विकास के तरीके

मोबियस फ़ंक्शन. मोबियस व्युत्क्रम सूत्र। मोबियस स्ट्रिप - मोबियस स्ट्रिप की अद्भुत खोज "जादू"।

नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक समावेशी स्कूलव्यक्ति के गहन अध्ययन के साथ

आइटम के साथ. टेरबुनी

मोबियस पट्टी

द्वारा पूर्ण: चेपुरिना अन्ना विटालिवेना,

10वीं कक्षा का छात्र

प्रमुख: किरिकोवा एम.ए.

प्रथम गणित शिक्षक

योग्यता श्रेणी

टेरबुनी गांव

2015

परिचय……………………………………………………..3

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि………………………………………………4

मोबियस स्ट्रिप - टोपोलॉजी के एक नए विज्ञान की शुरुआत...................................5

मोबियस स्ट्रिप बनाना……………………………………6

मोबियस स्ट्रिप के साथ प्रयोग...................................................... ...... .................9

मोबियस पट्टी के टोपोलॉजिकल गुण……………………..11

मोबियस स्ट्रिप पर प्रमेय…………………………………….12

मोबियस स्ट्रिप के साथ ट्रिक्स………………………………………………15

मोबियस स्ट्रिप का अनुप्रयोग……………………………………..16

निष्कर्ष................................................. ..................................23

प्रयुक्त साहित्य की सूची................................................... ........... .25

आवेदन

परिचय

आजकल, असामान्य आकृतियों के विभिन्न गुणों और गैर-मानक अनुप्रयोगों का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है।

क्या आपने कभी मोबियस स्ट्रिप के बारे में सुना है? इसे कैसे बनाया जा सकता है, इसका गणित से क्या संबंध है और इसका जीवन में कहां उपयोग होता है।

इस कार्य को करते समय, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि यद्यपि मोबियस पट्टी की खोज 19वीं शताब्दी में हुई थी, लेकिन यह 20वीं और 20वीं शताब्दी दोनों में प्रासंगिक थी। मोबियस स्ट्रिप के अद्भुत गुणों का उपयोग खाना पकाने, प्रौद्योगिकी, भौतिकी, पेंटिंग, वास्तुकला और आभूषणों और पोशाक आभूषणों के डिजाइन में किया जाता रहा है। उन्होंने कई लेखकों और कलाकारों की रचनात्मकता को प्रेरित किया।

मोबियस पट्टी में रुचि आज तक कम नहीं हुई है। सितंबर 2006 में मॉस्को में कलात्मक गणित महोत्सव हुआ। टोक्यो के एक प्रोफेसर के भाषण को बड़ी सफलता मिली।

मुझे इस विषय में बहुत रुचि और उत्सुकता थी। मैंने साहित्य का अध्ययन किया, फिर खुद मोबियस स्ट्रिप बनाई, और फिर शोध किया, प्रयोग किए, इसके जादुई, असाधारण गुणों का अध्ययन किया।

मोबियस स्ट्रिप कागज की एक पट्टी होती है जिसका एक सिरा आधा मोड़ (यानी 180 डिग्री) होता है और दूसरे सिरे से चिपक जाता है। दुनिया के सभी हिस्सों में लाखों लोगों को यह एहसास भी नहीं है कि वे हर दिन मोबियस स्ट्रिप का उपयोग करते हैं।

लक्ष्य : अपने सहपाठियों को बताएं और दिखाएं कि एक साधारण सा दिखने वाला रिबन बदल गया

चिपके हुए सिरों के साथ आधा-मोड़, इसमें बहुत कुछ हो सकता है

आश्चर्य.

अध्ययन का उद्देश्य: मोबियस स्ट्रिप।

कार्य: इस विषय पर स्रोतों और साहित्य की पहचान करें और उनका विश्लेषण करें;

मोबियस पट्टी के इतिहास से परिचित हों;

मोबियस स्ट्रिप बनाना सीखें;

मोबियस पट्टी के विभिन्न गुणों का अध्ययन करें;

विषय पर काम करते समय, मैंने निम्नलिखित का उपयोग किया तरीकों: विश्लेषण, संश्लेषण,

अवलोकन, प्रयोग, तुलना और समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण।

अध्याय मैं

"मोबियस स्ट्रिप - एक नए विज्ञान की शुरुआत"

1. 1. ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

रहस्यमय और प्रसिद्ध मोबियस पट्टी का आविष्कार 1858 में एक जर्मन जियोमीटर द्वारा किया गया थाअगस्त फर्डिनेंड मोबियस . वे कहते हैं कि मोबियस को उसकी "पत्ती" खोलने में एक नौकरानी ने मदद की थी जिसने एक लंबे रिबन के सिरों को गलत तरीके से सिल दिया था। उन्होंने अपने काम की समीक्षा के लिए सात साल तक इंतजार किया और बिना इंतजार किए इसके नतीजे प्रकाशित कर दिए।

मोबियस के साथ ही, के.एफ. गॉस के एक अन्य छात्र ने इस पत्ते का आविष्कार किया -जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग, गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर। उन्होंने अपना काम मोबियस से तीन साल पहले 1862 में प्रकाशित किया था। ए. एफ. मोबियस का जन्म शुल्फ़फ़ोर्टे शहर में हुआ था। कुछ समय तक के. गॉस के मार्गदर्शन में उन्होंने खगोल विज्ञान का अध्ययन किया। उन्होंने 1818 में प्लेइसेनबर्ग वेधशाला में स्वतंत्र खगोलीय अवलोकन करना शुरू किया। इसके निदेशक बने. उन दिनों, गणित का समर्थन नहीं किया जाता था, और खगोल विज्ञान उनके बारे में न सोचने के लिए पर्याप्त धन प्रदान करता था, और किसी के स्वयं के विचारों के लिए समय छोड़ देता था। 1816 में लीपज़िग विश्वविद्यालय में प्रोफेसर बनकर, मोबियस ने पहली बार प्रक्षेप्य ज्यामिति, एक समन्वय प्रणाली और अनुसंधान के विश्लेषणात्मक तरीकों की शुरुआत की; एक तरफा सतहों (मोबियस स्ट्रिप्स), पॉलीहेड्रा के अस्तित्व की स्थापना की, जिसके लिए "किनारों का कानून" लागू नहीं होता है और जिसका कोई आयतन नहीं होता है। मोबियस ज्यामितीय परिवर्तनों के सिद्धांत के साथ-साथ टोपोलॉजी के संस्थापकों में से एक है। उन्होंने संख्या सिद्धांत (मोबियस फ़ंक्शन) में महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए और अपने समय के अग्रणी जियोमीटर में से एक बन गए।

1.2. मोबियस स्ट्रिप - टोपोलॉजी के एक नए विज्ञान की शुरुआत

जिस क्षण से जर्मन गणितज्ञ ए.एफ. मोबियस ने कागज की एक अद्भुत एक तरफा शीट के अस्तित्व की खोज की, गणित की एक पूरी नई शाखा विकसित होनी शुरू हुई, जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है। "टोपोलॉजी" शब्द को गणित की दो शाखाओं के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। एक टोपोलॉजी, जिसके संस्थापक पोंकारे थे, को लंबे समय तक कॉम्बिनेटरियल कहा जाता था। दूसरे, जिनके मूल जर्मन वैज्ञानिक जॉर्ज कैंटर थे, को सामान्य या सेट-सैद्धांतिक नाम दिया गया था।

कॉम्बिनेटोरियल टोपोलॉजी ज्यामिति की एक शाखा है। "ज्यामिति" एक ग्रीक शब्द है, जिसका रूसी में अनुवाद "भूमि सर्वेक्षण" है ("जियो" का ग्रीक में अर्थ है पृथ्वी, और "मेट्रो" का अर्थ है मापना) आंकड़ों के गुणों का अध्ययन करता है। किसी भी विज्ञान की तरह, ज्यामिति को भी खंडों में विभाजित किया गया है।

1. प्लैनिमेट्री (लैटिन शब्द, "प्लानम" - सतह + ज्यामिति), ज्यामिति का एक खंड जो एक समतल (त्रिकोण, वर्ग, वृत्त, वृत्त, आदि) पर आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है।

2. स्टीरियोमेट्री (ग्रीक, "स्टीरियोस" - अंतरिक्ष + ज्यामिति) - ज्यामिति का एक खंड जो अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है (गोला, घन, समानांतर चतुर्भुज, आदि)

एच. टोपोलॉजी (ग्रीक "टोपोस" - स्थान, भू-भाग + तर्क) आधुनिक ज्यामिति के "सबसे युवा" वर्गों में से एक है, जो ऐसी आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है जो मुड़ने, खिंचने, संपीड़ित होने पर भी नहीं बदलती हैं, लेकिन चिपकी नहीं होती हैं। और फटते नहीं, यानी विकृत होने पर बदलते नहीं। टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट के उदाहरण हैं: अक्षर I और H, पतले लंबे गुब्बारे।

कॉम्बिनेटोरियल टोपोलॉजी गुणों का अध्ययन करती है ज्यामितीय आकार, जो एक-से-एक और निरंतर मैपिंग के तहत अपरिवर्तित रहते हैं। लंबे समय तक, टोपोलॉजी को जीवन से दूर एक विज्ञान के रूप में माना जाता था, जिसका उद्देश्य केवल "मानव मन की महिमा करना" था। लेकिन हमारे समय में यह स्पष्ट हो गया है कि इसका सीधा संबंध ब्रह्मांड की संरचना को समझाने से है।

सामान्य टोपोलॉजी सेट सिद्धांत के निकट है और गणित की नींव पर स्थित है। यह एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत है जिसे "सीमा", "अभिसरण", "निरंतरता" आदि जैसी अवधारणाओं का पता लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। टोपोलॉजिकल स्पेस के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की नींव फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा रखी गई और पूरी की गई रूसी गणितज्ञपावेल सर्गेइविच अलेक्जेंड्रोव।

1.3. मोबियस स्ट्रिप कैसे बनाएं

● मोबियस पट्टी (गणितीय आश्चर्यों) में से एक है मोबियस पट्टी बनाने के लिए, एक आयताकार पट्टी एबी लेंसीडी, इसे 180 डिग्री मोड़ें और विपरीत भुजाओं AB और को गोंद देंसीडी, अर्थात। इसलिए बिंदु A और संपाती होंगेसीऔर बिंदु डीऔर वी.

adj देखें. ग्यारह।

● कागज़ की पट्टियों के आकार और साइज़ मोबियस पट्टी के लिए.

पट्टी संकरी और लंबी होनी चाहिए, जिसमें लंबाई और चौड़ाई का अनुपात अधिकतम संभव हो। आप कागज की एक चौकोर शीट से मोबियस पट्टी नहीं बना सकते। यह सच है, लेकिन इसे कम नहीं आंका जाना चाहिए कि आकार प्रतिबंध तब मायने रखता है जब कागज पर झुर्रियां पड़ने की अनुमति नहीं होती है। यदि कागज को तोड़ना निषिद्ध नहीं है, तो मोबियस पट्टी को न केवल एक वर्ग से, बल्कि किसी भी आकार के आयत से चिपकाया जा सकता है - चिपके हुए किनारे गैर-चिपके हुए पक्षों की तुलना में कई गुना अधिक लंबे हो सकते हैं।

● विकास सतह.

चूँकि कागज पर झुर्रियाँ न पड़ने की आवश्यकता महत्वपूर्ण है, आइए देखें कि इसका गणितीय अर्थ क्या है।

यह समझना आसान है कि कागज को तोड़ने-मरोड़ने पर प्रतिबंध महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है

कागज की एक शीट में हेरफेर करने की क्षमता। उदाहरण के लिए, कागज की एक शीट को एक ट्यूब में लपेटा जा सकता है या बिना मोड़े आधा मोड़ा जा सकता है, लेकिन चार टुकड़ों में नहीं मोड़ा जा सकता। आप कागज की एक शीट को बिना तोड़े उसका एक शंकु बना सकते हैं, लेकिन आप एक गोला या उसका एक टुकड़ा भी नहीं बना सकते: कागज की शीट को ग्लोब के खिलाफ दबाएं, और सिलवटें निश्चित रूप से दिखाई देंगी। जैसा कि आप देख सकते हैं, कागज की एक शीट को कोई आकार नहीं दिया जा सकता। adj देखें. 2.

वे सतहें जो कागज की शीट को बिना कुचले मोड़कर बनाई जा सकती हैं, गणितज्ञों द्वारा विकास योग्य सतहें कहलाती हैं। गणित में, विकास योग्य सतहों को अलग तरह से परिभाषित किया जाता है: मेटामैथमैटिकल भाषा में "पेपर", "क्रम्पल", "मेक" शब्द नहीं होते हैं। विकास योग्य सतहों का एक संपूर्ण सिद्धांत है, जिसकी उपलब्धियों के बीच इस प्रश्न का संतोषजनक उत्तर है कि वे क्या हो सकते हैं; गणितज्ञ इसे "वर्गीकरण" कहते हैं (उत्तर लियोनार्डो यूलर का है)। आइए हम प्रयोगात्मक तथ्यों के रूप में विकास योग्य सतहों के केवल कुछ गुणों को प्रस्तुत करें।

adj देखें. 3

1. एक विकास योग्य सतह के प्रत्येक बिंदु ए से होकर जो उसकी सीमा पर स्थित नहीं है, सतह पर स्थित एक खंड गुजरता है जो ए पर समाप्त नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, एक विकास योग्य सतह के प्रत्येक बिंदु पर (एक घुमावदार लेकिन मुड़ा हुआ नहीं) कागज की शीट) एक बुनाई सुई संलग्न की जा सकती है ताकि यह लिए गए बिंदु के दोनों तरफ कुछ हद तक सतह से सटी हो। ऐसे खंड को सतह का जेनरेट्रिक्स कहा जाता है (आइए हम सहमत हों कि यह नाम केवल अधिकतम लंबाई के खंडों पर लागू होता है जो पूरी तरह से सतह पर स्थित होते हैं, यानी उन खंडों के लिए जो इस संपत्ति के साथ बड़े खंडों में शामिल नहीं होते हैं)।

2. यदि दो अलग-अलग जनरेटर एक बिंदु A से होकर गुजरते हैं, जो किसी सतह की सीमा पर स्थित नहीं है, और A उनमें से किसी का भी अंत नहीं है, तो A के आसपास की सतह का एक पर्याप्त छोटा टुकड़ा समतल है। इस स्थिति में, हम बिंदु A को समतल कहेंगे।

3. यदि बिंदु A, जो सतह की सीमा पर स्थित नहीं है, किसी जनरेटर का अंत है, मान लीजिए,ए , तो बिंदु ए का पड़ोस इस तरह से संरचित है: बिंदु ए के माध्यम से एकमात्र जेनरेटर गुजरता है जो वहां समाप्त नहीं होता है, मान लीजिएबी . यह जेनरेट्रिक्स सतह को दो भागों में विभाजित करता है। जेनरेटरिक्स के दूसरी ओरबी , जिसके साथ जेनरेटर स्थित हैए , जनरेटर के लिए बी एक सपाट टुकड़ा बगल में है, दूसरी तरफबी , बिंदु A से मनमाने ढंग से, गैर-सपाट बिंदु हैं। इस स्थिति में हम बिंदु A को अर्ध-सपाट कहेंगे।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि यदि किसी सतह पर कोई बिंदु न तो सीमा है और न ही समतल है, तो वहां से एक एकल जेनरेटर गुजरता है जो उस पर समाप्त नहीं होता है, और इस जेनरेटर के सिरे सतह की सीमा पर स्थित होते हैं।

●उदाहरण: सिलेंडर या शंकु में लपेटी गई कागज की एक शीट में सपाट (या अर्ध-सपाट) बिंदु नहीं होते हैं। एक सिलेंडर में, जनरेटर परिवार बनाते हैं समानांतर खंड, एक शंकु में एक बिंदु से फैले खंडों का एक परिवार होता है। जनरेटरों की अधिक जटिल व्यवस्थाएँ संभव हैं।

adj देखें. 4 .

उदाहरण के लिए, एक विकासशील सतह के जनरेटर और समतल बिंदुओं को चित्र में दिखाया गया है (जिसमें सतह को कागज की एक सपाट शीट में फैलाया गया है): पतली रेखाएं जनरेटर हैं, और छायांकित क्षेत्रों में समतल बिंदु होते हैं।

समतल बिंदुओं के क्षेत्र की सीमा पर स्थित बिंदु या तो संपूर्ण सतह के लिए सीमा बिंदु होते हैं या अर्ध-समतल होते हैं। यदि कोई सतह कागज के बहुभुज (मान लीजिए, एक आयत) से बनी है, तो समतल बिंदु एक या अधिक समतल बहुभुज बनाते हैं, इनमें से प्रत्येक बहुभुज के शीर्ष सतह की सीमा पर स्थित होते हैं और भुजाएं या तो सीमा पर स्थित होती हैं या मिलकर बनती हैं अर्ध-तलीय बिंदुओं का.

अध्याय दो

2.1. मोबियस स्ट्रिप के साथ प्रयोग

हममें से प्रत्येक को इस बात का सहज ज्ञान है कि "सतह" क्या है। कागज़ की शीट की सतह, कक्षा की दीवारों की सतह, ग्लोब की सतह हर किसी को पता है। क्या ऐसी सामान्य अवधारणा में कुछ रहस्यमय हो सकता है? हाँ, शायद एक उदाहरण मोबियस पट्टी है। इसके गुणों का अध्ययन करने के लिए, मैंने स्वयं कई प्रयोग किए (उन्हें दो समूहों में विभाजित किया)।

मैं प्रयोगों का समूह

अनुभव नंबर 1। हम इस तथ्य के आदी हैं कि किसी भी सतह पर

हम काम कर रहे हैं (कागज की शीट, साइकिल या वॉलीबॉल ट्यूब) -

दो पक्षों।

मैंने मोबियस स्ट्रिप को बिना पलटे ही पेंट करना शुरू कर दिया।

परिणाम . मोबियस पट्टी को पूरी तरह से रंग दिया गया था।

"अगर कोई केवल एक तरफ रंग लगाने का फैसला करता है

मोबियस पट्टी की सतह, उसे तुरंत पेंट की बाल्टी में डुबो दें," - रिचर्ड कूरेंट और हर्बर्ट रॉबिन्स उत्कृष्ट लिखते हैं

पुस्तक "गणित क्या है?"

अनुभव क्रमांक 2. मैंने कागज से एक मकड़ी और एक मक्खी बनाई और उसे "टहलने के लिए" भेज दिया

एक साधारण अंगूठी, लेकिन उन्हें सीमा पार करने से मना किया।

परिणाम। मकड़ी मक्खी तक नहीं पहुँच सकी।

प्रयोग संख्या 3। मैंने इन मकड़ियों और मक्खियों को केवल मोबियस पट्टी के साथ भेजा। और

उन्हें सीमा पार रेंगने से मना किया।

परिणाम।बेचारी मक्खी को खा लिया जाएगा यदि, निःसंदेह, मकड़ी दौड़ रही है

और तेज!

अनुभव क्रमांक 4. मैंने कागज से एक छोटा आदमी बनाया और उसे मोबियस पट्टी पर यात्रा करने के लिए भेजा।

परिणाम। छोटा आदमी प्रस्थान बिंदु पर लौट आएगा, जहां उसे अपनी दर्पण छवि मिलेगी।

द्वितीयप्रयोगों का समूह

मोबियस पट्टी को काटने से जुड़े परिणाम तालिका में सूचीबद्ध हैं

अनुभव

अनुभव का वर्णन

परिणाम

मैंने एक साधारण रिंग को बीच से लंबाई में काटा।

मुझे दो साधारण अंगूठियां मिलीं, समान लंबाई, दोगुनी चौड़ी, दो बॉर्डर वाली।

मोबियस पट्टी को बीच से नीचे तक लंबाई में काटा गया था।

मुझे 1 रिंग मिली, जिसकी लंबाई दोगुनी है, चौड़ाई दोगुनी संकीर्ण है, एक बॉर्डर के साथ 1 पूर्ण मोड़ पर मुड़ा हुआ है।

मोबियस पट्टी की चौड़ाई

किनारे से 1 सेमी की दूरी पर लंबाई में 5 सेमी काटें।

मुझे एक-दूसरे से जुड़ी दो अंगूठियां मिलीं: 1) एक मोबियस पट्टी - लंबाई = मूल की लंबाई, चौड़ाई 3 सेमी; 2) चौड़ाई 1 सेमी, लंबाई मूल से दोगुनी, दो पूर्ण घुमावों के साथ, दो सीमाओं के साथ।

मोबियस पट्टी की चौड़ाई

किनारे से 2 सेमी की दूरी पर लंबाई में 5 सेमी काटें।

मुझे एक-दूसरे से जुड़ी दो अंगूठियां मिलीं: 1) अंगूठी एक मोबियस पट्टी है जो 1 सेमी चौड़ी है, लंबाई = मूल की लंबाई; 2) अंगूठी - 2 सेमी चौड़ी, मूल अंगूठी से दोगुनी लंबी, दो पूर्ण घुमावों से मुड़ी हुई, दो सीमाओं के साथ।

5 सेमी चौड़ी मोबियस पट्टी, किनारे से 3 सेमी की दूरी पर लंबाई में काटें।

मुझे एक-दूसरे से जुड़ी दो अंगूठियां मिलीं: 1) अंगूठी चौड़ाई के साथ एक मोबियस पट्टी है

समान लंबाई का 1 सेमी; 2) अंगूठी - 2 सेमी चौड़ी, इसकी लंबाई मूल से दोगुनी है, दो पूर्ण मोड़ों पर मुड़ी हुई है।

10वीं कक्षा के छात्रों के साथ किए गए एक समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण के परिणाम।

प्रशन

हाँ

नहीं

क्या आपने सुना है

1. क्या आप जानते हैं टोपोलॉजी क्या है?

2. क्या आप जानते हैं मोबियस स्ट्रिप क्या है?

3.क्या आप जानते हैं मोबियस स्ट्रिप के गुण?

10वीं कक्षा के केवल 5% छात्र जानते हैं कि टोपोलॉजी क्या है। 30% छात्र जानते हैं कि मोबियस स्ट्रिप क्या है, 20% ने इसके बारे में सुना है। 50% को मोबियस स्ट्रिप के बारे में कोई जानकारी नहीं है। 25% छात्र स्ट्रिप के गुणों को जानते हैं, 10% ने उनके बारे में सुना है, 65% मोबियस स्ट्रिप के गुणों के बारे में कुछ नहीं जानते हैं।

2.2.मोबियस पट्टी के टोपोलॉजिकल गुण

प्रयोगों के परिणामों के आधार पर, हम गणितीय आश्चर्य से संबंधित मोबियस स्ट्रिप के निम्नलिखित टोपोलॉजिकल गुण तैयार कर सकते हैं।

एकतरफ़ापन मोबियस पट्टी की एक टोपोलॉजिकल संपत्ति है, जो केवल इसकी विशेषता है।

निरंतरता - मोबियस पट्टी पर किसी भी बिंदु को जोड़ा जा सकता है

किसी अन्य बिंदु के साथ. कोई विराम नहीं - पूर्ण निरंतरता।

टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक वृत्त एक वर्ग से अप्रभेद्य है,

क्योंकि इन्हें बिना तोड़े एक से दूसरे में बदलना आसान है

निरंतरता.

कनेक्टिविटी - रिंग को आधा करने के लिए दो कट की आवश्यकता होगी। मोबियस स्ट्रिप के लिए, कनेक्शन की संख्या को टेप के घुमावों की संख्या में परिवर्तन के आधार पर बदला जाता है: यदि एक मोड़ दोगुना जुड़ा हुआ है, अगर दो मोड़ बस जुड़े हुए हैं, अगर तीन मोड़ दोगुने जुड़े हुए हैं, आदि। लेकिन वर्ग को दो भागों में विभाजित करें, हमें केवल एक कट की आवश्यकता है। कनेक्टिविटी का मूल्यांकन आमतौर पर बेट्टी नंबर द्वारा किया जाता है, या कभी-कभी यूलर विशेषता का उपयोग किया जाता है।

4. ओरिएंटेशन एक ऐसा गुण है जो मोबियस पट्टी में अनुपस्थित है। इसलिए, यदि कोई व्यक्ति मोबियस पट्टी के सभी मोड़ों पर यात्रा कर सकता है, तो वह वापस लौट आएगा प्रस्थान बिंदू, लेकिन उसकी दर्पण छवि में बदल जाएगा।

5. "क्रोमैटिक नंबर" किसी सतह पर खींचे जा सकने वाले क्षेत्रों की अधिकतम संख्या है ताकि उनमें से प्रत्येक की अन्य सभी के साथ एक समान सीमा हो। मोबियस पट्टी की वर्णिक संख्या छह है।

6.मोबियस पट्टी पर प्रमेय

प्रमेय 1: λ ≥ π/2

प्रमाण की जटिलता के कारण, मैं इसे अपने काम में नहीं मानता।

प्रमेय 2: λ ≤ √3

यह प्रमेय पिछले वाले की तुलना में सरल है: इसे साबित करने के लिए, यह समझाने के लिए पर्याप्त है कि एक पट्टी से मोबियस पट्टी को कैसे चिपकाया जाए जिसकी लंबाई √3 से अधिक है। आइए पहले मान लें कि इसकी लंबाई बिल्कुल √3 है। फिर आप इस पट्टी पर दो नियमित त्रिकोण रख सकते हैं। आइए पट्टी को इन त्रिभुजों के किनारों के साथ मोड़ें, मोड़ की दिशाएँ बारी-बारी से मोड़ें। पट्टी के किनारे एबी और सीडी संरेखित होंगे, और बिंदु ए बिंदु डी के साथ संरेखित होगा, और बिंदु बी बिंदु सी के साथ संरेखित होगा। परिणाम एक मोबियस पट्टी होगी, जिसके किनारे अंत से अंत तक स्थित हैं (परिशिष्ट 1.2 देखें) )

इस निर्माण में, मुख्य नियम का उल्लंघन किया गया था - कागज पर झुर्रियाँ न डालें। लेकिन यह समझना आसान है कि यदि पट्टी की लंबाई कम से कम √3 से थोड़ी अधिक है, तो जेनरेटर के साथ ब्रेक को एक संकीर्ण खंड में झुकने से बदला जा सकता है। संक्षेप में, हम सीधे खंड के साथ मोड़ से डरते नहीं हैं: इसे इसके करीब मोड़ से बदला जा सकता है। (कागज की अपूरणीय सिकुड़न तब होती है जब दो मुड़ी हुई रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं, यानी जब शीट को रूमाल की तरह मोड़ा जाता है - यह सब हमें रोजमर्रा के अनुभव से पता चलता है।) इसकी संरचना की कल्पना इस प्रकार की जा सकती है: तीन समान नियमित त्रिकोण एबीसी, ए"बी"सी", ए"बी"सी" एक दूसरे के समानांतर स्थित हैं, संबंधित शीर्ष संबंधित शीर्षों के ऊपर हैं; भुजाएँ AB और A"B", B"C" और B"C", C"A" और CA जंपर्स द्वारा जुड़े हुए हैं। ग्लूइंग लाइन त्रिभुजों में से एक के मध्य के साथ चलती है।

हम λ को अधिक सटीक रूप से क्यों नहीं खोज सकते?

जब तक समस्या का समाधान नहीं हो जाता, यह कहना कठिन है कि इसका समाधान क्यों नहीं होता। फिर भी, कभी-कभी विभिन्न अनसुलझी समस्याओं में सामान्य कठिनाइयों का पता लगाना, गणितीय मानचित्र पर कठिन स्थानों को चिह्नित करना संभव होता है, जिससे कभी-कभी किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता की भविष्यवाणी करना संभव हो जाता है।

प्रमेय 3. स्व-प्रतिच्छेदन वाली मोबियस पट्टी को π/2 से अधिक किसी भी लंबाई की पट्टी से एक साथ चिपकाया जा सकता है।

यह इस प्रकार किया गया है. आइए पर्याप्त रूप से बड़ा विषम n लें और व्यास 1 के एक वृत्त में अंकित एक नियमित n-गॉन का निर्माण करें। इसके अलावा, वृत्त के केंद्र वाले n त्रिभुजों पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक n- की एक भुजा और दो विकर्णों द्वारा सीमित है। गॉन (एन=7). ये त्रिकोण हमारे एन-गॉन, इसके कुछ स्थानों को कई बार कवर करते हैं। आइए अब इन n त्रिकोणों को एक-दूसरे पर लागू करें, जिसके बाद हम सबसे बाएं त्रिकोण के आधे हिस्से को लंबे माध्यिका के साथ काट लें और इसे सबसे दाहिने त्रिकोण पर लागू करें। परिणाम एक आयताकार पट्टी है जिसकी लंबाई और चौड़ाई का अनुपात π/2 से अधिक है और n के रूप में π/2 की ओर झुकता है, ∞ की ओर झुकता है (पट्टी की चौड़ाई 1 और लंबाई π/2 की ओर झुकती है)। इस पट्टी को उस पर खींची गई सभी रेखाओं के साथ, मोड़ने की दिशाओं को बारी-बारी से लगातार मोड़ें। खंड एबी और सीडी लगभग मेल खाएंगे - उनके बीच मुड़े हुए कागज की केवल कुछ परतें होंगी। इस "लगभग संरेखण" में, बिंदु A, D के साथ संरेखित होगा, और बिंदु B, C के साथ संरेखित होगा, इसलिए यदि हम "टेप को पास कर सकते हैं" और गोंद |AB| |CD| के साथ, तो परिणाम मोबियस स्ट्रिप होगा। यदि आप टेप को थोड़ा अधिक समय तक लेते हैं, तो आप सिलवटों से बच सकते हैं, जैसा कि हमने प्रमेय 2 के प्रमाण में किया था। हमने एक मोबियस पट्टी प्राप्त की है, जिसके किनारों को कागज की कई परतों द्वारा अलग किया गया है, परिशिष्ट 1.3 देखें। लेकिन आइए मोबियस पट्टी पर वापस आएं। प्रमेय 1, जैसा कि हमने देखा है, वास्तव में स्व-प्रतिच्छेदी बैंड पर लागू होता है। यह संभावना नहीं है कि स्व-प्रतिच्छेदन की स्थिति का λ पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा; हालाँकि, इस प्रभाव को ध्यान में रखना संभव नहीं है, क्योंकि गणित के पास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में आत्म-प्रतिच्छेदन का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त तकनीकी साधन नहीं हैं। इसके विपरीत, इसकी पूरी संभावना है कि प्रमेय 2 में सुधार नहीं किया जा सकता। आख़िरकार, इसमें सुधार करने का अर्थ है एक नए टेप डिज़ाइन के साथ आना। अनुभव से पता चलता है कि इष्टतम निर्माण सरल और सामंजस्यपूर्ण हैं, जो कि प्रमेय 2 के प्रमाण से निर्माण है, यह मान लेना स्वाभाविक है कि यदि सबसे अच्छा निर्माण अस्तित्व में होता, तो वह मिल जाता - इतने वर्षों के बाद!

यही कारण है कि हम λ = √3 की अपेक्षा कर सकते हैं।

मोएबियस स्ट्रिप ट्रिक्स

गांठें बांधने की समस्या

स्कार्फ के सिरों को खोले बिना उसमें गांठ कैसे बांधें? इसे इस प्रकार किया जा सकता है. स्कार्फ को टेबल पर रखें। अपनी बाहों को अपनी छाती के ऊपर से क्रॉस करें। उन्हें इसी स्थिति में पकड़कर रखते हुए, टेबल पर झुकें और बारी-बारी से दोनों हाथों से स्कार्फ का एक सिरा पकड़ें। बाहें अलग-अलग फैलने के बाद स्कार्फ के बीच में अपने आप एक गांठ बन जाएगी। टोपोलॉजिकल शब्दावली का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि दर्शक के हाथ, उसका शरीर और दुपट्टा "तीन पत्ती" गाँठ के रूप में एक बंद वक्र बनाते हैं। बांहें फैलाते समय गांठ केवल हाथों से दुपट्टे तक ही जाती है।

एक हाथ से स्कार्फ में गांठ बांध लें, स्कार्फ का सिरा अपने हाथ से छूटे बिना। इस पहेली का उत्तर एम. गार्डनर की पुस्तक "मैथमैटिकल वंडर्स एंड मिस्ट्रीज़" में पाया जा सकता है।

टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, बनियान को तीन गैर-इंटरलॉकिंग किनारों वाली दो-तरफा सतह के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक साधारण बंद वक्र है। बटनयुक्त बनियान चार किनारों वाली दो तरफा सतह है।

रहस्यमय पाश.

बनियान पहने हुए दर्शक के हाथ पर एक लूप लगाया जाता है और फिर उसे अपना अंगूठा बनियान की निचली जेब में रखने के लिए कहा जाता है। अब आप अपनी बनियान की जेब से अपनी उंगली निकाले बिना उपस्थित लोगों को अपने हाथ से लूप निकालने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं। समाधान यह है: लूप को आस्तीन के लिए बनियान के छेद में खींचना होगा, दर्शक के सिर के ऊपर फेंकना होगा, आस्तीन के लिए दूसरे छेद के माध्यम से बाहर निकालना होगा और दूसरे हाथ के नीचे ले जाना होगा। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, लूप बनियान के नीचे, छाती के आसपास होगा। इसे तब तक नीचे रखें जब तक यह बनियान के नीचे से दिखाई न दे, और फिर इसे फर्श पर गिरने दें।

बनियान को व्यक्ति से हटाए बिना उसे अंदर बाहर करना।

बनियान के मालिक को अपनी उंगलियाँ अपनी पीठ के पीछे रखनी चाहिए। आपके आस-पास के लोगों को मालिक के हाथों को अलग किए बिना बनियान को अंदर बाहर करना चाहिए। इस अनुभव को प्रदर्शित करने के लिए, बनियान को खोलना और इसे पहनने वाले की पीठ के पीछे हाथों पर खींचना आवश्यक है। बनियान हवा में लटक जाएगी, लेकिन, निश्चित रूप से, उतरेगी नहीं, क्योंकि हाथ आपस में जुड़े हुए हैं। अब आपको बनियान के बाएँ हेम को लेने की ज़रूरत है और, बनियान पर झुर्रियाँ न पड़ने की कोशिश करते हुए, इसे जहाँ तक संभव हो दाएँ आर्महोल में धकेलें। फिर दायां आर्महोल लें और इसे उसी आर्महोल में और उसी दिशा में डालें। जो कुछ बचा है वह बनियान को सीधा करना और मालिक पर खींचना है। बनियान को अंदर बाहर कर दिया जाएगा। हमने यह ट्रिक अपनाई और अपने सहपाठियों के साथ इसे फिल्माया। यह प्रस्तुति "मोबियस स्ट्रिप" में निहित है।

2.3. मोबियस पट्टी का अनुप्रयोग

∞ वाशिंगटन में इतिहास और प्रौद्योगिकी संग्रहालय के प्रवेश द्वार पर, एक स्टील का रिबन आधा मोड़कर धीरे-धीरे एक कुरसी पर घूमता है। 1967 में, जब ब्राज़ील में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस हुई, तो इसके आयोजकों ने पाँच सेंटावो के मूल्यवर्ग में एक स्मारक डाक टिकट जारी किया। इसमें मोबियस पट्टी को दर्शाया गया है। दो मीटर से अधिक ऊंचा स्मारक और छोटा टिकट दोनों ही जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री ऑगस्ट फर्डिनेंड मोबियस के अद्वितीय स्मारक हैं।

परिशिष्ट 5 देखें।

पेटेंट सेवा ने एक ही एकतरफ़ा सतह के आधार पर कई आविष्कारों को पंजीकृत किया है।

∞ मोबियस पट्टी का उपयोग एक तरफा सतह के गुणों के सावधानीपूर्वक अध्ययन से प्रेरित कई आविष्कारों में किया जाता है। मोबियस स्ट्रिप के रूप में बनाई गई कन्वेयर बेल्ट पट्टी, इसे दो बार लंबे समय तक काम करने की अनुमति देती है क्योंकि शीट की पूरी सतह समान रूप से खराब हो जाती है। 1923 में, आविष्कारक ली डे फ़ोर्स को एक पेटेंट जारी किया गया था, जिन्होंने एक साथ दोनों तरफ रीलों को बदले बिना फिल्म पर ध्वनि रिकॉर्ड करने का प्रस्ताव रखा था। टेप रिकॉर्डर के लिए कैसेट का आविष्कार किया गया था, जहां टेप को मोड़कर एक रिंग में चिपका दिया जाता है, जिससे एक ही बार में दोनों तरफ से जानकारी रिकॉर्ड करना या पढ़ना संभव हो जाता है, जिससे कैसेट की क्षमता दोगुनी हो जाती है और तदनुसार, बजाने का समय भी बढ़ जाता है। डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर में, शेल्फ जीवन को बढ़ाने के लिए स्याही रिबन को मोबियस पट्टी के आकार का बनाया गया था। इससे महत्वपूर्ण बचत होती है. मोबियस स्ट्रिप का उपयोग साइकिलिंग और वॉलीबॉल ट्यूबों में किया जाता है।

∞ अभी हाल ही में, उन्हें इसका एक और उपयोग मिला - यह एक स्प्रिंग की भूमिका निभाने लगा, केवल एक विशेष स्प्रिंग। जैसा कि आप जानते हैं, एक आवेशित स्प्रिंग विपरीत दिशा में प्रज्वलित होता है। मोबियस पट्टी, सभी कानूनों के विपरीत, दो स्थिर स्थितियों वाले तंत्र की तरह, संचालन की दिशा नहीं बदलती है। ऐसा स्प्रिंग विंड-अप खिलौनों में अमूल्य हो सकता है - इसे सामान्य स्प्रिंग की तरह मोड़ा नहीं जा सकता - एक प्रकार की सतत गति मशीन।

adj देखें. 6.

∞ 1971 में, यूराल के आविष्कारक पी.एन. मोबियस स्ट्रिप के रूप में एक फिल्टर लगाया।

∞ मोबियस पत्ती का उपयोग खाना पकाने में बन्स, क्रैकर्स और ब्रशवुड को दिलचस्प और स्वादिष्ट लुक देने के लिए किया जाता है। और विभिन्न व्यंजन, पावर स्ट्रक्चर (स्टिरर) तैयार करने और सजाने के लिए उपकरणों के निर्माण में भी।

adj देखें. 7.

∞ मोबियस स्ट्रिप की मदद से संपूर्ण उत्कृष्ट कृतियों का निर्माण किया जाता है।

मोबियस पट्टी ने मूर्तियों और ग्राफिक कला के लिए प्रेरणा का काम किया। एस्चर उन कलाकारों में से एक थे जो इसे विशेष रूप से पसंद करते थे और उन्होंने अपने कई लिथोग्राफ इस गणितीय वस्तु को समर्पित किए थे। एक प्रसिद्ध चित्र में चींटियों को मोबियस पट्टी की सतह पर रेंगते हुए दिखाया गया है।

परिशिष्ट 9 देखें.

∞ मोबियस स्ट्रिप विज्ञान कथाओं में भी नियमित रूप से दिखाई देती है, जैसे आर्थर सी. क्लार्क की कहानी "द वॉल ऑफ डार्कनेस" में। कभी-कभी विज्ञान कथा कहानियाँ सुझाव देती हैं कि हमारा ब्रह्मांड किसी प्रकार की सामान्यीकृत मोबियस पट्टी हो सकता है। कहानी में लेखक ए.जे. डिच, बोस्टन सबवे एक नई लाइन का निर्माण कर रहा है, जिसका मार्ग इतना भ्रमित करने वाला हो जाता है कि यह मोबियस स्ट्रिप में बदल जाता है, जिसके बाद इस लाइन पर ट्रेनें गायब होने लगती हैं।

∞ एक परिकल्पना है कि डीएनए हेलिक्स स्वयं भी मोबियस स्ट्रिप का एक टुकड़ा है, और यही एकमात्र कारण है कि आनुवंशिक कोड को समझना और समझना इतना कठिन है। इसके अलावा, ऐसी संरचना काफी तार्किक रूप से जैविक मृत्यु की शुरुआत का कारण बताती है: सर्पिल अपने आप बंद हो जाता है, और आत्म-विनाश होता है।

परिशिष्ट 10.

∞ मोबियस पट्टी न केवल गणितज्ञों को, बल्कि जादूगरों को भी पसंद थी

100 से अधिक वर्षों से, मोबियस पट्टी का उपयोग विभिन्न जादुई करतब और मनोरंजन करने के लिए किया जाता रहा है। पत्ती के अद्भुत गुणों को सर्कस में भी प्रदर्शित किया गया था, जहां मोबियस स्ट्रिप्स के रूप में एक साथ चिपके हुए चमकीले रिबन लटकाए गए थे। जादूगर ने एक सिगरेट जलाई और जलते हुए सिरे से प्रत्येक रिबन की मध्य रेखा को छुआ, जो पोटेशियम नाइट्रेट से बनी थी। उग्र पथ ने पहले रिबन को एक लंबे रिबन में बदल दिया, और दूसरे को दो रिबन में बदल दिया, एक को दूसरे में पिरोया। (इस मामले में, जादूगर ने मोबियस पट्टी को बीच में नहीं, बल्कि उसकी चौड़ाई के एक तिहाई की दूरी पर काटा)।

∞ भौतिकविदों का दावा है कि सभी ऑप्टिकल कानून मोबियस स्ट्रिप के गुणों पर आधारित हैं, विशेष रूप से, दर्पण में प्रतिबिंब समय में एक प्रकार का स्थानांतरण है, अल्पकालिक, एक सेकंड के सौवें हिस्से तक चलने वाला, क्योंकि हम अपने सामने देखते हैं। यह सही है, हमारा दर्पण दोहरा है।

∞एक परिकल्पना है कि सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, हमारा ब्रह्मांड संभवतः एक ही मोबियस पट्टी में बंद है, द्रव्यमान जितना अधिक होगा, अंतरिक्ष की वक्रता उतनी ही अधिक होगी। यह सिद्धांत इस धारणा की पूर्णतः पुष्टि करता है अंतरिक्ष यान, हर समय सीधी उड़ान भरते हुए, प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ सकता है, इससे ब्रह्मांड की असीमितता और परिमितता की पुष्टि होती है।

adj देखें. ग्यारह।

∞ मोबियस पट्टी में रुचि आज तक कम नहीं हुई है। कलात्मक गणित महोत्सव सितंबर 2006 में मास्को में हुआ। टोक्यो के प्रोफेसर जिन अकियामा के भाषण को बड़ी सफलता मिली। उनका प्रदर्शन एक भ्रम फैलाने वाले के शो की याद दिलाता था, जहां मोबियस स्ट्रिप (पेपर "मोबियस स्ट्रिप और उसके संशोधनों" के साथ काम) के लिए जगह थी।

खेल

मैनुअल विस्तारक "रोबूर"

adj देखें. 12 .

में से एकसभी स्कूल शारीरिक शिक्षा शिक्षकों की पसंदीदा चीजें, जो उनके अनुसार हैंउनके अपने शब्दों में, “ट्रेन नहीं।”केवल हाथ की मांसपेशियाँ, लेकिनऔर मस्तिष्क की मांसपेशी।" कार्पल विस्तारक सेआर्टेमी लेबेदेव स्टूडियो मोबियस पट्टी के आकार को दोहराता है। तनाव दूर करने, सोचने के लिए बढ़ियाअनंत औरयह आपके हाथों को व्यस्त रखने का एक उपयोगी तरीका है।

इत्र

बुगाटी इत्र

adj देखें. 13

कंपनीबुगाटीन केवल अति-महंगी कारों (मॉडल) का उत्पादन शुरू कियावेरॉनलागत 1.3 मिलियन यूरो), लेकिन साथ ही... इत्र। प्रत्येक बोतल, क्रिस्टल से बनी और असली सोने से ढकी हुई, एक असामान्य मोबियस पट्टी के रूप में डिज़ाइन की गई है, जिसमें केवल एक तरफ है। इत्र की कीमतबुगाटी3500 यूरो है.

इत्र लोवे क़ुज़ास, क्विज़ास, क्विज़ास

adj देखें. 14 .

2011 के पतन में, सुगंध का एक लाल संस्करण जारी किया गया था, जिसकी बोतल मोबियस पट्टी में लपेटी गई है - प्रकृति में जुनून के चक्र का प्रतीक। रचना की समृद्धि में एशियाई संतरे, बरगामोट, लाल जामुन की ताजगी शामिल है, जो मैगनोलिया, फ्रीसिया और नारंगी पंखुड़ियों के पुष्प हृदय के साथ जारी है, और कश्मीरी लकड़ी, सुनहरे एम्बर और वेटिवर के कामुक निशान के साथ समाप्त होती है।

परफ्यूम यूएफओ लिमिटेड संस्करण, केन्ज़ो

adj देखें. 15 .

सुगंध प्रस्तुतिकेंजो2009 में रॉन एराड के कार्यों की पूर्वव्यापी प्रदर्शनी हुई (रॉनअराद) पेरिस के पोम्पीडौ केंद्र में। यह वह कलाकार और वास्तुकार था जो मोबियस स्ट्रिप के रूप में बोतल का लौकिक डिज़ाइन लेकर आया था। इसे आपके हाथ की हथेली में बिल्कुल फिट होने के लिए डिज़ाइन किया गया है।अज्ञातखुशबूवस्तु, या "अज्ञात सुगंधित वस्तु", केवल 180 टुकड़ों तक सीमित है और $188 में खुदरा बिक्री होती है।

फर्नीचर

मोबियस टेबल

adj देखें. 16

एक सतह वाली मेज जिस पर आप खड़े हो सकते हैं, बैठ सकते हैं या लेट सकते हैं।

बुकशेल्फ़ इन्फिनिटी

adj देखें. 17.

डिज़ाइनर जॉब केलेवियस ने अपनी इन्फिनिटी बुककेस डिज़ाइन करते समय इस साँचे को तोड़ दिया। लेम्निस्केट की गणितीय अवधारणा और मोबियस स्ट्रिप के समान कुछ का उपयोग करते हुए, डिजाइनर ने इन्फिनिटी शेल्फ में अनंत की भौतिक अवधारणा को मूर्त रूप दिया। इसका मतलब यह है कि यदि आपने इस शेल्फ की सभी किताबें पढ़ ली हैं, तो मान लीजिए कि आपने साहित्य की संपूर्ण अनंतता को समझ लिया है।

मोबियस सोफा

adj देखें. 18.

आदर्श वाक्य "डबल कुर्सी - डबल खुशी" के तहत जन्मे, सोफा कुर्सीमोबियसदोहराबंहदार कुरसीडिज़ाइनर द्वारा बनाया गयागाइटैनवैनडेवायरबेल्जियम से और प्रेमियों के लिए फर्नीचर का एक नया दृष्टिकोण लेकर आया है।

लोगो

वूलमार्क कंपनी का लोगो

adj देखें. 19.

यह लोगो 1964 में एक डिज़ाइन प्रतियोगिता के परिणामस्वरूप बनाया गया था। जूरी सदस्यफ्रेंकोग्रिगनानीविरोध नहीं कर सका और छद्म नाम के तहत छिपकर अपना संस्करण पेश कियाफ्रांसेस्कोरनिवास. यह लोगो मोबियस स्ट्रिप जैसा दिखता है और कंपनी की अनंत काल और लचीलेपन का प्रतीक है।

पुनर्चक्रण प्रतीक

adj देखें. 20.

पुनर्चक्रण का अंतर्राष्ट्रीय प्रतीक मोबियस पट्टी है।पुनर्चक्रण (अन्य शर्तें: पुनर्चक्रण, अपशिष्ट पुनर्चक्रण,पुनर्चक्रण और पुनर्चक्रण)- औद्योगिक अपशिष्ट या कचरे का पुन: उपयोग या प्रचलन में वापस आना। सबसे आम हैं माध्यमिक, तृतीयक औरटी। ई. कांच, कागज, एल्यूमीनियम, डामर, लोहा, कपड़े और विभिन्न प्रकार की प्लास्टिक जैसी सामग्रियों का एक या दूसरे पैमाने पर पुनर्चक्रण। में भी प्राचीन काल से उपयोग किया जाता है कृषिजैविक कृषि और घरेलू अपशिष्ट।

गणित का प्रतीक

adj देखें. 21.

मोबियस पट्टी को आधुनिक गणित का प्रतीक माना जाता है, क्योंकि उन्होंने ही नये गणितीय शोध को प्रोत्साहन दिया था।

कपड़े और जूते

जूते

adj देखें. 22.

2003 में वास्तुकार राम डि कूलहासे और मोची गलाहद क्लार्क द्वारा स्थापितयूनाइटेडनंगानवोन्मेषी डिजाइनर जूतों के उत्पादन में विशेषज्ञता। कंपनी के सबसे सफल विकासों में से एक जूते हैंमोबिउस , जिसका नाम जियोमीटर ऑगस्ट मोबियस और एक तरफा सतह के उनके विचार के नाम पर रखा गया है। जूतों का विचार इस प्रकार है: जूतों का ऊपरी भाग और तलवा एक ही रिबन हैं, जो एक निश्चित तरीके से मुड़े हुए हैं।

मोबियस दुपट्टा

adj देखें. 23.

एक दिलचस्प चीज़ मोबियस स्कार्फ है जो 21वीं सदी के वार्डरोब में दिखाई देता है। आप स्कार्फ के सिरों को बांधकर और उसे एक मोड़ में मोड़कर स्वयं मोबियस स्कार्फ बना सकते हैं।

चित्रकारी

भित्ति चित्र

adj देखें. 24.

प्राग, चेक गणराज्य में एक दीवार पर एक आधुनिक मोबियस पट्टी चित्रित की गई है।   बेल्ट के साथ दो प्रकार के वाहन चलते हैं: टैंक और सड़क निर्माण उपकरण आधुनिक सभ्यता: नष्ट-निर्माण-नष्ट-निर्माण..

वास्तुकला

पुस्तकालय भवन

adj देखें. 25.

कजाकिस्तान में मोबियस पट्टी के रूप में एक पुस्तकालय बनाने की परियोजना पर वर्तमान में विचार किया जा रहा है।

इमारत के मोड़ एक मोबियस पट्टी बनाते हैं, इस प्रकार आंतरिक स्थान बाहरी में बहता है और इसके विपरीत; इसी प्रकार, दीवारें छत में बदल जाती हैं, और छत वापस दीवारों में बदल जाती है। प्राकृतिक प्रकाश बाहरी आवरण में ज्यामितीय उद्घाटन के माध्यम से आंतरिक गलियारों में प्रवेश करता है, जिससे पढ़ने के लिए सुंदर रोशनी वाली जगहें आदर्श बन जाती हैं।

आकर्षण

adj देखें. 26.

रोलर कोस्टर की सवारी मोबियस पट्टी के आकार जैसी होती है। मॉस्को में दुनिया का सबसे बड़ा उल्टा रोलर कोस्टर है, जहां एक व्यक्ति निलंबित कुर्सी पर बैठता है और उसके पैर हवा में होते हैं। गति - 81 किमी/घंटा, ऊंचाई 30 मीटर। ऊंचाई, विदेशी एनालॉग्स की तुलना में, छोटी है, लेकिन सर्पिल, रिंग और लूप की प्रचुरता से यह अधिक लाभदायक है।

चलचित्र की चरखी

adj देखें. 27.

1923 में, आविष्कारक ली डे फ़ोर्स को एक पेटेंट जारी किया गया था, जिन्होंने रीलों को बदले बिना, एक ही बार में दोनों तरफ से फिल्म पर ध्वनि रिकॉर्ड करने का प्रस्ताव रखा था।

कैसेट

adj देखें. 28.

कैसेट का आविष्कार टेप रिकॉर्डर के लिए किया गया था, जहां टेप को मोड़कर एक रिंग में चिपका दिया जाता है, जिससे एक ही बार में दोनों तरफ से जानकारी रिकॉर्ड करना या पढ़ना संभव हो जाता है, जिससे कैसेट की क्षमता बढ़ जाती है और, तदनुसार, बजाने का समय बढ़ जाता है।

टोयोटा MOB कार

adj देखें. 29.

मोबियस पट्टी को स्पेनिश डिजाइनर जॉर्ज मार्टी विडाल द्वारा डिजाइन किया गया है और यह मोबियस पट्टी की सुंदरता और रहस्य को जोड़ती है। अद्वितीय बॉडी आकार रेसिंग कार को अच्छी वायुगतिकी प्रदान करता है

मैट्रिक्स प्रिंटर

adj देखें. तीस।

कई मैट्रिक्स प्रिंटर में, अपने संसाधन को बढ़ाने के लिए स्याही रिबन में मोबियस स्ट्रिप का रूप भी होता है।

मोबियस अवरोधक

adj देखें. 31.

यह एक नव आविष्कृत इलेक्ट्रॉनिक तत्व है जिसका अपना कोई प्रेरकत्व नहीं है।

सैंडिंग बेल्ट

adj देखें. 32.

1969 में, सोवियत आविष्कारक गुबैदुलिन ने मोबियस स्ट्रिप के रूप में एक अंतहीन सैंडिंग बेल्ट का प्रस्ताव रखा।

निष्कर्ष

मोबियस पट्टी पहली एकतरफ़ा सतह है जिसे किसी वैज्ञानिक ने खोजा है। बाद में, गणितज्ञों ने एकतरफ़ा सतहों की एक पूरी श्रृंखला की खोज की। लेकिन

यह पहला है, जिसने ज्यामिति में एक संपूर्ण दिशा की नींव रखी, और वैज्ञानिकों, अन्वेषकों, कलाकारों और हमारे छात्रों का ध्यान आकर्षित करना जारी रखा है। मुझे मोबियस पट्टी की खुली संपत्तियों में बहुत दिलचस्पी थी:

मोबियस पट्टी का एक किनारा, एक तरफ है

मोबियस स्ट्रिप एक टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट है। किसी भी टोपोलॉजिकल आकृति की तरह, यह अपने गुणों को तब तक नहीं बदलता जब तक कि इसे काटा, फाड़ा न जाए, या इसके अलग-अलग टुकड़ों को एक साथ चिपका न दिया जाए।

मोबियस पट्टी का एक किनारा और एक किनारा अंतरिक्ष में इसकी स्थिति से संबंधित नहीं है, और दूरी की अवधारणाओं से संबंधित नहीं है।

मोबियस स्ट्रिप का खाना पकाने, प्रौद्योगिकी, भौतिकी, पेंटिंग, वास्तुकला, आभूषण डिजाइन और ब्रह्मांड के गुणों के अध्ययन में कई अनुप्रयोग मिलते हैं। उन्होंने कई लेखकों और कलाकारों की रचनात्मकता को प्रेरित किया।

μ( एन) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित है एनऔर संख्या के विस्तार की प्रकृति के आधार पर मान लेता है एनसरल कारकों के लिए:

μ( एन) = 1 यदि एनवर्गों से मुक्त (अर्थात कोई भी अभाज्य संख्या वर्ग से विभाज्य नहीं है) और अपघटन एनकारकों की एक सम संख्या;
μ( एन) = − 1 यदि एनवर्गों और विघटन से मुक्त एनअभाज्य गुणनखंडों में विषम संख्या में गुणनखंड शामिल होते हैं;
μ( एन) = 0 यदि एनवर्गों से मुक्त नहीं.

परिभाषा के अनुसार, हम μ(1) = 1 भी मानते हैं।

गुण और अनुप्रयोग

मोबियस फ़ंक्शन गुणक है: किसी भी सहअभाज्य संख्या के लिए एऔर बीसमानता रखती है μ( एबी) = μ( ए)μ( बी) .

एक पूर्णांक के सभी विभाजकों पर मोबियस फ़ंक्शन के मानों का योग एन, एक के बराबर नहीं, शून्य के बराबर है

शैली='अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;' src='/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png' border='0'>

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि किसी भी गैर-रिक्त परिमित सेट के लिए अलग-अलग उपसमुच्चय की संख्या होती है विषम संख्यातत्व सम संख्या में तत्वों से बने विभिन्न उपसमूहों की संख्या के बराबर है - प्रमाण में प्रयुक्त एक तथ्य।

मोबियस फ़ंक्शन संबंध द्वारा मर्टेंस फ़ंक्शन से संबंधित है

मर्टेंस फ़ंक्शन, बदले में, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य की समस्या से निकटता से संबंधित है, लेख मर्टेंस परिकल्पना देखें।

मोबियस उलटा

पहला मोबियस व्युत्क्रम सूत्र

अंकगणितीय कार्यों के लिए एफऔर जी ,

जी(एन) =	∑	एफ(डी)
	डी \| एन

तब और केवल जब

दूसरा मोबियस व्युत्क्रम सूत्र

वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए एफ(एक्स) और जी(एक्स) पर परिभाषित,

तब और केवल जब

यहां राशि की व्याख्या इस प्रकार की गई है।

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "मोबियस फ़ंक्शन" क्या है:

मोबियस फ़ंक्शन μ(n) एक गुणक अंकगणितीय फ़ंक्शन है जिसका उपयोग संख्या सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में किया जाता है, जिसका नाम जर्मन गणितज्ञ मोबियस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1831 में इस पर विचार किया था। सामग्री 1 परिभाषा 2 गुण और अनुप्रयोग ... विकिपीडिया

जटिल तल (ग्रे) और रीमैन क्षेत्र (काला) पर परिवर्तनों के प्रकार सामग्री 1 परिभाषा 2 बीजगणितीय गुण...विकिपीडिया

आंशिक रूप से रैखिक प्रकार्यप्रपत्र का कार्य जहां z = (z1,...,zn) जटिल या वास्तविक चर हैं, ai,b,ci,d जटिल या वास्तविक गुणांक हैं। अक्सर "फ्रैक्शनल लीनियर फ़ंक्शन" शब्द का उपयोग इसके परिवर्तन के विशेष मामले के लिए किया जाता है... विकिपीडिया

मोबियस श्रृंखला रूप की एक कार्यात्मक श्रृंखला है। इस श्रृंखला का अध्ययन मोबियस द्वारा किया गया था, जिन्होंने इस श्रृंखला के लिए एक व्युत्क्रम सूत्र पाया: जहां μ(s) मोबियस फ़ंक्शन है ... विकिपीडिया

चिकित्सा अनुसंधान के तरीके- मैं। चिकित्सा अनुसंधान के सामान्य सिद्धांत. हमारे ज्ञान की वृद्धि और गहनता, क्लिनिक के अधिक से अधिक तकनीकी उपकरण, भौतिकी, रसायन विज्ञान और प्रौद्योगिकी की नवीनतम उपलब्धियों के उपयोग के आधार पर, विधियों की संबंधित जटिलता... ... महान चिकित्सा विश्वकोश

एक पैथोलॉजिकल स्थिति जो बच्चे के जन्म के दौरान विकसित होती है और बच्चे के ऊतकों और अंगों को नुकसान पहुंचाती है, साथ ही, एक नियम के रूप में, उनके कार्यों में विकार भी होता है। तथाकथित आर के विकास को प्रभावित करने वाले कारक गलत हैं... ... चिकित्सा विश्वकोश

लेम्मा.

सबूत. कथन स्पष्ट है. माना कि संख्या का विहित विस्तार है। फिर, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि भाजक का रूप है , जहां , ,…, ; , हम पाते हैं

क्योंकि

प्रमेय. (एडिटिव मोबियस व्युत्क्रम सूत्र.) प्राकृतिक तर्क के कार्य होने दें। तो अगर

सबूत. हमारे पास है

होने देना । फिर निश्चित संख्या के विभाजक के सभी मानों से होकर गुजरता है। इसका मतलब यह है कि अंतिम दोहरे योग में योग चिह्नों को उलटा किया जा सकता है, यानी।

अब, यह देखते हुए

हम पाते हैं

सिद्ध प्रमेय का एक और रूप है:

प्रमेय. (गुणक मोबियस व्युत्क्रम सूत्र।) होने देना

जहां प्रतीक संख्या के सभी विभाजकों तक विस्तारित उत्पाद को दर्शाता है।

सबूत:

मोबियस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करने के उदाहरण:

रिंग अनुक्रमों की संख्या पर समस्या। देखें: हॉल एम. कॉम्बिनेटरिक्स। एम.: मीर, , § .

तत्वों के एक सीमित क्षेत्र पर दी गई डिग्री के अपरिवर्तनीय बहुपदों की संख्या। देखें: बर्लेकैंप ई. बीजगणितीय कोडिंग सिद्धांत। − एम.: मीर, 1970, अध्याय। 3.

ग्लूखोव एम.एम., एलिज़ारोव वी.पी., नेचैव ए.ए. बीजगणित। टी में।: हेलिओस,। टी। , § ।

के लिए स्वयं अध्ययन :

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर मोबियस उलटा। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत विशेष मामलामोबियस व्युत्क्रम सूत्र। देखें: हॉल एम. कॉम्बिनेटरिक्स। एम.: मीर, , § ; बेंडर ई., गोल्डमैन जे. कॉम्बिनेटरियल विश्लेषण में मोबियस व्युत्क्रम के अनुप्रयोगों पर। पुस्तक में: संयुक्त विश्लेषण की गणनात्मक समस्याएं। एम.: मीर, 1971. एस.- .

संख्या संयोजनों के लिए तुलना

चलो एक अभाज्य संख्या है.

लेम्मा.

सबूत. जब सूत्र में अंश

परिणाम।

सबूत.

लेम्मा.मान लीजिए , , , गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और मान लीजिए , । तब

सबूत. हमारे पास है

दूसरी ओर,

समान डिग्री पर गुणांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक परिणाम प्राप्त होता है। ∎

- गैर-नकारात्मक पूर्णांकों और मूलांकों का निरूपण। (यहां कोई पूर्णांक है जिसके लिए , )। गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर हम आंशिक क्रम संबंध (संबंध) को परिभाषित करते हैं प्रधानता) , यह मानते हुए , यदि और केवल यदि

लुकास का प्रमेय ( ).

सबूत. पिछले लेम्मा के अनुसार,

कहाँ , । लेम्मा को उचित संख्या में बार-बार लागू करने से, हमें आवश्यक परिणाम प्राप्त होता है। ∎

टिप्पणी।प्रमेय अप्राइम्स के लिए सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए (बर्लेकैम्प, पृष्ठ देखें),

परिणाम.

द्वितीय . बीजगणितीय संरचनाएँ

द्वितीय. 1. बाइनरी ऑपरेशंस के साथ सेट। ग्रुपोइड्स, सेमीग्रुप्स, मोनोइड्स

द्विआधारी बीजीय संक्रिया(या रचना का नियम) एक गैर-रिक्त सेट पर एसमैपिंग कहा जाता है : , तत्वों की एक जोड़ी को एक विशिष्ट रूप से परिभाषित तत्व से मिलाना। एक सेट पर कई ऑपरेशन निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। (यदि, उदाहरण के लिए, निश्चित रूप से, तरीकों की संख्या बराबर है, तो तत्वों की संख्या कहां है।) यदि आप उनमें से किसी एक को हाइलाइट करना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, लिखें,। ऐसी वस्तु को कहा जाता है द्विआधारी बीजगणित, या समूहबद्ध. के बजाय, वे अक्सर लिखते हैं, और ऑपरेशन स्वयं कुछ प्रतीकों (,,, आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

टिप्पणी।बाइनरी ऑपरेशंस के साथ-साथ, अधिक सामान्य-एरी ऑपरेशंस पर विचार किया जाता है (यूनरी एट, टर्नरी एट, आदि)। उनसे जुड़ी बीजगणितीय संरचनाएं (सिस्टम) तथाकथित शोध का विषय बनती हैं। सार्वभौमिक बीजगणित.

किसी सेट पर बाइनरी ऑपरेशन को कहा जाता है जोड़नेवाला, अगर

, किसी के लिए , , ।

साहचर्य संक्रिया वाले ग्रुपॉइड को कहा जाता है अर्धसमूह.

एक गैर-सहयोगी समूह का एक उदाहरण।सेट पर हम ऑपरेशन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं . ऑपरेशन गैर-सहयोगी है: , लेकिन .

प्रमेय.यदि किसी सेट पर बाइनरी ऑपरेशन सहयोगी है, तो अभिव्यक्ति का मूल्य इसमें कोष्ठक की नियुक्ति पर निर्भर नहीं करता है।

सबूत।के साथ, या कथन स्पष्ट है. क्योंकि प्रेरण का उपयोग करके यह दिखाना पर्याप्त है

किसी के लिए , । प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, कोष्ठक का स्थान

महत्वपूर्ण नहीं है; विशेष रूप से, ।

तो अगर।

तो अगर

समानता का दाहिना पक्ष (1) भी सिद्ध होकर उसी रूप में आ जाता है। ∎

तत्व कहा जाता है तटस्थऑपरेशन के संबंध में, यदि

किसी के लिए भी ।

किसी तत्व वाले अर्धसमूह को कहा जाता है मोनोइड(या पहचान के साथ अर्धसमूह) और निरूपित करें , , .

एक अर्धसमूह (ग्रुपॉइड) में अधिकतम एक तटस्थ तत्व हो सकता है: यदि

, तो तटस्थ तत्व हैं

ग्रुपॉइड (अर्धसमूह) कहलाता है उपसमूह (उपार्ध समूह) ग्रुपॉइड (अर्धसमूह), , यदि

और किसी के लिए, .

इस मामले में वे कहते हैं कि उपसमुच्चय परिचालन के तहत बंद है. मोनोइड को कहा जाता है सबमोनॉइडमोनोइड , , , यदि और .

मोनॉइड का तत्व, , कहलाता है प्रतिवर्ती, यदि ऐसा कोई तत्व है (जाहिर है, तब हम इसे उलट देंगे)। यदि तत्व का गुण समान है, अर्थात , तो समानता से यह पता चलता है कि तत्व वास्तव में अद्वितीय है (के संबंध में)। इससे हमें बात करने का मौका मिलता है रिवर्सतत्व , से (उलटा) तत्व , गुणों के साथ: , .

यदि , मोनॉइड के उलटे तत्व हैं , , , तो उनका उत्पाद भी एक उलटा तत्व है, क्योंकि , . जाहिर है, यह एक उलटा तत्व है. इसलिए, वहाँ है

प्रमेय.मोनॉइड के सभी उलटे तत्वों का सेट, ऑपरेशन ∗ के तहत बंद कर दिया गया है और , , में एक सबमोनॉइड बनाता है।

समूह

समूह की परिभाषा.एक मोनोइड , , , जिसके सभी तत्व व्युत्क्रमणीय होते हैं, कहलाता है समूह।

दूसरे शब्दों में, एक समूह एक बाइनरी ऑपरेशन वाला एक सेट है जिसके लिए निम्नलिखित सिद्धांत मान्य हैं:

. (बंद प्रचालन.) , .

. (संचालन सहयोगीता.) ,

. (एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व.) ∃ .

. (उलटे तत्व का अस्तित्व.) .

टिप्पणी।ऊपर प्रस्तुत बीजगणितीय संरचनाओं पर लौटते हुए, हम उनके बीच निम्नलिखित पदानुक्रम देखते हैं: जोड़ी, है समूहबद्ध, यदि अभिगृहीत संतुष्ट है; अर्धसमूह, यदि अभिगृहीत तथा ; मोनोइड, यदि अभिगृहीत , तथा ; समूह, यदि अभिगृहीत , , तथा .

स्पष्ट गुणों वाले तत्वों की डिग्री प्राकृतिक तरीके से निर्धारित की जाती है:

( एक बार),

; , ( , , .

सामान्यतया, किसी अभिव्यक्ति में तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करना असंभव है (अर्थात ). अगर , तो तत्वों को बुलाया जाता है क्रमपरिवर्तनीय, या आने. यदि किसी समूह के कोई दो तत्व आवागमन करते हैं तो समूह कहलाता है विनिमेय, या एबेलियन(नार्वेजियन गणितज्ञ रिहल हेनरिक एबेल (-) के सम्मान में)।

किसी समूह में किसी ऑपरेशन को अक्सर या तो एक प्रतीक (जोड़) या एक प्रतीक (गुणा) द्वारा दर्शाया जाता है। इस मामले में, समूह को तदनुसार बुलाया जाता है additiveया गुणक, इसका तटस्थ तत्व क्रमशः है शून्य() या इकाई(). योगात्मक समूह में तत्व का व्युत्क्रम तत्व कहलाता है विलोमऔर नामित है, लेकिन इसके बजाय वे लिखते हैं। गुणक समूह में, वे आमतौर पर ऑपरेशन प्रतीक को छोड़कर, इसके बजाय लिखते हैं।

योगात्मक समूहों के उदाहरण. 1) , , , , , , - रिंग और फ़ील्ड के योगात्मक समूह , , । वे बस लिखते हैं , , , . 2) जोड़ से कोई भी वलय एक एबेलियन समूह है। विशेष रूप से, बहुपदों का वलय,…, ] और एक क्षेत्र पर क्रम के आव्यूहों का वलय एबेलियन समूह हैं। 3) कोई भी सदिश स्थलजोड़ के संबंध में एक क्षेत्र पर एक एबेलियन समूह है। 4) , 1,…, - अतिरिक्त मॉड्यूलो के संचालन के साथ कम से कम गैर-नकारात्मक अवशेष मॉड्यूलो की एक पूरी प्रणाली।

गुणक समूहों के उदाहरण. 1) , , फ़ील्ड्स के गुणक समूह हैं , , . 2)- गुणन के अंतर्गत एकता के साथ किसी भी वलय के व्युत्क्रमणीय तत्वों का समुच्चय। विशेष रूप से, = ; , से व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है। 3) - सभी (वास्तविक और जटिल) जड़ें

, , 1,…, , − काल्पनिक इकाई,

समीकरण एक गुणात्मक एबेलियन समूह है। 4) - समतल और अंतरिक्ष में एक नियमित -गॉन के घूर्णन का सेट - एक गैर-क्रमविनिमेय समूह (के लिए)।

इसके अलावा, ऑपरेशन को रिकॉर्ड करने का गुणात्मक रूप अधिक बार उपयोग किया जाता है। समूह को आमतौर पर ऑपरेशन को निर्दिष्ट किए बिना एक ही अक्षर द्वारा नामित किया जाता है। किसी समूह के सभी तत्वों का समुच्चय कहलाता है समूह का मुख्य समूहऔर उसी अक्षर से दर्शाया जाता है। यदि आधार समुच्चय परिमित है तो समूह कहलाता है अंतिम; अन्यथा इसे कहा जाता है अनंत. किसी परिमित समूह का संख्या तत्व उसका कहलाता है क्रम में. क्रम 1 के समूह को कहा जाता है अकेला, या टी प्रतिद्वंद्वी. अनंत समूह कहा जाता है अनंत क्रम . समूह के क्रम (मुख्य सेट की कार्डिनैलिटी) को इंगित करने के लिए, समान प्रतीकों कार्ड (कार्डिनल नंबर), और () का उपयोग किया जाता है।

यदि, समूह के (मुख्य समुच्चय के) उपसमुच्चय हैं, तो हम डालते हैं

, , .

उपसमूहएक समूह का एक उपसमुच्चय होता है जो उसी क्रिया के संबंध में स्वयं एक समूह होता है। दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह एक उपसमूह है यदि और केवल यदि (एक में) और गुणन और व्युत्क्रम के तहत बंद है, यानी। , (वास्तव में, यहां समानताएं भी हैं)। यदि में एक उपसमूह है, तो लिखें; यदि उसी समय, तो इसे कहा जाता है अपनाउपसमूह और इसे इस रूप में दर्शाया गया है।

मोबियस फ़ंक्शन  (एन), कहाँ एन- एक प्राकृतिक संख्या, निम्नलिखित मान लेती है:

मोबियस फ़ंक्शन आपको यूलर फ़ंक्शन को योग के रूप में लिखने की अनुमति देता है:

योग n के सभी विभाजकों पर है (न कि केवल अभाज्य विभाजकों पर)।

उदाहरण।चलिए हिसाब लगाते हैं φ (100) मोबियस फ़ंक्शन का उपयोग करना।

100 के सभी भाजक (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100) हैं।

(2) = (-1) 1 = -1 (दो का एक अभाज्य भाजक है - 2)

(4) = 0 (4 को दो के वर्ग से विभाजित किया जाता है)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 का एक अभाज्य भाजक है - 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10 में दो हैं अभाज्य भाजक– 2 और 5)

(20) = 0 (20 को दो के वर्ग से विभाजित किया गया)

(25) = 0 (25 को पांच के वर्ग से विभाजित किया गया)

(50) = 0 (50, 2 2 और 5 5 दोनों से विभाज्य है)

(100) = 0 (100, 2 2 और 5 5 दोनों से विभाज्य है)

इस प्रकार,

मोबियस फ़ंक्शन की संपत्ति:.

उदाहरण के लिए, एन=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 एक पंक्ति में व्यवस्थित n तत्वों से, k-तत्वों का चयन करने के तरीकों की संख्या पर एक प्रमेय, जिनमें से दो आसन्न नहीं हैं। पुनरावृत्ति सूत्र प्राप्त करके सिद्ध करें।

17 दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या

संख्या आर-दोहराव के साथ संयोजन एन-सेट बराबर हैं

– पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करके प्रमाण।

विधि एक सूत्र प्राप्त करने पर आधारित है जो आपको ज्ञात प्रारंभिक मूल्यों और पिछले चरणों में गणना किए गए मूल्यों के आधार पर चरण दर चरण वांछित मात्रा के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देता है।

पुनरावृत्ति सूत्रआर -वाँ क्रम- प्रपत्र का सूत्र

ए एन = एफ(एन, ए एन- 1 , ए एन- 2 , … , ए एन आर).

सूत्र व्यक्त करता है n>आरअनुक्रम का प्रत्येक सदस्य ( ए मैं) पिछले के माध्यम से आरसदस्य. आवर्ती सूत्र के निर्माण में निम्नलिखित चरण होते हैं।

1. उत्पादन आरंभिक स्थितियां किसी भी स्पष्ट रिश्ते पर आधारित.

आइए हम इसे निरूपित करें एफ(एन,आर). यह तो स्पष्ट है

2. तार्किक तर्क.आइए सेट में कुछ तत्व ठीक करें एस. फिर किसी के सापेक्ष आर- से दोहराव के साथ संयोजन एन-सेट एसहम बता सकते हैं कि इसमें कोई निश्चित तत्व शामिल है या नहीं।

अगर रोकना, फिर बाकी ( आर-1) आइटम का चयन किया जा सकता है एफ(एन,आर-1) तरीके.

अगर शामिल नहीं है(यह तत्व चयन में नहीं है), तो आर- तत्वों से बना एक संयोजन ( एन-1)-सेट (सेट) एसइस निश्चित तत्व को छोड़कर)। ऐसे संयोजनों की संख्या एफ(एन-1,आर).

क्योंकि ये मामले योग नियम के अनुसार परस्पर अनन्य हैं

3. कुछ मानों पर सूत्र की जाँच करना और एक सामान्य पैटर्न निकालना.

1) आइए गणना करें एफ (एन ,0) . (2) से यह अनुसरण करता है

तब एफ(एन,0)=एफ(एन,1)-एफ(एन-1,1). 1 से) एफ(एन,1)=एन,एफ(एन-1,1)=एन-1.

इस तरह, एफ(एन,0)=एन-(एन-1)=1=.

2) एफ (एन ,1) =एफ(एन,0)+एफ(एन-1,1) = 1+एन- 1 =एन==.

3) एफ (एन ,2) =एफ(एन,1)+एफ(एन-1,2) =एन+एफ(एन-1,1)+एफ(एन-2,2) =एन+(एन-1)+एफ(एन-2,1)+एफ(एन-3,2) = … =

= एन+(एन-1)+…+2+1 =.

(अंकगणितीय प्रगति का योग)

4) एफ (एन ,3) =एफ(एन,2)+एफ(एन-1,3) =+एफ(एन-1,2)+एफ(एन-2,3) =++एफ(एन-2,2)+एफ(एन-3,3) = … =

(ज्यामितीय प्रगति का योग)

5) एफ (एन ,4) =

विशेष मामलों के आधार पर ऐसा माना जा सकता है

4. परिणामी सूत्र का उपयोग करके प्रारंभिक स्थितियों की जाँच करना।

जो (1) # के अनुरूप है

19, 20) एन शीर्षों वाले बाइनरी पेड़ों की संख्या सी(एन) के बराबर है, जहां सी(एन) एनवां कैटलन संख्या है।

n शीर्षों वाले द्विआधारी वृक्षों की संख्या को कैटलन संख्या कहा जाता है, जिसमें कई दिलचस्प गुण होते हैं। Nth कैटलन संख्या की गणना सूत्र (2n) का उपयोग करके की जाती है! / (n+1)!n!, जो तेजी से बढ़ता है। (विकिपीडिया कई प्रमाण प्रस्तुत करता है कि यह कैटलन संख्या का एक रूप है।) दिए गए आकार के बाइनरी पेड़ों की संख्या 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

प्रतिस्थापन

जाओ: मार्गदर्शन, खोज

यह वाक्यात्मक संक्रिया के रूप में प्रतिस्थापन के बारे में एक लेख हैथर्मस . आपकी रुचि हो सकती हैविपर्यय .

में अंक शास्त्रऔर कंप्यूटर विज्ञान प्रतिस्थापन- यह एक ऑपरेशन है वाक्य-रचना के नियमों के अनुसारकिसी दिए गए उपपदों का प्रतिस्थापन termÃअन्य शर्तें, कुछ नियमों के अनुसार। आमतौर पर हम इसके स्थान पर किसी शब्द को प्रतिस्थापित करने की बात कर रहे हैं चर.

परिभाषाएँ और संकेतन

प्रतिस्थापन के लिए कोई सार्वभौमिक, सर्वसम्मत संकेतन नहीं है, न ही कोई मानक परिभाषा है। प्रतिस्थापन की अवधारणा न केवल अनुभागों के भीतर, बल्कि व्यक्तिगत प्रकाशनों के स्तर पर भी भिन्न होती है। सामान्य तौर पर, हम हाइलाइट कर सकते हैं संदर्भ प्रतिस्थापनऔर प्रतिस्थापन "के बजाय". पहले मामले में, पद में वह स्थान दिया गया है जहां प्रतिस्थापन होता है प्रसंग, अर्थात्, इस स्थान के "आसपास" शब्द का भाग। विशेष रूप से, प्रतिस्थापन की इस अवधारणा का उपयोग किया जाता है पुनर्लेखन. दूसरा विकल्प अधिक सामान्य है. इस मामले में, प्रतिस्थापन आमतौर पर कुछ फ़ंक्शन द्वारा चर के एक सेट से शब्दों के एक सेट में निर्दिष्ट किया जाता है। संकेत करना प्रतिस्थापन क्रियाएँ, एक नियम के रूप में, उपयोग करें उपसर्ग संकेतन. उदाहरण के लिए, इसका अर्थ किसी पद पर प्रतिस्थापन क्रिया का परिणाम है।

अधिकांश मामलों में, यह आवश्यक है कि प्रतिस्थापन का एक सीमित वाहक हो, अर्थात समुच्चय परिमित था. इस मामले में, इसे केवल जोड़ियों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जा सकता है "चर-मान". चूँकि ऐसे प्रत्येक प्रतिस्थापन को ऐसे प्रतिस्थापनों के अनुक्रम में घटाया जा सकता है जो केवल एक चर को प्रतिस्थापित करते हैं, व्यापकता के नुकसान के बिना हम मान सकते हैं कि प्रतिस्थापन एक जोड़ी द्वारा दिया गया है "चर-मान", जो आमतौर पर किया जाता है।

प्रतिस्थापन की अंतिम परिभाषा संभवतः सबसे विशिष्ट और अक्सर उपयोग की जाने वाली परिभाषा है। हालाँकि, इसके लिए कोई एकल आम तौर पर स्वीकृत संकेतन भी नहीं है। अक्सर प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है एके बजाय एक्सवी टीरिकॉर्डिंग का उपयोग किया जाता है टी[ए/एक्स], टी[एक्स:=ए] या टी[एक्स←ए].

में परिवर्तनीय प्रतिस्थापनλ-कैलकुलस

λ-कैलकुलस में, प्रतिस्थापन संरचनात्मक प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। मनमानी वस्तुओं और एक मनमाना चर के लिए, एक मनमाना मुक्त घटना को बदलने के परिणाम की गणना की जाती है प्रतिस्थापनऔर निर्माण पर प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(i) आधार:: ऑब्जेक्ट वेरिएबल से मेल खाता है। तब;

(ii) आधार:: वस्तु स्थिरांक से मेल खाती है। फिर मनमाने परमाणु वाले के लिए;

(iii) चरण: : वस्तु गैर-परमाणु है और एक अनुप्रयोग की तरह दिखती है। तब;

(iv) चरण:: वस्तु गैर-परमाणु है और एक अमूर्त है। तब [;

(v) चरण:: वस्तु गैर-परमाणु है और इसके अलावा एक अमूर्त भी है। तब:

और के लिए;

प्रोग्रामिंग में परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

प्रतिस्थापनचर ( अंग्रेज़ी प्रतिस्थापन) वी अनुप्रयोगात्मक प्रोग्रामिंगइस प्रकार समझा जाता है. किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करने के लिए एफतर्क पर वीप्रविष्टि लागू है च(v)), कहाँ एफडिज़ाइन द्वारा निर्धारित एफ(एक्स) = ई. अभिलेख च(v)इस मामले में इसका अर्थ अभिव्यक्ति में है इपड़ रही है प्रतिस्थापन, या परिवर्तनीय प्रतिस्थापन एक्सपर वी. प्रतिस्थापन के अनुसार किया जाता है गणना का शब्दार्थ.

प्रतिस्थापनचर ( अंग्रेज़ी कार्यभार) वी प्रोग्रामिंगजैसा समझा कार्यभार. असाइनमेंट ऑपरेटर पारंपरिक प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए वॉन न्यूमैन टोंटी प्रभाव की अभिव्यक्ति है . इससे मुक्त एप्लिकेटिव कंप्यूटिंग सिस्टम.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 कार्य उत्पन्न करना।दोहराव के बिना संयोजनों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन (अंशांकक) और गणना जनरेटिंग फ़ंक्शन।

कार्य उत्पन्न करना: 1) जेड-रूपांतरण 2) जनरेटर 3) कार्य उत्पन्न करना 4) आधार पर अनुक्रम (एआर) का कार्य उत्पन्न करना (जी आर) - फ़ंक्शन एफ, जब एक निश्चित आधार (जी आर) के कार्यों की श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, गुणांकों का यह क्रम (ar ) बनता है …………*)

यह शृंखला औपचारिक है. औपचारिक नाम का अर्थ है कि हम सूत्र *) को अपने अनुक्रम के लिए एक सुविधाजनक संकेतन के रूप में मानते हैं - इस मामले में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किन (क्रियाओं और जटिल) मूल्यों के लिए अभिसरण करता है। अनुक्रम A0, A1,…Ar… के गुणांकों को अलग करने के लिए t की भूमिका कम हो जाती है, इसलिए, कार्यों को उत्पन्न करने के सिद्धांत में, इस श्रृंखला के मूल्यों की गणना कभी भी चर t के विशिष्ट मान के लिए नहीं की जाती है। ऐसी श्रृंखला पर केवल कुछ ऑपरेशन किए जाते हैं, और उसके बाद ऐसी श्रृंखला पर केवल कुछ ऑपरेशन निर्धारित किए जाते हैं, और फिर चर टी की व्यक्तिगत शक्तियों के लिए गुणांक निर्धारित किए जाते हैं।

आमतौर पर जैसे

22 जनरेटिंग फ़ंक्शन. दोहराव के साथ संयोजन के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन (अंशांकक) और गणना जनरेटिंग फ़ंक्शन।

इनके लिए विनिर्माण सुविधा:

निर्माण का नियम

1) यदि प्रकार i के किसी तत्व को संयोजन K 1 या K 2 या... K i बार में शामिल किया जा सकता है, तो इसका एक संगत गुणक है

3) यह गुणांक ज्ञात करना बाकी है। पर

प्लेसमेंट निर्माण नियम के लिए घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन

25) कॉम्बिनेटोरियल नंबर भी शामिल हैं स्टर्लिंग संख्यापहली और दूसरी तरह की. इन संख्याओं को समानता में गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है

और इसका एक सरल संयोजक अर्थ है - क्रमपरिवर्तन समूह के उन तत्वों की संख्या के बराबर जो वास्तव में उत्पाद हैं कअसंयुक्त चक्र, और विभाजनों की संख्या के बराबर एन-तत्व सेट हो गया कगैर-रिक्त उपसमुच्चय. यह तो स्पष्ट है. दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के समान योग को कहा जाता है एन- बेल संख्या और सभी विभाजनों की संख्या के बराबर एन-तत्व सेट. पुनरावृत्ति सूत्र बेल संख्याओं के लिए मान्य है।

संयुक्त समस्याओं को हल करते समय यह अक्सर उपयोगी होता है समावेशन-बहिष्करण सूत्र

जो किसी को सेटों के मिलन की कार्डिनैलिटी का पता लगाने की अनुमति देता है यदि उनके प्रतिच्छेदन की कार्डिनैलिटी ज्ञात हो। आइए दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने के लिए समावेशन-बहिष्करण सूत्र का उपयोग करें।

पहली तरह के स्टर्लिंग नंबर

विकिपीडिया से सामग्री - निःशुल्क विश्वकोश

जाओ: मार्गदर्शन, खोज

पहली तरह के स्टर्लिंग नंबर(अहस्ताक्षरित) - मात्रा क्रमपरिवर्तनआदेश एनसाथ क चक्र.

परिभाषा

पहली तरह के स्टर्लिंग नंबर(संकेत सहित) एस(एन, के)गुणांक कहलाते हैं बहुपद:

कहाँ ( एक्स) एन - पोचहैमर प्रतीक (भाज्य घट रहा है):

जैसा कि परिभाषा से देखा जा सकता है, संख्याओं में वैकल्पिक चिह्न होते हैं। उनके निरपेक्ष मान संख्या निर्दिष्ट करते हैं क्रमपरिवर्तनसेट से मिलकर एनतत्वों के साथ क चक्र.

पुनरावृत्ति संबंध

पहली तरह के स्टर्लिंग नंबर दिए गए हैं आवर्तीअनुपात:

एस(एन,एन) = 1, n ≥ 0 के लिए,

एस(एन,0) = 0, n > 0 के लिए,

0 के लिए< क < एन.

सबूत।

के लिए एन=1 इस समानता की सीधे जाँच की जाती है। चलो क्रमपरिवर्तन ( एन-1)वें क्रम में विघटित होता है कचक्र. संख्या एनउपयुक्त लूप में किसी भी संख्या के बाद जोड़ा जा सकता है। सभी परिणामी क्रमपरिवर्तन भिन्न-भिन्न हैं और उनमें k चक्र हैं, उनकी संख्या ( एन-1)· एस(एन-1, क). किसी भी क्रमपरिवर्तन से ( एन-1)वां क्रम युक्त क-1 चक्र, एक एकल क्रमपरिवर्तन बनाया जा सकता है एनआदेश युक्त कएक विलक्षण संख्या से बने चक्र को जोड़कर चक्र एन. जाहिर है, यह निर्माण सभी क्रमपरिवर्तनों का वर्णन करता है एन-वें क्रम युक्त कचक्र. इस प्रकार समानता सिद्ध होती है।

उदाहरण

पहली पंक्तियाँ:

में साहचर्य दूसरी तरह का स्टर्लिंग नंबरसे एनद्वारा क, द्वारा निरूपित या, अव्यवस्थित की संख्या है विभाजन एन-मौलिक सेटपर कगैर-रिक्त उपसमुच्चय.

पुनरावृत्ति सूत्र

दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग अंक संतुष्ट करते हैं आवर्तीअनुपात:

n ≥ 0 के लिए,

n > 0 के लिए,

स्पष्ट सूत्र

उदाहरण

दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के प्रारंभिक मान तालिका में दिए गए हैं:

गुण

द्विभाजितमैपिंग एक मैपिंग है जिसमें एक ही समय में इंजेक्शन और विशेषण होने के गुण होते हैं।

1. आइए सबसे पहले महत्वपूर्ण संख्या-सैद्धांतिक मोबियू फ़ंक्शन की परिभाषा को याद करें

1 यदि एन = 1

µ (n)=0, यदि कोई अभाज्य संख्या p है, p2 n (-1)k, यदि n = p1 ... pk, k के विभिन्न अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है।

आइए हम मोबियस फ़ंक्शन की मुख्य संपत्ति साबित करें:

प्रमेय 1.

♦ यदि n = 1 है, तो एकमात्र भाजक d = 1 है और (1) सत्य है, क्योंकि µ (1) = 1. अब मान लीजिए n > 1. आइए इसे इस रूप में निरूपित करें

एन = पी1 एस 1 पीएस 2 2 के पीएस के के,

जहाँ pi, i 1, k अभाज्य संख्याएँ हैं, si उनकी घातें हैं। यदि d, n का भाजक है, तो d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k,

जहां 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. यदि कुछ i 1, k के लिए di > 1, तो µ (d) = 0. इसका मतलब है कि (1) में हमें केवल उन d पर विचार करने की आवश्यकता है जिनके लिए di ≤ 1, i 1, k है। ऐसा प्रत्येक विभाजक सह-

इसमें r विभिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल शामिल है, जहाँ r 1, k, और योग में इसका योगदान है

(1) (-1)r के बराबर है और कुल मिलाकर k हैं। इस प्रकार, हम पाते हैं


	µ (डी) = 1 −	के + (− 1) के	0. ♦



	प्रमेय 2. (मोएबियस व्युत्क्रम सूत्र)। मान लीजिए f(n) और g(n) प्राकृतिक के फलन हैं
राल तर्क. फिर समानता
			∑f(d)

सत्य है यदि और केवल यदि समानता सत्य है
			∑ µ (डी)जी(
			∑ µ (डी)जी(

♦ मान लीजिए (2) किसी भी n के लिए सत्य है। तब

जी(डी एन ) = ∑ एफ(डी′ )

डी' डी एन

(3) के दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

∑ µ (डी)जी(	) = ∑ µ (डी) ∑ एफ(डी′ )

		डी'

दाईं ओर दोहरा योग सभी युग्मों d, d' पर इस प्रकार किया जाता है कि d d' n। यदि आप d ′ चुनते हैं, तो d सभी विभाजकों d n ′ के माध्यम से चलेगा। इस प्रकार

∑ µ (डी)जी(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

डी'

एन > डी'

लेकिन (1) के अनुसार हमारे पास ∑ है

µ (डी′ ) =

एन = डी'

डी'

इसका मतलब है कि समानता (3) स्थापित हो गई है। अब मान लीजिए (3) किसी भी n के लिए सत्य है। तब

∑ एफ(डी) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d'' = d d ' - n का भाजक है और इसका दोगुना योग हो सकता है

डी'

रा'

के रूप में पुनः लिखा जाए

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ जी(डी′′ )

∑ µ (डी′ )

डी''

रा '

डी''

डी'

डी''

(1) के अनुसार, अन्य मामलों में अंतिम योग d'=n मामले में एकता में बदल जाता है

किसी भी स्थिति में, यह शून्य है. इससे (2) सिद्ध होता है। ♦ 2. मोबियस व्युत्क्रम के एक अनुप्रयोग पर विचार करें।

मान लीजिए कि s अक्षरों का एक अक्षर A दिया गया है। किसी दिए गए वर्णमाला में लंबाई n के एसएन शब्द हैं। प्रत्येक शब्द के लिए w0 = a1 a2… एक n - 1 शब्द परिभाषित किया जा सकता है

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , चक्रीय बदलावों द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किया जाता है। सभी एसएन शब्दों के सेट पर हम एक तुल्यता संबंध पेश करते हैं: हम दो शब्दों को समकक्ष घोषित करते हैं यदि एक चक्रीय बदलाव द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है। हमें उन वर्गों की संख्या में रुचि होगी जिनमें बिल्कुल n शब्द हैं। यह समस्या कोड सिंक्रनाइज़ करने के सिद्धांत में उत्पन्न होती है।

यदि w वाले तुल्यता वर्ग में n से कम शब्द हैं तो हम एक शब्द w को अपभ्रंश कहेंगे। यदि u शब्द मौजूद है तो हम w को आवधिक कहते हैं प्राकृतिक संख्यामी, इस प्रकार कि w = u u ... u (m बार)।

प्रमेय 3. एक शब्द w आवधिक है यदि और केवल यदि यह पतित है।

आप के रूप में हम एक ले सकते हैं 1 ए 2 … ए पी, और एम = के रूप में

♦ यह स्पष्ट है कि यदि w आवर्त है तो वह अपभ्रंश है। चलो पतित हो जाओ. मान लीजिए p न्यूनतम पूर्णांक है जैसे कि w = wp। तो अगर

w = a1 a2 … an , फिर wp = a1+p a2+p … an+p (सूचकांक मॉड्यूल n)। यहां से हमें वह np में मिलता है। (यह देखना आसान है कि पी एन)। ♦ वॉलपेपर

M(d) के माध्यम से महत्वपूर्ण - उन वर्गों की संख्या जिनमें d शब्द हैं। पिछले से हमारे पास है

डी एन. इस प्रकार, सूत्र मान्य है∑ डीएम(डी) = एसएन। डी एन

आइए हम मामले g(n) = sn, f(d) = dM(d) के लिए मोबियस व्युत्क्रम सूत्र लागू करें। फिर हमें मिलता है

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑ µ (डी) एसएन डी

इस प्रकार, M(n) वह संख्या है जिसमें हम रुचि रखते हैं। यदि n = p एक अभाज्य संख्या है, तो

- एस)

मोबियस व्युत्क्रम का एक गुणात्मक संस्करण है। गोरा

प्रमेय 4. मान लीजिए कि f(n) और g(n) तदनुसार संबंधित प्राकृतिक तर्क के फलन हैं

पहना हुआ

एफ(एन) = ∏जी(डी)

µ(एन

जी(एन) = ∏एफ(डी)

और इसके विपरीत, (5) से (4) अनुसरण करता है।

मोबियस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करके, कोई एक परिमित क्षेत्र पर एक निश्चित डिग्री के अपरिवर्तनीय बहुपदों की संख्या की व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण समस्या को हल कर सकता है। मान लीजिए GF(q) q तत्वों का एक क्षेत्र है और m एक प्राकृतिक संख्या है। फिर नंबर के लिए

Φ क्षेत्र GF(q) पर अप्रासंगिक बहुपदों का m (q) निम्नलिखित सूत्र रखता है:

आइए हम फ़ंक्शन Φ m (2) के पहले कुछ मानों की एक तालिका प्रस्तुत करें


Φ एम (2)

§ 5. स्थायी और गणनात्मक पर उनका अनुप्रयोग

1. कई संयुक्त समस्याओं को हल करने के लिए स्थायी का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक मैट्रिक्स पर विचार करें

ए = (एआई, जे), आई = 1, एन, जे = 1, एम, एन ≤ एम

स्थायी मैट्रिक्स ए (पदनाम - प्रति ए) समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

प्रति ए = ∑			ए 2 जे एल ए एनजे
(जे1,के,जेएन)
(जे1,के,जेएन)

जहां एम तत्वों 1, 2, एम के सभी एन-क्रमपरिवर्तन पर योग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स का स्थायीकरण प्रत्येक पंक्ति और विभिन्न स्तंभों से लिए गए तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर है।

सूत्र (1) से वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के गुणों के समान, स्थायी के कुछ स्पष्ट गुण अनुसरण करते हैं।

1. यदि पंक्तियों में से एक(n× m)-मैट्रिक्स A (n ≤ m) में शून्य होते हैं, तो प्रति A = 0. n = m के लिए कॉलम के लिए भी यही सच है।

2. जब मैट्रिक्स ए की पंक्तियों में से किसी एक के सभी तत्वों को एक निश्चित संख्या से गुणा किया जाता है, तो स्थायी ए का मान उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

3. जब इसकी पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो स्थायी परिवर्तन नहीं होता है।

आइए i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम को हटाकर A से प्राप्त मैट्रिक्स को Aij द्वारा निरूपित करें।

4. i-वीं पंक्ति में स्थायी को विघटित करने का सूत्र मान्य है: प्रति A = ai1 प्रति Ai1 + ai2 प्रति Ai2 + ... + लक्ष्य प्रति उद्देश्य (2)

इस प्रकार, स्थायी के कई गुण निर्धारक के समान होते हैं।

हालाँकि, निर्धारकों की मुख्य संपत्ति det(A B) = detA detB स्थायी लोगों के लिए संतुष्ट नहीं है, और यह परिस्थिति उनकी गणना को बहुत कठिन बना देती है।


उदाहरण के लिए,


	2, प्रति


हालाँकि, 4 = प्रति		≠ प्रति

आइए संयुक्त समस्याओं में स्थायी की अवधारणा के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक पर विचार करें।

dachas. मान लीजिए कि X = (x1, xm) एक परिमित समुच्चय है, और X1, …, Xn उपसमुच्चय की एक प्रणाली है

इस मामले में, तत्व xi को समुच्चय Xi का प्रतिनिधित्व करने के लिए कहा जाता है। कई लागू समस्याओं को हल करते समय विभिन्न प्रतिनिधियों की एक प्रणाली खोजने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। निम्नलिखित कोडिंग समस्या पर विचार करें। चलो कुछ प्रस्ताव है, अर्थात् किसी वर्णमाला में शब्दों का क्रमबद्ध समूह। इस वाक्य को एन्कोड करना आवश्यक है ताकि प्रत्येक शब्द को एक अक्षर दिया जाए, और यह अक्षर इस शब्द का हिस्सा होना चाहिए, और अलग-अलग अक्षर अलग-अलग शब्दों के अनुरूप होने चाहिए।

उदाहरण: वाक्य a bc ab d abe c de cd e को abecd के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। उसी समय, वाक्य ab ab bc abc bcd को इस तरह से एन्कोड नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले चार शब्दों में कुल मिलाकर केवल तीन अक्षर होते हैं।

समुच्चयों की एक प्रणाली के लिए X1 , … , Xn हम परिभाषित करते हैं घटना मैट्रिक्सए = (एआईजे), आई = 1, एन,


	1 यदि xi
एक आईजे =
	0 अन्यथा.
गोरा
प्रमेय 1. मान लीजिए A = (aij), i =		(एन ≤ एम) घटना मैट्रिक्स
प्रमेय 1. मान लीजिए A = (aij), i =		(एन ≤ एम) घटना मैट्रिक्स

सेट X1, …, Xn, जहां Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm)। फिर सिस्टम की संख्या के लिए

व्यक्तिगत प्रतिनिधि R(X1 , … , Xn ) समुच्चय X1 , … , Xn में निम्नलिखित समानता है:

R(X1 , … , Xn ) = प्रति A

♦ वास्तव में, चूँकि मैट्रिक्स A में तत्व aij = 1 है, यदि xj Xi और aij = 0 है,

यदि xj

के, xi

) तत्व एक्स विभिन्न पूर्व की एक प्रणाली है-

Xi, फिर सेट (xi

X1 ,… , Xn के लिए प्रत्यय

यदि और केवल यदि a1i

के ,ए नि

पुलिस a1i

के ,ए नि

मैट्रिक्स ए के विभिन्न कॉलमों में हैं। आइए संख्याओं का योग करें

ए1आई ,के ,ए नि

तत्वों 1, 2, …, एम के सभी एन-क्रमपरिवर्तन पर। फिर हमें एक सौ से मिलता है

rons, X1, ..., Xn के लिए विभिन्न प्रतिनिधियों की प्रणालियों की संख्या, और दूसरी ओर, प्रति का मान-

मैनेंटा मैट्रिक्स ए ♦

ए 1आई 1 ए 2आई 2 एल ए नी एन

परिणाम। X1,…, Xn के लिए अलग-अलग प्रतिनिधियों की एक प्रणाली मौजूद है यदि और केवल यदि संबंधित मैट्रिक्स घटना के लिए A संतुष्ट है:

चूँकि सूत्र (1) में m(m - 1) ... (m - n +1) पद हैं, इसलिए परिभाषा के आधार पर स्थायी की गणना करना कठिन है। आइए इस उद्देश्य के लिए एक सामान्य सूत्र प्रस्तुत करें।

2. आइए हम स्वयं को वर्ग संख्यात्मक आव्यूह A = (aij), i, j = 1, n पर विचार करने तक सीमित रखें।

फिर प्रति ए = ∑

(i1 ,K ,in )

जहां योग तत्वों में सभी क्रमपरिवर्तन i1, ... पर विस्तारित होता है

1, 2,… , एन. आइए मैट्रिक्स ए के स्थायीकरण की गणना करने के लिए समावेशन-बहिष्करण सूत्र लागू करें। हम प्रत्येक सेट i1, ... को a1i 1,K,a ni n के बराबर वजन में निर्दिष्ट करते हैं।

इसका मतलब यह है कि स्थायी ए उन सेटों के वजन का योग है जो क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं। आइए हम सभी संग्रहों i1, i2, …, के सेट पर n गुणों P1, …, Pn का परिचय दें, 1, 2, …, n के, जहां गुण Pi का अर्थ है कि संग्रह i1, … में कोई तत्व i नहीं है। में। इस प्रकार, स्थायी ए सेट i1, ..., in के भार का योग है, जिसमें P1, ..., Pn में से कोई भी गुण नहीं है। यह k गुणों वाले सेटों के वजन W(Pi 1 ,K , Pi k ) का योग निर्धारित करने के लिए बना हुआ है

पाई 1 , के , पाई के . हमारे पास सभी सेटों i1 , … , ik के भारों का योग W(0) है।
डब्ल्यू(0) = ∑		के, एनी	= (ए 11 + एल + ए 1एन )(ए 21 + एल + ए 2एन ) एल (ए एन1 + एल + ए एनएन )
i1 ,K ,in
i1 ,K ,in

W(N(Pi )) =		ए1आई ,के ,ए नि		= (ए 11 + एल + ए 1i	एल + ए1एन )एल (ए एन1 + एल ए नी + एल + ए एनएन ) (9)

	≠i

जहां मैट्रिक्स ए के एक तत्व के ऊपर ^ चिह्न का अर्थ है कि इस तत्व को छोड़ दिया जाना चाहिए। इसी प्रकार सिज के लिए (i< j) имеем


W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	एल+ए 1ज	एल + ए1एन )एल (ए एन1 + एल ए नी + एल + ए एनजे + एल + ए एनएन ) (10)

अब, समावेशन-बहिष्करण सूत्र का उपयोग करके, हम स्थायी ए के लिए रेज़र सूत्र प्राप्त करते हैं:


प्रति A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) - ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a Ki + L + a kn )+ L +

+ (− 1)s	∑∏n
+ (− 1)s	∑∏n	(a k1 + L + a Ki1	ल+ए की	एल +ए केएन ) +एल
	1≤i1< L < is ≤ k n= 1

रेज़र सूत्र का उपयोग करके स्थायी की गणना को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है जिसकी आवश्यकता हो

(2n - 1)(n - 4) गुणन और (2n - 2)(n + 1) जोड़। हालाँकि यह मान n के साथ तेजी से बढ़ता है, यह सूत्र सबसे अधिक देता है प्रभावी तरीकास्थायी की गणना.

3. आइए अब स्थायी (0, 1) मैट्रिक्स के शून्य के बराबर होने की शर्तों के प्रश्न को स्पष्ट करें। आइए हम स्वयं को वर्ग मैट्रिक्स के मामले तक ही सीमित रखें।

प्रमेय 2. मान लीजिए A = (aij ), i, j = 1, n क्रम n का एक (0, 1) मैट्रिक्स है। तब

प्रति A= 0 यदि और केवल यदि A में s × t आकार के शून्यों का एक सबमैट्रिक्स है, जहां s + t = n + 1 है।

♦ मान लीजिए कि ए में ऐसा शून्य सबमैट्रिक्स मौजूद है। चूँकि पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन के कारण स्थायी परिवर्तन नहीं होता है, हम मान सकते हैं कि यह सबमैट्रिक्स निचले बाएँ कोने में स्थित है, अर्थात।

जहां O - (s × t) शून्य का एक मैट्रिक्स है, सबमैट्रिक्स B का आकार (n - s) × t है। स्थायी ए के प्रत्येक सदस्य में पहले टी कॉलम से एक तत्व होना चाहिए। इसलिए, यदि हम स्थायी के सकारात्मक पद की तलाश करते हैं, तो इन स्तंभों के तत्वों को संख्या 1, 2, ..., n - s के साथ जोड़ीदार अलग-अलग पंक्तियों से संबंधित होना चाहिए। हालाँकि n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

मान लीजिए अब प्रति A = 0. हम प्रमेय को n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं। n = 1 के लिए कथन स्पष्ट है (A = (0))। इसे n से कम सभी ऑर्डरों के लिए सत्य होने दें। यदि A क्रम n का शून्य मैट्रिक्स है, तो कथन स्पष्ट है। यदि A एक शून्य मैट्रिक्स नहीं है, तो मान लीजिए aij = 1. आइए पंक्ति i के अनुदिश A का अपघटन लिखें:

प्रति A = ai1 Ai1 +… + ain Ain

चूंकि प्रति A = 0, तो प्रति Aij = 0. लेकिन Aij का आकार (n - 1) × (n - 1) है और प्रेरण परिकल्पना के अनुसार आकार के शून्य का एक सबमैट्रिक्स है

s1 × t1, s1 + t1 = n - 1 + 1 = n के साथ। आइए पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि यह शून्य सबमैट्रिक्स निचले बाएँ कोने में हो:


ए → बी =

जहां O आकार s1 × t1 का शून्य सबमैट्रिक्स है, s1 + t1 = n, C - का आकार (n - s1) × t1 है, D -

इसका आकार s1 × (n - t) है। इसका मतलब यह है कि आव्यूह C और D वर्ग हैं और उनका क्रम क्रमशः (t1 × t1) और (s1 × s1) है। स्थायी की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास प्रति बी = प्रति ए और,

प्रति बी = प्रति सी प्रति डी और इसलिए प्रति ए = 0 से यह इस प्रकार है कि या तो प्रति सी = 0 या प्रति डी = 0।

मान लीजिए प्रति C = 0. प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, आकार का एक शून्य सबमैट्रिक्स है

u × v, जहां u + v = t1 + 1. इसे संख्या i1, …, iu वाली पंक्तियों और संख्या j1, …, jv वाले स्तंभों में स्थित होने दें। पंक्तियों से युक्त एक सबमैट्रिक्स बी पर विचार करें

i1, …, iu, t1 + 1, …, n और कॉलम j1, …, jv। यह आकार (u + n - t1) × v का एक शून्य सबमैट्रिक्स है,

जहाँ u + n - t1 + v = n + +1. तो, मैट्रिक्स बी में आकार s × t का एक शून्य सबमैट्रिक्स होता है, जहां s + t = n + 1. चूंकि मैट्रिक्स ए और बी पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन में भिन्न होते हैं, इसलिए प्रमेय सिद्ध होता है। ♦

आइए अब मैट्रिक्स ए के एक महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें। आइए हम प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम (के> 0) के लिए के के साथ एन × एन आकार के 0.1 तत्वों के एक मैट्रिक्स को ए (के, एन) से निरूपित करें।

प्रमेय 3. किसी भी मैट्रिक्स A(k, n) प्रति A(k, n) > 0 के लिए।

♦ आइए इसके विपरीत मान लें कि प्रति A(k, n) = 0. फिर, प्रमेय 2 के अनुसार, एक शून्य मौजूद है-

आकार s × t का सबमैट्रिक्स, जहां s + t = n + 1. फिर, मैट्रिक्स A(k, n) की पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके हम मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं

जहां O शून्य (s × t) मैट्रिक्स है।

आइए आव्यूह B और D में इकाईयों की संख्या गिनें। चूँकि A(k, n) की प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में k इकाईयाँ हैं, तो B के प्रत्येक स्तंभ और D की प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल k इकाईयाँ हैं।

इकाइयाँ। A(k, n) में कुल n k इकाइयाँ हैं, इसलिए nk ≥ tk + sk = (t + s)n। इस तरह

som, n ≥ t + s, जो असंभव है, क्योंकि s + t = n + 1 इस विरोधाभास से यह निष्कर्ष निकलता है कि

कथन की वैधता. ♦ यह इसी तरह सिद्ध होता है

प्रमेय 3ए. मान लीजिए A आकार n× m (n≤ m) का एक (0,1) मैट्रिक्स है। तब perA = 0 यदि और केवल यदि इसमें s×t आकार का शून्य सबमैट्रिक्स है, जहां s+t=m+1 है।

4. आइए अब ला के निर्माण में विचाराधीन मुद्दों के अनुप्रयोग पर विचार करें-

टीना वर्ग. लैटिन (एन × एम)-आयतसमुच्चय पर X=(x1 ,…,xm )

तत्वों X का एक (n× m) -मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति X का n-क्रमपरिवर्तन है, और प्रत्येक स्तंभ सेट लैटिन वर्ग.

यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए लैटिन 1×m आयतों की संख्या m के बराबर है! जब n=2, पहली पंक्ति के चयन के बाद, किसी भी क्रमपरिवर्तन को दूसरी पंक्ति के रूप में लिया जा सकता है।

नया उत्पाद जो चुने गए उत्पाद के विपरीत है। ऐसे क्रमपरिवर्तनों की संख्या Dm है, इसलिए संख्या 2× m है

लैटिन आयतों का मान m के बराबर है! डी.एम.

लैटिन वर्गों के आगमनात्मक निर्माण के संबंध में एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है। आइए हम एक लैटिन (n× m)-आयत (n) का निर्माण करें< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

गोरा

प्रमेय 4. प्रत्येक लैटिन (n× m)-आयत n

♦ मान लीजिए X=(x1,…,xm) और एक L-लैटिन (n×m)-आयत है जिसमें X के तत्व हैं। सेट A1,…,Am के एक सेट पर विचार करें जहां Ai i-वें कॉलम के तत्व हैं लैटिन आयत L. मान लीजिए A सेट सिस्टम A1 ,… ,Am का आपतन मैट्रिक्स है। इसका आकार m×m है, और मैट्रिक्स A की प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल n होते हैं, क्योंकि Ai = n, i = 1, m। प्रत्येक तत्व xi X, L के कॉलम में m से अधिक बार प्रकट नहीं हो सकता है, अन्यथा एक पंक्ति ऐसी होगी जिसमें यह तत्व दो बार दिखाई देगा। तत्वों की कुल संख्या

L, m n के बराबर है, इसलिए प्रत्येक तत्व xi X कॉलम में बिल्कुल n बार दिखाई देता है। इसका तात्पर्य यह है कि मैट्रिक्स A के प्रत्येक कॉलम में बिल्कुल n होते हैं। आइए अब प्रत्येक को एक शून्य से और प्रत्येक शून्य को एक से प्रतिस्थापित करके प्राप्त मैट्रिक्स ए पर विचार करें।

मैट्रिक्स ए सेट X1, …, Xn की प्रणाली का घटना मैट्रिक्स है, जहां Xi = X\Ai,

मैं = 1, मी. इसमें प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में m - n इकाइयाँ शामिल हैं। प्रमेय से

> 0. चलो ai1

…एक मि

≠ 0 . तब हमारे पास xi X1 ,K , xi है

एक्सएम और सभी तत्व

xi ,K ,xi

जोड़ीवार अलग. रेखा

xi ,K ,xi

(n + 1)वें के रूप में लिया जा सकता है

एक लैटिन (एन × एम)-आयत एल के लिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें एक लैटिन प्राप्त होता है

आकाश चौक. ♦

आइए हम एल एन को निरूपित करें - क्रम एन के लैटिन वर्गों की संख्या, सेट एक्स = (1, 2, ..., एन) के तत्वों के साथ, जिसमें पहले कॉलम और पहली पंक्ति के तत्व प्राकृतिक क्रम में हैं। यहां संख्या l n के कई ज्ञात मानों की एक तालिका दी गई है:

5. वास्तविक, गैर-नकारात्मक तत्वों के साथ n × n आकार का एक मैट्रिक्स A = (aij) कहलाता है दो बार स्टोकेस्टिक, अगर