Bratari din cauciuc

Găsiți online zona dintre linii. Aflarea ariei figurii mărginită de liniile y=f(x), x=g(y). Lungimea arcului unei curbe plate

Fie funcția nenegativă și continuă pe intervalul . Apoi, conform semnificației geometrice a unei anumite integrale, aria unui trapez curbiliniu mărginită de sus de graficul acestei funcții, de jos de axa , de la stânga și la dreapta prin linii drepte și (vezi Fig. 2 ) se calculează prin formula

Exemplul 9 Găsiți aria unei figuri delimitate de o dreaptă si axa.

Soluţie. Graficul funcției este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Să-l construim (Fig. 3). Pentru a determina limitele de integrare, găsim punctele de intersecție ale dreptei (parabolei) cu axa (dreptei). Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații

Primim: , Unde , ; Prin urmare, , .

Orez. 3

Aria figurii se găsește prin formula (5):

Dacă funcția este nepozitivă și continuă pe segmentul , atunci aria trapezului curbiliniu, mărginită de jos de graficul acestei funcții, de sus de axă, de la stânga și la dreapta prin linii drepte și , este calculate prin formula

. (6)

Dacă funcția este continuă pe un segment și își schimbă semnul la un număr finit de puncte, atunci aria figurii umbrite (Fig. 4) este egală cu suma algebrică a integralelor definite corespunzătoare:

Orez. patru

Exemplul 10 Calculați aria figurii delimitate de axa și graficul funcției pentru .

Orez. 5

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5). Suprafața dorită este suma suprafețelor și . Să găsim fiecare dintre aceste zone. În primul rând, determinăm limitele integrării prin rezolvarea sistemului Primim , . Prin urmare:

;

Astfel, aria figurii umbrite este

(unități pătrate).

Orez. 6

Fie, în sfârșit, trapezul curbiliniu este mărginit de sus și de jos de graficele funcțiilor continue pe segment și ,
iar la stânga și la dreapta - drept și (Fig. 6). Apoi aria sa este calculată prin formula

. (8)

Exemplul 11. Găsiți aria figurii încadrată de linii și .

Soluţie. Această figură este prezentată în Fig. 7. Calculăm aria sa folosind formula (8). Rezolvând sistemul de ecuații, găsim , ; Prin urmare, , . Pe segment avem: . Prin urmare, în formula (8) luăm ca X, si ca - . Primim:

(unități pătrate).

Problemele mai complexe de calculare a suprafețelor sunt rezolvate prin împărțirea figurii în părți care nu se intersectează și calculând aria întregii figuri ca sumă a ariilor acestor părți.

Orez. 7

Exemplul 12. Aflați aria figurii delimitată de liniile , , .

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 8). Această figură poate fi considerată ca un trapez curbiliniu mărginit de jos de axă, de la stânga și la dreapta - prin linii drepte și, de sus - de grafice ale funcțiilor și . Deoarece figura este delimitată de sus de graficele a două funcții, atunci pentru a-și calcula aria, împărțim această cifră dreaptă în două părți (1 este abscisa punctului de intersecție a liniilor și). Aria fiecăreia dintre aceste părți este găsită prin formula (4):

(unități pătrate); (unități pătrate). Prin urmare:

(unități pătrate).

Orez. opt

X= j ( la)

Orez. 9

În concluzie, remarcăm că dacă un trapez curbiliniu este mărginit de drepte și , axa și continuă pe curbă (Fig. 9), atunci aria lui se află prin formula

Volumul unui corp de revoluție

Fie un trapez curbiliniu mărginit de un grafic al unei funcții continuu pe un segment, o axă, drepte și se rotește în jurul axei (Fig. 10). Apoi volumul corpului de revoluție rezultat este calculat prin formula

. (9)

Exemplul 13 Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul axei unui trapez curbiliniu delimitat de o hiperbolă, linii drepte și axa.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 11).

Din condiţia problemei rezultă că , . Prin formula (9) obținem

Orez. zece

Orez. unsprezece

Volumul unui corp obtinut prin rotatie in jurul unei axe OU trapez curbiliniu delimitat de linii drepte y = cși y = d, axa OU iar un grafic al unei funcții continuă pe un segment (Fig. 12), este determinat de formula

. (10)

X= j ( la)

Orez. 12

Exemplul 14. Calculați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul unei axe OU trapez curbiliniu delimitat de linii X 2 = 4la, y= 4, x = 0 (Fig. 13).

Soluţie. În conformitate cu condiţia problemei, găsim limitele integrării: , . Prin formula (10) obtinem:

Orez. 13

Lungimea arcului unei curbe plate

Fie curba dată de ecuația , unde , se află într-un plan (Fig. 14).

Orez. paisprezece

Definiție. Lungimea unui arc este înțeleasă ca limita la care tinde lungimea unei polilinii înscrise în acest arc atunci când numărul de legături ale poliliniei tinde spre infinit, iar lungimea celei mai mari legături tinde spre zero.

Dacă funcția și derivata ei sunt continue pe segment, atunci lungimea arcului curbei este calculată prin formula

. (11)

Exemplul 15. Calculați lungimea arcului curbei cuprins între punctele pentru care .

Soluţie. Din starea problemei pe care o avem . Prin formula (11) obținem:

4. Integrale improprii
cu limite infinite de integrare

La introducerea conceptului de integrală definită, s-a presupus că sunt îndeplinite următoarele două condiții:

a) limitele integrării Ași sunt finite;

b) integrandul este mărginit pe segmentul .

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, atunci se numește integrala improprii.

Să considerăm mai întâi integralele improprii cu limite infinite de integrare.

Definiție. Fie ca funcția să fie definită și continuă pe intervalul , atuncişi nemărginit în dreapta (Fig. 15).

Dacă integrala improprie converge, atunci această zonă este finită; dacă integrala improprie diverge, atunci această zonă este infinită.

Orez. cincisprezece

O integrală improprie cu o limită inferioară infinită de integrare este definită în mod similar:

. (13)

Această integrală converge dacă limita din partea dreaptă a egalității (13) există și este finită; în caz contrar se spune că integrala este divergentă.

O integrală improprie cu două limite infinite de integrare este definită după cum urmează:

, (14)

unde с este orice punct al intervalului . Integrala converge numai dacă ambele integrale converg pe partea dreaptă a egalității (14).

;

G) = [selectați pătratul complet la numitor: ] = [înlocuire:

] =

Prin urmare, integrala improprie converge și valoarea ei este egală cu .

Introduceți funcția pentru care doriți să găsiți integrala

Calculatorul oferă o soluție DETALIATĂ a integralelor definite.

Acest calculator rezolvă integrala definită a funcției f(x) cu limitele superioare și inferioare date.

Exemple

Cu utilizarea gradului
(pătrat și cub) și fracții

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Rădăcină pătrată

Sqrt(x)/(x + 1)

rădăcină cubă

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Folosind sinus și cosinus

2*sin(x)*cos(x)

Arcsin

X*arcsin(x)

Arc cosinus

x*arccos(x)

Aplicarea logaritmului

X*log(x, 10)

logaritmul natural

Expozant

Tg(x)*sin(x)

Cotangentă

Ctg(x)*cos(x)

Fracții iraționale

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Arc tangentă

X*arсctg(x)

Sinus și cosinus hiperbolic

2*sh(x)*ch(x)

Tangentă și cotangentă hiperbolică

ctgh(x)/tgh(x)

Arcsinus și arccosinus hiperbolic

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Arctangentă și arctangentă hiperbolice

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor

Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică): absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau |x|) arccos(x) Funcția - arc cosinus al X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la X arcsin(x) Arcsine din X arcsinh(x) Arcsin hiperbolic din X arctg(x) Funcție - arc tangentă de la X arctgh(x) Arc tangenta este hiperbolica de la X e e un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent de la X(care este e^X) log(x) sau log(x) Logaritmul natural al X
(A obtine log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcția - Sinus de X cos(x) Funcția - Cosinus de X sinh(x) Funcția - Sinus hiperbolic al X numerar(x) Funcția - Cosinus hiperbolic de X sqrt(x) Funcția este rădăcina pătrată a lui X sqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat X tg(x) Functie - Tangenta de la X tgh(x) Funcție - tangentă hiperbolică a X cbrt(x) Funcția este rădăcina cubă a X

Puteți utiliza următoarele operații în expresii: Numere reale introduceți în formular 7.5 , nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- Divizia x^3- exponentiarea x + 7- adaos x - 6- scăderea
Alte caracteristici: podea(x) Funcție - rotunjire X jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) plafon (x) Funcție - rotunjire X sus (exemplu plafon (4,5)==5,0) semn(x) Funcție - Semn X erf(x) Funcție de eroare (sau integrală de probabilitate) laplace(x) Funcția Laplace

Calcularea ariei unei figuri Aceasta este poate una dintre cele mai dificile probleme din teoria zonei. În geometria școlii, ei sunt învățați să găsească zonele formelor geometrice de bază, cum ar fi, de exemplu, un triunghi, un romb, un dreptunghi, un trapez, un cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să se ocupe de calcularea zonelor unor cifre mai complexe. În rezolvarea unor astfel de probleme este foarte convenabil să folosiți calculul integral.

Definiție.

Trapez curbiliniu se numește o figură G, mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbiliniu poate fi notat cu S(G).

Integrala definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe segmentul [a; b] și este aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Adică, pentru a găsi aria figurii G, delimitată de liniile y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a și x \u003d b, este necesar să se calculeze integrală definită ʃ a b f (x) dx.

În acest fel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria trapezului curbiliniu poate fi găsită prin formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplul 1

Calculați aria figurii delimitată de liniile y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este arătată prin hașurare orez. 2.

Aria dorită este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.

Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Astfel, avem x 1 \u003d 1 - limita inferioară și x \u003d 2 - limita superioară.

Deci, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unități pătrate).

Raspuns: 11/4 mp. unitati

Exemplul 2

Calculați aria figurii mărginite de linii y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este mărginită de sus de graficul funcției

y \u003d √x, iar de dedesubt graficul funcției y \u003d 2. Figura rezultată este afișată prin hașurare pe orez. 3.

Aria dorită este egală cu S = ʃ a b (√x - 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm sistemul a două ecuații:

(y = √x,
(y = 2.

Astfel, avem că x = 4 = a este limita inferioară.

Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unități pătrate).

Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de liniile y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluţie.

Să diagramăm funcția y \u003d x 3 - 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsim derivata y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la х = ±2/√3 ≈ 1,1 sunt puncte critice.

Dacă trasăm punctele critice pe axa reală și plasăm semnele derivatei, obținem că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y este min = -16/(3√3) ≈ -3.

Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

dacă x \u003d 0, atunci y \u003d 0, ceea ce înseamnă că A (0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;

dacă y \u003d 0, atunci x 3 - 4x \u003d 0 sau x (x 2 - 4) \u003d 0, sau x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, de unde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).

Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. patru.

Deoarece funcția y \u003d x 3 - 4x ia (0; 2) o valoare negativă, atunci

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Avem: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, de unde S \u003d 4 metri pătrați. unitati

Răspuns: S = 4 mp. unitati

Exemplul 4

Găsiți aria figurii delimitată de parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, liniile drepte x \u003d 0, y \u003d 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 \u003d 2.

Soluţie.

În primul rând, compunem ecuația tangentei la parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ \u003d 2.

Deoarece derivata y' = 4x - 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y'(2) = 6.

Aflați ordonata punctului de atingere: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) sau y \u003d 6x - 7.

Să construim o figură delimitată de linii:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) - cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 - 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B (1/2; 1/2).

Deci, figura a cărei zonă urmează să fie determinată este afișată prin hașurare orez. 5.

Avem: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Aflați coordonatele punctului D din condiția:

6x - 7 = 0, adică x \u003d 7/6, apoi DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC = 1/2 · DC · BC. În acest fel,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 mp. unitati

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unități pătrate).

În cele din urmă, obținem: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unități pătrate).

Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati

Am analizat exemple găsirea ariilor figurilor mărginite de linii date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să construiți linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați formula pentru găsirea ariei, ceea ce implică capacitatea și abilitățile de a calcula anumite integrale.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Soluţie.

Primul și cel mai important moment al deciziei este construcția unui desen.

Hai sa facem un desen:

Ecuația y=0 setează axa x;

- x=-2 și x=1 - drept, paralel cu axa OU;

- y \u003d x 2 +2 - o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu un vârf în punctul (0;2).

Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OU și rezolvând ecuația pătratică corespunzătoare, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

Puteți desena linii și punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat peste axă Bou , de aceea:

Răspuns: S \u003d 9 unități pătrate

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „după ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub axă Oh?

b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

Răspuns: S=(e-1) unitate mp" 1,72 mp

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.

Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei.Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Deci limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele(0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula: .

Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar este important care diagramă este MAI ÎNALTĂ (față de o altă diagramă) și care este MAI DEOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Este posibil să construiți linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.

Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S \u003d 4,5 unități mp

Calculați aria unei figuri delimitate de linii.

Soluţie.

Găsim punctele de intersecție ale dreptelor date. Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații:

Pentru a găsi abscisele punctelor de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm ecuația:

Găsim: X 1 = -2, X 2 = 4.

Deci, aceste drepte, care sunt o parabolă și o dreaptă, se intersectează în puncte A(-2; 0), B(4; 6).

Aceste linii formează o figură închisă, aria lui care se calculează folosind formula de mai sus:

Conform formulei Newton-Leibniz, găsim:

Găsiți aria unei zone delimitate de o elipsă.

Soluţie.

Din ecuația elipsei pentru cadranul I avem . De aici, conform formulei, obținem

Să aplicăm înlocuirea X = A păcat t, dx = A cos t dt. Noi limite ale integrării t = α și t = β sunt determinate din ecuațiile 0 = A păcat t, A = A păcat t. Poate fi pus α = 0 și β = π /2.

Găsim un sfert din suprafața necesară

De aici S = pab.

Găsiți aria unei figuri delimitate de liniiy = - X 2 + X + 4 șiy = - X + 1.

Soluţie.

Găsiți punctele de intersecție ale dreptelor y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, echivalând ordonatele dreptelor: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 sau X 2 - 2X- 3 = 0. Aflați rădăcinile X 1 = -1, X 2 = 3 și ordonatele corespunzătoare y 1 = 2, y 2 = -2.

Folosind formula suprafeței figurii, obținem

Găsiți aria cuprinsă de parabolăy = X 2 + 1 și directX + y = 3.

Soluţie.

Rezolvarea sistemului de ecuații

găsiți abscisele punctelor de intersecție X 1 = -2 și X 2 = 1.

Presupunând y 2 = 3 - Xși y 1 = X 2 + 1, pe baza formulei pe care o obținem

Calculați aria cuprinsă în lemniscate Bernoullir 2 = A 2 cos 2 φ .

Soluţie.

În sistemul de coordonate polare, aria figurii delimitată de arcul curbei r = f(φ ) și două raze polare φ 1 = ʅ și φ 2 = ʆ , se exprimă prin integrală

Datorită simetriei curbei, determinăm mai întâi un sfert din aria dorită

Prin urmare, suprafața totală este S = A 2 .

Calculați lungimea arcului unui astroidX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .

Soluţie.

Scriem ecuația astroidului sub formă

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .

Sa punem X 1/3 = A 1/3 cos t, y 1/3 = A 1/3 păcat t.

De aici obținem ecuațiile parametrice ale astroidului

X = A cos 3 t, y = A păcatul 3 t, (*)

unde 0 ≤ t ≤ 2π .

Având în vedere simetria curbei (*), este suficient să găsim o pătrime din lungimea arcului L corespunzătoare modificării parametrului t de la 0 la π /2.

Primim

dx = -3A cos 2 t păcat t dt, dy = 3A păcatul 2 t cos t dt.

De aici găsim

Integrarea expresiei rezultate în intervalul de la 0 la π /2, obținem

De aici L = 6A.

Găsiți aria delimitată de spirala lui Arhimeder = aφ și doi vectori cu rază care corespund unghiurilor polareφ 1 șiφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Soluţie.

Arie delimitată de o curbă r = f(φ ) se calculează prin formula , unde α și β - limitele de modificare a unghiului polar.

Astfel, primim

(*)

Din (*) rezultă că aria delimitată de axa polară și prima întoarcere a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

În mod similar, găsim aria delimitată de axa polară și a doua tură a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Suprafața necesară este egală cu diferența acestor zone

Calculați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul unei axeBou figură delimitată de paraboley = X 2 șiX = y 2 .

Soluţie.

Să rezolvăm sistemul de ecuații

si ia X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, de unde punctele de intersecție ale curbelor O(0; 0), B(unsprezece). După cum se poate observa în figură, volumul dorit al corpului de revoluție este egal cu diferența dintre cele două volume formate prin rotație în jurul axei Bou trapezoizi curbilinii OCBAși ODBA:

Calculați aria delimitată de axăBou și sinusoidy = păcatX pe segmente: a); b) .

Soluţie.

a) Pe segment, funcția sin X păstrează semnul, și deci prin formula , presupunând y= păcat X, găsim

b) Pe segmentul , funcţia sin X schimba semnul. Pentru rezolvarea corectă a problemei, este necesar să se împartă segmentul în două și [ π , 2π ], în fiecare dintre care funcția își păstrează semnul.

Conform regulii semnelor, pe segmentul [ π , 2π ] zona este luată cu semnul minus.

Ca urmare, aria dorită este egală cu

Determinați volumul corpului delimitat de suprafața obținută din rotația elipseiîn jurul axei majoreA .

Soluţie.

Având în vedere că elipsa este simetrică față de axele de coordonate, este suficient să găsim volumul format prin rotație în jurul axei Bou zonă OAB, egal cu un sfert din aria elipsei și dublu rezultatul.

Să notăm volumul corpului de revoluție prin V X; apoi, pe baza formulei, avem , unde 0 și A- abscisele punctelor Bși A. Din ecuația elipsei găsim . De aici

Astfel, volumul necesar este egal cu . (Când elipsa se rotește în jurul axei minore b, volumul corpului este de )

Aflați aria delimitată de paraboley 2 = 2 px șiX 2 = 2 py .

Soluţie.

În primul rând, găsim coordonatele punctelor de intersecție ale parabolelor pentru a determina intervalul de integrare. Transformând ecuațiile originale, obținem și . Echivalând aceste valori, obținem sau X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.