Գտեք գծերով սահմանափակված հատկանիշի տարածքը առցանց: Կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի: Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ

Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես կարելի է գտնել գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը ինտեգրալ հաշվարկների միջոցով: Նման խնդրի ձևակերպմանն առաջին անգամ ենք հանդիպում ավագ դպրոցում, երբ նոր է ավարտվել որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրությունը, և ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը։

Այսպիսով, ինչ է պահանջվում ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը հաջողությամբ լուծելու համար.

• Նկարներ ճիշտ նկարելու ունակություն;
• Որոշակի ինտեգրալ լուծելու ունակություն՝ օգտագործելով հայտնի Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը;
• Ավելի շահավետ լուծում «տեսնելու» ունակությունը, այսինքն. հասկանալ, թե ինչպես այս կամ այն ​​դեպքում ավելի հարմար կլինի ինտեգրումն իրականացնել։ x առանցքի (OX) կամ y առանցքի (OY) երկայնքով:
• Դե, որտեղ առանց ճիշտ հաշվարկների:) Սա ներառում է հասկանալ, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները և ճիշտ թվային հաշվարկները:

Գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

1. Մենք գծագրում ենք. Ցանկալի է դա անել վանդակում գտնվող թղթի վրա, մեծ մասշտաբով։ Յուրաքանչյուր գրաֆիկի վերևում մատիտով ստորագրում ենք այս ֆունկցիայի անվանումը։ Գրաֆիկների ստորագրումը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկների հարմարության համար: Ստանալով ցանկալի գործչի գրաֆիկը՝ շատ դեպքերում անմիջապես պարզ կդառնա, թե ինտեգրման որ սահմաններն են օգտագործվելու: Այսպիսով, մենք խնդիրը լուծում ենք գրաֆիկորեն: Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, դուք կարող եք լրացուցիչ հաշվարկներ կատարել, անցեք երկրորդ քայլին:

2. Եթե ​​ինտեգրման սահմանները հստակորեն սահմանված չեն, ապա մենք գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը միմյանց հետ և տեսնում, թե արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումը համընկնում է վերլուծականի հետ:

3. Հաջորդը, դուք պետք է վերլուծեք նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են տեղակայված գործառույթների գծապատկերները, կան տարբեր մոտեցումներ նկարի տարածքը գտնելու համար: Դիտարկենք ինտեգրալների միջոցով պատկերի մակերեսը գտնելու տարբեր օրինակներ:

3.1. Խնդրի ամենադասական և ամենապարզ տարբերակն այն է, երբ անհրաժեշտ է գտնել կորագիծ տրապիզոնի տարածքը: Ի՞նչ է կորագիծ trapezoid-ը: Սա հարթ գործիչ է, որը սահմանափակվում է x առանցքով (y=0), ուղիղ x = a, x = bև ցանկացած կորի շարունակական միջակայքում սկսած անախքան բ. Միևնույն ժամանակ, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է և գտնվում է x-առանցքից ոչ ցածր: Այս դեպքում կորագիծ տրապեզոիդի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին, որը հաշվարկվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով.

Օրինակ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ո՞ր գծերն են սահմանում նկարը: Մենք պարաբոլա ունենք y = x2 - 3x + 3, որը գտնվում է առանցքի վերևում Օհ, դա ոչ բացասական է, քանի որ այս պարաբոլայի բոլոր կետերը դրական են: Հաջորդը, տրված ուղիղ գծեր x = 1և x = 3որոնք անցնում են առանցքին զուգահեռ OU, ձախ և աջ նկարի սահմանային գծերն են: Դե, y = 0, նա x-առանցքն է, որը սահմանափակում է պատկերը ներքևից: Ստացված գործիչը ստվերված է, ինչպես երևում է ձախ կողմում գտնվող նկարում: Այս դեպքում դուք կարող եք անմիջապես սկսել լուծել խնդիրը: Մեր առջև կա կորագիծ տրապիզոնի պարզ օրինակ, որը մենք այնուհետև լուծում ենք՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը:

3.2. Նախորդ 3.1 պարբերությունում վերլուծվել է այն դեպքը, երբ կորագիծ trapezoid-ը գտնվում է x առանցքի վերևում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ խնդրի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ ֆունկցիան գտնվում է x առանցքի տակ։ Նյուտոն-Լայբնից ստանդարտ բանաձևին ավելացվում է մինուս: Ինչպես լուծել նման խնդիրը, մենք կքննարկենք հետագա:

Օրինակ 2 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y=x2+6x+2, որը սկիզբ է առնում առանցքի տակից Օհ, ուղիղ x=-4, x=-1, y=0. Այստեղ y = 0սահմանափակում է ցանկալի ցուցանիշը վերևից: Ուղղակի x = -4և x = -1սրանք այն սահմաններն են, որոնցում կհաշվարկվի որոշակի ինտեգրալը: Նկարի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջությամբ համընկնում է օրինակ 1-ի հետ: Միակ տարբերությունն այն է, որ տվյալ ֆունկցիան դրական չէ, և ամեն ինչ նույնպես շարունակական է միջակայքում: [-4; -1] . Ի՞նչ է նշանակում ոչ դրական: Ինչպես երևում է նկարից, տվյալ x-ի մեջ ընկած գործիչը ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, ինչը մենք պետք է տեսնենք և հիշենք խնդիրը լուծելիս։ Մենք փնտրում ենք գործչի տարածքը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածն ավարտված չէ։

Մենք սկսում ենք դիտարկել կրկնակի ինտեգրալի հաշվարկման իրական գործընթացը և ծանոթանալ դրա երկրաչափական նշանակությանը։

Կրկնակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար է հարթ գործչի մակերեսին (ինտեգրման շրջան): Սա կրկնակի ինտեգրալի ամենապարզ ձևն է, երբ երկու փոփոխականների ֆունկցիան հավասար է մեկի՝ .

Եկեք նախ դիտարկենք խնդիրը ընդհանուր առումներով: Այժմ դուք կզարմանաք, թե որքան պարզ է դա իրականում: Եկեք հաշվարկենք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը։ Որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ միջակայքում . Այս գործչի մակերեսը թվայինորեն հավասար է.

Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Եկեք ընտրենք տարածքը շրջանցելու առաջին տարբերակը.

Այս կերպ:

Եվ անմիջապես մի կարևոր տեխնիկական հնարք. կրկնվող ինտեգրալները կարելի է առանձին դիտարկել. Սկզբում ներքին, ապա արտաքին ինտեգրալը։ Այս մեթոդը խիստ խորհուրդ է տրվում սկսնակների համար թեյնիկների թեման:

1) Հաշվեք ներքին ինտեգրալը, մինչդեռ ինտեգրումն իրականացվում է «y» փոփոխականի վրա.

Այստեղ անորոշ ինտեգրալն ամենապարզն է, այնուհետև օգտագործվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, այն միակ տարբերությամբ, որ. Ինտեգրման սահմանները թվերը չեն, այլ գործառույթները. Նախ, մենք վերին սահմանը փոխարինեցինք «y» (հակածանցյալ ֆունկցիա), այնուհետև ստորին սահմանը

2) Առաջին պարբերությունում ստացված արդյունքը պետք է փոխարինվի արտաքին ինտեգրալով.

Ամբողջ լուծման ավելի կոմպակտ նշումը հետևյալն է.

Ստացված բանաձևը հենց աշխատանքային բանաձևն է հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար՝ օգտագործելով «սովորական» որոշակի ինտեգրալը: Տես դասը Տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով, ահա նա ամեն քայլափոխի։

Այն է, կրկնակի ինտեգրալով տարածքի հաշվարկման խնդիրը քիչ տարբերորոշակի ինտեգրալ օգտագործելով տարածքը գտնելու խնդրից։Իրականում նրանք նույնն են։

Ըստ այդմ, ոչ մի դժվարություն չպետք է առաջանա: Ես շատ օրինակներ չեմ դիտարկի, քանի որ դուք, փաստորեն, բազմիցս հանդիպել եք այս խնդրին։

Օրինակ 9

Լուծում:Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Ընտրենք շրջանի անցման հետևյալ հաջորդականությունը.

Այստեղ և ներքևում ես չեմ խորանա, թե ինչպես անցնել տարածքը, քանի որ առաջին պարբերությունը շատ մանրամասն էր:

Այս կերպ:

Ինչպես արդեն նշեցի, սկսնակների համար ավելի լավ է կրկնվող ինտեգրալները առանձին հաշվարկեն, ես կհավատամ նույն մեթոդին.

1) Նախ, օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

2) Առաջին քայլում ստացված արդյունքը փոխարինվում է արտաքին ինտեգրալով.

2-րդ կետը իրականում գտնում է հարթ գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Պատասխան.

Ահա այսպիսի հիմար ու միամիտ առաջադրանք.

Անկախ լուծման հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 10

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,

Վերջնական լուծման օրինակ դասի վերջում.

Օրինակներ 9-10-ում շատ ավելի շահավետ է օգտագործել տարածքը շրջանցելու առաջին մեթոդը, հետաքրքրասեր ընթերցողները, ի դեպ, կարող են փոխել շրջանցման կարգը և հաշվարկել տարածքները երկրորդ եղանակով: Եթե ​​դուք սխալ չեք թույլ տալիս, ապա, բնականաբար, ստացվում են տարածքի նույն արժեքները:

Բայց որոշ դեպքերում տարածքը շրջանցելու երկրորդ ճանապարհն ավելի արդյունավետ է, և երիտասարդ խելքի ընթացքի ավարտին մենք կքննարկենք ևս մի քանի օրինակ այս թեմայով.

Օրինակ 11

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով:

Լուծում:մենք անհամբեր սպասում ենք երկու պարաբոլայի՝ քամիով, որոնք ընկած են իրենց կողմում: Ժպտալու կարիք չկա, բազմակի ինտեգրալներում նմանատիպ բաներ հաճախ են հանդիպում:

Ո՞րն է նկարչություն անելու ամենահեշտ ձևը:

Ներկայացնենք պարաբոլան որպես երկու ֆունկցիա.
- վերին ճյուղ և - ստորին ճյուղ:

Նմանապես, մենք ներկայացնում ենք պարաբոլան որպես վերին և ստորին ճյուղեր:

Նկարի տարածքը հաշվարկվում է կրկնակի ինտեգրալի միջոցով՝ ըստ բանաձևի.

Ի՞նչ կլինի, եթե ընտրենք տարածքը շրջանցելու առաջին ճանապարհը: Նախ, այս տարածքը պետք է բաժանվի երկու մասի. Եվ երկրորդ, մենք կդիտարկենք այս տխուր պատկերը. Ինտեգրալները, իհարկե, գերբարդ մակարդակի չեն, բայց ... մի հին մաթեմատիկական ասացվածք կա՝ ով բարեկամ է արմատների հետ, զիջում պետք չէ։

Հետևաբար, պայմանում տրված թյուրիմացությունից մենք արտահայտում ենք հակադարձ գործառույթները.

Այս օրինակի հակադարձ գործառույթներն ունեն այն առավելությունը, որ նրանք անմիջապես դնում են ամբողջ պարաբոլան առանց տերևների, կաղինների, ճյուղերի և արմատների:

Երկրորդ մեթոդի համաձայն, տարածքի անցումը կլինի հետևյալը.

Այս կերպ:

Ինչպես ասում են՝ զգացեք տարբերությունը։

1) Մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

Արդյունքը փոխարինում ենք արտաքին ինտեգրալով.

«y» փոփոխականի վրա ինտեգրումը չպետք է ամոթալի լինի, եթե լիներ «zyu» տառը, լավ կլիներ ինտեգրվել դրա վրա: Չնայած ով է կարդացել դասի երկրորդ պարբերությունը Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը, նա այլևս չի զգում ամենափոքր շփոթությունը «y»-ի շուրջ ինտեգրվելու հետ կապված։

Ուշադրություն դարձրեք նաև առաջին քայլին. ինտեգրանդը զույգ է, իսկ ինտեգրացիոն հատվածը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ: Հետեւաբար, հատվածը կարող է կրկնակի կրճատվել, իսկ արդյունքը կարող է կրկնապատկվել: Այս տեխնիկան մանրամասնորեն մեկնաբանվում է դասում: Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու արդյունավետ մեթոդներ.

Ինչ ավելացնել…. Ամեն ինչ!

Պատասխան.

Ձեր ինտեգրման տեխնիկան ստուգելու համար կարող եք փորձել հաշվարկել: Պատասխանը պետք է լինի ճիշտ նույնը.

Օրինակ 12

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Հետաքրքիր է նշել, որ եթե դուք փորձեք օգտագործել տարածքը շրջանցելու առաջին եղանակը, ապա գործիչն այլևս չի բաժանվի երկու, այլ երեք մասի: Եվ, համապատասխանաբար, մենք ստանում ենք երեք զույգ կրկնվող ինտեգրալներ։ Երբեմն դա տեղի է ունենում.

Վարպետության դասն ավարտվել է, և ժամանակն է անցնել գրոսմայստերի մակարդակին. Ինչպե՞ս հաշվարկել կրկնակի ինտեգրալը: Լուծման օրինակներ. Երկրորդ հոդվածում կփորձեմ այդքան մոլագար չլինել =)

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2:Լուծում: Նկարիր տարածք գծագրի վրա.

Ընտրենք շրջանի անցման հետևյալ հաջորդականությունը.

Այս կերպ:
Եկեք անցնենք հակադարձ գործառույթներին.


Այս կերպ:
Պատասխան.

Օրինակ 4:Լուծում: Անցնենք ուղիղ գործառույթներին.


Եկեք կատարենք գծագիրը.

Փոխենք տարածքի անցման կարգը.

Պատասխան.

Տարածքի անցման կարգը.

Այս կերպ:

1)
2)

Պատասխան.

Նախորդ բաժնում, որը նվիրված էր որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստի վերլուծությանը, մենք ստացանք մի շարք բանաձևեր կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելու համար.

S (G) = ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ բացասական y = f (x) հատվածի համար [a; բ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ դրական ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; բ] .

Այս բանաձևերը կիրառելի են համեմատաբար պարզ խնդիրներ լուծելու համար։ Իրականում մենք հաճախ ստիպված ենք լինում աշխատել ավելի բարդ ձևերի հետ: Այս առումով մենք այս բաժինը կնվիրենք թվերի տարածքը հաշվարկելու ալգորիթմների վերլուծությանը, որոնք սահմանափակվում են գործառույթներով բացահայտ ձևով, այսինքն. ինչպես y = f(x) կամ x = g(y) .

Թեորեմ

Թող y = f 1 (x) և y = f 2 (x) ֆունկցիաները լինեն սահմանված և շարունակական [ a ; b ] , և f 1 (x) ≤ f 2 (x) ցանկացած x արժեքի համար [ a ; բ] . Այնուհետև x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) և y \u003d f 2 (x) տողերով սահմանափակված G թվի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը նման կլինի S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Նմանատիպ բանաձևը կիրառելի կլինի y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) և x \u003d g 2 (y) տողերով սահմանափակված թվի տարածքի համար. (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Ապացույց

Մենք կվերլուծենք երեք դեպք, որոնց համար բանաձևը վավեր կլինի.

Առաջին դեպքում, հաշվի առնելով տարածքի հավելումային հատկությունը, սկզբնական պատկեր G-ի և կորագիծ տրապիզոիդ G 1-ի տարածքների գումարը հավասար է G 2 նկարի մակերեսին: Դա նշանակում է որ

Հետևաբար, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) դ x.

Մենք կարող ենք վերջին անցումը կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի երրորդ հատկությունը։

Երկրորդ դեպքում հավասարությունը ճիշտ է՝ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եթե ​​երկու ֆունկցիաներն էլ ոչ դրական են, մենք ստանում ենք՝ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Անցնենք ընդհանուր դեպքի քննարկմանը, երբ y = f 1 (x) և y = f 2 (x) հատում են O x առանցքը:

Մենք հատման կետերը կնշենք x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Այս կետերը կոտրում են հատվածը [a; b ] մեջ n մասեր x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, որտեղ α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

հետևաբար,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Վերջին անցումը կարող ենք կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի հինգերորդ հատկությունը։

Եկեք պատկերացնենք գրաֆիկի ընդհանուր դեպքը:

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x բանաձևը կարելի է համարել ապացուցված։

Եվ հիմա եկեք անցնենք y \u003d f (x) և x \u003d g (y) տողերով սահմանափակված թվերի տարածքը հաշվարկելու օրինակների վերլուծությանը:

Հաշվի առնելով օրինակներից որևէ մեկը՝ մենք կսկսենք գրաֆիկի կառուցմամբ: Պատկերը մեզ թույլ կտա բարդ ձևերը ներկայացնել որպես ավելի պարզ ձևերի համադրություն: Եթե ​​դժվարանում եք դրանց վրա գծապատկերներ և պատկերներ գծել, կարող եք ուսումնասիրել հիմնական տարրական ֆունկցիաների բաժինը, ֆունկցիաների գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումը, ինչպես նաև ֆունկցիան ուսումնասիրելիս գծագրել:

Օրինակ 1

Անհրաժեշտ է որոշել գործչի տարածքը, որը սահմանափակված է y \u003d - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլով և ուղիղ գծերով y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d: 1, x \u003d 4.

Լուծում

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գծենք գրաֆիկի գծերը:

ինտերվալի վրա [1; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլայի գրաֆիկը գտնվում է y = - 1 3 x - 1 2 ուղիղ գծի վերևում։ Այս առումով պատասխան ստանալու համար մենք օգտագործում ենք ավելի վաղ ստացված բանաձևը, ինչպես նաև որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու մեթոդը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Պատասխան՝ S (G) = 13

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 2

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է y = x + 2, y = x, x = 7 տողերով:

Լուծում

Այս դեպքում մենք ունենք միայն մեկ ուղիղ ուղիղ x-առանցքին զուգահեռ: Սա x = 7 է: Սա պահանջում է, որ մենք ինքներս գտնենք ինտեգրման երկրորդ սահմանը:

Կառուցենք գրաֆիկ և դրա վրա դնենք խնդրի պայմանում տրված տողերը։

Մեր աչքի առաջ ունենալով գրաֆիկ՝ մենք հեշտությամբ կարող ենք որոշել, որ ինտեգրման ստորին սահմանը կլինի գծապատկերի հատման կետի աբսցիսան՝ ուղիղ y \u003d x և կիսապարաբոլա y \u003d x + 2: Աբսցիսա գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հավասարումները.

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Ստացվում է, որ հատման կետի աբսցիսան x = 2 է։

Ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ գծագրի ընդհանուր օրինակում y = x + 2, y = x ուղիղները հատվում են (2; 2) կետում, ուստի նման մանրամասն հաշվարկները կարող են ավելորդ թվալ: Մենք այստեղ նման մանրամասն լուծում ենք տվել միայն այն պատճառով, որ ավելի բարդ դեպքերում լուծումն այնքան էլ ակնհայտ չի կարող լինել։ Սա նշանակում է, որ ավելի լավ է միշտ վերլուծական կերպով հաշվարկել գծերի հատման կոորդինատները։

ինտերվալի վրա [2; 7 ] y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y = x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից վեր։ Տարածքը հաշվարկելու համար կիրառեք բանաձևը.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Պատասխան՝ S (G) = 59 6

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է y \u003d 1 x և y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ֆունկցիաների գրաֆիկներով:

Լուծում

Եկեք գծեր գծենք գրաֆիկի վրա։

Եկեք սահմանենք ինտեգրման սահմանները. Դա անելու համար մենք որոշում ենք ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները՝ հավասարեցնելով 1 x և - x 2 + 4 x - 2 արտահայտությունները: Պայմանով, որ x-ը հավասար չէ զրոյի, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 հավասարությունը համարժեք է դառնում երրորդ աստիճանի հավասարմանը - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 ամբողջ թվային գործակիցներով: . Նման հավասարումների լուծման ալգորիթմի հիշողությունը կարող եք թարմացնել՝ հղում կատարելով «Խորանարդ հավասարումների լուծում» բաժնին:

Այս հավասարման արմատը x = 1 է: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0:

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 արտահայտությունը բաժանելով x - 1 երկանդամության վրա՝ ստանում ենք՝ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x. - 1) = 0

Մենք կարող ենք գտնել մնացած արմատները x 2 - 3 x - 1 = 0 հավասարումից:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3: 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0: 3

Մենք գտել ենք x ∈ 1 միջակայքը; 3 + 13 2, որտեղ G-ը փակված է կապույտ գծի վերևում և կարմիր գծի տակ: Սա օգնում է մեզ որոշել ձևի տարածքը.

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Պատասխան՝ S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 և x առանցքով կորերով:

Լուծում

Եկեք բոլոր տողերը դնենք գրաֆիկի վրա: Մենք կարող ենք ստանալ y = - log 2 x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը y = log 2 x գրաֆիկից, եթե այն սիմետրիկ տեղադրենք x առանցքի նկատմամբ և տեղափոխենք մեկ միավոր վերև։ x առանցքի y \u003d 0 հավասարումը.

Նշանակենք ուղիղների հատման կետերը։

Ինչպես երևում է նկարից, y \u003d x 3 և y \u003d 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (0; 0) կետում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ x \u003d 0-ը x 3 \u003d 0 հավասարման միակ իրական արմատն է:

x = 2 - log 2 x + 1 = 0 հավասարման միակ արմատն է, ուստի y = - log 2 x + 1 և y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (2; 0) կետում:

x = 1 հավասարման միակ արմատն է x 3 = - log 2 x + 1: Այս առումով, y \u003d x 3 և y \u003d - log 2 x + 1 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (1; 1) կետում: Վերջին պնդումը կարող է ակնհայտ չլինել, բայց x 3 \u003d - log 2 x + 1 հավասարումը չի կարող ունենալ մեկից ավելի արմատ, քանի որ y \u003d x 3 ֆունկցիան խստորեն աճում է, իսկ y \u003d ֆունկցիան - log 2 x +1-ը կտրուկ նվազում է։

Հաջորդ քայլը ներառում է մի քանի տարբերակ.

Տարբերակ թիվ 1

Մենք կարող ենք G նկարը ներկայացնել որպես աբսցիսային առանցքի վերևում գտնվող երկու կորագիծ տրապիզոիդների գումար, որոնցից առաջինը գտնվում է x ∈ 0 հատվածի միջնագծից ներքև; 1, իսկ երկրորդը գտնվում է x ∈ 1 հատվածի կարմիր գծի տակ; 2. Սա նշանակում է, որ տարածքը հավասար կլինի S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x:

Տարբերակ թիվ 2

G նկարը կարող է ներկայացվել որպես երկու թվերի տարբերություն, որոնցից առաջինը գտնվում է x առանցքի վերևում և x ∈ 0 հատվածի կապույտ գծի տակ; 2, իսկ երկրորդը գտնվում է x ∈ 1 հատվածի կարմիր և կապույտ գծերի միջև; 2. Սա թույլ է տալիս մեզ գտնել տարածքը հետևյալ կերպ.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Այս դեպքում տարածքը գտնելու համար դուք պետք է օգտագործեք S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ձևի բանաձև: Փաստորեն, գծերը, որոնք կապում են ձևը, կարող են ներկայացվել որպես y արգումենտի գործառույթներ:

Լուծենք y = x 3 և - log 2 x + 1 հավասարումները x-ի նկատմամբ.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Մենք ստանում ենք անհրաժեշտ տարածքը.

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Պատասխան՝ S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 տողերով:

Լուծում

Գծապատկերի վրա կարմիր գծով գիծ գծե՛ք, որը տրված է y = x ֆունկցիայով: Կապույտ գույնով գծե՛ք y = - 1 2 x + 4, իսկ սևով նշե՛ք y = 2 3 x - 3 գիծը:

Նշեք հատման կետերը:

Գտե՛ք y = x և y = - 1 2 x + 4 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերը:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i-ը հավասարման լուծումն է x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 հավասարման լուծումն է: ⇒ (4 ; 2) հատման կետ i y = x և y = - 1 2 x + 4

Գտե՛ք y = x և y = 2 3 x - 3 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետը:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ստուգում. x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 ⇒ (9; 3) հավասարման և հատման կետի լուծումն է y = x և y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 հավասարման լուծում չէ

Գտե՛ք y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3 ուղիղների հատման կետը:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) հատման կետը y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3

Մեթոդ թիվ 1

Մենք ներկայացնում ենք ցանկալի գործչի տարածքը որպես առանձին թվերի տարածքների գումար:

Այնուհետև նկարի մակերեսը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Մեթոդ թիվ 2

Բնօրինակ գործչի մակերեսը կարող է ներկայացվել որպես մյուս երկու թվերի գումար:

Այնուհետև մենք լուծում ենք x-ի գծի հավասարումը, և միայն դրանից հետո մենք կիրառում ենք նկարի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը:

y = x ⇒ x = y 2 կարմիր գիծ y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 սև գիծ y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Այսպիսով, տարածքը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ինչպես տեսնում եք, արժեքները համընկնում են:

Պատասխան՝ S (G) = 11 3

Արդյունքներ

Տրված գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը գտնելու համար պետք է հարթության վրա գծեր նկարել, գտնել դրանց հատման կետերը և կիրառել տարածքը գտնելու բանաձևը։ Այս բաժնում մենք վերանայել ենք առաջադրանքների ամենատարածված տարբերակները:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

ա)

Լուծում.

Որոշման առաջին և ամենակարևոր պահը գծագրի կառուցումն է.

Եկեք նկարենք.

Հավասարումը y=0 սահմանում է x առանցքը;

- x=-2 և x=1 - ուղիղ, առանցքին զուգահեռ OU;

- y \u003d x 2 +2 - պարաբոլա, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր՝ գագաթով (0;2) կետում։

Մեկնաբանություն.Պարաբոլա կառուցելու համար բավական է գտնել դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, այսինքն. դնելով x=0 գտի՛ր առանցքի հետ հատումը OU և լուծելով համապատասխան քառակուսի հավասարումը, գտի՛ր առանցքի հետ հատումը Օ՜ .

Պարաբոլայի գագաթը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Դուք կարող եք գծեր գծել և կետ առ կետ:

[-2;1] միջակայքի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 2 +2 գտնվում է առանցքի վրայով Եզ , Ահա թե ինչու:

Պատասխան. Ս \u003d 9 քառակուսի միավոր

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, մոտավորապես 9-ը մուտքագրվելու է, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ունենայինք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է ստացվել, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կորագիծ տրապիզոիդը առանցքի տակ Օ՜

բ)Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=-e x , x=1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում.

Եկեք նկարենք:

Եթե ​​կորագիծ trapezoid ամբողջովին առանցքի տակ Օ՜ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխան. S=(e-1) քառ. միավոր» 1.72 քմ

Ուշադրություն. Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքները:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր դիտարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ ուրվագիծը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսալեզուներում:

Հետ)Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x:

Լուծում.

Նախ պետք է նկարել: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը։Դա կարելի է անել երկու եղանակով։ Առաջին ճանապարհը վերլուծական է.

Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը a=0 , ինտեգրման վերին սահմանը b=3 .

Կառուցում ենք տրված տողերը՝ 1. Պարաբոլա - գագաթ (1;1) կետում; առանցքների խաչմերուկ Օհ -միավորներ (0;0) և (0;2): 2. Ուղիղ՝ 2-րդ և 4-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդ: Իսկ հիմա Ուշադրություն. Եթե ​​հատվածում [ ա;բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա f(x)մեծ կամ հավասար է որոշ շարունակական ֆունկցիայի g(x), ապա համապատասխան գործչի մակերեսը կարելի է գտնել բանաձևով. Եվ կարևոր չէ, թե որտեղ է պատկերը գտնվում՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, այլ կարևոր է, թե որ գծապատկերն է ավելի ԲԱՐՁՐ (մեկ այլ գծապատկերի համեմատ), և որը՝ ՆԵՐՔԵՎ: Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Կարելի է գծեր կառուցել կետ առ կետ, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզվում են կարծես «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ թելային կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ):

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևից պարաբոլայով և ներքևից ուղիղ գծով:

Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան. Ս \u003d 4,5 քառ

Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասարանում ես ասացի, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է: Եվ հիմա ժամանակն է արձանագրել մեկ այլ օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է, որոշակի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին. Օրինակ, հաշվի առեք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը հարթության վրա սահմանում է որոշակի կոր (ցանկության դեպքում այն ​​միշտ կարելի է գծել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին։

Օրինակ 1

Սա տիպիկ առաջադրանքի հայտարարություն է: Որոշման առաջին և ամենակարևոր պահը գծագրի կառուցումն է. Ավելին, գծանկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Նախագիծ կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. առաջինավելի լավ է կառուցել բոլոր տողերը (եթե այդպիսիք կան) և միայն հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ֆունկցիոնալ գրաֆիկները ավելի շահավետ են կառուցել կետ առ կետ, կետային կառուցման տեխնիկան կարելի է գտնել հղման նյութում։

Այնտեղ կարող եք գտնել նաև նյութ, որը շատ օգտակար է մեր դասի հետ կապված՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա:

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք գծագրենք (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Ես կորագիծ trapezoid չեմ հանի, ակնհայտ է, թե այստեղ ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքի վրայով, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Նրանց համար, ովքեր դժվարանում են հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, խնդրում ենք ծանոթանալ դասախոսությանը. Որոշակի ինտեգրալ. Լուծման օրինակներ.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, մոտավորապես 9-ը մուտքագրվելու է, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ունենայինք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է ստացվել, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կորագիծ տրապիզոիդը առանցքի տակ?

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում. Եկեք նկարենք.

Եթե ​​կորագիծ trapezoid ամբողջովին առանցքի տակ, ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել բանաձևով.
Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթվեն.

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր դիտարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսափուլերում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը, .

Լուծում. Նախ պետք է նկարել: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է. Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:
Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը:

Գծերը կետ առ կետ կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզվում են կարծես «իրենց»: Տարբեր գծապատկերների կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան մանրամասն քննարկված է օգնության մեջ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ թելային կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Կրկնում եմ, որ կետային կառուցմամբ ինտեգրման սահմաններն ամենից հաճախ պարզվում են «ավտոմատ կերպով»։

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձևը.Եթե ​​հատվածի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա ավելի մեծ կամ հավասարորոշ շարունակական ֆունկցիա, ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ աղյուսակն է վերևում(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևից պարաբոլայով և ներքևից ուղիղ գծով:

Պատասխան.

Փաստորեն, ներքևի կես հարթությունում կորագիծ տրապիզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տես պարզ օրինակ թիվ 3) բանաձևի հատուկ դեպք է։ Քանի որ առանցքը տրված է հավասարմամբ, իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի տակ, ապա

Եվ հիմա մի քանի օրինակ անկախ լուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծերով պարփակված նկարի մակերեսը, .

Տարածքը որոշակի ինտեգրալով հաշվելու խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի միջադեպ է տեղի ունենում։ Գծանկարը ճիշտ է արված, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անուշադրության պատճառով ... գտել է սխալ գործչի տարածքը, էդպես է քո հնազանդ ծառան մի քանի անգամ պտտվել։ Ահա իրական կյանքի դեպք.

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

Եկեք նախ նկարենք.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով:(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ է պատահում, որ դուք պետք է գտնեք այն գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ դրանում գործչի տարածքը հաշվարկվում է երկու որոշակի ինտեգրալների միջոցով: Իրոք.

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածում հիպերբոլային գրաֆիկ է:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Օրինակ 8

Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը,
Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» ձևով, և կատարենք կետ առ կետ.

Նկարից երևում է, որ մեր վերին սահմանը «լավն է».
Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ի՞նչ։ Միգուցե ? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծագիրը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, կարող է պարզվել, որ դա։ Կամ արմատ: Իսկ եթե մենք ընդհանրապես ճիշտ չհասկացնեինք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսել և վերլուծական կերպով ճշգրտել ինտեգրման սահմանները։

Գտնենք ուղիղի և պարաբոլայի հատման կետերը։
Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.

Հետևաբար, .

Հետագա լուծումը չնչին է, գլխավորը փոխարինումների ու նշանների մեջ չշփոթվելն է, այստեղ հաշվարկներն ամենահեշտը չեն։

Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Դե, դասի ավարտին մենք կդիտարկենք երկու առաջադրանք ավելի բարդ:

Օրինակ 9

Հաշվիր գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը,

Լուծում. Նկարեք այս նկարը գծագրում:

Գծագրի կետ առ կետ կառուցելու համար անհրաժեշտ է իմանալ սինուսոիդի տեսքը (և ընդհանրապես օգտակար է իմանալ. բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները), ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ, դրանք կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Որոշ դեպքերում (ինչպես այս դեպքում) թույլատրվում է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա սկզբունքորեն ճիշտ պետք է ցուցադրվեն գրաֆիկները և ինտեգրման սահմանները։

Այստեղ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից. - «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Մենք լրացուցիչ որոշում ենք կայացնում.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար.

(1) Ինչպես են սինուսները և կոսինուսները միավորվում կենտ հզորությունների մեջ, կարելի է տեսնել դասում Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ. Սա բնորոշ տեխնիկա է, մենք սեղմում ենք մեկ սինուս:

(2) Մենք օգտագործում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը ձևի մեջ

(3) Եկեք փոխենք փոփոխականը, ապա.

Ինտեգրման նոր վերաբաշխումներ.

Ով իսկապես վատ բիզնես է փոխարինումներով, խնդրում եմ գնացեք դասին Փոխարինման մեթոդ անորոշ ինտեգրալում. Նրանց համար, ովքեր այնքան էլ պարզ չեն փոխարինման ալգորիթմը որոշակի ինտեգրալում, այցելեք էջը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծման օրինակներ. Օրինակ 5. Լուծում. այսպես.

Պատասխան.

Նշում:նշեք, թե ինչպես է վերցված խորանարդի շոշափողի ինտեգրալը, այստեղ օգտագործվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության հետևանքը: