Վիետայի թեորեմը քառակուսի և այլ հավասարումների համար. Վիետի թեորեմ, հակադարձ վիետի բանաձև և օրինակներ, որոնց լուծումը կներկայացնի Վիետայի վերացման թեորեմը

Ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում ax2 + bx + c = 0կարելի է հիշել x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, եթե սկզբում յուրաքանչյուր անդամ բաժանենք a գործակցի վրա x2. Իսկ եթե ներմուծենք նոր նշում (բ/ա) = pև (գ/ա) = ք, ապա կունենանք հավասարումը x 2 + px + q = 0, որը մաթեմատիկայում կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները և գործակիցները էջև քփոխկապակցված. Հաստատված է Վիետայի թեորեմա, անվանվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով, ով ապրել է 16-րդ դարի վերջին։

Թեորեմ. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + px + q = 0հավասար է երկրորդ գործակցին էջ, վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը՝ դեպի ազատ տերմին ք.

Այս հարաբերակցությունները գրում ենք հետևյալ ձևով.

Թող x 1և x2կրճատված հավասարման տարբեր արմատներ x 2 + px + q = 0. Վիետայի թեորեմի համաձայն x1 + x2 = -pև x 1 x 2 = q.

Սա ապացուցելու համար եկեք x 1 և x 2 արմատներից յուրաքանչյուրը փոխարինենք հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք երկու իրական հավասարություն.

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Առաջին հավասարությունից հանեք երկրորդը: Մենք ստանում ենք.

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Մենք ընդլայնում ենք առաջին երկու անդամները՝ ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Ըստ պայմանի՝ x 1 և x 2 արմատները տարբեր են։ Հետևաբար, մենք կարող ենք հավասարությունը կրճատել (x 1 - x 2) ≠ 0-ով և արտահայտել p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Առաջին հավասարությունն ապացուցված է.

Երկրորդ հավասարությունն ապացուցելու համար մենք փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 p գործակցի փոխարեն, դրա հավասար թիվը (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Փոխակերպելով հավասարման ձախ կողմը՝ մենք ստանում ենք.

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, որը պետք է ապացուցվեր:

Վիետայի թեորեմը լավն է, քանի որ. նույնիսկ առանց քառակուսի հավասարման արմատները իմանալու, մենք կարող ենք հաշվարկել դրանց գումարը և արտադրյալը .

Վիետայի թեորեմն օգնում է որոշել տվյալ քառակուսի հավասարման ամբողջ թվային արմատները։ Բայց շատ ուսանողների համար դա դժվարություններ է առաջացնում այն ​​պատճառով, որ նրանք չգիտեն գործողությունների հստակ ալգորիթմ, հատկապես, եթե հավասարման արմատները տարբեր նշաններ ունեն:

Այսպիսով, տրված քառակուսի հավասարումը ունի x 2 + px + q \u003d 0 ձևը, որտեղ x 1 և x 2 նրա արմատներն են: Համաձայն Վիետայի թեորեմի x 1 + x 2 = -p և x 1 x 2 = q.

Կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​հավասարման մեջ վերջին անդամին նախորդում է մինուս նշանը, ապա x 1 և x 2 արմատները տարբեր նշաններ ունեն։ Բացի այդ, ավելի փոքր արմատի նշանը նույնն է, ինչ հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը։

Ելնելով այն հանգամանքից, որ տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս դրանց մոդուլները հանվում են, իսկ մոդուլում ավելի մեծ թվի նշանը դրվում է արդյունքի դիմաց, պետք է գործել հետևյալ կերպ.

1. որոշել q թվի այնպիսի գործակիցներ, որ դրանց տարբերությունը հավասար լինի p թվին.
2. ստացված թվերից փոքրի դիմաց դնել հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը. երկրորդ արմատը կունենա հակառակ նշանը.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1.

Լուծեք x 2 - 2x - 15 = 0 հավասարումը:

Լուծում.

Փորձենք լուծել այս հավասարումը` օգտագործելով վերը ներկայացված կանոնները: Հետո վստահաբար կարող ենք ասել, որ այս հավասարումը կունենա երկու տարբեր արմատներ, քանի որ D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0:

Այժմ 15 թվի բոլոր գործակիցներից (1 և 15, 3 և 5) ընտրում ենք նրանց, որոնց տարբերությունը հավասար է 2-ի: Սրանք կլինեն 3 և 5 թվերը: Փոքր թվի դիմաց մինուս նշան ենք դնում: , այսինքն. հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը. Այսպիսով, մենք ստանում ենք x 1 \u003d -3 և x 2 \u003d 5 հավասարման արմատները:

Պատասխանել. x 1 = -3 և x 2 = 5:

Օրինակ 2.

Լուծե՛ք x 2 + 5x - 6 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս հավասարումը արմատներ ունի: Դա անելու համար մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ:

6 թվի հնարավոր գործակիցներն են 2-ը և 3-ը, 6-ը և 1-ը: Տարբերությունը 5 է 6-ի և 1-ի զույգի համար: Այս օրինակում երկրորդ անդամի գործակիցն ունի գումարած նշան, ուստի փոքր թիվը կունենա նույն նշանը. Բայց երկրորդ համարից առաջ կլինի մինուս նշան։

Պատասխան՝ x 1 = -6 և x 2 = 1:

Վիետայի թեորեմը կարելի է գրել նաև ամբողջական քառակուսային հավասարման համար։ Այսպիսով, եթե քառակուսի հավասարումը ax2 + bx + c = 0ունի x 1 և x 2 արմատներ, ապա դրանք բավարարում են հավասարությունները

x 1 + x 2 = - (բ/ա)և x 1 x 2 = (c/a). Այնուամենայնիվ, այս թեորեմի կիրառումը լրիվ քառակուսի հավասարման մեջ բավականին խնդրահարույց է, քանի որ եթե կան արմատներ, դրանցից գոնե մեկը կոտորակային թիվ է։ Իսկ կոտորակների ընտրության հետ աշխատելը բավականին դժվար է։ Բայց դեռ ելք կա.

Դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը ax 2 + bx + c = 0: Նրա ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք a գործակցով: Հավասարումը կունենա (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ձևը: Այժմ ներկայացնենք նոր փոփոխական, օրինակ t = ax:

Այս դեպքում ստացված հավասարումը կվերածվի t 2 + bt + ac = 0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման, որի արմատները t 1 և t 2 (եթե այդպիսիք կան) կարող են որոշվել Վիետայի թեորեմով։

Այս դեպքում սկզբնական քառակուսի հավասարման արմատները կլինեն

x 1 = (t 1 / ա) և x 2 = (t 2 / ա):

Օրինակ 3.

Լուծե՛ք 15x 2 - 11x + 2 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Կազմում ենք օժանդակ հավասարում. Եկեք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկենք 15-ով.

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0:

Փոփոխությունը կատարում ենք t = 15x։ Մենք ունենք:

t 2 - 11t + 30 = 0:

Վիետայի թեորեմի համաձայն, այս հավասարման արմատները կլինեն t 1 = 5 և t 2 = 6:

Մենք վերադառնում ենք փոխարինմանը t = 15x:

5 = 15x կամ 6 = 15x: Այսպիսով, x 1 = 5/15 և x 2 = 6/15: Կրճատում ենք և ստանում վերջնական պատասխանը՝ x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Պատասխանել. x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի հավասարումների լուծումը յուրացնելու համար աշակերտները պետք է հնարավորինս շատ պարապեն: Հենց սա է հաջողության գաղտնիքը։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Վիետայի թեորեմը (ավելի ճիշտ՝ Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը) թույլ է տալիս կրճատել քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակը։ Պարզապես պետք է իմանալ, թե ինչպես օգտագործել այն: Ինչպե՞ս սովորել լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Հեշտ է, եթե մի քիչ մտածես։

Այժմ մենք կխոսենք միայն կրճատված քառակուսի հավասարման լուծման մասին՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, Կրճատված քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ a-ն, այսինքն՝ x²-ի դիմացի գործակիցը հավասար է մեկի: Չտրված քառակուսի հավասարումները կարող են լուծվել նաև Վիետայի թեորեմի միջոցով, բայց արդեն արմատներից գոնե մեկը ամբողջ թիվ չէ: Դրանք ավելի դժվար է կռահել։

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմն ասում է. եթե x1 և x2 թվերն այնպիսին են, որ

ապա x1 և x2 քառակուսի հավասարման արմատներն են

Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը 4 տարբերակ. Եթե ​​հիշում եք տրամաբանության ընթացքը, կարող եք սովորել շատ արագ գտնել ամբողջական արմատներ։

I. Եթե q-ն դրական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են (քանի որ միայն նույն նշաններով թվերը բազմապատկելիս է ստացվում դրական թիվ)։

Ի.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (համապատասխանաբար, էջ<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

Ի.բ. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (համապատասխանաբար՝ p>0), ապա երկու արմատներն էլ բացասական թվեր են (նույն նշանի թվեր են ավելացրել, ստացել բացասական թիվ)։

II. Եթե ​​q-ն բացասական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատներն ունեն տարբեր նշաններ (թվերը բազմապատկելիս բացասական թիվ է ստացվում միայն այն դեպքում, երբ գործոնների նշանները տարբեր են): Այս դեպքում x1 + x2-ն այլևս ոչ թե գումար է, այլ տարբերություն (ի վերջո, տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս մենք փոքրը հանում ենք մեծ մոդուլից): Հետևաբար, x1 + x2 ցույց է տալիս, թե որքանով են տարբերվում x1 և x2 արմատները, այսինքն՝ որքանով է մի արմատն ավելի շատ, քան մյուսը (մոդուլ):

II.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (այսինքն՝ p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (p>0), ապա ավելի մեծ (մոդուլային) արմատը բացասական թիվ է:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծումը Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ օգտագործելով օրինակներ:

Տրված քառակուսի հավասարումը լուծե՛ք Վիետայի թեորեմով.

Այստեղ q=12>0, ուրեմն x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են: Դրանց գումարը -p=7>0 է, ուստի երկու արմատներն էլ դրական թվեր են։ Մենք ընտրում ենք այն ամբողջ թվերը, որոնց արտադրյալը 12 է: Սրանք են 1-ը և 12-ը, 2-ը և 6-ը, 3-ը և 4-ը: 3-ի և 4-ի զույգերի գումարը 7 է: Այսպիսով, 3-ը և 4-ը հավասարման արմատներն են:

Այս օրինակում q=16>0, ինչը նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են։ Նրանց գումարը -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Այստեղ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, ապա ավելի մեծ թիվը դրական է: Այսպիսով, արմատները 5 և -3 են:

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Գրեթե ցանկացած քառակուսի հավասարում \ կարող է փոխարկվել \\ Այնուամենայնիվ, դա հնարավոր է, եթե յուրաքանչյուր անդամ ի սկզբանե բաժանվի \ գործակցի \ դիմաց \ Բացի այդ, կարող է ներմուծվել նոր նշում.

\[(\frac (b)(a))= p\] and \[(\frac (c)(a)) = q\]

Դրա շնորհիվ մենք կունենանք մի հավասարում, որը մաթեմատիկայում կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում: Այս հավասարման արմատները և \ գործակիցները փոխկապակցված են, ինչը հաստատվում է Վիետայի թեորեմով։

Վիետայի թեորեմ. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին \ վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է \

Պարզության համար մենք լուծում ենք հետևյալ ձևի հավասարումը.

Այս քառակուսային հավասարումը լուծում ենք գրավոր կանոնների միջոցով։ Նախնական տվյալները վերլուծելուց հետո կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը կունենա երկու տարբեր արմատներ, քանի որ.

Այժմ 15 թվի բոլոր գործակիցներից (1 և 15, 3 և 5) ընտրում ենք նրանց, որոնց տարբերությունը հավասար է 2-ի։ 3 և 5 թվերը ընկնում են այս պայմանի տակ։ Փոքրի դիմաց դնում ենք մինուս նշան։ թիվ. Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարման արմատները \

Պատասխան՝ \[ x_1= -3 և x_2 = 5\]

Որտեղ կարող եմ լուծել հավասարումը Վիետայի թեորեմի միջոցով առցանց:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր կայքէջում՝ https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք տրված են. Վիետայի թեորեմա. Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումը և ապացույցը քառակուսի հավասարման համար: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը: Դրանից հետո կվերլուծենք ամենաբնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերից, որտեղ D=b 2 −4 a c հարաբերությունները x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 =. գ/ա . Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը, վերցված հակառակ նշանով և արտադրյալի. արմատները հավասար են c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ .

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմը կապացուցենք հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ հայտնի արմատային բանաձևերով կկազմենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև ստացված արտահայտությունները կվերափոխենք և համոզվենք, որ դրանք հավասար են -b-ի: /a և c/a, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից, կազմենք։ Հիմա կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, ունենք։ Ստացված կոտորակի համարիչում , որից հետո . Վերջապես, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը. Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ վերջին արտադրյալը կարելի է գրել այսպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի փակագծով, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևը, Ուրեմն . Այնուհետև, հիշելով, մենք կատարում ենք հաջորդ անցումը: Եվ քանի որ D=b 2 −4 a·c բանաձևը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին, ապա b 2 −4·a·c կարելի է փոխարինել վերջին կոտորակի մեջ D-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և նման անդամները փոքրացնելուց հետո հասնում ենք կոտորակի վրա, և դրա կրճատումը 4·a-ով տալիս է. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե ​​բաց թողնենք բացատրությունները, ապա Վիետայի թեորեմի ապացույցը հակիրճ ձև կստանա.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են: Իսկապես, D=0-ի համար քառակուսի հավասարման արմատը , ապա և , և քանի որ D=0 , այսինքն՝ b 2 −4·a·c=0 , որտեղից b 2 =4·a·c , ապա .

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 +p·x+q=0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման (ամենաբարձր գործակիցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ։ Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս տիպի քառակուսային հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական թվով a: Ահա Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + p x + q \u003d 0 հավասար է x գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է, այսինքն, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմ

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, տրված նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0, ապա x 1 +x 2 = − հարաբերությունները։ p , x 1 x 2 = q. Մյուս կողմից, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 +p x+q=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այլ կերպ ասած, Վիետայի թեորեմի հակառակ պնդումը ճիշտ է։ Մենք այն ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով և ապացուցում։

Թեորեմ.

Եթե ​​x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 +x 2 =−p և x 1 x 2 =q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0: .

Ապացույց.

x 2 +p x+q=0 դրանց արտահայտության x 1 և x 2-ի միջոցով p և q գործակիցները փոխարինելուց հետո այն վերածվում է համարժեք հավասարման։

Ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 1 թիվը, ունենք հավասարություն x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար ճիշտ թվային հավասարություն է 0=0, քանի որ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Այսպիսով, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 +p x+q=0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե ​​հավասարման մեջ x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 2 թիվը, այնուհետև ստանում ենք հավասարություն x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Սա ճիշտ հավասարումն է, քանի որ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Հետևաբար, x 2-ը նույնպես հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, և հետևաբար x 2 +p x+q=0 հավասարումները:

Սա ավարտում է Վիետայի թեորեմին հակադրվող թեորեմի ապացուցումը:

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառության մասին։ Այս ենթաբաժնում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Մենք սկսում ենք Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ կիրառելով: Հարմար է այն օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է հարաբերությունների վավերականությունը։ Եթե ​​այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ գտնված արմատները ստուգելու համար։

Օրինակ.

1) x 1 =−5, x 2 =3 կամ 2), թե 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x+9=0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x+9=0 գործակիցներն են a=4 , b=−16 , c=9 ։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a-ի, այսինքն՝ 16/4=4, իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի c/a-ի, այսինքն՝ 9-ի։ /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում ունենք x 1 +x 2 =−5+3=−2: Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, հետևաբար, հետագա ստուգում չի կարող իրականացվել, բայց թեորեմով, Վիետայի թեորեմի հակադարձմամբ, կարող ենք անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տրված քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։ .

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը բավարարված է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը. ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից: Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնում է վերջին դեպքը. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Թեորեմը՝ Վիետայի թեորեմի հակառակը, կարող է գործնականում օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները ընտրելու համար։ Սովորաբար ընտրվում են տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ամբողջ թվային գործակիցներով, քանի որ այլ դեպքերում դա բավականին դժվար է անել։ Միևնույն ժամանակ նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սրան անդրադառնանք օրինակով։

Վերցնենք x 2 −5 x+6=0 քառակուսային հավասարումը: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է բավարարվեն երկու հավասարումներ x 1 +x 2 \u003d 5 և x 1 x 2 \u003d 6: Մնում է ընտրել այդպիսի թվեր։ Այս դեպքում դա անելը բավականին պարզ է. 2-ը և 3-ը նման թվեր են, քանի որ 2+3=5 և 2 3=6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը հատկապես հարմար է կրճատված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ։ Այս դեպքում երկրորդ արմատը հայտնաբերվում է հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 −509 x−3=0: Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ միավորը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 x 2 =c/a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 =−3/512, որտեղից x 2 =−3/512: Այսպիսով, մենք սահմանել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Մյուս դեպքերում, արմատները գտնելու համար կարելի է տարբերակիչի միջոցով կիրառել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը։

Թեորեմի մեկ այլ գործնական կիրառություն՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձը, տրված x 1 և x 2 արմատների համար քառակուսի հավասարումների կազմումն է։ Դրա համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը տրված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսային հավասարում, որի արմատները −11 և 23 թվերն են։

Լուծում.

Նշեք x 1 =−11 և x 2 =23: Մենք հաշվարկում ենք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 + x 2 \u003d 12 և x 1 x 2 \u003d −253: Հետևաբար այս թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են երկրորդ գործակցով -12 և ազատ անդամով -253: Այսինքն՝ x 2 −12·x−253=0 ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12 x−253=0 .

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված առաջադրանքներ լուծելիս։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված x 2 +p x+q=0 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

• Եթե ​​q ազատ անդամը դրական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական են։
• Եթե ​​q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 x 2 =q բանաձեւից, ինչպես նաեւ տարբեր նշաններով դրական, բացասական թվերը եւ թվերը բազմապատկելու կանոններից։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R-ն դրական է: Համաձայն տարբերակիչ բանաձևի՝ գտնում ենք D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 արտահայտության արժեքը. +8-ը դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D>0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ r պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար:

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ ունեն: Եթե ​​արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմով տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r−1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մենք պետք է լուծել գծային անհավասարություն r−1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժամը r<1 .

Վիետայի բանաձևեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք նրա հաստատած հարաբերությունները: Բայց կան բանաձեւեր, որոնք կապում են իրական արմատներն ու գործակիցները ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլ նաև խորանարդ հավասարումների, քառակի հավասարումների և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետայի բանաձևեր.

Մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար, մինչդեռ ենթադրում ենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց մեջ կարող է լինել նույնը).

Ստանալ Vieta բանաձեւերը թույլ է տալիս բազմանդամների գործոնացման թեորեմ, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա ընդլայնումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Բացելով փակագծերը վերջին արտադրյալում և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n=2-ի համար մենք արդեն ծանոթ Վիետայի բանաձևեր ունենք քառակուսի հավասարման համար:

Խորանարդ հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն ունեն ձևը

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմում կան այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման ուղիներն ուսումնասիրելիս հաշվի առեք ստացված արմատների հատկությունները: Դրանք այժմ հայտնի են որպես Վիետայի թեորեմներ։ Դրա օգտագործման օրինակները տրված են այս հոդվածում:

Քառակուսային հավասարում

Երկրորդ կարգի հավասարումը հավասարություն է, որը ներկայացված է ստորև ներկայացված լուսանկարում։

Այստեղ a, b, c նշանները որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են դիտարկվող հավասարման գործակիցներ։ Հավասարությունը լուծելու համար հարկավոր է գտնել x արժեքներ, որոնք այն դարձնում են ճիշտ:

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ հզորության առավելագույն արժեքը, որին բարձրացվում է x-ը, երկու է, ապա ընդհանուր դեպքում արմատների թիվը նույնպես երկու է։

Այս տեսակի հավասարությունը լուծելու մի քանի եղանակ կա. Այս հոդվածում մենք կքննարկենք դրանցից մեկը, որը ներառում է այսպես կոչված Վիետայի թեորեմի օգտագործումը։

Վիետայի թեորեմի հայտարարություն

16-րդ դարի վերջում հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (ֆրանսիացի) վերլուծելով տարբեր քառակուսի հավասարումների արմատների հատկությունները, նկատել է, որ դրանց որոշակի համակցությունները բավարարում են կոնկրետ հարաբերություններ։ Մասնավորապես, այդ համակցություններն իրենց արտադրյալն ու գումարն են։

Վիետայի թեորեմը սահմանում է հետևյալը. քառակուսի հավասարման արմատները, երբ գումարվում են, տալիս են հակառակ նշանով վերցված գծային և քառակուսի գործակիցների հարաբերությունը, և երբ դրանք բազմապատկվում են, հանգեցնում են ազատ անդամի և քառակուսի գործակցի հարաբերությանը։ .

Եթե ​​հավասարման ընդհանուր ձևը գրված է այնպես, ինչպես ցույց է տրված հոդվածի նախորդ հատվածի լուսանկարում, ապա մաթեմատիկորեն այս թեորեմը կարելի է գրել որպես երկու հավասարություն.

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Որտեղ r 1, r 2-ը դիտարկված հավասարման արմատների արժեքն է:

Այս երկու հավասարությունները կարող են օգտագործվել մի շարք շատ տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար: Վիետայի թեորեմի օգտագործումը լուծում ունեցող օրինակներում տրված է հոդվածի հաջորդ բաժիններում։