Ecuații în matematică superioară.Rădăcini raționale ale polinoamelor. Schema lui Horner. Proprietățile de bază ale rădăcinilor unei ecuații algebrice Metoda Lobachevsky–Greffe pentru soluția aproximativă a ecuațiilor algebrice

Pagina 1
Ecuații cuadratice

În algebra modernă, o ecuație pătratică este o ecuație de formă

unde sunt coeficienții
orice numere reale și

O ecuație pătratică incompletă este o ecuație de formă

Exemplu A)

Astfel, ecuația are două rădăcini:

Exemplu b)

Soluţie

Ecuația are două rădăcini:

Exemplu Cu)

Soluţie

Ecuația are două rădăcini:

Exemplu d)

Soluţie

Ecuația nu are rădăcini reale.

Exemplu e)

Soluţie

Această ecuație este, de asemenea, o ecuație pătratică incompletă; are întotdeauna o rădăcină

Când rezolvați ecuații pătratice puteți utiliza diferite căi factorizarea. Deci la rezolvarea ecuației b s-a folosit metoda de aplicare a unui multiplicator comun. Există o altă modalitate - metoda grupării.

Soluţie.

Răspuns:

Aceeași ecuație poate fi rezolvată în mai multe moduri. Să ne uităm la unele dintre ele folosind un exemplu ecuație pătratică

Metoda I Luați în considerare trinomul pătratic

Să o factorizăm folosind metoda grupării, după ce am reprezentat anterior termenul
la fel de
Avem

Aceasta înseamnă că ecuația dată poate fi rescrisă sub formă

Această ecuație are două rădăcini:

II cale . Considerați un trinom pătratic și factorizați-l folosind metoda izolării unui pătrat perfect; Să reprezentăm mai întâi termenul 3 ca diferență
. Avem

Folosind formula diferenței de pătrate, obținem

Deci, rădăcinile trinomului

III cale - grafic.

Să luăm în considerare o metodă grafică de rezolvare a ecuațiilor

Rezolvați ecuația

Să diagramăm funcția

Coordonatele vârfurilor:

Axa parabolei este dreaptă

Să luăm două puncte pe axa absciselor care sunt simetrice față de axa parabolei, de exemplu punctele
Să găsim valoarea funcției în aceste puncte
Prin puncte
iar vârful parabolei
Să construim un grafic al funcției.

Deci, rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa absciselor, i.e.

Să luăm în considerare o altă versiune a soluției grafice a ecuației

Să scriem ecuația sub forma

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

Deci, rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficelor construite

Ecuația inițială poate fi rezolvată în mai multe alte moduri prin rearanjarea ecuației
la minte
sau la vedere

Apoi se introduc funcțiile, se construiesc grafice și se găsesc abscisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor construite.

Vezi sarcina 3 (Anexa 1).

IV cale – folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică de forma
puteți folosi următorul algoritm:

Deoarece
Această ecuație pătratică are două rădăcini. Găsim aceste rădăcini folosind formula

Dacă b– un număr par, adică
Apoi

Ecuația formei
este o ecuație pătratică redusă.

Dacă numerele
sunt astfel încât

atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației.
Cu această afirmație, sau mai degrabă afirmația, inversul teoremei Vieta poate rezolva ecuațiile pătratice date.

Deci, rădăcinile ecuației

Dacă în Ec.
sumă
atunci o rădăcină a ecuației este întotdeauna 1, iar cealaltă rădăcină este calculată folosind formula.

În Ec.
suma deci

Vezi sarcina 4 (Anexa 1).
Ecuații raționale
Dacă
este o expresie rațională, apoi ecuația
numită ecuație rațională.

Exemplu

Să verificăm rădăcinile găsite:
acestea.

sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplu

Să rezolvăm ecuația introducând o variabilă. Lăsa
Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația în formă

Din Eq.
găsim

Să verificăm rădăcinile găsite

Deoarece
trebuie să rezolvăm încă două ecuații:

Și

Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și –4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele

Răspuns: 1, −4,

Metoda introducerii unei noi variabile este folosită și la rezolvarea ecuațiilor biquadratice.

Ecuația formei
numită ecuație biquadratică.

Exemplu

Să introducem o variabilă

Primim

Răspuns: 2, -2.

Consultați sarcinile 5, 6 și 7 (Anexa 1).
Ecuații iraționale
Dacă o ecuație conține o variabilă sub semnul rădăcinii pătrate, atunci o astfel de ecuație se numește irațională.

Să ne întoarcem la paginile din istoria matematicii. Conceptul de numere iraționale era cunoscut pitagoreenilor. Teorema lui Pitagora i-a condus pe matematicieni la descoperirea segmentelor incomensurabile. Au primit o afirmație complet paradoxală: lungimea diagonalei unui pătrat nu poate fi măsurată cu niciun număr natural. Această afirmație a subminat teza principală a învățăturii lor: „totul este un număr”.

Descoperirea incomensurabilității a arătat că, cunoscând numai numere raționale, este imposibil de găsit lungimea oricărui segment. Aceasta înseamnă că setul de segmente este mult mai larg decât setul de numere raționale. Grecii au decis să construiască matematica nu pe calea extinderii conceptului de număr, care să-i conducă la luarea în considerare a numerelor iraționale, ci cu ajutorul mărimilor geometrice. Spre deosebire de pitagoreici, oamenii de știință Orientul antic au fost folosite numere aproximative fără nicio explicație. Așa că au scris în schimb 1.41
, și 3 în loc de un număr

Să revenim la matematica modernă și să luăm în considerare modalități de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Exemplu:

Metoda punerii la pătrat a ambelor părți ale unei ecuații este metoda principală de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Metoda de pătrare este simplă, dar uneori duce la probleme.

Exemplu:

Dar sensul
fiind rădăcina unei ecuaţii raţionale
nu este rădăcina ecuației iraționale date. Testarea va confirma această afirmație.

Examinare:

Expresia rezultată nu are sens. Nu poate exista un număr negativ sub rădăcina unui grad par.

Concluzie:
rădăcină străină

Având în vedere ir ecuație rațională nu are rădăcini.

Exemplu:

Examinare:

Dacă
Acea

- incorect

Dacă
Acea

- incorect

Concluzie: ecuația irațională dată nu are rădăcini.

Deci, o ecuație irațională se rezolvă prin pătrarea ambelor părți; După ce s-a rezolvat ecuația rațională rezultată, este necesar să se efectueze o verificare, îndepărtând eventualele rădăcini străine.

Exemplu:

Examinare:

Dacă
Acea

- egalitate adevărată.

Dacă
Acea

- egalitate adevărată.

Aceasta înseamnă că ambele valori găsite sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: 4; 5.

Exemplu:

Rezolvăm această ecuație introducând o nouă variabilă.

Lăsa

Să revenim la variabila inițială.

- dreapta,

- incorect.

Vezi sarcina 8 (Anexa 1).
Puțină teorie
Definiție. Două ecuații
Și
sunt numite echivalente dacă au aceleași rădăcini (sau, în special, dacă ambele ecuații nu au rădăcini).

De obicei, atunci când rezolvă o ecuație, ei încearcă să înlocuiască această ecuație cu una mai simplă, dar echivalentă cu ea. O astfel de înlocuire se numește o transformare echivalentă a ecuației.

Transformările echivalente ale ecuației sunt următoarele transformări:

1. Transferul termenilor ecuației dintr-o parte a ecuației în alta cu semne opuse.

De exemplu, înlocuirea ecuației
ecuaţie
Există transformare echivalentă ecuații Aceasta înseamnă că ecuațiile
Și
sunt echivalente.

2. Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu același număr diferit de zero.

De exemplu, înlocuirea ecuației
ecuaţie
(ambele părți ale ecuației sunt înmulțite termen cu termen cu 10) este o transformare echivalentă a ecuației.

Următoarele transformări sunt transformări inegale ale ecuației:

1. Eliberarea de numitori care conțin variabile.
De exemplu, înlocuirea ecuației
ecuaţie
este o transformare inegală a ecuației. Ideea este că ecuația
are două rădăcini: 2 și −2, iar ecuația dată are valoarea
nu poate satisface (numitorul ajunge la zero). În astfel de cazuri ei spun așa:
rădăcină străină.
2. Punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației.

Dacă una dintre transformările neechivalente indicate a fost folosită în procesul de rezolvare a ecuației, atunci toate rădăcinile găsite trebuie verificate prin substituție în ecuația originală, deoarece pot exista rădăcini străine printre ele.

Definiție.

Domeniul ecuației
numit set
Unde
Și
– domenii de definire a funcţiilor fȘi g.

Exemplu

Adunând fracțiile din partea stângă, obținem ecuația

echivalent cu cel original. Aceeași ecuație, la rândul său, este echivalentă cu sistemul

Ecuația pătratică are rădăcini
Unde
- rădăcină străină.

Luați în considerare soluția ecuației

Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea

sau
sau
sau

Ecuații cu o variabilă sub semnul modulului
1. Valoarea absolută a numărului A(notat | A| ) este distanța de la punctul care reprezintă un număr dat a pe linia de coordonate până la origine.

Din definiţie rezultă că

Proprietățile de bază ale modulului

Exemplu

În mod clar, există două posibilități aici:
sau
Unde se ajunge ușor

Răspuns:
sau

Rețineți că atunci când rezolvați ecuații de formă

cea mai rațională cale este trecerea la agregat

Exemplu

Aici tehnica de mai sus ne eliberează de nevoia de a găsi intervale de semn constant al unui trinom pătratic cu rădăcini „neplăcute”.

Avem:

Răspuns:
sau
sau

Vezi sarcina 9 (Anexa 1).
Ecuații cu parametri
Puțină teorie.

Elevii întâlnesc parametri atunci când introduc anumite concepte. De exemplu, funcția de proporționalitate directă:

funcție liniară:

ecuație liniară:

ecuație pătratică:

Definiție. O ecuație - aspectul și soluția sa, care depind de valorile unuia sau mai multor parametri - se numește ecuație cu parametri.

Rezolvarea unei ecuații cu parametri înseamnă

1. Găsiți toate sistemele de valori ale parametrilor pentru care această ecuație are soluții.

2. Găsiți toate soluțiile pentru fiecare sistem găsit de valori ale parametrilor, adică necunoscutul și parametrii trebuie să aibă propriile intervale de valori acceptabile.

Exemplu:

Răspuns: Dacă
atunci nu există soluții; Exemplu:
Aceste ecuații sunt sarcini combinate, în procesul de rezolvare a ce algoritmi standard de rezolvare a ecuațiilor sunt elaborate, iar abilitățile de lucru cu intervalul de valori permise și de selectare a rădăcinilor sunt formate și consolidate. Aceste ecuații sunt destinate ca sarcini individuale pentru elevii puternici.

Aplicarea ecuațiilor.

Ecuații Navier-Stokes - sistem ecuatii diferentialeîn derivate parțiale, descriind mișcarea unui fluid vâscos. Ecuațiile Navier-Stokes sunt printre cele mai importante în hidrodinamică și sunt utilizate în modelarea matematică a multor fenomene naturale si probleme tehnice. Numit după fizicianul francez Louis Navier și matematicianul britanic George Stokes.

Sistemul constă dintr-o ecuație a mișcării și o ecuație de continuitate.

Una dintre aplicațiile sistemului de ecuații este de a descrie fluxurile din mantaua Pământului.

Variațiile ecuației sunt utilizate pentru a descrie mișcarea maselor de aer atmosferic, în special atunci când se formează o prognoză meteo. Analiza soluțiilor ecuației este esența uneia dintre problemele deschise, pentru soluția căreia Institutul de Matematică Clay a acordat un premiu de 1 milion de dolari SUA. Este necesar să se demonstreze sau să infirme existența unei soluții globale netede a problemei Cauchy pentru ecuațiile tridimensionale Navier-Stokes.
Lista literaturii folosite

1. 
   Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a VII-a: În două părți. Partea 1: Manual pentru învățământul general. Instituţiile. – Ed. a 5-a. – M.: Mnemosyne, 2002. – 160 p.: ill.
2. 
   Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a VIII-a: În două părți. Partea 1: Manual pentru învățământul general. Instituţiile. – Ed. a VI-a. – M.: Mnemosyne, 2004. – 223 p.: ill.
3. 
   A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Simulator algebric Yakir: un manual pentru școlari și solicitanți”/Ed. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. – M.: Ilexa, 2001 – 320 p.
4. 
   Krivonogov V.V. Sarcini nestandardizate la matematică: clasele 5-11. – M.: Editura „Întâi septembrie”, 2002. – 224 p.: ill.

Pagina 1

Numerele pot fi împărțite în mulțimi, în următoarea ordine de creștere a puterii -

1. Mulțime - o mulțime de numere prime (nu are divizori primi alții decât el însuși).
2. Set - un set de numere naturale.
3. Set - un set de numere întregi (acestea sunt numere naturale, zero și numere întregi negative).
4. Mulțime - o mulțime de numere raționale (acestea sunt numere întregi, sau numere care pot fi reprezentate ca o fracție, al căror numărător și numitor sunt numere întregi. Notație zecimală rațional este fie finit, fie reprezentabil ca o fracție, care conține în mod necesar repetiții periodice).

5. Mulțime - o submulțime de numere reale care pot fi reprezentate ca radicali peste câmpul numerelor reale. Aceasta include toate cele raționale (Q), precum și unele iraționale, de ex. . Mai exact, în această mulțime există numere care pot fi reprezentate sub forma unei notații cu ridicare la putere, unde puterea va fi un număr rațional, iar orice număr care este ridicat la o putere va fi un număr rațional pozitiv.

6. Mulțime - o submulțime de numere reale care pot fi reprezentate ca radicali în câmpul numerelor complexe. Aceasta include toate cele raționale (Q), precum și unele iraționale, de exemplu, care se vor dovedi a fi valabile în cele din urmă. Mai exact, în această mulțime există numere care pot fi reprezentate sub forma unei notații cu ridicare la putere, unde puterea este un număr rațional, iar numărul care este ridicat la putere este rațional și poate fi negativ. .

Diferența dintre setul 6 și setul 5. De exemplu, rădăcinile ecuației,
, sunt egale.
În același timp, se știe că ecuațiile cubice solubil în radicali. Aceasta înseamnă că aceleași rădăcini pot fi reprezentate sub forma unei notații cu numere, operații matematice și puteri.

Întrebare. Presupun că părțile acestei intrări vor fi numere complexe, de ex. nu te poți descurca fără ea. Vor fi rădăcini din numere negative Neapărat. Este corectă ipoteza?

Dacă ipoteza este corectă, atunci rădăcinile reale ale ecuațiilor cubice aparțin întotdeauna mulțimii, dar este posibil să nu aparțină mulțimii. Dar rădăcinile unei ecuații pătratice aparțin întotdeauna unei mulțimi de putere mică.

Întrebare. Sinusul argumentului (în grade) prezentat ca număr rațional aparține întotdeauna mulțimii (sau par), i.e. poate fi exprimat întotdeauna în radicali?

Dar să trecem la un set și mai puternic de numere. Rădăcinile reale ale unei ecuații de gradul 5 nu pot fi exprimate întotdeauna în radicali, adică. s-ar putea să nu fie incluse în , dar există un set în care sunt incluse -

7. Multe - multe numere algebrice, (subset de numere reale) . Această mulțime include toate rădăcinile reale posibile ale tuturor ecuațiilor algebrice posibile, de orice grad și cu orice coeficienți raționali.

Ce mulțimi mai puternice decât sunt considerate în matematică (fără a număra cele mai largi mulțimi - reale și complexe)? Nu am întâlnit altele mai puternice; de ​​obicei, dacă numărul nu este inclus în el, se numește pur și simplu transcendental. Și aș mai introduce un set -

8. Mulțime - un set de numere care pot fi rădăcinile oricărei ecuații matematice (nu neapărat algebrice), cu orice funcții cunoscute (cum ar fi sinus, funcție zeta, logaritm integral etc.), care pot fi extinse prezentate sub forma dintr-o serie sau mai multe rânduri. Să numim astfel de numere ANALITICE. Mai simplu spus, puteți specifica o descriere a dimensiunilor finale, astfel încât, din această descriere, puteți găsi orice cifră după virgulă a unui număr dat - la infinit.

Până acum, toate seturile luate în considerare au fost subseturi ale următoarelor, adică. submult, etc. - submult. Următorul set este separat (nu este inclus în el), dar cel mai puternic.

9. Set - un set de numere haotice. (haotic este definiția mea). Acesta este setul tuturor numerelor reale care nu sunt incluse în . Dacă un număr este inclus în , atunci acest număr nu poate fi reprezentat prin nicio descriere matematică a dimensiunilor finite (indiferent - serie, sau funcții etc.), i.e. dacă dăm o descriere a dimensiunilor finite, atunci nu vom putea folosi această descriere pentru a găsi vreo cifră după virgulă zecimală a unui număr dat - la infinit.

10. Set - mulțimea TOATE numerele reale. Aceasta este uniunea mulțimilor disjunctive și . Mai mult, o mulțime dintr-o mulțime are măsura zero. Acestea. în setul de numere reale, majoritatea numerelor sunt haotice, iar minoritatea sunt analitice.

11. Set - mulțimea tuturor numerelor complexe. A fost posibil să-l împărțim în subseturi similare (complex algebric, analitic, haotic etc.), dar cred că nu este necesar.

Este corectă clasificarea mea? Ce alte mulțimi au matematicienii care sunt submulțimi de numere transcendentale, dar nu sunt numere algebrice?

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătratic. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factoring.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor pătratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile unei ecuații pătratice sunt cunoscute, atunci un polinom de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

Apoi presupunem că sunt numere reale.
Sa luam in considerare discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătratic are forma:
.
Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă trasezi funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa x (axa) în două puncte ().
Când , graficul atinge axa x într-un punct ().
Când , graficul nu traversează axa x ().

Formule utile legate de ecuația pătratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru un polinom de gradul doi sub forma:
.
Aceasta arată că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem factorizarea trinomului pătratic:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 intersectează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa (axa) absciselor în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește de obicei multiplu. Adică, ei cred că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu intersectează axa x (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Vezi si:

Proiectul are în vedere o metodă pentru găsirea aproximativă a rădăcinilor unei ecuații algebrice - metoda Lobachevsky-Greffe. Ideea metodei, schema sa de calcul sunt definite în lucrare și sunt găsite condițiile de aplicabilitate a metodei. Este prezentată o implementare a metodei Lobachevsky-Greffe.

1 PARTEA TEORETICĂ 6

1.1 Enunțarea problemei 6

1.2 Ecuații algebrice 7

1.2.1 Concepte de bază despre ecuația algebrică 7

1.2.2 Rădăcinile ecuației algebrice 7

1.2.3 Numărul de rădăcini reale ale polinomului 9

1.3 Metoda Lobachevsky–Greffe pentru rezolvarea aproximativă a ecuațiilor algebrice 11

1.3.1 Ideea metodei 11

1.3.2 Rădăcini pătrate 13

2.1 Sarcina 1 16

2.2 Sarcina 2 18

2.4 Analiza rezultatelor obținute 20

LISTA DE REFERINȚE 23

INTRODUCERE

Tehnologia de calcul de astăzi oferă instrumente puternice pentru a face efectiv munca de numărare. Datorită acestui fapt, în multe cazuri a devenit posibilă abandonarea interpretării aproximative a problemelor aplicate și trecerea la rezolvarea problemelor într-o formulare exactă. Utilizarea rezonabilă a tehnologiei moderne de calcul este de neconceput fără aplicarea pricepută a metodelor de analiză aproximativă și numerică.

Metodele numerice au ca scop rezolvarea problemelor care apar în practică. Rezolvarea unei probleme folosind metode numerice se reduce la operații aritmetice și logice pe numere, ceea ce necesită utilizarea tehnologiei informatice, cum ar fi procesoarele de foi de calcul ale programelor moderne de birou pentru computerele personale.

Scopul disciplinei „Metode numerice” este de a găsi cea mai eficientă metodă pentru rezolvarea unei anumite probleme.

Rezolvarea ecuațiilor algebrice este una dintre problemele esențiale ale analizei aplicate, a cărei nevoie apare în numeroase și diverse secțiuni ale fizicii, mecanicii, tehnologiei și științelor naturii în sensul larg al cuvântului.

Acest proiect de curs este dedicat uneia dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor algebrice - metoda Lobachevsky-Greffe.

Scopul acestei lucrări este de a lua în considerare ideea metodei Lobachevsky-Greffe pentru rezolvarea problemelor algebrice și de a oferi o schemă de calcul pentru găsirea rădăcinilor reale folosind MS Office Excel. Proiectul examinează principalele probleme teoretice legate de găsirea rădăcinilor ecuațiilor algebrice folosind metoda Lobachevsky–Greffe.Partea practică a acestei lucrări prezintă soluții la ecuații algebrice folosind metoda Lobachevsky–Greffe.

1 PARTEA TEORETICĂ

1.1 Declarația problemei

Să fie dată o mulțime X de elemente x și o mulțime Y cu elemente y. Să presupunem, de asemenea, că pe mulțimea X este definit un operator, care atribuie fiecărui element x din X un element y din Y. Luați un element
și ne-am propus scopul de a găsi astfel de elemente
, pentru care este o imagine.

Această problemă este echivalentă cu rezolvarea ecuației

(1.1)

Pentru aceasta se pot pune următoarele probleme.

1. 
   Condiții pentru existența unei soluții a ecuației.
2. 
   Condiție pentru unicitatea unei soluții a ecuației.
3. 
   Un algoritm de soluție, în urma căruia ar fi posibil să se găsească, în funcție de scop și condiții, exact sau aproximativ toate soluțiile ecuației (1.1), sau oricare soluție specificată în prealabil, sau oricare dintre cele existente.

În continuare, vom lua în considerare ecuații în care x și y vor fi mărimi numerice, X, Y vor fi mulțimi ale valorilor lor, iar operatorul
va fi ceva funcție. În acest caz, ecuația (1.1) poate fi scrisă sub forma

(1.2)

În teoria metodelor numerice, se depune eforturi pentru a construi un proces de calcul cu ajutorul căruia se poate găsi o soluție a ecuației (1.2) cu o precizie predeterminată. In mod deosebit mare importanță au procese convergente care fac posibilă rezolvarea ecuației cu orice eroare, oricât de mică.

Sarcina noastră este să găsim, în general, aproximativ, elementul . În acest scop, se dezvoltă un algoritm care produce o secvență de soluții aproximative

, și în așa fel încât relația să fie valabilă

1.2 Ecuații algebrice

1.2.1 Concepte de bază despre ecuația algebrică

Luați în considerare algebricul ecuația a n-a grade

unde sunt coeficienții
sunt numere reale și
.

Teorema 1.1 (teorema fundamentală a algebrei). Ecuația algebrică de gradul al n-lea (1.3) are exact n rădăcini, reale și complexe, cu condiția ca fiecare rădăcină să fie numărată de câte ori multiplicitatea ei.

În acest caz, ei spun că rădăcina ecuației (1.3) are multiplicitatea s dacă
,
.

Rădăcinile complexe ale ecuației (1.3) au proprietatea conjugației perechi.

Teorema 1.2. Dacă coeficienții ecuației algebrice (1.3) sunt reali, atunci rădăcinile complexe ale acestei ecuații sunt conjugate complexe perechi, i.e. Dacă
(
sunt numere reale) este rădăcina ecuației (1.3), a multiplicității s, apoi numărul
este și rădăcina acestei ecuații și are aceeași multiplicitate s.

Consecinţă. O ecuație algebrică de grad impar cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală.

1.2.2 Rădăcinile unei ecuații algebrice

Dacă
sunt rădăcinile ecuației (1.3), atunci partea stângă are următoarea expansiune:
. (1.6)
Înmulțind binoamele din formula (1.6) și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x din stânga și dreapta egalității (1.6), obținem relațiile dintre rădăcinile și coeficienții ecuației algebrice (1.3):

(1.7)
Dacă luăm în considerare multiplicitățile rădăcinilor, atunci expansiunea (1.6) ia forma
,
Unde
–rădăcini diferite ale ecuației (1) și
– multiplicitatea lor, și
.

Derivat
se exprimă după cum urmează:

unde Q(x) este un polinom astfel încât

la k=1,2,…,m

Prin urmare polinomul

este cel mai mare divizor comun polinom
și derivatul său
, și poate fi găsit folosind algoritmul euclidian. Să facem un coeficient

,
și obținem un polinom

cu cote reale
, A 1 , A 2 ,…, A m , ale căror rădăcini
sunt diferite.

Astfel, rezolvarea unei ecuații algebrice cu rădăcini multiple se reduce la rezolvarea unei ecuații algebrice de ordin inferior cu rădăcini diferite.

1.2.3 Numărul de rădăcini reale ale unui polinom

O idee generală a numărului de rădăcini reale ale ecuației (1.3) pe intervalul (a,b) este dată de graficul funcției
, unde rădăcinile
sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Să notăm câteva proprietăți ale polinomului P(x):

1. 
   Dacă P(a)P(b)
2. 
   Dacă P(a)P(b)>0, atunci pe intervalul (a, b) există un număr par sau nicio rădăcină a polinomului P(x).

Problema numărului de rădăcini reale ale unei ecuații algebrice pe un interval dat este rezolvată prin metoda Sturm.

Definiție. Să fie dat un sistem finit ordonat de numere reale diferite de zero:

,,…,
(1.9)
Se spune că pentru o pereche de elemente adiacente ,
sistemul (1.9) are loc o schimbare de semn dacă aceste elemente au semne opuse, i.e.

,
și nu există nicio schimbare de semn dacă semnele lor sunt aceleași, adică.

.
Definiție. Numărul total modificări ale semnelor tuturor perechilor de elemente învecinate ,
sistemul (1.9) se numește numărul de modificări de semn în sistem (1.9).

Definiție. Pentru un polinom dat P(x), sistemul Sturm este sistemul de polinoame

,
,
,
,…,
,

Unde
, – restul luat cu semnul opus la împărțirea unui polinom la , – restul luat cu semnul opus la împărțirea unui polinom la etc.

Observație 1. Dacă un polinom nu are rădăcini multiple, atunci ultimul element al sistemului Sturm este un număr real diferit de zero.

Observație 2. Elementele sistemului Sturm pot fi calculate până la un factor numeric pozitiv.

Să notăm cu N(c) numărul de schimbări de semn în sistemul Sturm la x=c, cu condiția ca elementele zero ale acestui sistem să fie tăiate.

Teorema 1.5. (teorema lui Sturm). Dacă polinomul P(x) nu are mai mulți cai și
,
, apoi numărul rădăcinilor sale reale
pe interval
exact egal cu numărul de modificări de semn pierdute în sistemul Sturm al polinomului
la mutarea din
inainte de
, adică

.
Corolarul 1. Dacă
, apoi numărul
pozitiv și număr
rădăcinile negative ale polinomului sunt, respectiv, egale

,

.
Corolarul 2. Pentru ca toate rădăcinile unui polinom P(x) de gradul n, care nu are rădăcini multiple, să fie reale, este necesar și suficient ca condiția să fie îndeplinită
.
Astfel, în ecuația (1.3) toate rădăcinile vor fi valide dacă și numai dacă:


Folosind sistemul Sturm, puteți separa rădăcinile unei ecuații algebrice împărțind intervalul (a,b), care conține toate rădăcinile reale ale ecuației, într-un număr finit de intervale parțiale
astfel încât

.

1.3 Metoda Lobachevsky–Greffe pentru rezolvarea aproximativă a ecuațiilor algebrice

1.3.1 Ideea metodei

Se consideră ecuația algebrică (1.3).

Să ne prefacem că

, (1.15)
acestea. rădăcinile sunt diferite ca modul, iar modulul fiecărei rădăcini anterioare este semnificativ mai mare decât modulul următoarei. Cu alte cuvinte, să presupunem că raportul dintre oricare două rădăcini adiacente, numărând în ordinea descrescătoare a numerelor lor, este o cantitate mică în valoare absolută:

, (1.16)

Unde
Și – valoare mică. Astfel de rădăcini se numesc separate.

(1.17)
Unde , ,…, – cantități care sunt mici în valoare absolută în comparație cu unitatea. Neglijând în sistemul (1.17) cantitățile
, vom avea relatii aproximative

(1.18)
Unde găsim rădăcini?

(1.19)
Precizia rădăcinilor în sistemul de egalități (1.20) depinde de cât de mici în valoare absolută sunt cantitățile în relații (1.16)

Pentru a realiza separarea rădăcinilor, pe baza ecuației (1.3), ele compun ecuația transformată

, (1.20)
ale căror rădăcini , ,…, sunt m-e grade rădăcini , ,…, ecuația (1.3).

Dacă toate rădăcinile ecuației (1.3) sunt diferite și modulele lor îndeplinesc condiția (1.17), atunci pentru un m suficient de mare rădăcinile , ,..., ale ecuației (1.20) vor fi separate, deoarece

la
.
Evident, este suficient să construiești un algoritm pentru găsirea unei ecuații ale cărei rădăcini vor fi pătratele rădăcinilor ecuația dată. Atunci se va putea obține o ecuație ale cărei rădăcini vor fi egale cu rădăcinile ecuației inițiale la putere
.

1.3.2 Rădăcini pătrate

Scriem polinomul (1.3) în forma următoare

Și înmulțiți-l cu un polinom de forma

Apoi primim

Făcând un înlocuitor
și înmulțind cu
, vom avea
. (1.21)
Rădăcinile polinomului (1.21) sunt legate de rădăcinile polinomului (1.3) prin următoarea relație

.
Prin urmare, ecuația care ne interesează este
,
ai căror coeficienți sunt calculați folosind formula (1.22)


, (1.22)
unde se presupune că
la
.

Aplicând succesiv de k ori procesul de pătrare a rădăcinilor la polinomul (1.3), obținem polinomul

, (1.23)
in care
,
, etc.

Pentru k suficient de mare, este posibil să ne asigurăm că rădăcinile ecuației (1.23) satisfac sistemul

(1.24)
Să determinăm numărul k pentru care sistemul (1.24) este satisfăcut cu o precizie dată.

Să presupunem că k necesar a fost deja atins și egalitățile (1.24) sunt satisfăcute cu precizia acceptată. Să mai facem o transformare și să găsim polinomul

,
pentru care sistem (1.24) este valabil și pentru
.

Deoarece în virtutea formulei (1.22)

, (1.25)
apoi, substituind (1.25) in sistemul (1.24), obtinem ca valorile absolute ale coeficientilor
trebuie să fie egală cu precizia acceptată a pătratelor coeficienților
. Îndeplinirea acestor egalități va indica faptul că valoarea cerută a lui k a fost deja atinsă la pasul k.

Astfel, pătrarea rădăcinilor ecuației (1.3) ar trebui oprită dacă, în acuratețea acceptată, doar coeficienții pătrați sunt reținuți în partea dreaptă a formulei (1.24), iar suma dublată a produselor este sub limita de precizie.

Apoi rădăcinile reale ale ecuației sunt separate și modulele lor sunt găsite prin formula

(1.26)
Semnul rădăcinii poate fi determinat printr-o estimare aproximativă prin înlocuirea valorilor Și
în ecuația (1.3).

2 PARTEA PRACTICĂ

2.1 Sarcina 1

. (2.1)
Mai întâi, să stabilim numărul de rădăcini reale și complexe din ecuația (2.1). Pentru a face acest lucru, vom folosi teorema lui Sturm.

Sistemul Sturm pentru ecuația (2.1) va avea următoarea formă:

De unde o luăm?
Tabelul 2.1.

Polinom	Puncte pe axa reală
	+	+
	–	+
	–	–
	–	+
	–	–
Numărul de modificări de semn	1	3

Astfel, constatăm că numărul de rădăcini reale din ecuația (2.1) este egal cu
,
acestea. ecuația (2.1) conține 2 rădăcini reale și două complexe.

Pentru a găsi rădăcinile ecuației, folosim metoda Lobachevsky-Greffe pentru o pereche de rădăcini conjugate complexe.

Să punem la pătrat rădăcinile ecuației. Coeficienții au fost calculați folosind următoarea formulă

, (2.2)
Unde

, (2.3)
A
considerat egal cu 0 când
.

Rezultatele calculelor cu opt cifre semnificative sunt prezentate în Tabelul 2.2

Tabelul 2.2.

i	0	1	2	3	4
	0	-3,8000000E+01	3.5400000E+02	3.8760000E+03	0
	1	4.3000000E+01	7.1500000E+02	4.8370000E+03	1.0404000E+04
	0	-1,4300000E+03	-3,9517400E+05	-1,4877720E+07	0
	1	4.1900000E+02	1.1605100E+05	8.5188490E+06	1.0824322E+08
	0	-2.3210200E+05	-6.9223090E+09	-2,5123467E+13	0
	1	-5,6541000E+04	6.5455256E+09	4.7447321E+13	1.1716594E+16
	0	-1,3091051E+10	5.3888712E+18	-1,5338253E+26	0
	1	-9,8941665E+09	4.8232776E+19	2.0978658E+27	1,3727857E+32
	0	-9,6465552E+19	4.1513541E+37	-1,3242653E+52	0
	1	1.4289776E+18	2.3679142E+39	4.3877982E+54	1,8845406E+64
	0	-4,7358285E+39	-1,2540130E+73	-8.9248610+103	0
	1	-4,7337865E+39	5.6070053E+78	1.9252683+109	3.5514932+128
	0	-1,1214011E+79	1.8227619+149	-3.9826483+207	0
	1	1,1194724E+79	3.1438509+157	3.7066582+218	1.2613104+257

După cum se poate vedea din Tabelul 2.2 la pasul 7 rădăcinile , (numărând în ordinea descrescătoare a modulelor) pot fi considerate separate. Găsim modulele rădăcinilor folosind formula (1.27) și determinăm semnul lor folosind o estimare aproximativă:

Deoarece coeficientul convertit la își schimbă semnul, atunci această ecuație are rădăcini complexe, care sunt determinate din ecuația (1.31) folosind formulele (1.29) și (1.30):

i.

2.2 Sarcina 2

Folosind metoda Lobachevsky–Greffe, rezolvați ecuația:
. (2.4)
Pentru început, folosind teorema lui Sturm, determinăm numărul de rădăcini reale și complexe din ecuația (2.2).

Pentru această ecuație, sistemul Sturm are forma

De unde o luăm?

Tabelul 2.3.

Polinom	Puncte pe axa reală
	+	+
	–	+
	+	+
	–	+
	–	–
Numărul de modificări de semn	3	1

Astfel, constatăm că numărul de rădăcini reale din ecuația (2.2) este egal cu

,
acestea. ecuația (2.2) conține 2 rădăcini reale și două complexe.

Pentru a găsi aproximativ rădăcinile ecuației, vom folosi metoda Lobachevsky-Greffe pentru o pereche de rădăcini conjugate complexe.

Să punem la pătrat rădăcinile ecuației. Vom calcula coeficienții folosind formulele (2.2) și (2.3).

Rezultatele calculelor cu opt cifre semnificative sunt prezentate în Tabelul 2.4

Tabelul 2.4.
-1,8886934E+24 4,6649263E+47 i.
Eroarea relativă a rădăcinilor, calculată folosind formula (1.28) este egală cu
,

.

2.4 Analiza rezultatelor obtinute

Din ecuațiile obținute la rezolvarea ecuațiilor (2.1) și (2.4), se pot aprecia următoarele caracteristici ale metodei Lobachevsky–Greffe.

Folosind metoda luată în considerare, puteți găsi toate rădăcinile unui polinom cu o precizie destul de mare, cu un număr mic de iterații.

Mărimea erorii rădăcinilor rezultate depinde în mare măsură de separarea rădăcinilor în polinomul original, de exemplu, în ecuația (2.1) diferența minimă între rădăcini de modul diferit este egală cu
Și
în ecuația (2.4), care are ca rezultat erori de ordine diferite (4.52958089E–11 și, respectiv, 4.22229789E–06) pentru același număr de iterații.

Astfel, metoda Lobachevsky-Greffe oferă o precizie bună pentru rădăcinile separate și pierde semnificativ pentru rădăcinile multiple sau similare.

CONCLUZIE

Metoda Lobachevsky-Greffe, care a fost luată în considerare în acest proiect, are o schemă simplă de calcul și permite utilizarea Excel pentru a găsi cu mare precizie modulul tuturor rădăcinilor unei ecuații algebrice,

Metoda Lobachevsky-Greffe este una dintre cele mai multe metode eficiente calcule, care cu un număr mic de iterații dau rezultate cu o precizie destul de bună, astfel încât domeniul de aplicare a acestei metode în practică este foarte larg. Metoda poate fi utilizată în construirea modelelor matematice ale proceselor chimice și fizice și în metode de optimizare.

LISTA DE LINKURI

1. V.P. Demidovich, I.A. Maro. Fundamentele matematicii computaționale – M.: Nauka, 1966.–664 p.

2. V.L. Zaguskin. Manual de metode numerice de rezolvare a ecuațiilor algebrice și transcendentale – M.: Editura de Stat de Literatură Fizică și Matematică, 1960.–216 p.

3. V.I. Krylov, V.V. Bobkov, P.I. monahală. Metode de calcul ale matematicii superioare – Minsk: Higher School, 1972, vol. 1.–584 p.

4. A.G. Kurosh. Curs de algebră superioară – M.: Nauka, 1971, – 432 p.

5. Yu.I. Ryzhikov. PowerStation de programare Fortran pentru ingineri. Ghid practic.– Sankt Petersburg: print CORONA, 1999. – 160 p.

i	0	1	2	3	4
	0	-9,2000000E+00	-3,3300000E+01	1.3800000E+02	0

etc. este de natură educaţională generală şi are o mare importanţă pentru studierea ÎNTREGIULUI curs de matematică superioară. Astăzi vom repeta ecuațiile „școlare”, dar nu doar pe cele „școală” - ci pe cele care se găsesc peste tot în diverse sarcini vyshmat. Ca de obicei, povestea va fi spusă într-un mod aplicat, adică. Nu mă voi concentra pe definiții și clasificări, ci vă voi împărtăși exact experienta personala solutii. Informațiile sunt destinate în primul rând începătorilor, dar cititorii mai avansați vor găsi și multe puncte interesante pentru ei înșiși. Și bineînțeles că va exista material nou, a merge dincolo de liceu.

Deci ecuația... Mulți își amintesc acest cuvânt cu un înfior. Care sunt ecuațiile „sofisticate” cu rădăcini... ...uitați de ele! Pentru că atunci vei întâlni cei mai inofensivi „reprezentanți” ai acestei specii. Sau plictisitor ecuații trigonometrice cu zeci de metode de rezolvare. Sincer să fiu, nu mi-au plăcut chiar eu... Nu vă panicați! – atunci mai ales „păpădie” vă așteaptă cu o soluție evidentă în 1-2 pași. Deși „brusturele” cu siguranță se agață, aici trebuie să fii obiectiv.

Destul de ciudat, în matematica superioară este mult mai comun să se ocupe de ecuații foarte primitive, cum ar fi liniar ecuații

Ce înseamnă să rezolvi această ecuație? Aceasta înseamnă găsirea unei astfel de valori a lui „x” (rădăcină) care o transformă într-o adevărată egalitate. Să aruncăm „trei” la dreapta cu o schimbare de semn:

și aruncați „doi” în partea dreaptă (sau, același lucru - înmulțiți ambele părți cu) :

Pentru a verifica, să înlocuim trofeul câștigat în ecuația originală:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că valoarea găsită este într-adevăr rădăcina acestei ecuații. Sau, după cum se spune, satisface această ecuație.

Vă rugăm să rețineți că rădăcina poate fi scrisă și sub formă zecimal:
Și încercați să nu rămâneți la acest stil prost! Am repetat motivul de mai multe ori, în special, chiar la prima lecție despre algebră superioară.

Apropo, ecuația poate fi rezolvată și „în arabă”:

Și ceea ce este cel mai interesant este că această înregistrare este complet legală! Dar dacă nu ești profesor, atunci este mai bine să nu faci asta, pentru că originalitatea se pedepsește aici =)

Și acum puțin despre

metoda de rezolvare grafica

Ecuația are forma și rădăcina ei este Coordonata "X". puncte de intersecție graficul funcției liniare cu graficul unei funcții liniare (axa x):

S-ar părea că exemplul este atât de elementar încât nu mai este nimic de analizat aici, dar încă o nuanță neașteptată poate fi „storsă” din el: să prezentăm aceeași ecuație sub forma și să construim grafice ale funcțiilor:

în care, va rog sa nu confundati cele doua concepte: o ecuație este o ecuație și funcţie– aceasta este o funcție! Funcții doar ajutor găsiți rădăcinile ecuației. Dintre care pot fi două, trei, patru sau chiar la infinit. Cel mai apropiat exemplu în acest sens este binecunoscutul ecuație pătratică, algoritmul de soluție pentru care a primit un paragraf separat formule școlare „fierbinte”.. Și asta nu este o coincidență! Dacă poți rezolva o ecuație pătratică și știi teorema lui Pitagora, atunci, s-ar putea spune, „jumătate din matematica superioară e deja în buzunar” =) Exagerat, desigur, dar nu atât de departe de adevăr!

Prin urmare, să nu fim leneși și să rezolvăm o ecuație pătratică folosind algoritm standard:

, ceea ce înseamnă că ecuația are două diferite valabil rădăcină:

Este ușor de verificat că ambele valori găsite satisfac de fapt această ecuație:

Ce să faci dacă ai uitat brusc algoritmul de soluție și nu există mijloace/mâini de ajutor la îndemână? Această situație poate apărea, de exemplu, în timpul unui test sau examen. Folosim metoda grafica! Și există două moduri: poți construi punct cu punct parabolă , aflând astfel unde intersectează axa (daca trece deloc). Dar este mai bine să faceți ceva mai viclean: imaginați-vă ecuația în formă, desenați mai multe grafice funcții simple- Și Coordonatele „X”. punctele lor de intersecție sunt clar vizibile!


Dacă se dovedește că linia dreaptă atinge parabola, atunci ecuația are două rădăcini (multiple) care se potrivesc. Dacă se dovedește că linia dreaptă nu intersectează parabola, atunci nu există rădăcini reale.

Pentru a face acest lucru, desigur, trebuie să fiți capabil să construiți grafice ale funcţiilor elementare, dar pe de altă parte, chiar și un școlar poate face aceste abilități.

Și din nou - o ecuație este o ecuație, iar funcțiile , sunt funcții care doar ajutat rezolva ecuatia!

Și aici, apropo, ar fi potrivit să ne amintim încă un lucru: dacă toți coeficienții unei ecuații sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, atunci rădăcinile acesteia nu se vor schimba.

Deci, de exemplu, ecuația are aceleasi radacini. Ca o simplă „dovadă”, voi scoate constanta din paranteze:
și o voi îndepărta fără durere (Voi împărți ambele părți la „minus doi”):

DAR! Dacă luăm în considerare funcția , atunci nu poți scăpa de constantă aici! Este permis doar să scoateți multiplicatorul din paranteze: .

Mulți oameni subestimează metoda de soluție grafică, considerând-o ceva „nedemn”, iar unii chiar uită complet de această posibilitate. Și acest lucru este fundamental greșit, deoarece reprezentarea graficelor uneori salvează situația!

Un alt exemplu: să presupunem că nu vă amintiți rădăcinile celei mai simple ecuații trigonometrice: . Formula generală este în manualele școlare, în toate cărțile de referință despre matematică elementară, dar nu vă sunt disponibile. Cu toate acestea, rezolvarea ecuației este critică (numită „două”). Există o ieșire! - construiți grafice ale funcțiilor:


după care notăm calm coordonatele „X” ale punctelor lor de intersecție:

Există infinit de rădăcini, iar în algebră notația lor condensată este acceptată:
, Unde ( – mulţime de numere întregi) .

Și, fără „a pleca”, câteva cuvinte despre metoda grafică de rezolvare a inegalităților cu o variabilă. Principiul este același. Deci, de exemplu, soluția inegalității este orice „x”, deoarece Sinusoidul se află aproape complet sub linia dreaptă. Soluția inegalității este setul de intervale în care piesele sinusoidei se află strict deasupra liniei drepte. (axa x):

sau, pe scurt:

Dar iată numeroasele soluții la inegalitate: gol, deoarece niciun punct al sinusoidei nu se află deasupra liniei drepte.

Există ceva ce nu înțelegi? Studiați urgent lecțiile despre seturiȘi grafice de funcții!

Hai sa ne incalzim:

Exercitiul 1

Rezolvați grafic următoarele ecuații trigonometrice:

Răspunsuri la sfârșitul lecției

După cum puteți vedea, pentru a studia științele exacte nu este deloc necesar să înghesuiți formule și cărți de referință! În plus, aceasta este o abordare fundamental defectuoasă.

După cum v-am asigurat deja la începutul lecției, ecuațiile trigonometrice complexe dintr-un curs standard de matematică superioară trebuie rezolvate extrem de rar. Toată complexitatea, de regulă, se termină cu ecuații ca , a căror soluție este două grupuri de rădăcini care provin din cele mai simple ecuații și . Nu vă faceți griji prea mult cu privire la rezolvarea acesteia din urmă - uitați-vă într-o carte sau găsiți-o pe Internet =)

Metoda de rezolvare grafică poate ajuta și în cazuri mai puțin banale. Luați în considerare, de exemplu, următoarea ecuație „ragtag”:

Perspectivele soluției sale arată... nu arată deloc ca nimic, dar trebuie doar să vă imaginați ecuația sub forma , construiți grafice de funcțiiși totul se va dovedi a fi incredibil de simplu. Există un desen în mijlocul articolului despre funcții infinitezimale (se va deschide în fila următoare).

Folosind aceeași metodă grafică, puteți afla că ecuația are deja două rădăcini, iar una dintre ele este egală cu zero, iar cealaltă, aparent, iraţional si apartine segmentului . Această rădăcină poate fi calculată aproximativ, de exemplu, metoda tangentei. Apropo, în unele probleme, se întâmplă că nu trebuie să găsiți rădăcinile, ci să aflați ele exista deloc?. Și aici, un desen poate ajuta - dacă graficele nu se intersectează, atunci nu există rădăcini.

Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi.
Schema Horner

Și acum vă invit să vă îndreptați privirea către Evul Mediu și să simțiți atmosfera unică a algebrei clasice. Pentru o mai bună înțelegere a materialului, vă recomand să citiți măcar puțin numere complexe.

Ei sunt cei mai buni. Polinomiale.

Obiectul nostru de interes vor fi cele mai comune polinoame de forma cu întreg coeficienți Numar natural numit gradul de polinom, număr – coeficient de cel mai înalt grad (sau doar cel mai mare coeficient), iar coeficientul este membru gratuit.

Voi desemna pe scurt acest polinom prin .

Rădăcinile unui polinom numiți rădăcinile ecuației

Adora logica de fier =)

Pentru exemple, mergeți chiar la începutul articolului:

Nu există probleme cu găsirea rădăcinilor polinoamelor de gradul 1 și 2, dar pe măsură ce creșteți această sarcină devine din ce în ce mai dificilă. Deși, pe de altă parte, totul este mai interesant! Și exact asta îi va fi dedicată a doua parte a lecției.

În primul rând, literalmente jumătate din ecranul teoriei:

1) Conform corolarului teorema fundamentală a algebrei, polinomul de grad are exact complex rădăcini. Unele rădăcini (sau chiar toate) pot fi deosebite valabil. Mai mult, printre rădăcinile reale pot exista rădăcini identice (multiple). (minimum doua, maxim bucati).

Dacă un număr complex este rădăcina unui polinom, atunci conjuga numărul său este, în mod necesar, și rădăcina acestui polinom (rădăcinile complexe conjugate au forma ).

Cel mai simplu exemplu este o ecuație pătratică care a apărut pentru prima dată în 8 (ca) clasa și pe care în cele din urmă l-am „terminat” în subiect numere complexe. Permiteți-mi să vă reamintesc: o ecuație pătratică are fie două rădăcini reale diferite, fie rădăcini multiple, fie conjugă rădăcini complexe.

2) De la teorema lui Bezout rezultă că, dacă un număr este rădăcina unei ecuații, atunci polinomul corespunzător poate fi factorizat:
, unde este un polinom de grad .

Și din nou, vechiul nostru exemplu: deoarece este rădăcina ecuației, atunci . După care nu este greu să obțineți cunoscuta expansiune „școală”.

Corolarul teoremei lui Bezout are o mare valoare practică: dacă cunoaștem rădăcina unei ecuații de gradul 3, atunci o putem reprezenta sub forma iar din ecuația pătratică se află ușor rădăcinile rămase. Dacă cunoaștem rădăcina unei ecuații de gradul 4, atunci este posibil să extindem partea stângă într-un produs etc.

Și aici sunt două întrebări:

Întrebarea unu. Cum să găsești tocmai această rădăcină? În primul rând, să-i definim natura: în multe probleme de matematică superioară este necesar să găsim raţional, în special întreg rădăcinile polinoamelor și, în acest sens, în continuare ne vor interesa în principal ele.... ...sunt atât de bune, atât de pufoase, încât vrei doar să le găsești! =)

Primul lucru care îmi vine în minte este metoda de selecție. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Captura aici este în termenul liber - dacă ar fi egal cu zero, atunci totul ar fi bine - scoatem „x” din paranteze și rădăcinile înseși „cad” la suprafață:

Dar termenul nostru liber este egal cu „trei” și, prin urmare, începem să înlocuim în ecuație numere diferite, pretinzând că este „rădăcina”. În primul rând, înlocuirea unor valori individuale se sugerează. Să înlocuim:

Primit incorect egalitatea, astfel, unitatea „nu se potrivea”. Ei bine, hai să înlocuim:

Primit Adevărat egalitate! Adică, valoarea este rădăcina acestei ecuații.

Pentru a găsi rădăcinile unui polinom de gradul 3, există o metodă analitică (așa-numitele formule Cardano), dar acum ne interesează o sarcină puțin diferită.

Deoarece - este rădăcina polinomului nostru, polinomul poate fi reprezentat sub formă și apare A doua întrebare: cum să găsești un „frate mai mic”?

Cele mai simple considerații algebrice sugerează că pentru a face acest lucru trebuie să împărțim la . Cum se împarte un polinom la un polinom? Aceeași metodă școlară care împarte numerele obișnuite - „coloană”! Am discutat despre această metodă în detaliu în primele exemple ale lecției. Limite complexe, iar acum ne vom uita la o altă metodă, care se numește Schema Horner.

Mai întâi scriem polinomul „cel mai înalt”. cu toata lumea , inclusiv coeficienți zero:
, după care introducem acești coeficienți (strict în ordine) în rândul de sus al tabelului:

Scriem rădăcina în stânga:

Voi face imediat o rezervare că schema lui Horner funcționează și dacă numărul „roșu”. Nu este rădăcina polinomului. Totuși, să nu grăbim lucrurile.

Înlăturăm coeficientul de conducere de mai sus:

Procesul de umplere a celulelor inferioare amintește oarecum de broderie, unde „minus unu” este un fel de „ac” care pătrunde în pașii următori. Înmulțim numărul „portat în jos” cu (–1) și adăugăm numărul din celula de sus la produs:

Înmulțim valoarea găsită cu „acul roșu” și adăugăm următorul coeficient de ecuație la produs:

Și, în sfârșit, valoarea rezultată este din nou „procesată” cu „ac” și coeficientul superior:

Zeroul din ultima celulă ne spune că polinomul este împărțit în fără urmă (cum ar trebui să fie), în timp ce coeficienții de expansiune sunt „eliminați” direct din linia de jos a tabelului:

Astfel, am trecut de la ecuație la o ecuație echivalentă și totul este clar cu cele două rădăcini rămase (în acest caz obținem rădăcini complexe conjugate).

Ecuația, de altfel, poate fi rezolvată și grafic: plot "fulger" și vezi că graficul traversează axa x () la punctul . Sau același truc „sprețuitor” - rescriem ecuația în forma , desenăm grafice elementare și detectăm coordonata „X” a punctului lor de intersecție.

Apropo, graficul oricărui polinom-funcție de gradul 3 intersectează axa cel puțin o dată, ceea ce înseamnă că ecuația corespunzătoare are macar unu valabil rădăcină. Acest fapt este valabil pentru orice funcție polinomială de grad impar.

Și aici aș vrea să mă opresc punct important care se referă la terminologie: polinomȘi funcţie polinomială – nu e acelasi lucru! Dar, în practică, ei vorbesc adesea, de exemplu, despre „graficul unui polinom”, care, desigur, este neglijență.

Cu toate acestea, să revenim la schema lui Horner. După cum am menționat recent, această schemă funcționează pentru alte numere, dar dacă numărul Nu este rădăcina ecuației, atunci în formula noastră apare o adunare diferită de zero (restul):

Să „rulăm” valoarea „nereușită” conform schemei lui Horner. În acest caz, este convenabil să folosiți același tabel - scrieți un nou „ac” în stânga, mutați coeficientul de conducere de sus (săgeata verde stânga), și plecăm:

Pentru a verifica, să deschidem parantezele și să prezentăm termeni similari:
, BINE.

Este ușor de observat că restul („șase”) este exact valoarea polinomului la . Și de fapt - cum este:
, și chiar mai frumos - așa:

Din calculele de mai sus este ușor de înțeles că schema lui Horner permite nu numai factorizarea polinomului, ci și efectuarea unei selecții „civilizate” a rădăcinii. Vă sugerez să consolidați singur algoritmul de calcul cu o mică sarcină:

Sarcina 2

Folosind schema lui Horner, găsiți rădăcina întreagă a ecuației și factorizați polinomul corespunzător

Cu alte cuvinte, aici trebuie să verificați succesiv numerele 1, –1, 2, –2, ... – până când un rest zero este „tras” în ultima coloană. Aceasta va însemna că „acul” acestei linii este rădăcina polinomului

Este convenabil să aranjați calculele într-un singur tabel. Soluție detaliată și răspuns la sfârșitul lecției.

Metoda de selectare a rădăcinilor este bună pentru cazuri relativ simple, dar dacă coeficienții și/sau gradul polinomului sunt mari, atunci procesul poate dura mult timp. Sau poate că există niște valori din aceeași listă 1, –1, 2, –2 și nu are rost să luăm în considerare? Și, în plus, rădăcinile se pot dovedi a fi fracționate, ceea ce va duce la o înțepătură complet neștiințifică.

Din fericire, există două teoreme puternice care pot reduce semnificativ căutarea valorilor „candidate” pentru rădăcini raționale:

Teorema 1 Sa luam in considerare ireductibil fracție , unde . Dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci termenul liber se împarte la, iar coeficientul principal este împărțit la.

În special, dacă coeficientul principal este , atunci această rădăcină rațională este un număr întreg:

Și începem să exploatăm teorema doar cu acest detaliu gustos:

Să revenim la ecuație. Deoarece coeficientul său de conducere este , atunci rădăcinile raționale ipotetice pot fi exclusiv întregi, iar termenul liber trebuie în mod necesar împărțit în aceste rădăcini fără rest. Iar „trei” pot fi împărțiți doar în 1, –1, 3 și –3. Adică avem doar 4 „candidați rădăcină”. Și, conform Teorema 1, alte numere raționale nu pot fi rădăcini ale acestei ecuații ÎN PRINCIPIUL.

Există puțin mai mulți „concurenți” în ecuație: termenul liber este împărțit în 1, –1, 2, – 2, 4 și –4.

Vă rugăm să rețineți că numerele 1, –1 sunt „obișnuite” ale listei de rădăcini posibile (o consecință evidentă a teoremei) si majoritatea cea mai buna alegere pentru verificarea prioritară.

Să trecem la exemple mai semnificative:

Problema 3

Soluţie: deoarece coeficientul de conducere este , atunci rădăcinile raționale ipotetice pot fi numai întregi și trebuie să fie în mod necesar divizori ai termenului liber. „Minus patruzeci” este împărțit în următoarele perechi de numere:
– în total 16 „candidați”.

Și aici apare imediat un gând tentant: este posibil să îndepărtezi toate rădăcinile negative sau toate cele pozitive? În unele cazuri este posibil! Voi formula două semne:

1) Dacă Toate Dacă coeficienții polinomului sunt nenegativi sau toți nepozitivi, atunci acesta nu poate avea rădăcini pozitive. Din păcate, acesta nu este cazul nostru (Acum, dacă ni s-a dat o ecuație - atunci da, atunci când înlocuim orice valoare a polinomului, valoarea polinomului este strict pozitivă, ceea ce înseamnă că toate numerele pozitive (și iraționale de asemenea) nu pot fi rădăcini ale ecuației.

2) Dacă coeficienții pentru puterile impare sunt nenegativi și pentru toate puterile pare (inclusiv membru gratuit) sunt negative, atunci polinomul nu poate avea rădăcini negative. Sau „oglindă”: coeficienții puterilor impare sunt nepozitivi, iar pentru toate puterile pare sunt pozitivi.

Acesta este cazul nostru! Privind puțin mai atent, puteți vedea că atunci când înlocuiți orice „X” negativ în ecuație, partea stângă va fi strict negativă, ceea ce înseamnă că rădăcinile negative dispar.

Astfel, au mai rămas 8 numere pentru cercetare:

Le „încărcăm” secvenţial conform schemei lui Horner. Sper că ai stăpânit deja calculele mentale:

Norocul ne-a așteptat la testarea celor „doi”. Astfel, este rădăcina ecuației luate în considerare și

Rămâne să studiem ecuația . Acest lucru este ușor de făcut prin discriminant, dar voi efectua un test orientativ folosind aceeași schemă. În primul rând, să remarcăm că termenul liber este egal cu 20, ceea ce înseamnă Teorema 1 numerele 8 și 40 ies din lista de rădăcini posibile, lăsând valorile pentru cercetare (unul a fost eliminat conform schemei lui Horner).

Scriem coeficienții trinomului în rândul de sus al noului tabel și Începem să verificăm cu același „doi”. De ce? Și pentru că rădăcinile pot fi multiple, vă rog: - această ecuație are 10 rădăcini identice. Dar să nu ne lăsăm distrași:

Și aici, desigur, mințeam puțin, știind că rădăcinile sunt raționale. La urma urmei, dacă ar fi iraționale sau complexe, atunci m-aș confrunta cu o verificare nereușită a tuturor numerelor rămase. Prin urmare, în practică, fiți ghidat de discriminant.

Răspuns: rădăcini raționale: 2, 4, 5

În problema pe care am analizat-o, am avut noroc, pentru că: a) valorile negative au căzut imediat și b) am găsit rădăcina foarte repede (și teoretic am putut verifica întreaga listă).

Dar, în realitate, situația este mult mai rea. Vă invit să urmăriți un joc interesant numit „Ultimul erou”:

Problema 4

Găsiți rădăcinile raționale ale ecuației

Soluţie: De Teorema 1 numeratorii rădăcinilor raţionale ipotetice trebuie să îndeplinească condiţia (citim „doisprezece este împărțit cu el”), iar numitorii corespund condiției . Pe baza acestui lucru, obținem două liste:

"lista el":
și „list um”: (din fericire, numerele de aici sunt naturale).

Acum să facem o listă cu toate rădăcinile posibile. În primul rând, împărțim „lista el” la . Este absolut clar că se vor obține aceleași numere. Pentru comoditate, să le punem într-un tabel:

Multe fracții au fost reduse, rezultând valori care sunt deja în „lista de eroi”. Adăugăm doar „începători”:

În mod similar, împărțim aceeași „listă” la:

și în sfârșit pe

Astfel, echipa de participanți la jocul nostru este completată:


Din păcate, polinomul din această problemă nu satisface criteriul „pozitiv” sau „negativ” și, prin urmare, nu putem elimina rândul de sus sau de jos. Va trebui să lucrezi cu toate numerele.

Cum te simti? Haide, ridică-ți capul – există o altă teoremă care poate fi numită, la figurat, „teorema ucigașului”... ...„candidați”, desigur =)

Dar mai întâi trebuie să parcurgeți diagrama lui Horner pentru cel puțin una întregul numere. În mod tradițional, să luăm unul. În linia de sus scriem coeficienții polinomului și totul este ca de obicei:

Deoarece patru nu este în mod clar zero, valoarea nu este rădăcina polinomului în cauză. Dar ea ne va ajuta foarte mult.

Teorema 2 Dacă pentru unii în general valoarea polinomului este nenulă: , apoi rădăcinile sale raționale (daca sunt) satisface condiția

În cazul nostru și prin urmare toate rădăcinile posibile trebuie să satisfacă condiția (să-i spunem Condiția nr. 1). Acești patru vor fi „ucigașul” multor „candidați”. Ca o demonstrație, voi analiza câteva verificări:

Să verificăm „candidatul”. Pentru a face acest lucru, să-l reprezentăm artificial sub forma unei fracții, din care se vede clar că . Să calculăm diferența de test: . Patru este împărțit la „minus doi”: , ceea ce înseamnă că rădăcina posibilă a trecut testul.

Să verificăm valoarea. Aici diferența de test este: . Desigur, și, prin urmare, al doilea „subiect” rămâne și el pe listă.