Aflați ce linie stabilește ecuația. Determinarea ecuației unei drepte, exemple de dreaptă pe un plan. condiție de paralelism
Cel mai important concept de geometrie analitică este ecuația dreaptă pe un plan.
Definiție. Prin ecuația unei linii (curbe) pe un plan Oxy se numește ecuația pe care coordonatele Xși y fiecare punct al unei linii date și coordonatele oricărui punct care nu se află pe această dreaptă nu satisfac (Fig. 1).
În cazul general, ecuația dreaptă poate fi scrisă sub forma F (x, y) = 0 sau y = f (x).
Exemplu. Aflați ecuația mulțimii de puncte echidistante de puncte A (-4; 2), B (-2; -6).
Soluţie. Dacă M (x; y) Este un punct arbitrar al dreptei căutate (Fig. 2), atunci avem AM = BM sau
După transformări obținem
Evident, aceasta este ecuația dreptei MD- perpendiculara restabilită de la mijlocul segmentului AB.
Dintre toate liniile din avion, linie dreapta... Este un grafic al unei funcții liniare utilizată în cele mai frecvent utilizate modele economice și matematice liniare.
Diferite tipuri de ecuații în linie dreaptă:
1) cu panta k si ordonata initiala b:
y = kx + b,
unde este unghiul dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei OH(fig. 3).
Cazuri speciale:
- trece linia dreaptă origine(fig. 4):
– bisectoare primul și al treilea, al doilea și al patrulea unghi de coordonate:
y = + x, y = -x;
- Drept paralel cu axa OX si eu axa OX(fig. 5):
y = b, y = 0;
- Drept paralel cu axa OY si eu axa ОY(fig. 6):
x = a, x = 0;
2) trecând în această direcție (cu panta) k printr-un punct dat (fig. 7) :
.
Dacă în ecuația de mai sus k Este un număr arbitrar, atunci determină ecuația grămadă de linii drepte trecând prin punct , cu excepția unei drepte paralele cu axa Oi.
ExempluA (3, -2):
a) în unghi față de axă OH;
b) paralel cu axa OY.
Soluţie.
A) 
, y - (- 2) = - 1 (x-3) sau y = -x + 1;
b) x = 3.
3) trecerea prin două puncte date (fig. 8) :
.
Exemplu... Echivalează o dreaptă prin puncte A (-5,4), B (3, -2).
Soluţie. 
,
4) ecuația unei drepte în segmente (fig. 9):
Unde a, b - segmentele care urmează să fie tăiate pe axe, respectiv Bouși Oi.
Exemplu... Echivalează o dreaptă printr-un punct A (2, -1) dacă această linie se decupează de semiaxa pozitivă Oi un segment de două ori mai mare decât din semiaxa pozitivă Bou(fig. 10).
Soluţie... După condiție b = 2a, atunci . Înlocuiți coordonatele punctului A (2, -1):
Unde a = 1,5.
În sfârșit obținem:
Sau y = -2x + 3.
5) ecuația generală a dreptei:
Ax + By + C = 0,
Unde Ași b nu sunt egale cu zero în același timp.
Câteva caracteristici importante ale liniilor drepte :
1) distanța d de la un punct la o dreaptă:
.
2) unghiul dintre drepte și, respectiv:
și 
.
3) condiția pentru paralelismul dreptelor:
sau .
4) condiția de perpendicularitate a dreptelor:
sau 
.
Exemplul 1... Echivalează două drepte printr-un punct A (5,1), dintre care unul este paralel cu linia dreaptă 3x + 2y-7 = 0 iar celălalt este perpendicular pe aceeași dreaptă. Aflați distanța dintre liniile paralele.
Soluţie... Figura 11.
1) ecuația unei drepte paralele Ax + By + C = 0:
din condiția paralelismului;
luând factorul de proporționalitate egal cu 1, obținem A = 3, B = 2;
atunci. 3x + 2y + C = 0;
sens CU găsiți prin înlocuirea coordonatelor m. A (5,1),
3 * 5 + 2 * 1 + C = 0, Unde C = -17;
ecuație cu linii paralele - 3x + 2y-17 = 0.
2) ecuația dreptei perpendiculare din condiţia de perpendicularitate va avea forma 2x-3y + C = 0;
înlocuind coordonatele t. A (5,1), primim 2 * 5-3 * 1 + C = 0, Unde C = -7;
ecuația dreptei perpendiculare este 2x-3y-7 = 0.
3) distanța dintre liniile paralele poate fi găsită ca distanța de la T. A (5,1)înainte de dat direct 3x + 2y-7 = 0:
.
Exemplul 2... Ecuațiile laturilor triunghiului sunt date:
3x-4y + 24 = 0 (AB), 4x + 3y + 32 = 0 (BC), 2x-y-4 = 0 (AC).
Echivalează bisectoarea unui unghi ABC.
Soluţie... În primul rând, găsim coordonatele vârfului V triunghi:
,
Unde x = -8, y = 0, acestea. B (-8,0)(fig. 12) .
După proprietatea bisectoarei, distanța de la fiecare punct M (x, y), bisectoare BD spre laterale ABși Soare sunt egali, adică
,
Obținem două ecuații
x + 7y + 8 = 0,7x-y + 56 = 0.
Din figura 12, panta dreptei dorite este negativă (unghi cu Oh prost), prin urmare, prima ecuație ni se potrivește x + 7y + 8 = 0 sau y = -1 / 7x-8/7.
Luați în considerare o relație de formă F (x, y) = 0 legarea variabile Xși la... Se va chema egalitatea (1). o ecuație cu două variabile x, y, dacă această egalitate nu este adevărată pentru toate perechile de numere Xși la... Exemple de ecuații: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 - 25 = 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Dacă (1) este adevărată pentru toate perechile de numere x și y, atunci se numește identitate... Exemple de identități: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.
Ecuația (1) va fi numită ecuația mulțimii de puncte (x; y), dacă această ecuaţie este satisfăcută de coordonate Xși la orice punct al multimii si nu satisfac coordonatele vreunui punct care nu apartin acestei multimi.
Un concept important în geometria analitică este conceptul de ecuație a unei linii. Să fie date pe plan un sistem de coordonate dreptunghiular și o linie α.
Definiție. Ecuația (1) se numește ecuație de linie α
(în sistemul de coordonate creat) dacă această ecuație este satisfăcută de coordonate Xși la orice punct de pe linie α
, și nu satisface coordonatele niciunui punct care nu se află pe această dreaptă.
Dacă (1) este ecuația dreptei α, atunci vom spune că ecuația (1) defineste (seteaza) linia α.
Linia α poate fi determinată nu numai de o ecuație de formă (1), ci și de o ecuație de formă
F (P, φ) = 0 conţinând coordonate polare.
- ecuația unei drepte cu pantă;
Să fie dată o linie dreaptă, nu perpendiculară pe axă OH... Hai sa sunăm unghi de înclinare o linie dreaptă dată către axă OH injecţie α la care doriți să rotiți axa OH astfel încât direcția pozitivă să coincidă cu una dintre direcțiile dreptei. Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă OH sunt numite pantă această linie dreaptă și notează cu literă LA.
|
|||
|
|||
Să derivăm ecuația acestei linii drepte, dacă o știm LAși valoarea din segment OV pe care o taie pe ax OU.
|
|
Ecuația (2) se numește ecuația unei drepte cu pantă. Dacă K = 0, atunci linia este paralelă cu axa OH iar ecuația sa are forma y = b.
- ecuația unei drepte care trece prin două puncte;
|
|
... Aceasta este ecuația dacă y 1 ≠ y 2, poate fi scris ca: Dacă y 1 = y 2, atunci ecuația dreptei căutate are forma y = y 1... În acest caz, linia este paralelă cu axa OH... Dacă x 1 = x 2, apoi linia dreaptă care trece prin puncte M 1și M 2 paralel cu axa OU, ecuația sa are forma x = x 1.
- ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată;
|
|
și, invers, ecuația (5) cu coeficienți arbitrari A, B, C (Ași B ≠ 0 simultan) definește o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ooh.
Dovada.
Mai întâi, demonstrăm prima afirmație. Dacă linia nu este perpendiculară Oh, atunci este determinat de o ecuație de gradul întâi: y = kx + b, adică ecuația de forma (5), unde
A = k, B = -1și C = b. Dacă linia este perpendiculară Oh, atunci toate punctele sale au aceleași abscise egale cu valoarea α segmentul tăiat de o linie dreaptă pe axă Oh.
Ecuația acestei drepte are forma x = α, acestea. este și o ecuație de gradul I a formei (5), unde A = 1, B = 0, C = - α. Aceasta dovedește prima afirmație.
Să demonstrăm afirmația inversă. Să fie dată ecuația (5) și cel puțin unul dintre coeficienți Ași B ≠ 0.
Dacă B ≠ 0, atunci (5) poate fi scris ca. Apartament 
, obținem ecuația y = kx + b, adică ecuația de forma (2) care determină dreapta.
Dacă B = 0, atunci A ≠ 0și (5) ia forma. Indicând prin α, primim
x = α, adică ecuația unei drepte perpendiculare pe Ox.
Se numesc linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de gradul întâi linii de ordinul întâi.
Ecuația formei Ax + Wu + C = 0 este incompletă, adică oricare dintre coeficienți este zero.
1) C = 0; Ah + Wu = 0și definește o linie dreaptă care trece prin origine.
2) B = 0 (A ≠ 0); ecuația Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0și definește o paralelă dreaptă Oh.
Ecuația (6) se numește ecuația dreptei „în segmente”. Numerele Ași b sunt valorile segmentelor de linie pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate. Această formă a ecuației este convenabilă pentru construcția geometrică a unei linii drepte.
- ecuația normală a unei linii drepte;
Аx + Вy + С = 0 este ecuația generală a unei drepte și (5) X cos α + y sin α - p = 0(7)
ecuația sa normală.
Deoarece ecuația (5) și (7) definesc aceeași linie dreaptă, atunci ( A 1x + B 1y + C 1 = 0și
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) coeficienții acestor ecuații sunt proporționali. Aceasta înseamnă că înmulțind toți termenii ecuației (5) cu un factor M, obținem ecuația MA x + MV y + MC = 0 care coincide cu ecuația (7) adică
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Pentru a găsi factorul M, pătrați primele două dintre aceste egalități și adăugați:
M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)
definește o curbă pe plan. Un grup de termeni se numește formă pătratică, 
- formă liniară. Dacă forma pătratică conține doar pătrate de variabile, atunci această formă se numește canonică, iar vectorii bazei ortonormale în care forma pătratică are forma canonică se numesc axe principale ale formei pătratice.
Matrice 
se numește matrice de formă pătratică. Aici a 1 2 = a 2 1. Pentru a reduce matricea B la o formă diagonală, este necesar să luăm ca bază vectorii proprii ai acestei matrice, apoi 
, unde λ 1 și λ 2 sunt valorile proprii ale matricei B.
Pe baza vectorilor proprii ai matricei B, forma pătratică va avea forma canonică: λ 1 x 2 1 + λ 2 y 2 1.
Această operație corespunde rotației axelor de coordonate. Apoi originea coordonatelor este deplasată, scăpând astfel de forma liniară.
Forma canonică a unei curbe de ordinul doi: λ 1 x 2 2 + λ 2 y 2 2 = a, în plus:
a) dacă λ 1> 0; λ 2> 0 este o elipsă, în special, pentru λ 1 = λ 2 este un cerc;
b) dacă λ 1> 0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) avem o hiperbolă;
c) dacă λ 1 = 0 sau λ 2 = 0, atunci curba este o parabolă și după rotirea axelor de coordonate are forma λ 1 x 2 1 = ax 1 + prin 1 + c (aici λ 2 = 0) . Completând la un pătrat complet, vom avea: λ 1 x 2 2 = b 1 y 2.
Un exemplu. Ecuația curbei este dată 3x 2 + 10xy + 3y 2 -2x-14y-13 = 0 în sistemul de coordonate (0, i, j), unde i = (1,0) și j = (0,1) .
1. Determinați tipul de curbă.
2. Aduceți ecuația la forma canonică și construiți o curbă în sistemul de coordonate original.
3. Găsiți transformările de coordonate adecvate.
Soluţie... Aducem forma pătratică B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 la axele principale, adică la forma canonică. Matricea acestei forme pătratice 
... Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai acestei matrice: 
Ecuația caracteristică: 
; λ 1 = -2, λ 2 = 8. Vedere formă cuadratică: 
.
Ecuația originală definește hiperbola.
Rețineți că forma formei pătratice este ambiguă. Puteți scrie 8x 1 2 -2y 1 2, dar tipul curbei rămâne același - hiperbola.
Găsiți axele principale ale formei pătratice, adică vectorii proprii ai matricei B. 
.
Vectorul propriu corespunzător numărului λ = -2 la x 1 = 1: x 1 = (1, -1).
Ca vector propriu unitar, luăm vectorul 
, unde este lungimea vectorului x 1.
Coordonatele celui de-al doilea vector propriu corespunzătoare celei de-a doua valori proprii λ = 8 se găsesc din sistem 
.
1, j 1).
Conform formulelor (5) de la paragraful 4.3.3. mergi la o noua baza: 
sau
; 
. (*)
Introducem expresiile x și y în ecuația originală și, după transformări, obținem:
.
Selectați pătrate complete:
.
Efectuăm o translație paralelă a axelor de coordonate la o nouă origine:
, 
.
Dacă introducem aceste rapoarte în (*) și rezolvăm aceste egalități în raport cu x 2 și y 2, atunci obținem:
, 
... În sistemul de coordonate (0 *, i 1, j 1), această ecuație are forma: 
.
Pentru a construi o curbă, construim una nouă în vechiul sistem de coordonate: axa x 2 = 0 este stabilită în vechiul sistem de coordonate de ecuația xy-3 = 0, iar axa y 2 = 0 de ecuația x + y-1 = 0. Originea noului sistem de coordonate 0 * (2, -1) este punctul de intersecție al acestor drepte.
Pentru a simplifica percepția, vom împărți procesul de trasare în 2 etape:
1. Trecerea la un sistem de coordonate cu axe x 2 = 0, y 2 = 0, specificate în vechiul sistem de coordonate prin ecuațiile x-y-3 = 0 și, respectiv, x + y-1 = 0.
2. Trasarea graficului funcției în sistemul de coordonate rezultat.
Versiunea finală a programului arată astfel (vezi. Soluţie: Descărcați soluția
Exercițiu... Stabiliți că fiecare dintre următoarele ecuații definește o elipsă și găsiți coordonatele centrului său C, semiaxa, excentricitatea, ecuațiile directrice. Desenați o elipsă în desen, specificând axele de simetrie, focarele și directrice.
Soluţie.
§ 9. Conceptul de ecuaţie de linie.
Specificarea unei linii folosind o ecuație
Egalitatea formei F (x, y) = 0 se numește ecuație cu două variabile X, y, dacă nu este valabil pentru toate perechile de numere X y. Ei spun că două numere X = X 0 , y = y 0, satisface o ecuație a formei F (x, y) = 0, dacă, la înlocuirea acestor numere în loc de variabile Xși laîn ecuație, partea stângă dispare.
Ecuația unei linii date (în sistemul de coordonate alocat) este o astfel de ecuație cu două variabile, care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct situat pe această dreaptă, iar coordonatele fiecărui punct care nu se află pe acesta nu sunt satisfăcute.
În cele ce urmează, în locul expresiei „, este dată ecuația dreptei F (x, y) = 0 „de multe ori vom vorbi mai scurt: dat o linie F (x, y) = 0.
Dacă sunt date ecuații a două drepte F (x, y) = 0și Ф (x, y) = Q, apoi soluția comună a sistemului
Oferă toate punctele de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem definește unul dintre punctele de intersecție.
1)X 2 + la 2 = 8, x-y = 0;
2) X 2 + la 2 -16X+4la+18 = 0, x + y= 0;
3) X 2 + la 2 -2X+4la -3 = 0, X 2 + la 2 = 25;
4) X 2 + la 2 -8X+ 10y + 40 = 0, X 2 + la 2 = 4.
163. Punctele sunt date în sistemul de coordonate polare
Stabiliți care dintre aceste puncte se află pe dreapta definită de ecuație în coordonatele polare = 2 cos și care nu se află pe ea. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen :)
164. Pe dreapta definită de ecuaţia = 
,
găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) 
, b) -, c) 0, d)
... Care linie este definită de această ecuație?
(Construiți-l pe plan.)
165. Pe dreapta definită de ecuaţia = 
, găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1, b) 2, c) 
.
Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe plan.)
166. Stabiliți ce drepte sunt determinate în coordonate polare de următoarele ecuații (construiți-le pe desen):
1) = 5; 2) =; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) sin =
Luați în considerare funcția dată de formula (ecuația)
Această funcție și, prin urmare, ecuația (11), corespunde în plan unei linii bine definite, care este graficul acestei funcții (vezi Fig. 20). Din definiția graficului funcției rezultă că această dreaptă este formată din acele și numai acele puncte ale planului ale căror coordonate satisfac ecuația (11).
Lasă acum
Linia, care este graficul acestei funcții, constă din acele și numai acele puncte ale planului ale căror coordonate satisfac ecuația (12). Aceasta înseamnă că, dacă un punct se află pe linia specificată, atunci coordonatele lui satisfac ecuația (12). Dacă punctul nu se află pe această dreaptă, atunci coordonatele sale nu satisfac ecuația (12).
Ecuația (12) se rezolvă în raport cu y. Luați în considerare o ecuație care conține x și y și care nu este rezolvată în raport cu y, de exemplu, ecuația
Să arătăm că acestei ecuații îi corespunde în plan o dreaptă și anume un cerc cu un centru la origine și o rază egală cu 2. Rescriem ecuația sub forma
Partea sa stângă este pătratul distanței unui punct de la originea coordonatelor (vezi § 2, articolul 2, formula 3). Din egalitatea (14) rezultă că pătratul acestei distanțe este 4.
Aceasta înseamnă că orice punct ale cărui coordonate satisfac ecuația (14) și, prin urmare, ecuația (13), este situat la o distanță de 2 de originea coordonatelor.
Locul acestor puncte este un cerc cu un centru la origine și o rază de 2. Acest cerc va fi linia corespunzătoare ecuației (13). Coordonatele oricăruia dintre punctele sale satisfac în mod evident ecuația (13). Dacă punctul nu se află pe cercul pe care l-am găsit, atunci pătratul distanței sale de la originea coordonatelor va fi fie mai mare, fie mai mic decât 4, ceea ce înseamnă că coordonatele unui astfel de punct nu satisfac ecuația (13).
Să presupunem acum, în cazul general, având în vedere ecuația
pe partea stângă a căreia există o expresie care conține x și y.
Definiție. Linia definită de ecuația (15) este locul punctelor planului ale cărui coordonate satisfac această ecuație.
Aceasta înseamnă că, dacă linia L este determinată de ecuație, atunci coordonatele oricărui punct L satisfac această ecuație, iar coordonatele oricărui punct al planului situat în afara lui L nu satisfac ecuația (15).
Ecuația (15) se numește ecuație de linie
Cometariu. Să nu credeți că vreo ecuație definește vreo linie. De exemplu, ecuația nu definește nicio linie. Într-adevăr, pentru orice valoare reală a lui și y, partea stângă a acestei ecuații este pozitivă, iar partea dreaptă este egală cu zero și, prin urmare, această ecuație nu poate fi satisfăcută de coordonatele oricărui punct din plan.
O linie poate fi definită pe un plan nu numai printr-o ecuație care conține coordonate carteziene, ci și printr-o ecuație în coordonate polare. Linia definită de ecuație în coordonate polare este locul punctelor de pe plan, ale căror coordonate polare satisfac această ecuație.
Exemplul 1. Construiți spirala lui Arhimede la.
Soluţie. Să facem un tabel pentru unele valori ale unghiului polar și valorile lor corespunzătoare razei polare.
Construim un punct în sistemul de coordonate polare, care, evident, coincide cu polul; apoi, desenând axa într-un unghi față de axa polară, construim un punct cu o coordonată pozitivă pe această axă, după care construim în mod similar puncte cu valori pozitive ale unghiului polar și ale razei polare (axele pentru aceste puncte sunt neindicată în fig. 30).
Conectând punctele împreună, obținem o ramură a curbei, indicată în Fig. 30 cu o linie îndrăzneață. La schimbarea de la 0 la, această ramură a curbei constă dintr-un număr infinit de spire.
