, мұнда геометриялық тәсіл алгебралық тәсілге қарағанда ыңғайлы (спойлер: бүгін емес).

Анықтама. Сан жолында $a$ нүктесі белгіленсін. Содан кейін $\left| модулі x-a \right|$ — осы түзудің $x$ нүктесінен $a$ нүктесіне дейінгі қашықтық.

Егер сіз сурет салсаңыз, сіз келесідей нәрсені аласыз:


Графикалық модуль анықтамасы

Қалай болғанда да, модуль анықтамасынан оның негізгі қасиеті бірден шығады: санның модулі әрқашан теріс емес шама. Бұл факт біздің бүгінгі әңгімемізде қызыл жіп болады.

Теңсіздіктерді шешу. Интервал әдісі

Енді теңсіздіктерді қарастырайық. Олардың көпшілігі бар, бірақ біздің ендігі міндетіміз олардың ең қарапайымын шеше білу. Сызықтық теңсіздіктерге, сонымен қатар интервал әдісіне келтіретіндер.

Менің осы тақырып бойынша екі үлкен сабағым бар (айтпақшы, өте пайдалы - мен оларды оқуды ұсынамын):

  1. Теңсіздіктер үшін интервал әдісі (әсіресе бейнені қараңыз);
  2. Бөлшек рационал теңсіздіктер - бұл өте кең сабақ, бірақ одан кейін сізде ешқандай сұрақтар болмайды.

Егер сіз мұның бәрін білсеңіз, егер «теңсіздіктен теңдеуге көшейік» деген сөз сізді қабырғаға соғуға деген бұлыңғыр ниет тудырмаса, онда сіз дайынсыз: сабақтың негізгі тақырыбына тозаққа қош келдіңіз :).

1. «Модуль функциядан кіші» түріндегі теңсіздіктер

Бұл модульдермен жиі кездесетін мәселелердің бірі. Пішіннің теңсіздігін шешу үшін қажет:

\[\сол| f\right| \ltg\]

$f$ және $g$ функциялары кез келген нәрсе болуы мүмкін, бірақ әдетте олар көпмүшелер. Мұндай теңсіздіктердің мысалдары:

\[\бастау(туралау) & \left| 2x+3 \оңға| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\сол| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\соңы(туралау)\]

Олардың барлығын келесі схема бойынша бір жолда сөзбе-сөз шешуге болады:

\[\сол| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g\quad \сол(\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\соңы(туралау) \right.\right)\]

Модульден құтылғанымызды көру оңай, бірақ оның орнына қосарлы теңсіздік (немесе, бұл бірдей нәрсе, екі теңсіздік жүйесі) аламыз. Бірақ бұл ауысу барлық мүмкін болатын мәселелерді толығымен ескереді: егер модуль астындағы сан оң болса, әдіс жұмыс істейді; теріс болса, ол әлі де жұмыс істейді; және $f$ немесе $g$ орнына ең жеткіліксіз функция болса да, әдіс жұмыс істей береді.

Әрине, сұрақ туындайды: бұл қарапайым болуы мүмкін емес пе? Өкінішке орай, бұл мүмкін емес. Бұл модульдің барлық мәні.

Дегенмен, философиямен айналысу жеткілікті. Бір-екі мәселені шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 2x+3 \оңға| \lt x+7\]

Шешім. Сонымен, біздің алдымызда «модуль аз» түріндегі классикалық теңсіздік бар - тіпті түрлендіруге ештеңе жоқ. Біз алгоритм бойынша жұмыс істейміз:

\[\бастау(туралау) & \left| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \оңға| \lt x+7\Оң жақ көрсеткі -\сол(x+7 \оң) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\соңы(туралау)\]

Алдында «минус» бар жақшаларды ашуға асықпаңыз: асығыстығыңыздың салдарынан қорлайтын қателік жіберуіңіз әбден мүмкін.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Мәселе екі элементарлық теңсіздікке дейін қысқарды. Олардың параллель сандар түзулеріндегі шешімдерін белгілейік:

Көптің қиылысы

Осы жиындардың қиылысы жауап болады.

Жауабы: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Шешім. Бұл тапсырма сәл қиынырақ. Біріншіден, екінші терминді оңға жылжыту арқылы модульді оқшаулаймыз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \lt -3\сол(x+1 \оң)\]

Әлбетте, бізде қайтадан «модуль кішірек» пішінінің теңсіздігі бар, сондықтан біз бұрыннан белгілі алгоритмді пайдаланып модульден құтыламыз:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \оң)\]

Енді назар аударыңыз: біреу мені осы жақшалардың барлығымен аздап бұзық деп айтады. Бірақ біздің басты мақсатымыз екенін тағы бір рет еске сала кетейін теңсіздікті дұрыс шешіп, жауабын алады. Кейінірек, сіз осы сабақта сипатталғанның бәрін жақсы меңгерген кезде, оны өзіңіз қалағаныңызша бұрмалауға болады: жақшаларды ашыңыз, минустарды қосыңыз және т.б.

Бастау үшін біз сол жақтағы қос минустан құтыламыз:

\[-\сол(-3\сол(x+1 \оң) \оң)=\сол(-1 \оң)\cdot \left(-3 \оң)\cdot \сол(x+1 \оң) =3\сол(x+1 \оң)\]

Енді қос теңсіздіктегі барлық жақшаларды ашайық:

Қос теңсіздікке көшейік. Бұл жолы есептеулер маңыздырақ болады:

\[\left\( \бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( туралау)\оңға.\]

Екі теңсіздік те квадраттық және интервал әдісімен шешуге болады (сол себепті мен айтамын: егер бұл не екенін білмесеңіз, әлі модульдерді қабылдамағаныңыз жөн). Бірінші теңсіздіктегі теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\соңы(туралау)\]

Көріп отырғаныңыздай, шығыс толық емес квадрат теңдеу болып табылады, оны элементар жолмен шешуге болады. Енді жүйенің екінші теңсіздігін қарастырайық. Онда сіз Виетаның теоремасын қолдануыңыз керек:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\соңы(туралау)\]

Алынған сандарды екі параллель түзуде белгілейміз (бірінші теңсіздік үшін бөлек, екіншісі үшін бөлек):

Тағы да, біз теңсіздіктер жүйесін шешіп жатқандықтан, бізді көлеңкеленген жиындардың қиылысуы қызықтырады: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Бұл жауап.

Жауабы: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Менің ойымша, бұл мысалдардан кейін шешім схемасы өте анық:

  1. Барлық басқа мүшелерді теңсіздіктің қарама-қарсы жағына жылжыту арқылы модульді оқшаулаңыз. Осылайша $\left| түріндегі теңсіздікті аламыз f\right| \ltg$.
  2. Жоғарыда сипатталған схема бойынша модульден құтылу арқылы осы теңсіздікті шешіңіз. Бір сәтте қос теңсіздіктен әрқайсысы жеке шешілетін екі тәуелсіз өрнектер жүйесіне көшу қажет болады.
  3. Ақырында, осы екі тәуелсіз өрнектің шешімдерін қиылысу ғана қалады - және біз түпкілікті жауапты аламыз.

Ұқсас алгоритм модуль функциядан үлкен болғанда келесі түрдегі теңсіздіктер үшін бар. Дегенмен, бірнеше маңызды «бірақ» бар. Біз қазір осы «бірақ» туралы сөйлесетін боламыз.

2. «Модуль функциядан үлкен» түріндегі теңсіздіктер

Олар келесідей көрінеді:

\[\сол| f\right| \gtg\]

Алдыңғыға ұқсас па? Сияқты. Ал мұндай мәселелер мүлде басқа жолмен шешіледі. Ресми түрде схема келесідей:

\[\сол| f\right| \gt g\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(туралау) \оңға.\]

Басқаша айтқанда, біз екі жағдайды қарастырамыз:

  1. Біріншіден, біз жай ғана модульді елемей, әдеттегі теңсіздікті шешеміз;
  2. Содан кейін, мәні бойынша, біз минус таңбасы бар модульді кеңейтеміз, содан кейін теңсіздіктің екі жағын -1-ге көбейтеміз, ал менде таңбасы бар.

Бұл жағдайда опциялар төртбұрышты жақшамен біріктіріледі, яғни. Біздің алдымызда екі талаптың жиынтығы тұр.

Тағы да назар аударыңыз: бұл жүйе емес, тұтастық жауапта жиындар қиылысу емес, біріктірілген. Бұл алдыңғы тармақтан түбегейлі айырмашылық!

Тұтастай алғанда, көптеген студенттер кәсіподақтар мен қиылыстармен толығымен шатастырылады, сондықтан бұл мәселені біржола шешейік:

  • «∪» – одақ белгісі. Шын мәнінде, бұл ағылшын тілінен бізге келген стильдендірілген «U» әрпі және «Union» аббревиатурасы, яғни. «Ассоциациялар».
  • "∩" - қиылысу белгісі. Бұл сұмдық еш жерден шыққан жоқ, жай ғана «∪» дегенге қарсы нүкте ретінде пайда болды.

Есте сақтауды жеңілдету үшін көзілдірік жасау үшін мына белгілерге аяқтарды тартыңыз (енді мені нашақорлық пен алкоголизмді насихаттады деп айыптамаңыз: егер сіз бұл сабақты шындап оқып жатсаңыз, онда сіз есірткіге тәуелдісіз):

Жиындардың қиылысуы мен бірігуінің айырмашылығы

Орыс тіліне аударғанда бұл мынаны білдіреді: одақ (толық) екі жиынның элементтерін қамтиды, сондықтан ол олардың әрқайсысынан кем емес; бірақ қиылысу (жүйе) бірінші жиында да, екіншісінде де бір мезгілде болатын элементтерді ғана қамтиды. Сондықтан жиындардың қиылысы ешқашан бастапқы жиындардан үлкен болмайды.

Сонда ол түсінікті болды ма? Міне керемет. Жаттығуға көшейік.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\]

Шешім. Біз схемаға сәйкес әрекет етеміз:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\Оң жақ көрсеткі \left[ \бастау(туралау) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \оң) \\\соңы(туралау) \ дұрыс.\]

Популяциядағы әрбір теңсіздікті шешеміз:

\[\left[ \begin(туралау) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

Әрбір нәтиже жиынын сандар жолында белгілеп, содан кейін оларды біріктіреміз:

Жиындар одағы

Жауап $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ болатыны анық.

Жауабы: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\]

Шешім. Енді не? Ештеңе - бәрі бірдей. Біз модулі бар теңсіздіктен екі теңсіздіктер жиынына көшеміз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Біз әрбір теңсіздікті шешеміз. Өкінішке орай, тамырлар онша жақсы болмайды:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\соңы(туралау)\]

Екінші теңсіздік те аздап жабайы:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\соңы(туралау)\]

Енді бұл сандарды екі осьте белгілеу керек - әрбір теңсіздік үшін бір ось. Дегенмен, нүктелерді дұрыс ретпен белгілеу керек: сан неғұрлым көп болса, нүкте соғұрлым оңға жылжиды.

Міне, бізді орнату күтіп тұр. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ сандарымен бәрі түсінікті болса (бірінші алымдағы терминдер бөлшек екіншінің алымындағы мүшелерден аз, сондықтан қосынды да аз), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) сандарымен (21))(2)$ сонымен қатар қиындықтар болмайды (оң сан терісірек), содан кейін соңғы жұппен бәрі анық емес. Қайсысы үлкен: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ немесе $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Сандық сызықтардағы нүктелердің орналасуы және шын мәнінде, жауап осы сұрақтың жауабына байланысты болады.

Ендеше салыстырайық:

\[\бастау(матрица) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\соңы(матрица)\]

Біз түбірді бөліп алдық, теңсіздіктің екі жағында да теріс емес сандарды алдық, сондықтан екі жағын да шаршылауға құқығымыз бар:

\[\begin(матрица) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\соңы(матрица)\]

Менің ойымша, бұл $4\sqrt(13) \gt 3$, сондықтан $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, осьтердегі соңғы нүктелер келесідей орналастырылады:

Ұсқынсыз тамырлардың оқиғасы

Еске сала кетейін, біз жиынды шешіп жатырмыз, сондықтан жауап көлеңкелі жиындардың қиылысы емес, одақ болады.

Жауабы: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Көріп отырғаныңыздай, біздің схема қарапайым және өте қиын мәселелерде жақсы жұмыс істейді. Бұл тәсілдің жалғыз «әлсіз жері» - иррационал сандарды дұрыс салыстыру керек (және маған сеніңіз: бұл тек тамырлар ғана емес). Бірақ бөлек (және өте маңызды) сабақ салыстыру мәселелеріне арналады. Ал біз әрі қарай жүреміз.

3. Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктер

Енді біз ең қызықты бөлікке жетеміз. Бұл пішіннің теңсіздіктері:

\[\сол| f\right| \gt \left| g\right|\]

Жалпы айтқанда, қазір біз айтатын алгоритм тек модуль үшін дұрыс. Ол сол және оң жақта кепілдік берілген теріс емес өрнектер бар барлық теңсіздіктерде жұмыс істейді:

Бұл тапсырмалармен не істеу керек? Тек есте сақтаңыз:

Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктерде екі жағы да кез келген табиғи күшке көтерілуі мүмкін. Қосымша шектеулер болмайды.

Ең алдымен, бізді квадраттау қызықтырады - ол модульдер мен түбірлерді күйдіреді:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\соңы(туралау)\]

Мұны шаршының түбірін алумен шатастырмаңыз:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\сол| f \right|\ne f\]

Студент модуль орнатуды ұмытып кеткенде сансыз қателіктер жіберілді! Бірақ бұл мүлдем басқа әңгіме (бұл иррационал теңдеулер сияқты), сондықтан біз қазір бұл туралы айтпаймыз. Бірнеше мәселені жақсырақ шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \оңға|\]

Шешім. Бірден екі нәрсеге назар аударайық:

  1. Бұл қатаң теңсіздік емес. Сан сызығындағы нүктелер тесіледі.
  2. Теңсіздіктің екі жағы да теріс емес екені анық (бұл модульдің қасиеті: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Демек, модульден құтылу үшін теңсіздіктің екі жағын да квадраттай аламыз және мәселені әдеттегі интервал әдісімен шеше аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол(\сол| x+2 \оң| \оң))^(2))\ge ((\left(\сол| 1-2x \оң| \оң)) )^(2)); \\ & ((\сол(x+2 \оң))^(2))\ge ((\left(2x-1 \оң))^(2)). \\\соңы(туралау)\]

Соңғы қадамда мен аздап алдадым: модульдің біркелкілігін пайдаланып, терминдер тізбегін өзгерттім (шын мәнінде мен $1-2x$ өрнегін −1-ге көбейттім).

\[\бастау(туралау) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(туралау)\]

Интервал әдісі арқылы шешеміз. Теңсіздіктен теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\соңы(туралау)\]

Табылған түбірлерді сан сызығына белгілейміз. Тағы да: барлық нүктелер көлеңкеленген, себебі бастапқы теңсіздік қатаң емес!

Модуль белгісінен құтылу

Ерекше қыңырлар үшін еске сала кетейін: біз белгілерді теңдеуге көшкенге дейін жазылған соңғы теңсіздіктен аламыз. Және сол теңсіздікте қажетті аумақтарды бояймыз. Біздің жағдайда бұл $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Сонымен бітті. Мәселе шешілді.

Жауабы: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \оңға|\]

Шешім. Біз бәрін бірдей жасаймыз. Мен түсініктеме бермеймін - тек әрекеттер тізбегін қараңыз.

Шаршы:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \оң| \оң))^(2))\le ((\left(\left) |.((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ оңға))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\соңы(туралау)\]

Интервал әдісі:

\[\бастау(туралау) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Оң жақ көрсеткі x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Оң жақ көрсеткі D=16-40 \lt 0\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Сан түзуінде бір ғана түбір бар:

Жауап тұтас интервал

Жауабы: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Соңғы тапсырма туралы шағын ескерту. Менің студенттерімнің бірі дәл атап өткендей, бұл теңсіздіктегі екі субмодульдік өрнектің де оң екені анық, сондықтан денсаулыққа зиян келтірместен модуль белгісін алып тастауға болады.

Бірақ бұл мүлдем басқа ойлау деңгейі және басқа көзқарас - оны шартты түрде салдар әдісі деп атауға болады. Бұл туралы - бөлек сабақта. Енді бүгінгі сабақтың соңғы бөлігіне өтіп, әрқашан жұмыс істейтін әмбебап алгоритмді қарастырайық. Бұрынғы барлық тәсілдер күшсіз болған кезде де. :)

4. Опцияларды санамалау әдісі

Бұл әдістердің барлығы көмектеспесе ше? Егер теңсіздікті теріс емес құйрықтарға келтіру мүмкін болмаса, модульді оқшаулау мүмкін болмаса, жалпы ауырсыну, қайғы, меланхолия бар ма?

Содан кейін сахнаға барлық математиканың «ауыр артиллериясы» шығады - дөрекі күш әдісі. Модульі бар теңсіздіктерге қатысты келесідей болады:

  1. Барлық субмодульдік өрнектерді жазыңыз және оларды нөлге теңестіріңіз;
  2. Алынған теңдеулерді шешіп, бір сан түзуінде табылған түбірлерді белгіле;
  3. Түзу сызық бірнеше бөліктерге бөлінеді, олардың ішінде әрбір модульдің бекітілген белгісі бар, сондықтан бірегей түрде ашылады;
  4. Әрбір осындай бөлім бойынша теңсіздікті шешіңіз (сенімділік үшін 2-қадамда алынған түбір-шектерді бөлек қарастыруға болады). Нәтижелерді біріктіріңіз - бұл жауап болады. :)

Қалай? Әлсіз бе? Оңай! Тек ұзақ уақытқа. Іс жүзінде көрейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шешім. Бұл ақымақтық $\left| сияқты теңсіздіктерге дейін қайнамайды f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ немесе $\left| f\right| \lt \сол| g \right|$, сондықтан біз алға қарай әрекет етеміз.

Біз субмодульдік өрнектерді жазамыз, оларды нөлге теңеп, түбірін табамыз:

\[\бастау(туралау) & x+2=0\Оң жақ көрсеткі x=-2; \\ & x-1=0\Оң жақ көрсеткі x=1. \\\соңы(туралау)\]

Барлығы бізде сан сызығын үш бөлікке бөлетін екі түбір бар, олардың ішінде әрбір модуль бірегей түрде ашылады:

Сандық жолды субмодульдік функциялардың нөлдеріне бөлу

Әр бөлімді бөлек қарастырайық.

1. $x \lt -2$ болсын. Сонда субмодульдік өрнектердің екеуі де теріс болады және бастапқы теңсіздік келесідей қайта жазылады:

\[\бастау(туралау) & -\сол(x+2 \оң) \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау)\]

Бізде қарапайым шектеулер бар. Оны $x \lt -2$ болатын бастапқы жорамалмен қиып көрейік:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varnothing \]

$x$ айнымалысы бір уақытта −2-ден кіші және 1,5-тен үлкен бола алмайтыны анық. Бұл салада шешімдер жоқ.

1.1. Шекаралық жағдайды бөлек қарастырайық: $x=-2$. Осы санды бастапқы теңсіздікке ауыстырайық және тексерейік: бұл рас па?

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \сол| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \лт 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Есептер тізбегі бізді дұрыс емес теңсіздікке әкелгені анық. Демек, бастапқы теңсіздік те жалған және $x=-2$ жауапқа қосылмайды.

2. Енді $-2 \lt x \lt 1$ болсын. Сол жақ модуль «плюс» белгісімен ашылады, бірақ оң жақтағы модуль әлі де «минуспен» ашылады. Бізде бар:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\соңы(туралау)\]

Біз қайтадан бастапқы талаппен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varештеңеде \]

Тағы да, шешімдер жиыны бос, өйткені −2,5-тен кіші және −2-ден үлкен сандар жоқ.

2.1. Тағы да ерекше жағдай: $x=1$. Бастапқы теңсіздікті ауыстырамыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=1)) \\ & \left| 3\оңға| \lt \сол| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \лт -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Алдыңғы «ерекше жағдайға» ұқсас $x=1$ саны жауапта анық емес.

3. Жолдың соңғы бөлігі: $x \gt 1$. Мұнда барлық модульдер плюс белгісімен ашылады:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \соңында(туралау)\ ]

Біз қайтадан табылған жиынды бастапқы шектеумен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\сол жақ(4,5;+\infty \оңға)\ ]

Әйтеуір! Біз жауап болатын интервалды таптық.

Жауабы: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Соңында, нақты мәселелерді шешу кезінде сізді ақымақ қателіктерден құтқаратын бір ескерту:

Модульдері бар теңсіздіктерді шешу әдетте сандар түзуіндегі үзіліссіз жиындарды – интервалдар мен кесінділерді көрсетеді. Оқшауланған нүктелер әлдеқайда сирек кездеседі. Және одан да сирек, шешімнің шекарасы (сегменттің соңы) қарастырылатын диапазонның шекарасымен сәйкес келеді.

Демек, егер жауапқа шекаралар (бірдей «ерекше жағдайлар») қосылмаса, онда бұл шекаралардың сол және оң жағындағы аймақтар жауапқа қосылмайды. Және керісінше: шекара жауапқа кірді, яғни оның айналасындағы кейбір аймақтар да жауаптар болады.

Шешімдерді қарастырған кезде мұны есте сақтаңыз.

Бұл сабақта нақты санның модулі түсінігі қарастырылады және оның кейбір негізгі анықтамаларымен таныстырылады, содан кейін осы анықтамалардың әртүрлі қолданылуын көрсететін мысалдар келтіріледі.

Тақырыбы:Нақты сандар

Сабақ:Нақты санның модулі

1. Модуль анықтамалары

Нақты санның модулі сияқты ұғымды қарастырайық, оның бірнеше анықтамалары бар;

Анықтама 1. Координаталық түзудегі нүктеден нөлге дейінгі қашықтық деп аталады модуль саны, бұл нүктенің координатасы (1-сурет).

1-мысал. . Қарама-қарсы сандардың модульдері тең және теріс емес екенін ескеріңіз, өйткені бұл қашықтық, бірақ ол теріс болуы мүмкін емес және симметриялы сандардан нөлге жуық нүктеге дейінгі қашықтық тең.

Анықтама 2. .

Мысал 2. Енгізілген анықтамалардың баламалылығын көрсету үшін алдыңғы мысалда қойылған есептердің бірін қарастырайық. , көріп отырғанымыздай, модуль таңбасының астындағы теріс санмен, оның алдына тағы бір минус қосу модуль анықтамасынан төмендегідей теріс емес нәтиже береді.

Салдары. Координаталық түзудегі координаталары бар екі нүктенің арақашықтығын төмендегідей табуға болады нүктелердің өзара орналасуына қарамастан (2-сурет).

2. Модульдің негізгі қасиеттері

1. Кез келген санның модулі теріс емес

2. Өнімнің модулі модульдердің көбейтіндісі болып табылады

3. Бөлім модулі модульдер бөлімі болып табылады

3. Мәселені шешу

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Екінші модуль анықтамасын қолданайық: және модульді ашудың әртүрлі нұсқалары үшін теңдеулер жүйесі түрінде теңдемізді жазыңыз.

Мысал 4. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Алдыңғы мысалдың шешіміне ұқсас, біз мынаны аламыз.

Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Модульдің бірінші анықтамасынан қорытынды арқылы шешейік: . Қажетті түбір 3-ші нүктеден 2 қашықтықта болатынын ескере отырып, мұны сандар осінде бейнелейік (3-сурет).

Суретке сүйене отырып, теңдеудің түбірін аламыз: , өйткені мұндай координаталары бар нүктелер теңдеуде талап етілетіндей 3 нүктеден 2 қашықтықта орналасқан.

Жауап. .

Мысал 6. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Алдыңғы есеппен салыстырғанда бір ғана күрделілік бар – бұл координат осіндегі сандар арасындағы қашықтық туралы қорытынды тұжырыммен толық ұқсастық жоқ, өйткені модуль белгісінің астында минус емес, қосу белгісі бар. белгісі. Бірақ оны қажетті пішінге келтіру қиын емес, біз мұны істейміз:

Мұны алдыңғы шешімге ұқсас сандар осінде бейнелеп көрейік (4-сурет).

Теңдеудің түбірлері .

Жауап. .

Мысал 7. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Бұл теңдеу алдыңғыға қарағанда біршама күрделірек, өйткені белгісіз екінші орында және минус таңбасы бар, сонымен қатар оның сандық көбейткіші де бар. Бірінші мәселені шешу үшін модуль қасиеттерінің бірін қолданып, мынаны аламыз:

Екінші есепті шешу үшін айнымалыларды өзгертуді орындайық: , ол бізді ең қарапайым теңдеуге әкеледі. Модульдің екінші анықтамасы бойынша . Осы түбірлерді алмастыру теңдеуіне қойып, екі сызықтық теңдеу алыңыз:

Жауап. .

4. Шаршы түбір және модуль

Көбінесе түбірлері бар мәселелерді шешу кезінде модульдер пайда болады және сіз олар туындаған жағдайларға назар аударуыңыз керек.

Бұл сәйкестікке бір қарағанда, «неге модуль бар?» Деген сұрақтар туындауы мүмкін. және «неліктен сәйкестік жалған?» Екінші сұраққа қарапайым қарсы мысал келтіруге болатыны белгілі болды: егер бұл дұрыс болуы керек болса, бұл эквивалентті, бірақ бұл жалған сәйкестік.

Осыдан кейін сұрақ туындауы мүмкін: «мұндай сәйкестік мәселені шешпей ме?», бірақ бұл ұсынысқа қарсы мысал да бар. Егер бұл дұрыс болса, бұл баламалы, бірақ бұл жалған сәйкестік.

Тиісінше, егер теріс емес санның квадрат түбірі теріс емес сан, ал модуль мәні теріс емес екенін еске түсірсек, жоғарыда айтылған тұжырымның неліктен дұрыс екені белгілі болады:

.

Мысал 8. Өрнектің мәнін есептеңіз.

Шешім. Мұндай тапсырмаларда түбірден ойланбастан бірден құтылмай, жоғарыда аталған тұлғаны пайдалану маңызды, өйткені .

Оң (натурал) сандар, теріс сандар және нөлден тұрады.

Барлық теріс сандар және тек олар нөлден кіші. Сан түзуінде теріс сандар нөлдің сол жағында орналасқан. Олар үшін, оң сандар сияқты, бір бүтін санды екіншісімен салыстыруға мүмкіндік беретін реттік қатынас анықталады.

Әрбір натурал сан үшін nбелгіленген бір ғана теріс сан бар -n, ол толықтырады nнөлге дейін: n + (− n) = 0 . Екі нөмір де шақырылады қарама-қарсыбір-біріне. Бүтін санды алу аоны қарама-қарсысымен қосуға тең: -а.

Теріс сандардың қасиеттері

Теріс сандар натурал сандар сияқты дерлік ережелерді сақтайды, бірақ кейбір ерекше белгілері бар.

Тарихи эскиз

Әдебиет

  • Выгодский М.Я.Бастауыш математика анықтамалығы. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
  • Глейзер Г.И.Мектептегі математиканың тарихы. – М.: Білім, 1964. – 376 б.

Сілтемелер

Викимедиа қоры. 2010.

  • Абайсызда зиян келтіру
  • Неотропты

Басқа сөздіктерде «теріс емес сан» деген не екенін қараңыз:

    Нақты сан- Нақты, немесе нақты сан – қоршаған дүниенің геометриялық және физикалық шамаларын өлшеу, сонымен қатар түбірлерді алу, логарифмдерді есептеу, шешу... ... ... Википедия

    әдетте шағын теріс емес бүтін сан- Шектеусіз теріс емес бүтін санның мәндерін білдіретін, бірақ шағын мәндер жиірек орын алатын кодтаудың бөлігі (ITU T X.691). Тақырыптар...... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

    НАҚТЫ САН- нақты сан, оң сан, теріс сан немесе нөл. Сан ұғымы рационал сан ұғымын кеңейту арқылы пайда болды. Бұл кеңейтудің қажеттілігі математиканы өрнектеуде практикалық қолданумен де байланысты ... ... Математикалық энциклопедия

    жай сан- Жай сан деп екі түрлі натурал бөлгіштері бар натурал санды айтады: бір және өзі. Біреуден басқа барлық басқа натурал сандар құрама деп аталады. Сонымен, барлық натурал сандар бірден үлкен... ... Wikipedia

    натурал сан- ▲ бүтін өрнек, нақты, сандық натурал сан теріс емес бүтін сан; жеке бүтін объектілердің санын немен көрсетеді l. агрегаттар; нақты бүтін объектілердің санын белгілеу; сандарды білдіру. төрт... Орыс тілінің идеографиялық сөздігі

    Ондық- Ондық бөлшек - бұл бөлшектің таңбасы: не, немесе, бүтін сан мен санның бөлшек бөлігінің арасында бөлгіш қызметін атқаратын ондық нүкте болатын пішінде нақты сандарды көрсету тәсілі болып табылатын бөлшек түрі. .. ... Wikipedia Wikipedia

ШМО басшысы
математика мұғалімдері _______Калашникова Ж.Ю.Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі
«No89 орта мектеп»
6-сыныптарға арналған математикадан тақырыптық бақылау жұмыстары
оқулығы бойынша И.И. Зубарева және А.Г. Мордкович
Құрастырған: математика мұғалімдері:
Калашникова Жанна Юрьевна
Столбова Людмила Антоновна
ЗАТО Северск
2016
Мазмұны
Тест №1……………………………………………………………………………………………………………….3-6
Тест №2……………………………………………………………………………………….7-10
Тест №3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… № № № 3 тест.11-14
Жауаптар…………………………………………………………………………………………………..15
Тест No1 «Оң және теріс сандар»
1 нұсқа
Теріс бөлшек санды енгізіңіз:
-165
38
-7.92
67 «Координаталық сәуледе -5,5 саны белгіленген» оқиғасын сипаттаңыз.
Сенімді
Мүмкін емес
Кездейсоқ

Төрт санның қайсысы ең үлкен?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Қандай нүкте координаталық түзуде О (0) нүктесінің оң жағында орналасқан?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
Түнде ауа температурасы -5°C болды. Күндізгі уақытта термометр +3 °C болды. Ауа температурасы қалай өзгерді?
8o өсті
2o азайған
2o өсті
8o төмендеді
Х(-2) нүктесі координаталық түзуде – симметрия центрінде белгіленген. Осы түзуде орналасқан нүктелердің координаталарын х нүктесіне симметриялы түрде көрсетіңіз.

(-1) және (1)
(-1) және (1)
(3) және (-3)
(0) және (-4)
Координаталық түзудің қай нүктелері басына қатысты симметриялы емес - О нүктесі (0).
B(-5) және C(5)
D(0,5) және E(-0,5)
M(-3) және K(13)
A(18) және X(-18)
0,316+0,4 сандарының қосындысы неге тең?
0,356
0,716
4,316
0,32
0,4-тің 25%-ын есептеңіз.
0,1
0,001
10
100
9100 мен 0,03 айырмасын есептеңдер
0,05
0,6
9,03
3502-нұсқа
Теріс бөлшек санды енгізіңіз.
8,63
-1045
913-0,2
«Координаталық сәуледе 7 саны белгіленген» оқиғасын сипаттаңыз.
Кездейсоқ
Мүмкін емес
Сенімді
Қай сан ең кіші?
15,49
154,9
1,549
1549
Нүктелердің қайсысы координаталық түзуде О(0) нүктесінің сол жағында орналасқан.
A(-0,5)
6)
M(0,5)
K(38)
Күндіз термометр +5°C, кешке -2°C көрсетті. Ауа температурасы қалай өзгерді?
3o өсті
7o төмендеді
3o төмендеді
7o-ға өсті
Симметрия центрі координаталық түзуде – А(-3) нүктесінде белгіленген. Осы түзуде орналасқан нүктелердің координаталарын А нүктесіне симметриялы түрде көрсетіңіз.

(-2) және (2)
(0) және (-5)
(-6) және (1)
(-1) және (-5)
Координаталық түзудің қай нүктелері басына қатысты симметриялы емес – О(0) нүктесі.
A(6) және B(-6)
C(12) және D(-2)
M(-1) және K(1)
X (-9) және Y (9)
0,237 және 0,3 сандарының қосындысы неге тең?
0,24
3,237
0,537
0,267
0,5-тің 20%-ын есептеңіз
10
0,1
0,2
0,01
0,07 мен 31001250,5 айырмасын есептеңдер
1
425Тест No 2. Санның абсолютті мәні. Қарама-қарсы сандар.
1 нұсқа
Берілген сандардың қайсысының модулі ең кіші
-11
1013-4,196
-4,2
Дұрыс емес теңдеуді көрсетіңіз
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Теріс емес санның модулі теріс емес сан. Бұл мәлімдеме рас па?
Иә
Жоқ
Осы сандардың қайсысы -34 санына қарама-қарсы?43-43-3434 m = -15 болса -(-m) өрнектің мәні неге тең?
+15
-15
Өрнектің мәнін есептеңдер: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Теңдеуді шешіңіз: x=40-40
40
40 немесе -40
2,75 және 3,9 сандарының арасындағы координаталық түзуде қандай бүтін сандар орналасқан?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
-30>-50 теңсіздігі дұрыс па?
Жоқ
x≤30, 1, 2 болса, барлық х бүтін сандарын тізіп көрсетіңіз
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
2-нұсқа
Қай санның модулі ең үлкен?
-0,6
-50,603
493550,530
Дұрыс емес теңдеуді көрсетіңіз
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Теріс санның модулі теріс сан бола ала ма?
Иә
Жоқ

Осы сандардың қайсысы 124 санына қарама-қарсы сан?
-24
24
-124124К = -9 болса –(-k) өрнектің мәні неге тең
-9
+9
Өрнектің мәнін есептеңдер: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
x=100100 теңдеуін шешіңіз
-100
100 немесе -100
1 және - 4.5 сандарының арасындағы координаталық түзуде қандай бүтін сандар орналасқан
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
-25 теңсіздігі дұрыс па?<-10?
Иә
Жоқ
Барлық бүтін x сандарын көрсетіңіз, егер x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Тест №3. Сандарды салыстыру
1 нұсқа
Теңсіздіктердің қайсысы жалған?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
0 саны кез келген теріс саннан үлкен екені рас па?
Иә
Жоқ
a саны теріс емес. Бұл мәлімдемені теңсіздік ретінде қалай жазуға болады?
а<0a≤0a≥0a>0Берілген сандардың ең үлкенін көрсетіңіз.
0,16
-3018-0,4
0,01
х-тің қандай табиғи мәндері үшін x≤44, 3, 2 теңсіздігі дұрыс болады?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y-тің қандай бүтін мәндері үшін y теңсіздігі ақиқат болады?<-2?0
-1
0, -1, 1
Мұндай құндылықтар жоқ
Сандар -6; -3,8; -115; 0,8 орналасқан:
Азайту ретімен
Көбейту ретімен
Тәртіпсіз
Радиодан ауа райы болжамы берілді: ауа температурасы -20 °C дейін төмендейді деп күтілуде. Бұл оқиғаны сипаттаңыз:
Мүмкін емес
Сенімді
Кездейсоқ
2-нұсқа
Теңсіздіктердің қайсысы дұрыс?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Теңсіздік ақиқат болу үшін осы бөлшектердің арасына қандай таңба жазу керек?
-1315 -715<
>
=
0 саны кез келген теріс саннан кіші екені рас па?
Иә
Жоқ
х саны нөлден үлкен емес. Бұл мәлімдемені теңсіздік ретінде қалай жазуға болады?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35А-ның қандай табиғи мәндері үшін a≤3 теңсіздігі дұрыс?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m-тің қандай бүтін мәндері үшін m теңсіздігі дұрыс болады?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Мұндай құндылықтар жоқ
1,2 сандары; -1,2; -427; -100 орналасқан:
Тәртіпсіз
Көбейту ретімен
Азайту ретімен
Координаталық түзуде А(5) нүктесі белгіленген. Бұл түзуде басқа В нүктесі кездейсоқ белгіленді. Оның координаты 5-ке қарама-қарсы сан болып шықты. Осы оқиғаны сипаттаңыз.
Кездейсоқ
Сенімді
Мүмкін емес
Жауаптар
Тест No1 Тест No2
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Тест №3
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3