Шекті нүкте теоремасы. Больцано-Вейерштрас теоремасы. Ерікті өлшем кеңістігінің жағдайына кеңейту

Анықтама v.7. Сан түзуіндегі x € R нүктесі, егер кез келген U (x) төңірегі мен кез келген N натурал саны үшін осы маңайға жататын xn элементін санынан үлкен санмен табуға болатын болса, (xn) тізбегінің шекті нүктесі деп аталады. LG, яғни. x 6 R - шекті нүкте, егер. Басқаша айтқанда, х нүктесі (xn) үшін шектік нүкте болады, егер оның кез келген маңайында n > N сандары бар барлық элементтер болмаса да, ерікті түрде үлкен сандары бар осы тізбектің элементтері болса. Сондықтан келесі мәлімдеме өте анық. . Мәлімдеме b.b. Егер lim(xn) = 6 6 R болса, онда b (xn) тізбегінің жалғыз шектік нүктесі болады. Шынында да, реттілік шегінің 6.3-анықтамасының арқасында оның барлық элементтері белгілі бір саннан бастап 6-нүктенің кез келген ерікті шағын маңайына түседі, сондықтан ерікті түрде үлкен сандарға ие элементтер кез келген басқа нүктенің маңайына түсе алмайды. . Демек, 6.7 анықтамасының шарты тек бір ғана нүкте 6 үшін орындалады. Дегенмен, тізбектің әрбір шектік нүктесі (кейде жіңішке конденсацияланған нүкте деп аталады) оның шегі болып табылмайды. Осылайша, (b.b) тізбегінің шегі жоқ (6.5 мысалды қараңыз), бірақ екі шектік нүкте x = 1 және x = - 1 бар. бірігуі бір oo символымен белгіленетін ұзартылған сандар сызығымен. Сондықтан (6.29) сәйкес шексіз шекті нүктелер сәйкес келеді, ал шексіз oo нүктесі осы тізбектің шегі болып табылады деп болжауға болады. Реттік нөмір сызығының шектік нүктелері Вейерштрас сынағы мен Коши критерийінің дәлелі. (jn) тізбегі берілсін және k сандары натурал сандардың өсу тізбегін құрасын. Сонда тізбегі (Vnb мұндағы yn = xkn> бастапқы тізбектің ішкі тізбегі деп аталады. Әлбетте, егер (i„) шек ретінде 6 саны болса, онда оның кез келген ішкі реті белгілі бір саннан басталатындықтан, бірдей шекке ие болады. Бастапқы тізбектің де, оның кез келген ішкі ретінің де барлық элементтері 6-нүктенің кез келген таңдалған маңайына түседі. Сонымен қатар, қосалқы тізбектің кез келген шектік нүктесі теорема 9 үшін де шекті нүкте болып табылады. a бар кез келген тізбектен шекті нүкте, оның шегі ретінде осы шекті нүктені таңдауға болады, онда 6-анықтамаға сәйкес b реттілік шегі болсын. 7 шекті нүкте, әрбір n үшін радиусы 1/n b нүктесінің U (6, 1/n) маңайына жататын элемент бар. ijtj, ...1 ... нүктелерінен тұратын қосымша реттілік, мұндағы zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, 6 нүктесінде шегі бар. Шынында да, ерікті e > 0 үшін N таңдауға болады. солай. Сонда км санынан басталатын қосалқы қатардың барлық элементтері 6-тармақтың ^-көршілестігіне түседі U(6, e), ол реттілік шегін анықтаудың 6.3 шартына сәйкес келеді. Керісінше теорема да дұрыс. Реттік нөмір сызығының шекті нүктелері Вейерштрас сынағы мен Коши критерийінің дәлелі. Теорема 8.10. Егер қандай да бір тізбегінде 6 шегі бар қосалқы тізбегі болса, онда b осы тізбектің шекті нүктесі болады. Тізбек шегінің 6.3-анықтамасынан белгілі бір саннан бастап b шегі бар бағыныңқы қатардың барлық элементтері e ерікті радиусының U(b, ​​e) маңайына түседі деген қорытынды шығады бір мезгілде (xn) тізбегінің элементтері болып табылады> xn элементтері сонша ерікті үлкен сандармен осы маңайда орналасады және бұл 6.7 анықтамасының арқасында b қатардың (n) шекті нүктесі екенін білдіреді. Ескертпе 0.2. 6.9 және 6.10 теоремалары шекті нүкте шексіз болған жағдайда да жарамды, егер U(6, 1 /n) төбелестігін дәлелдеу кезінде көршілестік (немесе көршілестіктер) жинақталу бағыныңқы қатар болатын шартты қарастырсақ 6.11 теоремасы (Болзано - Вейерштрас) арқылы оқшаулануы мүмкін. Әрбір шектелген тізбегі (an) тізбегінің барлық элементтері а және 6 сандары арасында орналассын. яғни xn € [a, b] Vn € N. [a] , b] кесіндісін екіге бөлейік. Сонда оның кем дегенде бір жартысы тізбектің шексіз санын қамтиды, әйтпесе бүкіл кесінді. [a, b] олардың шекті санын қамтиды, бұл мүмкін емес [a] , 6] тізбегінің элементтерінің шексіз жиынын қамтитын (немесе егер екі жартысы да осындай болса, онда олардың кез келгені). Бұл процесті жалғастыра отырып, біз bn - an = (6- a)/2P болатын кірістірілген сегменттер жүйесін саламыз. Кірістірілген кесінділер принципі бойынша осы кесінділердің барлығына жататын х нүктесі бар. Бұл нүкте (xn) тізбегі үшін шектік нүкте болады - Шындығында, кез келген электрондық көршілес U(x, e) = (xx + e) ​​x нүктесі үшін C U(x, e) кесіндісі бар (ол (sn) тізбегі элементтерінің шексіз санын қамтитын теңсіздіктен n-ді таңдау жеткілікті. 6.7 анықтамасына сәйкес x – бұл тізбектің шекті нүктесі. Содан кейін 6.9 теоремасы бойынша х нүктесіне жинақталатын қосалқы тізбек бар. Осы теореманы дәлелдеуде қолданылатын пайымдау әдісі (кейде оны Болзано-Вейер-Страсс леммасы деп те атайды) және қарастырылып отырған сегменттердің дәйекті екіге бөлінуімен байланысты Болзано әдісі деп аталады. Бұл теорема көптеген күрделі теоремаларды дәлелдеуді айтарлықтай жеңілдетеді. Ол бірқатар негізгі теоремаларды басқа (кейде қарапайым) жолмен дәлелдеуге мүмкіндік береді. 6.2-қосымша. Вейерштрас сынағы мен Коши критерийінің дәлелі Алдымен 6.1 мәлімдемесін (шектелген монотонды тізбектің жинақтылығына Вейерштрас сынағы) дәлелдейміз. (jn) тізбегі кемімейді деп алайық. Содан кейін оның мәндерінің жиыны жоғарыда шектеледі және 2.1 теоремасы бойынша, біз sup(xn) R деп белгілейміз, жоғарғы мәні болады. Супремумның қасиеттеріне байланысты (2.7 қараңыз) Тізбектің шекті нүктелері сан болып табылады. Вейерштрас сынағы мен Коши критерийінің дәлелі. 6.1 анықтамасына сәйкес төмендемейтін реттілік үшін бізде бар немесе Содан > Ny және (6.34) ескере отырып, біз реттілік шегінің 6.3 Анықтамасына сәйкес келетінін аламыз, яғни. 31im(sn) және lim(xn) = 66R. Егер реттілік (xn) өспейтін болса, онда дәлелдеу барысы ұқсас болады. Енді тізбектің жинақтылығы үшін Кохия критерийінің жеткіліктілігін дәлелдеуге көшейік (6.3 мәлімдемені қараңыз), өйткені критерий шартының қажеттілігі 6.7 теоремадан туындайды. (jn) тізбегі іргелі болсын. 6.4 анықтамасына сәйкес, ерікті € > 0 болса, m^N және n^N білдіретін N(s) санын табуға болады. Содан кейін, m - N алып, Vn > N үшін € £ аламыз. Қарастырылып отырған қатарда N-ден аспайтын сандары бар элементтердің ақырғы саны болғандықтан, (6.35) іргелі тізбектің шектелгендігі шығады (салыстыру үшін мынаны қараңыз). жинақталған тізбектің шектелгендігі туралы 6.2 теоремасының дәлелі ). Шектелген тізбектің мәндерінің жиыны үшін инфимум және жоғарғы шектер болады (2.1 теореманы қараңыз). n > N үшін элементтер мәндерінің жиыны үшін бұл беттерді сәйкесінше an = inf xn және bjy = sup xn деп белгілейміз. N өскен сайын дәл инфимум азаймайды, ал нақты супримум өспейді, яғни. . Мен кондиционер жүйесін аламын ба? сегменттер Кірістірілген сегменттер принципі бойынша барлық сегменттерге жататын ортақ нүкте бар. Оны b арқылы белгілейік. Осылайша, салыстыру арқылы (6. 36) және (6.37) нәтижесінде біз реттілік шегінің 6.3 анықтамасына сәйкес келетінін аламыз, яғни. 31im(x„) және lim(sn) = 6 6 Р.Больцано іргелі тізбектерді зерттей бастады. Бірақ оның нақты сандардың қатаң теориясы болған жоқ, сондықтан ол іргелі тізбектің жинақтылығын дәлелдей алмады. Коши мұны кейінірек Кантор дәлелдеген кірістірілген сегменттер принципін кәдімгідей қабылдады. Тізбектің жинақтылық критерийі Коши атымен ғана берілмейді, сонымен қатар іргелі тізбекті көбінесе Коши тізбегі деп атайды, ал кірістірілген сегменттер принципі Кантордың атымен аталады. Сұрақтар мен тапсырмалар 8.1. Дәлелдеңіз: 6.2. Q және R\Q жиындарына жататын элементтері бар конвергентті емес тізбектерге мысалдар келтіріңіз. 0.3. Арифметикалық және геометриялық прогрессияның мүшелері қандай жағдайда кемімелі және өсетін тізбектерді құрайды? 6.4. Кестеден шығатын байланыстарды дәлелдеңдер. 6.1. 6.5. Шексіз +oo, -oo, oo нүктелеріне ұмтылатын тізбектердің мысалдарын және 6 € нүктесіне жинақталған тізбектің мысалын құрастырыңыз R. c.v. Шексіз тізбек b.b. болмауы мүмкін бе? Егер иә болса, онда мысал келтіріңіз. 7-де. Ақырлы да, шексіз де шегі жоқ оң элементтерден тұратын дивергентті тізбектің мысалын құрыңыз. 6.8. «1 = 1. 6.9. шарты бойынша sn+i = sin(xn/2) қайталанатын формуламен берілген (jn) тізбегінің жинақтылығын дәлелдеңдер. sn+i/xn-»g€ болса lim(xn)=09 болатынын дәлелдеңдер.

кесіндіні бөліңіз [ а 0 ,б 0 ] жартысын екі бірдей сегментке бөліңіз. Алынған сегменттердің кем дегенде біреуінде тізбектің шексіз саны бар. Оны белгілейік [ а 1 ,б 1 ] .

Келесі қадамда процедураны [ сегментімен қайталаймыз. а 1 ,б 1 ]: оны екі тең кесіндіге бөліп, олардың ішінен тізбектің шексіз саны болатынын таңдаңыз. Оны белгілейік [ а 2 ,б 2 ] .

Процесті жалғастыра отырып, біз кірістірілген сегменттердің тізбегін аламыз

онда әрбір келесі алдыңғысының жартысы болып табылады және тізбектің шексіз санын қамтиды ( x к } .

Сегменттердің ұзындығы нөлге тең:

Кірістірілген сегменттердің Коши-Кантор принципінің арқасында барлық сегменттерге жататын жалғыз ξ нүктесі бар:

Әрбір сегменттегі құрылыс бойынша [а м ,б м ] қатардың шексіз саны бар. Тізбектей таңдайық

сандардың өсу шартын сақтай отырып:

Сонда бағыныңқы қатар ξ нүктесіне жинақталады. Бұл ξ-қа дейінгі қашықтық оларды қамтитын сегменттің ұзындығынан аспайтындығынан туындайды [а м ,б м ] , қайда

Ерікті өлшем кеңістігінің жағдайына кеңейту

Болзано-Вейерштрасс теоремасы ерікті өлшем кеңістігі жағдайына оңай жалпыланады.

Кеңістіктегі нүктелер тізбегі берілсін:

(төменгі индекс - реттік мүшенің нөмірі, жоғарғы индекс - координат нөмірі). Егер кеңістіктегі нүктелердің тізбегі шектеулі болса, онда координаттардың сандық тізбегінің әрқайсысы:

сонымен қатар шектеулі ( - координаталық сан).

Больцано-Вейрштрасс теоремасының бір өлшемді нұсқасының арқасында реттіліктен ( x к) бірінші координаталары жинақты тізбекті құрайтын нүктелердің ішкі тізбегін таңдай аламыз. Алынған ішкі тізбектен біз екінші координатаның бойымен жинақталатын ішкі тізбекті тағы бір рет таңдаймыз. Бұл жағдайда конвергентті тізбектің әрбір қосымша тізбегі де жинақталатындықтан, бірінші координат бойынша жинақтылық сақталады. Тағыда басқа.

Кейін nбіз белгілі бір қадамдар тізбегін аламыз

-ның ішкі тізбегі болып табылады және координаттардың әрқайсысы бойымен жинақталады. Бұдан бұл қосалқы реттілік жинақталатыны шығады.

Оқиға

Болцано-Вейерштрасс теоремасы (іс үшін n= 1) алғаш рет 1817 жылы чех математигі Болзано дәлелдеген. Больцано жұмысында ол қазір Болзано-Коши теоремасы деп аталатын үздіксіз функцияның аралық мәндері туралы теореманы дәлелдеуде лемма рөлін атқарды. Дегенмен, Коши мен Вейерштрасс бұрын Болзано дәлелдеген осы және басқа нәтижелер назардан тыс қалды.

Тек жарты ғасырдан кейін Вейерштрасс Больцаноға тәуелсіз бұл теореманы қайта ашты және дәлелдеді. Алғашында Вейерштрасс теоремасы деп аталды, бұрын Болзаноның жұмысы белгілі және қабылданған.

Бүгінгі күні бұл теорема Больцано мен Вейерштрастың аттарымен аталады. Бұл теорема жиі аталады Болзано-Вейерштрасс леммасы, кейде шекті нүкте леммасы.

Больцано-Вейерштрас теоремасы және жинақылық түсінігі

Болцано-Вейерштрас теоремасы шектелген жиынның келесі қызықты қасиетін белгілейді: нүктелердің әрбір тізбегі Мконвергентті бағыныңқы қатарды қамтиды.

Талдау кезінде әртүрлі ұсыныстарды дәлелдегенде, олар көбінесе келесі әдіске жүгінеді: олар қандай да бір қажетті қасиетке ие нүктелер тізбегін анықтайды, содан кейін одан өзіне де ие, бірақ қазірдің өзінде жинақталған қосалқы тізбекті таңдайды. Мысалы, Вейерштрас теоремасы интервалдағы үздіксіз функция шектелетін және оның ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайтыны осылай дәлелденді.

Жалпы мұндай әдістеменің тиімділігі, сондай-ақ Вейерштрас теоремасын ерікті метрикалық кеңістіктерге кеңейтуге ұмтылу француз математигі Морис Фрешеге 1906 жылы тұжырымдаманы енгізуге итермеледі. жинақылық. Больцано-Вейерштрасс теоремасымен белгіленген -дегі шектелген жиындардың қасиеті, бейнелеп айтқанда, жиынның нүктелері біршама «жақын» немесе «ықшам» орналасқан: осы жиын бойымен шексіз қадамдар жасап, біз Әрине, ғарыштағы қандай да бір нүктеге біз қалайтындай жақындаймыз.

Frechet келесі анықтаманы енгізеді: жиынтық Мшақырды жинақы, немесе жинақы, егер оның нүктелерінің әрбір тізбегі осы жиынның қандай да бір нүктесіне жинақталатын қосалқы тізбегін қамтыса. Түсірілім алаңында деп болжануда Мметрика анықталған, яғни ол

Анықтама 1.Шексіз түзудің х нүктесі, егер осы нүктенің кез келген электрондық маңайында (x n) тізбегінің шексіз көп элементтері болса, (x n) тізбегінің шекті нүктесі деп аталады.

Лемма 1.Егер x - тізбектің шектік нүктесі (x k ), онда бұл тізбектен х санына жинақталатын (x n k ) бағыныңқы қатарды таңдауға болады.

Пікір.Қарама-қарсы мәлімдеме де дұрыс. Егер (x k) тізбегінен х санына жинақталатын қосалқы тізбекті таңдау мүмкін болса, онда х саны (x k) қатардың шекті нүктесі болады. Шынында да, х нүктесінің кез келген электрондық көршісінде бағыныңқы қатардың, демек, тізбектің (x k) элементтерінің шексіз көп элементтері бар.

Леммадан 1-ден 1-анықтамаға эквивалентті тізбектің шекті нүктесінің басқа анықтамасын беруге болатыны шығады.

Анықтама 2.Шексіз түзудің х нүктесі тізбектің шектік нүктесі (x k) деп аталады, егер осы реттіліктен х-ке жинақталатын ішкі қатарды таңдау мүмкін болса.

Лемма 2.Әрбір конвергентті тізбектің сол реттілік шегіне сәйкес келетін бір ғана шектік нүктесі болады.

Пікір.Егер реттілік жинақталса, онда Лемма 2 бойынша оның бір ғана шекті нүктесі болады. Алайда, егер (xn) конвергентті болмаса, онда оның бірнеше шекті нүктелері болуы мүмкін (және, жалпы алғанда, шексіз көп шекті нүктелер). Мысалы, (1+(-1) n ) екі шекті нүкте бар екенін көрсетейік.

Шынында да, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... 0 және 2 екі шекті нүктеге ие, өйткені осы тізбектің (0)=0,0,0,... және (2)=2,2,2,... сәйкесінше 0 және 2 сандарының шектері бар, бұл тізбектің басқа шектік нүктелері жоқ. Шынында да, x сан осіндегі 0 және 2 нүктелерінен басқа кез келген нүкте болсын. Сондықтан e >0 алайық.

е - 0, х және 2 нүктелерінің маңайлары қиылыспайтындай кішкентай. 0 және 2 нүктелерінің e-көршілестігі қатардың барлық элементтерін қамтиды, сондықтан х нүктесінің e-көршілестігі шексіз көп элементтерді (1+(-1) n ) қамти алмайды, сондықтан бұл тізбектің шектік нүктесі болып табылмайды.

Теорема.Әрбір шектелген тізбектің кем дегенде бір шекті нүктесі болады.

Пікір.-дан асатын х санының (x n) шекті нүктесі болып табылады, яғни. - тізбектің ең үлкен шектік нүктесі (x n).

x -тен кез келген үлкен сан болсын. Кішкентай етіп e>0 таңдайық

және x 1 О(x), x 1 оң жағында (x n) тізбегі элементтерінің соңғы саны бар немесе мүлде жоқ, яғни. x тізбегінің шектік нүктесі емес (x n ).

Анықтама.Тізбектің ең үлкен шекті нүктесі (x n) тізбектің жоғарғы шегі деп аталады және таңбамен белгіленеді. Ескертуден әрбір шектелген тізбектің жоғарғы шегі бар екендігі шығады.

Сол сияқты төменгі шек ұғымы енгізіледі (х n ) тізбегінің ең кіші шектік нүктесі ретінде).

Сонымен, біз келесі тұжырымды дәлелдедік. Әрбір шектелген тізбектің жоғарғы және төменгі шегі болады.

Төмендегі теореманы дәлелсіз тұжырымдаймыз.

Теорема.(x n) тізбегі жинақты болу үшін оның шектелуі және оның жоғарғы және төменгі шегінің сәйкес келуі қажет және жеткілікті.

Бұл бөлімнің нәтижелері Болзано-Вейерштрастың келесі негізгі теоремасына әкеледі.

Больцано-Вейерштрас теоремасы.Кез келген шектелген тізбегінен конвергентті ішкі қатарды таңдауға болады.

Дәлелдеу.(x n ) тізбегі шектелгендіктен, оның кем дегенде бір шектік x нүктесі болады. Содан кейін осы тізбектен х нүктесіне жинақталатын ішкі тізбекті таңдауға болады (шектік нүктенің 2-анықтамасынан кейін).

Пікір.Кез келген шектелген тізбектен монотонды конвергентті тізбекті бөліп алуға болады.