Publicitate pe portal

Teorema lui Pitagora și inversul ei. Proiect de lecție de matematică „teorema inversă teoremei lui Pitagora”. Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora

Obiectivele lecției:

educatie generala:

  • testarea cunoștințelor teoretice ale elevilor (proprietățile unui triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora), capacitatea de a le folosi în rezolvarea problemelor;
  • După ce a creat o situație problematică, conduceți elevii la „descoperirea” teoremei lui Pitagora inversă.

în curs de dezvoltare:

  • dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor teoretice în practică;
  • dezvoltarea capacității de a formula concluzii din observații;
  • dezvoltarea memoriei, a atenției, a observației:
  • dezvoltarea motivaţiei învăţării prin satisfacţia emoţională din descoperiri, prin introducerea unor elemente de istorie a dezvoltării conceptelor matematice.

educational:

  • să cultive un interes durabil pentru subiect prin studiul activității de viață a lui Pitagora;
  • promovarea asistenței reciproce și a evaluării obiective a cunoștințelor colegilor de clasă prin testare reciprocă.

Formatul lecției: clasă-lecție.

Planul lecției:

  • Organizarea timpului.
  • Verificarea temelor. Actualizarea cunoștințelor.
  • Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora.
  • Subiect nou.
  • Consolidarea primară a cunoștințelor.
  • Teme pentru acasă.
  • Rezumatul lecției.
  • Muncă independentă (folosind carduri individuale cu ghicirea aforismelor lui Pitagora).

În timpul orelor.

Organizarea timpului.

Verificarea temelor. Actualizarea cunoștințelor.

Profesor: Ce sarcină ai făcut acasă?

Elevi: Folosind două laturi date ale unui triunghi dreptunghic, găsiți a treia latură și prezentați răspunsurile sub formă de tabel. Repetați proprietățile unui romb și ale unui dreptunghi. Repetați ceea ce se numește condiție și care este concluzia teoremei. Pregătiți rapoarte despre viața și opera lui Pitagora. Aduceți o frânghie cu 12 noduri legate pe ea.

Profesor: Verificați răspunsurile la teme folosind tabelul

(datele sunt evidențiate cu negru, răspunsurile sunt cu roșu).

Profesor: Declarațiile sunt scrise pe tablă. Dacă sunteți de acord cu ei, puneți „+” pe bucățile de hârtie de lângă numărul de întrebare corespunzător dacă nu sunteți de acord, apoi puneți „–”.

Declarațiile sunt scrise în prealabil pe tablă.

  1. Ipotenuza este mai lungă decât piciorul.
  2. Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este 180 0.
  3. Aria unui triunghi dreptunghic cu catete AȘi V calculat prin formula S=ab/2.
  4. Teorema lui Pitagora este valabilă pentru toate triunghiurile isoscele.
  5. Într-un triunghi dreptunghic, catetul opus unghiului 30 0 este egal cu jumătate din ipotenuză.
  6. Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
  7. Pătratul catetei este egal cu diferența dintre pătratele ipotenuzei și al doilea catet.
  8. O latură a unui triunghi este egală cu suma celorlalte două laturi.

Lucrarea este verificată prin verificarea reciprocă. Se discută declarații care au stârnit controverse.

Cheia întrebărilor teoretice.

Elevii se notează între ei folosind următorul sistem:

8 răspunsuri corecte „5”;
6-7 răspunsuri corecte „4”;
4-5 răspunsuri corecte „3”;
mai puțin de 4 răspunsuri corecte „2”.

Profesor: Despre ce am vorbit în ultima lecție?

Student: Despre Pitagora și teorema lui.

Profesor: Prezentați teorema lui Pitagora. (Cîțiva elevi citesc formularea, în acest moment 2-3 elevi o dovedesc la tablă, 6 elevi la primele birouri pe bucăți de hârtie).

Formulele matematice sunt scrise pe cartonașe pe o tablă magnetică. Alegeți-le pe cele care reflectă sensul teoremei lui Pitagora, unde A Și V – picioare, Cu – ipotenuza.

1) c 2 = a 2 + b 2 2) c = a + b 3) a 2 = de la 2 – în 2
4) cu 2 = a 2 – în 2 5) în 2 = c 2 – a 2 6) a 2 = c 2 + c 2

În timp ce studenții care demonstrează teorema la tablă și pe teren nu sunt pregătiți, cuvântul este dat celor care au pregătit rapoarte despre viața și opera lui Pitagora.

Școlarii care lucrează pe câmp înmânează bucăți de hârtie și ascultă mărturiile celor care au lucrat la consiliu.

Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora.

Profesor: Vă propun probleme practice folosind teorema studiată. Vom vizita mai întâi pădurea, după furtună, apoi într-o zonă suburbană.

Problema 1. După furtună, molidul s-a rupt. Înălțimea părții rămase este de 4,2 m Distanța de la bază până la vârful căzut este de 5,6 m Aflați înălțimea molidului înainte de furtună.

Problema 2. Înălțimea casei este de 4,4 m Lățimea gazonului din jurul casei este de 1,4 m Cât de lungă trebuie făcută scara, astfel încât să nu interfereze cu gazonul și să ajungă la acoperișul casei?

Subiect nou.

Profesor:(sunete muzicale)Închideți ochii, pentru câteva minute ne vom cufunda în istorie. Suntem cu tine în Egiptul Antic. Aici, în șantierele navale, egiptenii își construiesc faimoasele corăbii. Dar topografii, ei măsoară suprafețe de pământ ale căror limite au fost spălate după inundația Nilului. Constructorii construiesc piramide grandioase care încă ne uimesc prin măreția lor. În toate aceste activități, egiptenii trebuiau să folosească unghiuri drepte. Au știut să le construiască folosind o frânghie cu 12 noduri legate la distanțe egale unul față de celălalt. Încercați, gândind ca vechii egipteni, să construiți triunghiuri dreptunghiulare cu frânghiile voastre. (Pentru a rezolva această problemă, băieții lucrează în grupuri de 4. După un timp, cineva arată construcția unui triunghi pe o tabletă lângă tablă).

Laturile triunghiului rezultat sunt 3, 4 și 5. Dacă mai legați un nod între aceste noduri, atunci laturile sale vor deveni 6, 8 și 10. Dacă sunt două fiecare – 9, 12 și 15. Toate aceste triunghiuri sunt în unghi drept pentru că

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 etc.

Ce proprietate trebuie să aibă un triunghi pentru a fi dreptunghic? (Elevii încearcă să formuleze ei înșiși teorema lui Pitagora inversă; în cele din urmă, cineva reușește).

Cum diferă această teoremă de teorema lui Pitagora?

Student: Condiția și concluzia și-au schimbat locurile.

Profesor: Acasă ai repetat cum se numesc astfel de teoreme. Deci, ce ne-am întâlnit acum?

Student: Cu teorema inversă a lui Pitagora.

Profesor: Să notăm subiectul lecției în caietul nostru. Deschide-ți manualele la pagina 127, citește din nou această afirmație, notează-l în caiet și analizează dovada.

(După câteva minute de lucru independent cu manualul, dacă se dorește, o persoană de la tablă dă o dovadă a teoremei).

  1. Cum se numește un triunghi cu laturile 3, 4 și 5? De ce?
  2. Ce triunghiuri se numesc triunghiuri pitagorice?
  3. Cu ce ​​triunghiuri ai lucrat la teme? Dar problemele cu un pin și o scară?

Consolidarea primară a cunoștințelor

.

Această teoremă ajută la rezolvarea problemelor în care trebuie să aflați dacă triunghiurile sunt dreptunghiulare.

Sarcini:

1) Aflați dacă un triunghi este dreptunghic dacă laturile sale sunt egale:

a) 12, 37 și 35; b) 21, 29 și 24.

2) Calculați înălțimile unui triunghi cu laturile de 6, 8 și 10 cm.

Teme pentru acasă

.

Pagina 127: teorema lui Pitagora inversă. Nr. 498(a,b,c) Nr. 497.

Rezumatul lecției.

 Ce nou ai învățat la lecție?
  • Cum a fost folosită teorema lui Pitagora inversă în Egipt?
  • Ce probleme este folosit pentru a rezolva?
  • Ce triunghiuri ai întâlnit?
  • Ce îți amintești și ce-ți place cel mai mult?

    • Muncă independentă (desfășurată folosind carduri individuale).

    Profesor: Acasă ai repetat proprietățile unui romb și ale unui dreptunghi. Enumerați-le (există o conversație cu clasa). În ultima lecție am vorbit despre modul în care Pitagora era o personalitate versatilă. A studiat medicina, muzica și astronomia, a fost, de asemenea, un atlet și a participat la Jocurile Olimpice. Pitagora a fost și filosof. Multe dintre aforismele sale sunt și astăzi relevante pentru noi. Acum vei lucra independent. Pentru fiecare sarcină sunt date mai multe opțiuni de răspuns, alături de care sunt scrise fragmente din aforismele lui Pitagora. Sarcina ta este să rezolvi toate sarcinile, să compun o declarație din fragmentele primite și să o notezi.

    Revizuirea subiectelor din curriculumul școlar folosind lecții video este o modalitate convenabilă de a studia și stăpâni materialul. Videoclipul ajută la concentrarea atenției elevilor asupra principalelor concepte teoretice și să nu rateze detalii importante. Dacă este necesar, elevii pot oricând să asculte din nou lecția video sau să revină la mai multe subiecte.

    Această lecție video pentru clasa a VIII-a îi va ajuta pe elevi să învețe o nouă temă de geometrie.

    În subiectul anterior, am studiat teorema lui Pitagora și am analizat demonstrația acesteia.

    Există, de asemenea, o teoremă care este cunoscută sub numele de teorema inversă a lui Pitagora. Să aruncăm o privire mai atentă.

    Teorema. Un triunghi este dreptunghic dacă are următoarea egalitate: valoarea unei laturi a triunghiului la pătrat este aceeași cu suma celorlalte două laturi la pătrat.

    Dovada. Să presupunem că ni se dă un triunghi ABC, în care este valabilă egalitatea AB 2 = CA 2 + CB 2. Este necesar să se demonstreze că unghiul C este de 90 de grade. Considerăm un triunghi A 1 B 1 C 1 în care unghiul C 1 este egal cu 90 de grade, latura C 1 A 1 este egală cu CA și latura B 1 C 1 este egală cu BC.

    Aplicând teorema lui Pitagora, scriem raportul laturilor din triunghiul A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Prin înlocuirea expresiei cu laturile egale, obținem A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

    Din condițiile teoremei știm că AB 2 = CA 2 + CB 2. Atunci putem scrie A 1 B 1 2 = AB 2, din care rezultă că A 1 B 1 = AB.

    Am constatat că în triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 trei laturi sunt egale: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Deci aceste triunghiuri sunt egale. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul C este egal cu unghiul C 1 și, în consecință, egal cu 90 de grade. Am stabilit că triunghiul ABC este dreptunghic și unghiul său C este de 90 de grade. Am demonstrat această teoremă.

    În continuare, autorul dă un exemplu. Să presupunem că ni se dă un triunghi arbitrar. Dimensiunile laturilor sale sunt cunoscute: 5, 4 și 3 unități. Să verificăm afirmația din teorema inversă teoremei lui Pitagora: 5 2 = 3 2 + 4 2. Afirmația este adevărată, ceea ce înseamnă că acest triunghi este dreptunghic.

    În următoarele exemple, triunghiurile vor fi și triunghiuri dreptunghiulare dacă laturile lor sunt egale:

    5, 12, 13 unități; egalitatea 13 2 = 5 2 + 12 2 este adevărată;

    8, 15, 17 unități; egalitatea 17 2 = 8 2 + 15 2 este adevărată;

    7, 24, 25 unități; egalitatea 25 2 = 7 2 + 24 2 este adevărată.

    Conceptul de triunghi pitagoreic este cunoscut. Acesta este un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu numere întregi. Dacă catetele triunghiului lui Pitagora sunt notate cu a și c, iar ipotenuza cu b, atunci valorile laturilor acestui triunghi pot fi scrise folosind următoarele formule:

    b = k x (m 2 - n 2)

    c = k x (m 2 + n 2)

    unde m, n, k sunt numere naturale, iar valoarea lui m este mai mare decât valoarea lui n.

    Fapt interesant: un triunghi cu laturile 5, 4 și 3 este numit și triunghi egiptean un astfel de triunghi era cunoscut în Egiptul Antic.

    În această lecție video am învățat teorema inversă cu teorema lui Pitagora. Am examinat dovezile în detaliu. Elevii au învățat și care triunghiuri se numesc triunghiuri pitagoreice.

    Elevii se pot familiariza cu ușurință cu subiectul „Teorema inversă a lui Pitagora” cu ajutorul acestei lecții video.

    Potrivit lui Van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

    În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

    Formulări

    Formularea de bază conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), este îndeplinită următoarea relație:

    .

    Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de aria unei figuri: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioare. Teorema este formulată în această formă în Elementele lui Euclid.

    Conversați teorema lui Pitagora- o afirmație despre dreptunghiularea oricărui triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru fiecare triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

    Dovada

    Există cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora înregistrate în literatura științifică, ceea ce se explică atât prin semnificația sa fundamentală pentru geometrie, cât și prin natura elementară a rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: ​​utilizarea algebrică a relațiilor dintre elementele unui triunghi (de exemplu, metoda populară a asemănării), metoda zonelor, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

    Prin triunghiuri asemănătoare

    Dovada clasică a lui Euclid are ca scop stabilirea egalității ariilor dintre dreptunghiuri formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei după înălțimea unghiului drept cu pătratele de deasupra catetelor.

    Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CHși raza care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, constituind patratul de deasupra ipotenuzei, si dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabileste in mod similar.

    Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED) se stabilește prin congruența triunghiurilor △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)Și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror aria fiecăruia este egală cu jumătate din aria pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED)în consecință, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă parte a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).

    Astfel, dovada stabilește că aria unui pătrat deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)Și B H J I (\displaystyle BHJI), este egală cu suma ariilor pătratelor peste catete.

    Dovada lui Leonardo da Vinci

    Metoda zonei include și o dovadă găsită de Leonardo da Vinci. Să fie dat un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) cu unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral HJ (\displaystyle HJ) dintre acestea din urmă se construiește un triunghi pe latura exterioară, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în ​​raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)Și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)Și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) egale în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)Și D A B G (\displaystyle DABG), a căror aria fiecăreia se dovedește a fi, pe de o parte, egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, jumătate din aria pătratului de pe ipotenuză plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

    Dovada prin metoda infinitezimală

    Există mai multe dovezi care folosesc tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale picioarelor a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:

    d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

    Folosind metoda separării variabilelor, din acestea se derivă o ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relaţia c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește constanta ca 0, ceea ce are ca rezultat enunțul teoremei.

    Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

    Variații și generalizări

    Forme geometrice similare pe trei laturi

    O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în Elementele, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile unor figuri geometrice similare arbitrare: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri similare construită pe ipotenuză.

    Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Și C (\displaystyle C), construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)În consecință, este valabilă următoarea relație:

    A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

    Deoarece conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), apoi gata.

    În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a invoca teorema lui Pitagora că ariile a trei figuri geometrice similare de pe laturile unui triunghi dreptunghic satisfac relația A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul demonstrației generalizării lui Euclid, se poate obține o demonstrație a teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu o zonă C (\displaystyle C), iar pe laturi - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe laturi se formează ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma celor două zone mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.

    Teorema cosinusului

    Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

    a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

    unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

    Triunghiul liber

    Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Thabit ibn Qurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură se potrivește în el c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ), partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri, similare cu cel original: primul - cu laturi a (\displaystyle a), latura cea mai îndepărtată de aceasta a triunghiului isoscel înscris și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea - simetric față de acesta din lateral b (\displaystyle b) cu laterala s (\displaystyle s)- partea corespunzătoare a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, următoarea relație este satisfăcută:

    a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

    degenerând în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Relația este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

    c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

    Teorema lui Pappus asupra arii

    Geometrie non-euclidiană

    Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.

    În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care delimitează octantul sferei unității, au o lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.

    Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.

    Geometrie sferică

    Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul dintr-un triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:

    cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\dreapta)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\dreapta)).

    Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

    cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

    Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

    ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

    Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus laturii c (\displaystyle c).

    Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă un triunghi hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.

    Aplicație

    Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

    Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiulare: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))Și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:

    s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

    Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea modulului unui număr complex - pentru z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea

    Obiectivele lecției:

    Educativ: formulați și demonstrați teorema lui Pitagora și inversul teoremei lui Pitagora. Arătați semnificația lor istorică și practică.

    Dezvoltare: dezvoltați atenția, memoria, gândirea logică a elevilor, capacitatea de a raționa, de a compara și de a trage concluzii.

    Educativ: pentru a cultiva interesul și dragostea pentru subiect, acuratețea, capacitatea de a asculta camarazi și profesori.

    Echipament: Portretul lui Pitagora, postere cu sarcini de consolidare, manual „Geometrie” pentru clasele 7-9 (I.F. Sharygin).

    Planul lecției:

    I. Moment organizatoric – 1 min.

    II. Verificarea temelor – 7 min.

    III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric – 4-5 min.

    IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora – 7 min.

    V. Formularea și demonstrarea teoremei inverse la teorema lui Pitagora – 5 min.

    Consolidarea materialului nou:

    a) orală – 5-6 min.
    b) scris – 7-10 minute.

    VII. Tema pentru acasă – 1 min.

    VIII. Rezumatul lecției – 3 min.

    În timpul orelor

    I. Moment organizatoric.

    II. Verificarea temelor.

    clauza 7.1, nr. 3 (la tabla conform desenului finit).

    Condiție: Altitudinea unui triunghi dreptunghic împarte ipotenuza în segmente de lungime 1 și 2. Aflați catetele acestui triunghi.

    BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC

    Întrebare suplimentară: scrieți rapoartele într-un triunghi dreptunghic.

    Secțiunea 7.1, nr. 5. Tăiați triunghiul dreptunghic în trei triunghiuri similare.

    Explica.

    ASN ~ ABC ~ SVN

    (atrageți atenția elevilor asupra corectitudinii scrierii vârfurilor corespunzătoare ale triunghiurilor similare)

    III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric.

    Adevărul va rămâne etern de îndată ce o persoană slabă îl va recunoaște!

    Și acum teorema lui Pitagora este adevărată, ca în epoca lui îndepărtată.

    Nu întâmplător mi-am început lecția cu cuvintele romancierului german Chamisso. Lecția noastră de astăzi este despre teorema lui Pitagora. Să scriem subiectul lecției.

    În fața ta este un portret al marelui Pitagora. Născut în 576 î.Hr. După ce a trăit 80 de ani, a murit în 496 î.Hr. Cunoscut ca filozof și profesor grec antic. Era fiul negustorului Mnesarchus, care îl ducea adesea în călătorii, datorită cărora băiatul a dezvoltat curiozitatea și dorința de a învăța lucruri noi. Pitagora este o poreclă dată lui pentru elocvența sa („Pythagoras” înseamnă „persuasiv prin vorbire”). El însuși nu a scris nimic. Toate gândurile lui au fost înregistrate de studenții săi. Ca urmare a primei prelegeri pe care a ținut-o, Pitagora a dobândit 2000 de elevi, care, împreună cu soțiile și copiii lor, au format o școală uriașă și au creat un stat numit „Grecia Mare”, care se baza pe legile și regulile lui Pitagora, venerat. ca porunci divine. El a fost primul care a numit raționamentul său despre sensul vieții filozofie (filosofie). Era predispus la mistificare și comportament demonstrativ. Într-o zi, Pitagora s-a ascuns în subteran și a aflat despre tot ce se întâmpla de la mama lui. Apoi, ofilit ca un schelet, a declarat într-o întâlnire publică că a fost în Hades și a arătat o cunoaștere uimitoare a evenimentelor pământești. Pentru aceasta, locuitorii atinși l-au recunoscut drept Dumnezeu. Pitagora nu a plâns niciodată și era în general inaccesibil pasiunilor și entuziasmului. El credea că provine dintr-o sămânță care era mai bună decât una umană. Întreaga viață a lui Pitagora este o legendă care a ajuns până la vremea noastră și ne-a vorbit despre cel mai talentat om al lumii antice.

    IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora.

    Cunoști formularea teoremei lui Pitagora din cursul tău de algebră. Să ne amintim de ea.

    Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

    Cu toate acestea, această teoremă era cunoscută cu mulți ani înainte de Pitagora. Cu 1500 de ani înainte de Pitagora, vechii egipteni știau că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și au folosit această proprietate pentru a construi unghiuri drepte atunci când planificau terenuri și construiau clădiri. În cea mai veche lucrare chineză de matematică și astronomie care a ajuns până la noi, „Zhiu-bi”, scrisă cu 600 de ani înainte de Pitagora, printre alte propuneri referitoare la triunghiul dreptunghic, este conținută teorema lui Pitagora. Chiar și mai devreme această teoremă era cunoscută hindușilor. Astfel, Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, care a transferat-o din domeniul practicii în domeniul științei;

    Din cele mai vechi timpuri, matematicienii au găsit din ce în ce mai multe dovezi ale teoremei lui Pitagora. Sunt cunoscute peste o sută și jumătate dintre ele. Să ne amintim de demonstrația algebrică a teoremei lui Pitagora, cunoscută nouă din cursul de algebră. („Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor” G.V. Dorofeev, M., „Drofa”, 2000).

    Invitați elevii să-și amintească dovada desenului și să o scrie pe tablă.

    (a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

    a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

    a 2 + b 2 = c 2 a a b

    Vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „Uite”.

    Să considerăm într-o prezentare modernă una dintre dovezile aparținând lui Pitagora. La începutul lecției, ne-am amintit teorema despre relațiile într-un triunghi dreptunghic:

    h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

    Să adăugăm ultimele două egalități termen cu termen:

    b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

    În ciuda simplității aparente a acestei dovezi, este departe de a fi cea mai simplă. La urma urmei, pentru aceasta a fost necesar să se deseneze înălțimea într-un triunghi dreptunghic și să se ia în considerare triunghiuri similare. Vă rugăm să scrieți aceste dovezi în caiet.

    V. Formularea și demonstrarea teoremei invers cu teorema lui Pitagora.

    Care este inversul acestei teoreme? (...dacă condiția și concluzia sunt inversate.)

    Să încercăm acum să formulăm teorema inversă cu teorema lui Pitagora.

    Dacă într-un triunghi cu laturile a, b și c este valabilă egalitatea c 2 = a 2 + b 2, atunci acest triunghi este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii c.

    (Dovada teoremei inverse pe poster)

    ABC, BC = a,

    AC = b, BA = c.

    a 2 + b 2 = c 2

    Dovedi:

    ABC - dreptunghiular,

    Dovada:

    Considerăm un triunghi dreptunghic A 1 B 1 C 1,

    unde C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

    Apoi, conform teoremei lui Pitagora, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

    Adică B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC pe trei laturi ABC este dreptunghiular

    C = 90°, ceea ce trebuia demonstrat.

    VI. Consolidarea materialului studiat (oral).

    1. Pe baza unui afiș cu desene gata făcute.

    Fig. 1: găsiți AD dacă ВD = 8, ВDA = 30°.

    Fig.2: găsiți CD dacă BE = 5, BAE = 45°.

    Fig.3: găsiți BD dacă BC = 17, AD = 16.

    2. Este un triunghi dreptunghiular dacă laturile sale sunt exprimate prin numere:

    5 2 + 6 2 ? 7 2 (nu)

    9 2 + 12 2 = 15 2 (da)

    15 2 + 20 2 = 25 2 (da)

    Cum se numesc tripletele numerelor din ultimele două cazuri? (Pitagorean).

    VI. Rezolvarea problemelor (în scris).

    Nr. 9. Latura unui triunghi echilateral este egală cu a. Găsiți înălțimea acestui triunghi, raza cercului circumscris și raza cercului înscris.

    Nr. 14. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic raza cercului circumscris este egală cu mediana trasată la ipotenuză și egală cu jumătate din ipotenuză.

    VII. Teme pentru acasă.

    Paragraful 7.1, pp. 175-177, examinați Teorema 7.4 (teorema lui Pitagora generalizată), nr. 1 (oral), nr. 2, nr. 4.

    VIII. Rezumatul lecției.

    Ce nou ai învățat în clasă astăzi? …………

    Pitagora a fost în primul rând un filozof. Acum vreau să vă citesc câteva dintre spusele lui, care sunt încă relevante în timpul nostru pentru tine și pentru mine.

    • Nu ridica praf pe calea vieții.
    • Fă doar ceea ce nu te va supăra mai târziu și nu te va forța să te pocăiești.
    • Nu face niciodată ceea ce nu știi, ci învață tot ce trebuie să știi și atunci vei duce o viață liniștită.
    • Nu închide ochii când vrei să dormi, fără să fi rezolvat toate acțiunile din ziua trecută.
    • Învață să trăiești simplu și fără lux.

    Teorema lui Pitagora spune:

    Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

    a 2 + b 2 = c 2,

    • AȘi b– picioarele formând un unghi drept.
    • Cu– ipotenuza triunghiului.

    Formule ale teoremei lui Pitagora

    • a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
    • b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
    • c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

    Demonstrarea teoremei lui Pitagora

    Aria unui triunghi dreptunghic se calculează folosind formula:

    S = \frac(1)(2) ab

    Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

    • p– semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
    • r– raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

    Apoi echivalăm părțile drepte ale ambelor formule pentru aria triunghiului:

    \frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

    2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

    2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

    2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

    0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

    c^(2) = a^(2)+b^(2)

    Teorema inversă a lui Pitagora:

    Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bȘi c, astfel încât

    a 2 + b 2 = c 2,

    există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.

    teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filosof Pitagora.

    Sensul teoremei faptul că cu ajutorul lui poți demonstra alte teoreme și poți rezolva probleme.

    Material suplimentar: