Порталдағы жарнама

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық. Мысалдармен егжей-тегжейлі теория (2020) әдісі. Векторлық әдіс

Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты ТАБУ ҮШІН МАТЕМАТИКА ПӘНІНЕН БІРЫҢҒАЙ МЕМЛЕКЕТТІК ЕМТИХАННЫҢ С2 МӘСЕЛЕЛЕРІ

Куликова Анастасия Юрьевна

Математика кафедрасының 5 курс студенті. талдау, алгебра және геометрия ЕИ ҚФУ, Ресей Федерациясы, Татарстан Республикасы, Елабуга қ.

Ганеева Айгүл Рифқызы

ғылыми жетекшісі, ф.ғ.к. пед. ғылымдары, доцент ҚФУ Е.И., Ресей Федерациясы, Татарстан Республикасы, Елабуга қ.

Соңғы жылдары математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларында нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу тапсырмалары пайда болды. Бұл мақалада бір есептің мысалын қолдана отырып, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табудың әртүрлі әдістері қарастырылады. Әртүрлі мәселелерді шешу үшін ең қолайлы әдісті қолдануға болады. Мәселені бір әдіс арқылы шешкеннен кейін, нәтиженің дұрыстығын басқа әдіс арқылы тексеруге болады.

Анықтама.Осы нүктені қамтымайтын нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық осы нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр кесіндінің ұзындығы.

Тапсырма.Тік бұрышты параллелепипед берілген АБМЕНД.А. 1 Б 1 C 1 D 1 жақтары бар AB=2, б.з.д.=4, А.А. 1 =6. нүктеден қашықтықты табыңыз Dұшаққа ACD 1 .

1 жол. Қолдану анықтамасы. қашықтықты табыңыз r( D, ACD 1) нүктесінен Dұшаққа ACD 1 (Cурет 1).

Сурет 1. Бірінші әдіс

Орындайық Д.Х.⊥AC, демек, үш перпендикуляр теоремасы бойынша D 1 Х⊥ACЖәне (ДД 1 Х)⊥AC. Орындайық тікелей Д.Т.перпендикуляр D 1 Х. Түзу Д.Т.ұшақта жатыр ДД 1 Х, демек Д.Т.⊥А.С.. Демек, Д.Т.⊥ACD 1.

АDCгипотенузаны табайық ACжәне биіктігі Д.Х.

Тікбұрышты үшбұрыштан D 1 Д.Х. гипотенузаны табайық D 1 Хжәне биіктігі Д.Т.

Жауап: .

2-әдіс.Көлемдік әдіс (көмекші пирамиданы қолдану). Бұл типтегі есепті пирамиданың биіктігін есептеу мәселесіне келтіруге болады, мұнда пирамида биіктігі нүктеден жазықтыққа дейінгі қажетті қашықтық болып табылады. Бұл биіктік қажетті қашықтық екенін дәлелдеңіз; осы пирамиданың көлемін екі жолмен тауып, осы биіктікті өрнекте.

Бұл әдіспен берілген нүктеден берілген жазықтыққа перпендикуляр салудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз.

Кубоид - барлық беттері тіктөртбұрыштардан тұратын параллелепипед.

AB=CD=2, б.з.д.=AD=4, А.А. 1 =6.

Қажетті қашықтық биіктік болады hпирамидалар ACD 1 D, жоғарыдан түсірілген Dнегізде ACD 1 (Cурет 2).

Пирамиданың көлемін есептейік ACD 1 Dекі жол.

Есептеу кезінде бірінші тәсілмен негіз ретінде ∆ аламыз ACD 1 сонда

Екінші тәсілмен есептегенде, негіз ретінде ∆ аламыз ACD, Содан кейін

Соңғы екі теңдіктің оң жақтарын теңестіріп, алайық

Сурет 2. Екінші әдіс

Тікбұрышты үшбұрыштардан ACD, ҚОСУ 1 , CDD 1 Пифагор теоремасы арқылы гипотенузаны табыңыз

ACD

Үшбұрыштың ауданын есептеңдер ACD 1 Герон формуласын қолдану

Жауап: .

3 жол. Координат әдісі.

Бір ұпай берсін М(x 0 ,ж 0 ,z 0) және жазықтық α , теңдеуімен берілген балта+бойынша+cz+гТік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде =0. Нүктеден қашықтық Мα жазықтығына мына формула бойынша есептеуге болады:

Координаталар жүйесін енгізейік (3-сурет). Нүктедегі координаталардың шығу тегі IN;

Түзу AB- ось X, Түзу Күн- ось ж, Түзу BB 1 - ось z.

Сурет 3. Үшінші әдіс

Б(0,0,0), А(2,0,0), МЕН(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Болсын аx+бойынша+ cz+ г=0 – жазық теңдеу ACD 1 . Оған нүктелердің координаталарын қою А, C, D 1 аламыз:

Жазық теңдеу ACD 1 пішінді алады

Жауап: .

4 жол. Векторлық әдіс.

негізін енгізейік (4-сурет) , .

Сурет 4. Төртінші әдіс

, «Сабаққа презентация» сайысы

Сынып: 11

Сабаққа арналған презентация
















Артқа алға

Назар аударыңыз! Слайдтарды алдын ала қарау тек ақпараттық мақсаттарға арналған және презентацияның барлық мүмкіндіктерін көрсетпеуі мүмкін. Егер сізді осы жұмыс қызықтырса, толық нұсқасын жүктеп алыңыз.

Мақсаттар:

  • оқушылардың білімдері мен дағдыларын жалпылау және жүйелеу;
  • талдау, салыстыру, қорытынды жасау дағдыларын дамыту.

Жабдық:

  • мультимедиялық проектор;
  • компьютер;
  • проблемалық мәтіндер жазылған парақтар

САБАҚ ЖҮРГІЗУІ

I. Ұйымдастыру кезеңі

II. Білімді толықтыру кезеңі(2-слайд)

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық қалай анықталатынын қайталаймыз

III. Дәріс(3-15 слайдтар)

Бұл сабақта біз нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табудың әртүрлі жолдарын қарастырамыз.

Бірінші әдіс: қадамдық есептеу

М нүктесінен α жазықтығына дейінгі қашықтық:
– М нүктесі арқылы өтетін және α жазықтығына параллель а түзуінде жатқан ерікті Р нүктесінен α жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең;
– β жазықтығында жатқан, М нүктесі арқылы өтетін және α жазықтығына параллель болатын еркін Р нүктесінен α жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең.

Біз келесі мәселелерді шешеміз:

№1. A...D 1 текшеде С 1 нүктесінен АВ 1 С жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

O 1 N сегментінің ұзындығының мәнін есептеу қалады.

№2. Барлық шеттері 1-ге тең болатын дұрыс алтыбұрышты A...F 1 призмасында А нүктесінен DEA 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Келесі әдіс: көлемдік әдіс.

Егер ABCM пирамидасының көлемі V-ке тең болса, онда М нүктесінен ∆ABC бар α жазықтығына дейінгі қашықтық ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = формуласымен есептеледі.
Есептерді шығарғанда екі түрлі жолмен өрнектелетін бір фигураның көлемдерінің теңдігін қолданамыз.

Келесі мәселені шешейік:

№3. DABC пирамидасының AD шеті ABC базалық жазықтығына перпендикуляр. А-дан АВ, АС және AD қырларының орта нүктелері арқылы өтетін жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз, егер болса.

Мәселелерді шешу кезінде координат әдісіМ нүктесінен α жазықтығына дейінгі қашықтықты ρ(M; α) = формуласы арқылы есептеуге болады , мұндағы M(x 0; y 0; z 0), ал жазықтық ax + by + cz + d = 0 теңдеуімен берілген.

Келесі мәселені шешейік:

№4. A...D 1 бірлік текшесінде А 1 нүктесінен BDC 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Басты нүктесі А нүктесінде болатын координаталар жүйесін енгізейік, у осі AB жиегі бойымен, x осі AD жиегі бойымен, z осі AA 1 жиегі бойымен өтеді. Сонда B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) нүктелерінің координаталары.
B, D, C 1 нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құрайық.

Сонда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Демек, ρ =

Осы типтегі есептерді шешу үшін келесі әдісті қолдануға болады қолдау мәселелерінің әдісі.

Бұл әдісті қолдану теоремалар түрінде тұжырымдалған белгілі анықтамалық есептерді қолданудан тұрады.

Келесі мәселені шешейік:

№5. A...D 1 бірлік текшесінде D 1 нүктесінен АВ 1 С жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Өтінішті қарастырайық векторлық әдіс.

№6. A...D 1 бірлік текшесінде А 1 нүктесінен BDC 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Сонымен, біз бұл мәселені шешудің әртүрлі әдістерін қарастырдық. Бір немесе басқа әдісті таңдау нақты тапсырмаға және сіздің қалауыңызға байланысты.

IV. Топтық жұмыс

Мәселені әртүрлі жолдармен шешуге тырысыңыз.

№1. A...D 1 текшесінің шеті -ге тең. С төбесінен BDC 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

№2. Шеті бар ABCD дұрыс тетраэдрінде А нүктесінен BDC жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

№3. Барлық шеттері 1-ге тең ABCA 1 B 1 C 1 дұрыс үшбұрышты призмада А-дан BCA 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

№4. Барлық шеттері 1-ге тең SABCD төртбұрышты дұрыс пирамидасында А-дан SCD жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

V. Сабақты қорытындылау, үйге тапсырма, рефлексия

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе онымен байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерді білдіреді.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

  • Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

  • Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
  • Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
  • Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
  • Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

  • Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
  • Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Кеңістіктегі белгілі бір π жазықтығы мен еркін M 0 нүктесін қарастырайық. Ұшаққа сайлап алайық бірлік қалыпты вектор n бірге басықандай да бір нүктеде M 1 ∈ π және p(M 0 ,π) M 0 нүктесінен π жазықтығына дейінгі қашықтық болсын. Содан кейін (5.5-сурет)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |нМ 1 М 0 |, (5.8)

бастап |n| = 1.

Егер π жазықтығы берілген болса оның жалпы теңдеуі бар тікбұрышты координаталар жүйесі Ax + By + Cz + D = 0, онда оның нормаль векторы координаталары бар вектор (A; B; C) болады және біз таңдай аламыз.

(x 0 ; y 0 ; z 0) және (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 және M 1 нүктелерінің координаталары болсын. Сонда Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 теңдігі орындалады, өйткені M 1 нүктесі жазықтыққа жатады, ал M 1 M 0 векторының координаталарын табуға болады: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ); Жазылу скаляр көбейтіндісі nM 1 M 0 координат түрінде және түрлендіргенде (5.8), аламыз


өйткені Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Сонымен, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу үшін нүктенің координаталарын жазықтықтың жалпы теңдеуіне ауыстыру керек, содан кейін абсолют мәнін бөлу керек. сәйкес нормаль векторының ұзындығына тең нормалау коэффициенті бойынша нәтиже.