Vino cu două evenimente aleatorii și imposibile plauzibile. Vino tu cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile. Învățarea de materiale noi
Subiectul lecției: „Evenimente accidentale, de încredere și imposibile”
Locul lecției în curriculum: „Combinatorie. Evenimente aleatorii „lecția 5/8
Tip de lecție: Lecție de formare a noilor cunoștințe
Obiectivele lecției:
Educational:
o introduceți o definiție a aleatoriei, de încredere și eveniment imposibil;
o preda în procesul unei situaţii reale să definească termenii teoriei probabilităţii: evenimente de încredere, imposibile, equiprobabile;
În curs de dezvoltare:
o promovează dezvoltarea gândirii logice,
o interesul cognitiv al elevilor,
o capacitatea de a compara și analiza,
Educational:
o stimularea interesului pentru studiul matematicii,
o dezvoltarea perspectivei elevilor.
o posesia deprinderilor intelectuale si a operatiilor mentale;
Metode de predare: dictare explicativă și ilustrativă, reproductivă, matematică.
UMK: Matematică: manual pentru clasa a VI-a. sub redacția, și altele, editura „Educația”, 2008, Matematică, 5-6: carte. pentru profesor / [, [ ,]. - M.: Educație, 2006.
Material didactic: postere pe tablă.
Literatură:
1. Matematică: manual. pentru 6 cl. educatie generala. instituții / etc.]; ed. ,; Am crescut. acad. Științe, Ros. acad. educație, editura „Educația”. - Ed. a 10-a. - M.: Educaţie, 2008.-302 p .: ill. - (Manual școlar academic).
2. Matematică, 5-b: carte. pentru profesor / [,]. - M.: Educaţie, 2006 .-- 191 p. : bolnav.
4. Rezolvarea problemelor de statistică, combinatorică și teoria probabilităților. 7-9 clase. / autor - comp. ... Ed. a 2-a, rev. - Volgograd: Profesor, 2006.-428 p.
5. Lecții de matematică cu utilizarea tehnologiei informației. 5-10 clase. Metodic - un manual cu o aplicație electronică / etc. Ed. a II-a, Stereotip. - M .: Editura „Globus”, 2010. - 266 p. (Școala modernă).
6. Predarea matematicii în școlile moderne. Instrucțiuni... Vladivostok: Editura PIPPKRO, 2003.
PLANUL LECȚIEI
I. Moment organizatoric.
II. Lucru oral.
III. Învățarea de materiale noi.
IV. Formarea deprinderilor și abilităților.
V. Rezumatul lecției.
V. Tema pentru acasă.
ÎN CURILE CLASURILOR
1. Moment organizatoric
2. Actualizarea cunoștințelor
15*(-100) |
Lucrare orala:
3. Explicarea noului material
Profesor: Viața noastră este multă șansă. Există o astfel de știință „Teoria Probabilităților”. Folosind limbajul ei, pot fi descrise multe fenomene și situații.
Astfel de generali antici precum Alexandru cel Mare sau Dmitri Donskoy, pregătindu-se pentru luptă, s-au bazat nu numai pe vitejia și priceperea războinicilor, ci și pe șansă.
Mulți oameni iubesc matematica pentru că adevărurile eterne de două ori doi sunt întotdeauna patru, suma numerelor pare este pară, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente etc. În orice probleme pe care le-ați rezolvat, toată lumea primește același răspuns - pur și simplu nu trebuie să faci greșeli în soluție.
Viața reală nu este atât de simplă și directă. Rezultatele multor fenomene nu pot fi prezise în avans. Este imposibil, de exemplu, să spunem cu siguranță pe ce parte va cădea moneda aruncată în sus, când va cădea prima ninsoare anul viitor sau câți oameni din oraș vor dori să dea un telefon în următoarea oră. Se numesc astfel de fenomene imprevizibile Aleatoriu .
Cu toate acestea, cazul are și propriile legi, care încep să se manifeste prin repetarea repetată a fenomenelor întâmplătoare. Dacă aruncați o monedă de 1000 de ori, atunci „capetele” vor cădea aproximativ jumătate din timp, ceea ce nu se poate spune despre două sau chiar zece aruncări. „Aproximativ” nu înseamnă jumătate. Acest lucru, de regulă, poate fi sau nu așa. Legea nu prevede absolut nimic sigur, dar oferă un anumit grad de certitudine că se va întâmpla un eveniment întâmplător.
Astfel de modele sunt studiate de o secțiune specială de matematică - Teoria probabilității . Cu ajutorul lui, este posibil cu un grad mai mare de încredere (dar încă nesigur) să preziceți atât data primei ninsori, cât și numărul de apeluri telefonice.
Teoria probabilității este indisolubil legată de a noastră viata de zi cu zi... Acest lucru ne oferă o oportunitate minunată de a stabili multe legi probabilistice. empiric prin repetarea de mai multe ori experimente aleatorii. Materialele pentru aceste experimente vor fi cel mai adesea o monedă obișnuită, un zar, un set de piese de domino, table, ruleta sau chiar un pachet de cărți. Fiecare dintre aceste elemente, într-un fel sau altul, este asociat cu jocuri. Cert este că cazul apare aici în cea mai frecventă formă. Iar primele probleme probabilistice au fost asociate cu evaluarea șanselor jucătorilor de a câștiga.
Teoria modernă a probabilității s-a îndepărtat de jocurile de noroc, dar recuzita ei sunt încă cea mai simplă și de încredere sursă de șansă. După ce te-ai exersat cu ruleta și zarurile, vei învăța cum să calculezi probabilitatea unor evenimente aleatorii în situații din viața reală, ceea ce îți va permite să-ți evaluezi șansele de succes, să testezi ipoteze și să iei decizii optime nu numai în jocuri și loterie. .
Când rezolvați probleme probabilistice, fiți foarte atenți, încercați să justificați fiecare pas pe care îl faceți, căci nicio altă zonă a matematicii nu conține atât de multe paradoxuri. Ca și teoria probabilității. Și, poate, principala explicație pentru aceasta este legătura ei cu lumea reală în care trăim.
Multe jocuri folosesc un zar cu un număr diferit de puncte de la 1 la 6 pe fiecare față. : 1,2,3 , 4,5 sau 6. Aruncarea unui zar poate fi considerată o experiență, un experiment, un test, iar rezultatul obținut este un eveniment. Oamenii sunt de obicei foarte interesați să ghicească debutul unui eveniment, să prezică rezultatul acestuia. Ce predicții pot face atunci când aruncă zarurile?
Prima previziune: unul dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5 va renunța sau 6. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Desigur, va veni cu siguranță.
Un eveniment care va avea loc neapărat în această experiență se numește de încredere eveniment.
A doua predicție : va renunța numărul 7. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Bineînțeles că nu va fi, este doar imposibil.
Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență imposibil eveniment.
A treia predicție : va renunța numărul 1. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Nu suntem în măsură să răspundem la această întrebare cu deplină încredere, deoarece evenimentul prezis poate să apară sau nu.
Sunt numite evenimente care, în aceleași condiții, se pot întâmpla sau nu Aleatoriu.
Exemplu. Cutia contine 5 bomboane in ambalaj albastru si una in alb. Fără să se uite în cutie, scot o bomboană la întâmplare. Poti spune dinainte ce culoare va fi?
Exercițiu : Descrieți evenimentele la care se face referire în sarcinile de mai jos. Cât de fiabil, imposibil sau accidental.
1. Aruncă o monedă. A apărut stema. (Aleatoriu)
2. Vânătorul a împușcat lupul și l-a lovit. (Aleatoriu)
3. Elevul iese la plimbare în fiecare seară. În timp ce mergea luni, s-a întâlnit cu trei cunoscuți. (Aleatoriu)
4. Să realizăm mental următorul experiment: întoarcem paharul cu apă pe dos. Dacă acest experiment se desfășoară nu în spațiu, ci acasă sau în clasă, atunci apa se va turna. (de încredere)
5. Au fost trase trei focuri în țintă.” Au fost cinci lovituri" (imposibil)
6. Aruncă piatra în sus. Piatra rămâne suspendată în aer. (imposibil)
Exemplu Petya a conceput un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) este conceput un număr par; (Aleatoriu)
b) este conceput un număr impar; (Aleatoriu)
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar; (imposibil)
d) un număr care este par sau impar este conceput. (de încredere)
Evenimentele care în aceste condiții au șanse egale sunt numite echiprobabil.
Sunt numite evenimente aleatoare care au șanse egale la fel de posibil sau echiprobabil .
Puneți un afiș pe tablă.
La examenul oral, studentul ia unul dintre biletele așezate în fața sa. Șansele de a lua oricare dintre biletele de examen sunt egale. Este la fel de probabil să obțineți orice număr de puncte de la 1 la 6 atunci când aruncați un zar, precum și „capete” sau „cozi” atunci când aruncați o monedă.
Dar nu toate evenimentele sunt la fel de posibil... Alarma poate să nu sune, becul se poate arde, autobuzul se poate strica, dar în condiții normale astfel de evenimente improbabil. Este mai probabil ca alarma să sune, lumina să se aprindă și autobuzul să se miște.
Unele evenimente sanse mai mult, înseamnă că sunt mai probabile - mai aproape de fiabile. Alții au mai puține șanse, sunt mai puțin probabili - mai aproape de imposibil.
Evenimentele imposibile nu au șanse să se întâmple, iar evenimentele de încredere au toate șansele să se întâmple, în anumite condiții se vor întâmpla cu siguranță.
Exemplu Petya și Kolya își compară zilele de naștere. Evenimentul este după cum urmează:
a) zilele lor de naștere nu se potrivesc; (Aleatoriu)
b) zilele lor de naștere sunt aceleași; (Aleatoriu)
d) zilele de naștere ale ambelor cad în sărbători - An Nou(1 ianuarie) și Ziua Independenței Rusiei (12 iunie). (Aleatoriu)
3. Formarea deprinderilor și abilităților
Problemă din manualul cu numărul 000. Care dintre următoarele evenimente aleatoare sunt de încredere, posibil:
a) broasca testoasa va invata sa vorbeasca;
b) apa din ibricul de pe aragaz va fierbe;
d) câștigați prin participarea la loterie;
e) nu vei câștiga participând la o loterie câștig-câștig;
f) vei pierde un joc de șah;
g) vei întâlni un extraterestru mâine;
h) vremea se va deteriora săptămâna viitoare; i) ai apăsat apelul, dar nu a sunat; j) azi este joi;
k) după joi va fi vineri; m) Va fi joi după vineri?
Cutiile contin 2 bile rosii, eu galbene si 4 verzi. Trei bile sunt scoase la întâmplare din cutie. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, aleatorii, de încredere:
R: vor fi extrase trei bile verzi;
Î: vor fi extrase trei bile roșii;
C: se vor extrage bile de două culori;
D: se vor extrage bile de aceeasi culoare;
E: este albastru printre bilele alungite;
F: printre cele alungite sunt bile de trei culori;
G: Sunt două bile galbene printre cele întinse?
Testează-te. (dictare matematica)
1) Indicați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt de încredere, care sunt aleatorii:
· Meciul de fotbal „Spartak” - „Dynamo” se va încheia la egalitate (Aleatoriu)
Veți câștiga participând la loteria câștig-câștig ( de încredere)
Zăpada va cădea la miezul nopții și soarele va străluci după 24 de ore (imposibil)
· Mâine va avea loc o probă la matematică. (Aleatoriu)
· Veți fi ales președinte al Statelor Unite. (imposibil)
· Veți fi ales președinte al Rusiei. (Aleatoriu)
2) Ați cumpărat un televizor dintr-un magazin, pentru care producătorul oferă o garanție de doi ani. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere:
· Televizorul nu se va defecta în decurs de un an. (Aleatoriu)
Televizorul nu se va defecta timp de doi ani ... (Aleatoriu)
· În termen de doi ani, nu va trebui să plătiți pentru reparațiile TV. (de încredere)
· Televizorul se va defecta în al treilea an. (Aleatoriu)
3) Autobuzul, care transportă 15 pasageri, va trebui să facă 10 opriri. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere:
· Toți pasagerii vor coborî din autobuz în diferite stații. (imposibil)
· Toți pasagerii vor debarca la o singură oprire. (Aleatoriu)
· La fiecare oprire măcar cineva coboară. (Aleatoriu)
· Va fi o oprire unde nimeni nu coboară. (Aleatoriu)
· Un număr par de pasageri va pleca la toate opririle. (imposibil)
· Un număr impar de pasageri va pleca la toate opririle. (imposibil)
Rezumatul lecției
Întrebări adresate studenților:
Ce evenimente se numesc aleatoare?
Ce evenimente se numesc echiprobabile?
Ce evenimente sunt numite credibile? imposibil?
Ce evenimente sunt numite mai probabil? mai putin probabil?
Teme pentru acasă : p. 9.3
№ 000. Gândiți-vă la trei exemple de evenimente sigure, imposibile, precum și la evenimente despre care nu se poate spune că se vor întâmpla cu siguranță.
902. Cutia contine 10 pixuri rosii, 1 verde si 2 albastre. Două mânere sunt scoase la întâmplare din cutie. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, de încredere:
R: se vor scoate două mânere roșii; Î: se vor scoate două mânere verzi; C: se vor scoate două mânere albastre; D: Se vor scoate două mânere de culori diferite;
E: se vor scoate două creioane? 03. Egor și Danila au fost de acord: dacă acul platanului (fig. 205) se oprește pe câmpul alb, atunci Yegor va picta gardul, iar dacă pe câmpul albastru - Danila. Care băiat are mai multe șanse să picteze gardul?
Scopul lecției:
- Introduceți conceptul de evenimente fiabile, imposibile și aleatorii.
- Pentru a forma cunoștințe și abilități pentru a determina tipul de evenimente.
- Dezvoltați: abilități de calcul; Atenţie; capacitatea de a analiza, a raționa, a trage concluzii; abilități de lucru în grup.
În timpul orelor
1) Moment organizatoric.
Exercițiu interactiv: copiii trebuie să rezolve exemple și să descifreze cuvinte, în funcție de rezultate sunt împărțiți în grupuri (de încredere, imposibil și aleatoriu) și să stabilească tema lecției.
1 card.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 card
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 card
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Actualizarea cunoștințelor învățate.
Joc din palme: număr par - bat, impar - ridicați-vă.
Sarcină: dintr-o serie dată de numere 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... determinați par și impar.
3) Învățarea unui subiect nou.
Aveți cuburi pe mese. Să le aruncăm o privire mai atentă. Ce vezi?
Unde se folosesc zarurile? Cum?
Lucru de grup.
Efectuarea unui experiment.
Ce predicții poți face când arunci zarurile?
Prima previziune: unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6 va fi eliminat.
Un eveniment care va avea loc neapărat în această experiență se numește de încredere.
A doua predicție: numărul 7 va fi renunțat.
Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu?
Este imposibil!
Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență imposibil.
A treia predicție: numărul 1 va fi abandonat.
Va veni acest eveniment?
Se numește un eveniment care într-o anumită experiență poate sau nu să apară Aleatoriu.
4) Consolidarea materialului studiat.
I. Determinați tipul evenimentului
-Mâine va ninge roșu.
Zăpadă abundentă mâine.
Mâine, deși este iulie, va ninge.
Mâine, deși este iulie, nu va fi ninsoare.
Mâine va ninge și va fi viscol.
II. Adăugați un cuvânt la această propoziție, astfel încât evenimentul să devină imposibil.
Kolya a primit A la istorie.
Sasha nu a finalizat nicio sarcină la test.
Oksana Mikhailovna (profesor de istorie) va explica noul subiect.
III. Dați exemple de evenimente imposibile, accidentale și sigure.
IV. Lucrați conform manualului (pe grupe).
Descrieți evenimentele la care se face referire în sarcinile de mai jos ca fiind plauzibile, imposibile sau aleatorii.
Nr. 959. Petya a conceput un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) este conceput un număr par;
b) este conceput un număr impar;
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar;
d) un număr care este par sau impar este conceput.
Nr. 960. Ai deschis acest tutorial pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului selectat;
b) există litera „o” în ortografia cuvântului selectat;
c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat;
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat.
Rezolvați nr. 961, nr. 964.
Discutarea sarcinilor rezolvate.
5) Reflecție.
1.Ce evenimente ai întâlnit la lecție?
2. Indicați care dintre următoarele evenimente este de încredere, care este imposibil și care este accidental:
a) nu vor fi concedii de vara;
b) sandvișul va cădea unt;
c) anul școlar se va încheia cândva.
6) Tema pentru acasă:
Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
Desenați un desen pe unul dintre ele.
Teoria probabilității, ca orice ramură a matematicii, operează cu o anumită gamă de concepte. Majoritatea conceptelor din teoria probabilității au o definiție, dar unele sunt luate ca fiind primare, nedefinite, ca în geometrie un punct, o dreaptă, un plan. Conceptul principal al teoriei probabilității este un eveniment. Un eveniment este înțeles ca ceva despre care, după un anumit moment de timp, se poate spune unul și numai unul din două lucruri:
- · Da, sa întâmplat.
- · Nu, nu sa întâmplat.
De exemplu, am un bilet de loterie. După ce sunt publicate rezultatele tragerii la loto, evenimentul care mă interesează este că câștigarea a o mie de ruble fie se întâmplă, fie nu se întâmplă. Orice eveniment are loc ca urmare a unui test (sau experiență). Testul (sau experiența) se referă la condițiile care au ca rezultat un eveniment. De exemplu, aruncarea unei monede este un test, iar apariția unei „steme” pe ea este un eveniment. Evenimentul este de obicei desemnat cu majuscule latine: A, B, C,…. Evenimentele din lumea materială pot fi împărțite în trei categorii - de încredere, imposibil și accidental.
Un eveniment credibil este un eveniment despre care se știe dinainte că are loc. Este notat cu litera W. Deci, este de încredere să obțineți nu mai mult de șase puncte atunci când aruncați un zar obișnuit, aspectul unei bile albe atunci când este scoasă dintr-o urnă care conține doar bile albe etc.
Un eveniment imposibil este un eveniment despre care se știe dinainte că nu se va întâmpla. Este notat cu litera E. Exemple de evenimente imposibile sunt scoaterea a mai mult de patru ași dintr-un pachet obișnuit de cărți, apariția unei mingi roșii dintr-o urnă care conține doar bile albe și negre etc.
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unui test. Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă apariția unuia dintre ele exclude posibilitatea apariției celeilalte. Deci apariția oricărui număr posibil de puncte la aruncarea unui zar (evenimentul A) este incompatibilă cu apariția unui număr diferit (evenimentul B). Un număr par de puncte este incompatibil cu un număr impar. Dimpotrivă, pierderea punctelor pare (evenimentul A) și numărul de puncte care este multiplu de trei (evenimentul B) nu vor fi inconsecvente, deoarece pierderea a șase puncte înseamnă apariția atât a evenimentelor A, cât și a evenimentelor B, astfel încât apariţia unuia dintre ele să nu excludă apariţia celuilalt. Puteți efectua operațiuni cu evenimente. Unirea a două evenimente C = AUB este un eveniment C care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre aceste evenimente A și B. Intersecția a două evenimente D = A ?? B se numește un eveniment care are loc dacă și numai atunci când evenimentele A și B.
Evenimentele (fenomenele) pe care le observăm pot fi împărțite în următoarele trei tipuri: de încredere, imposibil și aleatoriu.
Credibil se numește un eveniment care va avea loc în mod necesar dacă este implementat un anumit set de condiții S. De exemplu, dacă un vas conține apă la presiunea atmosferică normală și o temperatură de 20 °, atunci evenimentul „apa din vas este în stare lichidă ” este de încredere. În acest exemplu, presiunea atmosferică setată și temperatura apei sunt setul de condiții S.
Imposibil se numeste eveniment care nu se va intampla daca se indeplineste setul de conditii S. De exemplu, evenimentul „apa din vas este in stare solida” cu siguranta nu se va intampla daca se indeplineste setul de conditii din exemplul anterior.
Aleatoriu este un eveniment care, atunci când un set de condiții S este îndeplinit, se poate întâmpla sau nu. De exemplu, dacă o monedă este aruncată, atunci aceasta poate cădea astfel încât să fie fie o stemă, fie o inscripție deasupra. Prin urmare, evenimentul „când moneda a fost aruncată, „steama” a căzut - aleatoriu. Fiecare eveniment întâmplător, în special căderea „stemei”, este o consecință a acțiunii a foarte multe cauze aleatorii (în exemplul nostru: forța cu care este aruncată moneda, forma monedei și multe altele. ). Este imposibil de luat în considerare influența asupra rezultatului tuturor acestor motive, deoarece numărul lor este foarte mare și legile acțiunii lor sunt necunoscute. Prin urmare, teoria probabilității nu își pune sarcina de a prezice dacă un singur eveniment va avea loc sau nu - pur și simplu nu o poate face.
Situația este diferită dacă se consideră evenimente aleatoare care pot fi observate de mai multe ori în aceleași condiții S, adică dacă vorbim de evenimente aleatoare omogene de masă. Rezultă că un număr suficient de mare de evenimente aleatoare omogene, indiferent de natura lor specifică, respectă anumite legi, și anume legi probabilistice. Stabilirea acestor regularități este tratată de teoria probabilității.
Astfel, subiectul teoriei probabilităților este studiul legilor probabilistice ale evenimentelor aleatoare omogene de masă.
Metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în diferite ramuri ale științelor naturale și ale tehnologiei. Teoria probabilității servește și la fundamentarea statisticilor matematice și aplicate.
Tipuri de evenimente aleatorii... Evenimentele sunt numite inconsecventă dacă producerea unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.
Exemplu. Se aruncă o monedă. Aspectul „stemei” exclude aspectul inscripției. Evenimentele „a apărut o stemă” și „a apărut o inscripție” sunt incompatibile.
Se formează mai multe evenimente grup complet dacă cel puţin unul dintre ele apare în urma testului. În special, dacă evenimentele care formează un grup complet sunt inconsecvente între perechi, atunci unul și numai unul dintre aceste evenimente va apărea ca rezultat al testului. Acest caz particular este de cel mai mare interes pentru noi, deoarece este folosit mai jos.
Exemplul 2. Sunt achiziționate două bilete de loterie în numerar. Se va întâmpla cu siguranță unul și doar unul dintre următoarele evenimente: „câștigurile au căzut pe primul bilet și nu au căzut pe al doilea”, „câștigurile nu au căzut pe primul bilet și au scăzut pe al doilea”, „câștigurile au scăzut. la ambele bilete”, „la ambele bilete, câștigurile nu au scăzut.” Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi.
Exemplul 3. Trăgătorul a tras o lovitură în țintă. Unul dintre următoarele două evenimente se va întâmpla cu siguranță: hit, miss. Aceste două evenimente incompatibile formează un grup complet.
Evenimentele sunt numite la fel de posibil dacă există motive să credem că niciunul dintre ele nu este mai posibil decât celălalt.
Exemplul 4. Apariția „stemei” și apariția unei inscripții atunci când este aruncată o monedă sunt evenimente la fel de posibile. Într-adevăr, se presupune că moneda este realizată dintr-un material omogen, are o formă cilindrică obișnuită și prezența baterii nu afectează căderea unei părți a monedei sau a celeilalte.
Propul este notat cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Singurele două entități posibile care formează un grup complet sunt numite opuse. Dacă unul dintre cele două opuse. evenimentele sunt notate cu A, apoi altele sunt notate cu A'.
Exemplul 5. Lovirea și ratarea când trageți într-o țintă - câmp opus. deci-i.
1.1. Câteva informații din combinatorică
1.1.1. Cazare
Luați în considerare cele mai simple concepte asociate cu alegerea și locația unui set de obiecte.
Numărarea numărului de moduri în care aceste acțiuni pot fi efectuate se face adesea atunci când se rezolvă probleme probabilistice.
Definiție... Cazare de la n elemente prin k (k ≤n) se numește orice submulțime ordonată din k elemente ale ansamblului format din n diverse elemente.
Exemplu. Următoarele secvențe de numere sunt plasări de 2 elemente din 3 elemente ale mulțimii (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Rețineți că plasamentele diferă în ordinea elementelor lor constitutive și în compoziția lor. Locațiile 12 și 21 conțin aceleași numere, dar ordinea lor este diferită. Prin urmare, aceste plasări sunt considerate a fi diferite.
Numărul de destinații de plasare diferite de la n elemente prin k notat și calculat prin formula:
,
Unde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n( citeste " n- factorial ").
Număr numere din două cifre, care poate fi compus din cifrele 1, 2, 3, cu condiția ca nicio cifră să nu se repete este egală cu:.
1.1.2. Permutări
Definiție... Permutări din n elementele se numesc astfel de plasări din n elemente care diferă doar prin dispunerea elementelor.
Numărul de permutări de la n elemente P n calculat prin formula: P n=n!
Exemplu.În câte moduri pot sta 5 persoane la coadă? Numărul de moduri este egal cu numărul de permutări a 5 elemente, adică.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definiție... Dacă printre n elemente k identice, apoi rearanjați-le n elemente se numește permutare cu repetări.
Exemplu. Să fie 2 cărți identice între 6 cărți. Orice aranjare a tuturor cărților pe raft - permutare cu repetări.
Numărul de permutări diferite cu repetări (de la n elemente, inclusiv k identic) se calculează prin formula:.
În exemplul nostru, numărul de moduri în care puteți aranja cărțile pe raft este:.
1.1.3. Combinații
Definiție... Combinatii de n elemente prin k astfel de plasamente din n elemente prin k care diferă unele de altele prin cel puțin un element.
Numărul de combinații diferite de n elemente prin k notat şi calculat prin formula:.
Prin definiție, 0! = 1.
Următoarele proprietăți sunt valabile pentru combinații:
1.
2.
3.
4.
Exemplu. Există 5 flori în culori diferite. Pentru buchet se aleg 3 flori. Numărul de buchete diferite de 3 flori din 5 este egal cu:.
1.2. Evenimente aleatorii
1.2.1. Evenimente
Cunoașterea realității în științele naturii are loc ca urmare a unor teste (experiment, observație, experiență).
Test
sau experiența este realizarea unui anumit set de condiții, care pot fi reproduse de câte ori se dorește.
Aleatoriu
se numește un eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unui test (experiență).
Astfel, evenimentul este considerat ca rezultat al testului.
Exemplu. Aruncarea unei monede este o provocare. Apariția unui vultur atunci când este aruncat este un eveniment.
Evenimentele pe care le observăm diferă prin gradul de posibilitate al producerii lor și prin natura interconexiunii lor.
Evenimentul este numit de încredere
dacă va apărea neapărat ca urmare a acestui test.
Exemplu. Obținerea unei note pozitive sau negative la examen de către un student este un eveniment de încredere dacă examenul se desfășoară conform regulilor obișnuite.
Evenimentul este numit imposibil
dacă nu poate apărea în urma acestui test.
Exemplu. Scoaterea unei bile albe dintr-o urnă, care conține doar bile colorate (nealbe), este un eveniment imposibil. Rețineți că în alte condiții experimentale nu este exclusă apariția unei mingi albe; astfel, acest eveniment este imposibil doar în condițiile experienței noastre.
În cele ce urmează, evenimentele aleatoare vor fi notate cu limba latină mare literele A, B, C... Un eveniment de încredere va fi notat cu litera Ω, imposibilul - cu Ø.
Două sau mai multe evenimente sunt numite la fel de posibil
în acest test, dacă există motive să credem că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai posibil sau mai puțin posibil decât altele.
Exemplu. Cu o singură aruncare a zarului, apariția a 1, 2, 3, 4, 5 și 6 puncte - toate aceste evenimente sunt la fel de posibile. Desigur, se presupune că zarurile sunt realizate dintr-un material uniform și au forma corectă.
Sunt numite două evenimente inconsecventă
într-un test dat, dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția celuilalt și comun
in caz contrar.
Exemplu. Cutia conține piese standard și non-standard. Să luăm un detaliu pentru noroc. Aspectul unei piese standard elimină aspectul unei piese nestandard. Aceste evenimente sunt inconsecvente.
Se formează mai multe evenimente grup complet de evenimente
în acest test, dacă în urma acestui test va apărea neapărat cel puţin unul dintre ele.
Exemplu. Evenimentele din exemplu formează un grup complet de evenimente la fel de posibile și incompatibile în perechi.
Sunt numite două evenimente incompatibile care formează un grup complet de evenimente într-un proces dat evenimente opuse.
Dacă unul dintre ele este notat cu A, apoi celălalt este de obicei notat cu (a se citi „nu A»).
Exemplu. Lovirea și ratarea cu o lovitură la o țintă sunt evenimente opuse.
1.2.2. Definiția clasică a probabilității
Probabilitatea evenimentului
- o măsură numerică a posibilității ofensivei sale.
Eveniment A numit favorabil
eveniment V dacă ori de câte ori are loc un eveniment A, vine și evenimentul V.
Evenimente A 1 , A 2 , ..., An formă diagrama de caz
, dacă ei:
1) sunt la fel de posibile;
2) perechi incompatibil;
3) formați un grup complet.
În schema cazurilor (și numai în această schemă) există o definiție clasică a probabilității P(A) evenimente A... Aici, un caz este numit fiecare dintre evenimentele aparținând grupului complet selectat de evenimente la fel de posibile și incompatibile în perechi.
Dacă n Este numărul tuturor cazurilor din schemă și m- numărul de cazuri favorabile evenimentului A, atunci probabilitatea evenimentului
A este definit de egalitatea:
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Într-adevăr, dacă evenimentul este cert, atunci fiecare eveniment din tiparul evenimentelor favorizează evenimentul. În acest caz m = n prin urmare 
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Într-adevăr, dacă un eveniment este imposibil, atunci niciunul dintre evenimentele din schema evenimentelor nu favorizează evenimentul. Asa de m= 0 și deci 
Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Într-adevăr, doar o fracțiune din numărul total de cazuri din schema de caz favorizează un eveniment aleatoriu. Prin urmare 0<m<n, și, prin urmare, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P (A) < 1.
Deci, probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
0 ≤ P (A) ≤ 1.
În prezent, proprietățile probabilității sunt definite sub forma unor axiome formulate de A.N. Kolmogorov.
Unul dintre principalele avantaje ale definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment direct, i.e. fără a recurge la experimente, care sunt înlocuite de raționament logic.
Probleme de calcul direct al probabilităţilor
Sarcina 1.1... Care este probabilitatea ca un număr par de puncte (eveniment A) să apară la o singură aruncare a zarului?
Soluţie... Luați în considerare evenimentele Ai- scăzut i puncte, i= 1, 2, ..., 6. Evident, aceste evenimente formează o diagramă de caz. Apoi numărul tuturor cazurilor n= 6. Un număr par de puncte este favorizat de cazuri A 2 , A 4 , A 6, adică m= 3. Apoi 
.
Sarcina 1.2... Urna conține 5 bile albe și 10 negre. Bilele se amestecă bine și apoi se scoate 1 minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca o minge care este scoasă să se dovedească a fi albă?
Soluţie... Sunt 15 cazuri în total, care formează o diagramă de caz. Mai mult, evenimentul așteptat A- aspectul unei mingi albe, 5 dintre ele favorizeaza, asadar 
.
Sarcina 1.3... Copilul se joacă cu șase litere ale alfabetului: A, A, E, K, P, T. Găsiți probabilitatea ca el să poată adăuga accidental cuvântul CARETA (evenimentul A).
Soluţie... Decizia este complicată de faptul că printre litere sunt aceleași - două litere „A”. Prin urmare, numărul tuturor cazurilor posibile din acest test este egal cu numărul de permutări cu repetări de 6 litere:
.
Aceste cazuri sunt la fel de posibile, incompatibile perechi și formează un grup complet de evenimente, de ex. formați o diagramă de caz. O singură ocazie favorizează un eveniment A... Asa de
.
Sarcina 1.4... Tanya și Vanya au convenit să sărbătorească Anul Nou într-o companie de 10 persoane. Amândoi își doreau foarte mult să stea unul lângă celălalt. Care este probabilitatea îndeplinirii dorințelor lor, dacă se obișnuiește să se împartă locurile între prietenii lor prin tragere la sorți?
Soluţie... Să notăm prin A eveniment „împlinirea dorințelor Taniei și Vaniei”. 10 persoane pot sta la 10 masa! căi diferite. Câte dintre acestea n= 10! sunt modalități la fel de posibile favorabile pentru Tanya și Vanya? Tanya și Vanya, stând una lângă alta, pot lua 20 de poziții diferite. În același timp, opt dintre prietenii lor pot sta la masa 8! în moduri diferite, prin urmare m= 20 ∙ 8 !. Prin urmare, 
.
Sarcina 1.5... Un grup de 5 femei și 20 de bărbați selectează trei delegați. Presupunând că fiecare dintre cei prezenți cu aceeași probabilitate poate fi ales, găsiți probabilitatea ca două femei și un bărbat să fie aleși.
Soluţie... Numărul total de rezultate la fel de probabile ale studiului este egal cu numărul de moduri în care trei delegați pot fi selectați din 25 de persoane, de exemplu. ... Să numărăm acum numărul de cazuri favorabile, i.e. numărul de cazuri în care are loc evenimentul de interes. Un delegat bărbat poate fi selectat în douăzeci de moduri. În acest caz, celelalte două delegate trebuie să fie femei, iar tu poți alege două femei din cinci. Prin urmare, . Asa de
.
Sarcina 1.6. Patru bile sunt împrăștiate aleatoriu pe patru găuri, fiecare bilă lovește o gaură sau alta cu aceeași probabilitate și independent de celelalte (nu există obstacole în a lovi aceeași gaură pentru mai multe bile). Găsiți probabilitatea ca într-una dintre găuri să fie trei bile, una în cealaltă și nicio bile în celelalte două găuri.
Soluţie. Numărul total de cazuri n= 4 4. Numărul de moduri în care puteți selecta o gaură cu trei bile. Numărul de moduri în care puteți selecta o gaură în care va exista o minge. Numărul de moduri în care poți alege dintre cele patru bile este de trei pentru a le pune în prima gaură. Numărul total de cazuri favorabile. Probabilitatea evenimentului: 
Sarcina 1.7.În cutie sunt 10 bile identice, marcate cu numerele 1, 2,…, 10. Au fost extrase șase bile pentru noroc. Aflați probabilitatea ca printre bilele extrase să fie: a) bila # 1; b) bilele # 1 și # 2.
Soluţie... a) Numărul total de rezultate posibile ale testului elementar este egal cu numărul de moduri prin care se pot extrage șase bile din zece, adică.
Să aflăm numărul de rezultate favorabile evenimentului care ne interesează: printre cele șase bile selectate se află bila # 1 și, prin urmare, celelalte cinci bile au numere diferite. Numărul de astfel de rezultate este în mod evident egal cu numărul de moduri în care cinci bile pot fi selectate dintre celelalte nouă, adică.
Probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului luat în considerare și numărul total de rezultate elementare posibile:
b) Numărul de rezultate favorabile evenimentului care ne interesează (dintre bilele selectate există bilele #1 și #2, prin urmare, patru bile au numere diferite) este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase patru bile din restul de opt, adică Cautarea probabilitatii 
1.2.3. Probabilitate statistică
Definiția statistică a probabilității este utilizată atunci când rezultatele unui experiment nu sunt la fel de posibile.
Frecvența relativă a evenimentului
A este definit de egalitatea:
,
Unde m- numărul de probe în care se desfășoară evenimentul A a venit n- numărul total de teste efectuate.
J. Bernoulli a demonstrat că, cu o creștere nelimitată a numărului de experimente, frecvența relativă de apariție a unui eveniment va diferi practic puțin de un anumit număr constant. S-a dovedit că acest număr constant este probabilitatea ca un eveniment să se producă. Prin urmare, în mod firesc, frecvența relativă de apariție a unui eveniment cu un număr suficient de mare de teste se numește probabilitate statistică, spre deosebire de probabilitatea introdusă anterior.
Exemplul 1.8... Cum se estimează numărul aproximativ de pești din lac?
Lasă în lac X peşte. Aruncăm plasa și, să zicem, găsim în ea n peşte. Le marchem pe fiecare și le eliberăm înapoi. Câteva zile mai târziu, pe aceeași vreme și în același loc, aruncăm aceeași plasă. Să presupunem că găsim în el m pești, printre care k etichetat. Lasă evenimentul A- „peștele prins este etichetat”. Apoi prin definiția frecvenței relative.
Dar dacă în lac X pește și ne-am eliberat în el n etichetat, atunci.
pentru că R * (A) » R(A), atunci .
1.2.4. Operațiuni pe evenimente. Teorema de adunare a probabilității
Suma, sau unificarea mai multor evenimente se numește eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente (în același test).
Sumă A 1 + A 2 + … + An notată după cum urmează: 
sau 
.
Exemplu... Se aruncă două zaruri. Lasă evenimentul A constă în pierderea a 4 puncte pe 1 zar, iar evenimentul V- în căderea a 5 puncte pe celălalt zar. Evenimente Ași V sunt articulate. Prin urmare evenimentul A +V constă în a scăpa 4 puncte pe primul zar, sau 5 puncte pe al doilea zar, sau 4 puncte pe primul zar și 5 puncte pe al doilea în același timp.
Exemplu. Eveniment A- câștiguri pentru 1 împrumut, eveniment V- castig la al 2-lea imprumut. Apoi evenimentul A + B- câștigarea a cel puțin un împrumut (eventual două deodată).
După produs sau intersecţia mai multor evenimente este un eveniment constând în apariţia în comun a tuturor acestor evenimente (în acelaşi test).
Muncă V evenimente A 1 , A 2 , …, An notată după cum urmează:
.
Exemplu. Evenimente Ași V constau în parcurgerea cu succes a rundelor I, respectiv II, la intrarea în institut. Apoi evenimentul A× B constă în parcurgerea cu succes a ambelor runde.
Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară. Lasă evenimentul A există o lovitură de punct în zonă A si evenimentul V- lovirea unui punct în zonă V... Apoi evenimentul A + B există o lovitură de punct în unirea acestor zone (Fig. 2.1) și evenimentul AV există o lovire a unui punct în intersecția acestor zone (Fig. 2.2).
Orez. 2.1 Fig. 2.2
Teorema... Dacă evenimentele A i(i = 1, 2, …, n) sunt inconsistente pe perechi, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 
.
Lăsa Ași Ā
- evenimente opuse, i.e. A + Â= Ω, unde Ω este un eveniment valid. Din teorema adunării rezultă că
P (Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, prin urmare
R(Ā
) = 1 – R(A).
Dacă evenimentele A 1 și A 2 sunt consistente, atunci probabilitatea sumei a două evenimente comune este:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) - P ( A 1 × A 2).
Teoremele de adunare a probabilităților permit să se treacă de la calculul direct al probabilităților la determinarea probabilităților de apariție a evenimentelor complexe.
Sarcina 1.8... Trăgătorul trage o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de a elimina 10 puncte (eveniment A), 9 puncte (eveniment V) și 8 puncte (eveniment CU) sunt egale cu 0,11, respectiv; 0,23; 0,17. Găsiți probabilitatea ca, cu o singură lovitură, trăgătorul să înscrie mai puțin de 8 puncte (eveniment D).
Soluţie... Să trecem la evenimentul opus - cu o singură lovitură, trăgătorul va bate cel puțin 8 puncte. Un eveniment are loc dacă se întâmplă A sau V, sau CU, adică ... De la evenimente A, B, CU sunt inconsistente pe perechi, atunci, prin teorema de adunare,
, Unde .
Sarcina 1.9... Din echipa brigăzii, formată din 6 bărbați și 4 femei, la conferința sindicală sunt selectate două persoane. Care este probabilitatea ca printre cei selectați cel puțin o femeie (eveniment A).
Soluţie... Dacă are loc un eveniment A, atunci unul dintre următoarele evenimente inconsecvente va avea loc cu siguranță: V- „au fost aleși un bărbat și o femeie”; CU- „au fost alese două femei”. Prin urmare, putem scrie: A = B + C... Găsiți probabilitatea evenimentelor Vși CU... Două persoane din 10 pot fi selectate în diferite moduri. Două femei din 4 pot fi alese în moduri. Un bărbat și o femeie pot fi selectați în 6 × 4 moduri. Atunci . De la evenimente Vși CU sunt inconsistente, atunci, prin teorema adunării,
P (A) = P (B + C) = P (B) + P (C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Sarcina 1.10. Cincisprezece manuale sunt aranjate aleatoriu pe un raft din bibliotecă, dintre care cinci sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare trei manuale. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre manualele luate să fie legat (eveniment A).
Soluţie... Prima cale. Cerința - cel puțin unul dintre cele trei manuale legate luate - va fi îndeplinită dacă are loc oricare dintre următoarele trei evenimente inconsecvente: V- un manual legat, CU- două manuale legate, D- trei manuale legate.
Eveniment de interes pentru noi A poate fi reprezentat ca o sumă de evenimente: A = B + C + D... Prin teorema adunării,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Găsiți probabilitatea evenimentelor B, Cși D(vezi scheme combinatorii): 
Reprezentând aceste probabilități în egalitate (2.1), obținem în final
P (A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
A doua cale. Eveniment A(cel puțin unul dintre cele trei manuale luate este legat) și Ā
(niciunul din manualele luate nu este legat) sunt opuse, deci P (A) + P (Â) = 1 (suma probabilităților a două evenimente opuse este 1). De aici P (A) = 1 – P (Â). Probabilitatea evenimentului Ā
(niciunul din manualele luate nu este legat)
Cautarea probabilitatii
P (A) = 1 - P (Â) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Probabilitate condițională. Teorema înmulțirii probabilităților
Probabilitate condițională P (B/A) este probabilitatea evenimentului B, calculată în ipoteza că evenimentul A a avut deja loc.
Teorema... Probabilitatea apariției comune a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitățile unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc:
P (A∙B) = P (A) ∙ Р ( V/A). (2.2)
Două evenimente sunt numite independente dacă apariția vreunuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariției celuilalt, i.e.
P (A) = P (A / B) sau P (B) = P (B/A). (2.3)
Dacă evenimentele Ași V sunt independente, atunci formulele (2.2) și (2.3) implică
P (A∙B) = P (A)∙P (B). (2.4)
Este adevărat și invers, adică. dacă egalitatea (2.4) este valabilă pentru două evenimente, atunci aceste evenimente sunt independente. Într-adevăr, formulele (2.4) și (2.2) implică
P (A∙B) = P (A)∙P (B) = P (A) × P (B/A), Unde P (A) = P (B/A).
Formula (2.2) poate fi generalizată la cazul unui număr finit de evenimente A 1 , A 2 ,…,A n:
P (A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P (A 1)∙P (A 2 /A 1)∙P (A 3 /A 1 A 2)∙…∙Tigaie/A 1 A 2 …A n -1).
Sarcina 1.11... Din urnă, în care sunt 5 bile albe și 10 negre, scoateți două bile la rând. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie albe (eveniment A).
Soluţie... Luați în considerare evenimentele: V- prima minge scoasă este albă; CU- a doua bila scoasa este alba. Atunci A = BC.
Experimentul se poate face în două moduri:
1) cu retur: bila scoasă, după fixarea culorii, este returnată în urnă. În acest caz, evenimentele Vși CU independent:
P (A) = P (B)∙P (C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) fără întoarcere: bila îndepărtată este așezată în lateral. În acest caz, evenimentele Vși CU dependent:
P (A) = P (B)∙P (C/V).
Pentru un eveniment V conditiile sunt aceleasi, iar pentru CU situația s-a schimbat. S-a întâmplat V, prin urmare, în urnă au rămas 14 bile, dintre care 4 sunt albe.
Asa de, .
Sarcina 1.12... Dintre cele 50 de becuri, 3 sunt nestandard. Găsiți probabilitatea ca două becuri luate în același timp să nu fie standard.
Soluţie... Luați în considerare evenimentele: A- prima lumină este nestandard, V- a doua lumină nu este standard, CU- ambele becuri sunt nestandard. Este clar că C = A∙V... Eveniment A 3 cazuri din 50 sunt favorabile, i.e. P (A) = 3/50. Dacă evenimentul A a sosit deja, atunci evenimentul V două cazuri din 49 sunt favorabile, adică. P (B/A) = 2/49. Prin urmare,
.
Ținta 1.13... Doi sportivi trag independent unul de celălalt la o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta primului atlet este de 0,7, iar al doilea este de 0,8. Care este probabilitatea ca ținta să fie lovită?
Soluţie... Ținta va fi lovită dacă îl lovește fie pe primul trăgător, fie pe al doilea, sau pe ambele împreună, de exemplu. va avea loc un eveniment A + B unde este evenimentul A este primul atlet care lovește ținta și evenimentul V- al doilea. Atunci
P (A+V)=P (A)+P (B)–P (A∙V)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Sarcina 1.14.În sala de lectură există șase manuale de teoria probabilităților, dintre care trei sunt legate. Bibliotecarul a luat la întâmplare două manuale. Găsiți probabilitatea ca cele două manuale să fie legate.
Soluţie... Să introducem notarea evenimentelor : A- primul manual luat este legat, V- al doilea manual este legat. Probabilitatea ca primul manual să fie legat este
P (A) = 3/6 = 1/2.
Probabilitatea ca al doilea manual să fie legat, cu condiția ca primul manual luat să fi fost legat, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment V, este acesta: P (B/A) = 2/5.
Căutând probabilitatea ca ambele manuale să fie legate, prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor este egală cu
P (AB) = P (A) ∙ P (B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Sarcina 1.15.În atelier sunt angajați 7 bărbați și 3 femei. Trei persoane au fost alese aleatoriu după numărul de personal. Găsiți probabilitatea ca toți indivizii selectați să fie bărbați.
Soluţie... Să introducem notarea evenimentelor: A- bărbatul a fost ales primul, V- un bărbat a fost ales al doilea, CU - al treilea este un bărbat. Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat primul, P (A) = 7/10.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al doilea, cu condiția ca un bărbat să fi fost deja selectat primul, adică probabilitatea condiționată a unui eveniment V Următorul : P (B/A) = 6/9 = 2/3.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al treilea, cu condiția ca doi bărbați să fi fost deja selectați, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment CU este acesta: P (C/AB) = 5/8.
Căutând probabilitatea ca toți cei trei indivizi selectați să fie bărbați, P (ABC) = P (A) P (B/A) P (C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula probabilității totale și formula Bayes
Lăsa B 1 , B 2 ,…, B n- evenimente incompatibile în perechi (ipoteze) și A- un eveniment care poate avea loc numai în legătură cu unul dintre ele.
Să știm, în plus P (B i) și P (A/B i) (i = 1, 2, …, n).
În aceste condiții sunt valabile următoarele formule: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se numește formula probabilității totale
... Acesta calculează probabilitatea unui eveniment A(probabilitate totală).
Formula (2.6) se numește Formula lui Bayes
... Vă permite să recalculați probabilitățile ipotezelor dacă evenimentul A s-a întâmplat.
La compilarea exemplelor, este convenabil să presupunem că ipotezele formează un grup complet.
Ținta 1.16... Coșul conține mere de la patru copaci de același fel. Din primul - 15% din toate merele, din al doilea - 35%, din al treilea - 20%, din al patrulea - 30%. Merele coapte reprezintă 99%, 97%, 98%, respectiv 95%.
a) Care este probabilitatea ca un măr luat la întâmplare să fie copt (eveniment A).
b) Cu condiția ca mărul luat la întâmplare să fie copt, calculați probabilitatea ca acesta să fie din primul copac.
Soluţie... a) Avem 4 ipoteze:
B 1 - un mar luat la intamplare este scos din primul pom;
B 2 - un mar luat la intamplare este scos din al 2-lea pom;
B 3 - un mar luat la intamplare este scos din al 3-lea pom;
B 4 - mărul luat la întâmplare este luat din al 4-lea copac.
Probabilitățile lor în funcție de condiție: P (B 1) = 0,15; P (B 2) = 0,35; P (B 3) = 0,2; P (B 4) = 0,3.
Probabilități de evenimente condiționate A:
P (A/B 1) = 0,99; P (A/B 2) = 0,97; P (A/B 3) = 0,98; P (A/B 4) = 0,95.
Probabilitatea ca un măr luat la întâmplare să se dovedească copt se găsește prin formula pentru probabilitatea totală:
P (A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3)+P (B 4)∙P (A/B 4)=0,969.
b) Formula lui Bayes pentru cazul nostru arată astfel: 
.
Sarcina 1.17. O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este luată la întâmplare din ea. Găsiți probabilitatea ca bila îndepărtată să se dovedească albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (după culoare) sunt la fel de posibile.
Soluţie... Să notăm prin A eveniment - bila albă este îndepărtată. Sunt posibile următoarele ipoteze (ipoteze) despre compoziția inițială a bilelor: B 1- nu sunt bile albe, ÎN 2- o bila alba, LA 3- două bile albe.
Deoarece sunt trei ipoteze în total, iar suma probabilităților ipotezelor este 1 (deoarece formează un grup complet de evenimente), probabilitatea fiecăreia dintre ipoteze este 1/3, adică.
P (B 1) = P (B 2)= P (B 3) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, cu condiția ca inițial să nu fi fost bile albe în urnă, P (A/B 1) = 1/3. Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial a fost o bilă albă în urnă, P (A/B 2) = 2/3. Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, cu condiția ca inițial să fi fost două bile albe în urnă P (A/B 3)=3/ 3=1.
Găsim probabilitatea dorită ca bila albă să fie extrasă folosind formula pentru probabilitatea totală:
R(A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
Ținta 1.18... Două mașini produc piese identice care merg la un transportor comun. Productivitatea primei mașini este de două ori mai mare decât a celei de-a doua. Prima mașină automată produce în medie 60% din piesele de calitate excelentă, iar a doua - 84%. Piesa luată la întâmplare de pe linia de asamblare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost produsă de prima mașină.
Soluţie... Să notăm prin A evenimentul este un articol de calitate excelentă. Se pot face două ipoteze: B 1- piesa este produsă de prima mașină, în plus (deoarece prima mașină produce de două ori mai multe piese decât a doua) P (A/B 1) = 2/3; B 2 - piesa este produsă de a doua mașină și P (B 2) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de calitate excelentă dacă este produsă de prima mașină automată, P (A/B 1)=0,6.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de o calitate excelentă dacă este produsă de a doua mașină automată, P (A/B 1)=0,84.
Probabilitatea ca o parte luată aleatoriu să se dovedească a fi de o calitate excelentă, conform formulei pentru probabilitatea totală, este
P (A)=P (B 1) ∙P (A/B 1)+P (B 2) ∙P (A/B 2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.
Căutând probabilitatea ca partea excelentă luată să fie produsă de primul automat, conform formulei bayesiene este egală cu
Ținta 1.19... Există trei loturi de piese cu câte 20 de părți fiecare. Numărul de piese standard din primul, al doilea și al treilea lot este, respectiv, 20, 15, 10. O parte care s-a dovedit a fi standard a fost extrasă aleatoriu din lotul selectat. Piesele sunt returnate în lot și, pentru a doua oară, o piesă este îndepărtată aleatoriu din același lot, care se dovedește, de asemenea, a fi standard. Găsiți probabilitatea ca piesele să fi fost recuperate din al treilea lot.
Soluţie... Să notăm prin A eveniment - la fiecare dintre cele două teste (cu retur) a fost eliminată o piesă standard. Se pot face trei ipoteze (ipoteze): B 1 - părțile sunt îndepărtate din primul lot, V 2
- piesele sunt îndepărtate din al doilea lot, V 3 - părțile sunt îndepărtate din al treilea lot.
Detaliile au fost luate la întâmplare din lotul luat, astfel încât probabilitățile ipotezelor sunt aceleași: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Găsiți probabilitatea condiționată P (A/B 1), adică probabilitatea ca două piese standard să fie eliminate succesiv din primul lot. Acest eveniment este de încredere pentru că în primul lot, toate piesele sunt standard, prin urmare P (A/B 1) = 1.
Găsiți probabilitatea condiționată P (A/B 2), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate secvențial (cu returnare) din al doilea lot: P (A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Găsiți probabilitatea condiționată P (A/B 3), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate secvențial (cu returnare) din al treilea lot: P (A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Căutând probabilitatea ca ambele părți standard extrase să fie dintr-un al treilea lot, folosind formula lui Bayes este 
1.2.7. Teste repetate
Dacă se efectuează mai multe teste și probabilitatea unui eveniment Aîn fiecare studiu nu depinde de rezultatele altor studii, atunci astfel de studii sunt numite independent cu privire la evenimentul A.În diferite procese independente, evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de teste independente în care evenimentul A are aceeași probabilitate.
Lasă-l să fie produs P teste independente, în fiecare dintre ele câte un eveniment A poate sau nu să apară. Să fim de acord să presupunem că probabilitatea unui eveniment Aîn fiecare test este același, și anume egal cu R. Prin urmare, probabilitatea neapariției evenimentului Aîn fiecare test este, de asemenea, constantă și egală cu 1– R. O astfel de schemă probabilistică se numește Schema Bernoulli... Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca pentru P Evenimentul de testare Bernoulli A se va împlini exact k o singura data ( k Este numărul de succese) și, prin urmare, nu se va împlini P- o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul A repetat exact k ori într-o anumită secvență. Probabilitatea cerută se notează cu P n (k).
De exemplu, simbolul R 5 (3) înseamnă probabilitatea ca în cinci teste evenimentul să apară exact de 3 ori și, prin urmare, să nu se producă de 2 ori.
Problema poate fi rezolvată folosind așa-numitul formule Bernoulli, care arata ca: 
.
Sarcina 1.20. Probabilitatea ca consumul de energie electrică pe parcursul unei zile să nu depășească norma stabilită este egală cu R= 0,75. Găsiți probabilitatea ca în următoarele 6 zile consumul de energie pentru 4 zile să nu depășească norma.
Soluţie. Probabilitatea consumului normal de energie electrică în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu R= 0,75. În consecință, probabilitatea consumului excesiv de energie electrică pe zi este, de asemenea, constantă și egală cu q = 1–R=1–0,75=0,25.
Probabilitatea dorită prin formula Bernoulli este
.
Ținta 1.21... Doi jucători echivalenti de șah joacă șah. Care este mai probabil: să câștigi două jocuri din patru sau trei jocuri din șase (nu se iau în considerare remizele)?
Soluţie... Jucătorii de șah echivalente joacă, deci probabilitatea de a câștiga R= 1/2, deci, probabilitatea de a pierde q este de asemenea 1/2. pentru că în toate jocurile probabilitatea de câștig este constantă și nu contează în ce secvență vor fi câștigate jocurile, atunci este aplicabilă formula Bernoulli.
Să aflăm probabilitatea ca două jocuri din patru să fie câștigate:
Să aflăm probabilitatea ca trei jocuri din șase să fie câștigate:
pentru că P 4 (2) > P 6 (3), este mai probabil să câștigi două jocuri din patru decât trei din șase.
Cu toate acestea, se poate vedea că folosind formula lui Bernoulli pentru valori mari n este destul de dificil, deoarece formula necesită efectuarea de acțiuni pe numere uriașe și, prin urmare, în procesul de calcul se acumulează erori; ca urmare, rezultatul final poate diferi semnificativ de cel adevărat.
Pentru a rezolva această problemă, există mai multe teoreme limită care sunt utilizate pentru cazul unui număr mare de teste.
1. Teorema lui Poisson
Când se efectuează un număr mare de teste conform schemei Bernoulli (cu n=> ∞) și cu un număr mic de rezultate favorabile k(în acest caz, se presupune că probabilitatea de succes p este mic), formula lui Bernoulli se apropie de formula lui Poisson 
.
Exemplul 1.22. Probabilitatea unei căsătorii atunci când o unitate de producție este produsă de o întreprindere este egală cu p= 0,001. Care este probabilitatea ca odată cu lansarea a 5000 de unități de produse să fie mai puțin de 4 defecte (eveniment A Soluţie... pentru că n este mare, folosim teorema locală Laplace: 
Să calculăm X:
Funcţie 
- par, deci φ (–1,67) = φ (1,67).
Conform tabelului din Anexa A.1, găsim φ (1,67) = 0,0989.
Cautarea probabilitatii P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrală a lui Laplace
Dacă probabilitatea R producerea unui eveniment Aîn fiecare test conform schemei Bernoulli este constantă și diferită de zero și unu, apoi cu un număr mare de teste n, probabilitate P n (k 1 , k 2) producerea evenimentului Aîn aceste teste din k 1 la k 2 ori este aproximativ egal cu
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X "") – Φ ( X "), Unde 
- Funcția Laplace,
Integrala definită în funcția Laplace nu este calculată în clasa funcțiilor analitice, prin urmare, pentru a o calcula, se folosește Tabelul 1. A.2, prezentată în anexă.
Exemplul 1.24. Probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare dintre cele o sută de încercări independente este constantă și egală cu p= 0,8. Aflați probabilitatea ca evenimentul să se producă: a) de cel puțin 75 de ori și de cel mult 90 de ori; b) de cel puțin 75 de ori; c) de cel mult 74 de ori.
Soluţie... Vom folosi teorema integrală a lui Laplace:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X "") – Φ( X "), unde Ф ( X) Este funcția Laplace,
a) După condiție, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Calculați X ""și X " :
Ținând cont de faptul că funcția Laplace este impară, i.e. Ф (- X) = - Ф ( X), primim
P 100 (75; 90) = Ф (2,5) - Ф (–1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25).
Conform tabelului. A.2. vom gasi aplicatii:
F (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.
Cautarea probabilitatii
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Cerința ca evenimentul să apară de cel puțin 75 de ori înseamnă că numărul de apariții ale evenimentului poate fi egal cu 75, sau 76, ..., sau 100. Astfel, în acest caz, trebuie acceptat k 1 = 75, k 2 = 100. Atunci 
.
Conform tabelului. A.2. aplicații, găsim Ф (1,25) = 0,3944; Ф (5) = 0,5.
Cautarea probabilitatii
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Eveniment - " A a apărut de cel puțin 75 de ori „și” A au apărut de cel mult 74 de ori „sunt opuse, deci suma probabilităților acestor evenimente este 1. Prin urmare, probabilitatea dorită
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
