meşteşuguri

Teorema lui Vieta pentru ecuații pătratice și alte ecuații. Teorema lui Viet, formula lui Viet inversă și exemple cu soluție pentru manechine Teorema eliminării lui Viet

Orice ecuație pătratică completă ax2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțim fiecare termen la coeficientul a înainte x2. Și dacă introducem o nouă notație (b/a) = pși (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuație pătratică redusă.

Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienții pși q interconectate. Este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.

Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.

Scriem aceste rapoarte în următoarea formă:

Lăsa x 1și x2 diverse rădăcini ale ecuației reduse x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x1 + x2 = -pși x 1 x 2 = q.

Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Scădeți a doua din prima egalitate. Primim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Extindem primii doi termeni conform formulei diferenței pătratelor:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea cu (x 1 - x 2) ≠ 0 și exprimăm p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prima egalitate este dovedită.

Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 în loc de coeficientul p, numărul său egal este (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Transformând partea stângă a ecuației, obținem:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, care urma să fie demonstrat.

Teorema lui Vieta este bună pentru că, chiar și fără a cunoaște rădăcinile ecuației pătratice, putem calcula suma și produsul acestora .

Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale ecuației pătratice date. Dar pentru mulți elevi, acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.

Deci, ecuația pătratică dată are forma x 2 + px + q \u003d 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = -p și x 1 x 2 = q.

Putem trage următoarea concluzie.

Dacă în ecuație ultimul termen este precedat de semnul minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici este același cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.

Pe baza faptului că atunci când adăugați numere cu semne diferite, modulele acestora sunt scăzute și semnul numărului mai mare din modul este plasat în fața rezultatului, ar trebui să procedați după cum urmează:

determinați astfel de factori ai numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele obținute; a doua rădăcină va avea semnul opus.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația x 2 - 2x - 15 = 0.

Soluţie.

Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic. , adică semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 \u003d -3 și x 2 \u003d 5.

Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația x 2 + 5x - 6 = 0.

Soluţie.

Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ecuația are două rădăcini diferite.

Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru o pereche de 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea acelasi semn. Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.

Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.

Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci dacă ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2 , atunci ele satisfac egalitățile

x 1 + x 2 = -(b/a)și x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme în ecuația pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.

În acest caz, ecuația rezultată se va transforma într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate prin teorema Vieta.

În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi

x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Soluţie.

Facem o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Facem schimbarea t = 15x. Avem:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Conform teoremei Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.

Revenim la înlocuirea t = 15x:

5 = 15x sau 6 = 15x. Astfel x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Pentru a stăpâni soluția ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) ne permite să reducem timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații patratice folosind teorema lui Vieta? Este ușor dacă te gândești puțin.

Acum vom vorbi doar despre soluția ecuației pătratice reduse folosind teorema Vieta.Ecuația pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul în fața lui x², este egal cu unu. Ecuațiile pătratice care nu sunt date pot fi rezolvate și folosind teorema Vieta, dar deja cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă la teorema lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți cursul raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

asta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (pentru că numai la înmulțirea numerelor cu aceleași semne se obține un număr pozitiv).

In absenta. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (au adăugat numere de același semn, au primit un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, le scădem pe cel mai mic din modul mai mare). Prin urmare, x1 + x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mult decât cealaltă (modulo).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Luați în considerare soluția ecuațiilor pătratice conform teoremei lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Prin urmare, 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Aproape orice ecuație pătratică \ poate fi convertită în forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă fiecare termen este inițial împărțit la coeficientul \ în fața \ În plus, se poate introduce o nouă notație:

\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]

Datorită acesteia, vom avea o ecuație \ numită în matematică ecuație pătratică redusă. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții \ sunt interconectați, ceea ce este confirmat de teorema Vieta.

Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \

Pentru claritate, rezolvăm ecuația de următoarea formă:

Rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. După analiza datelor inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. În această condiție se încadrează numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața celui mai mic. număr. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \

Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]

Unde pot rezolva ecuația folosind teorema lui Vieta online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date de teorema lui Vieta. În acest articol, vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare, considerăm o teoremă inversă cu teorema lui Vieta. După aceea, vom analiza soluțiile celor mai caracteristice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc legătura dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0 de forma , unde D=b 2 −4 a c , relațiile x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

În cazul în care un x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul lui rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom demonstra teorema Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formulele rădăcinilor cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că sunt egale cu −b /a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor, să o compunem. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem. În numărătorul fracţiei rezultate , după care : . În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice:. Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs se poate scrie ca. Acum înmulțim paranteza cu paranteza din numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței de pătrate, Asa de . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât formula D=b 2 −4 a·c corespunde discriminantului ecuației pătratice, atunci b 2 −4·a·c poate fi înlocuit în ultima fracție în loc de D, obținem . După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, atunci demonstrația teoremei Vieta va lua o formă concisă:
,
.

Rămâne doar de observat că atunci când discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Totuși, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema Vieta. Într-adevăr, pentru D=0 rădăcina ecuației pătratice este , atunci și , iar din moment ce D=0 , adică b 2 −4·a·c=0 , de unde b 2 =4·a·c , atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai des în raport cu ecuația pătratică redusă (cu cel mai mare coeficient a egal cu 1 ) de forma x 2 +p·x+q=0 . Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Iată formula corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q \u003d 0 este egală cu coeficientul de la x, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber, adică x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

A doua formulare a teoremei Vieta, dată în paragraful anterior, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, afirmația inversă la teorema lui Vieta este adevărată. O formulăm sub forma unei teoreme și o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 .

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q în ecuația x 2 +p x+q=0 ai expresiei lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Inlocuim numarul x 1 in loc de x in ecuatia rezultata, avem egalitatea x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 este egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p x+q=0 .

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, apoi obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Aceasta este ecuația corectă deoarece x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 2 este și rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, și de aici ecuațiile x 2 +p x+q=0 .

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această subsecțiune, vom analiza soluțiile mai multor dintre cele mai tipice exemple.

Începem prin a aplica o teoremă inversă teoremei lui Vieta. Este convenabil să îl utilizați pentru a verifica dacă cele două numere date sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei inverse teoremei lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4 , b=−16 , c=9 . Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile tocmai obținute.

În primul caz, avem x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Valoarea rezultată este diferită de 4, prin urmare, verificarea ulterioară nu poate fi efectuată, dar prin teoremă, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice date. .

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: , valoarea rezultată este diferită de 9/4 . Prin urmare, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Ultimul caz rămâne. Aici și . Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, poate fi folosită în practică pentru a selecta rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În același timp, folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să ne ocupăm de asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0 . Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități x 1 +x 2 \u003d 5 și x 1 x 2 \u003d 6. Rămâne de ales astfel de numere. În acest caz, este destul de simplu să faci asta: 2 și 3 sunt astfel de numere, deoarece 2+3=5 și 2 3=6 . Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă la teorema lui Vieta este deosebit de convenabilă pentru găsirea celei de-a doua rădăcini a ecuației pătratice reduse atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină se găsește din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x−3=0 . Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Deci x 1 =1 . A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512 , de unde x 2 =−3/512 . Deci am definit ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selectarea rădăcinilor este oportună numai în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcinile, puteți aplica formulele rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.

O altă aplicație practică a teoremei, inversa teoremei lui Vieta, este compilarea ecuațiilor pătratice pentru rădăcinile date x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Soluţie.

Notăm x 1 =−11 și x 2 =23 . Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 + x 2 \u003d 12 și x 1 x 2 \u003d −253. Prin urmare, aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătratice date cu al doilea coeficient -12 și termenul liber -253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația dorită.

Răspuns:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită în rezolvarea sarcinilor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0? Iată două afirmații relevante:

Dacă termenul liber q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele sunt negative.
Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Luați în considerare exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Conform formulei discriminante, găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , valoarea expresiei r 2 +8 este pozitiv pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. Prin urmare, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ, iar după teorema Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice date este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, trebuie rezolva o inegalitate liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus, am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai ai ecuațiilor pătratice, ci și ai ecuațiilor cubice, ecuațiilor cvadruple și, în general, ecuații algebrice gradul n. Ei sunt numiti, cunoscuti formule Vieta.

Scriem formulele Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei, în timp ce presupunem că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi aceleași):

Obține formule Vieta permite teorema de factorizare polinomială, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele Vieta.

În special, pentru n=2 avem deja familiare formule Vieta pentru ecuația pătratică .

Pentru o ecuație cubică, formulele Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Când studiați modalități de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, luați în considerare proprietățile rădăcinilor obținute. Ele sunt acum cunoscute ca teoremele lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație cuadratică

Ecuația de ordinul doi este o egalitate, care este prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere care se numesc coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece valoarea maximă a puterii la care este ridicat x este două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe moduri de a rezolva acest tip de egalitate. În acest articol, vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Enunțul teoremei lui Vieta

La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viet (francez) a observat, analizând proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți, duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă forma generală a ecuației este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, atunci matematic această teoremă poate fi scrisă ca două egalități:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Unde r 1 , r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației considerate.

Aceste două egalități pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice foarte diferite. Utilizarea teoremei Vieta în exemple cu o soluție este dată în următoarele secțiuni ale articolului.