Ռետինե ապարանջաններ

Վիետայի թեորեմա. Օգտագործման օրինակներ. Ինչպես լուծել հավասարումները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը մաթեմատիկայում Վիետայի հավասարման բանաձևը

Մաթեմատիկայի մեջ կան հատուկ հնարքներ, որոնցով շատ քառակուսի հավասարումներ լուծվում են շատ արագ և առանց որևէ խտրականության։ Ավելին, պատշաճ վերապատրաստման դեպքում շատերը սկսում են բառացիորեն լուծել քառակուսի հավասարումները, բառացիորեն «մի հայացքով»:

Ցավոք, դպրոցական մաթեմատիկայի ժամանակակից դասընթացում նման տեխնոլոգիաները գրեթե չեն ուսումնասիրվում։ Եվ դուք պետք է իմանաք: Եվ այսօր մենք կքննարկենք այդ տեխնիկաներից մեկը՝ Վիետայի թեորեմը: Նախ, եկեք ներկայացնենք նոր սահմանում.

x 2 + bx + c = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ x 2-ի գործակիցը հավասար է 1-ի: Գործակիցների վրա այլ սահմանափակումներ չկան:

x 2 + 7x + 12 = 0 կրճատված քառակուսի հավասարումն է.
x 2 − 5x + 6 = 0 նույնպես կրճատվում է;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - բայց դա ոչինչ չի կրճատվում, քանի որ x 2 գործակիցը 2 է:

Իհարկե, ax 2 + bx + c = 0 ձևի ցանկացած քառակուսային հավասարում կարելի է կրճատել, բավական է բոլոր գործակիցները բաժանել a թվի վրա: Մենք միշտ կարող ենք դա անել, քանի որ քառակուսի հավասարման սահմանումից հետևում է, որ a ≠ 0:

Ճիշտ է, այդ փոխակերպումները միշտ չէ, որ օգտակար կլինեն արմատներ գտնելու համար։ Մի փոքր ավելի ցածր՝ մենք կհամոզվենք, որ դա արվի միայն այն դեպքում, երբ վերջնական քառակուսի հավասարման մեջ բոլոր գործակիցներն ամբողջ թվով լինեն։ Առայժմ եկեք նայենք մի քանի պարզ օրինակների.

Առաջադրանք. Փոխարկել քառակուսի հավասարումը կրճատվածի.

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0:

Յուրաքանչյուր հավասարումը բաժանենք x 2 փոփոխականի գործակցի վրա: Մենք ստանում ենք.

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - ամեն ինչ բաժանել 3-ի;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - բաժանված է −4-ի;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - բաժանված է 1,5-ի, բոլոր գործակիցները դարձան ամբողջ թիվ;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - բաժանված է 2-ի: Այս դեպքում առաջացել են կոտորակային գործակիցներ:

Ինչպես տեսնում եք, տրված քառակուսի հավասարումները կարող են ունենալ ամբողջ թվային գործակիցներ, նույնիսկ եթե սկզբնական հավասարումը պարունակում է կոտորակներ։

Այժմ մենք ձևակերպում ենք հիմնական թեորեմը, որի համար, ըստ էության, ներդրվել է կրճատված քառակուսի հավասարման հասկացությունը.

Վիետայի թեորեմա. Դիտարկենք x 2 + bx + c \u003d 0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարումը: Ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի իրական արմատներ x 1 և x 2: Այս դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

x1 + x2 = −b. Այսինքն՝ տրված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է x փոփոխականի գործակցին՝ վերցված հակառակ նշանով;

x 1 x 2 = գ. Քառակուսային հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ գործակցի։

Օրինակներ. Պարզության համար մենք կդիտարկենք միայն տրված քառակուսի հավասարումները, որոնք լրացուցիչ փոխակերպումներ չեն պահանջում.

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; արմատները `x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; արմատները `x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; արմատները՝ x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Վիետայի թեորեմը լրացուցիչ տեղեկություններ է տալիս քառակուսի հավասարման արմատների մասին։ Առաջին հայացքից սա կարող է բարդ թվալ, բայց նույնիսկ նվազագույն մարզումների դեպքում դուք կսովորեք «տեսնել» արմատները և բառացիորեն կռահել դրանք հաշված վայրկյանների ընթացքում:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը.

x2 - 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0։

Փորձենք գրի առնել գործակիցները ըստ Վիետայի թեորեմի և «կռահել» արմատները.

x 2 − 9x + 14 = 0 կրճատված քառակուսի հավասարում է:
Վիետայի թեորեմով մենք ունենք՝ x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Հեշտ է տեսնել, որ արմատները 2 և 7 թվերն են.
x 2 − 12x + 27 = 0 նույնպես կրճատվում է։
Վիետայի թեորեմով՝ x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Այստեղից էլ արմատները՝ 3 և 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Այս հավասարումը չի կրճատվում: Բայց մենք հիմա դա կշտկենք՝ հավասարման երկու կողմերը բաժանելով a \u003d 3 գործակցով: Ստանում ենք՝ x 2 + 11x + 10 \u003d 0:
Լուծում ենք Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ արմատներ՝ −10 և −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - կրկին x 2-ի գործակիցը հավասար չէ 1-ի, այսինքն. հավասարումը տրված չէ. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք a = −7 թվի վրա։ Մենք ստանում ենք՝ x 2 - 11x + 30 = 0:
Վիետայի թեորեմով՝ x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Այս հավասարումներից հեշտ է կռահել արմատները՝ 5 և 6։

Վերոնշյալ պատճառաբանությունից երևում է, թե ինչպես է Վիետայի թեորեմը պարզեցնում քառակուսի հավասարումների լուծումը։ Ոչ բարդ հաշվարկներ, ոչ թվաբանական արմատներ և կոտորակներ: Եվ նույնիսկ դիսկրիմինանտը (տե՛ս «Քառակուսային հավասարումների լուծում» դասը) մեզ պետք չէր:

Իհարկե, մեր բոլոր մտորումների մեջ մենք ելնում ենք երկու կարևոր ենթադրությունից, որոնք, ընդհանուր առմամբ, միշտ չէ, որ իրականանում են իրական խնդիրների դեպքում.

Քառակուսային հավասարումը կրճատվում է, այսինքն. x 2-ի գործակիցը 1 է;
Հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ. Հանրահաշվի տեսանկյունից այս դեպքում D > 0 դիսկրիմինանտը, ըստ էության, սկզբում ենթադրում ենք, որ այս անհավասարությունը ճիշտ է:

Այնուամենայնիվ, բնորոշ մաթեմատիկական խնդիրներում այս պայմանները բավարարված են: Եթե հաշվարկների արդյունքը «վատ» քառակուսի հավասարում է (x 2-ի գործակիցը տարբերվում է 1-ից), դա հեշտ է շտկել. նայեք դասի հենց սկզբի օրինակներին: Արմատների մասին ընդհանրապես լռում եմ՝ սա ի՞նչ խնդիր է, որում պատասխան չկա։ Իհարկե արմատներ կլինեն։

Այսպիսով, Վիետայի թեորեմի համաձայն քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման հետևյալն է.

Կրճատիր քառակուսի հավասարումը տրվածին, եթե դա արդեն չի արվել խնդրի պայմաններում.
Եթե վերը նշված քառակուսի հավասարման գործակիցները կոտորակային են, լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով: Դուք նույնիսկ կարող եք վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը ավելի «հարմար» թվերի հետ աշխատելու համար.
Ամբողջ թվերի գործակիցների դեպքում հավասարումը լուծում ենք Վիետայի թեորեմի միջոցով;
Եթե մի քանի վայրկյանում հնարավոր չեղավ գուշակել արմատները, մենք միավորում ենք Վիետայի թեորեմը և լուծում ենք տարբերակիչի միջոցով:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` 5x 2 − 35x + 50 = 0:

Այսպիսով, մենք ունենք հավասարում, որը չի կրճատվում, քանի որ գործակից a \u003d 5. Ամեն ինչ բաժանեք 5-ի, կստանանք՝ x 2 - 7x + 10 \u003d 0:

Քառակուսային հավասարման բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են. փորձենք լուծել այն Վիետայի թեորեմի միջոցով: Մենք ունենք՝ x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Այս դեպքում արմատները հեշտ է կռահել. դրանք 2 և 5 են: Պետք չէ հաշվել տարբերակիչի միջոցով:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` -5x 2 + 8x - 2.4 = 0:

Մենք նայում ենք՝ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - այս հավասարումը փոքրացված չէ, երկու կողմերը բաժանում ենք a = −5 գործակցով։ Մենք ստանում ենք՝ x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - կոտորակային գործակիցներով հավասարում:

Ավելի լավ է վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը և հաշվել տարբերակիչի միջոցով՝ −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0.4.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` 2x 2 + 10x − 600 = 0:

Սկզբից մենք ամեն ինչ բաժանում ենք a \u003d 2 գործակցով: Մենք ստանում ենք x 2 + 5x - 300 \u003d 0 հավասարումը:

Սա կրճատված հավասարումն է, ըստ Վիետայի թեորեմի ունենք՝ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300: Դժվար է կռահել քառակուսի հավասարման արմատներն այս դեպքում՝ անձամբ ես լրջորեն «սառեցի», երբ լուծեցի այս խնդիրը։

Մենք պետք է արմատներ փնտրենք դիսկրիմինանտի միջոցով՝ D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2: Եթե դուք չեք հիշում դիսկրիմինանտի արմատը, ես պարզապես նշեմ, որ 1225: 25 = 49: Հետևաբար, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2:

Այժմ, երբ հայտնի է տարբերակիչի արմատը, հավասարումը լուծելը դժվար չէ։ Մենք ստանում ենք՝ x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման ուղիներն ուսումնասիրելիս հաշվի առեք ստացված արմատների հատկությունները: Դրանք այժմ հայտնի են որպես Վիետայի թեորեմներ։ Դրա օգտագործման օրինակները տրված են այս հոդվածում:

Քառակուսային հավասարում

Երկրորդ կարգի հավասարումը հավասարություն է, որը ներկայացված է ստորև ներկայացված լուսանկարում։

Այստեղ a, b, c նշանները որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են դիտարկվող հավասարման գործակիցներ։ Հավասարությունը լուծելու համար հարկավոր է գտնել x արժեքներ, որոնք այն դարձնում են ճիշտ:

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ հզորության առավելագույն արժեքը, որին բարձրացվում է x-ը, երկու է, ապա ընդհանուր դեպքում արմատների թիվը նույնպես երկու է։

Այս տեսակի հավասարությունը լուծելու մի քանի եղանակ կա. Այս հոդվածում մենք կքննարկենք դրանցից մեկը, որը ներառում է այսպես կոչված Վիետայի թեորեմի օգտագործումը։

Վիետայի թեորեմի հայտարարություն

16-րդ դարի վերջում հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (ֆրանսիացի) վերլուծելով տարբեր քառակուսի հավասարումների արմատների հատկությունները, նկատել է, որ դրանց որոշակի համակցությունները բավարարում են կոնկրետ հարաբերություններ։ Մասնավորապես, այդ համակցություններն իրենց արտադրյալն ու գումարն են։

Վիետայի թեորեմը սահմանում է հետևյալը. քառակուսի հավասարման արմատները, երբ գումարվում են, տալիս են հակառակ նշանով վերցված գծային և քառակուսի գործակիցների հարաբերությունը, և երբ դրանք բազմապատկվում են, հանգեցնում են ազատ անդամի և քառակուսի գործակցի հարաբերությանը։ .

Եթե հավասարման ընդհանուր ձևը գրված է այնպես, ինչպես ցույց է տրված հոդվածի նախորդ հատվածի լուսանկարում, ապա մաթեմատիկորեն այս թեորեմը կարելի է գրել երկու հավասարության տեսքով.

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Որտեղ r 1, r 2-ը դիտարկված հավասարման արմատների արժեքն է:

Այս երկու հավասարությունները կարող են օգտագործվել մի շարք շատ տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար: Վիետայի թեորեմի օգտագործումը լուծում ունեցող օրինակներում տրված է հոդվածի հաջորդ բաժիններում։

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք տրված են. Վիետայի թեորեմա. Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումը և ապացույցը քառակուսի հավասարման համար: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը: Դրանից հետո կվերլուծենք ամենաբնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերից, որտեղ D=b 2 −4 a c հարաբերությունները x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 =. գ/ա . Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը, վերցված հակառակ նշանով և արտադրյալի. արմատները հավասար են c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ .

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմը կապացուցենք հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ հայտնի արմատային բանաձևերով կկազմենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև ստացված արտահայտությունները կվերափոխենք և համոզվենք, որ դրանք հավասար են -b-ի: /a և c/a, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից, կազմենք։ Հիմա կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, ունենք։ Ստացված կոտորակի համարիչում , որից հետո . Վերջապես, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը. Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ վերջին արտադրյալը կարելի է գրել այսպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի փակագծով, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևը, Ուրեմն . Այնուհետև, հիշելով, մենք կատարում ենք հաջորդ անցումը: Եվ քանի որ D=b 2 −4 a·c բանաձևը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին, ապա b 2 −4·a·c կարելի է փոխարինել վերջին կոտորակի մեջ D-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և նման անդամները փոքրացնելուց հետո հասնում ենք կոտորակի վրա, և դրա կրճատումը 4·a-ով տալիս է. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե բաց թողնենք բացատրությունները, ապա Վիետայի թեորեմի ապացույցը հակիրճ ձև կստանա.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են: Իսկապես, D=0-ի համար քառակուսի հավասարման արմատը , ապա և , և քանի որ D=0 , այսինքն՝ b 2 −4·a·c=0 , որտեղից b 2 =4·a·c , ապա .

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 +p·x+q=0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման (ամենաբարձր գործակիցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ։ Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս տիպի քառակուսային հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական թվով a: Ահա Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + p x + q \u003d 0 հավասար է x գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է, այսինքն, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմ

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, տրված նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0, ապա x 1 +x 2 = − հարաբերությունները։ p , x 1 x 2 = q. Մյուս կողմից, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 +p x+q=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այլ կերպ ասած, Վիետայի թեորեմի հակառակ պնդումը ճիշտ է։ Մենք այն ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով և ապացուցում։

Թեորեմ.

Եթե x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 +x 2 =−p և x 1 x 2 =q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0: .

Ապացույց.

x 2 +p x+q=0 դրանց արտահայտության x 1 և x 2-ի միջոցով p և q գործակիցները փոխարինելուց հետո այն վերածվում է համարժեք հավասարման։

Ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 1 թիվը, ունենք հավասարություն x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար ճիշտ թվային հավասարություն է 0=0, քանի որ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Այսպիսով, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 +p x+q=0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե հավասարման մեջ x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 2 թիվը, այնուհետև ստանում ենք հավասարություն x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Սա ճիշտ հավասարումն է, քանի որ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Հետևաբար, x 2-ը նույնպես հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, և հետևաբար x 2 +p x+q=0 հավասարումները:

Սա ավարտում է Վիետայի թեորեմին հակադրվող թեորեմի ապացուցումը:

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառության մասին։ Այս ենթաբաժնում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Մենք սկսում ենք Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ կիրառելով: Հարմար է այն օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է հարաբերությունների վավերականությունը։ Եթե այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ գտնված արմատները ստուգելու համար։

Օրինակ.

1) x 1 =−5, x 2 =3 կամ 2), թե 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x+9=0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x+9=0 գործակիցներն են a=4 , b=−16 , c=9 ։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a-ի, այսինքն՝ 16/4=4, իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի c/a-ի, այսինքն՝ 9-ի։ /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում ունենք x 1 +x 2 =−5+3=−2: Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, հետևաբար, հետագա ստուգում չի կարող իրականացվել, բայց թեորեմով, Վիետայի թեորեմի հակադարձմամբ, կարող ենք անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տրված քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։ .

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը բավարարված է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը. ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից: Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնում է վերջին դեպքը. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Թեորեմը՝ Վիետայի թեորեմի հակառակը, կարող է գործնականում օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները ընտրելու համար։ Սովորաբար ընտրվում են տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ամբողջ թվային գործակիցներով, քանի որ այլ դեպքերում դա բավականին դժվար է անել։ Միևնույն ժամանակ նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սրան անդրադառնանք օրինակով։

Վերցնենք x 2 −5 x+6=0 քառակուսային հավասարումը: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է բավարարվեն երկու հավասարումներ x 1 +x 2 \u003d 5 և x 1 x 2 \u003d 6: Մնում է ընտրել այդպիսի թվեր։ Այս դեպքում դա անելը բավականին պարզ է. 2-ը և 3-ը նման թվեր են, քանի որ 2+3=5 և 2 3=6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը հատկապես հարմար է կրճատված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ։ Այս դեպքում երկրորդ արմատը հայտնաբերվում է հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 −509 x−3=0: Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ միավորը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 x 2 =c/a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 =−3/512, որտեղից x 2 =−3/512: Այսպիսով, մենք սահմանել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Մյուս դեպքերում, արմատները գտնելու համար կարելի է տարբերակիչի միջոցով կիրառել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը։

Թեորեմի մեկ այլ գործնական կիրառություն՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձը, տրված x 1 և x 2 արմատների համար քառակուսի հավասարումների կազմումն է։ Դրա համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը տրված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսային հավասարում, որի արմատները −11 և 23 թվերն են։

Լուծում.

Նշեք x 1 =−11 և x 2 =23: Մենք հաշվարկում ենք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 + x 2 \u003d 12 և x 1 x 2 \u003d −253: Հետևաբար այս թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են երկրորդ գործակցով -12 և ազատ անդամով -253: Այսինքն՝ x 2 −12·x−253=0 ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12 x−253=0 .

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված առաջադրանքներ լուծելիս։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված x 2 +p x+q=0 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

Եթե q ազատ անդամը դրական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական են։
Եթե q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 x 2 =q բանաձեւից, ինչպես նաեւ տարբեր նշաններով դրական, բացասական թվերը եւ թվերը բազմապատկելու կանոններից։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R-ն դրական է: Համաձայն տարբերակիչ բանաձևի՝ գտնում ենք D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 արտահայտության արժեքը. +8-ը դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D>0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ r պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար:

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ ունեն: Եթե արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմով տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r−1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մենք պետք է լուծել գծային անհավասարություն r−1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժամը r<1 .

Վիետայի բանաձևեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք նրա հաստատած հարաբերությունները: Բայց կան բանաձեւեր, որոնք կապում են իրական արմատներն ու գործակիցները ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլ նաև խորանարդ հավասարումների, քառակի հավասարումների և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետայի բանաձևեր.

Մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար, մինչդեռ ենթադրում ենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց մեջ կարող է լինել նույնը).

Ստանալ Vieta բանաձեւերը թույլ է տալիս բազմանդամների գործոնացման թեորեմ, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա ընդլայնումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Բացելով փակագծերը վերջին արտադրյալում և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n=2-ի համար մենք արդեն ծանոթ Վիետայի բանաձևեր ունենք քառակուսի հավասարման համար:

Խորանարդ հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն ունեն ձևը

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմում կան այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ.

Մատենագիտություն.

Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։

Վիետայի թեորեմի ձևակերպում և ապացուցում քառակուսի հավասարումների համար. Հակադարձ Վիետայի թեորեմ. Վիետայի թեորեմը խորանարդ հավասարումների և կամայական կարգի հավասարումների համար։

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Քառակուսային հավասարման արմատները

Քառակուսային հավասարումներ

Վիետայի թեորեմա

Եկեք և նշանակենք կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները
(1) .
Այնուհետև արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված գործակցին։ Արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ տերմինին.
;
.

Մի քանի արմատների մասին նշում

Եթե (1) հավասարման դիսկրիմինանտը զրո է, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ: Բայց, ծանր ձևակերպումներից խուսափելու համար, ընդհանուր առմամբ ընդունված է, որ այս դեպքում հավասարումը (1) ունի երկու բազմակի կամ հավասար արմատներ.
.

Ապացույց առաջին

Գտնենք (1) հավասարման արմատները։ Դա անելու համար կիրառեք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը.
;
;
.

Գտնել արմատների գումարը.
.

Ապրանքը գտնելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևը.
.
Հետո

.

Թեորեմն ապացուցված է.

Ապացույց երկու

Եթե թվերը և (1) քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա
.
Բացում ենք փակագծերը։

.
Այսպիսով, հավասարումը (1) կունենա հետևյալ ձևը.
.
Համեմատելով (1)-ի հետ՝ մենք գտնում ենք.
;
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Հակադարձ Վիետայի թեորեմ

Թող լինեն կամայական թվեր։ Այնուհետև և են քառակուսի հավասարման արմատները
,
որտեղ
(2) ;
(3) .

Վիետայի հակադարձ թեորեմի ապացույց

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը
(1) .
Մենք պետք է ապացուցենք, որ եթե և , ապա և-ն (1) հավասարման արմատներն են:

(2) և (3)-ը փոխարինել (1-ով).
.
Մենք խմբավորում ենք հավասարման ձախ կողմի անդամները.
;
;
(4) .

Փոխարինել (4)-ում.
;
.

Փոխարինել (4)-ում.
;
.
Հավասարումը կատարված է. Այսինքն՝ թիվը (1) հավասարման արմատն է։

Թեորեմն ապացուցված է.

Վիետայի թեորեմն ամբողջական քառակուսի հավասարման համար

Այժմ դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը
(5) ,
որտեղ և կան որոշ թվեր: Եվ .

Մենք (5) հավասարումը բաժանում ենք հետևյալի.
.
Այսինքն՝ մենք ստացել ենք վերը նշված հավասարումը
,
որտեղ; .

Այնուհետև Վիետայի թեորեմը ամբողջական քառակուսի հավասարման համար ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք և նշանակենք ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները
.
Այնուհետև արմատների գումարը և արտադրյալը որոշվում են բանաձևերով.
;
.

Վիետայի թեորեմը խորանարդ հավասարման համար

Նմանապես, մենք կարող ենք կապեր հաստատել խորանարդ հավասարման արմատների միջև: Դիտարկենք խորանարդի հավասարումը
(6) ,
որտեղ , , , որոշ թվեր են: Եվ .
Բաժանենք այս հավասարումը հետևյալի վրա.
(7) ,
որտեղ , , .
Թող , , լինեն (7) (և հավասարման (6)) հավասարման արմատները։ Հետո

.

Համեմատելով (7) հավասարման հետ՝ մենք գտնում ենք.
;
;
.

Վիետայի թեորեմը n-րդ աստիճանի հավասարման համար

Նույն կերպ կարող եք կապեր գտնել , , ... , , , , , n-րդ աստիճանի հավասարման արմատների միջև։
.

Վիետայի թեորեմը n-րդ աստիճանի հավասարման համար ունի հետևյալ ձևը.
;
;
;

.

Այս բանաձևերը ստանալու համար մենք հավասարումը գրում ենք հետևյալ ձևով.
.
Այնուհետև մենք հավասարեցնում ենք , , , ... գործակիցները և համեմատում ենք ազատ անդամը:

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին, Մ.Կ. Պոտապով և այլք, Հանրահաշիվ: Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների 8-րդ դասարանի համար, Մոսկվա, Կրթություն, 2006 թ.

Տես նաեւ:

Քառակուսային հավասարման լուծման մեթոդներից մեկը կիրառումն է VIETA բանաձեւեր, որը կոչվել է ՖՐԱՆՍՈՒԱ ՎԻԵՏԵԻ անունով։

Նա հայտնի իրավաբան էր, ծառայում էր 16-րդ դարում Ֆրանսիայի թագավորի մոտ։ Ազատ ժամանակ սովորել է աստղագիտություն և մաթեմատիկա։ Նա կապ է հաստատել քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։

Բանաձևի առավելությունները.

1 . Կիրառելով բանաձևը, դուք կարող եք արագ գտնել լուծումը. Որովհետև պետք չէ երկրորդ գործակիցը մուտքագրել քառակուսի, այնուհետև դրանից հանել 4ac, գտնել տարբերակիչը, փոխարինել դրա արժեքը արմատները գտնելու բանաձևով:

2 . Առանց լուծման, դուք կարող եք որոշել արմատների նշանները, վերցնել արմատների արժեքները:

3 . Լուծելով երկու գրառումների համակարգը՝ դժվար չէ ինքնուրույն գտնել արմատները։ Վերոնշյալ քառակուսի հավասարման մեջ արմատների գումարը հավասար է մինուս նշանով երկրորդ գործակցի արժեքին։ Վերոնշյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է երրորդ գործակցի արժեքին։

4 . Ըստ տրված արմատների գրի՛ր քառակուսի հավասարում, այսինքն՝ լուծի՛ր հակադարձ խնդիրը։ Օրինակ, այս մեթոդը կիրառվում է տեսական մեխանիկայի խնդիրների լուծման ժամանակ։

5 . Հարմար է կիրառել բանաձեւը, երբ առաջատար գործակիցը հավասար է մեկի։

Թերություններ:

1 . Բանաձևը համընդհանուր չէ.