Քառակուսային հավասարումների բանավոր լուծում և Վիետայի թեորեմ. Վիետայի թեորեմ քառակուսի և այլ հավասարումների համար Վիետայի թեորեմի կիրառում

Այս դասախոսության ընթացքում մենք կծանոթանանք քառակուսի հավասարման արմատների և նրա գործակիցների միջև առկա հետաքրքիր հարաբերություններին: Այս հարաբերություններն առաջին անգամ հայտնաբերել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (1540-1603):

Օրինակ, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 հավասարման համար, առանց դրա արմատները գտնելու, կարող եք, օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, անմիջապես ասել, որ արմատների գումարը , իսկ արմատների արտադրյալը՝
այսինքն - 2. Իսկ x 2 - 6x + 8 \u003d 0 հավասարման համար մենք եզրակացնում ենք. արմատների գումարը 6 է, արմատների արտադրյալը 8 է. Ի դեպ, դժվար չէ կռահել, թե ինչի են հավասար արմատները՝ 4 և 2։
Վիետայի թեորեմի ապացույց. ax 2 + bx + c \u003d 0 քառակուսի հավասարման x 1 և x 2 արմատները գտնված են բանաձևերով

Որտեղ D \u003d b 2 - 4ac հավասարման տարբերակիչն է: Այս արմատները դնելով
մենք ստանում ենք

Այժմ մենք հաշվարկում ենք x 1 և x 2 արմատների արտադրյալը

Երկրորդ կապն ապացուցված է.
Մեկնաբանություն. Վիետայի թեորեմը վավեր է նաև այն դեպքում, երբ քառակուսի հավասարումը ունի մեկ արմատ (այսինքն, երբ D \u003d 0), պարզապես այս դեպքում համարվում է, որ հավասարումն ունի երկու նույնական արմատ, որոնց նկատմամբ կիրառվում են վերը նշված հարաբերությունները։
Կրճատված քառակուսի հավասարման x 2 + px + q \u003d 0 ապացուցված հարաբերությունները ստանում են հատկապես պարզ ձև: Այս դեպքում մենք ստանում ենք.

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
դրանք. տրված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։
Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարելի է նաև այլ հարաբերություններ ստանալ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Թող, օրինակ, x 1 և x 2 լինեն կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները x 2 + px + q = 0: Ապա

Այնուամենայնիվ, Վիետայի թեորեմի հիմնական նպատակն այն չէ, որ այն արտահայտում է որոշակի հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Շատ ավելի կարևոր է այն փաստը, որ Վիետայի թեորեմի օգնությամբ ստացվում է քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձև, առանց որի մենք ապագայում չենք անի։

Ապացույց. Մենք ունենք

Օրինակ 1. Գործոնացրեք քառակուսի եռանկյունը 3x 2 - 10x + 3:
Լուծում. Լուծելով Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 հավասարումը, մենք գտնում ենք քառակուսի եռանդամի արմատները Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d:
Օգտագործելով թեորեմ 2-ը, մենք ստանում ենք

Փոխարենը իմաստ ունի գրել Zx - 1: Այնուհետև մենք վերջապես ստանում ենք Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1):
Նկատի ունեցեք, որ տրված քառակուսի եռանկյունը կարող է գործոնավորվել առանց թեորեմ 2-ի օգտագործման՝ օգտագործելով խմբավորման մեթոդը.

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1):

Բայց, ինչպես տեսնում եք, այս մեթոդով հաջողությունը կախված է նրանից, թե մենք կարող ենք հաջող խմբավորում գտնել, թե ոչ, մինչդեռ առաջին մեթոդով հաջողությունը երաշխավորված է։
Օրինակ 1. Կրճատել կոտորակը

Լուծում. 2x 2 + 5x + 2 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 = - 2,

x2 - 4x - 12 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 = 6, x 2 = -2: Ահա թե ինչու
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2):
Այժմ փոքրացնենք տրված կոտորակը.

Օրինակ 3. Գործոնացնել արտահայտությունները.
ա) x4 + 5x 2 +6; բ) 2x+-3
Լուծում ա) Ներկայացնում ենք նոր փոփոխական y = x 2: Սա թույլ կտա մեզ վերաշարադրել տրված արտահայտությունը քառակուսի եռանդամի տեսքով y փոփոխականի նկատմամբ, այն է՝ y 2 + bу + 6 ձևով։
Լուծելով y 2 + բу + 6 \u003d 0 հավասարումը, մենք գտնում ենք քառակուսի եռանկյունի y 2 + 5y + 6 արմատները. y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3: Այժմ մենք օգտագործում ենք թեորեմ 2; մենք ստանում ենք

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3):
Մնում է հիշել, որ y \u003d x 2, այսինքն՝ վերադառնալ տվյալ արտահայտությանը: Այսպիսով,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3):
բ) Ներկայացնենք նոր փոփոխական y = . Սա թույլ կտա վերաշարադրել տրված արտահայտությունը քառակուսի եռանդամի տեսքով y փոփոխականի նկատմամբ, այն է՝ 2y 2 + y - 3 ձևով։ Լուծելով հավասարումը.
2y 2 + y - 3 = 0, գտե՛ք քառակուսի եռանդամի արմատները 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Ավելին, օգտագործելով թեորեմ 2-ը, մենք ստանում ենք.

Մնում է հիշել, որ y \u003d, այսինքն՝ վերադառնալ տվյալ արտահայտությանը։ Այսպիսով,

Բաժինը եզրափակվում է որոշ նկատառումներով՝ կրկին կապված Վիետայի թեորեմի հետ, ավելի ճիշտ՝ հակառակ պնդումով.
եթե x 1, x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, ապա այս թվերը հավասարման արմատներն են.
Օգտագործելով այս պնդումը, դուք կարող եք բանավոր լուծել շատ քառակուսի հավասարումներ՝ առանց դժվար արմատային բանաձևեր օգտագործելու, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումներ կազմել տրված արմատներով։ Բերենք օրինակներ.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24: Հեշտ է կռահել, որ x 1 = 8, x 2 = 3:

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30: Հեշտ է կռահել, որ x 1 = -5, x 2 = -6:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե հավասարման ազատ անդամը դրական թիվ է, ապա երկու արմատներն էլ դրական են կամ բացասական. սա կարևոր է հաշվի առնել արմատներ ընտրելիս:

3) x 2 + x - 12 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12: Հեշտ է կռահել, որ x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե հավասարման ազատ անդամը բացասական թիվ է, ապա արմատները տարբեր են նշանով. սա կարևոր է հաշվի առնել արմատներ ընտրելիս:

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Հեշտ է տեսնել, որ x = 1-ը բավարարում է հավասարումը, այսինքն. x 1 \u003d 1 - հավասարման արմատը: Քանի որ x 1 x 2 \u003d -, և x 1 \u003d 1, մենք ստանում ենք, որ x 2 \u003d -:

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Եթե ուշադրություն դարձնեք այն փաստին, որ 2830 = 283. 10, և 293 \u003d 283 + 10, ապա պարզ է դառնում, որ x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (այժմ պատկերացրեք, թե ինչ հաշվարկներ պետք է կատարվեն այս քառակուսի հավասարումը լուծելու համար, օգտագործելով ստանդարտ բանաձևեր):

6) Կազմենք քառակուսի հավասարում այնպես, որ x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 թվերը ծառայեն որպես դրա արմատներ: Սովորաբար նման դեպքերում նրանք կազմում են կրճատված քառակուսի հավասարումը x 2 + px + q \u003d 0:
Մենք ունենք x 1 + x 2 \u003d -p, հետևաբար 8 - 4 \u003d -p, այսինքն p \u003d -4: Ավելին, x 1 x 2 = q, այսինքն. 8"(-4) = q, որտեղից մենք ստանում ենք q = -32: Այսպիսով, p \u003d -4, q \u003d -32, ինչը նշանակում է, որ ցանկալի քառակուսի հավասարումն ունի x 2 -4x-32 \u003d 0 ձևը:

Ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում ax2 + bx + c = 0կարելի է հիշել x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, եթե սկզբում յուրաքանչյուր անդամ բաժանենք a գործակցի վրա x2. Իսկ եթե ներմուծենք նոր նշում (բ/ա) = pև (գ/ա) = ք, ապա կունենանք հավասարումը x 2 + px + q = 0, որը մաթեմատիկայում կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները և գործակիցները էջև քփոխկապակցված. Հաստատված է Վիետայի թեորեմա, անվանվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով, ով ապրել է 16-րդ դարի վերջին։

Թեորեմ. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + px + q = 0հավասար է երկրորդ գործակցին էջ, վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը՝ դեպի ազատ տերմին ք.

Այս հարաբերակցությունները գրում ենք հետևյալ ձևով.

Թող x 1և x2կրճատված հավասարման տարբեր արմատներ x 2 + px + q = 0. Վիետայի թեորեմի համաձայն x1 + x2 = -pև x 1 x 2 = q.

Սա ապացուցելու համար եկեք x 1 և x 2 արմատներից յուրաքանչյուրը փոխարինենք հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք երկու իրական հավասարություն.

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Առաջին հավասարությունից հանեք երկրորդը: Մենք ստանում ենք.

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Մենք ընդլայնում ենք առաջին երկու անդամները՝ ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Ըստ պայմանի՝ x 1 և x 2 արմատները տարբեր են։ Հետևաբար, մենք կարող ենք հավասարությունը կրճատել (x 1 - x 2) ≠ 0-ով և արտահայտել p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Առաջին հավասարությունն ապացուցված է.

Երկրորդ հավասարությունն ապացուցելու համար մենք փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 p գործակցի փոխարեն, դրա հավասար թիվը (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Փոխակերպելով հավասարման ձախ կողմը՝ մենք ստանում ենք.

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, որը պետք է ապացուցվեր:

Վիետայի թեորեմը լավն է, քանի որ. նույնիսկ առանց քառակուսի հավասարման արմատները իմանալու, մենք կարող ենք հաշվարկել դրանց գումարը և արտադրյալը .

Վիետայի թեորեմն օգնում է որոշել տվյալ քառակուսի հավասարման ամբողջ թվային արմատները։ Բայց շատ ուսանողների համար դա դժվարություններ է առաջացնում այն ​​պատճառով, որ նրանք չգիտեն գործողությունների հստակ ալգորիթմ, հատկապես, եթե հավասարման արմատները տարբեր նշաններ ունեն:

Այսպիսով, տրված քառակուսի հավասարումը ունի x 2 + px + q \u003d 0 ձևը, որտեղ x 1 և x 2 նրա արմատներն են: Համաձայն Վիետայի թեորեմի x 1 + x 2 = -p և x 1 x 2 = q.

Կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​հավասարման մեջ վերջին անդամին նախորդում է մինուս նշանը, ապա x 1 և x 2 արմատները տարբեր նշաններ ունեն։ Բացի այդ, ավելի փոքր արմատի նշանը նույնն է, ինչ հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը։

Ելնելով այն հանգամանքից, որ տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս դրանց մոդուլները հանվում են, իսկ արդյունքի դիմաց դրվում է ավելի մեծ թվի նշանը, պետք է գործել հետևյալ կերպ.

1. որոշել q թվի այնպիսի գործակիցներ, որ դրանց տարբերությունը հավասար լինի p թվին.
2. ստացված թվերից փոքրի դիմաց դնել հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը. երկրորդ արմատը կունենա հակառակ նշանը.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1.

Լուծեք x 2 - 2x - 15 = 0 հավասարումը:

Լուծում.

Փորձենք լուծել այս հավասարումը` օգտագործելով վերը ներկայացված կանոնները: Հետո վստահաբար կարող ենք ասել, որ այս հավասարումը կունենա երկու տարբեր արմատներ, քանի որ D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0:

Այժմ 15 թվի բոլոր գործակիցներից (1 և 15, 3 և 5) ընտրում ենք նրանց, որոնց տարբերությունը հավասար է 2-ի: Սրանք կլինեն 3 և 5 թվերը: Փոքր թվի դիմաց մինուս նշան ենք դնում: , այսինքն. հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը. Այսպիսով, մենք ստանում ենք x 1 \u003d -3 և x 2 \u003d 5 հավասարման արմատները:

Պատասխանել. x 1 = -3 և x 2 = 5:

Օրինակ 2.

Լուծե՛ք x 2 + 5x - 6 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս հավասարումը արմատներ ունի: Դա անելու համար մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ:

6 թվի հնարավոր գործակիցներն են 2-ը և 3-ը, 6-ը և 1-ը: Տարբերությունը 5 է 6-ի և 1-ի զույգի համար: Այս օրինակում երկրորդ անդամի գործակիցն ունի գումարած նշան, ուստի փոքր թիվը կունենա նույն նշանը. Բայց երկրորդ համարից առաջ կլինի մինուս նշան։

Պատասխան՝ x 1 = -6 և x 2 = 1:

Վիետայի թեորեմը կարելի է գրել նաև ամբողջական քառակուսային հավասարման համար։ Այսպիսով, եթե քառակուսի հավասարումը ax2 + bx + c = 0ունի x 1 և x 2 արմատներ, ապա դրանք բավարարում են հավասարությունները

x 1 + x 2 = - (բ/ա)և x 1 x 2 = (c/a). Այնուամենայնիվ, այս թեորեմի կիրառումը լրիվ քառակուսի հավասարման մեջ բավականին խնդրահարույց է, քանի որ եթե կան արմատներ, դրանցից գոնե մեկը կոտորակային թիվ է։ Իսկ կոտորակների ընտրության հետ աշխատելը բավականին դժվար է։ Բայց դեռ ելք կա.

Դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը ax 2 + bx + c = 0: Նրա ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք a գործակցով: Հավասարումը կունենա (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ձևը: Այժմ ներկայացնենք նոր փոփոխական, օրինակ t = ax:

Այս դեպքում ստացված հավասարումը կվերածվի t 2 + bt + ac = 0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման, որի արմատները t 1 և t 2 (եթե այդպիսիք կան) կարող են որոշվել Վիետայի թեորեմով։

Այս դեպքում սկզբնական քառակուսի հավասարման արմատները կլինեն

x 1 = (t 1 / ա) և x 2 = (t 2 / ա):

Օրինակ 3.

Լուծե՛ք 15x 2 - 11x + 2 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Կազմում ենք օժանդակ հավասարում. Եկեք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկենք 15-ով.

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0:

Փոփոխությունը կատարում ենք t = 15x։ Մենք ունենք:

t 2 - 11t + 30 = 0:

Վիետայի թեորեմի համաձայն, այս հավասարման արմատները կլինեն t 1 = 5 և t 2 = 6:

Մենք վերադառնում ենք փոխարինմանը t = 15x:

5 = 15x կամ 6 = 15x: Այսպիսով, x 1 = 5/15 և x 2 = 6/15: Կրճատում ենք և ստանում վերջնական պատասխանը՝ x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Պատասխանել. x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի հավասարումների լուծումը յուրացնելու համար աշակերտները պետք է հնարավորինս շատ պարապեն: Հենց սա է հաջողության գաղտնիքը։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք տրված են. Վիետայի թեորեմա. Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումը և ապացույցը քառակուսի հավասարման համար: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը: Դրանից հետո կվերլուծենք ամենաբնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերից, որտեղ D=b 2 −4 a c հարաբերությունները x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 =. գ/ա . Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը, վերցված հակառակ նշանով և արտադրյալի. արմատները հավասար են c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ .

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմը կապացուցենք հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ հայտնի արմատային բանաձևերով կկազմենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև ստացված արտահայտությունները կվերափոխենք և համոզվենք, որ դրանք հավասար են -b-ի: /a և c/a, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից, կազմենք։ Հիմա կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, ունենք։ Ստացված կոտորակի համարիչում , որից հետո . Վերջապես, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը. Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ վերջին արտադրյալը կարելի է գրել այսպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի փակագծով, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևը, Ուրեմն . Այնուհետև, հիշելով, մենք կատարում ենք հաջորդ անցումը: Եվ քանի որ D=b 2 −4 a·c բանաձևը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին, ապա b 2 −4·a·c կարելի է փոխարինել վերջին կոտորակի մեջ D-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և նման անդամները փոքրացնելուց հետո հասնում ենք կոտորակի վրա, և դրա կրճատումը 4·a-ով տալիս է. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե ​​բաց թողնենք բացատրությունները, ապա Վիետայի թեորեմի ապացույցը հակիրճ ձև կստանա.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են: Իսկապես, D=0-ի համար քառակուսի հավասարման արմատը , ապա և , և քանի որ D=0 , այսինքն՝ b 2 −4·a·c=0 , որտեղից b 2 =4·a·c , ապա .

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 +p·x+q=0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման (ամենաբարձր գործակիցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ։ Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս տիպի քառակուսային հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական թվով a: Ահա Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + p x + q \u003d 0 հավասար է x գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամ է, այսինքն, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմ

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, տրված նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0, ապա x 1 +x 2 = − հարաբերությունները։ p, x 1 x 2 = q. Մյուս կողմից, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 +p x+q=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այլ կերպ ասած, Վիետայի թեորեմի հակառակ պնդումը ճիշտ է։ Մենք այն ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով և ապացուցում։

Թեորեմ.

Եթե ​​x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 +x 2 =−p և x 1 x 2 =q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0: .

Ապացույց.

x 2 +p x+q=0 դրանց արտահայտության x 1 և x 2-ի միջոցով p և q գործակիցները փոխարինելուց հետո այն վերածվում է համարժեք հավասարման։

Ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 1 թիվը, ունենք հավասարություն x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար ճիշտ թվային հավասարություն է 0=0, քանի որ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Այսպիսով, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 +p x+q=0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե ​​հավասարման մեջ x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 2 թիվը, այնուհետև ստանում ենք հավասարություն x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Սա ճիշտ հավասարումն է, քանի որ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Հետևաբար, x 2-ը նույնպես հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, և հետևաբար x 2 +p x+q=0 հավասարումները:

Սա ավարտում է Վիետայի թեորեմին հակադրվող թեորեմի ապացուցումը:

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառության մասին։ Այս ենթաբաժնում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Մենք սկսում ենք Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ կիրառելով: Հարմար է այն օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է հարաբերությունների վավերականությունը։ Եթե ​​այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ գտնված արմատները ստուգելու համար։

Օրինակ.

1) x 1 =−5, x 2 =3 կամ 2), թե 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x+9=0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x+9=0 գործակիցներն են a=4 , b=−16 , c=9 ։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a-ի, այսինքն՝ 16/4=4, իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի c/a-ի, այսինքն՝ 9-ի։ /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում ունենք x 1 +x 2 =−5+3=−2: Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, հետևաբար, հետագա ստուգում չի կարող իրականացվել, բայց թեորեմով, Վիետայի թեորեմի հակադարձմամբ, կարող ենք անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տրված քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։ .

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը բավարարված է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը. ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից: Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնում է վերջին դեպքը. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Թեորեմը՝ Վիետայի թեորեմի հակառակը, կարող է գործնականում օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները ընտրելու համար։ Սովորաբար ընտրվում են տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ամբողջ թվային գործակիցներով, քանի որ այլ դեպքերում դա բավականին դժվար է անել։ Միևնույն ժամանակ նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սրան անդրադառնանք օրինակով։

Վերցնենք x 2 −5 x+6=0 քառակուսային հավասարումը: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է բավարարվեն երկու հավասարումներ x 1 +x 2 \u003d 5 և x 1 x 2 \u003d 6: Մնում է ընտրել այդպիսի թվեր։ Այս դեպքում դա անելը բավականին պարզ է. 2-ը և 3-ը նման թվեր են, քանի որ 2+3=5 և 2 3=6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը հատկապես հարմար է կրճատված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ։ Այս դեպքում երկրորդ արմատը հայտնաբերվում է հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 −509 x−3=0: Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ միավորը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 x 2 =c/a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 =−3/512, որտեղից x 2 =−3/512: Այսպիսով, մենք սահմանել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Մյուս դեպքերում, արմատները գտնելու համար կարելի է տարբերակիչի միջոցով կիրառել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը։

Թեորեմի մեկ այլ գործնական կիրառություն՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձը, տրված x 1 և x 2 արմատների համար քառակուսի հավասարումների կազմումն է։ Դրա համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը տրված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսային հավասարում, որի արմատները −11 և 23 թվերն են։

Լուծում.

Նշեք x 1 =−11 և x 2 =23: Մենք հաշվարկում ենք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 + x 2 \u003d 12 և x 1 x 2 \u003d −253: Հետևաբար այս թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են երկրորդ գործակցով -12 և ազատ անդամով -253: Այսինքն՝ x 2 −12·x−253=0 ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12 x−253=0 .

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված առաջադրանքներ լուծելիս։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված x 2 +p x+q=0 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

• Եթե ​​q հատվողը դրական թիվ է, և եթե քառակուսային հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական են։
• Եթե ​​q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 x 2 =q բանաձեւից, ինչպես նաեւ տարբեր նշաններով դրական, բացասական թվերը եւ թվերը բազմապատկելու կանոններից։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R-ն դրական է: Համաձայն տարբերակիչ բանաձևի՝ գտնում ենք D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 արտահայտության արժեքը. +8-ը դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D>0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ r պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար:

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ ունեն: Եթե ​​արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմով տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r−1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մենք պետք է լուծել գծային անհավասարություն r−1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժամը r<1 .

Վիետայի բանաձևեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք նրա հաստատած հարաբերությունները: Բայց կան բանաձեւեր, որոնք կապում են իրական արմատներն ու գործակիցները ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլ նաև խորանարդ հավասարումների, քառակի հավասարումների և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետայի բանաձևեր.

Մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար, մինչդեռ ենթադրում ենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց մեջ կարող է լինել նույնը).

Ստանալ Vieta բանաձեւերը թույլ է տալիս բազմանդամների գործոնացման թեորեմ, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա ընդլայնումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Բացելով փակագծերը վերջին արտադրյալում և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n=2-ի համար մենք արդեն ծանոթ Վիետայի բանաձևեր ունենք քառակուսի հավասարման համար:

Խորանարդ հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն ունեն ձևը

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմում կան այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։

Քառակուսային հավասարման լուծման մեթոդներից մեկը կիրառումն է VIETA բանաձեւեր, որը կոչվել է ՖՐԱՆՍՈՒԱ ՎԻԵՏԵԻ անունով։

Նա հայտնի իրավաբան էր, ծառայում էր 16-րդ դարում Ֆրանսիայի թագավորի մոտ։ Ազատ ժամանակ սովորել է աստղագիտություն և մաթեմատիկա։ Նա կապ է հաստատել քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։

Բանաձևի առավելությունները.

1 . Կիրառելով բանաձևը, դուք կարող եք արագ գտնել լուծումը. Որովհետև պետք չէ երկրորդ գործակիցը մուտքագրել քառակուսի, այնուհետև դրանից հանել 4ac, գտնել տարբերակիչը, փոխարինել դրա արժեքը արմատները գտնելու բանաձևով:

2 . Առանց լուծման, դուք կարող եք որոշել արմատների նշանները, վերցնել արմատների արժեքները:

3 . Լուծելով երկու գրառումների համակարգը՝ դժվար չէ ինքնուրույն գտնել արմատները։ Վերոնշյալ քառակուսային հավասարման մեջ արմատների գումարը հավասար է մինուս նշանով երկրորդ գործակցի արժեքին։ Վերոնշյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է երրորդ գործակցի արժեքին։

4 . Ըստ տրված արմատների գրի՛ր քառակուսի հավասարում, այսինքն՝ լուծի՛ր հակադարձ խնդիրը։ Օրինակ, այս մեթոդը կիրառվում է տեսական մեխանիկայի խնդիրների լուծման ժամանակ։

5 . Հարմար է կիրառել բանաձեւը, երբ առաջատար գործակիցը հավասար է մեկի։

Թերություններ:

1 . Բանաձևը համընդհանուր չէ.

Վիետայի թեորեմ 8-րդ դասարան

Բանաձև
Եթե ​​x 1 և x 2-ը տրված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 + px + q \u003d 0, ապա.

Օրինակներ
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - հավասարման արմատները x 2 - 2x - 3 \u003d 0:

P = -2, q = -3:

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Հակադարձ թեորեմ

Բանաձև
Եթե ​​x 1 , x 2 , p, q թվերը միացված են պայմաններով.

Այնուհետև x 1-ը և x 2-ը x 2 + px + q = 0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ
Արմատներով կազմենք քառակուսի հավասարում.

X 1 \u003d 2 -? 3 և x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Ցանկալի հավասարումն ունի ձև՝ x 2 - 4x + 1 = 0:

2.5 Վիետա բանաձև ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների (հավասարումների) համար

Վիետայի կողմից ստացված քառակուսի հավասարումների բանաձևերը ճիշտ են նաև ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների համար։

Թող բազմանդամը

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ունի n հստակ արմատ x 1, x 2…, x n:

Այս դեպքում այն ​​ունի ձևի ֆակտորիզացիա.

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)…(x – x n)

Այս հավասարության երկու մասերն էլ բաժանենք 0 ≠ 0-ի և ընդլայնենք առաջին մասի փակագծերը։ Մենք ստանում ենք հավասարություն.

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Բայց երկու բազմանդամները նույնականորեն հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նույն հզորությունների գործակիցները հավասար են: Այստեղից բխում է, որ հավասարությունը

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Օրինակ՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամների համար

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Մենք ինքնություններ ունենք

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ինչ վերաբերում է քառակուսային հավասարումներին, ապա այս բանաձեւը կոչվում է Վիետայի բանաձեւեր։ Այս բանաձեւերի ձախ մասերը սիմետրիկ բազմանդամներ են տրված հավասարման x 1 , x 2 ..., x n արմատներից, իսկ աջ մասերը արտահայտված են բազմանդամի գործակցով։

2.6 Քառակուսիների կրճատվող հավասարումներ (երկքառ.)

Չորրորդ աստիճանի հավասարումները վերածվում են քառակուսային հավասարումների.

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

կոչվում է երկքառակուսի, ընդ որում՝ a ≠ 0։

Բավական է այս հավասարման մեջ դնել x 2 \u003d y, հետևաբար.

ay² + by + c = 0

գտե՛ք ստացված քառակուսի հավասարման արմատները

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 արմատները անմիջապես գտնելու համար y-ը փոխարինեք x-ով և ստացեք.

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Եթե ​​չորրորդ աստիճանի հավասարումն ունի x 1, ապա այն ունի նաև արմատ x 2 \u003d -x 1,

Եթե ​​ունի x 3, ապա x 4 \u003d - x 3: Նման հավասարման արմատների գումարը զրո է։

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Մենք հավասարումը փոխարինում ենք երկքառակուսի հավասարումների արմատների բանաձևով.

x 1,2,3,4 = ,

իմանալով, որ x 1 \u003d -x 2, և x 3 \u003d -x 4, ապա.

x 3.4 =

Պատասխան՝ x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 =

2.7 Երկկվադրական հավասարումների ուսումնասիրություն

Վերցնենք երկքառակուսի հավասարումը

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

որտեղ a, b, c-ն իրական թվեր են, և a > 0: Ներկայացնելով օժանդակ անհայտ y = x², մենք ուսումնասիրում ենք այս հավասարման արմատները և արդյունքները մուտքագրում աղյուսակում (տես Հավելված No 1):

2.8 Կարդանո բանաձեւ

Եթե ​​օգտագործենք ժամանակակից սիմվոլիզմը, ապա Կարդանոյի բանաձևի ստացումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

x =

Այս բանաձևը որոշում է երրորդ աստիճանի ընդհանուր հավասարման արմատները.

կացին 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0:

Այս բանաձևը շատ դժվար է և բարդ (այն պարունակում է մի քանի բարդ ռադիկալներ): Դա միշտ չէ, որ կիրառվում է, քանի որ. շատ դժվար է լրացնել:

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Թվարկե՛ք կամ ընտրե՛ք 2-3 տեքստերից ամենահետաքրքիր վայրերը։ Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք ընտրովի դասընթացների ստեղծման և անցկացման ընդհանուր դրույթները, որոնք հաշվի կառնվեն 9-րդ դասարանի «Քառյակային հավասարումներ և անհավասարումներ պարամետրով» հանրահաշվի ընտրովի դասընթաց մշակելիս։ Գլուխ II. «Քառակուսի հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրով» ընտրովի դասընթացի անցկացման մեթոդիկա 1.1. Ընդհանուր...

Լուծումներ թվային հաշվարկի մեթոդներից. Հավասարման արմատները որոշելու համար Աբելի, Գալուայի, Սուտ խմբերի և այլն տեսությունների իմացություն չի պահանջվում և հատուկ մաթեմատիկական տերմինաբանության օգտագործում՝ օղակներ, դաշտեր, իդեալներ, իզոմորֆիզմներ և այլն։ n-րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է միայն քառակուսի հավասարումներ լուծելու և բարդ թվից արմատներ հանելու ունակություն։ Արմատները կարելի է որոշել...

MathCAD համակարգում ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորո՞վ: 11. Մանրամասն նկարագրեք տեքստը, գրաֆիկական և մաթեմատիկական բլոկները: Դասախոսություն թիվ 2. Գծային հանրահաշվի խնդիրները և դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը MathCAD միջավայրում Գծային հանրահաշվի խնդիրներում գրեթե միշտ անհրաժեշտ է դառնում կատարել տարբեր գործողություններ մատրիցներով։ Մատրիցային օպերատորի վահանակը գտնվում է Math վահանակի վրա: ...