Găsiți aria caracteristicii delimitată de linii online. Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Finalizarea soluției ar putea arăta astfel
În acest articol, veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul anumitor integrale tocmai a fost finalizat și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.
Deci, ceea ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:
- Abilitatea de a desena corect desene;
- Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
- Capacitatea de a „vedea” o soluție mai profitabilă - de ex. să înțelegeți cum în acest caz sau acela va fi mai convenabil să se efectueze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau axa y (OY)?
- Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:
1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie în cușcă, la scară mare. Semnăm cu un creion deasupra fiecărui grafic numele acestei funcții. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.
2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.
3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru găsirea zonei figurii. Luați în considerare diverse exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.
3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți aria unui trapez curbiliniu. Ce este un trapez curbiliniu? Aceasta este o figură plată delimitată de axa x (y=0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În același timp, această cifră nu este negativă și este situată nu mai jos decât axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită calculată folosind formula Newton-Leibniz:
Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Ce linii definesc figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole sunt pozitive. Apoi, date linii drepte x = 1și x = 3 care merg paralel cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, ea este axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se vede în figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.
3.2. În paragraful anterior 3.1 a fost analizat cazul când trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Cum să rezolvăm o astfel de problemă, vom analiza în continuare.
Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
În acest exemplu, avem o parabolă y=x2+6x+2, care provine de sub ax OH, Drept x=-4, x=-1, y=0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei de găsire a zonei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și totul este, de asemenea, continuu pe interval. [-4; -1] . Ce nu înseamnă pozitiv? După cum se poate vedea din figură, figura care se află în x-ul dat are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.
Articolul nu este completat.
Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.
Integrala dublă este numeric egală cu aria unei figuri plate (regiune de integrare). Aceasta este cea mai simplă formă a integralei duble, când funcția a două variabile este egală cu una: .
Să luăm mai întâi în considerare problema în termeni generali. Acum vei fi surprins cât de simplu este cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe intervalul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:
Să reprezentăm zona din desen:
Să alegem prima modalitate de a ocoli zona:
În acest fel:
Și imediat un truc tehnic important: integralele iterate pot fi considerate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Această metodă este foarte recomandată pentru începătorii în tema ceainicelor.
1) Calculați integrala internă, în timp ce integrarea se realizează peste variabila „y”:
Integrala nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numerele, ci funcțiile. În primul rând, am înlocuit limita superioară în „y” (funcția antiderivată), apoi limita inferioară
2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă:
O notație mai compactă pentru întreaga soluție arată astfel:
Formula rezultată este exact formula de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plate folosind integrala definită „obișnuită”! Vezi lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este ea la fiecare pas!
Acesta este, problema calculării ariei folosind o integrală dublă putin diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită! De fapt, sunt una și aceeași!
În consecință, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu voi lua în considerare foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâmpinat această problemă în mod repetat.
Exemplul 9
Soluţie: Să reprezentăm zona din desen:
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a regiunii:
Aici și mai jos, nu voi intra în modul de a traversa o zonă pentru că primul paragraf a fost foarte detaliat.
În acest fel:
După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat, voi adera la aceeași metodă:
1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă:
2) Rezultatul obținut la prima etapă este înlocuit în integrala exterioară:
Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plate folosind o integrală definită.
Răspuns:
Iată o sarcină atât de stupidă și naivă.
Un exemplu curios pentru o soluție independentă:
Exemplul 10
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,
Un exemplu de soluție finală la sfârșitul lecției.
În exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosiți prima metodă de ocolire a zonei; cititorii curioși, apropo, pot schimba ordinea ocolirii și pot calcula zonele în al doilea mod. Dacă nu greșești, atunci, firește, se obțin aceleași valori ale zonei.
Dar, în unele cazuri, a doua modalitate de a ocoli zona este mai eficientă și, în încheierea cursului tânărului tocilar, să ne uităm la câteva exemple pe acest subiect:
Exemplul 11
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plane delimitate de linii.
Soluţie: aşteptăm cu nerăbdare două parabole cu briză care stau pe partea lor. Nu este nevoie să zâmbești, lucruri similare în integrale multiple sunt adesea întâlnite.
Care este cel mai simplu mod de a face un desen?
Să reprezentăm parabola ca două funcții:
- ramura superioară și - ramura inferioară.
În mod similar, reprezentăm parabola ca ramurile superioare și inferioare.
Aria figurii se calculează folosind integrala dublă conform formulei:
Ce se întâmplă dacă alegem prima modalitate de a ocoli zona? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine tristă: . Integralele, desigur, nu sunt de un nivel supercomplex, dar... există o veche zicală matematică: cine este prietenos cu rădăcinile nu are nevoie de o compensație.
Prin urmare, din neînțelegerea dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse:
Funcțiile inverse din acest exemplu au avantajul că stabilesc imediat întreaga parabolă fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.
Conform celei de-a doua metode, traversarea zonei va fi după cum urmează:
În acest fel:
După cum se spune, simți diferența.
1) Ne ocupăm de integrala internă:
Înlocuim rezultatul în integrala exterioară:
Integrarea peste variabila „y” nu ar trebui să fie jenantă, dacă ar exista o litera „zyu” - ar fi grozav să o integrezi peste ea. Deși cine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de revoluție, nu mai simte nici cea mai mică jenă cu integrarea peste „y”.
Fiți atenți și la primul pas: integrandul este par, iar segmentul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecție. Metode eficiente de calcul a integralei definite.
Ce să adaugi…. Tot!
Răspuns:
Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați . Răspunsul ar trebui să fie exact același.
Exemplul 12
Folosind integrala dublă, calculați aria unei figuri plane delimitate de linii
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Este interesant de remarcat faptul că, dacă încercați să utilizați prima modalitate de a ocoli zona, atunci figura nu va mai fi împărțită în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obținem trei perechi de integrale iterate. Uneori se întâmplă.
Clasa de master s-a încheiat și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează integrala dublă? Exemple de soluții. Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)
Îți doresc succes!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:Soluţie:
Desenați o zonă pe desen:
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a regiunii:
În acest fel:
Să trecem la funcțiile inverse:
În acest fel:
Răspuns:
Exemplul 4:Soluţie:
Să trecem la funcțiile directe:
Să executăm desenul:
Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:
Răspuns:
Ordinea de traversare a zonei:
În acest fel:
1)
2)
Răspuns:
În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] .
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor, care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y) .
TeoremaFie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe segmentul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b] . Apoi formula pentru calcularea ariei unei figuri G delimitată de linii x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) și y \u003d f 2 (x) va arăta ca S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) și x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dovada
Vom analiza trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a zonei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2 . Înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x .
Punctele de intersecție le vom nota ca x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Aceste puncte rup segmentul [ a ; b ] în n părţi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Și acum să trecem la analiza exemplelor de calcul a ariei figurilor care sunt limitate de liniile y \u003d f (x) și x \u003d g (y) .
Luând în considerare oricare dintre exemple, vom începe cu construcția unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă întâmpinați probleme la trasarea graficelor și a figurilor pe ele, puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor funcțiilor, precum și trasarea în timp ce examinați o funcție.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Soluţie
Să trasăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pe intervalul [ 1 ; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2 . În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale definite folosind formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S (G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Soluţie
În acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7 . Acest lucru ne cere să găsim noi înșine a doua limită de integrare.
Să construim un grafic și să punem pe el liniile date în starea problemei.
Având un grafic în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție al graficului cu o linie dreaptă y \u003d x și o semi-parabolă y \u003d x + 2. Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2 , y = x se intersectează în punctul (2 ; 2) , astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.
Pe intervalul [ 2 ; 7 ] graficul funcţiei y = x este situat deasupra graficului funcţiei y = x + 2 . Aplicați formula pentru a calcula suprafața:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y \u003d 1 x și y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să desenăm linii pe grafic.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2 . Cu condiția ca x să nu fie egal cu zero, egalitatea 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul al treilea - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 cu coeficienți întregi . Puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, referindu-vă la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Am găsit un interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , unde G este inclus deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria formei:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 și de axa x.
Soluţie
Să punem toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl plasăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x y \u003d 0.
Să notăm punctele de intersecție ale dreptelor.
După cum se poate vedea din figură, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d 0 se intersectează în punctul (0; 0) . Acest lucru se datorează faptului că x \u003d 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 \u003d 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0 , deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2 ; 0) .
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1) . Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 \u003d - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y \u003d x 3 este strict în creștere, iar funcția y \u003d - log 2 x + 1 este strict în scădere.
Următorul pas implică mai multe opțiuni.
Opțiunea numărul 1
Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1 , iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opțiunea numărul 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2 , iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona astfel:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Soluţie
Desenați o linie pe diagramă cu o linie roșie, dată de funcția y = x . Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și marcați linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Observați punctele de intersecție.
Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i este soluția ecuației x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4 ; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 este soluția ecuației ⇒ (9; 3) punctul și intersecția y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nu este o soluție a ecuației
Aflați punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda numărul 1
Reprezentăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda numărul 2
Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma celorlalte două figuri.
Apoi rezolvăm ecuația liniei pentru x și numai după aceea aplicăm formula pentru calcularea ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Deci zona este:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să trasăm linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru găsirea zonei. În această secțiune, am analizat cele mai comune opțiuni pentru sarcini.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
A)
Soluţie.
Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen.
Hai sa facem un desen:
Ecuația y=0 setează axa x;
- x=-2 și x=1 - drept, paralel cu axa OU;
- y \u003d x 2 +2 - o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu un vârf în punctul (0;2).
Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OU și rezolvând ecuația pătratică corespunzătoare, găsiți intersecția cu axa Oh .
Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:
Puteți desena linii și punct cu punct.
Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat peste axă Bou , de aceea:
Răspuns: S \u003d 9 unități pătrate
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub axă Oh?
b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.
Soluţie.
Să facem un desen.
Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
Răspuns: S=(e-1) unitate mp" 1,72 mp
Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:
1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.
Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de linii y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Soluţie.
Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei.Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică.
Rezolvam ecuatia:
Deci limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .
|
Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele(0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă în intervalul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar este important care diagramă este MAI ÎNALTĂ (față de o altă diagramă) și care este MAI DEOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din |
Este posibil să se construiască linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale).
Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: S \u003d 4,5 unități mp
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă, am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiești un plan, recomand următoarea ordine: primul este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai după- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință.
Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):
Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:
Pe segment se află graficul funcției peste axă, de aceea:
Răspuns:
Pentru cei care au dificultăți în calcularea integralei definite și în aplicarea formulei Newton-Leibniz, vă rugăm să consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax, atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:
Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Este mai bine să nu utilizați această metodă dacă este posibil.
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:
Repet că, la construcția punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment vreo funcţie continuă mai mare sau egal o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula:
Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:
Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Răspuns:
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei. Deoarece axa este dată de ecuație, iar graficul funcției este situat sub axă, atunci
Și acum câteva exemple pentru o soluție independentă
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .
În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Iată un caz real:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Să desenăm mai întâi:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!
Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;
2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct:
Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, se poate dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?
În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:
Prin urmare, .
Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:
Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,
Soluție: Desenați această figură în desen.
Pentru construcția punct cu punct a unui desen, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidei (și, în general, este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
(1) Modul în care sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare poate fi văzut în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază în formă
(3) Să schimbăm variabila , apoi:
Noi redistribuiri ale integrării:
Cine are cu adevărat o afacere proastă cu înlocuiri, te rog să mergi la lecție Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Pentru cei care nu sunt foarte clari despre algoritmul de înlocuire într-o integrală definită, vizitați pagina Integrala definita. Exemple de soluții. Exemplul 5: Soluție: deci:
Răspuns:
Notă: observați cum este luată integrala tangentei în cub, aici este folosit corolarul identității trigonometrice de bază.
