Poezii pentru copii

Calculul proporțiilor și rapoartelor. Cum se calculează proporția? Care este raportul

Formula proporțională

Proporția este egalitatea a două rapoarte când a:b=c:d

raportul 1 : 10 este egal cu raportul de 7 : 70, care poate fi scris și ca fracție: 1 10 = 7 70 spune: „unu este la zece, precum șapte este la șaptezeci”

Proprietăți de bază ale proporției

Produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor mijlocii (în cruce): dacă a:b=c:d , atunci a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inversarea proporțională: dacă a:b=c:d , atunci b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutarea membrilor mijlocii: dacă a:b=c:d , atunci a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutarea membrelor extreme: dacă a:b=c:d , atunci d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Rezolvarea unei proporții cu o necunoscută | Ecuația

1 : 10 = X : 70 sau 1 10 = X 70

Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute încrucișat și să împărțiți la valoarea opusă

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Cum se calculează proporția

O sarcină: trebuie să bei 1 tabletă de cărbune activat la 10 kilograme de greutate. Câte comprimate trebuie luate dacă o persoană cântărește 70 kg?

Să facem o proporție: 1 tabletă - 10 kg X tablete - 70 kg Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă: 1 tabletă X tablete✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Răspuns: 7 tablete

O sarcină: Vasya scrie două articole în cinci ore. Câte articole va scrie în 20 de ore?

Să facem o proporție: 2 articole - 5 ore X articole - 20 de ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Răspuns: 8 articole

Pot spune viitorilor absolvenți de școală că abilitatea de a face proporții mi-a fost utilă atât pentru a reduce proporțional imaginile, cât și în aspectul HTML al unei pagini web, cât și în situații de zi cu zi.

O relație este o anumită relație între entitățile lumii noastre. Acestea pot fi numere, cantități fizice, obiecte, produse, fenomene, acțiuni și chiar oameni.

În viața de zi cu zi, când vine vorba de rapoarte, spunem noi „raportul dintre asta și asta”. De exemplu, dacă într-o vază sunt 4 mere și 2 pere, atunci spunem raportul mere la pere raportul pere la mere.

În matematică, raportul este adesea folosit ca „relația dintre ceva și ceva”. De exemplu, raportul dintre patru mere și două pere, pe care l-am considerat mai sus, în matematică va fi citit ca „raportul dintre patru mere și două pere” sau dacă schimbi mere și pere, atunci „raportul dintre două pere și patru mere”.

Raportul este exprimat ca A la b(unde în loc de Ași b orice numere), dar mai des puteți găsi o intrare care este compusă folosind două puncte ca a:b. Puteți citi această intrare în diferite moduri:

A la b
A se refera la b
atitudine A la b

Scriem raportul dintre patru mere și două pere folosind simbolul raportului:

4: 2

Dacă schimbăm mere și pere, atunci vom avea un raport de 2: 4. Acest raport poate fi citit ca „două până la patru” sau oricare „două pere sunt egale cu patru mere” .

În cele ce urmează, ne vom referi la relație ca la o relație.

Conținutul lecției

Ce este o atitudine?

Relația, așa cum am menționat mai devreme, este scrisă ca a:b. Se poate scrie și ca fracție. Și știm că un astfel de record în matematică înseamnă divizare. Atunci rezultatul relației va fi câtul de numere Ași b.

În matematică, un raport este câtul dintre două numere.

Raportul vă permite să aflați cât de mult este dintr-o entitate per unitate de alta. Să revenim la raportul dintre patru mere și două pere (4:2). Acest raport ne va permite să aflăm câte mere există pe unitate de pară. O unitate înseamnă o peră. Mai întâi, să scriem raportul 4:2 ca o fracție:

Acest raport este împărțirea numărului 4 la numărul 2. Dacă efectuăm această împărțire, vom obține răspunsul la întrebarea câte mere există pe unitate de pară

Avem 2. Deci patru mere și două pere (4: 2) sunt corelate (interrelaționate între ele) astfel încât să fie două mere per peră

Figura arată modul în care patru mere și două pere se leagă între ele. Se vede că există două mere pentru fiecare peră.

Relația poate fi inversată scriind ca . Apoi obținem raportul dintre două pere și patru mere sau „raportul dintre două pere și patru mere”. Acest raport va arăta câte pere sunt pe unitatea de măr. Unitatea unui măr înseamnă un măr.

Pentru a găsi valoarea unei fracții, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare.

Am primit 0,5. Să convertim această fracție zecimală într-una obișnuită:

Reduceți fracția ordinară rezultată cu 5

Am primit un răspuns (jumătate de peră). Deci două pere și patru mere (2: 4) sunt corelate (interrelaționate între ele), astfel încât un măr reprezintă o jumătate de peră

Figura arată cum două pere și patru mere sunt legate între ele. Se vede că pentru fiecare măr există o jumătate de pară.

Se numesc numerele care alcătuiesc o relație membri ai relației. De exemplu, în relația 4:2, membrii sunt numerele 4 și 2.

Luați în considerare alte exemple de relații. Se face o rețetă pentru a pregăti ceva. Reteta este construita din raporturile dintre produse. De exemplu, prepararea fulgii de ovăz necesită de obicei un pahar de cereale la două pahare de lapte sau apă. Rezultă un raport de 1:2 ("unu la doi" sau "un pahar de cereale la două pahare de lapte").

Să transformăm raportul 1: 2 într-o fracție, obținem. Calculând această fracție, obținem 0,5. Aceasta înseamnă că un pahar de cereale și două pahare de lapte sunt corelate (corelate între ele), astfel încât să existe o jumătate de pahar de cereale pentru un pahar de lapte.

Dacă răsturnați raportul de 1:2, obțineți un raport de 2:1 ("două la unu" sau "două pahare de lapte la un pahar de cereale"). Transformând raportul 2:1 într-o fracție, obținem. Calculând această fracție, obținem 2. Deci două pahare de lapte și un pahar de cereale sunt legate (corelate între ele), astfel încât să fie două pahare de lapte pentru un pahar de cereale.

Exemplul 2În clasă sunt 15 elevi. Dintre aceștia, 5 sunt băieți, 10 sunt fete. Este posibil să scrieți un raport de fete la băieți de 10:5 și să convertiți acest raport într-o fracțiune. Calculând această fracție, obținem 2. Adică fetele și băieții sunt legați între ei, astfel încât pentru fiecare băiat există două fete

Figura arată cum se leagă între zece fete și cinci băieți. Se vede că pentru fiecare băiat sunt două fete.

Nu este întotdeauna posibil să convertiți un raport într-o fracție și să găsiți un coeficient. În unele cazuri, va fi ilogic.

Deci, dacă întorci raportul cu susul în jos, și acesta este raportul dintre băieți și fete. Dacă calculezi această fracție, obții 0,5. Se dovedește că cinci băieți sunt înrudiți cu zece fete, astfel încât pentru fiecare fată există jumătate de băiat. Din punct de vedere matematic, acest lucru este desigur adevărat, dar din punctul de vedere al realității, nu este în întregime rezonabil, deoarece un băiat este o persoană vie și nu poate fi pur și simplu luat și împărțit ca o peră sau un măr.

Abilitatea de a construi atitudinea corectă este o abilitate importantă în rezolvarea problemelor. Deci, în fizică, raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare.

Distanța este notată de variabilă S, timp - printr-o variabilă t, viteza - prin variabilă v. Apoi fraza „raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare” va fi descris prin următoarea expresie:

Să presupunem că o mașină parcurge 100 de kilometri în 2 ore. Atunci raportul dintre 100 de kilometri parcurși și 2 ore va fi viteza mașinii:

Viteza este distanța parcursă de un corp pe unitatea de timp. Unitatea de timp este 1 oră, 1 minut sau 1 secundă. Iar raportul, așa cum am menționat mai devreme, vă permite să aflați cât de mult este dintr-o entitate per unitate de alta. În exemplul nostru, raportul dintre o sută de kilometri și două ore arată câți kilometri sunt pentru o oră de mișcare. Vedem că pentru fiecare oră de mișcare sunt 50 de kilometri

Deci viteza se măsoară în km/h, m/min, m/s. Simbolul fracției (/) indică raportul dintre distanță și timp: kilometri pe ora , metri pe minutși metri pe secundă respectiv.

Exemplul 2. Raportul dintre valoarea unei mărfuri și cantitatea acesteia este prețul unei unități de marfă.

Dacă am luat 5 batoane de ciocolată în magazin și costul lor total a fost de 100 de ruble, atunci putem determina prețul unui baton. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți raportul dintre o sută de ruble și numărul de bare. Apoi obținem că un singur bar reprezintă 20 de ruble

Compararea valorilor

Mai devreme am aflat că raportul dintre cantitățile de natură diferită formează o nouă cantitate. Astfel, raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare. Raportul dintre valoarea unei mărfuri și cantitatea acesteia este prețul unei unități de marfă.

Dar raportul poate fi folosit și pentru a compara valori. Rezultatul unei astfel de relații este un număr care arată de câte ori prima valoare este mai mare decât a doua sau ce parte este prima valoare din a doua.

Pentru a afla de câte ori prima valoare este mai mare decât a doua, trebuie să scrieți o valoare mai mare în numărătorul raportului și o valoare mai mică în numitor.

Pentru a afla ce parte este prima valoare din a doua, trebuie să scrieți o valoare mai mică în numărătorul raportului și o valoare mai mare în numitor.

Luați în considerare numerele 20 și 2. Să aflăm de câte ori este mai mare numărul 20 decât numărul 2. Pentru a face acest lucru, găsim raportul dintre numărul 20 și numărul 2. Scrieți numărul 20 în numărătorul raportului , iar numărul 2 la numitor

Valoarea acestui raport este de zece

Raportul dintre numărul 20 și numărul 2 este numărul 10. Acest număr arată de câte ori numărul 20 este mai mare decât numărul 2. Deci, numărul 20 este de zece ori mai mare decât numărul 2.

Exemplul 2În clasă sunt 15 elevi. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți de câte ori sunt mai multe fete decât băieți.

Scrieți atitudinea fetelor față de băieți. La numărătorul raportului scriem numărul de fete, la numitorul raportului - numărul de băieți:

Valoarea acestui raport este 2. Înseamnă că într-o clasă de 15 sunt de două ori mai multe fete decât băieți.

Nu se mai pune problema câte fete sunt pentru un băiat. În acest caz, raportul este utilizat pentru a compara numărul de fete cu numărul de băieți.

Exemplul 3. Ce parte din numărul 2 este din numărul 20.

Găsim raportul dintre numărul 2 și numărul 20. În numărătorul raportului scriem numărul 2, iar la numitor - numărul 20

Pentru a găsi sensul acestei relații, trebuie să vă amintiți,

Valoarea raportului dintre numărul 2 și numărul 20 este numărul 0,1

În acest caz, fracția zecimală 0,1 poate fi convertită într-una obișnuită. Acest răspuns va fi mai ușor de înțeles:

Deci numărul 2 al numărului 20 este o zecime.

Puteți face o verificare. Pentru a face acest lucru, vom găsi de la numărul 20. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem numărul 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Am primit numărul 2. Deci o zecime din numărul 20 este numărul 2. De aici concluzionăm că problema a fost rezolvată corect.

Exemplul 4 Sunt 15 persoane în clasă. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți ce proporție din numărul total de elevi sunt băieți.

Notam raportul dintre baieti si numarul total de elevi. Scriem cinci băieți la numărătorul raportului, iar numărul total de școlari la numitor. Numărul total de școlari este de 5 băieți plus 10 fete, așa că scriem numărul 15 la numitorul raportului

Pentru a găsi valoarea acestui raport, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 5 trebuie împărțit la numărul 15

Când împărțiți 5 la 15, obțineți o fracție periodică. Să transformăm această fracție într-o fracțiune obișnuită

Am primit răspunsul final. Deci băieții reprezintă o treime din întreaga clasă

Figura arată că într-o clasă de 15 elevi, o treime din clasă este de 5 băieți.

Dacă pentru verificare găsim de la 15 școlari, atunci vom obține 5 băieți

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Exemplul 5 De câte ori este numărul 35 mai mare decât numărul 5?

Scriem raportul dintre numărul 35 și numărul 5. În numărătorul raportului, trebuie să scrieți numărul 35, la numitor - numărul 5, dar nu invers.

Valoarea acestui raport este 7. Deci, numărul 35 este de șapte ori mai mare decât numărul 5.

Exemplul 6 Sunt 15 persoane în clasă. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți ce proporție din numărul total sunt fete.

Notăm raportul dintre fete și numărul total de elevi. Scriem zece fete la numărătorul raportului, iar numărul total de școlari la numitor. Numărul total de școlari este de 5 băieți plus 10 fete, așa că scriem numărul 15 la numitorul raportului

Pentru a găsi valoarea acestui raport, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 10 trebuie împărțit la numărul 15

Când împărțiți 10 la 15, obțineți o fracție periodică. Să transformăm această fracție într-o fracțiune obișnuită

Să reducem fracția rezultată cu 3

Am primit răspunsul final. Deci fetele reprezintă două treimi din întreaga clasă

Figura arată că într-o clasă de 15 elevi, două treimi din clasă sunt 10 fete.

Dacă pentru verificare găsim de la 15 școlari, atunci obținem 10 fete

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Exemplul 7 Ce parte din 10 cm este 25 cm

Notați raportul dintre zece centimetri și douăzeci și cinci de centimetri. La numărătorul raportului scriem 10 cm, la numitor - 25 cm

Pentru a găsi valoarea acestui raport, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 10 trebuie împărțit la numărul 25

Să convertim fracția zecimală rezultată într-o obișnuită

Să reducem fracția rezultată cu 2

Am primit răspunsul final. Deci 10 cm înseamnă 25 cm.

Exemplul 8 De câte ori este 25 cm mai mare decât 10 cm

Notați raportul dintre douăzeci și cinci de centimetri la zece centimetri. La numărătorul raportului scriem 25 cm, la numitor - 10 cm

Am primit răspunsul 2.5. Deci 25 cm este de 2,5 ori mai mult decât 10 cm (de două ori și jumătate)

Notă importantă. La găsirea raportului dintre aceleași mărimi fizice, aceste mărimi trebuie exprimate într-o unitate de măsură, altfel răspunsul va fi incorect.

De exemplu, dacă avem de-a face cu două lungimi și vrem să știm de câte ori prima lungime este mai mare decât a doua, sau ce parte este prima lungime din a doua, atunci ambele lungimi trebuie mai întâi exprimate într-o unitate de măsură.

Exemplul 9 De câte ori este 150 cm mai mult decât 1 metru?

În primul rând, să ne asigurăm că ambele lungimi sunt exprimate în aceeași unitate. Pentru a face acest lucru, convertiți 1 metru în centimetri. Un metru este o sută de centimetri

1 m = 100 cm

Acum găsim raportul de o sută cincizeci de centimetri la o sută de centimetri. În numărătorul raportului scriem 150 de centimetri, la numitor - 100 de centimetri

Să aflăm valoarea acestei relații

Am primit răspunsul 1.5. Deci 150 cm înseamnă mai mult de 100 cm de 1,5 ori (o dată și jumătate).

Și dacă nu am începe să convertim metri în centimetri și am încerca imediat să găsim raportul de 150 cm la un metru, atunci am obține următoarele:

S-ar dovedi că 150 cm este de o sută cincizeci de ori mai mult decât un metru, dar acest lucru nu este adevărat. Prin urmare, este imperativ să se acorde atenție unităților de măsură ale mărimilor fizice care sunt implicate în relație. Dacă aceste cantități sunt exprimate în diferite unități de măsură, atunci pentru a găsi raportul acestor cantități, trebuie să mergeți la o unitate de măsură.

Exemplul 10 Luna trecută, salariul unei persoane a fost de 25.000 de ruble, iar luna aceasta salariul a crescut la 27.000 de ruble. Stabiliți cât de mult a crescut salariul

Notăm raportul de douăzeci și șapte de mii la douăzeci și cinci de mii. La numărătorul raportului scriem 27000, la numitor - 25000

Să aflăm valoarea acestei relații

Am primit răspunsul 1.08. Deci salariul a crescut de 1,08 ori. Pe viitor, când ne vom familiariza cu procentele, vom exprima astfel de indicatori ca salariul ca procent.

Exemplul 11. Imobilul are 80 de metri latime si 16 metri inaltime. De câte ori este lățimea casei mai mare decât înălțimea ei?

Scriem raportul dintre lățimea casei și înălțimea acesteia:

Valoarea acestui raport este 5. Aceasta înseamnă că lățimea casei este de cinci ori înălțimea ei.

proprietatea relatiei

Raportul nu se va schimba dacă termenii săi sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr.

Aceasta una dintre cele mai importante proprietăți ale unei relații rezultă din proprietatea coeficientului. Știm că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se va modifica. Și deoarece raportul nu este altceva decât o diviziune, proprietatea coeficientului funcționează și pentru el.

Să revenim la atitudinea fetelor față de băieți (10:5). Acest raport a arătat că pentru fiecare băiat există două fete. Să verificăm cum funcționează proprietatea relației, și anume, să încercăm să înmulțim sau să împărțim membrii acesteia cu același număr.

În exemplul nostru, este mai convenabil să împărțim termenii relației la cel mai mare divizor comun al acestora (GCD).

GCD al membrilor 10 și 5 este numărul 5. Prin urmare, puteți împărți termenii relației la numărul 5

Am o nouă atitudine. Este un raport de doi la unu (2:1). Acest raport, ca și raportul anterior de 10:5, arată că există două fete pentru fiecare băiat.

Figura arată un raport de 2:1 (două la unu). Ca și în raportul anterior de 10:5, există două fete pe băiat. Cu alte cuvinte, atitudinea nu s-a schimbat.

Exemplul 2. Sunt 10 fete și 5 băieți într-o clasă. Sunt 20 de fete și 10 băieți în altă clasă. De câte ori sunt mai multe fete decât băieți în clasa întâi? De câte ori sunt mai multe fete decât băieți în clasa a doua?

Sunt de două ori mai multe fete decât băieți în ambele clase, deoarece rapoartele și sunt egale cu același număr.

Proprietatea de relație vă permite să construiți diverse modele care au parametri similari obiectului real. Să presupunem că un bloc de apartamente are 30 de metri lățime și 10 metri înălțime.

Pentru a desena o casă similară pe hârtie, trebuie să o desenați în același raport de 30:10.

Împărțiți ambii termeni ai acestui raport la numărul 10. Apoi obținem raportul 3: 1. Acest raport este 3, la fel ca raportul anterior este 3

Convertiți metri în centimetri. 3 metri înseamnă 300 de centimetri și 1 metru înseamnă 100 de centimetri.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Avem un raport de 300 cm: 100 cm. Împărțiți termenii acestui raport la 100. Obținem un raport de 3 cm: 1 cm. Acum putem desena o casă cu o lățime de 3 cm și o înălțime de 1 cm

Desigur, casa desenată este mult mai mică decât casa reală, dar raportul dintre lățime și înălțime rămâne neschimbat. Acest lucru ne-a permis să desenăm o casă cât mai aproape de cea reală.

Atitudinea poate fi înțeleasă în alt mod. Inițial, se spunea că o casă adevărată are o lățime de 30 de metri și o înălțime de 10 metri. Totalul este de 30 + 10, adică 40 de metri.

Acești 40 de metri pot fi înțeleși ca 40 de părți. Un raport de 30:10 înseamnă 30 de părți pentru lățime și 10 părți pentru înălțime.

În plus, membrii raportului 30: 10 au fost împărțiți la 10. Rezultatul a fost un raport de 3: 1. Acest raport poate fi înțeles ca fiind 4 părți, dintre care trei cad pe lățime, una pe înălțime. În acest caz, de obicei trebuie să aflați exact câți metri pe lățime și înălțime.

Cu alte cuvinte, trebuie să aflați câți metri cad în 3 părți și câți metri cad într-o parte. Mai întâi trebuie să aflați câți metri cad pe o parte. Pentru a face acest lucru, totalul de 40 de metri trebuie împărțit la 4, deoarece există doar patru părți într-un raport de 3: 1

Să determinăm câți metri este lățimea:

10 m × 3 = 30 m

Să stabilim câți metri cad pe înălțime:

10 m × 1 = 10 m

Mai mulți membri ai unei relații

Dacă mai mulți membri sunt dați într-o relație, atunci ei pot fi înțeleși ca părți ale ceva.

Exemplul 1. Am cumpărat 18 mere. Aceste mere au fost împărțite între mamă, tată și fiică într-un raport de 2: 1: 3. Câte mere a primit fiecare?

Raportul de 2: 1: 3 indică faptul că mama a primit 2 părți, tatăl - 1 parte, fiica - 3 părți. Cu alte cuvinte, fiecare membru al raportului 2:1:3 este o anumită fracțiune de 18 mere:

Dacă adăugați termenii raportului 2: 1: 3, atunci puteți afla câte părți sunt în total:

2 + 1 + 3 = 6 (părți)

Aflați câte mere cad pe o parte. Pentru a face acest lucru, împărțiți 18 mere la 6

18:6 = 3 (mere per parte)

Acum să stabilim câte mere a primit fiecare. Înmulțind trei mere cu fiecare membru al raportului de 2:1:3, poți determina câte mere a primit mama, câte a primit tata și cât a primit fiica.

Află câte mere a primit mama:

3 × 2 = 6 (mere)

Aflați câte mere a primit tata:

3 × 1 = 3 (mere)

Aflați câte mere a primit fiica:

3 × 3 = 9 (mere)

Exemplul 2. Argintul nou (alpaca) este un aliaj de nichel, zinc și cupru într-un raport de 3:4:13. Câte kilograme din fiecare metal trebuie luate pentru a obține 4 kg de argint nou?

4 kilograme de argint nou vor conține 3 părți nichel, 4 părți zinc și 13 părți cupru. În primul rând, aflăm câte părți vor fi în patru kilograme de argint:

3 + 4 + 13 = 20 (părți)

Determinați câte kilograme vor cădea pe o parte:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Să stabilim câte kilograme de nichel vor fi conținute în 4 kg de argint nou. În raportul de 3:4:13, se spune că trei părți ale aliajului conțin nichel. Deci înmulțim 0,2 cu 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nichel

Acum să stabilim câte kilograme de zinc vor fi conținute în 4 kg de argint nou. În raportul de 3:4:13, se spune că patru părți ale aliajului conțin zinc. Deci înmulțim 0,2 cu 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg zinc

Acum să stabilim câte kilograme de cupru vor fi conținute în 4 kg de argint nou. În raportul de 3:4:13, se spune că treisprezece părți ale aliajului conțin cupru. Prin urmare, înmulțim 0,2 cu 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg cupru

Deci, pentru a obține 4 kg de argint nou, trebuie să luați 0,6 kg de nichel, 0,8 kg de zinc și 2,6 kg de cupru.

Exemplul 3. Alama este un aliaj de cupru și zinc al cărui raport de masă este de 3:2. Este nevoie de 120 g de cupru pentru a face o bucată de alamă. Cât de mult zinc este necesar pentru a face această bucată de alamă?

Să stabilim câte grame de aliaj cade pe o parte. Condiția spune că sunt necesare 120 g de cupru pentru a face o bucată de alamă. Se mai spune că trei părți din aliaj conțin cupru. Dacă împărțim 120 la 3, aflăm câte grame de aliaj sunt într-o singură parte:

120: 3 = 40 de grame per bucată

Acum să stabilim cât de mult zinc este necesar pentru a face o bucată de alamă. Pentru a face acest lucru, înmulțim 40 de grame cu 2, deoarece într-un raport de 3: 2 este indicat că două părți conțin zinc:

40 g × 2 = 80 grame zinc

Exemplul 4. Au luat două aliaje de aur și argint. Într-unul, raportul acestor metale este de 1: 9, iar în celălalt 2: 3. Cât de mult ar trebui luată din fiecare aliaj pentru a obține 15 kg dintr-un aliaj nou în care aurul și argintul ar fi legate ca 1: 4?

Soluţie

15 kg dintr-un aliaj nou ar trebui să fie într-un raport de 1: 4. Acest raport indică faptul că o parte a aliajului va avea aur și patru părți vor avea argint. Sunt cinci părți în total. Schematic, aceasta poate fi reprezentată după cum urmează

Să determinăm masa unei piese. Pentru a face acest lucru, adăugați mai întâi toate piesele (1 și 4), apoi împărțiți masa aliajului la numărul acestor piese

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

O parte a aliajului va avea o masă de 3 kg. Atunci 15 kg din noul aliaj vor conține 3 × 1 = 3 kg de aur și 3 × 4 = 12 kg de argint.

Prin urmare, pentru a obține un aliaj cu o greutate de 15 kg, avem nevoie de 3 kg de aur și 12 kg de argint.

Acum să răspundem la întrebarea sarcinii - " Cât să ia fiecare aliaj? »

Vom lua 10 kg din primul aliaj, deoarece aurul și argintul din el sunt într-un raport de 1: 9. Adică, acest prim aliaj ne va oferi 1 kg de aur și 9 kg de argint.

Vom lua 5 kg din al doilea aliaj, deoarece aurul și argintul sunt în el într-un raport de 2: 3. Adică, acest al doilea aliaj ne va oferi 2 kg de aur și 3 kg de argint.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Proporțiile sunt o combinație atât de familiară, care este probabil cunoscută din clasele primare ale unei școli cuprinzătoare. În sensul cel mai general, proporția este egalitatea a două sau mai multe rapoarte.

Adică, dacă există unele numere A, B și C

apoi proporția

dacă sunt patru numere A, B, C și D

fie este și o proporție

Cel mai simplu exemplu în care se folosește proporția este calculul procentelor.

În general, utilizarea proporțiilor este atât de largă, încât este mai ușor de spus unde nu se aplică.

Proporțiile pot fi folosite pentru a determina distanțe, mase, volume, precum și cantitatea de orice, cu o condiție importantă: proporțional, ar trebui să existe dependențe liniare între diferite obiecte. Mai jos, folosind exemplul de construire a unui aspect Bronze Horseman, veți vedea cum să calculați proporțiile în care există dependențe neliniare.

Stabiliți câte kilograme de orez vor fi dacă luați 17 la sută din volumul total de orez de 150 de kilograme?

Să facem o proporție în cuvinte: 150 de kilograme este volumul total de orez. Deci, să o luăm ca 100%. Apoi 17% din 100% va fi calculat ca proporție a două rapoarte: 100% este la 150 de kilograme la fel ca 17% este la un număr necunoscut.

Acum numărul necunoscut este calculat elementar

Adică răspunsul nostru este 25,5 kilograme de orez.

Există, de asemenea, mistere interesante asociate cu proporțiile, care arată că nu este necesar să se aplice neplăcut proporții pentru toate ocaziile.

Iată una dintre ele, ușor modificată:

Pentru demonstrație în biroul companiei, directorul a ordonat realizarea unui model al sculpturii „Călărețul de bronz” fără piedestal de granit. Una dintre conditii este ca macheta sa fie realizata din aceleasi materiale ca si originalul, proportiile sa fie respectate si inaltimea machetei sa fie de exact 1 metru. Întrebare: Care va fi greutatea aspectului?

Să începem cu cărțile de referință.

Înălțimea călărețului este de 5,35 metri și greutatea sa este de 8.000 kg.

Dacă folosim primul gând - pentru a face o proporție: 5,35 metri este raportat la 8.000 de kilograme ca 1 metru la o valoare necunoscută, atunci s-ar putea să nu începem nici măcar calculul, deoarece răspunsul va fi greșit.

Este vorba despre o mică nuanță de care trebuie luată în considerare. Totul tine de conexiune între masă și înălțime sculpturi neliniară, adică nu se poate spune că mărind, de exemplu, un cub cu 1 metru (respectând proporțiile astfel încât să rămână cub), îi vom crește greutatea cu aceeași cantitate.

Acest lucru este ușor de verificat cu exemple:

1. lipiți un cub cu lungimea marginii de 10 centimetri. Câtă apă va intra acolo? Este logic ca 10 * 10 * 10 \u003d 1000 de centimetri cubi, adică 1 litru. Ei bine, din moment ce au turnat apă acolo (densitatea este egală cu unul) și nu un alt lichid, atunci masa va fi egală cu 1 kg.

2. lipiți un cub similar, dar cu lungimea coastei de 20 cm.Volumul de apă turnat în el va fi egal cu 20 * 20 * 20 = 8000 centimetri cubi, adică 8 litri. Ei bine, greutatea este în mod natural de 8 kg.

Este ușor de observat că relația dintre masă și modificarea lungimii muchiei cubului este neliniară, sau mai degrabă cubică.

Amintiți-vă că volumul este produsul dintre înălțime, lățime și adâncime.

Adică, atunci când o figură se modifică (în funcție de proporții / forme) de o dimensiune liniară (înălțime, lățime, adâncime), masa / volumul unei figuri tridimensionale se modifică cub.

Ne certam:

Dimensiunea noastră liniară s-a schimbat de la 5,35 metri la 1 metru, apoi masa (volumul) se va schimba ca rădăcină cubă de 8000/x

Și obțineți acel aspect Călăreț de bronzîn biroul firmei cu înălțimea de 1 metru va cântări 52 kilograme 243 grame.

Dar, pe de altă parte, dacă sarcina ar fi stabilită astfel " layout-ul trebuie să fie realizat din aceleași materiale ca și originalul, proporțiile și volum 1 metru cub „Atunci, știind că există o relație liniară între volum și masă, am folosi doar raportul standard, volumul vechi la nou și masa veche la un număr necunoscut.

Dar botul nostru ajută la calcularea proporțiilor în alte cazuri, mai frecvente și mai practice.

Cu siguranță, va fi de folos tuturor gospodinelor care gătesc mâncare.

Apar situații când se găsește o rețetă pentru un tort uimitor de 10 kg, dar volumul său este prea mare pentru a fi pregătit.. Aș dori să fie mai mic, de exemplu, doar două kilograme, dar cum să calculez toate greutățile noi și volume de ingrediente?

Aici te va ajuta un bot, care va putea calcula noii parametri ai unui tort de 2 kilograme.

De asemenea, botul va ajuta la calculele bărbaților harnici care își construiesc o casă și trebuie să calculeze câte ingrediente de beton să ia dacă au doar 50 de kilograme de nisip.

Sintaxă

Pentru utilizatorii client XMPP: pro<строка>

unde șir are elemente necesare

număr1 / număr2 - găsirea proporției.

Pentru a nu vă teme de o descriere atât de scurtă, dăm un exemplu aici.

200 300 100 3 400/100

Care spune, de exemplu, următoarele:

200 de grame de făină, 300 de mililitri de lapte, 100 de grame de unt, 3 ouă - randamentul de clătite este de 400 de grame.

Câte ingrediente trebuie să luați pentru a coace doar 100 de grame de clătite?

Cât de ușor este de observat

400/100 este raportul dintre rețeta tipică și randamentul pe care îl dorim.

Vom lua în considerare exemple mai detaliat în secțiunea corespunzătoare.

Exemple

Un prieten a împărtășit o rețetă minunată

Aluat: 200 de grame de mac, 8 oua, 200 de zahar pudra, 50 de grame de rulouri ras, 200 de grame de nuci macinate, 3 cani de miere.
Macul se fierbe timp de 30 de minute la foc mic, se pisează cu un pistil, se adaugă miere topită, biscuiți măcinați, nuci.
Bateți ouăle cu zahăr pudră, adăugați la masă.
Se amestecă ușor aluatul, se toarnă într-o formă, se coace.
Tăiați prăjitura răcită în 2 straturi, acoperiți cu gem acru, apoi cu smântână.
Se ornează cu gem de fructe de pădure.
Smântână: 1 cană smântână, 1/2 cană zahăr, bate.

Un raport (în matematică) este o relație între două sau mai multe numere de același fel. Rapoartele compară valori absolute sau părți ale unui întreg. Ratele sunt calculate și scrise în moduri diferite, dar principiile de bază sunt aceleași pentru toate rapoartele.

Pași

Partea 1

Definiţia ratios

Folosind rapoarte. Rapoartele sunt folosite atât în știință, cât și în viața de zi cu zi pentru a compara cantitățile. Cele mai simple rapoarte raportează doar două numere, dar există rapoarte care compară trei sau mai multe valori. În orice situație în care este prezentă mai mult de o cantitate, se poate scrie un raport. Prin legarea unor valori, rapoartele pot sugera, de exemplu, cum să crească cantitatea de ingrediente dintr-o rețetă sau substanțe într-o reacție chimică.

Definiţia ratios. O relație este o relație între două (sau mai multe) valori de același fel. De exemplu, dacă o prăjitură necesită 2 căni de făină și 1 ceașcă de zahăr, atunci raportul dintre făină și zahăr este de 2 la 1.
- Raporturile pot fi folosite și atunci când două cantități nu sunt legate între ele (ca în exemplul de tort). De exemplu, dacă în clasă sunt 5 fete și 10 băieți, atunci raportul dintre fete și băieți este de 5 la 10. Aceste cantități (numărul de băieți și numărul de fete) nu depind una de alta, adică valorile lor se vor schimba dacă cineva părăsește clasa sau va veni un nou elev la clasă. Ratele compară pur și simplu valorile cantităților.
Observați diferitele moduri în care sunt reprezentate rapoartele. Relațiile pot fi reprezentate în cuvinte sau cu simboluri matematice.
- Foarte des rapoartele sunt exprimate în cuvinte (așa cum se arată mai sus). În special această formă de reprezentare a rapoartelor este folosită în viața de zi cu zi, departe de știință.
- De asemenea, rapoartele pot fi exprimate prin două puncte. Când comparați două numere într-un raport, veți folosi un singur două puncte (de exemplu, 7:13); atunci când comparați trei sau mai multe valori, puneți două puncte între fiecare pereche de numere (de exemplu, 10:2:23). În exemplul nostru de clasă, puteți exprima raportul dintre fete și băieți astfel: 5 fete: 10 băieți. Sau cam așa: 5:10.
- Mai rar, rapoartele sunt exprimate folosind o bară oblică. În exemplul clasei, ar putea fi scris astfel: 5/10. Cu toate acestea, aceasta nu este o fracție și un astfel de raport nu este citit ca o fracție; mai mult, amintiți-vă că într-un raport, numerele nu fac parte dintr-un singur întreg.
Partea 2
Utilizarea rapoartelor
1. Simplificați raportul. Raportul poate fi simplificat (similar cu fracțiile) împărțind fiecare termen (număr) al raportului la . Cu toate acestea, nu pierdeți din vedere valorile inițiale ale raportului.
  - În exemplul nostru, în clasă sunt 5 fete și 10 băieți; raportul este de 5:10. Cel mai mare divizor comun al termenilor raportului este 5 (deoarece ambele 5 și 10 sunt divizibile cu 5). Împărțiți fiecare număr de raport la 5 pentru a obține un raport de 1 fată la 2 băieți (sau 1:2). Cu toate acestea, atunci când simplificați raportul, țineți cont de valorile originale. În exemplul nostru, în clasă nu sunt 3 elevi, ci 15. Raportul simplificat compară numărul de băieți și numărul de fete. Adică pentru fiecare fată sunt 2 băieți, dar nu sunt 2 băieți și 1 fată în clasă.
  - Unele relații nu sunt simplificate. De exemplu, raportul 3:56 nu este simplificat deoarece aceste numere nu au divizori comuni (3 este un număr prim, iar 56 nu este divizibil cu 3).
2. Utilizați înmulțirea sau împărțirea pentru a crește sau a micșora raportul. O problemă comună este creșterea sau scăderea a două valori care sunt proporționale între ele. Dacă vi se oferă un raport și trebuie să găsiți un raport mai mare sau mai mic care să se potrivească cu acesta, înmulțiți sau împărțiți raportul inițial cu un anumit număr.
  - De exemplu, un brutar trebuie să tripleze cantitatea de ingrediente dată într-o rețetă. Dacă rețeta spune că raportul dintre făină și zahăr este de 2:1 (2:1), atunci brutarul va înmulți fiecare termen cu 3 pentru a obține un raport de 6:3 (6 căni de făină la 3 căni de zahăr).
  - Pe de altă parte, dacă brutarul trebuie să reducă la jumătate cantitatea de ingrediente din rețetă, atunci brutarul va împărți fiecare termen de raport cu 2 și va obține un raport de 1:½ (1 cană făină la 1/2 cană zahăr).
3. Căutați o valoare necunoscută atunci când sunt date două rapoarte echivalente. Aceasta este o problemă în care trebuie să găsiți o variabilă necunoscută într-o relație folosind o a doua relație care este echivalentă cu prima. Pentru a rezolva astfel de probleme, utilizați . Scrieți fiecare raport ca o fracție, puneți un semn egal între ele și înmulțiți-le termenii încrucișat.
  - De exemplu, dat un grup de elevi, în care sunt 2 băieți și 5 fete. Care va fi numărul de băieți dacă numărul fetelor va crește la 20 (proporția se păstrează)? În primul rând, notează două rapoarte - 2 băieți:5 fete și X băieți: 20 fete. Acum scrieți aceste rapoarte sub formă de fracții: 2/5 și x/20. Înmulțiți în cruce termenii fracțiilor și obțineți 5x = 40; deci x = 40/5 = 8.
Partea 3
Greșeli comune
1. Evitați adunarea și scăderea în problemele cu raportul de text. Multe probleme cu cuvintele arată cam așa: „Rețeta necesită 4 tuberculi de cartofi și 5 morcovi rădăcină. Dacă vrei să adaugi 8 cartofi, de câți morcovi ai nevoie pentru a menține același raport?” Când rezolvă astfel de probleme, elevii fac adesea greșeala de a adăuga aceeași cantitate de ingrediente la numărul inițial. Cu toate acestea, pentru a păstra raportul, trebuie să utilizați înmulțirea. Iată exemple de decizii corecte și greșite:
  - Incorect: „8 - 4 = 4 - așa că am adăugat 4 tuberculi de cartofi. Deci, trebuie să luați 5 rădăcini de morcov și să adăugați încă 4 la ele... Oprește-te! Raporturile nu funcționează așa. Merită încercat din nou.”
  - Corect: „8 ÷ 4 = 2 - așa că am înmulțit numărul de cartofi cu 2. În consecință, 5 rădăcini de morcov trebuie, de asemenea, înmulțite cu 2. 5 x 2 = 10 - 10 rădăcini de morcov trebuie adăugate la rețetă.”

bază cercetarea matematică este capacitatea de a dobândi cunoștințe despre anumite mărimi prin compararea lor cu alte mărimi care sunt fie egal, sau Mai mult sau Mai puțin decât cele care fac obiectul studiului. Acest lucru se face de obicei cu o serie ecuațiiși proporții. Când folosim ecuații, determinăm cantitatea pe care o căutăm găsind-o egalitate cu o altă cantitate sau cantități deja cunoscute.

Cu toate acestea, se întâmplă adesea să comparăm o cantitate necunoscută cu altele care nu este egal ea, dar mai mult sau mai puțin din ea. Aici avem nevoie de o abordare diferită a procesării datelor. Poate că trebuie să știm, de exemplu, cât costă o valoare este mai mare decât cealaltă, sau De câte ori unul îl conține pe celălalt. Pentru a găsi răspunsuri la aceste întrebări, vom afla ce este raport doua marimi. Se numește un singur raport aritmetic, si altul geometric. Deși este de remarcat faptul că ambii acești termeni nu au fost adoptați întâmplător sau doar de dragul distincției. Atât relațiile aritmetice, cât și cele geometrice se aplică atât aritmeticii, cât și geometriei.

Fiind o componentă a unui subiect vast și important, proporția depinde de rapoarte, așa că este necesară o înțelegere clară și completă a acestor concepte.

338. Raportul aritmetic aceasta este diferențăîntre două mărimi sau o serie de mărimi. Cantitățile în sine sunt numite membrii rapoarte, adică termeni între care există un raport. Astfel, 2 este raportul aritmetic de 5 și 3. Acesta se exprimă prin plasarea unui semn minus între cele două valori, adică 5 - 3. Desigur, termenul de raport aritmetic și detalierea lui este practic inutil, deoarece numai cuvântul este înlocuit. diferență la semnul minus din expresie.

339. Dacă ambii membri ai unei relaţii aritmetice multiplica sau divide cu aceeași sumă, atunci raport, va fi în cele din urmă înmulțit sau împărțit cu acea sumă.
Astfel, dacă avem a - b = r
Apoi înmulțiți ambele părți cu h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Și împărțind la h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Dacă termenii unui raport aritmetic se adună sau se scad din termenii corespunzători altuia, atunci raportul sumei sau diferenței va fi egal cu suma sau diferența celor două rapoarte.
Dacă a - b
Și d-h
sunt două rapoarte,
Atunci (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Care în fiecare caz = a + d - b - h.
Și (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Care în fiecare caz = a - d - b + h.
Deci raportul aritmetic de 11 - 4 este 7
Și raportul aritmetic 5 - 2 este 3
Raportul sumei termenilor 16 - 6 este 10, - suma rapoartelor.
Raportul dintre diferența dintre membrii 6 - 2 este 4, - diferența rapoartelor.

341. raport geometric este relația dintre cantități, care se exprimă PRIVAT dacă o valoare este împărțită la alta.
Deci raportul de la 8 la 4 poate fi scris ca 8/4 sau 2. Adică, câtul lui 8 împărțit la 4. Cu alte cuvinte, arată de câte ori 4 este conținut în 8.

În același mod, raportul oricărei mărimi la alta poate fi determinat prin împărțirea primei la a doua, sau, ceea ce este practic același lucru, făcând din prima numărător al fracției și din a doua numitor.
Deci raportul dintre a și b este $\frac(a)(b)$
Raportul dintre d + h și b + c este $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Raportul geometric se scrie și prin plasarea a două puncte unul deasupra celuilalt între valorile comparate.
Astfel, a:b este raportul dintre a și b, iar 12:4 este raportul dintre 12 și 4. Cele două mărimi formează împreună cuplu, în care se numește primul termen antecedente, iar ultimul este consecință.

343. Această notație punctată și cealaltă, sub formă de fracție, sunt interschimbabile după caz, antecedentul devenind numărătorul fracției, iar consecvent numitorul.
Deci 10:5 este același cu $\frac(10)(5)$ și b:d este același cu $\frac(b)(d)$.

344. Dacă oricare dintre aceste trei semnificații: antecedent, consecvent și relație i se dă vreunul Două, apoi al treilea poate fi găsit.

Fie a= antecedent, c= consecință, r= raport.
Prin definiție, $r=\frac(a)(c)$, adică raportul este egal cu antecedentul împărțit la consecvent.
Înmulțind cu c, a = cr, adică antecedentul este egal cu multiplicarea raportului.
Împărțiți la r, $c=\frac(a)(r)$, adică rezultatul este egal cu antecedentul împărțit la raport.

Resp. 1. Dacă două perechi au antecedente și consecințe egale, atunci și rapoartele lor sunt egale.

Resp. 2. Dacă rapoartele și antecedentele a două perechi sunt egale, atunci consecințele sunt egale, iar dacă rapoartele și consecințele sunt egale, atunci antecedentele sunt egale.

345. Dacă două cantităţi comparate egal, atunci raportul lor este egal cu unitatea sau egalitatea. Raportul 3 * 6:18 este egal cu unu, deoarece câtul oricărei valori împărțite la sine este egal cu 1.

Dacă antecedentul perechii Mai mult, decât rezultatul, atunci raportul este mai mare decât unu. Deoarece dividendul este mai mare decât divizorul, coeficientul este mai mare decât unu. Deci raportul de 18:6 este 3. Acesta se numește raport inegalitate mai mare.

Pe de altă parte, dacă antecedentul Mai puțin decât rezultatul, atunci raportul este mai mic decât unu, iar acesta se numește raport mai puțină inegalitate. Deci raportul 2:3 este mai mic decât unu, deoarece dividendul este mai mic decât divizorul.

346. Verso raportul este raportul a două reciproce.
Deci raportul inversului de la 6 la 3 este la, adică:.
Relația directă a lui a la b este $\frac(a)(b)$, adică antecedentul împărțit la consecvent.
Relația inversă este $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ sau $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
adică secvența b împărțită la antecedentul a.

Prin urmare, se exprimă relația inversă prin inversarea unei fracții, care afișează o relație directă sau, când notarea se face folosind puncte, inversând ordinea membrilor de scriere.
Astfel a este legat de b în sens invers în care b este legat de a.

347. Raport complex acest raport lucrări termeni corespunzători cu două sau mai multe relaţii simple.
Deci raportul este 6:3, egal cu 2
Și raport 12:4 este egal cu 3
Raportul format din ele este 72:12 = 6.

Aici se obține o relație complexă prin înmulțirea a două antecedente și, de asemenea, a două consecințe ale relațiilor simple.
Deci raportul este compus
Din raportul a:b
Și rapoarte c:d
și raportul h:y
Aceasta este relația $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
O relație complexă nu diferă în ea natură din orice alt raport. Acest termen este folosit pentru a arăta originea unei relații în anumite cazuri.

Resp. Un raport complex este egal cu produsul rapoartelor simple.
Raportul a:b este egal cu $\frac(a)(b)$
Raportul c:d este egal cu $\frac(c)(d)$
Raportul h:y este egal cu $\frac(h)(y)$
Iar raportul adăugat dintre aceste trei va fi ach/bdy, care este produsul fracțiilor care exprimă rapoarte simple.

348. Dacă în succesiunea relațiilor din fiecare pereche anterioară consecința este antecedentul în următoarea, atunci raportul dintre primul antecedent şi ultimul rezultat este egal cu cel obţinut din rapoartele intermediare.
Deci într-un număr de rapoarte
a:b
b:c
CD
d:h
raportul a:h este egal cu raportul însumat din rapoartele a:b și b:c și c:d și d:h. Deci relația complexă din ultimul articol este $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ sau a:h.

În același mod, toate cantitățile care sunt atât antecedente, cât și consecințe dispărea, când produsul fracțiilor va fi simplificat la termenii săi inferiori și în rest relația complexă va fi exprimată prin primul antecedent și ultimul consecvent.

349. O clasă specială de relaţii complexe se obţine prin înmulţirea unei relaţii simple cu se sau la altul egal raport. Aceste rapoarte se numesc dubla, triplu, cvadruplu, și așa mai departe, după numărul de înmulțiri.

Raport alcătuit din Două proporții egale, adică pătrat dubla raport.

Alcătuit din Trei, acesta este, cub se numește raport simplu triplu, si asa mai departe.

În mod similar, raportul rădăcini pătrate două mărimi se numește raport rădăcină pătrată, și raportul rădăcini cubice- raport rădăcină cubă, si asa mai departe.
Deci raportul simplu dintre a și b este a:b
Raportul dublu dintre a și b este a 2:b 2
Raportul triplu dintre a și b este a 3:b 3
Raportul dintre rădăcina pătrată a lui a la b este √a :√b
Raportul rădăcinii cubice a lui a la b este 3 √a : 3 √b și așa mai departe.
Termeni dubla, triplu, și așa mai departe nu trebuie amestecate cu dublat, triplat, si asa mai departe.
Raportul de la 6 la 2 este 6:2 = 3
Dacă dublăm acest raport, adică raportul de două ori, obținem 12:2 = 6
Triplăm acest raport, adică acest raport de trei ori, obținem 18: 2 = 9
DAR dubla raport, adică pătrat raportul este 6 2:2 2 = 9
Și triplu raportul, adică cubul raportului, este 6 3:2 3 = 27

350. Pentru ca cantitățile să fie corelate între ele, acestea trebuie să fie de același fel, astfel încât să se poată afirma cu certitudine dacă sunt egale între ele, sau dacă una dintre ele este mai mare sau mai mică. Un picior este la un inch ca 12 la 1: este de 12 ori mai mare decât un inch. Dar nu se poate spune, de exemplu, că o oră este mai lungă sau mai scurtă decât un băț, sau un acru este mai mare sau mai mic decât un grad. Cu toate acestea, dacă aceste valori sunt exprimate în numere, atunci poate exista o relație între aceste numere. Adică, poate exista o relație între numărul de minute dintr-o oră și numărul de pași dintr-o milă.

351. Întorcându-se spre natură raporturile, următorul pas de care trebuie să luăm în considerare este modul în care schimbarea în unul sau doi termeni care sunt comparați unul cu celălalt va afecta raportul în sine. Amintiți-vă că un raport direct este exprimat ca o fracție, unde antecedet cuplurile sunt mereu numărător, A consecvent - numitor. Atunci va fi ușor de obținut din proprietatea fracțiilor că modificările raportului apar prin variarea cantităților comparate. Raportul dintre cele două cantități este același ca sens fracții, fiecare dintre acestea reprezentând privat: numărătorul împărțit la numitor. (Art. 341.) Acum s-a arătat că înmulțirea numărătorului unei fracții cu orice valoare este aceeași cu înmulțirea sens cu aceeași sumă și că împărțirea numărătorului este aceeași cu împărțirea valorilor unei fracții. De aceea,

352. A înmulți antecedentul unei perechi cu orice valoare înseamnă a înmulți rapoartele cu această valoare, iar a împărți antecedentul înseamnă a împărți acest raport.
Deci raportul 6:2 este 3
Iar raportul de 24:2 este 12.
Aici antecedentul și raportul din ultima pereche sunt de 4 ori mai mari decât în prima.
Relația a:b este egală cu $\frac(a)(b)$
Și relația na:b este egală cu $\frac(na)(b)$.

Resp. Cu o consecință cunoscută, cu atât mai mult antecedente, cu atât mai mult raport, și invers, cu cât raportul este mai mare, cu atât antecedentul este mai mare.

353. Înmulțind rezultatul unei perechi cu orice valoare, ca urmare, obținem împărțirea raportului cu această valoare, iar împărțind rezultatul, înmulțim raportul.Înmulțind numitorul unei fracții, împărțim valoarea, iar prin împărțirea numitorului se înmulțește valoarea.
Deci raportul de 12:2 este 6
Iar raportul de 12:4 este 3.
Iată consecința celei de-a doua perechi în de două ori mai mult, dar raportul de două ori mai putin decat primul.
Raportul a:b este $\frac(a)(b)$
Iar raportul a:nb este egal cu $\frac(a)(nb)$.

Resp. Pentru un antecedent dat, cu cât rezultatul este mai mare, cu atât raportul este mai mic. Dimpotrivă, cu cât raportul este mai mare, cu atât este mai mic rezultatul.

354. Din ultimele două articole rezultă că antecedent de multiplicare perechile după orice valoare vor avea același efect asupra raportului ca împărțirea consecințelor cu această sumă, și diviziunea antecedentelor, va avea același efect ca inmultirea consecutiva.
Deci raportul 8:4 este 2
Înmulțind antecedentul cu 2, raportul 16:4 este 4
Împărțind antecedentul la 2, raportul 8:2 este 4.

Resp. Orice factor sau separator poate fi transferat de la antecedentul unei perechi la consecvent, sau de la consecvent la antecedent, fără a modifica relația.

Este demn de remarcat faptul că atunci când un factor este astfel transferat de la un termen la altul, atunci el devine un divizor, iar divizorul transferat devine un factor.
Deci raportul este 3,6:9 = 2
Schimbarea factorului 3, $6:\frac(9)(3)=2$
acelasi raport.

Relația $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Mutarea y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Mișcând m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. După cum rezultă din articole. 352 și 353, dacă antecedentul și consecința sunt ambele înmulțite sau împărțite cu aceeași sumă, atunci raportul nu se modifică.

Resp. 1. Raportul de doi fractii, care au un numitor comun, la fel ca raportul lor numărători.
Astfel, raportul a/n:b/n este același cu a:b.

Resp. 2. direct raportul a două fracții care au un numărător comun este egal cu raportul lor reciproc numitori.

356. Este ușor de determinat raportul dintre oricare două fracții din articol. Dacă fiecare termen este înmulțit cu doi numitori, atunci raportul va fi dat prin expresii integrale. Astfel, înmulțind termenii perechii a/b:c/d cu bd, obținem $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, care devine ad:bc, prin reducerea valorile totale de la numărători și numitori.

356 b. Raport inegalitate mai mare crește a lui
Fie ca raportul de inegalitate mai mare să fie dat ca 1+n:1
Și orice raport a:b
Un raport complex va fi (Art. 347,) a + na:b
Ce este mai mare decât raportul a:b (Art. 351 resp.)
Dar raportul mai puțină inegalitate, adăugat cu un alt raport, reduce a lui.
Fie raportul diferenței mai mici 1-n:1
Orice raport dat a:b
Raport complex a - na:b
Ce este mai puțin decât a:b.

357. Dacă către sau de la membrii oricărei perechiadăuga sau scădeți alte două mărimi care sunt în același raport, atunci sumele sau resturile vor avea același raport.
Fie raportul a:b
Va fi la fel ca c:d
Apoi relația sume antecedente la suma consecințelor, și anume, de la a + c la b + d, este de asemenea aceeași.
Adică $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dovada.

1. Prin presupunere, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Înmulțiți cu b și cu d, ad = bc
3. Adăugați cd pe ambele părți, ad + cd = bc + cd
4. Împărțiți cu d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Împărțiți la b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Raport diferență antecedentele diferenței de consecințe sunt și ele aceleași.

358. Dacă rapoartele din mai multe perechi sunt egale, atunci suma tuturor antecedentelor este la suma tuturor consecințelor așa cum orice antecedent este la rezultatul său.
Astfel raportul
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Astfel, raportul (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Raport inegalitate mai marescade, adăugând aceeasi cantitate ambilor membri.
Fie o relație dată a+b:a sau $\frac(a+b)(a)$
Adăugând x la ambii termeni, obținem a+b+x:a+x sau $\frac(a+b)(a)$.

Primul devine $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Și ultimul este $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Deoarece ultimul numărător este evident mai mic decât celălalt, atunci raport ar trebui să fie mai puțin. (Art. 351 resp.)

Dar raportul mai puțină inegalitate crește, adăugând aceeași valoare ambilor termeni.
Fie relația dată (a-b):a sau $\frac(a-b)(a)$.
Adăugând x la ambii termeni, acesta devine (a-b+x):(a+x) sau $\frac(a-b+x)(a+x)$
Aducându-le la un numitor comun,
Primul devine $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Și ultimul, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Deoarece ultimul numărător este mai mare decât celălalt, atunci raport Mai Mult.
Dacă în loc să adauge aceeași valoare la pachet din doi termeni, este evident că efectul asupra raportului va fi invers.

Exemple.

1. Care este mai mare: raportul 11:9 sau raportul 44:35?

2. Care este mai mare: raportul $(a+3):\frac(a)(6)$ sau raportul $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Dacă antecedentul unei perechi este 65 și raportul este 13, care este consecința?

4. Dacă consecința unei perechi este 7 și raportul este 18, care este antecedentul?

5. Cum arată un raport complex format din 8:7 și 2a:5b și, de asemenea, (7x+1):(3y-2)?

6. Cum arată un raport complex compus din (x + y): b și (x-y): (a + b), și de asemenea (a + b): h? Reprezentant. (x 2 - y 2):bh.

7. Dacă relațiile (5x+7):(2x-3) și $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formează o relație complexă, atunci ce relație veți obține: mai mult sau mai puțină inegalitate? Reprezentant. Raportul inegalității mai mari.

8. Care este raportul alcătuit din (x + y):a și (x - y):b și $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Reprezentant. Raportul de egalitate.

9. Care este raportul de 7:5 și dublul 4:9 și triplul 3:2?
Reprezentant. 14:15.

10. Care este raportul alcătuit din 3:7 și triplul raportului x:y și extragerea rădăcinii din raportul de 49:9?
Reprezentant. x3:y3.