Հեքիաթներ

Կոն հասկացությունը. Կոնը որպես երկրաչափական պատկեր Որքա՞ն է կոնի գեներատրիսի երկարությունը

Որոնք բխում են մի կետից (կոնի գագաթից) և որոնք անցնում են հարթ մակերեսով։

Պատահում է, որ կոնը մարմնի մի մասն է, որն ունի սահմանափակ ծավալ և ստացվում է հարթ մակերևույթի գագաթն ու կետերը միացնող յուրաքանչյուր հատվածը համադրելով։ Վերջինս, այս դեպքում, է կոնի հիմքը, և ասվում է, որ կոնը հենվում է այս հիմքի վրա:

Երբ կոնի հիմքը բազմանկյուն է, այն արդեն կա բուրգ .

Շրջանաձև կոն- սա շրջանից բաղկացած մարմին է (կոնի հիմքը), մի կետ, որը չի գտնվում այս շրջանագծի հարթությունում (կոնի գագաթը և բոլոր հատվածները, որոնք կապում են կոնի գագաթը կետերի հետ. հիմք):

Կոնու գագաթը և հիմքի շրջանագծի կետերը միացնող հատվածները կոչվում են կոն կազմելով. Կոնու մակերեսը բաղկացած է հիմքից և կողային մակերեսից։

Կողային մակերեսի մակերեսը ճիշտ է n- ածխածնային բուրգ, որը գրված է կոնի մեջ.

S n =½P n l n,

Որտեղ Pn- բուրգի հիմքի պարագիծը և l n-ապաթեմ.

Նույն սկզբունքով. բազային շառավղով կտրված կոնի կողային մակերեսի համար Ռ 1, Ռ 2և ձևավորելը լմենք ստանում ենք հետևյալ բանաձևը.

S=(R 1 +R 2)l.

Ուղիղ և թեք շրջանաձև կոններ՝ հավասար հիմքով և բարձրությամբ: Այս մարմիններն ունեն նույն ծավալը.

Կոնի հատկությունները.

Երբ հիմքի մակերեսը սահման ունի, նշանակում է, որ կոնի ծավալը նույնպես սահման ունի և հավասար է բարձրության և հիմքի մակերեսի արտադրյալի երրորդ մասին։

Որտեղ Ս- բազայի տարածքը, Հ- բարձրություն.

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կոն, որը հենվում է այս հիմքի վրա և ունի հարթության վրա գտնվող գագաթ, հիմքին զուգահեռ, ունեն նույն ծավալը, քանի որ նրանց բարձրությունները նույնն են։

Սահմանափակ ծավալ ունեցող յուրաքանչյուր կոնի ծանրության կենտրոնը գտնվում է հիմքից բարձրության քառորդ մասում:
Ուղղաձիգ շրջանաձև կոնի գագաթի պինդ անկյունը կարող է արտահայտվել հետևյալ բանաձևով.

Որտեղ α - կոնի բացման անկյուն:

Նման կոնի կողային մակերեսը, բանաձևը.

և ընդհանուր մակերեսի մակերեսը (այսինքն՝ կողային մակերեսի և հիմքի տարածքների գումարը), բանաձևը.

S=πR(l+R),

Որտեղ Ռ- հիմքի շառավիղը, լ- գեներատորի երկարությունը.

Շրջանաձև կոնի ծավալը, բանաձևը.

Կտրված կոնի համար (ոչ միայն ուղիղ կամ շրջանաձև), ծավալ, բանաձև.

Որտեղ Ս 1Եվ Ս 2- վերին և ստորին հիմքերի տարածքը,

հԵվ Հ- հեռավորությունները վերին և ստորին բազայի հարթությունից մինչև վերև:

Հարթության հատումը աջ շրջանաձև կոնով կոնի հատվածներից է։

Այս դասում մենք կծանոթանանք այնպիսի գործչի հետ, ինչպիսին է կոնը: Ուսումնասիրենք կոնի տարրերը և նրա հատվածների տեսակները։ Եվ մենք կպարզենք, թե որ գործչի հետ ունի կոնը շատ ընդհանուր հատկություններ:

Նկ.1. Կոնաձեւ առարկաներ

Աշխարհում մեծ գումարիրերը կոնաձև են: Հաճախ մենք չենք էլ նկատում դրանք։ Ճանապարհային կոներ, որոնք նախազգուշացնում են ճանապարհային աշխատանքների մասին, ամրոցների և տների տանիքներ, պաղպաղակի կոներ - այս բոլոր առարկաները կոնի ձև ունեն (տես նկ. 1):

Բրինձ. 2. Ուղղանկյուն եռանկյուն

Դիտարկենք կամայական ուղղանկյուն եռանկյունի ոտքերով և (տես նկ. 2):

Բրինձ. 3. Ուղիղ շրջանաձեւ կոն

Տրված եռանկյունը պտտելով ոտքերից մեկի շուրջը (առանց ընդհանուրության կորստի, թող լինի ոտք), հիպոթենուսը կնկարագրի մակերեսը, իսկ ոտքը՝ շրջանագիծը։ Այսպիսով, կստացվի մարմին, որը կոչվում է աջ շրջանաձև կոն (տե՛ս նկ. 3):

Բրինձ. 4. Կոների տեսակները

Քանի որ խոսքը ուղիղ շրջանաձև կոնի մասին է, ըստ երևույթին կա և՛ անուղղակի, և՛ ոչ շրջանաձև։ Եթե կոնի հիմքը շրջանագիծ է, բայց գագաթը նախագծված չէ այս շրջանագծի կենտրոնում, ապա այդպիսի կոնը կոչվում է թեք: Եթե հիմքը շրջանագիծ չէ, այլ կամայական պատկեր, ապա այդպիսի մարմինը երբեմն անվանում են նաև կոն, բայց, իհարկե, ոչ շրջանաձև (տե՛ս նկ. 4):

Այսպիսով, մենք կրկին գալիս ենք բալոնների հետ աշխատելուց մեզ արդեն ծանոթ նմանությանը: Իրականում, կոնը բուրգի նման մի բան է, պարզապես բուրգը հիմքում ունի բազմանկյուն, իսկ կոնը (որը մենք կքննարկենք) ունի շրջան (տես նկ. 5):

Պտտման առանցքի հատվածը (մեր դեպքում դա ոտքն է), որը փակված է կոնի ներսում, կոչվում է կոնի առանցք (տես նկ. 6):

Բրինձ. 5. Կոն և բուրգ

Բրինձ. 6. - կոն առանցք

Բրինձ. 7. Կոնի հիմքը

Երկրորդ ոտքի () պտույտի արդյունքում ձևավորված շրջանակը կոչվում է կոնի հիմք (տե՛ս նկ. 7):

Իսկ այս ոտքի երկարությունը կոնի հիմքի շառավիղն է (կամ ավելի պարզ՝ կոնի շառավիղը) (տե՛ս նկ. 8):

Բրինձ. 8. - կոն շառավիղ

Բրինձ. 9. - կոնի գագաթ

Պտտման առանցքի վրա ընկած պտտվող եռանկյան սուր անկյան գագաթը կոչվում է կոնի գագաթ (տե՛ս նկ. 9):

Բրինձ. 10. - կոնի բարձրությունը

Կոնի բարձրությունը այն հատվածն է, որը գծված է կոնի վերևից նրա հիմքին ուղղահայաց (տե՛ս նկ. 10):

Այստեղ կարող է ձեզ հարց առաջանալ՝ ինչպե՞ս է այդ դեպքում պտտման առանցքի հատվածը տարբերվում կոնի բարձրությունից: Իրականում դրանք համընկնում են միայն ուղիղ կոնի դեպքում, եթե նայեք թեքված կոնին, կնկատեք, որ դրանք երկու լրիվ տարբեր հատվածներ են (տե՛ս նկ. 11)։

Բրինձ. 11. Բարձրությունը թեքված կոնի մեջ

Եկեք վերադառնանք ուղիղ կոնին:

Բրինձ. 12. Կոնի գեներատորներ

Կոնի գագաթը նրա հիմքի շրջանագծի կետերի հետ կապող հատվածները կոչվում են կոնի գեներատորներ։ Ի դեպ, աջ կոնի բոլոր գեներատիզները հավասար են միմյանց (տե՛ս նկ. 12):

Բրինձ. 13. Բնական կոնանման առարկաներ

Հունարենից թարգմանված konos նշանակում է «սոճու կոն»։ Բնության մեջ կան բավականաչափ առարկաներ, որոնք ունեն կոնի ձև՝ եղևնի, լեռ, մրջնաբույն և այլն (տե՛ս նկ. 13):

Բայց մենք սովոր ենք, որ կոնը ուղիղ է։ Այն ունի հավասար գեներատորներ, և նրա բարձրությունը համընկնում է առանցքի հետ։ Այդպիսի կոնը մենք կոչեցինք ուղիղ կոն։ Դպրոցական երկրաչափության դասընթացում սովորաբար դիտարկվում են ուղիղ կոնները, իսկ լռելյայն ցանկացած կոն համարվում է ճիշտ շրջանաձև: Բայց մենք արդեն ասել ենք, որ կան ոչ միայն ուղիղ, այլեւ թեքված կոններ։

Բրինձ. 14. Ուղղահայաց հատված

Վերադառնանք ուղիղ կոններին։ Կոնը «կտրենք» առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ (տե՛ս նկ. 14):

Ի՞նչ գործիչ կլինի կտրվածքի վրա: Իհարկե, դա շրջան է: Հիշենք, որ հարթությունն անցնում է առանցքին ուղղահայաց, հետևաբար՝ հիմքին, որը շրջանագիծ է։

Բրինձ. 15. Թեք հատված

Այժմ եկեք աստիճանաբար թեքենք հատվածի հարթությունը: Այնուհետև մեր շրջանակը կսկսի աստիճանաբար վերածվել ավելի ու ավելի երկարաձգվող օվալի: Բայց միայն այնքան ժամանակ, քանի դեռ հատվածի հարթությունը չի բախվել բազային շրջանագծին (տես նկ. 15):

Բրինձ. 16. Գազարի օրինակով հատվածների տեսակները

Նրանք, ովքեր սիրում են աշխարհը փորձնականորեն ուսումնասիրել, կարող են դա հաստատել գազարի և դանակի օգնությամբ (փորձեք գազարից կտորներ կտրել տարբեր անկյուններից) (տե՛ս նկ. 16):

Բրինձ. 17. Կոնի առանցքային հատված

Կոնի հատվածն իր առանցքով անցնող հարթությամբ կոչվում է կոնի առանցքային հատված (տե՛ս նկ. 17):

Բրինձ. 18. Հավասարաչափ եռանկյուն - հատվածային պատկեր

Այստեղ մենք ստանում ենք բոլորովին այլ հատվածային պատկեր՝ եռանկյուն: Այս եռանկյունինհավասարաչափ է (տես նկ. 18):

Այս դասում մենք իմացանք գլանաձև մակերեսի, գլանների տեսակների, գլանի տարրերի և պրիզմայի նմանության մասին:

Կոնի գեներատրիքսը 12 սմ է և 30 աստիճան անկյան տակ թեքված է դեպի հիմքի հարթությունը։ Գտեք կոնի առանցքային խաչմերուկի տարածքը:

Լուծում

Դիտարկենք անհրաժեշտ առանցքային հատվածը: Սա հավասարաչափ եռանկյուն է, որի կողմերը 12 աստիճան են, իսկ հիմքի անկյունը 30 աստիճան: Այնուհետև կարող եք շարունակել տարբեր ձևերով: Կամ դուք կարող եք նկարել բարձրությունը, գտնել այն (հիպոթենուսի կեսը, 6), ապա հիմքը (ըստ Պյութագորասի թեորեմի), ապա տարածքը:

Բրինձ. 19. Խնդրի նկարազարդում

Կամ անմիջապես գտեք գագաթի անկյունը` 120 աստիճան, և մակերեսը հաշվարկեք որպես կողմերի կիսարտադրյալ և նրանց միջև անկյան սինուս (պատասխանը նույնը կլինի):

Երկրաչափություն. Դասագիրք 10-11-րդ դասարանների համար. Աթանասյան Լ.Ս. և ուրիշներ 18-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 255 էջ.
Երկրաչափություն 11-րդ դասարան Ա.Վ. Պոգորելով, Մ.: Կրթություն, 2002 թ
Աշխատանքային տետր երկրաչափություն 11-րդ դասարան Վ.Ֆ. Բուտուզով, Յու.Ա. Գլազկովը

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Տնային աշխատանք

) - մարմին էվկլիդեսյան տարածության մեջ, որը ստացվում է մեկ կետից բխող բոլոր ճառագայթների համակցմամբ ( գագաթներըկոն) և անցնելով հարթ մակերեսով: Երբեմն կոնն այնպիսի մարմնի մի մասն է, որն ունի սահմանափակ ծավալ և ստացվում է հարթ մակերևույթի գագաթն ու կետերը միացնող բոլոր հատվածները համադրելով (վերջինս այս դեպքում կոչվում է. հիմքկոն, իսկ կոնը կոչվում է թեքվելովայս հիման վրա): Եթե կոնի հիմքը բազմանկյուն է, ապա այդպիսի կոնը բուրգ է։

Հանրագիտարան YouTube

1 / 4

✪ Ինչպես թղթից կոն պատրաստել:

սուբտիտրեր

Հարակից սահմանումներ

Գագինը և հիմքի սահմանը կապող հատվածը կոչվում է կոնի գեներացիան.
Կոնի գեներատորների միավորումը կոչվում է գեներատոր(կամ կողմը) կոն մակերես. Կոնի ձևավորող մակերեսը կոնաձև մակերես է։
Գագաձևից հիմքի հարթությանը ուղղահայաց ընկած հատվածը (ինչպես նաև այդպիսի հատվածի երկարությունը) կոչվում է. կոն բարձրությունը.
Կոն անկյուն- անկյունը երկու հակադիր գեներատորների միջև (անկյուն կոնի գագաթին, կոնի ներսում):
Եթե կոնի հիմքն ունի համաչափության կենտրոն (օրինակ՝ շրջան կամ էլիպս), և կոնի գագաթի ուղղանկյուն ելքը հիմքի հարթության վրա համընկնում է այս կենտրոնի հետ, ապա կոնը կոչվում է. ուղիղ. Այս դեպքում կոչվում է հիմքի գագաթը և կենտրոնը միացնող ուղիղ գիծը կոն առանցք.
Շեղ (հակված) կոն - կոն, որի գագաթի ուղղանկյուն ելուստը հիմքի վրա չի համընկնում իր համաչափության կենտրոնի հետ:
Շրջանաձև կոն- կոն, որի հիմքը շրջան է:
Ուղիղ շրջանաձև կոն(հաճախ պարզապես կոչվում է կոն) կարելի է ստանալ՝ ոտքը պարունակող գծի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունը պտտելով (այս տողը ներկայացնում է կոնի առանցքը)։
Էլիպսի, պարաբոլայի կամ հիպերբոլայի վրա դրված կոնը կոչվում է համապատասխանաբար էլիպսաձեւ, պարաբոլիկԵվ հիպերբոլիկ կոն(վերջին երկուսն ունեն անսահման ծավալ):
Կոնու այն մասը, որը ընկած է հիմքի և հիմքին զուգահեռ հարթության միջև և գտնվում է վերևի և հիմքի միջև, կոչվում է. կտրված կոն, կամ կոնաձև շերտ.

Հատկություններ

Եթե հիմքի մակերեսը վերջավոր է, ապա կոնի ծավալը նույնպես վերջավոր է և հավասար է բարձրության և հիմքի մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին:

V = 1 3 S H, (\displaystyle V=(1 \ավելի քան 3)SH,)

Որտեղ Ս- բազայի տարածքը, Հ- բարձրություն. Այսպիսով, բոլոր կոնները, որոնք հենվում են տվյալ հիմքի վրա (վերջավոր տարածքի) և ունեն գագաթ, որը գտնվում է հիմքին զուգահեռ տվյալ հարթության վրա, ունեն հավասար ծավալ, քանի որ դրանց բարձրությունները հավասար են։

Վերջավոր ծավալով ցանկացած կոնի ծանրության կենտրոնը գտնվում է հիմքից բարձրության քառորդ մասում:
Ուղիղ շրջանաձև կոնի գագաթի պինդ անկյունը հավասար է

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\ալֆա \ավելի քան 2)\աջ),)որտեղ α-ն կոնի բացման անկյունն է:

Նման կոնի կողային մակերեսը հավասար է

S = π R l, (\displaystyle S=\pi Rl,)

և ընդհանուր մակերեսը (այսինքն՝ կողային մակերեսի և հիմքի տարածքների գումարը)

S = π R (l + R), (\ցուցադրման ոճ S=\pi R(l+R),)Որտեղ Ռ- բազային շառավիղ, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- գեներատորի երկարությունը.

Շրջանաձև (պարտադիր չէ, որ ուղիղ) կոնի ծավալը հավասար է

V = 1 3 π R 2 H: (\displaystyle V=(1 \ավելի քան 3)\pi R^(2)H.)

Կտրված կոնի համար (պարտադիր չէ, որ ուղիղ և շրջանաձև) ծավալը հավասար է.

V = 1 3 (H S 2 - h S 1) , (\ցուցադրման ոճ V=(1 \ավելի քան 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

որտեղ S 1 և S 2-ը համապատասխանաբար վերին (վերևին ամենամոտ) և ստորին հիմքերի տարածքներն են, հԵվ Հ- հեռավորությունները վերին և ստորին բազայի հարթությունից, համապատասխանաբար, մինչև վերև:

Ինքնաթիռի հատումը աջ շրջանաձև կոնով կոնի հատվածներից է (ոչ այլասերված դեպքերում՝ էլիպս, պարաբոլա կամ հիպերբոլա՝ կախված կտրող հարթության դիրքից)։

Կոն հավասարում

Հավասարումներ, որոնք սահմանում են 2Θ բացման անկյունով աջ շրջանաձև կոնի կողային մակերեսը, սկզբնակետում գագաթը և առանցքի հետ համընկնող առանցքը Օզ :

Կոորդինատներով գնդաձև կոորդինատային համակարգում ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

Կոորդինատներով գլանաձեւ կոորդինատային համակարգում ( r, φ, զ) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \օպերատորի անունը (ctg) \Theta)կամ r = z ⋅ tan⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \օպերատորի անունը (tg) \Theta .)

Կոորդինատներով դեկարտյան կոորդինատային համակարգում (x, y, զ) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ մահճակալ ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .)Այս հավասարումը կանոնական ձևով գրված է այսպես

որտեղ են հաստատունները ա, Հետորոշվում է համամասնությամբ c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .)Սա ցույց է տալիս, որ աջ շրջանաձև կոնի կողային մակերեսը երկրորդ կարգի մակերես է (այն կոչվում է կոնաձև մակերես). IN ընդհանուր տեսարաներկրորդ կարգի կոնաձև մակերեսը հենվում է էլիպսի վրա. հարմար դեկարտյան կոորդինատային համակարգում (առանցք Օ՜Եվ OUԷլիպսի առանցքներին զուգահեռ, կոնի գագաթը համընկնում է սկզբնակետին, էլիպսի կենտրոնը գտնվում է առանցքի վրա։ Օզ) դրա հավասարումն ունի ձև

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\ցուցադրման ոճ (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

և a/cԵվ բ/քհավասար է էլիպսի կիսաառանցքներին: Ամենաընդհանուր դեպքում, երբ կոնը հենվում է կամայական հարթ մակերևույթի վրա, կարելի է ցույց տալ, որ կոնի կողային մակերեսի հավասարումը (սկզբում իր գագաթով) տրված է հավասարմամբ. f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,)որտեղ է գործառույթը f (x, y, z) (\ցուցադրման ոճ f(x,y,z))միատարր է, այսինքն՝ բավարարում է պայմանը f (α x, α y, α z) = α n f (x, y, z) (\ցուցադրման ոճ f(\ալֆա x,\ալֆա y,\ալֆա z)=\ալֆա ^(n)f(x,y ,զ))ցանկացած իրական թվի համար.

Սկանավորել

Աջ շրջանաձև կոն, որպես պտտման մարմին, ձևավորվում է ոտքերից մեկի շուրջը պտտվող ուղղանկյուն եռանկյունով, որտեղ հ- կոնի բարձրությունը հիմքի կենտրոնից մինչև վերև - ոտքն է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի շուրջ տեղի է ունենում պտույտ։ Ուղղանկյուն եռանկյան երկրորդ ոտքը r- շառավիղը կոնի հիմքում: Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսն է լ- կոն ձևավորելը.

Միայն երկու քանակություն կարող է օգտագործվել կոնի սկան ստեղծելու համար rԵվ լ. Հիմքի շառավիղը rսահմանում է կոնի հիմքի շրջանագիծը զարգացման մեջ, իսկ կոնի կողային մակերեսի հատվածը որոշվում է կողային մակերեսի գեներատրիցով։ լ, որը կողային մակերեսի հատվածի շառավիղն է։ Սեկտորի անկյուն φ (\displaystyle \varphi)կոնի կողային մակերեսի զարգացման մեջ որոշվում է բանաձևով.

φ = 360° ( r/լ) .

Կոնը (ավելի ճիշտ՝ շրջանաձև կոն) այն մարմինն է, որը բաղկացած է շրջանից՝ կոնի հիմքից, այս շրջանագծի հարթությունում չգտնվող կետից՝ կոնի վերևից և կոնի գագաթը միացնող բոլոր հատվածներից։ հիմքի կետերով (նկ. 1) Կոնի վերին հատվածը հիմքի շրջանագծի կետերին միացնող գծային հատվածները կոչվում են կոնի գեներատորներ։ Կոնի բոլոր գեներատորները հավասար են միմյանց: Կոնու մակերեսը բաղկացած է հիմքից և կողային մակերեսից։
Բրինձ. 1
Կոն կոչվում է ուղիղ, եթե կոնի գագաթը հիմքի կենտրոնի հետ միացնող ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը։ Տեսողականորեն ուղիղ շրջանաձև կոնը կարելի է պատկերացնել որպես մարմին, որը ստացվում է իր ոտքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունը որպես առանցք պտտելով (նկ. 2):
Բրինձ. 2
Կոնի բարձրությունը գագաթից դեպի հիմքի հարթություն իջած ուղղահայացն է։ Ուղիղ կոնի համար բարձրության հիմքը համընկնում է հիմքի կենտրոնի հետ: Աջ շրջանաձև կոնի առանցքը նրա բարձրությունը պարունակող ուղիղ գիծն է։
Կոնի հատվածը իր գագաթով անցնող հարթությամբ հավասարաչափ եռանկյուն է, որի կողմերը կազմում են կոնը (նկ. 3): Մասնավորապես, կոնի առանցքային հատվածը հավասարաչափ եռանկյուն է: Սա մի հատված է, որն անցնում է կոնի առանցքով (նկ. 4):
Բրինձ. 3 Նկ. 4

Կոն մակերեսը
Կոնի կողային մակերեսը, ինչպես մխոցի կողային մակերեսը, կարող է հարթության վրա շրջվել՝ կտրելով այն գեներատորներից մեկի երկայնքով (նկ. 2, ա, բ): Կոնի կողային մակերեսի զարգացումը շրջանաձև հատված է (նկ. 2.6), որի շառավիղը հավասար է կոնի գեներատրիքսին, իսկ հատվածի աղեղի երկարությունը կոնի հիմքի շրջագիծն է։
Կոնու կողային մակերևույթի տարածքը համարվում է դրա զարգացման տարածք: Արտահայտենք կոնի կողային մակերևույթի S մակերեսը նրա l ծագման և r հիմքի շառավիղով։
Շրջանաձև հատվածի մակերեսը՝ կոնի կողային մակերեսի զարգացումը (նկ. 2) հավասար է (Pl2a)/360-ի, որտեղ a-ն աղեղի ABA աստիճանի չափն է», հետևաբար.
Կողք = (Pl2a)/360: (*)
Արտահայտենք a-ն l-ով և r-ով: Քանի որ ABA աղեղի երկարությունը հավասար է 2Pr-ի (կոնի հիմքի շրջագիծը), ապա 2Pr = Pla/180, որտեղից a=360r/l: Այս արտահայտությունը փոխարինելով (*) բանաձևով, մենք ստանում ենք.
Սսիդ = Պրլ. (**)
Այսպիսով, կոնի կողային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի և գեներատորի շրջագծի կեսի արտադրյալին:
Կոնու ընդհանուր մակերեսը կողային մակերեսի և հիմքի տարածքների գումարն է: Կոնի ընդհանուր մակերեսի Scon մակերեսը հաշվարկելու համար ստացվում է բանաձևը՝ Scon = Pr (l + r): (***)

Ֆրուստում
Վերցնենք կամայական կոն և գծենք իր առանցքին ուղղահայաց կտրող հարթություն։ Այս հարթությունը շրջանագծով հատվում է կոնի հետ և կոնը բաժանում երկու մասի։ Մասերից մեկը կոն է, իսկ մյուսը կոչվում է կտրված կոն։ Սկզբնական կոնի հիմքը և այս կոնը հարթությամբ կտրելով ստացված շրջանը կոչվում են կտրված կոնի հիմքեր, իսկ դրանց կենտրոնները միացնող հատվածը՝ կտրված կոնի բարձրություն։

Կոնաձև մակերևույթի այն հատվածը, որը սահմանափակում է կտրված կոնը, կոչվում է նրա կողային մակերես, իսկ հիմքերի միջև պարփակված կոնաձև մակերեսի գեներատորների հատվածները կոչվում են կտրված կոնի գեներատորներ։ Կտրված կոնի բոլոր գեներատորները հավասար են միմյանց (ապացուցե՛ք դա ինքներդ):
Կտրված կոնի կողային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքերի և գեներատորի շրջանակների երկարությունների գումարի կեսի արտադրյալին. Սայդ = П (r + r1) լ:

Լրացուցիչ տեղեկություններ կոնի մասին
1. Երկրաբանության մեջ գոյություն ունի «օդափոխիչ» հասկացությունը: Սա հողային ձև է, որը ձևավորվում է կլաստիկային ապարների (խճաքարեր, մանրախիճ, ավազ) կուտակումից լեռնային գետերդեպի նախալեռնային հարթավայր կամ ավելի հարթ, ավելի լայն հովիտ։
2. Կենսաբանության մեջ կա «աճի կոն» հասկացությունը։ Սա բույսերի ընձյուղի և արմատի ծայրն է՝ բաղկացած կրթական հյուսվածքի բջիջներից։
3. Ընտանիքը կոչվում է «կոններ» ծովային փափկամարմիններպրոսոբրանցների ենթադաս. Կեղևը կոնաձև է (2–16 սմ), վառ գույնի։ Կան ավելի քան 500 տեսակի կոններ: Նրանք ապրում են արևադարձային և մերձարևադարձային գոտիներում, գիշատիչներ են, ունեն թունավոր գեղձ։ Կոների խայթոցը շատ ցավոտ է։ Մահվան դեպքերը հայտնի են. Ռումբերն օգտագործվում են որպես զարդեր և հուշանվերներ։
4. Վիճակագրության համաձայն՝ 1 միլիոն բնակչին տարեկան 6 մարդ է մահանում Երկրի վրա կայծակի հարվածներից (ավելի հաճախ՝ հարավային երկրներում)։ Դա տեղի չէր ունենա, եթե ամենուր կայծակաձողեր լինեին, քանի որ ձևավորվում է անվտանգության կոն։ Որքան բարձր է կայծակաձողը, այնքան մեծ է նման կոնի ծավալը։ Որոշ մարդիկ փորձում են ծառի տակ թաքնվել արտանետումներից, բայց ծառը հաղորդիչ չէ, դրա վրա լիցքեր են կուտակվում, և ծառը կարող է լարման աղբյուր լինել։
5. Ֆիզիկայի մեջ հանդիպում է «պինդ անկյուն» հասկացությունը։ Սա գնդակի մեջ կտրված կոնաձև անկյուն է: Պինդ անկյան միավորը 1 ստերադիան է։ 1 ստերադիանը ամուր անկյուն է, որի շառավիղը քառակուսի է մակերեսին հավասարայն ոլորտի մի մասը, որը նա կտրում է: Եթե այս անկյունում տեղադրենք 1 կանդելա (1 մոմ) լույսի աղբյուր, ապա կստանանք 1 լյումենի լուսավոր հոսք։ Կինոխցիկի կամ լուսարձակի լույսը տարածվում է կոնի տեսքով։